Si zbulohet një ekuacion kuadratik. Koncepti i një diskriminuesi. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.
Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".
Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur të plotë ekuacioni kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.
D = b 2 – 4ac.
Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.
Nëse diskriminuesi numër negativ(D< 0),то корней нет.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi numër pozitiv(D > 0),
atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.
Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Përgjigje: 2.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Përgjigje: pa rrënjë.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Përgjigje: – 3,5; 1.
Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.
Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde
A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, gabimisht mund të vendosni se
a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).
Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.
Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik koeficienti në termin e dytë është çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin në Figurën 2.
Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 e barabartë me një dhe ekuacioni do të marrë formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .
Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar 
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3
Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar. 
ekuacionet figura 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.
Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.
blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.
Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya
10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike
Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
mësues matematike
fshati Kopevë, 2007
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë
1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII
1.6 Rreth teoremës së Vietës
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
konkluzioni
Letërsia
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë
Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave parcelat e tokës dhe me punimet tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.
Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.
Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme i mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.
1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.
Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.
Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.
Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.
Problemi 11."Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"
Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .
Prandaj ekuacioni:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Nga këtu x = 2. Një nga numrat e kërkuar është i barabartë me 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.
Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë do të arrijmë në një zgjidhje të ekuacionit
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)
Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç A, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.
NË India e lashtë Konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu njeri i ditur eklipsoni lavdinë e tjetrit në kuvendet popullore duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike. Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.
Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.
Problemi 13.
"Një tufë majmunësh të gjallë dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive...
Autoritetet, pasi kishin ngrënë, u argëtuan. Ata filluan të kërcejnë, të varen...
Janë ata në shesh, pjesa e tetë Sa majmunë ishin?
Po argëtohesha në pastrim. Më thuaj, në këtë paketë?
Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera (Fig. 3).
Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara shkruan nën maskën:
x 2 - 64x = -768
dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Ekuacionet kuadratike në el - Khorezmi
Në traktatin algjebrik të al-Khorezmi, jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:
1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.
2) “Katroret janë të barabartë me numrat”, d.m.th. sëpatë 2 = c.
3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.
4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.
5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrat", d.m.th. ah 2 + bx = s.
6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = sëpatë 2 .
Për al-Khorezmi, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë
al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në problemet specifike praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas prova gjeometrike.
Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke nënkuptuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).
Zgjidhja e autorit shkon diçka e tillë: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.
Traktati i el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII bb
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si të vendeve islame ashtu edhe Greqia e lashtë, dallohet si nga plotësia ashtu edhe nga qartësia e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa të reja shembuj algjebrikë zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.
Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:
x 2 + bx = c,
për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.
Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në pamje e përgjithshme Viet e ka atë, por Viet njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Ata marrin parasysh, përveç pozitive, dhe rrënjë negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.
1.6 Rreth teoremës së Vietës
Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D, shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».
Për të kuptuar Vietën, duhet ta kujtojmë këtë A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (tonë X), zanoret NË, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse ka
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Shprehja e marrëdhënies ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve formulat e përgjithshme, shkruar duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg pamje moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Gjenden ekuacionet kuadratike aplikim të gjerë kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-të) deri në diplomim.
Dihet se është një version i veçantë i barazisë ax 2 + bx + c = o, ku a, b dhe c janë koeficientë realë për x të panjohur, dhe ku a ≠ o, dhe b dhe c do të jenë zero - njëkohësisht ose veçmas. Për shembull, c = o, b ≠ o ose anasjelltas. Ne pothuajse kujtuam përkufizimin e një ekuacioni kuadratik.
Trinomi i shkallës së dytë është zero. Koeficienti i tij i parë a ≠ o, b dhe c mund të marrë çdo vlerë. Vlera e ndryshores x do të jetë atëherë kur zëvendësimi e kthen atë në një barazi numerike të saktë. Le të përqendrohemi te rrënjët reale, megjithëse zgjidhjet e ekuacionit mund të jenë gjithashtu të plota.
