Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Llogaritësi online. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik
Ekuacionet kuadratike. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)
Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).
Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.
Shembulli 1.
Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me
Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X
Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!
Shembulli 2.
Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:
Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!
Shembulli 3.
Le të shumëzojmë gjithçka me:
E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:
Shembulli 4.
Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:
Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!
Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:
Shembuj:
Përgjigjet:
- katror;
- katror;
- jo katror;
- jo katror;
- jo katror;
- katror;
- jo katror;
- katrore.
Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:
- Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)
- Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë X në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.
Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!
Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
- , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
- , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
- , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
1. i. Sepse ne dimë të nxjerrim rrënjë katrore, atëherë le të shprehemi nga ky ekuacion
Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.
Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.
Shembulli 5:
Zgjidhe ekuacionin
Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?
Përgjigje:
Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!
Shembulli 6:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 7:
Zgjidhe ekuacionin
Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë!
Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:
Përgjigje:
Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:
Zgjidhe ekuacionin
Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:
Kështu,
Ky ekuacion ka dy rrënjë.
Përgjigje:
Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Këtu do të heqim dorë nga shembujt.
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike
Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.
Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.
Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.
1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.
Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
- Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.
Shembulli 9:
Zgjidhe ekuacionin
Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.
Hapi 3.
Përgjigje:
Shembulli 10:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.
Përgjigje:
Shembulli 11:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.
Hapi 2.
Gjejmë diskriminuesin:
Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.
Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.
Përgjigje: pa rrënjë
2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.
Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):
Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:
Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratikështë i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.
Shembulli 12:
Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:
Dhe produkti është i barabartë me:
Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Përgjigje: ; .
Shembulli 13:
Zgjidhe ekuacionin
Përgjigje:
Shembulli 14:
Zgjidhe ekuacionin
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Përgjigje:
EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM
Çfarë është një ekuacion kuadratik?
Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.
Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.
Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.
Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.
Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:
Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.
Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:
I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.
II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.
Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:
Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:
nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;
nëse kemi dy rrënjë
Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!
Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni
pa rrënjë.
Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.
Përgjigje:
Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.
Përgjigje:
Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:
Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:
Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.
Shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:
Përgjigje:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:
1. Diskriminues
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.
A e keni vënë re rrënjën diskriminuese në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.
- Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
- Nëse atëherë ekuacioni ka rrënjë të njëjta, por në thelb një rrënjë:
Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.
- Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.
Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:
Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) e abshisave. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.
Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.
Shembuj:
Zgjidhjet:
Përgjigje:
Përgjigje:.
Përgjigje:
Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.
Përgjigje:.
2. Teorema e Vietës
Përdorimi i teoremës së Vietës është shumë i lehtë: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash, prodhimi i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt.
Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().
Le të shohim disa shembuj:
Shembulli #1:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .
Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:
Dhe produkti është i barabartë me:
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë me;
- Dhe. Shuma është e barabartë.
dhe janë zgjidhja e sistemit:
Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.
Përgjigje: ; .
Shembulli #2:
Zgjidhja:
Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:
dhe: japin gjithsej.
dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.
Përgjigje:
Shembulli #3:
Zgjidhja:
Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.
Le të zgjedhim çifte të tilla numrash që japin në produkt dhe diferenca e të cilave është e barabartë me:
dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - jo i përshtatshëm;
dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se një nga rrënjët është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:
Përgjigje:
Shembulli #4:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:
Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:
Përgjigje:
Shembulli #5:
Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhja:
Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:
Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.
Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:
Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.
Përgjigje:
Pajtohem, është shumë e përshtatshme të dalësh me rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.
Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:
Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:
Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Sipas teoremës së Vieta:
Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:
Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;
: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.
Përgjigje: ; .
Detyra 2.
Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.
Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).
Përgjigje: ; .
Detyra 3.
Hmm... Ku është?
Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:
Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.
Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidhni në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:
E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.
Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).
Përgjigje: ; .
Detyra 4.
Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.
Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë se rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.
Përgjigje: ; .
Detyra 5.
Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:
Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:
Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.
Përgjigje: ; .
Më lejoni të përmbledh:
- Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
- Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
- Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).
3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë
Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të ndryshoreve, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.
Për shembull:
Shembulli 1:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
Shembulli 2:
Zgjidheni ekuacionin: .
Zgjidhja:
Përgjigje:
NË pamje e përgjithshme transformimi do të duket si ky:
Më poshtë vijon: .
Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.
EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.
Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.
Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .
Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:
- nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
- nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
- nëse dhe, ekuacioni duket si: .
1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota
1.1. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Le të shprehim të panjohurën:
2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
- nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
1.2. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :
1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,
2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:
1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:
Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .
2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku
2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues
1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,
2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:
3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:
- nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
- nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.
2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës
Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.
2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë
Çdo ekuacion i plotë kuadratik sëpatë 2 + bx + c = 0 mund të sillen në mendje x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, nëse fillimisht e pjesëtoni çdo term me koeficientin a përpara x 2. Dhe nëse prezantojmë shënime të reja (b/a) = p Dhe (c/a) = q, atëherë do të kemi ekuacionin x 2 + px + q = 0, që në matematikë quhet dhënë ekuacionin kuadratik.
Rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar dhe koeficientët fq Dhe q të lidhura me njëra-tjetrën. Kjo vërtetohet Teorema e Vietës, i quajtur sipas matematikanit francez Francois Vieta, i cili jetoi në fund të shekullit të 16-të.
Teorema. Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0 e barabartë me koeficientin e dytë fq, marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve - në termin e lirë q.
Le t'i shkruajmë këto marrëdhënie në formën e mëposhtme:
Le x 1 Dhe x 2 rrënjë të ndryshme të ekuacionit të dhënë x 2 + px + q = 0. Sipas teoremës së Vietës x 1 + x 2 = -p Dhe x 1 x 2 = q.
Për ta vërtetuar këtë, le të zëvendësojmë secilën prej rrënjëve x 1 dhe x 2 në ekuacion. Ne marrim dy barazi të vërteta:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Le të zbresim të dytin nga barazia e parë. Ne marrim: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Ne zgjerojmë dy termat e parë duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
Sipas kushteve, rrënjët x 1 dhe x 2 janë të ndryshme. Prandaj, mund ta zvogëlojmë barazinë në (x 1 – x 2) ≠ 0 dhe të shprehim p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Barazia e parë është vërtetuar.
Për të vërtetuar barazinë e dytë, ne e zëvendësojmë me ekuacionin e parë
x 1 2 + px 1 + q = 0 në vend të koeficientit p, një numër i barabartë është (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Duke transformuar anën e majtë të ekuacionit, marrim:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema e Vietës është e mirë sepse Edhe pa i ditur rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ne mund të llogarisim shumën dhe produktin e tyre .
Teorema e Vieta-s ndihmon në përcaktimin e rrënjëve të numrave të plotë të një ekuacioni të caktuar kuadratik. Por për shumë studentë kjo shkakton vështirësi për faktin se ata nuk njohin një algoritëm të qartë veprimi, veçanërisht nëse rrënjët e ekuacionit kanë shenja të ndryshme.
Pra, ekuacioni kuadratik i mësipërm ka formën x 2 + px + q = 0, ku x 1 dhe x 2 janë rrënjët e tij. Sipas teoremës së Vietës, x 1 + x 2 = -p dhe x 1 · x 2 = q.
Mund të nxirret përfundimi i mëposhtëm.
Nëse në ekuacion ka një shenjë minus para termit të fundit, atëherë rrënjët x 1 dhe x 2 kanë shenja të ndryshme. Përveç kësaj, shenja e rrënjës më të vogël përkon me shenjën e koeficientit të dytë në ekuacion.
Duke u bazuar në faktin se gjatë mbledhjes së numrave me shenja të ndryshme modulet e tyre zbriten dhe shenja e vlerës më të madhe absolute të numrit vendoset para rezultatit të marrë, duhet të veproni si më poshtë:
- të përcaktojë faktorët e numrit q të tillë që diferenca e tyre të jetë e barabartë me numrin p;
- vendos shenjën e koeficientit të dytë të ekuacionit përpara më të voglit nga numrat e fituar; rrënja e dytë do të ketë shenjën e kundërt.
Le të shohim disa shembuj.
Shembulli 1.
Zgjidheni ekuacionin x 2 – 2x – 15 = 0.
Zgjidhje.
Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur rregullat e propozuara më sipër. Atëherë mund të themi me siguri se ky ekuacion do të ketë dy rrënjë të ndryshme, sepse D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Tani, nga të gjithë faktorët e numrit 15 (1 dhe 15, 3 dhe 5), zgjedhim ata, ndryshimi i të cilëve është 2. Këta do të jenë numrat 3 dhe 5. Vendosim një shenjë minus përpara numrit më të vogël, d.m.th. shenjë e koeficientit të dytë të ekuacionit. Kështu, marrim rrënjët e ekuacionit x 1 = -3 dhe x 2 = 5.
Përgjigju. x 1 = -3 dhe x 2 = 5.
Shembulli 2.
Zgjidheni ekuacionin x 2 + 5x – 6 = 0.
Zgjidhje.
Le të kontrollojmë nëse ky ekuacion ka rrënjë. Për ta bërë këtë, gjejmë një diskriminues:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.
Faktorët e mundshëm të numrit 6 janë 2 dhe 3, 6 dhe 1. Ndryshimi është 5 për çiftin 6 dhe 1. Në këtë shembull, koeficienti i termit të dytë ka një shenjë plus, kështu që numri më i vogël do të ketë të njëjtën shenjë . Por para numrit të dytë do të ketë një shenjë minus.
Përgjigje: x 1 = -6 dhe x 2 = 1.
Teorema e Vietës mund të shkruhet edhe për një ekuacion të plotë kuadratik. Pra, nëse ekuacioni kuadratik sëpatë 2 + bx + c = 0 ka rrënjë x 1 dhe x 2, atëherë për to vlejnë barazitë
x 1 + x 2 = -(b/a) Dhe x 1 x 2 = (c/a). Megjithatë, zbatimi i kësaj teoreme në një ekuacion të plotë kuadratik është mjaft problematik, sepse nëse ka rrënjë, të paktën njëra prej tyre është numër thyesor. Dhe puna me përzgjedhjen e fraksioneve është mjaft e vështirë. Por ende ka një rrugëdalje.
Shqyrtoni ekuacionin e plotë kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Shumëzoni anën e majtë dhe të djathtë të tij me koeficientin a. Ekuacioni do të marrë formën (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Tani le të prezantojmë një ndryshore të re, për shembull t = ax.
Në këtë rast, ekuacioni që rezulton do të kthehet në një ekuacion kuadratik të reduktuar të formës t 2 + bt + ac = 0, rrënjët e të cilit t 1 dhe t 2 (nëse ka) mund të përcaktohen nga teorema e Vieta.
Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal do të jenë
x 1 = (t 1 / a) dhe x 2 = (t 2 / a).
Shembulli 3.
Zgjidheni ekuacionin 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Zgjidhje.
Le të krijojmë një ekuacion ndihmës. Le të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Ne bëjmë zëvendësimin t = 15x. Ne kemi:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Sipas teoremës së Vietës, rrënjët ekuacioni i dhënë do të jetë t 1 = 5 dhe t 2 = 6.
Ne kthehemi në zëvendësimin t = 15x:
5 = 15x ose 6 = 15x. Pra x 1 = 5/15 dhe x 2 = 6/15. Zvogëlojmë dhe marrim përgjigjen përfundimtare: x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.
Përgjigju. x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.
Për të zotëruar zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës, nxënësit duhet të praktikojnë sa më shumë që të jetë e mundur. Ky është pikërisht sekreti i suksesit.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
2.5 Formula Vieta për polinomet (ekuacionet) e shkallëve më të larta
Formulat e nxjerra nga Viète për ekuacionet kuadratike janë gjithashtu të vërteta për polinomet e shkallëve më të larta.
Le të polinomin
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Ka n rrënjë të ndryshme x 1, x 2..., x n.
Në këtë rast, ai ka një faktorizim të formës:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Le t'i ndajmë të dyja anët e kësaj barazie me një 0 ≠ 0 dhe të hapim kllapat në pjesën e parë. Ne marrim barazinë:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Por dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e të njëjtave fuqi janë të barabartë. Nga kjo rrjedh se barazia
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Për shembull, për polinomet e shkallës së tretë
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Ne kemi identitete
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Ashtu si me ekuacionet kuadratike, kjo formulë quhet formula e Vieta-s. Anët e majta të këtyre formulave janë polinome simetrike nga rrënjët x 1, x 2 ..., x n të këtij ekuacioni, dhe anët e djathta shprehen përmes koeficientit të polinomit.
2.6 Ekuacionet e reduktueshme në kuadratike (biquadratic)
Ekuacionet e shkallës së katërt reduktohen në ekuacione kuadratike:
sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,
quhet biquadratic, dhe a ≠ 0.
Mjafton të vendosim x 2 = y në këtë ekuacion, prandaj,
ay² + nga + c = 0
le të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton
y 1,2 = 
Për të gjetur menjëherë rrënjët x 1, x 2, x 3, x 4, zëvendësoni y me x dhe merrni
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Nëse një ekuacion i shkallës së katërt ka x 1, atëherë ai gjithashtu ka një rrënjë x 2 = -x 1,
Nëse ka x 3, atëherë x 4 = - x 3. Shuma e rrënjëve të një ekuacioni të tillë është zero.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Le të zëvendësojmë ekuacionin në formulën për rrënjët e ekuacioneve bikuadratike:
x 1,2,3,4 = 
,
duke ditur se x 1 = -x 2, dhe x 3 = -x 4, atëherë:
x 3,4 = 
Përgjigje: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike
Le të marrim ekuacionin bikuadratik
sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,
ku a, b, c - numra realë, dhe a > 0. Duke futur të panjohurën ndihmëse y = x², ne shqyrtojmë rrënjët e këtij ekuacioni dhe i futim rezultatet në tabelë (shih Shtojcën Nr. 1)
2.8 Formula Cardano
Nëse përdorim simbolikën moderne, derivimi i formulës Cardano mund të duket kështu:
x = 
Kjo formulë përcakton rrënjët ekuacioni i përgjithshëm shkalla e tretë:
sëpatë 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Kjo formulë është shumë e rëndë dhe komplekse (ajo përmban disa radikale komplekse). Nuk do të zbatohet gjithmonë, sepse... shume e veshtire per tu plotesuar.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Listoni ose zgjidhni vendet më interesante nga 2-3 tekste. Kështu, ne kemi shqyrtuar dispozitat e përgjithshme për krijimin dhe zhvillimin e lëndëve me zgjedhje, të cilat do të merren parasysh gjatë zhvillimit të një lënde zgjedhore në algjebër për klasën 9 "Ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë me një parametër". Kapitulli II. Metodologjia e zhvillimit të lëndës zgjedhore “Ekuacionet kuadratike dhe inekuacionet me parametër” 1.1. Gjenerali...
Zgjidhje nga metodat e llogaritjes numerike. Për të përcaktuar rrënjët e një ekuacioni nuk kërkohet njohja e teorive të grupeve Abel, Galois, Lie etj dhe përdorimi i terminologjisë së veçantë matematikore: unaza, fusha, ideale, izomorfizma etj. Për të zgjidhur një ekuacion algjebrik të shkallës së n-të, ju duhet vetëm aftësia për të zgjidhur ekuacionet kuadratike dhe për të nxjerrë rrënjë nga një numër kompleks. Rrënjët mund të përcaktohen nga...
Me njësi matëse të madhësive fizike në sistemin MathCAD? 11. Përshkruani me detaje tekstin, blloqet grafike dhe matematikore. Leksioni nr 2. Problemet e algjebrës lineare dhe zgjidhja e ekuacioneve diferenciale në mjedisin MathCAD Në problemet e algjebrës lineare, pothuajse gjithmonë ekziston nevoja për të kryer veprime të ndryshme me matrica. Paneli i operatorit me matrica ndodhet në panelin Math. ...
Kur studiohen metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë në një kurs shkollor algjebër, merren parasysh vetitë e rrënjëve që rezultojnë. Ato njihen aktualisht si teorema e Vietës. Shembuj të përdorimit të tij janë dhënë në këtë artikull.
Ekuacioni kuadratik
Ekuacioni i rendit të dytë është barazia e treguar në foton më poshtë.
Këtu simbolet a, b, c janë disa numra që quhen koeficientë të ekuacionit në shqyrtim. Për të zgjidhur një barazi, duhet të gjeni vlerat e x që e bëjnë atë të vërtetë.
Vini re se meqenëse fuqia maksimale në të cilën mund të rritet x është dy, atëherë numri i rrënjëve në rastin e përgjithshëm është gjithashtu dy.
Ka disa mënyra për të zgjidhur këtë lloj barazish. Në këtë artikull do të shqyrtojmë një prej tyre, i cili përfshin përdorimin e të ashtuquajturës teorema Vieta.
Formulimi i teoremës së Vietës
Në fund të shekullit të 16-të, matematikani i famshëm Francois Viète (francez) vuri re, duke analizuar vetitë e rrënjëve të ekuacioneve të ndryshme kuadratike, se disa kombinime të tyre plotësojnë marrëdhënie specifike. Në veçanti, këto kombinime janë produkti dhe shuma e tyre.
Teorema e Vieta-s përcakton si më poshtë: rrënjët e një ekuacioni kuadratik, kur përmblidhen, japin raportin e koeficientëve linearë me kuadratikë të marrë me shenjën e kundërt, dhe kur ato shumëzohen, ato çojnë në raportin e termit të lirë me koeficientin kuadratik. .
Nëse forma e përgjithshme e ekuacionit shkruhet siç tregohet në foto në pjesën e mëparshme të artikullit, atëherë matematikisht kjo teoremë mund të shkruhet në formën e dy barazive:
- r2 + r1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Ku r 1, r 2 është vlera e rrënjëve të ekuacionit në fjalë.
Dy barazitë e mësipërme mund të përdoren për të zgjidhur një sërë problemesh të ndryshme matematikore. Përdorimi i teoremës së Vietës në shembuj me zgjidhje është dhënë në seksionet vijuese të artikullit.
Ekzistojnë një sërë marrëdhëniesh në ekuacionet kuadratike. Ato kryesore janë marrëdhëniet midis rrënjëve dhe koeficientëve. Gjithashtu në ekuacionet kuadratike ka një sërë marrëdhëniesh që jepen nga teorema e Vietës.
Në këtë temë, ne do të paraqesim vetë teoremën e Vietës dhe vërtetimin e saj për një ekuacion kuadratik, teoremën e kundërt me teoremën e Vietës dhe do të analizojmë një sërë shembujsh të zgjidhjes së problemeve. Në material do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë shqyrtimit të formulave të Vieta, të cilat përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale të një ekuacioni algjebrik të shkallës. n dhe koeficientët e tij.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulimi dhe vërtetimi i teoremës së Vietës
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0 të formës x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, ku D = b 2 − 4 a c, vendos marrëdhënie x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Kjo vërtetohet nga teorema e Vietës.
Teorema 1
Në një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, Ku x 1 Dhe x 2– rrënjët, shuma e rrënjëve do të jetë e barabartë me raportin e koeficientëve b Dhe a, e cila është marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me raportin e koeficientëve c Dhe a, d.m.th. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Dëshmia 1
Ne ju ofrojmë skemën e mëposhtme për kryerjen e vërtetimit: merrni formulën e rrënjëve, bëni shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik dhe më pas transformoni shprehjet që rezultojnë në mënyrë që të siguroheni që ato janë të barabarta. - b a Dhe c a përkatësisht.
Le të bëjmë shumën e rrënjëve x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Le t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Le të hapim kllapat në numëruesin e thyesës që rezulton dhe të paraqesim terma të ngjashëm: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Le ta zvogëlojmë thyesën me: 2 - b a = - b a.
Kështu vërtetuam relacionin e parë të teoremës së Vietës, e cila lidhet me shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Tani le të kalojmë në marrëdhënien e dytë.
Për ta bërë këtë, ne duhet të kompozojmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Le të kujtojmë rregullin e shumëzimit të thyesave dhe të shkruajmë prodhimin e fundit si më poshtë: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Le të shumëzojmë një kllapë me një kllapa në numëruesin e thyesës, ose të përdorim formulën e diferencës së katrorëve për ta transformuar më shpejt këtë produkt: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Le të përdorim përkufizimin e rrënjës katrore për të bërë kalimin e mëposhtëm: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c korrespondon me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik, pra, në një fraksion në vend të D mund të zëvendësohet b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Le të hapim kllapat, të shtojmë terma të ngjashëm dhe të marrim: 4 · a · c 4 · a 2 . Nëse e shkurtojmë në 4 a, atëherë ajo që mbetet është c a . Kështu vërtetuam relacionin e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.
Vërtetimi i teoremës së Vietës mund të shkruhet në një formë shumë lakonike nëse i lëmë shpjegimet:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Kur diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është i barabartë me zero, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë. Për të qenë në gjendje të zbatojmë teoremën e Vietës në një ekuacion të tillë, mund të supozojmë se ekuacioni, me një diskriminues të barabartë me zero, ka dy rrënjë identike. Në të vërtetë, kur D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është: - b 2 · a, pastaj x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a dhe x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2, dhe meqenëse D = 0, domethënë b 2 - 4 · a · c = 0, prej nga b 2 = 4 · a · c, pastaj b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Më shpesh në praktikë, teorema e Vietës zbatohet në ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + p x + q = 0, ku koeficienti kryesor a është i barabartë me 1. Në këtë drejtim, teorema e Vietës është formuluar posaçërisht për ekuacione të këtij lloji. Kjo nuk e kufizon përgjithësinë për faktin se çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent. Për ta bërë këtë, duhet të ndani të dy pjesët e tij me një numër të ndryshëm nga zero.
Le të japim një formulim tjetër të teoremës së Vietës.
Teorema 2
Shuma e rrënjëve në ekuacionin e dhënë kuadratik x 2 + p x + q = 0 do të jetë i barabartë me koeficientin e x, i cili merret me shenjën e kundërt, prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me termin e lirë, d.m.th. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Teorema përputhet me teoremën e Vietës
Nëse shikoni me kujdes formulimin e dytë të teoremës së Vieta-s, mund të shihni se për rrënjët x 1 Dhe x 2 ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + p x + q = 0 relacionet e mëposhtme do të jenë të vlefshme: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Nga këto marrëdhënie x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q del se x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 + p x + q = 0. Pra, arrijmë në një deklaratë që është e kundërta e teoremës së Vieta-s.
Tani ne propozojmë ta zyrtarizojmë këtë pohim si teoremë dhe të bëjmë vërtetimin e tij.
Teorema 3
Nëse numrat x 1 Dhe x 2 janë të tilla që x 1 + x 2 = − p Dhe x 1 x 2 = q, Kjo x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0.
Dëshmia 2
Zëvendësimi i gjasave fq Dhe q për shprehjen e tyre nëpërmjet x 1 Dhe x 2 ju lejon të transformoni ekuacionin x 2 + p x + q = 0 në një ekuivalent .
Nëse e zëvendësojmë numrin në ekuacionin që rezulton x 1 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo është barazi për cilindo x 1 Dhe x 2 kthehet në një barazi të vërtetë numerike 0 = 0 , sepse x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo do të thotë se x 1– rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pra çfarë x 1është edhe rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 + p x + q = 0.
Zëvendësimi në ekuacion x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numrat x 2 në vend të x na lejon të marrim barazi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi mund të konsiderohet e vërtetë, pasi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Rezulton se x 2është rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 + p x + q = 0.
E kundërta e teoremës së Vietës është vërtetuar.
Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës
Le të fillojmë tani të analizojmë shembujt më tipikë mbi këtë temë. Le të fillojmë duke analizuar problemet që kërkojnë aplikimin e teoremës së kundërt ndaj teoremës së Vietës. Mund të përdoret për të kontrolluar numrat e prodhuar nga llogaritjet për të parë nëse ato janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni shumën dhe diferencën e tyre dhe më pas të kontrolloni vlefshmërinë e marrëdhënieve x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Përmbushja e të dy marrëdhënieve tregon se numrat e fituar gjatë llogaritjeve janë rrënjët e ekuacionit. Nëse shohim që të paktën një nga kushtet nuk plotësohet, atëherë këta numra nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë në deklaratën e problemit.
Shembulli 1
Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, ose 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ose 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 është një çift rrënjësh të një ekuacioni kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Zgjidhje
Le të gjejmë koeficientët e ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Kjo është a = 4, b = − 16, c = 9. Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duhet të jetë e barabartë me - b a, domethënë, 16 4 = 4 , dhe produkti i rrënjëve duhet të jetë i barabartë c a, domethënë, 9 4 .
Le t'i kontrollojmë numrat e fituar duke llogaritur shumën dhe prodhimin e numrave nga tre çifte të dhëna dhe duke i krahasuar me vlerat e fituara.
Në rastin e parë x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Kjo vlerë është e ndryshme nga 4, prandaj kontrolli nuk ka nevojë të vazhdojë. Sipas teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Në rastin e dytë, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Shohim që kushti i parë plotësohet. Por kushti i dytë nuk është: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Vlera që kemi marrë është e ndryshme nga 9 4 . Kjo do të thotë se çifti i dytë i numrave nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë çiftin e tretë. Këtu x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dhe x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik të dhënë.
Përgjigje: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2
Ne gjithashtu mund të përdorim anasjellën e teoremës së Vietës për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Mënyra më e thjeshtë është të zgjidhni rrënjët e numrave të plotë të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë. Mund të konsiderohen opsione të tjera. Por kjo mund të komplikojë ndjeshëm llogaritjet.
Për të zgjedhur rrënjët, ne përdorim faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të një ekuacioni kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Shembulli 2
Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik x 2 − 5 x + 6 = 0. Numrat x 1 Dhe x 2 mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni nëse plotësohen dy barazi x 1 + x 2 = 5 Dhe x 1 x 2 = 6. Le të zgjedhim këta numra. Këta janë numrat 2 dhe 3, pasi 2 + 3 = 5 Dhe 2 3 = 6. Rezulton se 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
E kundërta e teoremës së Vietës mund të përdoret për të gjetur rrënjën e dytë kur e para është e njohur ose e dukshme. Për ta bërë këtë, ne mund të përdorim marrëdhëniet x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Shembulli 3
Merrni parasysh ekuacionin kuadratik 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Është e nevojshme të gjenden rrënjët e këtij ekuacioni.
Zgjidhje
Rrënja e parë e ekuacionit është 1, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Rezulton se x 1 = 1.
Tani le të gjejmë rrënjën e dytë. Për këtë ju mund të përdorni lidhjen x 1 x 2 = c a. Rezulton se 1 x 2 = − 3,512, ku x 2 = - 3,512.
Përgjigje: rrënjët e ekuacionit kuadratik të specifikuar në deklaratën e problemit 1 Dhe - 3 512 .
Është e mundur të zgjidhen rrënjët duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vieta-s vetëm në raste të thjeshta. Në raste të tjera, është më mirë të kërkoni duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik përmes një diskriminuesi.
Falë të kundërtës së teoremës së Vietës, ne gjithashtu mund të ndërtojmë ekuacione kuadratike duke përdorur rrënjët ekzistuese x 1 Dhe x 2. Për ta bërë këtë, ne duhet të llogarisim shumën e rrënjëve, e cila jep koeficientin për x me shenjën e kundërt të ekuacionit kuadratik të dhënë, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.
Shembulli 4
Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numra − 11 Dhe 23 .
Zgjidhje
Le të supozojmë se x 1 = − 11 Dhe x 2 = 23. Shuma dhe prodhimi i këtyre numrave do të jenë të barabartë: x 1 + x 2 = 12 Dhe x 1 x 2 = − 253. Kjo do të thotë se koeficienti i dytë është 12, termi i lirë − 253.
Le të bëjmë një ekuacion: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Përgjigju: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Ne mund të përdorim teoremën e Vietës për të zgjidhur probleme që përfshijnë shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Lidhja ndërmjet teoremës së Vietës lidhet me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0 si më poshtë:
- nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale dhe nëse termi i ndërprerjes qështë një numër pozitiv, atëherë këto rrënjë do të kenë të njëjtën shenjë "+" ose "-";
- nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë dhe nëse termi i ndërprerjes qështë një numër negativ, atëherë një rrënjë do të jetë "+", dhe e dyta "-".
Të dyja këto pohime janë pasojë e formulës x 1 x 2 = q dhe rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë dhe negativë, si dhe numrat me shenja të ndryshme.
Shembulli 5
Janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitive?
Zgjidhje
Sipas teoremës së Vietës, rrënjët e këtij ekuacioni nuk mund të jenë të dyja pozitive, pasi ato duhet të plotësojnë barazinë x 1 x 2 = − 21. Kjo është e pamundur me pozitive x 1 Dhe x 2.
Përgjigje: Nr
Shembulli 6
Në cilat vlera parametrash r ekuacioni kuadratik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 do të ketë dy rrënjë reale me shenja të ndryshme.
Zgjidhje
Le të fillojmë duke gjetur vlerat e të cilave r, për të cilin ekuacioni do të ketë dy rrënjë. Le të gjejmë diskriminuesin dhe të shohim se çfarë r do të marrë vlera pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vlera e shprehjes r 2 + 8 pozitive për çdo të vërtetë r, pra, diskriminuesi do të jetë më i madh se zero për çdo real r. Kjo do të thotë që ekuacioni kuadratik origjinal do të ketë dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.
Tani le të shohim kur rrënjët kanë shenja të ndryshme. Kjo është e mundur nëse produkti i tyre është negativ. Sipas teoremës së Vietës, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është i barabartë me termin e lirë. Kjo do të thotë se zgjidhja e saktë do të jenë ato vlera r, për të cilin termi i lirë r − 1 është negativ. Le të zgjidhim pabarazinë lineare r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Përgjigje: në r< 1 .
Formulat Vieta
Ekzistojnë një numër formulash që janë të zbatueshme për të kryer operacione me rrënjët dhe koeficientët e ekuacioneve jo vetëm kuadratike, por edhe kubike dhe lloje të tjera. Quhen formulat e Vietës.
Për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ekuacioni konsiderohet të ketë n rrënjë të vërteta x 1 , x 2 , … , x n, ndër të cilat mund të jenë të njëjta:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Përkufizimi 1
Formulat e Vieta na ndihmojnë të marrim:
- teorema mbi zbërthimin e një polinomi në faktorë linearë;
- përcaktimi i polinomeve të barabarta përmes barazisë së të gjithë koeficientëve të tyre përkatës.
Kështu, polinomi a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) janë të barabarta.
Nëse hapim kllapat në prodhimin e fundit dhe barazojmë koeficientët përkatës, fitojmë formulat e Vieta-s. Duke marrë n = 2, mund të marrim formulën e Vietës për ekuacionin kuadratik: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Përkufizimi 2
Formula e Vieta për ekuacionin kub:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Ana e majtë e formulës Vieta përmban të ashtuquajturat polinome elementare simetrike.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
