≡× MENU

• Brendshme
• Dritaret
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Çfarë quhet ekuacion linear me një ndryshore. Ekuacionet lineare. Zgjidhje, shembuj. Për të gjetur rrënjën e ekuacionit, duhet të përdorim transformime ekuivalente për të sjellë ekuacionin e dhënë në formën

• Një barazi me një ndryshore quhet ekuacion.
• Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë të gjesh rrënjët e shumta të tij. Një ekuacion mund të ketë një, dy, disa, shumë rrënjë ose asnjë fare.
• Çdo vlerë e një ndryshoreje në të cilën një ekuacion i caktuar kthehet në një barazi të vërtetë quhet rrënjë e ekuacionit.
• Ekuacionet që kanë të njëjtat rrënjë quhen ekuacione ekuivalente.
• Çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e barazisë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e termit në të kundërtën.
• Nëse të dy anët e një ekuacioni shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me ekuacionin e dhënë.

Shembuj. Zgjidhe ekuacionin.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Ne mblodhëm termat që përmbajnë variablin në anën e majtë të barazisë dhe termat e lirë në anën e djathtë të barazisë. Në këtë rast, është përdorur prona e mëposhtme:

1.2x = -6. Terma të ngjashëm janë dhënë sipas rregullit:

x = -6 : 1.2. Të dyja anët e barazisë janë pjesëtuar me koeficientin e ndryshores, pasi

x = -5. Ndani sipas rregullit për pjesëtimin e një thyese dhjetore me një thyesë dhjetore:

Për të ndarë një numër me një thyesë dhjetore, duhet të zhvendosni presjet në dividend dhe pjesëtues djathtas aq shifra sa ka pas pikës dhjetore në pjesëtues, dhe më pas pjesëtoni me një numër natyror:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Përgjigje: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Ne hapëm kllapat duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me zbritjen: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Ne mblodhëm termat që përmbajnë variablin në anën e majtë të barazisë dhe termat e lirë në anën e djathtë të barazisë. Në këtë rast, është përdorur prona e mëposhtme: çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e barazisë në tjetrën, duke ndryshuar kështu shenjën e termit në të kundërtën.

2x = 11. Terma të ngjashëm janë dhënë sipas rregullit: për të sjellë terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e tyre të përbashkët të shkronjës (d.m.th., shtoni pjesën e tyre të shkronjës së përbashkët në rezultatin e marrë).

x = 11 : 2. Të dyja anët e barazisë janë pjesëtuar me koeficientin e ndryshores, pasi Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me ekuacionin e dhënë.

Përgjigje: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Ne hapëm kllapat sipas rregullit për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë "-": nëse ka një shenjë "-" përpara kllapave, atëherë hiqni kllapat, shenjën "-" dhe shkruani termat në kllapa me shenja të kundërta.

7x-2x-x = -9+3. Ne mblodhëm termat që përmbajnë variablin në anën e majtë të barazisë dhe termat e lirë në anën e djathtë të barazisë. Në këtë rast, është përdorur prona e mëposhtme: çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e barazisë në tjetrën, duke ndryshuar kështu shenjën e termit në të kundërtën.

4x = -6. Terma të ngjashëm janë dhënë sipas rregullit: për të sjellë terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të shumëzoni rezultatin që rezulton me pjesën e tyre të përbashkët të shkronjës (d.m.th., shtoni pjesën e tyre të shkronjës së përbashkët në rezultatin e marrë).

x = -6 : 4. Të dyja anët e barazisë janë pjesëtuar me koeficientin e ndryshores, pasi Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me ekuacionin e dhënë.

Përgjigje: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Ne i shumëzuam të dyja anët e ekuacionit me 12 - emëruesi më i ulët i përbashkët për emëruesit e këtyre thyesave.

3x-15 = 84-8x+44. Ne hapëm kllapat duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit në lidhje me zbritjen: Për të shumëzuar diferencën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni veçmas minuendin dhe veçmas të zbrisni me numrin e tretë, dhe pastaj të zbrisni rezultatin e dytë nga rezultati i parë, d.m.th.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Ne mblodhëm termat që përmbajnë variablin në anën e majtë të barazisë dhe termat e lirë në anën e djathtë të barazisë. Në këtë rast, është përdorur prona e mëposhtme: çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e barazisë në tjetrën, duke ndryshuar kështu shenjën e termit në të kundërtën.