Le të zgjidhim një shembull. 2x 2 -9x-5 = oh, ne gjejmë
D = 81+40 = 121,
D është pozitiv, që do të thotë se ka rrënjë, x 1 = (9+√121):4 = 5, dhe e dyta x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrollimi do të ndihmojë për t'u siguruar që ato janë të sakta.
Këtu zgjidhje hap pas hapi ekuacioni kuadratik
Duke përdorur diskriminuesin, mund të zgjidhni çdo ekuacion në anën e majtë të të cilit është i njohur trinomi kuadratik për një ≠ o. Në shembullin tonë. 2x 2 -9x-5 = 0 (sëpatë 2 +në+s = o)
Le të shohim se çfarë ka ekuacionet jo të plota shkallë e dytë
- sëpatë 2 +në = o. Termi i lirë, koeficienti c në x 0, është i barabartë me zero këtu, në ≠ o.
Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë të këtij lloji? Le të nxjerrim x nga kllapa. Le të kujtojmë kur prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero.
x(ax+b) = o, kjo mund të jetë kur x = o ose kur ax+b = o.
Pasi kemi zgjidhur të 2-tën kemi x = -в/а.
Si rezultat, kemi rrënjë x 1 = 0, sipas llogaritjeve x 2 = -b/a. - Tani koeficienti i x është i barabartë me o, dhe c nuk është i barabartë (≠) o.
x 2 +c = o. Le të lëvizim c në anën e djathtë të barazisë, marrim x 2 = -с. Ky ekuacion ka rrënjë reale vetëm kur -c është një numër pozitiv (c ‹ o),
x 1 është atëherë e barabartë me √(-c), përkatësisht, x 2 është -√(-c). Përndryshe, ekuacioni nuk ka rrënjë fare. - Opsioni i fundit: b = c = o, domethënë sëpatë 2 = o. Natyrisht, një ekuacion kaq i thjeshtë ka një rrënjë, x = o.
Raste të veçanta
Ne shikuam se si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë, dhe tani le të marrim çdo lloj.
- Në një ekuacion të plotë kuadratik, koeficienti i dytë i x është një numër çift.
Le të jetë k = o.5b. Kemi formula për llogaritjen e diskriminuesit dhe rrënjëve.
D/4 = k 2 - ac, rrënjët llogariten si x 1,2 = (-k±√(D/4))/a për D › o.
x = -k/a në D = o.
Nuk ka rrënjë për D ‹ o. - Janë dhënë ekuacione kuadratike, kur koeficienti i x në katror është 1, zakonisht shkruhen x 2 + рх + q = o. Të gjitha formulat e mësipërme vlejnë për to, por llogaritjet janë disi më të thjeshta.
Shembull, x 2 -4x-9 = 0. Llogaritni D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - Përveç kësaj, është e lehtë të zbatohet për ato të dhëna Ai thotë se shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë me -p, koeficienti i dytë me një minus (që do të thotë shenjë e kundërt), dhe prodhimi i të njëjtave rrënjë. të jetë e barabartë me q, termi i lirë. Shihni se sa e lehtë do të ishte të përcaktoheshin me gojë rrënjët e këtij ekuacioni. Për koeficientët e pareduktuar (për të gjithë koeficientët jo të barabartë me zero), kjo teoremë është e zbatueshme si më poshtë: shuma x 1 + x 2 është e barabartë me -b/a, prodhimi x 1 ·x 2 është e barabartë me c/a.
Shuma e termit të lirë c dhe koeficientit të parë a është e barabartë me koeficientin b. Në këtë situatë, ekuacioni ka të paktën një rrënjë (e lehtë për t'u vërtetuar), e para është domosdoshmërisht e barabartë me -1 dhe e dyta -c/a, nëse ekziston. Ju mund të kontrolloni vetë se si të zgjidhni një ekuacion kuadratik jo të plotë. Nuk mund të ishte më e thjeshtë. Koeficientët mund të jenë në marrëdhënie të caktuara me njëri-tjetrin
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Shuma e të gjithë koeficientëve është e barabartë me o.
Rrënjët e një ekuacioni të tillë janë 1 dhe c/a. Shembull, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Ka një sërë mënyrash të tjera për të zgjidhur ekuacione të ndryshme të shkallës së dytë. Këtu, për shembull, është një metodë për nxjerrjen e një katrori të plotë nga një polinom i caktuar. Ka disa metoda grafike. Kur merresh shpesh me shembuj të tillë, do të mësosh t'i “klikosh” si fara, sepse të gjitha metodat të vijnë në mendje automatikisht.
Në këtë artikull do të shikojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota.
Por së pari, le të përsërisim se cilat ekuacione quhen kuadratike. Një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku x është një ndryshore, dhe koeficientët a, b dhe c janë disa numra, dhe a ≠ 0 quhet katrore. Siç e shohim, koeficienti për x 2 nuk është i barabartë me zero, dhe për këtë arsye koeficientët për x ose termin e lirë mund të jenë të barabartë me zero, me ç'rast marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë.
Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
1) Nëse b = 0, c ≠ 0, atëherë ax 2 + c = 0;
2) Nëse b ≠ 0, c = 0, atëherë ax 2 + bx = 0;
3) Nëse b = 0, c = 0, atëherë sëpatë 2 = 0.
- Le të kuptojmë se si të zgjidhim ekuacionet e formës ax 2 + c = 0.
Për të zgjidhur ekuacionin, ne zhvendosim termin e lirë c në anën e djathtë të ekuacionit, marrim
sëpatë 2 = ‒s. Meqenëse a ≠ 0, ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit me a, pastaj x 2 = ‒c/a.
Nëse ‒с/а > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë
x = ±√(–c/a) .
Nëse ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Le të përpiqemi të kuptojmë me shembuj se si të zgjidhim ekuacione të tilla.
Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 ‒ 32 = 0.
Përgjigje: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 8 = 0.
Përgjigje: ekuacioni nuk ka zgjidhje.
- Le të kuptojmë se si ta zgjidhim atë ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0.
Për të zgjidhur ekuacionin ax 2 + bx = 0, le ta faktorizojmë atë, domethënë, nxjerrim x nga kllapat, marrim x(ax + b) = 0. Prodhimi është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë. në zero. Atëherë ose x = 0, ose ax + b = 0. Duke zgjidhur ekuacionin ax + b = 0, marrim ax = - b, prej nga x = - b/a. Një ekuacion i formës ax 2 + bx = 0 ka gjithmonë dy rrënjë x 1 = 0 dhe x 2 = ‒ b/a. Shikoni si duket zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji në diagram. 
Le të konsolidojmë njohuritë tona me një shembull specifik.
Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 ose 3x – 12 = 0
Përgjigje: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Ekuacionet e tipit të tretë sëpatë 2 = 0 zgjidhen shumë thjesht.
Nëse sëpatë 2 = 0, atëherë x 2 = 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta x 1 = 0, x 2 = 0.
Për qartësi, le të shohim diagramin. 
Le të sigurohemi kur zgjidhim shembullin 4 që ekuacionet e këtij lloji mund të zgjidhen shumë thjesht.
Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin 7x 2 = 0.
Përgjigje: x 1, 2 = 0.
Nuk është gjithmonë e qartë menjëherë se çfarë lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë duhet të zgjidhim. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me emërues i përbashkët, pra deri në 30
Le ta shkurtojmë atë
5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.
Le të hapim kllapat
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Le të japim të ngjashme
Le të lëvizim 99 nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën
Përgjigje: pa rrënjë.
Ne shikuam se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Shpresoj që tani nuk do të keni ndonjë vështirësi me detyra të tilla. Kini kujdes kur përcaktoni llojin e ekuacionit kuadratik jo të plotë, atëherë do të keni sukses.
Nëse keni pyetje për këtë temë, regjistrohuni në mësimet e mia, ne do t'i zgjidhim problemet që lindin së bashku.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.
Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".
Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.
D = b 2 – 4ac.
Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.
Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),
atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.
Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Përgjigje: 2.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Përgjigje: pa rrënjë.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Përgjigje: – 3,5; 1.
Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.
Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde
A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, gabimisht mund të vendosni se
a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).
Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.
Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik koeficienti në termin e dytë është çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin në Figurën 2.
Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .
Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3
Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar. ekuacionet figura 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3
Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.
Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
