Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike të plota dhe jo të plota. Formula të dobishme në lidhje me ekuacionet kuadratike. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Dihet se është një version i veçantë i barazisë ax 2 + bx + c = o, ku a, b dhe c janë koeficientë realë për x të panjohur, dhe ku a ≠ o, dhe b dhe c do të jenë zero - njëkohësisht ose veçmas. Për shembull, c = o, b ≠ o ose anasjelltas. Ne pothuajse e kujtuam përkufizimin ekuacioni kuadratik.
Trinomi i shkallës së dytë është zero. Koeficienti i tij i parë a ≠ o, b dhe c mund të marrë çdo vlerë. Vlera e ndryshores x do të jetë atëherë kur zëvendësimi e kthen atë në një barazi numerike të saktë. Le të përqendrohemi te rrënjët reale, edhe pse ekuacionet mund të jenë zgjidhje. Është zakon të quajmë të plotë një ekuacion në të cilin asnjë nga koeficientët nuk është i barabartë me o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠.
Le të zgjidhim një shembull. 2x 2 -9x-5 = oh, ne gjejmë
D = 81+40 = 121,
D është pozitiv, që do të thotë se ka rrënjë, x 1 = (9+√121):4 = 5, dhe e dyta x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrollimi do të ndihmojë për t'u siguruar që ato janë të sakta.
Këtu zgjidhje hap pas hapi ekuacioni kuadratik
Duke përdorur diskriminuesin, mund të zgjidhni çdo ekuacion në anën e majtë të të cilit është një trinom kuadratik i njohur për një ≠ o. Në shembullin tonë. 2x 2 -9x-5 = 0 (sëpatë 2 +në+s = o)
Le të shqyrtojmë se cilat janë ekuacionet jo të plota të shkallës së dytë
- sëpatë 2 +në = o. Termi i lirë, koeficienti c në x 0, është i barabartë me zero këtu, në ≠ o.
Si të zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i këtij lloji? Le të nxjerrim x nga kllapa. Le të kujtojmë kur prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero.
x(ax+b) = o, kjo mund të jetë kur x = o ose kur ax+b = o.
Pasi kemi zgjidhur të 2-tën kemi x = -в/а.
Si rezultat, kemi rrënjë x 1 = 0, sipas llogaritjeve x 2 = -b/a. - Tani koeficienti i x është i barabartë me o, dhe c nuk është i barabartë (≠) o.
x 2 +c = o. Le të lëvizim c në anën e djathtë të barazisë, marrim x 2 = -с. Ky ekuacion ka rrënjë reale vetëm kur -c numër pozitiv(me ‹ o),
x 1 është atëherë e barabartë me √(-c), përkatësisht, x 2 është -√(-c). Përndryshe, ekuacioni nuk ka rrënjë fare. - Opsioni i fundit: b = c = o, domethënë sëpatë 2 = o. Natyrisht, një ekuacion kaq i thjeshtë ka një rrënjë, x = o.
Raste të veçanta
Ne shikuam se si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë, dhe tani le të marrim çdo lloj.
- Në një ekuacion të plotë kuadratik, koeficienti i dytë i x është një numër çift.
Le të jetë k = o.5b. Kemi formula për llogaritjen e diskriminuesit dhe rrënjëve.
D/4 = k 2 - ac, rrënjët llogariten si x 1,2 = (-k±√(D/4))/a për D › o.
x = -k/a në D = o.
Nuk ka rrënjë për D ‹ o. - Janë dhënë ekuacione kuadratike, kur koeficienti i x në katror është i barabartë me 1, ato zakonisht shkruhen x 2 + рх + q = o. Të gjitha formulat e mësipërme vlejnë për to, por llogaritjet janë disi më të thjeshta.
Shembull, x 2 -4x-9 = 0. Llogaritni D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - Përveç kësaj, është e lehtë të zbatohet për ato të dhëna Ai thotë se shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë me -p, koeficienti i dytë me një minus (që do të thotë shenjë e kundërt), dhe prodhimi i të njëjtave rrënjë. të jetë e barabartë me q, termi i lirë. Shihni se sa e lehtë do të ishte të përcaktoheshin me gojë rrënjët e këtij ekuacioni. Për koeficientët e pareduktuar (për të gjithë koeficientët jo të barabartë me zero), kjo teoremë është e zbatueshme si më poshtë: shuma x 1 + x 2 është e barabartë me -b/a, prodhimi x 1 ·x 2 është e barabartë me c/a.
Shuma e termit të lirë c dhe koeficientit të parë a është e barabartë me koeficientin b. Në këtë situatë, ekuacioni ka të paktën një rrënjë (e lehtë për t'u vërtetuar), e para është domosdoshmërisht e barabartë me -1 dhe e dyta -c/a, nëse ekziston. Ju mund të kontrolloni vetë se si të zgjidhni një ekuacion kuadratik jo të plotë. Nuk mund të ishte më e thjeshtë. Koeficientët mund të jenë në marrëdhënie të caktuara me njëri-tjetrin
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Shuma e të gjithë koeficientëve është e barabartë me o.
Rrënjët e një ekuacioni të tillë janë 1 dhe c/a. Shembull, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Ka një sërë mënyrash të tjera për të zgjidhur ekuacione të ndryshme të shkallës së dytë. Këtu, për shembull, është një metodë për nxjerrjen e një katrori të plotë nga një polinom i caktuar. Ka disa metoda grafike. Kur merresh shpesh me shembuj të tillë, do të mësosh t'i “klikosh” si fara, sepse të gjitha metodat të vijnë në mendje automatikisht.
