Cili është logaritmi i shumës? Rregullat e logaritmit për të vepruar me logaritme
Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Fillimisht do të kuptojmë llogaritjen e logaritmeve sipas definicionit. Më tej, le të shohim se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të përcaktuara fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat logaritmike. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.
Navigimi i faqes.
Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit
Në rastet më të thjeshta është e mundur të kryhet mjaft shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si ndodh ky proces.
Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga i cili, sipas përcaktimit të një logaritmi, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, zinxhiri i mëposhtëm i barazive korrespondon me gjetjen e logaritmit: log a b=log a a c =c.
Pra, llogaritja e një logaritmi sipas përkufizimit zbret në gjetjen e një numri c të tillë që a c = b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.
Duke marrë parasysh informacionin në paragrafët e mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një fuqi e caktuar e bazës së logaritmit, menjëherë mund të tregoni se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë zgjidhje për shembuj.
Shembull.
Gjeni log 2 2 −3, si dhe llogaritni logaritmin natyror të numrit e 5,3.
Zgjidhje.
Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 =−3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.
Përgjigje:
log 2 2 −3 =−3 dhe lne 5,3 =5,3.
Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk është specifikuar si fuqi e bazës së logaritmit, atëherë duhet të shikoni me kujdes për të parë nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...
Shembull.
Llogaritni logaritmet log 5 25 , dhe .
Zgjidhje.
Është e lehtë të shihet se 25=5 2, kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Le të kalojmë në llogaritjen e logaritmit të dytë. Numri mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: 
(shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, 
.
Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë 
, nga ku konkludojmë se 
. Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit 
.
Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: .
Përgjigje:
log 5 25=2 , 
Dhe .
Kur nën shenjën e logaritmit ka një mjaftueshëm të madhe numri natyror, atëherë nuk do të dëmtonte ta faktorizonim atë në faktorët kryesorë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye llogaritja e këtij logaritmi sipas përkufizimit.
Shembull.
Gjeni vlerën e logaritmit.
Zgjidhje.
Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të njës dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1. Domethënë, kur nën shenjën e logaritmit është një numër 1 ose një numër a i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë të barabartë me 0 dhe 1, përkatësisht.
Shembull.
Me çfarë barazohen logaritmet dhe log10?
Zgjidhje.
Meqenëse , atëherë nga përkufizimi i logaritmit rrjedh 
.
Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, kështu që logaritmi dhjetor i dhjetë e barabartë me një, pra log10=lg10 1 =1.
Përgjigje:
DHE lg10=1.
Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (që e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e barazisë log a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.
Në praktikë, kur një numër nën shenjën e logaritmit dhe bazën e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e një numri të caktuar, është shumë e përshtatshme të përdoret formula 
, e cila korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Le të shohim një shembull të gjetjes së një logaritmi që ilustron përdorimin e kësaj formule.
Shembull.
Llogaritni logaritmin.
Zgjidhje.
Përgjigje:
.
Vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më sipër përdoren gjithashtu në llogaritjet, por ne do të flasim për këtë në paragrafët në vijim.
Gjetja e logaritmeve përmes logaritmeve të tjera të njohura
Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve gjatë llogaritjes së tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të japim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963, atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të një produkti. Sidoqoftë, shumë më shpesh është e nevojshme të përdoret një arsenal më i gjerë i vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal përmes atyre të dhëna.
Shembull.
Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse e dini se log 60 2=a dhe log 60 5=b.
Zgjidhje.
Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27 = 3 3, dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të fuqisë, mund të rishkruhet si 3·log 60 3.
Tani le të shohim se si të shprehim log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën na lejon të shkruajmë login e barazisë 60 60=1. Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Përgjigje:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës 
. Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, duke përdorur formulën e tranzicionit, ata kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë që vlerat e tyre të llogariten me një shkallë të caktuar. saktësinë. Në paragrafin tjetër do të tregojmë se si bëhet kjo.
