Faktorizimi i trinomit q. Trinomi katror. Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Zgjerimi i polinomeve për të marrë një produkt ndonjëherë mund të duket konfuz. Por nuk është aq e vështirë nëse e kuptoni procesin hap pas hapi. Artikulli përshkruan në detaje se si të faktorizoni një trinom kuadratik.
Shumë njerëz nuk e kuptojnë se si të faktorizojnë një trinom katror dhe pse bëhet kjo. Në fillim mund të duket si një ushtrim i kotë. Por në matematikë asgjë nuk bëhet për asgjë. Transformimi është i nevojshëm për të thjeshtuar shprehjen dhe lehtësinë e llogaritjes.
Një polinom i formës – ax²+bx+c, quhet trinom kuadratik. Termi "a" duhet të jetë negativ ose pozitiv. Në praktikë, kjo shprehje quhet ekuacion kuadratik. Prandaj, ndonjëherë ata e thonë ndryshe: si të zgjerohet një ekuacion kuadratik.
Interesante! Një polinom quhet katror për shkak të vetvetes në një masë të madhe– katror. Dhe një trinom - për shkak të 3 komponentëve.
Disa lloje të tjera polinomesh:
- binomi linear (6x+8);
- kadrinomi kub (x³+4x²-2x+9).
Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Së pari, shprehja është e barabartë me zero, atëherë duhet të gjeni vlerat e rrënjëve x1 dhe x2. Mund të mos ketë rrënjë, mund të ketë një ose dy rrënjë. Prania e rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi. Ju duhet ta dini përmendësh formulën e tij: D=b²-4ac.
Nëse rezultati D është negativ, nuk ka rrënjë. Nëse pozitive, ka dy rrënjë. Nëse rezultati është zero, rrënja është një. Rrënjët gjithashtu llogariten duke përdorur formulën.
Nëse, kur llogaritni diskriminuesin, rezultati është zero, mund të përdorni ndonjë nga formulat. Në praktikë, formula thjesht shkurtohet: -b / 2a.
Formulat për kuptime të ndryshme diskriminuesit ndryshojnë.
Nëse D është pozitiv:
Nëse D është zero:
Llogaritësi në internet
Në internet ka kalkulator në internet. Mund të përdoret për të kryer faktorizimin. Disa burime ofrojnë mundësinë për të parë zgjidhjen hap pas hapi. Shërbime të tilla ndihmojnë për të kuptuar më mirë temën, por duhet të përpiqeni ta kuptoni mirë.
Video e dobishme: Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Shembuj
Ju ftojmë ta shikoni shembuj të thjeshtë, si të faktorizohet një ekuacion kuadratik.
Shembulli 1
Kjo tregon qartë se rezultati është dy x sepse D është pozitiv. Ato duhet të zëvendësohen në formulë. Nëse rrënjët rezultojnë negative, shenja në formulë ndryshon në të kundërtën.
Ne e dimë formulën e zbërthimit trinom kuadratik sipas faktorëve: a(x-x1)(x-x2). Vlerat i vendosim në kllapa: (x+3)(x+2/3). Nuk ka asnjë numër përpara një termi në një fuqi. Kjo do të thotë se ka një atje, ai zbret.
Shembulli 2
Ky shembull tregon qartë se si të zgjidhet një ekuacion që ka një rrënjë.
Ne zëvendësojmë vlerën që rezulton:
Shembulli 3
E dhënë: 5x²+3x+7
Së pari, le të llogarisim diskriminuesin, si në rastet e mëparshme.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminuesi është negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë.
Pas marrjes së rezultatit, duhet të hapni kllapat dhe të kontrolloni rezultatin. Duhet të shfaqet trinomi origjinal.
Zgjidhje alternative
Disa njerëz nuk mundën kurrë të miqësoheshin me diskriminuesin. Ekziston një mënyrë tjetër për të faktorizuar një trinom kuadratik. Për lehtësi, metoda tregohet me një shembull.
Jepet: x²+3x-10
Ne e dimë se duhet të marrim 2 kllapa: (_)(_). Kur shprehja duket kështu: x²+bx+c, në fillim të çdo kllapa vendosim x: (x_)(x_). Dy numrat e mbetur janë prodhimi që jep "c", pra në këtë rast -10. Mënyra e vetme për të zbuluar se cilët janë numrat është me përzgjedhje. Numrat e zëvendësuar duhet të korrespondojnë me termin e mbetur.
Për shembull, duke shumëzuar numrat e mëposhtëm jep -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Përshtatet.
Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes x2+3x-10 duket kështu: (x-2)(x+5).
E rëndësishme! Duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni shenjat.
Zgjerimi i një trinomi kompleks
Nëse "a" është më e madhe se një, fillojnë vështirësitë. Por gjithçka nuk është aq e vështirë sa duket.
Për të faktorizuar, së pari duhet të shikoni nëse diçka mund të faktorizohet.
Për shembull, jepet shprehja: 3x²+9x-30. Këtu numri 3 është hequr nga kllapat:
3 (x²+3x-10). Rezultati është trinomi tashmë i njohur. Përgjigja duket si kjo: 3(x-2)(x+5)
Si të zbërthehet nëse termi që është në katror është negativ? Në këtë rast, numri -1 hiqet nga kllapat. Për shembull: -x²-10x-8. Shprehja do të duket kështu:
Skema ndryshon pak nga ajo e mëparshme. Ka vetëm disa gjëra të reja. Le të themi se është dhënë shprehja: 2x²+7x+3. Përgjigja shkruhet gjithashtu në 2 kllapa që duhet të plotësohen (_)(_). Në kllapin e dytë shkruhet x, dhe në të parën ajo që ka mbetur. Duket kështu: (2x_)(x_). Përndryshe, skema e mëparshme përsëritet.
Numri 3 jepet nga numrat:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Ne i zgjidhim ekuacionet duke i zëvendësuar këta numra. Opsioni i fundit është i përshtatshëm. Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes 2x²+7x+3 duket kështu: (2x+1)(x+3).
Raste të tjera
Nuk është gjithmonë e mundur të konvertohet një shprehje. Me metodën e dytë, zgjidhja e ekuacionit nuk kërkohet. Por mundësia e shndërrimit të termave në produkt kontrollohet vetëm përmes diskriminuesit.
Ia vlen të praktikoni për të vendosur ekuacionet kuadratike në mënyrë që të mos ketë vështirësi gjatë përdorimit të formulave.
Video e dobishme: faktorizimi i një trinomi
konkluzioni
Mund ta përdorni në çdo mënyrë. Por është më mirë t'i praktikoni të dyja derisa të bëhen automatike. Gjithashtu, mësimi i zgjidhjes së mirë të ekuacioneve kuadratike dhe polinomeve të faktorëve është i nevojshëm për ata që planifikojnë të lidhin jetën e tyre me matematikën. Të gjitha temat e mëposhtme matematikore janë ndërtuar mbi këtë.
Faktorizimi i trinomeve kuadratike është një nga detyrat shkollore me të cilën të gjithë përballen herët a vonë. Si ta bëjmë atë? Cila është formula për faktorizimin e një trinomi kuadratik? Le ta kuptojmë hap pas hapi duke përdorur shembuj.
Formula e përgjithshme
Trinomialet kuadratike faktorizohen duke zgjidhur një ekuacion kuadratik. Ky është një problem i thjeshtë që mund të zgjidhet me disa metoda - duke gjetur diskriminuesin, duke përdorur teoremën e Vietës, ekziston edhe një zgjidhje grafike. Dy metodat e para studiohen në shkollë të mesme.
Formula e përgjithshme duket si kjo:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritmi për përfundimin e detyrës
Për të faktorizuar trinomet kuadratike, duhet të dini teoremën e Vitës, të keni në dorë një program zgjidhjeje, të jeni në gjendje të gjeni një zgjidhje grafikisht ose të kërkoni rrënjët e një ekuacioni të shkallës së dytë duke përdorur formulën diskriminuese. Nëse jepet një trinom kuadratik dhe duhet të faktorizohet, algoritmi është si më poshtë:
1) Barazoni shprehjen origjinale me zero për të marrë një ekuacion.
2) Sillni terma të ngjashëm(nëse ka një nevojë të tillë).
3) Gjeni rrënjët e ndonjë në një mënyrë të njohur. Metoda grafikeËshtë më mirë ta përdorni nëse dihet paraprakisht se rrënjët janë numra të plotë dhe të vegjël. Duhet mbajtur mend se numri i rrënjëve është i barabartë me shkallë maksimale ekuacioni, pra ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
4) Zëvendësoni vlerën X në shprehje (1).
5) Shkruani faktorizimin e trinomeve kuadratike.
Shembuj
Praktika ju lejon të kuptoni më në fund se si kryhet kjo detyrë. Shembujt ilustrojnë faktorizimin e një trinomi katror:
është e nevojshme të zgjerohet shprehja:
Le t'i drejtohemi algoritmit tonë:
1) x 2 -17x+32=0
2) termat e ngjashëm reduktohen
3) duke përdorur formulën e Vieta, është e vështirë të gjesh rrënjë për këtë shembull, kështu që është më mirë të përdoret shprehja për diskriminuesin:
D=289-128=161=(12.69) 2
4) Le të zëvendësojmë rrënjët që gjetëm në formulën bazë për zbërthimin:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Atëherë përgjigja do të jetë si kjo:
x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)
Le të kontrollojmë nëse zgjidhjet e gjetura nga diskriminuesi korrespondojnë me formulat Vieta:
14,845 . 2,155=32
Për këto rrënjë zbatohet teorema e Vietës, ato janë gjetur saktë, që do të thotë se faktorizimi që kemi marrë është gjithashtu i saktë.
Në mënyrë të ngjashme, ne zgjerojmë 12x 2 + 7x-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337)1/2
Në rastin e mëparshëm zgjidhjet nuk ishin numër i plotë, por numra realë, të cilat gjenden lehtësisht nëse keni para vetes një makinë llogaritëse. Tani le të shohim më shumë shembull kompleks, në të cilin rrënjët do të jenë komplekse: faktori x 2 + 4x + 9. Duke përdorur formulën e Vietës, rrënjët nuk mund të gjenden dhe diskriminuesi është negativ. Rrënjët do të jenë në planin kompleks.
D=-20
Në bazë të kësaj marrim rrënjët që na interesojnë -4+2i*5 1/2 dhe -4-2i * 5 1/2 që nga (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Ne marrim zbërthimin e dëshiruar duke zëvendësuar rrënjët në formulën e përgjithshme.
Një shembull tjetër: duhet të faktorizoni shprehjen 23x 2 -14x+7.
Ne kemi ekuacionin 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Kjo do të thotë se rrënjët janë 14+21.166i dhe 14-21.166i. Përgjigja do të jetë:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).
Le të japim një shembull që mund të zgjidhet pa ndihmën e një diskriminuesi.
Le të themi se duhet të zgjerojmë ekuacionin kuadratik x 2 -32x+255. Natyrisht, mund të zgjidhet edhe duke përdorur një diskriminues, por në këtë rast është më e shpejtë për të gjetur rrënjët.
x 1 = 15
x 2 = 17
Mjetet x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).
SHESHI TRESHI III
§ 54. Zbërthimi i një trinomi kuadratik në faktorë linearë
Në këtë pjesë do të shqyrtojmë pyetjen e mëposhtme: në cilin rast është trinomi kuadratik sëpatë 2 + bx + c mund të përfaqësohet si produkt
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
dy të afërm linearë X shumëzuesit me koeficientë realë a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Supozojmë se trinomi kuadratik i dhënë sëpatë 2 + bx + c le ta paraqesim në formë
sëpatë 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
Ana e djathtë e formulës (1) zhduket kur X = - b 1 / a 1 dhe X = - b 2 / a 2 (a 1 dhe a 2 nuk janë të barabarta me zero sipas kushtit). Por në këtë rast numrat janë b 1 / a 1 dhe - b 2 / a 2 janë rrënjët e ekuacionit
sëpatë 2 + bx + c = 0.
Prandaj, diskriminuesi i trinomit kuadratik sëpatë 2 + bx + c duhet të jetë jo negative.
2. Anasjelltas, supozojmë se diskriminuesi D = b 2 - 4ac trinom kuadratik sëpatë 2 + bx + c jo negative. Atëherë ky trinom ka rrënjë reale x 1 dhe x 2. Duke përdorur teoremën e Vieta-s, marrim:
sëpatë 2 + bx + c =A (x 2 + b / a X + c / a ) = A [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =
= A [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = A [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =
=a (X - x 1)(X - x 2).
sëpatë 2 + bx + c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)
Ku x 1 dhe x 2 - rrënjët e trinomit sëpatë 2 + bx + c . Koeficienti A mund t'i atribuohet njërit prej dy faktorëve linearë, për shembull,
a (X - x 1)(X - x 2) = (ah - sëpatë 1)(X - x 2).
Por kjo do të thotë se në rastin në shqyrtim trinomi katror sëpatë 2 + bx + c e paraqesin atë si prodhim të dy faktorëve linearë me koeficientë realë.
Duke kombinuar rezultatet e marra në paragrafët 1 dhe 2, arrijmë në teoremën e mëposhtme.
Teorema. Trinomi katror sëpatë 2 + bx + c atëherë dhe vetëm atëherë mund të paraqitet si produkt i dy faktorëve linearë me koeficientë realë,
sëpatë 2 + bx + c = (ah - sëpatë 1)(X - x 2),
kur diskriminuesi i këtij trinomi kuadratik është jonegativ (pra kur ky trinom ka rrënjë reale).
Shembulli 1. Faktorizimi linear 6 x 2 - X -1.
Rrënjët e këtij trinomi kuadratik janë të barabarta x 1 = 1/2 dhe x 2 = - 1 / 3 .
Prandaj, sipas formulës (2)
6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).
Shembulli 2. Faktorizimi linear x 2 + X + 1. Diskriminuesi i këtij trinomi kuadratik është negativ:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Prandaj, ky trinom kuadratik nuk mund të zgjerohet në faktorë linearë me koeficientë realë.
Ushtrime
Faktoroni shprehjet e mëposhtme në faktorë linearë (Nr. 403 - 406):
403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.
404. 2x 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. x 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - b 2 .
Zvogëloni thyesat (Nr. 407, 408):
Zgjidh ekuacionet:
Një trinom katror është një polinom i formës ax^2+bx+c, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a nuk është e barabartë me zero.
Në fakt, gjëja e parë që duhet të dimë për të faktorizuar trinomin e pafat është teorema. Duket kështu: "Nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e trinomit katror ax^2+bx+c, atëherë ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)." Sigurisht, ka një provë të kësaj teoreme, por kërkon njohuri teorike (kur nxjerrim faktorin a në polinomin ax^2+bx+c, marrim ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a Nga teorema e Viette, x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, pra b/a=-(x1+x2), c/. a=x1*x2 , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1) -x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2) Kjo do të thotë ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Ndonjëherë mësuesit ju detyrojnë të mësoni vërtetimin, por). nëse nuk kërkohet, ju këshilloj që thjesht ta mësoni përmendësh.
Hapi 2
Le të marrim si shembull trinomin 3x^2-24x+21. Gjëja e parë që duhet të bëjmë është të barazojmë trinomin me zero: 3x^2-24x+21=0. Rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton do të jenë përkatësisht rrënjët e trinomit.
Hapi 3
Le të zgjidhim ekuacionin 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Pra, le të vendosim. Për ata që nuk dinë të zgjidhin ekuacionet kuadratike, shikoni udhëzimet e mia me 2 mënyra për t'i zgjidhur ato duke përdorur të njëjtin ekuacion si shembull. Rrënjët që rezultojnë janë x1=7, x2=1.
Hapi 4
Tani që kemi rrënjët e trinomit, ne mund t'i zëvendësojmë me siguri në formulën =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
marrim: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Mund ta heqësh termin a duke e vendosur në kllapa: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
si rezultat marrim: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Shënim: secili nga faktorët që rezultojnë ((x-7), (3x-3) janë polinome të shkallës së parë. Kjo është e gjitha zgjerimi =) Nëse dyshoni në përgjigjen e marrë, gjithmonë mund ta kontrolloni duke shumëzuar kllapat.
Hapi 5
Kontrollimi i zgjidhjes. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Tani e dimë me siguri se vendimi ynë është i saktë! Shpresoj se udhëzimet e mia do të ndihmojnë dikë =) Fat i mirë me studimet tuaja!
- Në rastin tonë, në ekuacionin D > 0 dhe kemi marrë 2 rrënjë. Nëse do të kishte një D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të faktorizohet, që janë polinome të shkallës së parë.