Niveli i hyrjes
Ekuacionet kuadratike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)
Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).
Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.
Shembulli 1.
Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me
Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X
Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!
Shembulli 2.
Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:
Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!
Shembulli 3.
Le të shumëzojmë gjithçka me:
E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:
Shembulli 4.
Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:
E shihni, është tkurrur - dhe tani është e thjeshtë ekuacioni linear!
Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:
Shembuj:
Përgjigjet:
- katror;
- katror;
- jo katror;
- jo katror;
- jo katror;
- katror;
- jo katror;
- katrore.
Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:
- Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)
- Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.
Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!
Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
- , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
- , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
- , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
1. i. Sepse ne dimë të nxjerrim rrënjë katrore, atëherë le të shprehemi nga ky ekuacion
Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.
Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.
Shembulli 5:
Zgjidhe ekuacionin
Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?
Përgjigje:
Mos harroni asnjëherë rrënjët me shenjë negative!!!
Shembulli 6:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 7:
Zgjidhe ekuacionin
Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë!
Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:
Përgjigje:
Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:
Zgjidhe ekuacionin
Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:
Kështu,
Ky ekuacion ka dy rrënjë.
Përgjigje:
Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Këtu do të heqim dorë nga shembujt.
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike
Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.
Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.
Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.
1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.
Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
- Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.
Shembulli 9:
Zgjidhe ekuacionin
Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.
Hapi 3.
Përgjigje:
Shembulli 10:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.
Përgjigje:
Shembulli 11:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.
Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.
Përgjigje: pa rrënjë
2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.
Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):
Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:
Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.
Shembulli 12:
Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:
Dhe produkti është i barabartë me:
Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Përgjigje: ; .
Shembulli 13:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 14:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Përgjigje:
EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM
Çfarë është një ekuacion kuadratik?
Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.
Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.
Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.
Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.
Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:
Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.
Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:
I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.
Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:
nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;
nëse kemi dy rrënjë
Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!
Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë.
Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.
Përgjigje:
Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.
Përgjigje:
Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:
Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:
Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.
Shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:
Përgjigje:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:
1. Diskriminues
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.
E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
- Nëse atëherë ekuacioni ka rrënjë të njëjta, por në thelb një rrënjë:
Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.
- Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:
Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) e abshisave. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.
Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Përgjigje:.
Përgjigje:
Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.
Përgjigje:.
2. Teorema e Vietës
Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.
Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().
Le të shohim disa shembuj:
Shembulli #1:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:
Dhe produkti është i barabartë me:
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.
Përgjigje: ; .
Shembulli #2:
Zgjidhja:
Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
dhe: japin gjithsej.
dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.
Përgjigje:
Shembulli #3:
Zgjidhja:
Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.
Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:
dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:
Përgjigje:
Shembulli #4:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:
Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:
Përgjigje:
Shembulli #5:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:
Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.
Përgjigje:
Pajtohem, është shumë e përshtatshme të dalësh me rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.
Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:
Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:
Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Sipas teoremës së Vietës:
Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:
Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;
: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.
Përgjigje: ; .
Detyra 2.
Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.
Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).
Përgjigje: ; .
Detyra 3.
Hmm... Ku është?
Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:
Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.
Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidhni në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:
E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.
Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).
Përgjigje: ; .
Detyra 4.
Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.
Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.
Përgjigje: ; .
Detyra 5.
Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:
Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:
Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.
Përgjigje: ; .
Më lejoni të përmbledh:
- Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
- Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
- Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).
3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë
Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të ndryshoreve, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.
Për shembull:
Shembulli 1:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
Shembulli 2:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
NË pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:
Më poshtë vijon: .
Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.
EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.
Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.
Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .
Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
- nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
- nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
- nëse dhe, ekuacioni duket si: .
1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota
1.1. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Le të shprehim të panjohurën: ,
2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
- nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
1.2. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,
2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:
1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:
Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .
2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku
2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues
1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,
2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:
3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:
- nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.
2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës
Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.
2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë
Yakupova M.I. 1
Smirnova Yu.V. 1
1 Institucion arsimor buxhetor komunal shkolla e mesme nr. 11
Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Work Files" në format PDF
Historia e ekuacioneve kuadratike
Babilonia
Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave parcelat e tokës, me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit. Rregullat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, të përcaktuara në tekstet babilonase, në thelb përkojnë me ato moderne, por në këto tekste nuk ka asnjë koncept numër negativ Dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.
Greqia e lashtë
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike u bë gjithashtu në Greqia e lashtë shkencëtarë të tillë si Diofanti, Euklidi dhe Heroni. Diophantus Diophantus i Aleksandrisë është një matematikan i lashtë grek, i cili me sa duket ka jetuar në shekullin e III pas Krishtit. Vepra kryesore e Diofantit është "Aritmetika" në 13 libra. Euklidi. Euklidi është një matematikan i lashtë grek, autori i traktatit të parë teorik mbi matematikën që na ka ardhur, Heron. Heron - matematikan dhe inxhinier grek i pari në Greqi në shekullin e 1 pas Krishtit. jep një mënyrë thjesht algjebrike për të zgjidhur një ekuacion kuadratik
Indi
Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Në ekuacionin (1) koeficientët mund të jenë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni. Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu njeri i ditur do të eklipsojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike.” Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.
Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.
“Një tufë majmunësh të gjallë
Dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive, pasi hëngrën me kënaqësinë time, u argëtuan
Ata filluan të kërcejnë, duke u varur
Pjesa e tetë e tyre në katror
Sa majmunë kishte?
Po argëtohesha në pastrim
Më thuaj, në këtë paketë?
Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera. Bhaskar shkruan ekuacionin që korrespondon me problemin si x2 - 64x = - 768 dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, shton 322 në të dy anët, pastaj merr: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.
Ekuacionet kuadratike në Evropën e shekullit të 17-të
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të Al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa të reja shembuj algjebrikë zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII. Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Ata marrin parasysh, përveç pozitive, dhe rrënjë negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.
Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik
Një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a, b, c janë numra, quhet kuadratik.
Koeficientët e ekuacionit kuadratik
Numrat a, b, c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a është koeficienti i parë (para x²), a ≠ b është koeficienti i dytë (përpara x);
Cili nga këto ekuacione nuk është kuadratik??
1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;
7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.
Llojet e ekuacioneve kuadratike
|
Emri |
Forma e përgjithshme e ekuacionit |
Veçori (cilat janë koeficientët) |
Shembuj ekuacionesh |
|
sëpatë 2 + bx + c = 0 |
a, b, c - numra të ndryshëm nga 0 |
1/3x 2 + 5x - 1 = 0 |
|
|
E paplotë |
|||
|
x 2 - 1/5x = 0 |
|||
|
E dhënë |
x 2 + bx + c = 0 |
x 2 - 3x + 5 = 0 |
I reduktuar është një ekuacion kuadratik në të cilin është koeficienti kryesor e barabartë me një. Një ekuacion i tillë mund të merret duke pjesëtuar të gjithë shprehjen me koeficientin kryesor a:
x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a
Një ekuacion kuadratik quhet i plotë nëse të gjithë koeficientët e tij janë jozero.
Një ekuacion kuadratik quhet i paplotë në të cilin të paktën një nga koeficientët, përveç atij kryesor (qoftë koeficienti i dytë ose termi i lirë), është i barabartë me zero.
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
Metoda I Formula e përgjithshme për llogaritjen e rrënjëve
Për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik sëpatë 2 + b + c = 0 V rast i përgjithshëm duhet të përdorni algoritmin e mëposhtëm:
Llogaritni vlerën e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik: kjo është shprehja për të D= b 2 - 4 AC
Nxjerrja e formulës:
Shënim:Është e qartë se formula për një rrënjë të shumëfishit 2 është një rast i veçantë i formulës së përgjithshme, i marrë duke zëvendësuar barazinë D=0 në të, dhe përfundimi për mungesën e rrënjëve reale në D0, dhe (stil ekrani (sqrt ( -1))=i) = i.
Metoda e paraqitur është universale, por është larg nga e vetmja. Zgjidhja e një ekuacioni të vetëm mund të trajtohet në mënyra të ndryshme, me preferenca që zakonisht varen nga zgjidhësi. Për më tepër, shpesh për këtë qëllim disa nga metodat rezultojnë shumë më elegante, të thjeshta dhe më pak punë intensive se ajo standarde.
Metoda II. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik me koeficient çift b Metoda III. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Metoda IV. Përdorimi i raporteve të pjesshme të koeficientëve
Ka raste të veçanta të ekuacioneve kuadratike në të cilat koeficientët janë në marrëdhënie me njëri-tjetrin, duke i bërë ato shumë më të lehta për t'u zgjidhur.
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik në të cilin shuma e koeficientit kryesor dhe termit të lirë është e barabartë me koeficientin e dytë
Nëse në një ekuacion kuadratik sëpatë 2 + bx + c = 0 shuma e koeficientit të parë dhe termit të lirë është e barabartë me koeficientin e dytë: a+b=c, atëherë rrënjët e tij janë -1 dhe numri i kundërt me raportin e termit të lirë me koeficientin kryesor ( -c/a).
Prandaj, përpara se të zgjidhni ndonjë ekuacion kuadratik, duhet të kontrolloni mundësinë e zbatimit të kësaj teoreme në të: krahasoni shumën e koeficientit kryesor dhe termit të lirë me koeficientin e dytë.
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik shuma e të gjithë koeficientëve të të cilit është zero
Nëse në një ekuacion kuadratik shuma e të gjithë koeficientëve të tij është zero, atëherë rrënjët e një ekuacioni të tillë janë 1 dhe raporti i termit të lirë me koeficientin kryesor ( c/a).
Prandaj, përpara se të zgjidhni ekuacionin duke përdorur metoda standarde, duhet të kontrolloni zbatueshmërinë e kësaj teoreme në të: shtoni të gjithë koeficientët ekuacioni i dhënë dhe shikoni nëse kjo shumë është e barabartë me zero.
Metoda V. Faktorizimi i një trinomi kuadratik në faktorë linearë
Nëse trinomi është i formës (stil ekrani ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) mund të paraqitet disi si produkt i faktorëve linearë (stili i shfaqjes (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), atëherë mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit sëpatë 2 + bx + c = 0- ato do të jenë -m/k dhe n/l, në të vërtetë, në fund të fundit (stili i shfaqjes (kx+m)(lx+n)=0Shigjeta e gjatë e djathtë kx+m=0 filxhan lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, dhe pasi kemi zgjidhur ekuacionet lineare të treguara, marrim sa më sipër. Vini re se trinom kuadratik jo gjithmonë zbërthehet në faktorë linearë me koeficientë realë: kjo është e mundur nëse ekuacioni përkatës ka rrënjë reale.
Le të shqyrtojmë disa raste të veçanta
Duke përdorur formulën e shumës (diferencës) në katror
Nëse trinomi kuadratik ka formën (stil ekrani (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , atëherë duke zbatuar formulën e mësipërme në të, mund ta faktorizojmë në faktorë linearë dhe Prandaj, gjeni rrënjët:
(sëpatë) 2 + 2abx + b 2 = (sëpatë + b) 2
Izolimi i katrorit të plotë të shumës (diferenca)
Formula e mësipërme përdoret gjithashtu duke përdorur një metodë të quajtur "zgjedhja e katrorit të plotë të shumës (diferencës)." Në lidhje me ekuacionin kuadratik të mësipërm me shënimin e paraqitur më parë, kjo do të thotë si më poshtë:
Shënim: Nëse vini re, kjo formulë përkon me atë të propozuar në pjesën “Rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar”, e cila, nga ana tjetër, mund të merret nga formula e përgjithshme (1) duke zëvendësuar barazinë a=1. Ky fakt nuk është thjesht një rastësi: duke përdorur metodën e përshkruar, megjithëse me disa arsyetime shtesë, është e mundur të konkludohet formulë e përgjithshme, dhe gjithashtu provojnë vetitë e diskriminuesit.
Metoda VI. Përdorimi i teoremës së drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të Vieta-s
Teorema e drejtpërdrejtë e Vieta-s (shih më poshtë në seksionin me të njëjtin emër) dhe teorema e saj e kundërt ju lejojnë të zgjidhni gojarisht ekuacionet kuadratike të mësipërme, pa përdorur llogaritjet mjaft të rënda duke përdorur formulën (1).
Sipas teoremës së kundërt, çdo çift numrash (numër) (stili i shfaqjes x_(1), x_(2)) x 1, x 2, duke qenë një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve më poshtë, janë rrënjët e ekuacionit
Në rastin e përgjithshëm, domethënë, për një ekuacion kuadratik të pareduktuar ax 2 + bx + c = 0
x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a
Një teoremë e drejtpërdrejtë do t'ju ndihmojë të gjeni numra që plotësojnë këto ekuacione gojarisht. Me ndihmën e tij, ju mund të përcaktoni shenjat e rrënjëve pa i ditur vetë rrënjët. Për ta bërë këtë, duhet të ndiqni rregullin:
1) nëse termi i lirë është negativ, atëherë rrënjët kanë shenjë të ndryshme, dhe moduli më i madh i rrënjëve është shenja e kundërt me shenjën e koeficientit të dytë të ekuacionit;
2) nëse termi i lirë është pozitiv, atëherë të dyja rrënjët kanë me të njëjtën shenjë, dhe kjo është shenja e kundërt me shenjën e koeficientit të dytë.
Metoda VII. Mënyra e transferimit
E ashtuquajtura metodë "transferimi" ju lejon të zvogëloni zgjidhjen e ekuacioneve të pareduktuara dhe të pakalueshme në formën e ekuacioneve të reduktuara me koeficientë të plotë duke i ndarë ato me koeficientin kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të reduktuara me koeficientë të plotë. Është si më poshtë:
Më pas, ekuacioni zgjidhet gojarisht në mënyrën e përshkruar më sipër, më pas ata kthehen në variablin origjinal dhe gjejnë rrënjët e ekuacioneve (stil ekrani y_(1)=ax_(1)) y 1 =sëpatë 1 Dhe y 2 =sëpatë 2 .(stil ekrani y_(2)=ax_(2))
Kuptimi gjeometrik
Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) e një ekuacioni kuadratik janë abshisat e pikave të prerjes së parabolës me boshtin e abshisave. Nëse parabola e përshkruar funksion kuadratik, nuk kryqëzohet me boshtin x, ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Nëse një parabolë pret boshtin x në një pikë (në kulmin e parabolës), ekuacioni ka një rrënjë reale (ekuacioni thuhet gjithashtu se ka dy rrënjë që përputhen). Nëse parabola kryqëzon boshtin x në dy pika, ekuacioni ka dy rrënjë reale (shih imazhin në të djathtë.)
Nëse koeficienti (stili i shfaqjes a) a pozitive, degët e parabolës janë të drejtuara lart dhe anasjelltas. Nëse koeficienti (stili i shfaqjes b) bpozitive (nëse është pozitive (stili i shfaqjes a) a, nëse është negative, anasjelltas), atëherë kulmi i parabolës shtrihet në gjysmëplanin e majtë dhe anasjelltas.
Zbatimi i ekuacioneve kuadratike në jetë
Ekuacioni kuadratik përdoret gjerësisht. Përdoret në shumë llogaritje, struktura, sporte dhe gjithashtu rreth nesh.
Le të shqyrtojmë dhe japim disa shembuj të zbatimit të ekuacionit kuadratik.
Sport. Kërcimet lart: gjatë ngritjes së kërcyesit, llogaritjet që lidhen me parabolën përdoren për të arritur ndikimin më të qartë të mundshëm në shiritin e ngritjes dhe fluturimin lart.
Gjithashtu, llogaritje të ngjashme nevojiten në hedhje. Gama e fluturimit të një objekti varet nga ekuacioni kuadratik.
Astronomi. Trajektorja e planetëve mund të gjendet duke përdorur një ekuacion kuadratik.
Fluturim me aeroplan. Nisja e aeroplanit është komponenti kryesor i fluturimit. Këtu marrim llogaritjen për rezistencën e ulët dhe përshpejtimin e ngritjes.
Ekuacionet kuadratike përdoren edhe në disiplina të ndryshme ekonomike, në programe për përpunimin e grafikave audio, video, vektoriale dhe rasterike.
konkluzioni
Si rezultat i punës së bërë, rezultoi se ekuacionet kuadratike tërhoqën shkencëtarët në kohët e lashta, ata i kishin hasur tashmë kur zgjidhnin disa probleme dhe u përpoqën t'i zgjidhnin ato. Duke marrë parasysh mënyra të ndryshme duke zgjidhur ekuacionet kuadratike, arrita në përfundimin se jo të gjitha janë të thjeshta. Për mendimin tim më së shumti mënyra më e mirë zgjidhja e ekuacioneve kuadratike është zgjidhja me formula. Formulat janë të lehta për t'u mbajtur mend, kjo metodë është universale. Hipoteza se ekuacionet përdoren gjerësisht në jetë dhe në matematikë u konfirmua. Pasi studiova temën, mësova shumë fakte interesante për ekuacionet kuadratike, përdorimin e tyre, zbatimin, llojet, zgjidhjet. Dhe do të jem i lumtur të vazhdoj t'i studioj ato. Shpresoj se kjo do të më ndihmojë të dal mirë në provimet e mia.
Lista e literaturës së përdorur
Materialet e faqes:
Wikipedia
Mësim i hapur.rf
Udhëzues për matematikë elementare Vygodsky M. Ya.
Problemet e ekuacioneve kuadratike studiohen si në kurrikulën shkollore ashtu edhe në universitete. Ato nënkuptojnë ekuacione të formës a*x^2 + b*x + c = 0, ku x- ndryshore, a, b, c – konstante; a<>0 . Detyra është të gjesh rrënjët e ekuacionit.
Kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik
Grafiku i një funksioni që përfaqësohet nga një ekuacion kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) e një ekuacioni kuadratik janë pikat e prerjes së parabolës me boshtin e abshisës (x). Nga kjo rezulton se ka tre raste të mundshme:
1) parabola nuk ka pika të prerjes me boshtin e abshisave. Kjo do të thotë se është në rrafshin e sipërm me degë lart ose në fund me degë poshtë. Në raste të tilla, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale (ka dy rrënjë komplekse).
2) parabola ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox. Një pikë e tillë quhet kulmi i parabolës, dhe ekuacioni kuadratik në të fiton vlerën e tij minimale ose maksimale. Në këtë rast, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë reale (ose dy rrënjë identike).
3) Rasti i fundit është më interesant në praktikë - ka dy pika të kryqëzimit të parabolës me boshtin e abshisë. Kjo do të thotë se ka dy rrënjë reale të ekuacionit.
Në bazë të analizës së koeficientëve të fuqive të variablave, mund të nxirren përfundime interesante për vendosjen e parabolës.
1) Nëse koeficienti a është më i madh se zero, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, nëse ai është negativ, degët e parabolës drejtohen poshtë;
2) Nëse koeficienti b është më i madh se zero, atëherë kulmi i parabolës qëndron në gjysmëplanin e majtë, nëse merr një vlerë negative, atëherë në të djathtë.
Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik
Le të transferojmë konstantën nga ekuacioni kuadratik 
për shenjën e barabartë, marrim shprehjen
Shumëzoni të dyja anët me 4a 
Për të marrë një katror të plotë në të majtë, shtoni b^2 në të dy anët dhe kryeni transformimin
Nga këtu gjejmë
Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Diskriminuesi është vlera e shprehjes radikale nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, të llogaritura me formulë 
Kur diskriminuesi është zero, ekuacioni kuadratik ka një zgjidhje (dy rrënjë që përputhen), e cila mund të merret lehtësisht nga formula e mësipërme për D=0, kur diskriminuesi është negativ, ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Sidoqoftë, zgjidhjet e ekuacionit kuadratik gjenden në planin kompleks dhe vlera e tyre llogaritet duke përdorur formulën 
Teorema e Vietës
Le të shqyrtojmë dy rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe të ndërtojmë një ekuacion kuadratik mbi bazën e tyre vetë teorema e Vietës rrjedh lehtësisht nga shënimi: nëse kemi një ekuacion kuadratik të formës. 
atëherë shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me koeficientin p të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë q. Paraqitja formulore e sa më sipër do të duket si Nëse në një ekuacion klasik konstanta a është jozero, atëherë duhet të ndani të gjithë ekuacionin me të dhe më pas të zbatoni teoremën e Vieta-s.
Skema e ekuacioneve kuadratike të faktorizimit
Le të vendoset detyra: faktorizoni një ekuacion kuadratik. Për ta bërë këtë, së pari zgjidhim ekuacionin (gjeni rrënjët). Më pas, ne i zëvendësojmë rrënjët e gjetura në formulën e zgjerimit për ekuacionin kuadratik.
Problemet e ekuacionit kuadratik
Detyra 1. Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik
x^2-26x+120=0 .
Zgjidhje: Shkruani koeficientët dhe zëvendësojini ato në formulën diskriminuese
Rrënja e vlera e dhënëështë e barabartë me 14, është e lehtë të gjendet me një makinë llogaritëse, ose të kujtohet kur përdorimi i shpeshtë, megjithatë, për lehtësi, në fund të artikullit do t'ju jap një listë me katrorë numrash që shpesh mund të hasen në probleme të tilla.
Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në formulën rrënjësore 
dhe marrim 
Detyra 2. Zgjidhe ekuacionin
2x 2 +x-3=0.
Zgjidhja: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik, shkruajmë koeficientët dhe gjejmë diskriminuesin 
Duke përdorur formulat e njohura gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik 
Detyra 3. Zgjidhe ekuacionin
9x 2 -12x+4=0.
Zgjidhje: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik. Përcaktimi i diskriminuesit
Kemi një rast kur rrënjët përkojnë. Gjeni vlerat e rrënjëve duke përdorur formulën 
Detyra 4. Zgjidhe ekuacionin
x^2+x-6=0 .
Zgjidhja: Në rastet kur ka koeficientë të vegjël për x, këshillohet të zbatohet teorema e Vietës. Sipas gjendjes së tij marrim dy ekuacione
Nga kushti i dytë gjejmë se produkti duhet të jetë i barabartë me -6. Kjo do të thotë që njëra prej rrënjëve është negative. Kemi çiftin e mëposhtëm të mundshëm të zgjidhjeve (-3;2), (3;-2) . Duke marrë parasysh kushtin e parë, ne refuzojmë çiftin e dytë të zgjidhjeve.
Rrënjët e ekuacionit janë të barabarta
Detyra 5. Gjeni gjatësitë e brinjëve të një drejtkëndëshi nëse perimetri i tij është 18 cm dhe sipërfaqja e tij është 77 cm 2.
Zgjidhje: Gjysma e perimetrit të një drejtkëndëshi është e barabartë me shumën e brinjëve të tij ngjitur. Le të shënojmë x - anën e madhe, pastaj 18-x anën e saj më të vogël. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me produktin e këtyre gjatësive:
x(18-x)=77;
ose
x 2 -18x+77=0.
Le të gjejmë diskriminuesin e ekuacionit
Llogaritja e rrënjëve të ekuacionit 
Nëse x=11, Se 18 = 7, e kundërta është gjithashtu e vërtetë (nëse x=7, atëherë 21's=9).
Detyra 6. Faktorioni ekuacionin kuadratik 10x 2 -11x+3=0.
Zgjidhje: Le të llogarisim rrënjët e ekuacionit, për ta bërë këtë gjejmë diskriminuesin 
Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në formulën rrënjësore dhe llogarisim 
Zbatojmë formulën për zbërthimin e një ekuacioni kuadratik sipas rrënjëve 
Duke hapur kllapat marrim një identitet.
Ekuacioni kuadratik me parametër
Shembulli 1. Në cilat vlera parametrash A, a ka një rrënjë ekuacioni (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?
Zgjidhje: Me zëvendësim të drejtpërdrejtë të vlerës a=3 shohim se nuk ka zgjidhje. Më pas, do të përdorim faktin që me një diskriminues zero, ekuacioni ka një rrënjë të shumëzimit 2. Le të shkruajmë diskriminuesin 
Le ta thjeshtojmë dhe ta barazojmë me zero
Ne kemi marrë një ekuacion kuadratik në lidhje me parametrin a, zgjidhja e të cilit mund të merret lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi i tyre është 12. Me kërkim të thjeshtë konstatojmë se numrat 3,4 do të jenë rrënjët e ekuacionit. Meqenëse ne kemi refuzuar tashmë zgjidhjen a=3 në fillim të llogaritjeve, e vetmja e saktë do të jetë - a=4. Kështu, kur a=4 ekuacioni ka një rrënjë.
Shembulli 2. Në cilat vlera parametrash A, ekuacioni a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ka më shumë se një rrënjë?
Zgjidhja: Le të shqyrtojmë fillimisht pikat njëjës, ato do të jenë vlerat a=0 dhe a=-3. Kur a=0, ekuacioni do të thjeshtohet në formën 6x-9=0; x=3/2 dhe do të ketë një rrënjë. Për a= -3 marrim identitetin 0=0.
Le të llogarisim diskriminuesin 
dhe gjeni vlerën e a në të cilën është pozitive 
Nga kushti i parë marrim a>3. Për të dytën, gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit 
Le të përcaktojmë intervalet ku merr funksioni vlerat pozitive. Duke zëvendësuar pikën a=0 marrim 3>0
.
Pra, jashtë intervalit (-3;1/3) funksioni është negativ. Mos harroni pikën a=0, e cila duhet të përjashtohet sepse ekuacioni origjinal ka një rrënjë në të.
Si rezultat, marrim dy intervale që plotësojnë kushtet e problemit 
Do të ketë shumë detyra të ngjashme në praktikë, përpiquni t'i kuptoni vetë detyrat dhe mos harroni të merrni parasysh kushtet që janë reciprokisht ekskluzive. Studioni mirë formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike ato shpesh nevojiten gjatë llogaritjes; detyra të ndryshme dhe shkencat.
Le të punojmë me ekuacionet kuadratike. Këto janë ekuacione shumë të njohura! Në formën e tij më të përgjithshme, një ekuacion kuadratik duket si ky:
Për shembull:
Këtu A =1; b = 3; c = -4
Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2
Këtu A =-3; b = 6; c = -18
Epo, ju e kuptoni ...
Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike? Nëse keni një ekuacion kuadratik para jush në këtë formë, atëherë gjithçka është e thjeshtë. Mbani mend fjalën magjike diskriminuese . Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim. Pra, formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:
Shprehja nën shenjën e rrënjës është ajo diskriminuese. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Kjo është formula që ne llogarisim. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, për ekuacionin e parë A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:
Shembulli është pothuajse i zgjidhur:
Kjo është ajo.
Cilat raste janë të mundshme kur përdoret kjo formulë? Janë vetëm tre raste.
1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo dobët është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.
2. Diskriminuesi është zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por kjo luan një rol në pabarazitë, ku do ta studiojmë çështjen në mënyrë më të detajuar.
3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Oh mirë. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.
Është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...
Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, bëje atë!
Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:
Këtu a = -6; b = -5; c = -1
Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.
Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:
Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të funksionojë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!
Pra, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nepermjet diskriminuesit kujtuam. Ose ata mësuan, gjë që është gjithashtu e mirë. Ju e dini se si të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. A e kuptove këtë fjalë kyçe Këtu - me vëmendje?
Sidoqoftë, ekuacionet kuadratike shpesh duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:
Kjo ekuacionet kuadratike jo të plota . Ato mund të zgjidhen edhe nëpërmjet një diskriminuesi. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. a, b dhe c.
E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; A c? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo është ajo. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me, A b !
Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë diskriminim. Le të shqyrtojmë të parën ekuacion jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.
Pra, çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk funksionon? Kjo është ajo ...
Prandaj, mund të shkruajmë me besim: x = 0, ose x = 4
Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë se përdorimi i një diskriminuesi.
Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:
Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë:
Gjithashtu dy rrënjë . x = +3 dhe x = -3.
Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.
Është jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën e X-it, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të nxjerrë nga kllapa...
Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...
Takimi i parë. Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:
Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, pastaj pa katror, pastaj termi i lirë. Si kjo:
Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:
Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.
Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar e fundit ekuacioni. ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj
. Nëse nuk funksionon, kjo do të thotë që tashmë keni dështuar diku. Kërkoni për gabimin. Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë b Me përballë
i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient b, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1. Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Të gjitha më pak gabime do.
Pritja e treta. Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emërues i përbashkët, siç përshkruhet në seksionin e mëparshëm. Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...
Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.
Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:
Kjo është ajo! Zgjidhja është një kënaqësi!
Pra, le të përmbledhim temën.
1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.
2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.
3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës.
4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës. Bëje atë!
Ekuacionet thyesore. ODZ.
Ne vazhdojmë të zotërojmë ekuacionet. Tashmë dimë të punojmë me ekuacione lineare dhe kuadratike. Qëndroi pamje e fundit – ekuacionet thyesore. Ose ata quhen gjithashtu shumë më me respekt - ekuacionet racionale thyesore. Është e njëjta gjë.
Ekuacionet thyesore.
Siç nënkupton edhe emri, këto ekuacione përmbajnë domosdoshmërisht fraksione. Por jo vetëm thyesat, por thyesat që kanë i panjohur në emërues. Të paktën në një. Për shembull:
Më lejoni t'ju kujtoj se nëse emëruesit janë vetëm numrat, këto janë ekuacione lineare.
Si të vendosni ekuacionet thyesore? Para së gjithash, hiqni qafe thyesat! Pas kësaj, ekuacioni më së shpeshti kthehet në linear ose kuadratik. Dhe atëherë dimë çfarë të bëjmë... Në disa raste mund të kthehet në një identitet, si p.sh. 5=5 ose një shprehje e pasaktë, si p.sh. 7=2. Por kjo ndodh rrallë. Këtë do ta përmend më poshtë.
Por si të shpëtojmë nga fraksionet!? Shumë e thjeshtë. Duke aplikuar të njëjtat transformime identike.
Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me të njëjtën shprehje. Kështu që të gjithë emëruesit reduktohen! Gjithçka do të bëhet menjëherë më e lehtë. Më lejoni të shpjegoj me një shembull. Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin:
Si keni mësuar në shkollën fillore? Ne lëvizim gjithçka në njërën anë, e sjellim atë në një emërues të përbashkët, etj. Harrojeni se si ëndërr e keqe! Kjo është ajo që duhet të bëni kur shtoni ose zbritni thyesa. Ose punoni me pabarazi. Dhe në ekuacione, ne i shumëzojmë menjëherë të dyja anët me një shprehje që do të na japë mundësinë të zvogëlojmë të gjithë emëruesit (d.m.th., në thelb, me një emërues të përbashkët). Dhe çfarë është kjo shprehje?
Në anën e majtë, zvogëlimi i emëruesit kërkon shumëzim me x+2. Dhe në të djathtë, kërkohet shumëzim me 2 Kjo do të thotë se ekuacioni duhet të shumëzohet me 2 (x+2). Shumëzo:
Ky është një shumëzim i zakonshëm i thyesave, por unë do ta përshkruaj atë në detaje:
Ju lutem vini re se nuk po e hap ende kllapin (x + 2)! Pra, në tërësi, po e shkruaj:
Në anën e majtë kontraktohet plotësisht (x+2), dhe në të djathtë 2. Kjo është ajo që kërkohej! Pas reduktimit marrim lineare ekuacioni:
Dhe të gjithë mund ta zgjidhin këtë ekuacion! x = 2.
Le të zgjidhim një shembull tjetër, pak më të komplikuar:
Nëse kujtojmë se 3 = 3/1, dhe 2x = 2x/ 1, mund të shkruajmë:
Dhe përsëri ne heqim qafe atë që nuk na pëlqen vërtet - fraksionet.
Ne shohim se për të zvogëluar emëruesin me X, duhet të shumëzojmë thyesën me (x – 2). Dhe disa nuk janë pengesë për ne. Epo, le të shumëzohemi. Të gjitha anën e majtë dhe të gjitha ana e djathtë:
Përsëri kllapa (x – 2) Nuk po zbuloj. Unë punoj me kllapa në tërësi sikur të ishte një numër! Kjo duhet bërë gjithmonë, përndryshe asgjë nuk do të reduktohet.
Me një ndjenjë kënaqësie të thellë ne reduktojmë (x – 2) dhe marrim një ekuacion pa asnjë thyesë, me një vizore!
Tani le të hapim kllapat:
Ne sjellim të ngjashme, lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe marrim:
Ekuacioni klasik kuadratik. Por minusi përpara nuk është i mirë. Ju gjithmonë mund të shpëtoni prej tij duke shumëzuar ose pjesëtuar me -1. Por nëse shikoni me vëmendje shembullin, do të vini re se është mirë që ky ekuacion të pjesëtohet me -2! Me një goditje, minusi do të zhduket dhe shanset do të bëhen më tërheqëse! Pjestojeni me -2. Në anën e majtë - term për term, dhe në të djathtë - thjesht ndajeni zeron me -2, zero dhe marrim:
Ne zgjidhim përmes diskriminuesit dhe kontrollojmë duke përdorur teoremën e Vieta-s. marrim x = 1 dhe x = 3. Dy rrënjë.
Siç mund ta shihni, në rastin e parë ekuacioni pas transformimit u bë linear, por këtu ai bëhet kuadratik. Ndodh që pas heqjes së thyesave, të gjitha X-të reduktohen. Diçka mbetet, si 5=5. Kjo do të thotë se x mund të jetë çdo gjë. Sido që të jetë, do të reduktohet përsëri. Dhe rezulton të jetë e vërtetë e pastër, 5=5. Por, pas heqjes së thyesave, mund të rezultojë krejtësisht e pavërtetë, si 2=7. Dhe kjo do të thotë se asnjë zgjidhje! Çdo X rezulton të jetë e pavërtetë.
E realizuar mënyra kryesore zgjidhjet ekuacionet thyesore? Është e thjeshtë dhe logjike. Ne ndryshojmë shprehjen origjinale në mënyrë që gjithçka që nuk na pëlqen të zhduket. Ose ndërhyn. Në këtë rast, këto janë thyesa. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha llojet e shembuj kompleks me logaritme, sinus dhe tmerre të tjera. ne Gjithmonë Le të shpëtojmë nga e gjithë kjo.
Megjithatë, ne duhet të ndryshojmë shprehjen origjinale në drejtimin që na nevojitet sipas rregullave, po... Mjeshtëria e së cilës është përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Pra, ne po e zotërojmë atë.
Tani do të mësojmë se si të anashkalojmë njërën prej tyre pritat kryesore në Provimin e Bashkuar të Shtetit! Por së pari, le të shohim nëse bie në të apo jo?
Le të shohim një shembull të thjeshtë:
Çështja është tashmë e njohur, ne i shumëzojmë të dyja palët (x – 2), marrim:
Ju kujtoj, me kllapa (x – 2) Ne punojmë sikur me një shprehje integrale!
Këtu nuk shkrova më një në emërues, është i padinjshëm... Dhe nuk kam vizatuar kllapa në emërues, përveç x – 2 nuk ka asgjë, nuk duhet të vizatoni. Le të shkurtojmë:
Hapni kllapat, lëvizni gjithçka në të majtë dhe jepni të ngjashme:
Ne zgjidhim, kontrollojmë, marrim dy rrënjë. x = 2 Dhe x = 3. E madhe.
Supozoni se detyra thotë të shkruani rrënjën, ose shumën e tyre nëse ka më shumë se një rrënjë. Çfarë do të shkruajmë?
Nëse vendosni që përgjigja është 5, ju u zunë pritë. Dhe detyra nuk do t'ju besohet. Punuan kot... Përgjigjja e saktë 3.
Ç'është puna?! Dhe ju përpiqeni të bëni një kontroll. Zëvendësoni vlerat e të panjohurës në origjinale shembull. Dhe nëse në x = 3 gjithçka do të rritet së bashku mrekullisht, marrim 9 = 9, atëherë kur x = 2 Do të pjesëtohet me zero! Ajo që nuk mund ta bëni absolutisht. Mjetet x = 2 nuk është zgjidhje dhe nuk merret parasysh në përgjigje. Kjo është e ashtuquajtura rrënjë e jashtme ose shtesë. Ne thjesht e hedhim poshtë atë. Rrënja përfundimtare është një. x = 3.
Si kështu?! – Dëgjoj pasthirrma të indinjuara. Na mësuan se një ekuacion mund të shumëzohet me një shprehje! Ky është një transformim identik!
Po, identike. Në një kusht të vogël - shprehja me të cilën ne shumëzojmë (pjestojmë) - të ndryshme nga zero. A x – 2 në x = 2është e barabartë me zero! Pra, gjithçka është e drejtë.
Pra, çfarë duhet të bëjmë tani?! Mos shumëzoni me shprehje? A duhet të kontrolloj çdo herë? Përsëri është e paqartë!
Me qetësi! Mos u trembni!
Në këtë situatë të vështirë, tre shkronja magjike do të na shpëtojnë. Unë e di se çfarë po mendoni. E drejtë! Kjo ODZ . Zona e vlerave të pranueshme.