Në këtë mësim do të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet lineare dhe do të kuptoni se si të bëni dy lloje transformimesh për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e ekuacioneve lineare!

Sa mollë mori secili mik?

Secili prej nesh, pa hezitim, do të përgjigjet: "Secili mik mori një mollë".

Por tani ju sugjeroj ta mendoni... Po, po. Rezulton se kur i përgjigjeni një pyetjeje kaq të thjeshtë, ju vendosni në kokën tuaj ekuacioni linear!

ose gojarisht - tre miqve iu dhanë mollë mbi bazën se Vasya kishte të gjitha mollët në magazinë.

Dhe tani ju keni vendosur tashmë ekuacioni linear.

Tani le t'i japim këtij termi një përkufizim matematikor.

Cilat janë "ekuacionet lineare"

Ekuacioni linear - është një ekuacion algjebrik, shkalla totale e polinomeve përbërëse të të cilit është e barabartë me. Duket kështu:

Ku dhe janë ndonjë numër dhe

Për rastin tonë me Vasya dhe mollët, ne do të shkruajmë:

- "Nëse Vasya u jep të njëjtin numër mollësh të tre miqve, atij nuk do t'i mbetet asnjë mollë"

Ekuacionet lineare "të fshehura", ose rëndësia e transformimeve të identitetit

Përkundër faktit se në shikim të parë gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve duhet të keni kujdes, sepse ekuacionet lineare quhen jo vetëm ekuacione të formës, por edhe çdo ekuacion që transformon dhe thjeshton. zbresin në këtë lloj.

Për shembull:

Ne shohim se çfarë është në të djathtë, e cila, në teori, tashmë tregon se ekuacioni nuk është linear.

Për më tepër, nëse hapim kllapat, do të marrim edhe dy terma të tjerë në të cilët do të jetë, por mos nxitoni në përfundime!

Përpara se të gjykojmë nëse një ekuacion është linear, është e nevojshme të bëhen të gjitha transformimet dhe kështu të thjeshtohet shembulli origjinal.

Në këtë rast, transformimet mund të ndryshojnë pamjen, por jo vetë thelbin e ekuacionit.

Me fjalë të tjera, të dhënat e transformimit duhet të jenë identike ose ekuivalente.

Ka vetëm dy transformime të tilla, por ato luajnë një rol shumë, SHUMË të rëndësishëm në zgjidhjen e problemeve. Le të shohim të dy transformimet duke përdorur shembuj specifikë.

Transferoni majtas - djathtas.

Le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm:

Edhe në shkollën fillore na thanë: "me X - në të majtë, pa X - në të djathtë".

Cila shprehje me një X është në të djathtë?

Është e drejtë, por jo si jo.

Dhe kjo është e rëndësishme, sepse nëse kjo pyetje në dukje e thjeshtë keqkuptohet, del përgjigja e gabuar.

Cila shprehje me një X është në të majtë?

E drejta,.

Tani që e kemi kuptuar këtë, ne i zhvendosim të gjitha termat me të panjohura në anën e majtë dhe gjithçka që dihet në të djathtë.

Dhe duke kujtuar se nëse nuk ka asnjë shenjë përpara një numri, për shembull, atëherë numri është pozitiv, domethënë ka një shenjë " " përpara tij.

Transferuar? Çfarë keni marrë?

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të sjellim kushte të ngjashme. Ne paraqesim:

Pra, ne kemi analizuar me sukses transformimin e parë identik, megjithëse jam i sigurt që e keni ditur dhe e keni përdorur në mënyrë aktive pa mua.

Gjëja kryesore është të mos harrojmë për shenjat për numrat dhe ndryshojini ato në të kundërtën kur i përktheni me shenjën e barazimit!

Shumëzim-pjestim.

Le të fillojmë menjëherë me një shembull

Le të shohim dhe të mendojmë: çfarë nuk na pëlqen në këtë shembull?

E panjohura është e gjitha në një pjesë, e njohura në një tjetër, por diçka po na ndalon...

Dhe kjo diçka është një katër, sepse nëse nuk do të ishte atje, gjithçka do të ishte perfekte - x është e barabartë me një numër - pikërisht ashtu siç na nevojitet!