Tabelat e logaritmit dhe përdorimet e tyre
Për llogaritjen e përafërt të vlerave të logaritmit mund të përdoren tabela logaritmesh. Tabela e logaritmit bazë 2 më e përdorur, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh bazuar në bazën dhjetë. Me ndihmën e tij do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.
Tabela e paraqitur ju lejon të gjeni vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1000 në 9999 (me tre shifra dhjetore) me një saktësi prej një të dhjetëmijtë. Ne do të analizojmë parimin e gjetjes së vlerës së një logaritmi duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore në shembull specifik- kështu është më e qartë. Le të gjejmë log1.256.
Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (shifra 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës dyshe (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (shifra 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me një vijë të gjelbër). Tani gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmeve në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë theksuar portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor të saktë në numrin e katërt dhjetor, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, të gjesh vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas pikës dhjetore, si dhe ato që shkojnë përtej intervalit nga 1 në 9.999? Po, mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.
Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numër në formë standarde: 102.76332=1.0276332·10 2. Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset në numrin e tretë dhjetor, kemi 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor origjinal është afërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, domethënë marrim log102.76332≈lg1.028·10 2. Tani zbatojmë vetitë e logaritmit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Së fundi, vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë nga tabela e logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.
Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë log3≈0.4771 dhe log2≈0.3010. Kështu, 
.
Referencat.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).
(nga greqishtja λόγος - "fjalë", "marrëdhënie" dhe ἀριθμός - "numër") numra b bazuar në a(log α b) quhet një numër i tillë c, Dhe b= një c, domethënë regjistron log α b=c Dhe b=ac janë ekuivalente. Logaritmi ka kuptim nëse a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Me fjalë të tjera logaritmi numrat b bazuar në A formuluar si një eksponent tek i cili duhet të ngrihet një numër a për të marrë numrin b(logaritmi ekziston vetëm për numrat pozitivë).
Nga ky formulim del se llogaritja x= log α b, është ekuivalente me zgjidhjen e ekuacionit a x =b.
Për shembull:
log 2 8 = 3 sepse 8 = 2 3 .
Le të theksojmë se formulimi i treguar i logaritmit bën të mundur përcaktimin e menjëhershëm vlera e logaritmit, kur numri nën shenjën e logaritmit vepron si një fuqi e caktuar e bazës. Në të vërtetë, formulimi i logaritmit bën të mundur justifikimin se nëse b=a c, pastaj logaritmi i numrit b bazuar në a barazohet Me. Është gjithashtu e qartë se tema e logaritmeve është e lidhur ngushtë me temën fuqitë e një numri.
Llogaritja e logaritmit quhet logaritmi. Logaritmi është operacioni matematik i marrjes së një logaritmi. Kur merren logaritmet, produktet e faktorëve shndërrohen në shuma termash.
Potencimiështë operacioni matematikor i anasjelltë i logaritmit. Gjatë fuqizimit, një bazë e caktuar ngrihet në shkallën e shprehjes mbi të cilën kryhet fuqizimi. Në këtë rast, shumat e termave shndërrohen në produkt faktorësh.
Shumë shpesh, logaritmet reale përdoren me bazat 2 (binare), numrin e Euler-it e ≈ 2,718 (logaritmi natyror) dhe 10 (dhjetor).
Në këtë fazë është e këshillueshme që të merret në konsideratë mostrat e logaritmit regjistri 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Dhe hyrjet lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nuk kanë kuptim, pasi në të parën prej tyre vendoset një numër negativ nën shenjën e logaritmit, në të dytën - numër negativ në bazë, dhe në të tretën - edhe një numër negativ nën shenjën e logaritmit dhe një njësi në bazë.
Kushtet për përcaktimin e logaritmit.
Vlen të konsiderohen veçmas kushtet a > 0, a ≠ 1, b > 0.nën të cilat marrim përkufizimi i logaritmit. Le të shqyrtojmë pse u morën këto kufizime. Një barazi e formës x = log α do të na ndihmojë për këtë b, i quajtur identiteti logaritmik bazë, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i logaritmit të dhënë më sipër.
Le të marrim kushtin a≠1. Meqenëse një për çdo fuqi është e barabartë me një, atëherë barazia x=log α b mund të ekzistojë vetëm kur b=1, por regjistri 1 1 do të jetë çdo numër real. Për të eliminuar këtë paqartësi, marrim a≠1.
Le të vërtetojmë domosdoshmërinë e kushtit a>0. Në a=0 sipas formulimit të logaritmit mund të ekzistojë vetëm kur b=0. Dhe në përputhje me këtë atëherë regjistri 0 0 mund të jetë çdo numër real jo zero, pasi zero për çdo fuqi jozero është zero. Kjo paqartësi mund të eliminohet nga gjendja a≠0. Dhe kur a<0 do të duhej të refuzonim analizën e vlerave racionale dhe irracionale të logaritmit, pasi një shkallë me një eksponent racional dhe irracional përcaktohet vetëm për bazat jo negative. Pikërisht për këtë parashikohet kushti a>0.
Dhe kushti i fundit b>0 rrjedh nga pabarazia a>0, pasi x=log α b, dhe vlera e gradës me bazë pozitive a gjithmonë pozitive.
Karakteristikat e logaritmeve.
Logaritmet karakterizohet nga dallues veçoritë, gjë që çoi në përdorimin e tyre të gjerë për të lehtësuar ndjeshëm llogaritjet e mundimshme. Kur lëvizni "në botën e logaritmeve", shumëzimi shndërrohet në një mbledhje shumë më të lehtë, ndarja shndërrohet në zbritje dhe fuqizimi dhe nxjerrja e rrënjës shndërrohen, përkatësisht, në shumëzim dhe pjesëtim nga eksponenti.
Formulimi i logaritmeve dhe një tabelë e vlerave të tyre (për funksionet trigonometrike) u botua për herë të parë në 1614 nga matematikani skocez John Napier. Tabelat logaritmike, të zmadhuara dhe të detajuara nga shkencëtarë të tjerë, u përdorën gjerësisht në llogaritjet shkencore dhe inxhinierike dhe mbetën të rëndësishme deri në përdorimin e kalkulatorëve dhe kompjuterëve elektronikë.
Pra, ne kemi fuqi prej dy. Nëse e merrni numrin nga fundi, mund të gjeni lehtësisht fuqinë në të cilën do t'ju duhet të ngrini dy për të marrë këtë numër. Për shembull, për të marrë 16, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e katërt. Dhe për të marrë 64, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e gjashtë. Kjo mund të shihet nga tabela.
Dhe tani - në fakt, përkufizimi i logaritmit:
Baza e një logaritmi të x është fuqia në të cilën duhet të rritet a për të marrë x.
Përcaktimi: log a x = b, ku a është baza, x është argumenti, b është ajo me çfarë logaritmi është në të vërtetë i barabartë.
Për shembull, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmi bazë 2 i 8 është tre sepse 2 3 = 8). Me të njëjtin regjistër suksesi 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64.
Veprimi i gjetjes së logaritmit të një numri në një bazë të caktuar quhet logaritmizim. Pra, le të shtojmë një rresht të ri në tabelën tonë:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| regjistri 2 2 = 1 | regjistri 2 4 = 2 | regjistri 2 8 = 3 | regjistri 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Fatkeqësisht, jo të gjitha logaritmet llogariten kaq lehtë. Për shembull, provoni të gjeni regjistrin 2 5 . Numri 5 nuk është në tabelë, por logjika dikton që logaritmi do të shtrihet diku në segment. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Numra të tillë quhen irracionalë: numrat pas presjes dhjetore mund të shkruhen pafundësisht dhe nuk përsëriten kurrë. Nëse logaritmi rezulton irracional, është më mirë ta lëmë kështu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Është e rëndësishme të kuptohet se një logaritëm është një shprehje me dy variabla (bazën dhe argumentin). Në fillim, shumë njerëz ngatërrojnë se ku është baza dhe ku është argumenti. Për të shmangur keqkuptime të bezdisshme, thjesht shikoni foton:
Para nesh nuk është gjë tjetër veçse përkufizimi i një logaritmi. Mbani mend: logaritmi është një fuqi, në të cilën duhet të ndërtohet baza për të marrë një argument. Është baza që është ngritur në një fuqi - është e theksuar me të kuqe në foto. Rezulton se baza është gjithmonë në fund! Unë u them studentëve të mi këtë rregull të mrekullueshëm që në mësimin e parë - dhe nuk lind asnjë konfuzion.
Ne e kemi kuptuar përkufizimin - gjithçka që mbetet është të mësojmë se si të numërojmë logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenjën "log". Për të filluar, vërejmë se nga përkufizimi rrjedhin dy fakte të rëndësishme:
- Argumenti dhe baza duhet të jenë gjithmonë më të mëdha se zero. Kjo rrjedh nga përkufizimi i një shkalle nga një eksponent racional, në të cilin reduktohet përkufizimi i një logaritmi.
- Baza duhet të jetë e ndryshme nga një, pasi një në çdo shkallë mbetet ende një. Për shkak të kësaj, pyetja "në çfarë fuqie duhet të ngrihet për të marrë dy" është e pakuptimtë. Nuk ka një diplomë të tillë!
Kufizime të tilla quhen varg vlerash të pranueshme(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket kështu: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Vini re se nuk ka kufizime në numrin b (vlera e logaritmit). Për shembull, logaritmi mund të jetë negativ: log 2 0.5 = -1, sepse 0,5 = 2 −1.
Megjithatë, tani ne vetëm po e konsiderojmë shprehjet numerike, ku nuk kërkohet të dihet CVD e logaritmit. Të gjitha kufizimet tashmë janë marrë parasysh nga autorët e problemeve. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë hyjnë në lojë, kërkesat DL do të bëhen të detyrueshme. Në fund të fundit, baza dhe argumenti mund të përmbajnë ndërtime shumë të forta që nuk korrespondojnë domosdoshmërisht me kufizimet e mësipërme.
Tani le të shqyrtojmë skema e përgjithshme llogaritja e logaritmeve. Ai përbëhet nga tre hapa:
- Shprehni bazën a dhe argumentin x si fuqi me bazën minimale të mundshme më të madhe se një. Gjatë rrugës, është më mirë të heqësh qafe numrat dhjetorë;
- Zgjidheni ekuacionin për ndryshoren b: x = a b ;
- Numri b që rezulton do të jetë përgjigja.
Kjo është ajo! Nëse logaritmi rezulton irracional, kjo do të jetë e dukshme që në hapin e parë. Kërkesa që baza të jetë më e madhe se një është shumë e rëndësishme: kjo zvogëlon gjasat e gabimit dhe thjeshton shumë llogaritjet. Njësoj me dhjetore: nëse i konvertoni menjëherë në ato të rregullta, do të ketë shumë më pak gabime.
Le të shohim se si funksionon kjo skemë duke përdorur shembuj specifikë:
Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 5 25
- Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej pesë: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Morëm përgjigjen: 2.
Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Detyrë. Llogaritni logaritmin:
Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 4 64
- Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dysh: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Morëm përgjigjen: 3.
Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 16 1
- Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dy: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Morëm përgjigjen: 0.
Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 7 14
- Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej shtatë: 7 = 7 1 ; 14 nuk mund të përfaqësohet si një fuqi e shtatë, pasi 7 1< 14 < 7 2 ;
- Nga paragrafi i mëparshëm rezulton se logaritmi nuk llogaritet;
- Përgjigja është pa ndryshim: log 7 14.
Një shënim i vogël në shembullin e fundit. Si mund të jeni i sigurt se një numër nuk është një fuqi e saktë e një numri tjetër? Është shumë e thjeshtë - thjesht vendoseni në faktorët kryesorë. Nëse zgjerimi ka të paktën dy faktorë të ndryshëm, numri nuk është një fuqi e saktë.
Detyrë. Zbuloni nëse numrat janë fuqi të sakta: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shkalla e saktë, sepse ka vetëm një shumëzues;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nuk është një fuqi e saktë, pasi ekzistojnë dy faktorë: 3 dhe 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shkalla e saktë;
35 = 7 · 5 - përsëri jo një fuqi e saktë;
14 = 7 · 2 - përsëri jo një shkallë e saktë;
Vini re gjithashtu se vetë numrat e thjeshtë janë gjithmonë fuqi të sakta të tyre.
Logaritmi dhjetor
Disa logaritme janë aq të zakonshme sa kanë një emër dhe simbol të veçantë.
Logaritmi dhjetor i x është logaritmi me bazën 10, d.m.th. Fuqia në të cilën duhet të rritet numri 10 për të marrë numrin x. Emërtimi: lg x.
Për shembull, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj.
Që tani e tutje, kur një frazë si "Gjeni lg 0.01" shfaqet në një libër shkollor, dijeni: kjo nuk është një gabim shtypi. Ky është një logaritëm dhjetor. Sidoqoftë, nëse nuk jeni të njohur me këtë shënim, gjithmonë mund ta rishkruani atë:
log x = log 10 x
Çdo gjë që është e vërtetë për logaritmet e zakonshme është gjithashtu e vërtetë për logaritmet dhjetore.
Logaritmi natyror
Ekziston një logaritëm tjetër që ka përcaktimin e vet. Në disa mënyra, është edhe më i rëndësishëm se dhjetori. Po flasim për logaritmin natyror.
Logaritmi natyror i x është logaritmi me bazën e, d.m.th. fuqia në të cilën duhet të rritet numri e për të marrë numrin x. Emërtimi: ln x.
Shumë do të pyesin: cili është numri e? Ky është një numër irracional, është vlerën e saktë e pamundur të gjendet dhe të regjistrohet. Unë do të jap vetëm shifrat e para:
e = 2.718281828459...
Ne nuk do të hyjmë në detaje se çfarë është ky numër dhe pse është i nevojshëm. Vetëm mos harroni se e është baza e logaritmit natyror:
ln x = log e x
Kështu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etj. Nga ana tjetër, ln 2 është një numër irracional. Në përgjithësi, logaritmi natyror i çdo numri racional është irracional. Përveç, sigurisht, për një: ln 1 = 0.
Për logaritmet natyrore, të gjitha rregullat që janë të vërteta për logaritmet e zakonshme janë të vlefshme.
Rrjedhim nga përkufizimi i tij. Dhe kështu logaritmi i numrit b bazuar në A përkufizohet si eksponent në të cilin duhet të ngrihet një numër a për të marrë numrin b(logaritmi ekziston vetëm për numrat pozitivë).
Nga ky formulim del se llogaritja x=log a b, është e barabartë me zgjidhjen e ekuacionit a x =b. Për shembull, regjistri 2 8 = 3 sepse 8 = 2 3 . Formulimi i logaritmit bën të mundur justifikimin se nëse b=a c, pastaj logaritmi i numrit b bazuar në a barazohet Me. Është gjithashtu e qartë se tema e logaritmeve është e lidhur ngushtë me temën e fuqive të një numri.
Me logaritme, si me çdo numër, mund të bëni veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe transformohen në çdo mënyrë të mundshme. Por për shkak të faktit se logaritmet nuk janë numra krejtësisht të zakonshëm, këtu zbatohen rregullat e tyre të veçanta, të cilat quhen vetitë kryesore.
Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve.
Le të marrim dy logaritme me të njëjtat baza: log a x Dhe log a y. Atëherë është e mundur të kryhen veprimet e mbledhjes dhe zbritjes:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Nga Teorema e koeficientit të logaritmit Mund të merret edhe një veçori tjetër e logaritmit. Është e njohur që log a 1 = 0, pra
log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.
Kjo do të thotë se ka një barazi:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmet e dy numrave reciprokë për të njëjtën arsye do të ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga shenja. Pra:
Regjistri 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Koncepti i logaritmit dhe identiteti bazë logaritmik
Koncepti i logaritmit dhe identiteti bazë logaritmik janë të lidhur ngushtë, sepse përkufizimi i logaritmit në shënimin matematikor është .
Identiteti bazë logaritmik rrjedh nga përkufizimi i logaritmit:
Përkufizimi 1
Logaritmi quhet eksponenti $n$, kur ngrihet tek i cili numrat $a$ marrin numrin $b$.
Shënim 1
Ekuacioni eksponencial $a^n=b$ për $a > 0$, $a \ne 1$ nuk ka zgjidhje për $b$ jopozitive dhe ka një rrënjë të vetme për $b$ pozitive. Kjo rrënjë quhet logaritmi i numrit $b$ në bazën $a$ dhe shkruani:
$a^(\log_(a) b)=b$.
Përkufizimi 2
Shprehje
$a^(\log_(a) b)=b$
thirrur identiteti bazë logaritmik me kusht që $a,b > 0$, $a \ne 1$.
Shembulli 1
$17^(\log_(17) 6)=6$;
$e^(\ln13) =13$;
$10^(\lg23)=23$.
Identiteti bazë logaritmik
Kryesor identiteti logaritmik quhet sepse përdoret pothuajse gjithmonë kur punohet me logaritme. Përveç kësaj, me ndihmën e tij vërtetohen vetitë themelore të logaritmeve.
Shembulli 2
$7^5=16,807$, pra $\log_(7)16,807=5$.
$3^(-5)=\frac(1)(243)$, pra $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.
$11^0=1$, pra $\log_(11)1=0$.
Le të shqyrtojmë pasojë e kryesore identiteti logaritmik :
Përkufizimi 3
Nëse dy logaritme me baza të njëjta janë të barabarta, atëherë shprehjet logaritmike janë të barabarta:
nëse $\log_(a)b=\log_(a)c$, atëherë $b=c$.
Le të shqyrtojmë kufizimet, të cilat përdoren për identitetin logaritmik:
Sepse kur ngremë unitetin për çdo fuqi, ne gjithmonë marrim një, dhe barazia $x=\log_(a)b$ ekziston vetëm për $b=1$, atëherë $\log_(1)1$ do të jetë çdo numër real . Për të shmangur këtë paqartësi, merrni $a \ne 1$.
Logaritmi për $a=0$, sipas definicionit, mund të ekzistojë vetëm për $b=0$. Sepse Kur e ngremë zeron në çdo fuqi, marrim gjithmonë zero, atëherë $\log_(0)0$ mund të jetë çdo numër real. Për të shmangur këtë paqartësi, merrni $a \ne 0$. Për $a racionale dhe irracionale vlerat e logaritmit, sepse një shkallë me një eksponent racional dhe irracional mund të llogaritet vetëm për baza pozitive. Për të parandaluar këtë situatë, merrni $a > 0$.
$b > 0$ rrjedh nga kushti $a > 0$, pasi $x=\log_(a)b$, dhe vlerën e gradës numër pozitiv a do të jetë gjithmonë pozitive.
Identiteti bazë logaritmik shpesh përdoret për të thjeshtuar shprehjet logaritmike.
Shembulli 3
Llogarit $81^(\log_(9) 7)$.
Zgjidhje.
Për të përdorur identitetin bazë logaritmik, është e nevojshme që baza e logaritmit dhe fuqitë të jenë të njëjta. Le të shkruajmë bazën e shkallës në formën:
Tani mund të shkruajmë:
$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$
Le të përdorim vetinë e fuqisë:
$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$
identiteti bazë logaritmik tani mund të zbatohet për secilin faktor:
$=7 \cdot 7=49$.
Shënim 2
Për të aplikuar identitetin bazë logaritmik, mund të përdorni gjithashtu zëvendësimin e bazës së logaritmit me shprehjen që shfaqet nën shenjën e logaritmit dhe anasjelltas.
Shembulli 4
Llogarit $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.
Zgjidhje.
$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.
Përgjigju: $11$.
Shembulli 5
Llogarit $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.
