Antiderivativ i një funksioni kompleks, shembuj zgjidhjesh. Integral antiderivativ dhe i pacaktuar – Hipermarketi i njohurive
Tabela e antiderivativëve
Përkufizimi. Funksioni F(x) në një interval të caktuar quhet antiderivativ për funksionin f(x) , për të gjitha x nga ky interval, nëse F"(x)=f(x) .
Operacioni i gjetjes së një antiderivati për një funksion quhet integrimin. Është e kundërta e operacionit të diferencimit.
Teorema. Çdo funksion (x) i vazhdueshëm në një interval ka një antiderivativ në të njëjtin interval.
Teorema (vetia kryesore e antiderivativit). Nëse në një interval funksioni F(x) është një antiderivativ i funksionit f(x), atëherë në këtë interval funksioni F(x)+C do të jetë gjithashtu një antiderivativ i f(x), ku C është një konstante arbitrare. .
Nga kjo teoremë del se kur f(x) ka një funksion antiderivativ F(x) në një interval të caktuar, atëherë ka shumë nga këta primitivë. Dhënia arbitrare e C vlerat numerike, çdo herë do të marrim një funksion antiderivativ.
Për të gjetur antiderivativë përdorni tabela e antiderivativëve. Përftohet nga tabela e derivateve.
Koncepti i një integrali të pacaktuar
Përkufizimi. Bashkësia e të gjithë funksioneve antiderivative për funksionin f(x) quhet Jo integral i caktuar dhe është caktuar .
Në këtë rast thirret f(x). funksion integrand, dhe f(x) dx - integrand.
Prandaj, nëse F(x) është antiderivativ i f(x), atëherë 
.
Vetitë e integralit të pacaktuar
Koncepti i një integrali të caktuar
Le të shqyrtojmë një figurë të rrafshët të kufizuar nga një graf i vazhdueshëm dhe jo negativ në segmentin [a; b] funksioni f(x) , segmenti [a; b] , dhe drejtëza x=a dhe x=b .
Shifra që rezulton quhet trapezoid i lakuar. Le të llogarisim sipërfaqen e saj.
Për ta bërë këtë, ne ndajmë segmentin [a; b] në n segmente të barabarta.
Gjatësia e secilit segment është e barabartë me Δx.
Ky është një vizatim dinamik GeoGebra.
Elementet e kuqe mund të ndryshohen
Oriz. 1. Koncepti i një integrali të caktuar
Në çdo segment do të ndërtojmë drejtkëndësha me lartësi f(x k-1) (Fig. 1).
Sipërfaqja e secilit drejtkëndësh të tillë është e barabartë me S k = f(x k-1)Δx k. 
.
Sipërfaqja e të gjithë drejtkëndëshave të tillë është e barabartë me Kjo shumë quhet shuma integrale
për funksionin f(x) .
Nëse n→∞ atëherë sipërfaqja e figurës së ndërtuar në këtë mënyrë do të ndryshojë gjithnjë e më pak nga zona e trapezit lakor. Përkufizimi. Kufiri i shumës integrale kur thirret n→∞ integral i caktuar 
.
, dhe shkruhet kështu: "integral nga a në b f nga xdx"
Numri a quhet kufiri i poshtëm i integrimit, b është kufiri i sipërm i integrimit, segmenti [a; b] – interval integrimi.
Vetitë e një integrali të caktuar
Formula Njuton-Leibniz
Integrali i caktuar është i lidhur ngushtë me integralin antiderivativ dhe të pacaktuar Formula Njuton-Leibniz
.
Duke përdorur integralin
Llogaritja integrale përdoret gjerësisht në zgjidhjen e një sërë problemesh praktike. Le të shohim disa prej tyre.