Si mund të shpëtoni prej tij?

Nuk mund ta lëvizim djathtas, sepse atëherë duhet të lëvizim të gjithë shumëzuesin (nuk mund ta heqim dhe ta heqim), dhe lëvizja e të gjithë shumëzuesit gjithashtu nuk ka kuptim...

Është koha për të kujtuar ndarjen, kështu që le të ndajmë gjithçka me!

Gjithçka - kjo nënkupton edhe anën e majtë dhe të djathtë. Në këtë mënyrë dhe vetëm në këtë mënyrë!

Çfarë po bëjmë?

Këtu është përgjigja.

Tani le të shohim një shembull tjetër:

A mund ta merrni me mend se çfarë duhet bërë në këtë rast? Kjo është e drejtë, shumëzo anët e majta dhe të djathta me! Çfarë përgjigje morët? E drejta. .

Me siguri tashmë keni ditur gjithçka për transformimet e identitetit. Konsideroni se ne thjesht e kemi rifreskuar këtë njohuri në kujtesën tuaj dhe është koha për diçka më shumë - Për shembull, për të zgjidhur shembullin tonë të madh:

Siç thamë më herët, duke e parë, nuk mund të thuash se ky ekuacion është linear, por duhet të hapim kllapat dhe të kryejmë transformime identike. Pra, le të fillojmë!

Për të filluar, kujtojmë formulat për shumëzimin e shkurtuar, në veçanti, katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës. Nëse nuk ju kujtohet se çfarë është dhe si hapen kllapat, ju rekomandoj shumë të lexoni temën, pasi këto aftësi do t'ju ndihmojnë kur zgjidhni pothuajse të gjithë shembujt e hasur në provim.
U zbulua? Le të krahasojmë:

Tani është koha për të sjellë kushte të ngjashme. A ju kujtohet se si në të njëjtat klasa fillore na thoshin "mos i bashkoni mizat dhe kotatet"? Këtu ju kujtoj këtë. Ne shtojmë gjithçka veç e veç - faktorët që i kanë, faktorët që i kanë dhe faktorët e mbetur që nuk kanë të panjohura. Kur sjellni terma të ngjashëm, lëvizni të gjitha të panjohurat në të majtë dhe gjithçka që dihet në të djathtë. Çfarë keni marrë?

Siç mund ta shihni, X-të në shesh janë zhdukur dhe ne shohim diçka krejtësisht normale. ekuacioni linear. Gjithçka që mbetet është ta gjesh atë!

Dhe së fundi, do të them edhe një gjë shumë të rëndësishme për transformimet e identitetit - transformimet e identitetit janë të zbatueshme jo vetëm për ekuacionet lineare, por edhe për racionale kuadratike, fraksionale dhe të tjera. Thjesht duhet të mbani mend se kur i transferojmë faktorët përmes shenjës së barabartë, ne e ndryshojmë shenjën në atë të kundërt, dhe kur pjesëtojmë ose shumëzojmë me ndonjë numër, shumëzojmë/pjestojmë të dy anët e ekuacionit me të NJËJTËN numër.

Çfarë tjetër hoqët nga ky shembull? Se duke parë një ekuacion nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet drejtpërdrejt dhe saktë nëse ai është linear apo jo. Është e nevojshme që së pari të thjeshtohet plotësisht shprehja, dhe vetëm atëherë të gjykohet se çfarë është.

Ekuacionet lineare. 3 shembuj

Këtu janë disa shembuj të tjerë që mund t'i praktikoni vetë - përcaktoni nëse ekuacioni është linear dhe nëse po, gjeni rrënjët e tij:

Përgjigjet:

1. Është.

2. nuk është.

Le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm:

Le të bëjmë një transformim identik - ndajmë anët e majta dhe të djathta në:

Shohim që ekuacioni nuk është linear, kështu që nuk ka nevojë të kërkojmë rrënjët e tij.

3. Është.

Le të bëjmë një transformim identik - shumëzojmë anët e majta dhe të djathta me për të hequr qafe emëruesin.

Mendoni pse është kaq e rëndësishme? Nëse e dini përgjigjen e kësaj pyetjeje, kaloni në zgjidhjen e mëtejshme të ekuacionit nëse jo, sigurohuni që të shikoni temën në mënyrë që të mos bëni gabime në shembuj më kompleksë. Nga rruga, siç mund ta shihni, situata është e pamundur. Pse?
Pra, le të shkojmë përpara dhe të riorganizojmë ekuacionin:

Nëse keni arritur gjithçka pa vështirësi, le të flasim për ekuacione lineare me dy ndryshore.

Ekuacionet lineare në dy ndryshore

Tani le të kalojmë në ekuacione pak më komplekse - lineare me dy ndryshore.

Ekuacionet lineare me dy variabla kanë formën:

Ku, dhe - çdo numër dhe.

Siç mund ta shihni, ndryshimi i vetëm është se një variabël tjetër i shtohet ekuacionit. Dhe kështu gjithçka është e njëjtë - nuk ka x në katror, ​​nuk ka ndarje me një ndryshore, etj. etj.

Çfarë shembulli jete mund t'ju jap...

Le të marrim të njëjtën Vasya. Le të themi se ai vendosi që secilit prej 3 shokëve t'i jepte të njëjtin numër mollësh dhe t'i mbante mollët për vete.

Sa mollë duhet të blejë Vasya nëse i jep secilit mik një mollë? Po në lidhje me? Po sikur nga?

Marrëdhënia midis numrit të mollëve që do të marrë çdo person dhe numrit total të mollëve që duhet të blihen do të shprehet me ekuacionin:

• - numri i mollëve që do të marrë një person (, ose, ose);
• - numri i mollëve që Vasya do të marrë për vete;
• - sa mollë duhet të blejë Vasya, duke marrë parasysh numrin e mollëve për person?

Duke zgjidhur këtë problem, marrim se nëse Vasya i jep një miku një mollë, atëherë ai duhet të blejë copa, nëse i jep mollë, etj.

Dhe në përgjithësi. Kemi dy variabla.

Pse të mos e vizatoni këtë marrëdhënie në një grafik?

Ne ndërtojmë dhe shënojmë vlerën tonën, pra pikë, me koordinata dhe!

Siç mund ta shihni, ato varen nga njëri-tjetri lineare, pra emri i ekuacioneve - " lineare».

Le të abstragojmë nga mollët dhe të shohim grafikisht ekuacione të ndryshme.

Shikoni me kujdes dy grafikët e ndërtuar - një vijë e drejtë dhe një parabolë, të specifikuar nga funksione arbitrare:

Gjeni dhe shënoni pikat përkatëse në të dyja figurat.
Çfarë keni marrë?

Këtë e shihni në grafikun e funksionit të parë vetëm korrespondon një, domethënë varen edhe në mënyrë lineare njëra nga tjetra, gjë që nuk mund të thuhet për funksionin e dytë.

Sigurisht, mund të argumentoni se në grafikun e dytë korrespondon gjithashtu x -, por kjo është vetëm një pikë, domethënë një rast i veçantë, pasi mund të gjeni akoma një që korrespondon me më shumë se një.

Dhe grafiku i ndërtuar nuk i ngjan në asnjë mënyrë një vijë, por është një parabolë.

E përsëris edhe një herë: grafiku i një ekuacioni linear duhet të jetë një vijë e DREJTË.

Me faktin se ekuacioni nuk do të jetë linear nëse shkojmë në ndonjë shkallë - kjo është e qartë duke përdorur shembullin e një parabole, megjithëse mund të ndërtoni disa grafikë më të thjeshtë për veten tuaj, për shembull ose.

Por ju siguroj - asnjëri prej tyre nuk do të jetë një vijë e drejtë.

Nuk më besoni? Ndërtojeni dhe më pas krahasojeni me atë që mora:

Çfarë ndodh nëse pjesëtojmë diçka, për shembull, me një numër?

A do të ketë një marrëdhënie lineare dhe?

Të mos debatojmë, por të ndërtojmë! Për shembull, le të ndërtojmë një grafik të një funksioni.

Në një farë mënyre nuk duket sikur është ndërtuar si një vijë e drejtë ... në përputhje me rrethanat, ekuacioni nuk është linear.

Le të përmbledhim:

1. Ekuacioni linear -është një ekuacion algjebrik në të cilin shkalla totale e polinomeve përbërëse të tij është e barabartë.
2. Ekuacioni linear me një variabël ka formën:
   , ku dhe janë ndonjë numër;
   Ekuacioni linear me dy variabla:
   , ku dhe janë ndonjë numër.
3. Nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet menjëherë nëse një ekuacion është linear apo jo. Ndonjëherë, për ta kuptuar këtë, është e nevojshme të kryhen transformime identike, të zhvendosen termat e ngjashëm majtas/djathtas, pa harruar ndryshimin e shenjës ose shumëzimin/pjestimin e të dyja anët e ekuacionit me të njëjtin numër.

EKUACIONET LINEARE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

1. Ekuacioni linear

Ky është një ekuacion algjebrik në të cilin shkalla totale e polinomeve përbërëse të tij është e barabartë.

2. Ekuacioni linear me një ndryshore ka formën:

Ku dhe janë ndonjë numër;

3. Ekuacioni linear me dy ndryshore ka formën:

Ku, dhe - çdo numër.

4. Transformimet e identitetit

Për të përcaktuar nëse një ekuacion është linear apo jo, është e nevojshme të kryhen transformime identike:

• lëvizni terma të ngjashëm majtas/djathtas, duke mos harruar të ndryshoni shenjën;
• shumëzoni/pjestoni të dyja anët e ekuacionit me të njëjtin numër.

Bëhuni një student i YouClever,

Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit ose Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë,

Dhe gjithashtu merrni akses në librin shkollor YouClever pa kufizime...

Një ekuacion linear me një ndryshore ka formën e përgjithshme
sëpatë + b = 0.
Këtu x është një ndryshore, a dhe b janë koeficientë. Në një mënyrë tjetër, a quhet "koeficienti i së panjohurës", b është "termi i lirë".

Koeficientët janë një lloj numrash, dhe zgjidhja e një ekuacioni nënkupton gjetjen e vlerës së x në të cilën shprehja ax + b = 0 është e vërtetë. Për shembull, kemi ekuacionin linear 3x – 6 = 0. Zgjidhja e tij do të thotë të gjesh se me çfarë duhet të jetë x në mënyrë që 3x – 6 të jetë e barabartë me 0. Duke kryer shndërrimet, marrim:
3x = 6
x = 2

Kështu shprehja 3x – 6 = 0 është e vërtetë në x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 eshte rrënja e këtij ekuacioni. Kur zgjidhni një ekuacion, gjeni rrënjët e tij.

Koeficientët a dhe b mund të jenë çdo numër, por ka vlera të tilla kur rrënja e një ekuacioni linear me një ndryshore është më shumë se një.

Nëse a = 0, atëherë ax + b = 0 kthehet në b = 0. Këtu x është "shkatërruar". Vetë shprehja b = 0 mund të jetë e vërtetë vetëm nëse njohuria për b është 0. Kjo do të thotë, ekuacioni 0*x + 3 = 0 është i gabuar, sepse 3 = 0 është një pohim i gabuar. Megjithatë, 0*x + 0 = 0 është shprehja e saktë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se nëse a = 0 dhe b ≠ 0 një ekuacion linear me një ndryshore nuk ka fare rrënjë, por nëse a = 0 dhe b = 0, atëherë ekuacioni ka një numër të pafund rrënjësh.

Nëse b = 0, dhe a ≠ 0, atëherë ekuacioni do të marrë formën ax = 0. Është e qartë se nëse a ≠ 0, por rezultati i shumëzimit është 0, atëherë x = 0. Kjo është, rrënja e kësaj ekuacioni është 0.

Nëse as a as b nuk janë të barabarta me zero, atëherë ekuacioni ax + b = 0 shndërrohet në formën
x = –b/a.
Vlera e x në këtë rast do të varet nga vlerat e a dhe b. Për më tepër, do të jetë i vetmi. Kjo do të thotë, është e pamundur të merren dy ose më shumë vlera të ndryshme të x me të njëjtat koeficientë. Për shembull,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Asnjë numër tjetër përveç –2 nuk mund të merret duke pjesëtuar 17 me –8,5.

Ka ekuacione që në shikim të parë nuk i ngjajnë formës së përgjithshme të një ekuacioni linear me një ndryshore, por konvertohen lehtësisht në të. Për shembull,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Nëse lëvizni gjithçka në anën e majtë, atëherë 0 do të mbetet në anën e djathtë:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Tani ekuacioni është reduktuar në formën standarde dhe mund të zgjidhet:
x = 16,8 / 0,2
x = 84

Në këtë artikull do të shqyrtojmë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla si ekuacione lineare. Le të shkruajmë përkufizimin e këtyre ekuacioneve dhe të vendosim formën e përgjithshme. Ne do të analizojmë të gjitha kushtet për gjetjen e zgjidhjeve të ekuacioneve lineare, duke përdorur, ndër të tjera, shembuj praktikë.

Ju lutemi vini re se materiali i mëposhtëm përmban informacion mbi ekuacionet lineare me një ndryshore. Ekuacionet lineare në dy variabla diskutohen në një artikull të veçantë.

Çfarë është një ekuacion linear

Përkufizimi 1

Ekuacioni linearështë një ekuacion i shkruar si më poshtë:
a x = b, Ku x- e ndryshueshme, a Dhe b- disa numra.

Ky formulim u përdor në librin shkollor të algjebrës (klasa e 7-të) nga Yu.N.

Shembulli 1

Shembuj të ekuacioneve lineare do të ishin:

3 x = 11(ekuacioni me një ndryshore x në a = 5 Dhe b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( ekuacion linear me ndryshore y, Ku a = - 3, 1 Dhe b = 0);

x = - 4 Dhe − x = 5,37(ekuacionet lineare, ku numri a shkruar në mënyrë eksplicite dhe e barabartë me 1 dhe - 1, respektivisht. Për ekuacionin e parë b = - 4; për të dytën - b = 5,37) etj.

Materialet e ndryshme edukative mund të kenë përkufizime të ndryshme. Për shembull, Vilenkin N.Ya. Ekuacionet lineare përfshijnë edhe ato ekuacione që mund të shndërrohen në formë a x = b duke transferuar terma nga një pjesë në tjetrën me ndryshim të shenjës dhe duke sjellë terma të ngjashëm. Nëse ndjekim këtë interpretim, ekuacioni 5 x = 2 x + 6 - gjithashtu lineare.

Dhe këtu është një libër shkollor algjebër (klasa e 7-të) nga A.G. Mordkovich. jep përshkrimin e mëposhtëm:

Përkufizimi 2

Një ekuacion linear në një ndryshore x është një ekuacion i formës a x + b = 0, Ku a Dhe b– disa numra të quajtur koeficientë të një ekuacioni linear.

Shembulli 2

Një shembull i ekuacioneve lineare të këtij lloji mund të jetë:

3 x − 7 = 0 (a = 3, b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Por ka edhe shembuj të ekuacioneve lineare që i kemi përdorur tashmë më lart: të formës a x = b, Për shembull, 6 x = 35.

Do të pajtohemi menjëherë që në këtë artikull, me një ekuacion linear me një ndryshore do të kuptojmë ekuacionin e shkruar a x + b = 0, Ku x– variabël; a, b – koeficientët. Ne e shohim këtë formë të një ekuacioni linear si më të justifikuarin, pasi ekuacionet lineare janë ekuacione algjebrike të shkallës së parë. Dhe ekuacionet e tjera të treguara më sipër, dhe ekuacionet e dhëna nga transformimet ekuivalente në formë a x + b = 0, përkufizojmë si ekuacione që reduktohen në ekuacione lineare.

Me këtë qasje, ekuacioni 5 x + 8 = 0 është linear, dhe 5 x = - 8- një ekuacion që zvogëlohet në një ekuacion linear.

Parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Le të shohim se si të përcaktojmë nëse një ekuacion i dhënë linear do të ketë rrënjë dhe, nëse po, sa dhe si t'i përcaktojmë ato.

Përkufizimi 3

Fakti i pranisë së rrënjëve të një ekuacioni linear përcaktohet nga vlerat e koeficientëve a Dhe b. Le të shkruajmë këto kushte:

• në a ≠ 0 ekuacioni linear ka një rrënjë të vetme x = - b a ;
• në a = 0 Dhe b ≠ 0 një ekuacion linear nuk ka rrënjë;
• në a = 0 Dhe b = 0 një ekuacion linear ka pafundësisht shumë rrënjë. Në thelb, në këtë rast, çdo numër mund të bëhet rrënja e një ekuacioni linear.

Le të japim një shpjegim. Ne e dimë se në procesin e zgjidhjes së një ekuacioni është e mundur të shndërrohet një ekuacion i dhënë në një ekuivalent me të, që do të thotë se ai ka të njëjtat rrënjë si ekuacioni origjinal, ose gjithashtu nuk ka rrënjë. Mund të bëjmë transformimet ekuivalente të mëposhtme:

• transferoni një term nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën;
• shumëzoni ose pjesëtoni të dyja anët e një ekuacioni me të njëjtin numër që nuk është zero.

Kështu, ne transformojmë ekuacionin linear a x + b = 0, duke lëvizur termin b nga ana e majtë në anën e djathtë me një ndryshim të shenjës. Ne marrim: a · x = − b.

Pra, ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me një numër jo zero A, që rezulton në një barazi të formës x = - b a . Domethënë kur a ≠ 0, ekuacioni origjinal a x + b = 0është ekuivalente me barazinë x = - b a, në të cilën rrënja - b a është e dukshme.

Me kontradiktë është e mundur të demonstrohet se rrënja e gjetur është e vetmja. Le të caktojmë rrënjën e gjetur - b a si x 1 . Le të supozojmë se ka një rrënjë më shumë të ekuacionit linear me emërtimin x 2 . Dhe sigurisht: x 2 ≠ x 1, dhe kjo, nga ana tjetër, bazuar në përcaktimin e numrave të barabartë përmes diferencës, është ekuivalente me kushtin x 1 − x 2 ≠ 0 . Duke marrë parasysh sa më sipër, ne mund të krijojmë barazitë e mëposhtme duke zëvendësuar rrënjët:
a x 1 + b = 0 dhe a x 2 + b = 0.
Vetia e barazive numerike bën të mundur kryerjen e zbritjes term pas termi të pjesëve të barazive:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, nga këtu: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 dhe në vazhdim a · (x 1 − x 2) = 0 . Barazia a · (x 1 − x 2) = 0është e pasaktë sepse kushti ishte specifikuar më parë se a ≠ 0 Dhe x 1 − x 2 ≠ 0 . Kontradikta që rezulton shërben si dëshmi se kur a ≠ 0 ekuacioni linear a x + b = 0 ka vetëm një rrënjë.

Le të justifikojmë dy klauzola të tjera të kushteve që përmbajnë a = 0.

Kur a = 0 ekuacioni linear a x + b = 0 do të shkruhet si 0 x + b = 0. Vetia e shumëzimit të një numri me zero na jep të drejtën të pohojmë se cilido numër merret si x, duke e zëvendësuar atë në barazi 0 x + b = 0, marrim b = 0 . Barazia është e vlefshme për b = 0; në raste të tjera, kur b ≠ 0, barazia bëhet e rreme.

Pra kur a = 0 dhe b = 0 , çdo numër mund të bëhet rrënja e një ekuacioni linear a x + b = 0, që kur plotësohen këto kushte, duke zëvendësuar në vend xçdo numër, marrim barazinë numerike të saktë 0 = 0 . Kur a = 0 Dhe b ≠ 0 ekuacioni linear a x + b = 0 nuk do të ketë rrënjë fare, që kur të plotësohen kushtet e specifikuara, duke zëvendësuar në vend xçdo numër, marrim një barazi numerike të pasaktë b = 0.

Të gjitha konsideratat e mësipërme na japin mundësinë të shkruajmë një algoritëm që bën të mundur gjetjen e një zgjidhjeje për çdo ekuacion linear:

• sipas llojit të regjistrimit ne përcaktojmë vlerat e koeficientëve a Dhe b dhe analizoni ato;
• në a = 0 Dhe b = 0 ekuacioni do të ketë pafundësisht shumë rrënjë, d.m.th. çdo numër do të bëhet rrënja e ekuacionit të dhënë;
• në a = 0 Dhe b ≠ 0
• në a, ndryshe nga zero, fillojmë të kërkojmë për rrënjën e vetme të ekuacionit linear origjinal:

1. le të lëvizim koeficientin b në anën e djathtë me një ndryshim të shenjës në të kundërtën, duke sjellë ekuacionin linear në formë a · x = − b;
2. pjesëtoni të dyja anët e barazisë që rezulton me numrin a, e cila do të na japë rrënjën e dëshiruar të ekuacionit të dhënë: x = - b a.

Në fakt, sekuenca e përshkruar e veprimeve është përgjigjja e pyetjes se si të gjejmë një zgjidhje për një ekuacion linear.

Së fundi, le të sqarojmë se ekuacionet e formës a x = b zgjidhen duke përdorur një algoritëm të ngjashëm me ndryshimin e vetëm që numri b në një shënim të tillë tashmë është transferuar në pjesën e kërkuar të ekuacionit, dhe me a ≠ 0 ju mund t'i ndani menjëherë pjesët e një ekuacioni me një numër a.

Kështu, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin a x = b, Ne përdorim algoritmin e mëposhtëm:

• në a = 0 Dhe b = 0 ekuacioni do të ketë pafundësisht shumë rrënjë, d.m.th. çdo numër mund të bëhet rrënja e tij;
• në a = 0 Dhe b ≠ 0 ekuacioni i dhënë nuk do të ketë rrënjë;
• në a, jo e barabartë me zero, të dyja anët e ekuacionit ndahen me numrin a, e cila bën të mundur gjetjen e rrënjës së vetme që është e barabartë me b a.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Shembulli 3

Ekuacioni linear duhet të zgjidhet 0 x − 0 = 0.

Zgjidhje

Duke shkruar ekuacionin e dhënë shohim se a = 0 Dhe b = - 0(ose b = 0, e cila është e njëjtë). Kështu, një ekuacion i dhënë mund të ketë një numër të pafund rrënjësh ose ndonjë numër.

Përgjigje: x- çdo numër.

Shembulli 4

Është e nevojshme të përcaktohet nëse ekuacioni ka rrënjë 0 x + 2, 7 = 0.

Zgjidhje

Nga regjistrimi përcaktojmë se a = 0, b = 2, 7. Kështu, ekuacioni i dhënë nuk do të ketë rrënjë.

Përgjigje: ekuacioni linear origjinal nuk ka rrënjë.

Shembulli 5

Jepet një ekuacion linear 0,3 x − 0,027 = 0. Duhet të zgjidhet.

Zgjidhje

Duke shkruar ekuacionin përcaktojmë se a = 0, 3; b = - 0,027, e cila na lejon të pohojmë se ekuacioni i dhënë ka një rrënjë të vetme.

Duke ndjekur algoritmin, lëvizim b në anën e djathtë të ekuacionit, duke ndryshuar shenjën, marrim: 0,3 x = 0,027. Më pas, ne ndajmë të dy anët e barazisë që rezulton me a = 0, 3, pastaj: x = 0, 027 0, 3.

Le të ndajmë thyesat dhjetore:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Rezultati i marrë është rrënja e ekuacionit të dhënë.

Le ta shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen si më poshtë:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Përgjigje: x = 0,09.

Për qartësi, ne paraqesim zgjidhjen e ekuacionit të shkrimit a x = b.

Shembull N

Ekuacionet e dhëna janë: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Ato duhet të zgjidhen.

Zgjidhje

Të gjitha ekuacionet e dhëna korrespondojnë me hyrjen a x = b. Le t'i shikojmë ato një nga një.

Në ekuacionin 0 x = 0, a = 0 dhe b = 0, që do të thotë: çdo numër mund të jetë rrënja e këtij ekuacioni.

Në ekuacionin e dytë 0 x = − 9: a = 0 dhe b = − 9, kështu, ky ekuacion nuk do të ketë rrënjë.

Në bazë të formës së ekuacionit të fundit - 3 8 · x = - 3 3 4, shkruajmë koeficientët: a = - 3 8, b = - 3 3 4, d.m.th. ekuacioni ka një rrënjë të vetme. Le ta gjejmë atë. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me a, duke rezultuar në: x = - 3 3 4 - 3 8. Le të thjeshtojmë thyesën duke zbatuar rregullin për pjesëtimin e numrave negativë, e ndjekur nga shndërrimi i numrit të përzier në një thyesë të zakonshme dhe pjesëtimi i thyesave të zakonshme:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Le ta shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen si më poshtë:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Përgjigje: 1) x– çdo numër, 2) ekuacioni nuk ka rrënjë, 3) x = 10.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter