≡× MENU

• Brendshme
• Dritaret
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Çfarë është një ekuacion i plotë kuadratik. Shembuj të përcaktimit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës jo të plotë

Niveli i hyrjes

Ekuacionet kuadratike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e saktë ekuacionet kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe t'i rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ekuacioni i dhënëështë katror!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

E shihni, është tkurrur - dhe tani është e thjeshtë ekuacioni linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Sepse ne dimë të nxjerrim rrënjë katrore, atëherë le të shprehemi nga ky ekuacion

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të heqim dorë nga shembujt.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e grupit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Madje e paplotë.

A e keni vënë re rrënjën diskriminuese në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse atëherë ekuacioni ka rrënjë të njëjta, por në thelb një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) abshisë. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të thuash rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vieta:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë se rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të ndryshoreve, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

NË pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:

Më poshtë vijon: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ose x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Pasi të keni mësuar të zgjidhni ekuacione të shkallës së parë, sigurisht që dëshironi të punoni me të tjerët, veçanërisht me ekuacionet e shkallës së dytë, të cilat quhen ndryshe kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë ekuacione si ax² + bx + c = 0, ku ndryshorja është x, numrat janë a, b, c, ku a nuk është e barabartë me zero.

Nëse në një ekuacion kuadratik njëri ose tjetri koeficient (c ose b) është i barabartë me zero, atëherë ky ekuacion do të klasifikohet si një ekuacion kuadratik jo i plotë.

Si të zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë nëse nxënësit deri tani kanë mundur të zgjidhin vetëm ekuacione të shkallës së parë? Merrni parasysh ekuacionet kuadratike jo të plota lloje të ndryshme dhe mënyra të thjeshta për t'i zgjidhur ato.

a) Nëse koeficienti c është i barabartë me 0, dhe koeficienti b nuk është i barabartë me zero, atëherë ax ² + bx + 0 = 0 reduktohet në një ekuacion të formës ax ² + bx = 0.

Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, duhet të dini formulën për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë, i cili konsiston në faktorizimin e anës së majtë të tij dhe më vonë përdorimin e kushtit që produkti të jetë i barabartë me zero.

Për shembull, 5x² - 20x = 0. Ne faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit, ndërsa kryejmë operacionin e zakonshëm matematikor: duke nxjerrë faktorin e përbashkët nga kllapat

5x (x - 4) = 0

Ne përdorim kushtin që produktet të jenë të barabarta me zero.

5 x = 0 ose x - 4 = 0

Përgjigja do të jetë: rrënja e parë është 0; rrënja e dytë është 4.

b) Nëse b = 0, dhe termi i lirë nuk është i barabartë me zero, atëherë ekuacioni ax ² + 0x + c = 0 reduktohet në një ekuacion të formës ax ² + c = 0. Ekuacionet zgjidhen në dy mënyra : a) duke faktorizuar polinomin e ekuacionit në anën e majtë; b) duke përdorur vetitë e rrënjës katrore aritmetike. Një ekuacion i tillë mund të zgjidhet duke përdorur një nga metodat, për shembull:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Përgjigja do të jetë: rrënja e parë është 5/2; rrënja e dytë është e barabartë me - 5/2.

c) Nëse b është e barabartë me 0 dhe c është e barabartë me 0, atëherë ax ² + 0 + 0 = 0 reduktohet në një ekuacion të formës ax ² = 0. Në një ekuacion të tillë x do të jetë i barabartë me 0.

Siç mund ta shihni, ekuacionet kuadratike jo të plota mund të kenë jo më shumë se dy rrënjë.

Duke vazhduar temën "Zgjidhja e ekuacioneve", materiali në këtë artikull do t'ju prezantojë me ekuacionet kuadratike.

Le të shohim gjithçka në detaje: thelbin dhe shënimin e një ekuacioni kuadratik, të përcaktojmë termat shoqërues, të analizojmë skemën e zgjidhjes së ekuacioneve jo të plota dhe të plota, të njihemi me formulën e rrënjëve dhe diskriminuesin, të vendosim lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve, dhe sigurisht do t'u japim një zgjidhje vizuale shembujve praktikë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ekuacioni kuadratik, llojet e tij

Përkufizimi 1

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i shkruar si a x 2 + b x + c = 0, Ku x– ndryshorja, a , b dhe c– disa numra, ndërsa a nuk është zero.

Shpesh, ekuacionet kuadratike quhen edhe ekuacione të shkallës së dytë, pasi në thelb një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë.

Le të japim një shembull për ta ilustruar përkufizimi i dhënë: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi 2

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ndërsa koeficienti a quhet i pari, ose i lartë, ose koeficienti në x 2, b - koeficienti i dytë, ose koeficienti në x, A c quhet anëtar i lirë.

Për shembull, në ekuacionin kuadratik 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 koeficienti kryesor është 6, koeficienti i dytë është − 2 , dhe termi i lirë është i barabartë me − 11 . Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se kur koeficientët b dhe/ose c janë negative, pastaj përdorni formë e shkurtër rekorde si 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, jo 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Le të sqarojmë edhe këtë aspekt: ​​nëse koeficientët a dhe/ose b të barabartë 1 ose − 1 , atëherë ata mund të mos marrin pjesë eksplicite në shkrimin e ekuacionit kuadratik, gjë që shpjegohet me veçoritë e shkrimit të koeficientëve numerikë të treguar. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 − y + 7 = 0 koeficienti kryesor është 1, dhe koeficienti i dytë është − 1 .

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në bazë të vlerës së koeficientit të parë, ekuacionet kuadratike ndahen në të reduktuara dhe të pareduktuara.

Përkufizimi 3

Ekuacioni kuadratik i reduktuarështë një ekuacion kuadratik ku koeficienti kryesor është 1. Për vlerat e tjera të koeficientit kryesor, ekuacioni kuadratik nuk është i reduktuar.

Le të japim shembuj: reduktohen ekuacionet kuadratike x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, në secilën prej të cilave koeficienti kryesor është 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ekuacioni kuadratik i pareduktuar, ku koeficienti i parë është i ndryshëm nga 1 .

Çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar mund të shndërrohet në një ekuacion të reduktuar duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin e parë (transformim ekuivalent). Ekuacioni i transformuar do të ketë të njëjtat rrënjë si ekuacioni i dhënë i pareduktuar ose gjithashtu nuk do të ketë rrënjë fare.

konsiderata shembull konkret do të na lejojë të demonstrojmë qartë kalimin nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembulli 1

Jepet ekuacioni 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Është e nevojshme të konvertohet ekuacioni origjinal në formën e reduktuar.

Zgjidhje

Sipas skemës së mësipërme, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 6. Pastaj marrim: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, dhe kjo është e njëjtë si: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dhe më tej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Nga këtu: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kështu, fitohet një ekuacion i barabartë me atë të dhënë.

Përgjigje: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Le të kthehemi te përkufizimi i një ekuacioni kuadratik. Në të kemi specifikuar se a ≠ 0. Një kusht i ngjashëm është i nevojshëm për ekuacionin a x 2 + b x + c = 0 ishte pikërisht katror, ​​që në a = 0 në thelb shndërrohet në një ekuacion linear b x + c = 0.

Në rastin kur koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero (që është e mundur, individualisht dhe së bashku), ekuacioni kuadratik quhet i paplotë.

Përkufizimi 4

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion i tillë kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ku të paktën një nga koeficientët b Dhe c(ose të dyja) është zero.

Ekuacioni i plotë kuadratik– një ekuacion kuadratik në të cilin të gjithë koeficientët numerikë nuk janë të barabartë me zero.

Le të diskutojmë pse llojeve të ekuacioneve kuadratike u jepen pikërisht këta emra.

Kur b = 0, ekuacioni kuadratik merr formën a x 2 + 0 x + c = 0, e cila është e njëjtë si a x 2 + c = 0. Në c = 0 ekuacioni kuadratik i shkruar si a x 2 + b x + 0 = 0, që është ekuivalente a x 2 + b x = 0. Në b = 0 Dhe c = 0 ekuacioni do të marrë formën a x 2 = 0. Ekuacionet që përftuam ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë ose të dyja. Në fakt, ky fakt i dha emrin këtij lloj ekuacioni - i paplotë.

Për shembull, x 2 + 3 x + 4 = 0 dhe − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 janë ekuacione të plota kuadratike; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Përkufizimi i dhënë më sipër bën të mundur nënvizimin llojet e mëposhtme ekuacionet kuadratike jo të plota:

• a x 2 = 0, ky ekuacion korrespondon me koeficientët b = 0 dhe c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 në b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 në c = 0.

Le të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjen e secilit lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 =0

Siç u përmend më lart, ky ekuacion korrespondon me koeficientët b Dhe c, e barabartë me zero. Ekuacioni a x 2 = 0 mund të shndërrohet në një ekuacion ekuivalent x 2 = 0, të cilin e marrim duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit origjinal me numrin a, jo e barabartë me zero. Fakti i qartë është se rrënja e ekuacionit x 2 = 0 kjo është zero sepse 0 2 = 0 . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që mund të shpjegohet me vetitë e shkallës: për çdo numër p, jo e barabartë me zero, pabarazia është e vërtetë p 2 > 0, nga ku rrjedh se kur p ≠ 0 barazisë p 2 = 0 nuk do të arrihet kurrë.

Përkufizimi 5

Kështu, për ekuacionin kuadratik jo të plotë a x 2 = 0 ka një rrënjë të vetme x = 0.

Shembulli 2

Për shembull, le të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë − 3 x 2 = 0. Është ekuivalente me ekuacionin x 2 = 0, rrënja e vetme e saj është x = 0, atëherë ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme - zero.

Shkurtimisht, zgjidhja shkruhet si më poshtë:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 + c = 0

Në radhë është zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota, ku b = 0, c ≠ 0, pra ekuacionet e formës a x 2 + c = 0. Le ta transformojmë këtë ekuacion duke lëvizur një term nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në anën e kundërt dhe duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me një numër që nuk është i barabartë me zero:

• transferimi c në anën e djathtë, e cila jep ekuacionin a x 2 = − c;
• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me a, përfundojmë me x = - c a .

Transformimet tona janë ekuivalente, në përputhje me rrethanat, ekuacioni që rezulton është gjithashtu i barabartë me atë origjinal, dhe ky fakt bën të mundur nxjerrjen e përfundimeve në lidhje me rrënjët e ekuacionit. Nga ato që janë vlerat a Dhe c vlera e shprehjes - c a varet: mund të ketë një shenjë minus (për shembull, nëse a = 1 Dhe c = 2, atëherë - c a = - 2 1 = - 2) ose një shenjë plus (për shembull, nëse a = - 2 Dhe c = 6, atëherë - c a = - 6 - 2 = 3); nuk është zero sepse c ≠ 0. Le të ndalemi më gjerësisht në situatat kur - c a< 0 и - c a > 0 .

Në rastin kur - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа fq barazia p 2 = - c a nuk mund të jetë e vërtetë.

Gjithçka është ndryshe kur - c a > 0: mbani mend rrënjën katrore dhe do të bëhet e qartë se rrënja e ekuacionit x 2 = - c a do të jetë numri - c a, pasi - c a 2 = - c a. Nuk është e vështirë të kuptohet se numri - - c a është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 = - c a: në të vërtetë, - - c a 2 = - c a.

Ekuacioni nuk do të ketë rrënjë të tjera. Këtë mund ta demonstrojmë duke përdorur metodën e kontradiktës. Për të filluar, le të përcaktojmë shënimet për rrënjët e gjetura më sipër si x 1 Dhe − x 1. Le të supozojmë se ekuacioni x 2 = - c a ka gjithashtu një rrënjë x 2, e cila është e ndryshme nga rrënjët x 1 Dhe − x 1. Ne e dimë se duke e zëvendësuar në ekuacion x rrënjët e tij, ne e transformojmë ekuacionin në një barazi të drejtë numerike.

Për x 1 Dhe − x 1 shkruajmë: x 1 2 = - c a , dhe për x 2- x 2 2 = - c a . Bazuar në vetitë e barazive numerike, ne zbresim një term të saktë të barazisë për term nga një tjetër, i cili do të na japë: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ne përdorim vetitë e veprimeve me numra për të rishkruar barazinë e fundit si (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Dihet se prodhimi i dy numrave është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga numrat është zero. Nga sa më sipër rezulton se x 1 − x 2 = 0 dhe/ose x 1 + x 2 = 0, e cila është e njëjtë x 2 = x 1 dhe/ose x 2 = − x 1. U ngrit një kontradiktë e dukshme, sepse në fillim u ra dakord që rrënja e ekuacionit x 2 të ndryshme nga x 1 Dhe − x 1. Pra, kemi vërtetuar se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç x = - c a dhe x = - - c a.

Le të përmbledhim të gjitha argumentet e mësipërme.

Përkufizimi 6

Ekuacion kuadratik jo i plotë a x 2 + c = 0është ekuivalente me ekuacionin x 2 = - c a, i cili:

• nuk do të ketë rrënjë në - c a< 0 ;
• do të ketë dy rrënjë x = - c a dhe x = - - c a për - c a > 0.

Le të japim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve a x 2 + c = 0.

Shembulli 3

Jepet një ekuacion kuadratik 9 x 2 + 7 = 0.Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje.

Zgjidhje

Le ta zhvendosim termin e lirë në anën e djathtë të ekuacionit, atëherë ekuacioni do të marrë formën 9 x 2 = − 7.
Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9 , arrijmë në x 2 = - 7 9 . Në anën e djathtë shohim një numër me shenjën minus, që do të thotë: y ekuacioni i dhënë pa rrënjë. Pastaj ekuacioni origjinal jo i plotë kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 nuk do të ketë rrënjë.

Përgjigje: ekuacioni 9 x 2 + 7 = 0 nuk ka rrënjë.

Shembulli 4

Ekuacioni duhet të zgjidhet − x 2 + 36 = 0.

Zgjidhje

Le të lëvizim 36 në anën e djathtë: − x 2 = − 36.
Le t'i ndajmë të dyja pjesët me − 1 , marrim x 2 = 36. Në anën e djathtë është një numër pozitiv, nga i cili mund të konkludojmë se x = 36 ose x = - 36 .
Le të nxjerrim rrënjën dhe të shkruajmë rezultatin përfundimtar: ekuacion kuadratik jo i plotë − x 2 + 36 = 0 ka dy rrënjë x=6 ose x = - 6.

Përgjigje: x=6 ose x = - 6.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 +b x=0

Le të analizojmë llojin e tretë të ekuacioneve kuadratike jo të plota, kur c = 0. Për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik jo të plotë a x 2 + b x = 0, do të përdorim metodën e faktorizimit. Le të faktorizojmë polinomin që është në anën e majtë të ekuacionit, duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat x. Ky hap do të bëjë të mundur transformimin e ekuacionit kuadratik jo të plotë origjinal në ekuivalentin e tij x (a x + b) = 0. Dhe ky ekuacion, nga ana tjetër, është i barabartë me një grup ekuacionesh x = 0 Dhe a x + b = 0. Ekuacioni a x + b = 0 lineare dhe rrënja e saj: x = − b a.

Përkufizimi 7

Kështu, ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 + b x = 0 do të ketë dy rrënjë x = 0 Dhe x = − b a.

Le ta përforcojmë materialin me një shembull.

Shembulli 5

Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje për ekuacionin 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Zgjidhje

Do ta nxjerrim x jashtë kllapave marrim ekuacionin x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ky ekuacion është i barabartë me ekuacionet x = 0 dhe 2 3 x - 2 2 7 = 0. Tani duhet të zgjidhni ekuacionin linear që rezulton: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Shkruani shkurtimisht zgjidhjen e ekuacionit si më poshtë:

2 3 x 2 - 2 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose x = 3 3 7

Përgjigje: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të gjetur zgjidhje për ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore:

Përkufizimi 8

x = - b ± D 2 · a, ku D = b 2 − 4 a c– i ashtuquajturi diskriminues i një ekuacioni kuadratik.

Shkrimi i x = - b ± D 2 · a në thelb do të thotë se x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Do të ishte e dobishme të kuptonim se si është nxjerrë kjo formulë dhe si të zbatohet.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të përballemi me detyrën e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Le të kryejmë një numër transformimesh ekuivalente:

• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me një numër a, ndryshe nga zero, marrim ekuacionin kuadratik të mëposhtëm: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Le të zgjedhim katrorin e plotë në anën e majtë të ekuacionit që rezulton:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Tani është e mundur të transferohen dy termat e fundit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën, pas së cilës marrim: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Së fundi, ne transformojmë shprehjen e shkruar në anën e djathtë të barazisë së fundit:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Kështu, arrijmë në ekuacionin x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekuivalent me ekuacionin origjinal a x 2 + b x + c = 0.

Zgjidhjen e ekuacioneve të tilla e shqyrtuam në paragrafët e mëparshëm (zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota). Përvoja e fituar tashmë bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi në lidhje me rrënjët e ekuacionit x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• me b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kur b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ekuacioni është x + b 2 · a 2 = 0, atëherë x + b 2 · a = 0.

Prej këtu e vetmja rrënjë x = - b 2 · a është e dukshme;

• për b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, do të jetë e vërtetë: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ose x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , e cila është e njëjtë me x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ose x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , d.m.th. ekuacioni ka dy rrënjë.

Mund të konkludohet se prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dhe për rrjedhojë ekuacioni origjinal) varet nga shenja e shprehjes b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 i shkruar në anën e djathtë. Dhe shenja e kësaj shprehjeje jepet me shenjën e numëruesit, (emëruesi 4 a 2 do të jetë gjithmonë pozitive), domethënë shenja e shprehjes b 2 − 4 a c. Kjo shprehje b 2 − 4 a c jepet emri - diskriminuesi i ekuacionit kuadratik dhe si emërtim i tij përcaktohet shkronja D. Këtu mund të shkruani thelbin e diskriminuesit - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata mund të konkludojnë nëse ekuacioni kuadratik do të ketë rrënjë reale, dhe, nëse po, cili është numri i rrënjëve - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Le ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Le të formulojmë përsëri përfundimet tona:

Përkufizimi 9

• në D< 0 ekuacioni nuk ka rrënjë reale;
• në D=0 ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = - b 2 · a ;
• në D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ose x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Në bazë të vetive të radikaleve, këto rrënjë mund të shkruhen në formën: x = - b 2 · a + D 2 · a ose - b 2 · a - D 2 · a. Dhe, kur zgjerojmë modulet dhe reduktojmë fraksionet në emërues i përbashkët, marrim: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Pra, rezultati i arsyetimit tonë ishte derivimi i formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminues D llogaritur me formulë D = b 2 − 4 a c.

Këto formula bëjnë të mundur përcaktimin e të dy rrënjëve reale kur diskriminuesi është më i madh se zero. Kur diskriminuesi është zero, aplikimi i të dyja formulave do të japë të njëjtën rrënjë si zgjidhjen e vetme të ekuacionit kuadratik. Në rastin kur diskriminuesi është negativ, nëse përpiqemi të përdorim formulën e rrënjës kuadratike, do të përballemi me nevojën për të marrë rrënjën katrore të një numri negativ, gjë që do të na çojë përtej numra realë. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk do të ketë rrënjë reale, por është i mundur një çift rrënjësh komplekse të konjuguara, të përcaktuara nga të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Është e mundur të zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur menjëherë formulën e rrënjës, por kjo zakonisht bëhet kur është e nevojshme të gjenden rrënjë komplekse.

Në shumicën e rasteve, zakonisht nënkupton kërkimin jo të kompleksit, por të rrënjëve reale të një ekuacioni kuadratik. Më pas është optimale, përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, që fillimisht të përcaktohet diskriminuesi dhe të sigurohemi që ai të mos jetë negativ (përndryshe do të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale), dhe më pas të vazhdojmë të llogarisim vlera e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm bën të mundur formulimin e një algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 10

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, e nevojshme:

• sipas formulës D = b 2 − 4 a c gjeni vlerën diskriminuese;
• në D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• për D = 0, gjeni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën x = - b 2 · a ;
• për D > 0, përcaktoni dy rrënjë reale të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulën x = - b ± D 2 · a.

Vini re se kur diskriminuesi është zero, mund të përdorni formulën x = - b ± D 2 · a, ajo do të japë të njëjtin rezultat si formula x = - b 2 · a.

Le të shohim shembuj.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të japim një zgjidhje për shembujt për kuptime të ndryshme diskriminuese.

Shembulli 6

Duhet të gjejmë rrënjët e ekuacionit x 2 + 2 x − 6 = 0.

Zgjidhje

Le të shkruajmë koeficientët numerikë të ekuacionit kuadratik: a = 1, b = 2 dhe c = - 6. Më pas vazhdojmë sipas algoritmit, d.m.th. Le të fillojmë llogaritjen e diskriminuesit, për të cilin do të zëvendësojmë koeficientët a, b. Dhe c në formulën diskriminuese: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Pra marrim D > 0, që do të thotë se ekuacioni origjinal do të ketë dy rrënjë reale.
Për t'i gjetur ato, ne përdorim formulën rrënjë x = - b ± D 2 · a dhe, duke zëvendësuar vlerat përkatëse, marrim: x = - 2 ± 28 2 · 1. Le të thjeshtojmë shprehjen që rezulton duke hequr faktorin nga shenja e rrënjës dhe më pas duke zvogëluar thyesën:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ose x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ose x = - 1 - 7

Përgjigje: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Shembulli 7

Nevoja për të zgjidhur një ekuacion kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Zgjidhje

Le të përcaktojmë diskriminuesin: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Me këtë vlerë të diskriminuesit, ekuacioni origjinal do të ketë vetëm një rrënjë, e përcaktuar me formulën x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Përgjigje: x = 3,5.

Shembulli 8

Ekuacioni duhet të zgjidhet 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Zgjidhje

Koeficientët numerikë të këtij ekuacioni do të jenë: a = 5, b = 6 dhe c = 2. Ne përdorim këto vlera për të gjetur diskriminuesin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminuesi i llogaritur është negativ, kështu që ekuacioni kuadratik origjinal nuk ka rrënjë reale.

Në rastin kur detyra është të tregojmë rrënjë komplekse, ne aplikojmë formulën rrënjësore, duke kryer veprime me numra komplekse:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ose x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ose x = - 3 5 - 1 5 · i.

Përgjigje: nuk ka rrënjë të vërteta; rrënjët komplekse janë si më poshtë: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Në kurrikulën e shkollës, nuk ekziston një kërkesë standarde për të kërkuar rrënjë komplekse, prandaj, nëse gjatë zgjidhjes përcaktohet se diskriminuesi është negativ, menjëherë shkruhet përgjigjja se nuk ka rrënjë të vërteta.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula e rrënjës x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) bën të mundur marrjen e një formule tjetër, më kompakte, duke lejuar që dikush të gjejë zgjidhje për ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x ( ose me një koeficient të formës 2 · n, për shembull, 2 3 ose 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Le të tregojmë se si rrjedh kjo formulë.

Le të përballemi me detyrën për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ne vazhdojmë sipas algoritmit: përcaktojmë diskriminuesin D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Shprehja n 2 − a · c le të shënohet si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 · n do të marrë formën:

x = - n ± D 1 a, ku D 1 = n 2 − a · c.

Është e lehtë të shihet se D = 4 · D 1, ose D 1 = D 4. Me fjalë të tjera, D 1 është një e katërta e diskriminuesit. Natyrisht, shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D, që do të thotë se shenja e D 1 mund të shërbejë gjithashtu si një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 11

Kështu, për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë prej 2 n, është e nevojshme:

• gjeni D 1 = n 2 − a · c ;
• në D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kur D 1 = 0, përcaktoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën x = - n a;
• për D 1 > 0, përcaktoni dy rrënjë reale duke përdorur formulën x = - n ± D 1 a.

Shembulli 9

Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Zgjidhje

Koeficientin e dytë të ekuacionit të dhënë mund ta paraqesim si 2 · (− 3) . Pastaj e rishkruajmë ekuacionin e dhënë kuadratik si 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, ku a = 5, n = − 3 dhe c = − 32.

Le të llogarisim pjesën e katërt të diskriminuesit: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Vlera që rezulton është pozitive, që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i përcaktojmë ato duke përdorur formulën përkatëse të rrënjës:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ose x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ose x = - 2

Do të ishte e mundur të kryheshin llogaritjet duke përdorur formulën e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast zgjidhja do të ishte më e rëndë.

Përgjigje: x = 3 1 5 ose x = - 2 .

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë është e mundur të optimizohet forma e ekuacionit origjinal, gjë që do të thjeshtojë procesin e llogaritjes së rrënjëve.

Për shembull, ekuacioni kuadratik 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 është qartësisht më i përshtatshëm për t'u zgjidhur se 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Më shpesh, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik kryhet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dy anët e tij me një numër të caktuar. Për shembull, më lart treguam një paraqitje të thjeshtuar të ekuacionit 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, të marrë duke pjesëtuar të dyja anët me 100.

Një transformim i tillë është i mundur kur koeficientët e ekuacionit kuadratik nuk janë numra koprim. Pastaj zakonisht ndajmë të dyja anët e ekuacionit me më të madhin pjesëtues i përbashkët vlerat absolute koeficientët e saj.

Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Le të përcaktojmë GCD të vlerave absolute të koeficientëve të tij: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6 dhe të marrim ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Duke shumëzuar të dyja anët e një ekuacioni kuadratik, zakonisht shpëtoni nga koeficientët thyesorë. Në këtë rast, ata shumëzohen me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të koeficientëve të tij. Për shembull, nëse secila pjesë e ekuacionit kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 shumëzohet me LCM (6, 3, 1) = 6, atëherë do të shkruhet në më shumë në formë të thjeshtë x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Së fundi, vërejmë se pothuajse gjithmonë heqim qafe minusin në koeficientin e parë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e secilit term të ekuacionit, i cili arrihet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) të dyja anët me - 1. Për shembull, nga ekuacioni kuadratik − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, mund të shkoni në versionin e tij të thjeshtuar 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve

Formula për rrënjët e ekuacioneve kuadratike, tashmë e njohur për ne, x = - b ± D 2 · a, shpreh rrënjët e ekuacionit nëpërmjet koeficientëve të tij numerikë. Bazuar në këtë formulë, ne kemi mundësinë të specifikojmë varësi të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të famshme dhe më të zbatueshme janë teorema e Vieta:

x 1 + x 2 = - b a dhe x 2 = c a.

Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është koeficienti i dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, duke parë formën e ekuacionit kuadratik 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, është e mundur që menjëherë të përcaktohet se shuma e rrënjëve të tij është 7 3 dhe prodhimi i rrënjëve është 22 3.

Ju gjithashtu mund të gjeni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Për shembull, shuma e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik mund të shprehet në terma të koeficientëve:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Përshkrimi bibliografik: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike // Shkencëtar i ri. 2016. Nr 6.1. P. 17-20..02.2019).



Projekti ynë ka të bëjë me mënyrat për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Qëllimi i projektit: Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra që nuk përfshihen në kurrikulën e shkollës. Detyra: gjeni gjithçka mënyrat e mundshme zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe mësimin e përdorimit të tyre vetë dhe prezantimin e këtyre metodave me shokët e klasës.

Cilat janë "ekuacionet kuadratike"?

Ekuacioni kuadratik- ekuacioni i formës sëpatë2 + bx + c = 0, Ku a, b, c- disa numra ( a ≠ 0), x- e panjohur.

Numrat a, b, c quhen koeficientë të ekuacionit kuadratik.

• a quhet koeficienti i parë;
• b quhet koeficienti i dytë;
• c - anëtar i lirë.

Kush ishte i pari që "shpiku" ekuacionet kuadratike?

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë. Zbulimi i pllakave të balta të lashta babilonase, që datojnë diku midis viteve 1800 dhe 1600 para Krishtit, ofron dëshminë më të hershme të studimit të ekuacioneve kuadratike. Të njëjtat tableta përmbajnë metoda për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve kuadratike.

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave parcelat e tokës dhe me punimet tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës.

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme i mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Matematikanët babilonas rreth shekullit të IV para Krishtit. përdori metodën e plotësimit të katrorit për të zgjidhur ekuacionet me rrënjë pozitive. Rreth vitit 300 para Krishtit Euklidi doli me një metodë më të përgjithshme të zgjidhjes gjeometrike. Matematikani i parë që gjeti zgjidhje për ekuacionet me rrënjë negative në formë formula algjebrike, ishte një shkencëtar indian Brahmagupta(Indi, shekulli VII pas Krishtit).

Brahmagupta parashtroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficientët në këtë ekuacion mund të jenë gjithashtu negativë. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu njeri i ditur do të eklipsojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike.” Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Në një traktat algjebrik Al-Kuarizmi jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. ax2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == ax2.

Për Al-Huarizmin, i cili shmangu përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikan italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa të reja shembuj algjebrikë zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm zgjidhja e ekuacioneve kuadratike e reduktuar në një formë të vetme kanonike x2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c u formulua në Evropë në 1544. M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Viète, por Viète njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanë italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ndër të parët në shekullin e 16-të. merrni parasysh, përveç pozitives, dhe rrënjë negative. Vetëm në shekullin e 17-të. falë përpjekjeve Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Le të shohim disa mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike.

Metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike nga programi shkollor:

1. Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.
2. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë.
3. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën.
4. Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik.
5. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të ndalemi më në detaje në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara duke përdorur teoremën e Vieta-s.

Kujtojmë se për të zgjidhur ekuacionet kuadratike të mësipërme, mjafton të gjejmë dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me termin e lirë dhe shuma e të cilëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt.

Shembull.x 2 -5x+6=0

Ju duhet të gjeni numra prodhimi i të cilëve është 6 dhe shuma e të cilëve është 5. Këta numra do të jenë 3 dhe 2.

Përgjigje: x 1 =2, x 2 =3.

Por këtë metodë mund ta përdorni edhe për ekuacione me koeficientin e parë jo të barabartë me një.

Shembull.3x 2 +2x-5=0

Merrni koeficientin e parë dhe shumëzojeni me termin e lirë: x 2 +2x-15=0

Rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë numra, prodhimi i të cilëve është i barabartë me - 15, dhe shuma e të cilëve është e barabartë me - 2. Këta numra janë 5 dhe 3. Për të gjetur rrënjët e ekuacionit origjinal, pjesëtoni rrënjët që rezultojnë me koeficientin e parë.

Përgjigje: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "hedhjes".

Konsideroni ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0, ku a≠0.

Duke shumëzuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Le të ax = y, prej nga x = y/a; atëherë arrijmë në ekuacionin y 2 + nga + ac = 0, ekuivalent me atë të dhënë. Ne i gjejmë rrënjët e tij për 1 dhe 2 duke përdorur teoremën e Vietës.

Më në fund marrim x 1 = y 1 /a dhe x 2 = y 2 /a.

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet metoda e "hedhjes". Kjo metodë përdoret kur mund të gjeni lehtësisht rrënjët e ekuacionit duke përdorur teoremën e Vietës dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Shembull.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Le të "hedhim" koeficientin 2 në termin e lirë dhe të bëjmë një zëvendësim dhe të marrim ekuacionin y 2 - 11y + 30 = 0.

Sipas teoremës së kundërt të Vietës

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Përgjigje: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Nëse a+ b + c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve të ekuacionit është zero), atëherë x 1 = 1.

2. Nëse a - b + c = 0, ose b = a + c, atëherë x 1 = - 1.

Shembull.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Meqenëse a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atëherë x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Përgjigje: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Shembull.132x 2 + 247x + 115 = 0

Sepse a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pastaj x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Përgjigje: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ka veti të tjera të koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. por përdorimi i tyre është më kompleks.

8. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram.

Fig 1. Nomogram

Kjo është një metodë e vjetër dhe aktualisht e harruar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f. 83 të koleksionit: Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0. Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij.

Shkalla curvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave (Fig. 1):

Duke besuar OS = p, ED = q, OE = a(të gjitha në cm), nga Fig. 1 ngjashmëritë e trekëndëshave SAN Dhe CDF marrim proporcionin

e cila, pas zëvendësimeve dhe thjeshtimeve, jep ekuacionin z 2 + pz + q = 0, dhe letrën z nënkupton shenjën e çdo pike në një shkallë të lakuar.

Oriz. 2 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram

Shembuj.

1) Për ekuacionin z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrami i jep rrënjët z 1 = 8,0 dhe z 2 = 1,0

Përgjigje: 8.0; 1.0.

2) Duke përdorur një nomogram, zgjidhim ekuacionin

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Pjesëtojmë koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogrami jep rrënjët z 1 = 4 dhe z 2 = 0,5.

Përgjigje: 4; 0.5.

9. Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembull.X 2 + 10x = 39.

Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39".

Konsideroni një katror me anë x, drejtkëndëshat janë ndërtuar në anët e tij në mënyrë që ana tjetër e secilës prej tyre të jetë 2.5, prandaj sipërfaqja e secilit është 2.5x. Shifra që rezulton plotësohet më pas me një katror të ri ABCD, duke ndërtuar katër katrorë të barabartë në qoshet, brinja e secilit prej tyre është 2,5 dhe sipërfaqja është 6,25

Oriz. 3 Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacionit x 2 + 10x = 39

Zona S e katrorit ABCD mund të paraqitet si shuma e sipërfaqeve të: katrorit origjinal x 2, katër drejtkëndëshave (4∙2.5x = 10x) dhe katër katrorëve shtesë (6.25∙4 = 25), d.m.th. S = x 2 + 10x = 25. Duke zëvendësuar x 2 + 10x me numrin 39, marrim se S = 39+ 25 = 64, që do të thotë se ana e katrorit është ABCD, d.m.th. segmenti AB = 8. Për anën e kërkuar x të katrorit origjinal fitojmë

10. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Bezout.

Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me binomin x - α është e barabartë me P(α) (d.m.th., vlera e P(x) në x = α).

Nëse numri α është rrënja e polinomit P(x), atëherë ky polinom pjesëtohet me x -α pa mbetje.

Shembull.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Pjestoni P(x) me (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ose x-3=0, x=3; Përgjigje: x1 =2, x2 =3.

konkluzioni: Aftësia për të zgjidhur shpejt dhe me efikasitet ekuacionet kuadratike është thelbësore për zgjidhjen e ekuacioneve më komplekse, të tilla si ekuacionet racionale të pjesshme, ekuacionet e fuqisë më të lartë, ekuacionet bikuadratike dhe, në shkollën e mesme, ekuacionet trigonometrike, eksponenciale dhe logaritmike. Pasi kemi studiuar të gjitha metodat e gjetura për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, ne mund t'i këshillojmë shokët tanë të klasës, përveç metodave standarde, të zgjidhin me metodën e transferimit (6) dhe të zgjidhin ekuacione duke përdorur vetinë e koeficientëve (7), pasi ato janë më të arritshme. për të kuptuar.

Literatura:

1. Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.
2. Algjebra klasa e 8-të: tekst mësimor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky, botimi i 15-të, i rishikuar. - M.: Arsimi, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Manual për mësuesit. / Ed. V.N. Më i ri. - M.: Arsimi, 1964.

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik termi i dytë ka një koeficient çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 e barabartë me një dhe ekuacioni do të marrë formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.