Llogaritja e vëllimeve të trupave
|
Le të jepet një funksion që specifikon zonën e prerjes tërthore të trupit në varësi të disa ndryshoreve S = s(x), x[a; b] . Pastaj vëllimi i një trupi të caktuar mund të gjendet duke integruar këtë funksion brenda kufijve të duhur. |
|
| Nëse na jepet një trup që përftohet duke rrotulluar një trapez lakor rreth boshtit Ox të kufizuar nga një funksion f(x), x [a; b] . (Fig. 3). Ai shesh prerje tërthore mund të llogaritet duke përdorur formulën e njohur S = π f 2 (x). Prandaj, formula për vëllimin e një trupi të tillë revolucioni është |
|
Mësim dhe prezantim me temën: "Një funksion antiderivativ. Grafiku i një funksioni"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 11-të
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9–11
"Detyrat ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë për klasat 10 dhe 11"
Funksioni antiderivativ. Prezantimi
Djema, ju e dini se si të gjeni derivatet e funksioneve duke përdorur formula dhe rregulla të ndryshme. Sot do të studiojmë veprimin e anasjelltë të llogaritjes së derivatit. Koncepti i derivatit përdoret shpesh në jeta reale. Më lejoni t'ju kujtoj: derivati është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar. Proceset që përfshijnë lëvizjen dhe shpejtësinë përshkruhen mirë në këto terma.Le të shohim këtë problem: “Shpejtësia e një objekti që lëviz në vijë të drejtë përshkruhet me formulën $V=gt$ Kërkohet për të rivendosur ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje.
Ne e dimë mirë formulën: $S"=v(t)$, ku S është ligji i lëvizjes.
Detyra jonë zbret në gjetjen e një funksioni $S=S(t)$ derivati i të cilit është i barabartë me $gt$. Duke parë me kujdes, mund të merrni me mend se $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Le të kontrollojmë korrektësinë e zgjidhjes së këtij problemi: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Duke ditur derivatin e funksionit, kemi gjetur vetë funksionin, pra kemi kryer veprimin e anasjelltë.
Por ia vlen t'i kushtohet vëmendje këtij momenti. Zgjidhja e problemit tonë kërkon sqarim nëse i shtojmë ndonjë numër (konstante) funksionit të gjetur, atëherë vlera e derivatit nuk do të ndryshojë: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=konst$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Djema, kushtojini vëmendje: problemi ynë ka një numër të pafund zgjidhjesh!
Nëse problemi nuk specifikon një gjendje fillestare ose ndonjë kusht tjetër, mos harroni të shtoni një konstante në zgjidhje. Për shembull, detyra jonë mund të specifikojë pozicionin e trupit tonë që në fillim të lëvizjes. Atëherë nuk është e vështirë të llogarisim konstantën duke zëvendësuar zeron në ekuacionin që rezulton, ne marrim vlerën e konstantës.
Si quhet ky operacion?
Operacioni i kundërt i diferencimit quhet integrim.
Gjetja e një funksioni nga një derivat i caktuar - integrimi.
Vetë funksioni do të quhet antiderivativ, domethënë imazhi nga i cili është marrë derivati i funksionit.
Është zakon të shkruhet antiderivativi me shkronjën e madhe $y=F"(x)=f(x)$.
Përkufizimi. Funksioni $y=F(x)$ quhet antiderivativ i funksionit $у=f(x)$ në intervalin X nëse për çdo $хϵХ$ vlen barazia $F'(x)=f(x)$ .
Le të bëjmë një tabelë të antiderivativëve për funksione të ndryshme. Duhet të shtypet si kujtesë dhe të memorizohet.
Në tabelën tonë, nuk u specifikuan kushte fillestare. Kjo do të thotë që çdo shprehje në anën e djathtë të tabelës duhet t'i shtohet një konstante. Këtë rregull do ta sqarojmë më vonë.
Rregullat për gjetjen e antiderivativëve
Le të shkruajmë disa rregulla që do të na ndihmojnë në gjetjen e antiderivativëve. Ato janë të gjitha të ngjashme me rregullat e diferencimit.Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Shembull.
Gjeni antiderivativin për funksionin $y=4x^3+cos(x)$.
Zgjidhje.
Antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve, atëherë duhet të gjejmë antiderivativin për secilin nga funksionet e paraqitura.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Atëherë antiderivati i funksionit origjinal do të jetë: $y=x^4+sin(x)$ ose ndonjë funksion i formës $y=x^4+sin(x)+C$.
Rregulli 2. Nëse $F(x)$ është një antiderivativ për $f(x)$, atëherë $k*F(x)$ është një antiderivativ për funksionin $k*f(x)$.(Koeficientin mund ta marrim lehtësisht si funksion).
Shembull.
Gjeni antiderivativët e funksioneve:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Zgjidhje.
a) Antiderivati i $sin(x)$ është minus $cos(x)$. Atëherë antiderivati i funksionit origjinal do të marrë formën: $y=-8cos(x)$.
B) Antiderivati i $cos(x)$ është $sin(x)$. Atëherë antiderivati i funksionit origjinal do të marrë formën: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) Antiderivativi për $x^2$ është $\frac(x^3)(3)$. Antiderivativi për x është $\frac(x^2)(2)$. Antiderivati i 1 është x. Atëherë antiderivati i funksionit origjinal do të marrë formën: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
Rregulli 3. Nëse $у=F(x)$ është një antiderivativ për funksionin $y=f(x)$, atëherë antiderivati për funksionin $y=f(kx+m)$ është funksioni $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.
Shembull.
Gjeni antiderivativë të funksioneve të mëposhtme:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Zgjidhje.
a) Antiderivati i $cos(x)$ është $sin(x)$. Atëherë antiderivativi për funksionin $y=cos(7x)$ do të jetë funksioni $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.
B) Antiderivati i $sin(x)$ është minus $cos(x)$. Atëherë antiderivati për funksionin $y=sin(\frac(x)(2))$ do të jetë funksioni $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) Antiderivati për $x^3$ është $\frac(x^4)(4)$, pastaj antiderivati i funksionit origjinal $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.
D) Thjeshtoni pak shprehjen në fuqinë $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antiderivati i një funksioni eksponencial është vetë funksioni eksponencial. Antiderivati i funksionit origjinal do të jetë $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Teorema. Nëse $y=F(x)$ është një antiderivativ për funksionin $y=f(x)$ në intervalin X, atëherë funksioni $y=f(x)$ ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjithë kanë forma $y=F( x)+С$.
Nëse në të gjithë shembujt e diskutuar më sipër ishte e nevojshme të gjendej grupi i të gjithë antiderivativëve, atëherë konstanta C duhet të shtohet kudo.
Për funksionin $y=cos(7x)$ të gjithë antiderivativët kanë formën: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Për funksionin $y=(-2x+3)^3$ të gjithë antiderivativët kanë formën: $y=-\frac((-2x+3))^4)(8)+C$.
Shembull.
Sipas ligjit të dhënë të ndryshimit të shpejtësisë së një trupi me kalimin e kohës $v=-3sin(4t)$, gjeni ligjin e lëvizjes $S=S(t)$ nëse në momentin fillestar trupi kishte një koordinatë e barabartë me 1.75.
Zgjidhje.
Meqenëse $v=S’(t)$, ne duhet të gjejmë antiderivativin për një shpejtësi të caktuar.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Në këtë problem është dhënë kusht shtesë- momenti fillestar i kohës. Kjo do të thotë se $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Pastaj ligji i lëvizjes përshkruhet me formulën: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
1. Gjeni antiderivativë të funksioneve:a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Gjeni antiderivativë të funksioneve të mëposhtme:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Sipas ligjit të dhënë të ndryshimit të shpejtësisë së një trupi me kalimin e kohës $v=4cos(6t)$, gjeni ligjin e lëvizjes $S=S(t)$ nëse në momentin fillestar të kohës trupi kishte një koordinata e barabartë me 2.
Ekzistojnë tre rregulla themelore për gjetjen e funksioneve antiderivative. Ato janë shumë të ngjashme me rregullat përkatëse të diferencimit.
Rregulli 1
Nëse F është një antiderivativ për disa funksione f, dhe G është një antiderivativ për një funksion g, atëherë F + G do të jetë një antiderivativ për f + g.
Sipas përkufizimit të një antiderivati, F' = f. G' = g. Dhe meqenëse këto kushte janë plotësuar, atëherë sipas rregullit për llogaritjen e derivatit për shumën e funksioneve do të kemi:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
Rregulli 2
Nëse F është një antiderivativ për disa funksione f, dhe k është një konstante. Atëherë k*F është antiderivati i funksionit k*f. Ky rregull rrjedh nga rregulli për llogaritjen e derivatit të një funksioni kompleks.
Kemi: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Rregulli 3
Nëse F(x) është një antiderivativ për funksionin f(x), dhe k dhe b janë disa konstante, dhe k nuk është e barabartë me zero, atëherë (1/k)*F*(k*x+b) do të jetë një antiderivativ për funksionin f (k*x+b).
Ky rregull rrjedh nga rregulli për llogaritjen e derivatit të një funksioni kompleks:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Le të shohim disa shembuj se si zbatohen këto rregulla:
Shembulli 1. Gjeni formën e përgjithshme të antiderivativëve për funksionin f(x) = x^3 +1/x^2. Për funksionin x^3 një nga antiderivativët do të jetë funksioni (x^4)/4, dhe për funksionin 1/x^2 një nga antiderivativët do të jetë funksioni -1/x. Duke përdorur rregullin e parë, kemi:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Shembulli 2. Le të gjejmë formën e përgjithshme të antiderivativëve për funksionin f(x) = 5*cos(x). Për funksionin cos(x), një nga antiderivativët do të jetë funksioni sin(x). Nëse tani përdorim rregullin e dytë, do të kemi:
F(x) = 5*sin(x).
Shembulli 3. Gjeni një nga antiderivativët për funksionin y = sin(3*x-2). Për funksionin sin(x) një nga antiderivativët do të jetë funksioni -cos(x). Nëse tani përdorim rregullin e tretë, marrim një shprehje për antiderivativin:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Shembulli 4. Gjeni antiderivativin për funksionin f(x) = 1/(7-3*x)^5
Antiderivativi për funksionin 1/x^5 do të jetë funksioni (-1/(4*x^4)). Tani, duke përdorur rregullin e tretë, marrim.
Më parë ne funksioni i dhënë, i udhëhequr nga formula dhe rregulla të ndryshme, gjeti derivatin e tij. Derivati ka përdorime të shumta: është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe një problem i kundërt - problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas shpejtësia e njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën v=gt. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet që s"(t) = v(t). Kjo do të thotë se për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni një funksion s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me gt. Nuk është e vështirë të merret me mend. që \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \majtas(\frac(gt^2)(2) \djathtas)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Përgjigje: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne morëm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion i formës \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ku C është një konstante arbitrare, mund të shërbejë si ligj i lëvizje, pasi \(\majtas (\frac(gt^2)(2) +C \djathtas)" = gt \)
Për ta bërë problemin më specifik, na duhej të rregullonim situatën fillestare: tregoni koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull në t = 0. Nëse, të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia s(t) = (gt 2)/2 + C marrim: s(0) = 0 + C, d.m.th. C = s 0. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Në matematikë, veprimeve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm dhe shpiken shënime të veçanta, për shembull: katrori (x 2) dhe nxjerrja rrenja katrore(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) dhe arcsine (arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar quhet diferencimi, dhe operacioni i anasjelltë, pra procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar, është integrimin.
Vetë termi "derivativ" mund të justifikohet "në terma të përditshëm": funksioni y = f(x) "lind" një funksion të ri y" = f"(x). Funksioni y = f(x) vepron sikur të ishte “prind”, por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë “prind” apo “prodhues” ata thonë se është, në lidhje me funksionin y” = f"(x) , imazh primar ose primitiv.
Përkufizimi. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X nëse barazia F"(x) = f(x) vlen për \(x \në X\)
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Le të japim shembuj.
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për çdo x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë
2) Funksioni y = x 3 është antiderivativ për funksionin y = 3x 2, pasi për çdo x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë
3) Funksioni y = sin(x) është antiderivativ për funksionin y = cos(x), pasi për çdo x barazia (sin(x))" = cos(x) është e vërtetë
Kur gjenden antiderivatet, si dhe derivatet, përdoren jo vetëm formula, por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Nëse F(x) është një antiderivativ për f(x), atëherë kF(x) është një antiderivativ për kf(x).
Teorema 1. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y = f(kx + m) është funksioni \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X, atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C.
Metodat e integrimit
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm (metoda e zëvendësimit)
Metoda e integrimit me zëvendësim përfshin futjen e një variabli të ri integrimi (d.m.th., zëvendësimi). Në këtë rast, integrali i dhënë reduktohet në një integral të ri, i cili është tabelor ose i reduktueshëm në të. Metodat e zakonshme nuk ka përzgjedhje të zëvendësimeve. Aftësia për të përcaktuar saktë zëvendësimin fitohet përmes praktikës.
Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali \(\textstyle \int F(x)dx \). Le të bëjmë zëvendësimin \(x= \varphi(t) \) ku \(\varphi(t) \) është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm.
Pastaj \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dhe bazuar në vetinë e pandryshueshmërisë së formulës së integrimit për integralin e pacaktuar, marrim formulën e integrimit me zëvendësim:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrimi i shprehjeve të formës \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Nëse m është tek, m > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi sin x = t.
Nëse n është tek, n > 0, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi cos x = t.
Nëse n dhe m janë çift, atëherë është më e përshtatshme të bëhet zëvendësimi tg x = t.
Integrimi sipas pjesëve
Integrimi sipas pjesëve - duke aplikuar formulën e mëposhtme për integrim:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ose:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Kemi parë se derivati ka përdorime të shumta: derivati është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); derivati është pjerrësia e tangjentes në grafikun e funksionit; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; derivati ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.
Por në jetën reale ju duhet të vendosni problemet e anasjellta: për shembull, së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.
Shembulli 1. Një pikë materiale lëviz në vijë të drejtë, shpejtësia e saj në kohën t jepet me formulën u = tg. Gjeni ligjin e lëvizjes.
Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet se s"(t) = u"(t). Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni funksionin s = s(t), derivati i të cilit është i barabartë me tg. Nuk është e vështirë të merret me mend
Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne zbuluam se, në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion të formës 
një konstante arbitrare mund të shërbejë si ligj lëvizjeje, pasi
Për ta bërë detyrën më specifike, na duhej të rregullonim situatën fillestare: tregoni koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull, në t=0. Nëse, le të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia marrim s(0) = 0 + C, d.m.th. S 0 = C. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike:
Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm dhe shpiken shënime të veçanta: për shembull, kuadrimi (x 2) dhe marrja e rrënjës katrore të sinusit (sinх) dhe arksine(arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit në lidhje me një funksion të caktuar quhet diferencim, dhe veprim i kundërt, d.m.th. procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar - integrimi.
Vetë termi “derivativ” mund të justifikohet “në jetën e përditshme”: funksioni y - f(x) “lind” një funksion të ri y"= f"(x). një "prind" , por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë "prind" ose "prodhues" ata thonë se ky, në lidhje me funksionin y"=f"(x), është imazhi kryesor, ose, në shkurt, antiderivativi.
Përkufizimi 1. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në një interval të caktuar X nëse për të gjitha x nga X vlen barazia F"(x)=f(x).
Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).
Ketu jane disa shembuj:
1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për të gjithë x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë.
2) funksioni y - x 3 është antiderivativ për funksionin y-3x 2, pasi për të gjithë x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë.
3) Funksioni y-sinх është një antiderivativ për funksionin y = cosx, pasi për të gjithë x barazia (sinx)" = cosx është e vërtetë.
4) Funksioni është antiderivativ për një funksion në interval pasi për të gjitha x > 0 barazia është e vërtetë
Në përgjithësi, duke ditur formulat për gjetjen e derivateve, nuk është e vështirë të përpilohet një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve.
Shpresojmë ta kuptoni se si është përpiluar kjo tabelë: derivati i funksionit, i cili shkruhet në kolonën e dytë, është i barabartë me funksionin që është shkruar në rreshtin përkatës të kolonës së parë (kontrollojeni, mos u bëni dembel, është shumë e dobishme). Për shembull, për funksionin y = x 5, antiderivati, siç do të vendosni, është funksioni (shih rreshtin e katërt të tabelës).
Shënime: 1. Më poshtë do të vërtetojmë teoremën se nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C. Prandaj, do të ishte më e saktë të shtoni termin C kudo në kolonën e dytë të tabelës, ku C është një numër real arbitrar.
2. Për hir të shkurtësisë, ndonjëherë në vend të frazës “funksioni y = F(x) është një antiderivativ i funksionit y = f(x),” ata thonë se F(x) është një antiderivativ i f(x) .”
2. Rregullat për gjetjen e antiderivativëve
Gjatë gjetjes së antiderivativëve, si dhe gjatë gjetjes së derivateve, përdoren jo vetëm formula (ato janë të renditura në tabelën në f. 196), por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.
Ne e dimë se derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 1. Antiderivati i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.
Ne tërheqim vëmendjen tuaj për disi "lehtësia" e këtij formulimi. Në fakt, duhet formuluar teorema: nëse funksionet y = f(x) dhe y = g(x) kanë antiderivat në intervalin X, përkatësisht y-F(x) dhe y-G(x), atëherë shuma e funksioneve y = f(x)+g(x) ka një antiderivativ në intervalin X, dhe ky antiderivativ është funksioni y = F(x)+G(x). Por zakonisht, kur formulojnë rregulla (dhe jo teorema), ato lënë vetëm fjalë kyçe- kjo e bën më të përshtatshëm zbatimin e rregullit në praktikë
Shembulli 2. Gjeni antiderivativin për funksionin y = 2x + cos x.
Zgjidhje. Antiderivati për 2x është x"; antiderivati për cox është sin x. Kjo do të thotë se antiderivati për funksionin y = 2x + cos x do të jetë funksioni y = x 2 + sin x (dhe në përgjithësi çdo funksion i formës Y = x 1 + sinx + C) .
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e antiderivativit.
Shembulli 3.
Zgjidhje. a) Antiderivati për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = 5 sin x funksioni antiderivativ do të jetë funksioni y = -5 cos x.
b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati i një funksioni është funksioni
c) Antiderivati për x 3 është antiderivati për x, antiderivati për funksionin y = 1 është funksioni y = x. Duke përdorur rregullat e parë dhe të dytë për gjetjen e antiderivativëve, gjejmë se antiderivati për funksionin y = 12x 3 + 8x-1 është funksioni
Komentoni. Siç dihet, derivati i një produkti nuk është i barabartë me produktin e derivateve (rregulli për diferencimin e një produkti është më kompleks) dhe derivati i një herësi nuk është i barabartë me herësin e derivateve. Prandaj, nuk ka rregulla për gjetjen e antiderivativit të produktit ose antiderivativit të herësit të dy funksioneve. Bej kujdes!
Le të marrim një rregull tjetër për gjetjen e antiderivativëve. Dimë se derivati i funksionit y = f(kx+m) llogaritet me formulë
Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 3. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati për funksionin y=f(kx+m) është funksioni
Me të vërtetë,
Kjo do të thotë se është një antiderivativ për funksionin y = f(kx+m).
Kuptimi i rregullit të tretë është si më poshtë. Nëse e dini se antiderivati i funksionit y = f(x) është funksioni y = F(x), atëherë duhet të gjeni antiderivativ i funksionit y = f(kx+m), pastaj veproni kështu: merrni të njëjtin funksion F, por në vend të argumentit x, zëvendësoni shprehjen kx+m; përveç kësaj, mos harroni të shkruani "faktori korrigjues" përpara shenjës së funksionit
Shembulli 4. Gjeni antiderivativë për funksionet e dhëna:
Zgjidhje, a) Antiderivati për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = sin2x antiderivati do të jetë funksioni
b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati i një funksioni është funksioni
c) Antiderivati për x 7 do të thotë që për funksionin y = (4-5x) 7 antiderivati do të jetë funksioni
3. Integrali i pacaktuar
Ne kemi vërejtur tashmë më lart se problemi i gjetjes së një antiderivati për një funksion të caktuar y = f(x) ka më shumë se një zgjidhje. Le të diskutojmë këtë çështje në më shumë detaje.
Dëshmi. 1. Le të jetë y = F(x) antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga X vlen barazia x"(x) = f(x). gjeni derivatin e çdo funksioni të formës y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Pra, (F(x)+C) = f(x). Kjo do të thotë se y = F(x) + C është një antiderivativ për funksionin y = f(x).
Kështu, ne kemi vërtetuar se nëse funksioni y = f(x) ka një antiderivativ y=F(x), atëherë funksioni (f = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, për shembull, çdo funksion i formës y = F(x) +C është një antiderivativ.
2. Le të provojmë tani se lloji i treguar i funksioneve shteron të gjithë grupin e antiderivativëve.
Le të jenë y=F 1 (x) dhe y=F(x) dy antiderivativë për funksionin Y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga intervali X vlejnë marrëdhëniet e mëposhtme: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Le të shqyrtojmë funksionin y = F 1 (x) -.F(x) dhe të gjejmë derivatin e tij: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Dihet se nëse derivati i një funksioni në një interval X është identikisht i barabartë me zero, atëherë funksioni është konstant në intervalin X (shih Teoremën 3 nga § 35). Kjo do të thotë se F 1 (x) - F (x) = C, d.m.th. Fx) = F(x)+C.
Teorema është vërtetuar.
Shembulli 5.Është dhënë ligji i ndryshimit të shpejtësisë me kohën: v = -5sin2t. Gjeni ligjin e lëvizjes s = s(t), nëse dihet se në kohën t=0 koordinata e pikës ishte e barabartë me numrin 1.5 (d.m.th. s(t) = 1.5).
Zgjidhje. Meqenëse shpejtësia është një derivat i koordinatës në funksion të kohës, së pari duhet të gjejmë antiderivativin e shpejtësisë, d.m.th. antiderivativ për funksionin v = -5sin2t. Një nga antiderivativët e tillë është funksioni , dhe grupi i të gjithë antiderivativëve ka formën:
Për të gjetur vlerën specifike të konstantës C, përdorim kushtet fillestare, sipas të cilave s(0) = 1.5. Duke zëvendësuar vlerat t=0, S = 1.5 në formulën (1), marrim:
Duke zëvendësuar vlerën e gjetur të C në formulën (1), marrim ligjin e lëvizjes që na intereson:
Përkufizimi 2. Nëse një funksion y = f(x) ka një antiderivativ y = F(x) në një interval X, atëherë bashkësia e të gjithë antiderivativëve, d.m.th. bashkësia e funksioneve të formës y = F(x) + C quhet integrali i pacaktuar i funksionit y = f(x) dhe shënohet me:
(lexo:" integral i pacaktuar ef nga x de x").
Në paragrafin tjetër do të zbulojmë se cili është kuptimi i fshehur i këtij përcaktimi.
Bazuar në tabelën e antiderivativëve të disponueshëm në këtë seksion, ne do të përpilojmë një tabelë të integraleve kryesore të pacaktuara:
Bazuar në tre rregullat e mësipërme për gjetjen e antiderivativëve, ne mund të formulojmë rregullat përkatëse të integrimit.
Rregulli 1. Integral i shumës së funksioneve e barabartë me shumën integrale të këtyre funksioneve:
Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:
Rregulli 3. Nëse
Shembulli 6. Gjeni integrale të pacaktuara:
Zgjidhje, a) Duke përdorur rregullat e parë dhe të dytë të integrimit, marrim:
Tani le të përdorim formulat e 3-të dhe të 4-të të integrimit:
Si rezultat marrim:
b) Duke përdorur rregullin e tretë të integrimit dhe formulën 8, marrim:
c) Për të gjetur drejtpërdrejt një integral të dhënë, nuk kemi as formulën përkatëse dhe as rregullin përkatës. Në raste të tilla, ndonjëherë ndihmojnë transformimet identike të kryera më parë të shprehjes që përmbahet nën shenjën integrale.
Le të përfitojmë formula trigonometrike Ulja e shkallës:
Pastaj gjejmë në mënyrë sekuenciale:
A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të
Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë
