Si shumëzohen numrat dhjetorë? Thyesat dhjetore dhe veprimet me to. Pjesëtimi dhe shumëzimi i numrave dhjetorë
Ashtu si numrat e rregullt.
2. Numëroni numrin e numrave dhjetorë për numrin 1 dhjetore dhe në të 2-tën. Ne mbledhim numrat e tyre.
3. Në rezultatin përfundimtar, numëroni nga e djathta në të majtë të njëjtin numër shifrash si në paragrafin e mësipërm dhe vendosni presje.
Rregulla për shumëzimin e thyesave dhjetore.
1. Shumëzo pa i kushtuar rëndësi presjes.
2. Në prodhim, ndajmë të njëjtin numër shifrash pas presjes dhjetore si pas presjes dhjetore në të dy faktorët së bashku.
Duke shumëzuar një dhjetore me numri natyror, e nevojshme:
1. Shumëzoj numrat pa i kushtuar rëndësi presjes;
2. Si rezultat, ne vendosim presjen në mënyrë që të ketë aq shifra në të djathtë të saj sa ka në thyesën dhjetore.
Shumëzimi i thyesave dhjetore me kolonë.
Le të shohim një shembull:
Thyesat dhjetore i shkruajmë në një kolonë dhe i shumëzojmë si numra natyrorë, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve. Ato. Ne e konsiderojmë 3.11 si 311 dhe 0.01 si 1.
Rezultati është 311. Më pas, numërojmë numrin e shenjave (shifrave) pas presjes dhjetore për të dy thyesat. Thyesa e parë dhjetore ka 2 shifra dhe e dyta - 2. Numri i përgjithshëm i shifrave pas presjes dhjetore:
2 + 2 = 4
Ne numërojmë nga e djathta në të majtë katër shifra të rezultatit. Rezultati përfundimtar përmban më pak numra sesa duhet të ndahen me presje. Në këtë rast, ju duhet të shtoni numrin e munguar të zerave në të majtë.
Në rastin tonë, shifra e parë mungon, kështu që shtojmë 1 zero në të majtë.
Ju lutemi vini re:
Kur shumëzohet një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, e kështu me radhë, pika dhjetore në thyesën dhjetore zhvendoset djathtas me aq vende sa ka zero pas një.
Për shembull:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Ju lutemi vini re:
Për të shumëzuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001; dhe kështu me radhë, ju duhet ta zhvendosni pikën dhjetore në këtë thyesë majtas me aq vende sa ka zero para njërës.
Ne numërojmë zero numra të plotë!
Për shembull:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
Dhjetorja përdoret kur duhet të kryeni veprime me numra jo të plotë. Kjo mund të duket irracionale. Por ky lloj numrash thjeshton shumë veprimet matematikore që duhen kryer me ta. Ky kuptim vjen me kalimin e kohës, kur shkrimi i tyre bëhet i njohur dhe leximi i tyre nuk shkakton vështirësi dhe rregullat e thyesave dhjetore janë zotëruar. Për më tepër, të gjitha veprimet përsërisin ato të njohura tashmë, të cilat janë mësuar me numra natyrorë. Thjesht duhet të mbani mend disa veçori.
Përkufizimi dhjetor
Një dhjetore është një paraqitje e veçantë e një numri jo të plotë me një emërues që pjesëtohet me 10, duke dhënë përgjigjen si një dhe mundësisht zero. Me fjalë të tjera, nëse emëruesi është 10, 100, 1000, e kështu me radhë, atëherë është më e përshtatshme të rishkruhet numri duke përdorur presje. Pastaj e gjithë pjesa do të vendoset para saj, dhe më pas pjesa e pjesshme. Për më tepër, regjistrimi i gjysmës së dytë të numrit do të varet nga emëruesi. Numri i shifrave që janë në pjesën thyesore duhet të jetë i barabartë me shifrën e emëruesit.
Sa më sipër mund të ilustrohet me këta numra:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Arsyet e përdorimit të numrave dhjetorë
Matematikanët kishin nevojë për numra dhjetorë për disa arsye:
Thjeshtimi i regjistrimit. Një fraksion i tillë ndodhet përgjatë një linje pa një vijë midis emëruesit dhe numëruesit, ndërsa qartësia nuk vuan.
Thjeshtësia në krahasim. Mjafton thjesht të lidhni numra që janë në të njëjtat pozicione, ndërsa me thyesat e zakonshme do të duhej t'i reduktoni në një emërues të përbashkët.
Thjeshtoni llogaritjet.
Llogaritësit nuk janë krijuar për të pranuar thyesa, ata përdorin shënime dhjetore për të gjitha operacionet.
Si të lexoni saktë numra të tillë?
Përgjigja është e thjeshtë: ashtu si një numër i zakonshëm i përzier me një emërues që është shumëfish i 10. Përjashtimi i vetëm janë thyesat pa vlerë të plotë, atëherë kur lexoni duhet të shqiptoni "zero numra të plotë".
Për shembull, 45/1000 duhet të shqiptohet si dyzet e pesë mijëshe, në të njëjtën kohë 0.045 do të tingëllojë si pika zero dyzet e pesë mijëshe.
Një numër i përzier me një pjesë të plotë 7 dhe një thyesë 17/100, i cili do të shkruhet si 7.17, në të dyja rastet do të lexohej si shtatë pikë shtatëmbëdhjetë.
Roli i shifrave në shkrimin e thyesave
Shënimi i saktë i gradës është ajo që kërkon matematika. Dhjetorët dhe kuptimi i tyre mund të ndryshojnë ndjeshëm nëse e shkruani shifrën në vendin e gabuar. Megjithatë, kjo ishte e vërtetë më parë.
Për të lexuar shifrat e të gjithë pjesës së një thyese dhjetore, thjesht duhet të përdorni rregullat e njohura për numrat natyrorë. Dhe në anën e djathtë ato pasqyrohen dhe lexohen ndryshe. Nëse e gjithë pjesa tingëllonte "dhjetëra", atëherë pas pikës dhjetore do të jetë tashmë "të dhjetat".
Kjo mund të shihet qartë në këtë tabelë.
| Klasa | mijëra | njësi | , | pjesë thyesore | |||||||
| shkarkimi | qelizë | dhjetor | njësi | qelizë | dhjetor | njësi | e dhjeta | e qindta | e mijëta | dhjetëmijë | |
Si të shkruani saktë një numër të përzier si dhjetor?
Nëse emëruesi përmban një numër të barabartë me 10 ose 100, dhe të tjerët, atëherë pyetja se si të konvertohet një thyesë në një dhjetore nuk është e vështirë. Për ta bërë këtë, mjafton të rishkruani të gjithë përbërësit e tij ndryshe. Pikat e mëposhtme do të ndihmojnë me këtë:
shkruaje numëruesin e thyesës pak anash, në këtë moment pika dhjetore ndodhet në të djathtë, pas shifrës së fundit;
lëvizni presjen në të majtë, gjëja më e rëndësishme këtu është të numëroni saktë numrat - duhet ta zhvendosni me aq pozicione sa ka zero në emërues;
nëse nuk ka mjaft prej tyre, atëherë duhet të ketë zero në pozicionet boshe;
zerot që ishin në fund të numëruesit tani nuk nevojiten dhe mund të kryqëzohen;
Para presjes, shtoni të gjithë pjesën nëse nuk ishte aty, atëherë do të ketë edhe zero këtu.
Kujdes. Ju nuk mund të kryqëzoni zerat që janë të rrethuar nga numra të tjerë.
Ju mund të lexoni më poshtë se çfarë të bëni në një situatë ku emëruesi ka një numër jo vetëm të përbërë nga njësh dhe zero, dhe si të konvertohet një thyesë në një dhjetore. Kjo informacione të rëndësishme, e cila padyshim ia vlen ta shikoni.
Si të konvertohet një thyesë në një dhjetore nëse emëruesi është një numër arbitrar?
Këtu ka dy opsione:
Kur emëruesi mund të përfaqësohet si një numër që është i barabartë me dhjetë për çdo fuqi.
Nëse një operacion i tillë nuk mund të kryhet.
Si mund ta kontrolloj këtë? Ju duhet të faktorizoni emëruesin. Nëse vetëm 2 dhe 5 janë të pranishëm në produkt, atëherë gjithçka është në rregull, dhe fraksioni konvertohet lehtësisht në një dhjetor përfundimtar. Përndryshe, nëse shfaqen 3, 7 dhe numra të tjerë të thjeshtë, rezultati do të jetë i pafund. Është e zakonshme të rrumbullakoset një thyesë dhjetore e tillë për lehtësinë e përdorimit në veprimet matematikore. Kjo do të diskutohet pak më poshtë.
Eksploron se si bëhen numrat dhjetorë, klasa e 5-të. Shembujt këtu do të jenë shumë të dobishëm.
Emëruesit le të përmbajnë numrat: 40, 24 dhe 75. Zbërthimi në faktorë të thjeshtë për ta do të jetë si më poshtë:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
Në këta shembuj, vetëm thyesa e parë mund të përfaqësohet si thyesa përfundimtare.
Algoritmi për konvertimin e një thyese të përbashkët në një dhjetore përfundimtare
Kontrolloni faktorizimin e emëruesit në faktorë të thjeshtë dhe sigurohuni që ai të përbëhet nga 2 dhe 5.
Shtoni sa më shumë 2 dhe 5 në këta numra në mënyrë që të ketë një numër të barabartë të tyre. Ata do të japin vlerën e shumëzuesit shtesë.
Shumëzoni emëruesin dhe numëruesin me këtë numër. Rezultati do të jetë një fraksion i zakonshëm, nën vijën e së cilës ka 10 në një farë mase.
Nëse në një detyrë këto veprime kryhen me numër i përzier, atëherë së pari duhet të paraqitet si thyesë e papërshtatshme. Dhe vetëm atëherë veproni sipas skenarit të përshkruar.
Paraqitja e një thyese si dhjetore e rrumbullakosur
Kjo metodë e konvertimit të një thyese në një dhjetore mund të duket edhe më e lehtë për disa. Sepse nuk ka shumë veprim. Thjesht duhet të ndani numëruesin me emëruesin.
Çdo numri me një pjesë dhjetore në të djathtë të pikës dhjetore mund t'i caktohet një numër i pafund zerosh. Kjo pronë është ajo që ju duhet të përfitoni.
Fillimisht shkruani të gjithë pjesën dhe vendosni presje pas saj. Nëse thyesa është e saktë, shkruani zero.
Pastaj ju duhet të pjesëtoni numëruesin me emëruesin. Kështu që ata kanë të njëjtin numër shifrash. Kjo do të thotë, shtoni në të djathtë të numëruesit sasia e kërkuar zero.
Kryeni ndarje të gjatë derisa të arrihet numri i kërkuar i shifrave. Për shembull, nëse duhet të rrumbullakosni në të qindtat, atëherë përgjigja duhet të jetë 3. Në përgjithësi, duhet të ketë një numër më shumë se sa duhet të merrni në fund.
Shkruani përgjigjen e ndërmjetme pas presjes dhjetore dhe rrumbullakosni sipas rregullave. Nëse shifra e fundit është nga 0 në 4, atëherë thjesht duhet ta hidhni atë. Dhe kur është e barabartë me 5-9, atëherë ajo përpara duhet të rritet me një, duke hedhur poshtë të fundit.
Kthimi nga thyesa dhjetore në thyesën e zakonshme
Në matematikë, ka probleme kur është më e përshtatshme të paraqiten thyesat dhjetore në formën e thyesave të zakonshme, në të cilat ka një numërues me një emërues. Mund të merrni frymë lehtësuese: ky operacion është gjithmonë i mundur.
Për këtë procedurë ju duhet të bëni sa më poshtë:
shkruani të gjithë pjesën, nëse është e barabartë me zero, atëherë nuk ka nevojë të shkruani asgjë;
vizatoni një vijë thyese;
mbi të, shkruani numrat nga ana e djathtë nëse zerot vijnë së pari, atëherë ato duhet të kryqëzohen;
Nën rresht, shkruani një njësi me aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën origjinale.
Kjo është gjithçka që duhet të bëni për të kthyer një dhjetore në një thyesë.
Çfarë mund të bëni me numrat dhjetorë?
Në matematikë, këto do të jenë veprime të caktuara me dhjetore që janë kryer më parë për numra të tjerë.
Ato janë:
krahasimi;
mbledhje dhe zbritje;
shumëzimi dhe pjesëtimi.
Veprimi i parë, krahasimi, është i ngjashëm me mënyrën se si është bërë për numrat natyrorë. Për të përcaktuar se cila është më e madhe, duhet të krahasoni shifrat e të gjithë pjesës. Nëse ato rezultojnë të barabarta, atëherë ata kalojnë në thyesore dhe gjithashtu i krahasojnë ato me shifra. Numri me shifrën më të madhe në shifrën më domethënëse do të jetë përgjigja.
Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë
Këto janë ndoshta hapat më të thjeshtë. Sepse kryhen sipas rregullave për numrat natyrorë.
Pra, për të shtuar thyesat dhjetore, ato duhet të shkruhen njëra poshtë tjetrës, duke vendosur presje në një kolonë. Me këtë shënim, pjesët e tëra shfaqen në të majtë të presjeve, dhe pjesët e pjesshme në të djathtë. Dhe tani ju duhet të shtoni numrat pak nga pak, siç bëhet me numrat natyrorë, duke lëvizur presjen poshtë. Duhet të filloni të shtoni nga shifra më e vogël e pjesës thyesore të numrit. Nëse nuk ka numra të mjaftueshëm në gjysmën e djathtë, atëherë zero shtohen.
E njëjta gjë vlen edhe për zbritjen. Dhe këtu ekziston një rregull që përshkruan mundësinë e marrjes së një njësie nga grada më e lartë. Nëse thyesa që zvogëlohet ka më pak shifra pas presjes dhjetore sesa thyesa që zbritet, atëherë thjesht i shtohen zero.
Situata është pak më e ndërlikuar me detyrat ku duhet të shumëzoni dhe ndani thyesat dhjetore.
Si të shumëzoni një thyesë dhjetore në shembuj të ndryshëm?
Rregulli për shumëzimin e thyesave dhjetore me një numër natyror është:
shkruajini ato në një kolonë, duke shpërfillur presjen;
shumohen sikur të ishin natyrale;
Ndani me presje aq shifra sa kishte në pjesën thyesore të numrit origjinal.
Një rast i veçantë është shembulli në të cilin një numër natyror është i barabartë me 10 për çdo fuqi. Më pas për të marrë përgjigjen mjafton të zhvendosni pikën dhjetore djathtas me aq pozicione sa ka zero në faktorin tjetër. Me fjalë të tjera, kur shumëzohet me 10, pika dhjetore lëviz me një shifër, me 100 - tashmë do të ketë dy prej tyre, e kështu me radhë. Nëse nuk ka numra të mjaftueshëm në pjesën thyesore, atëherë duhet të shkruani zero në pozicionet boshe.
Rregulli që përdoret kur një detyrë kërkon shumëzimin e thyesave dhjetore me një numër tjetër të njëjtë:
shkruajini ato njëra pas tjetrës, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve;
shumohen sikur të ishin të natyrshme;
Ndani me presje aq shifra sa kishte në pjesët thyesore të të dy thyesave origjinale së bashku.
Një rast i veçantë janë shembujt në të cilët një nga shumëzuesit është i barabartë me 0.1 ose 0.01 e kështu me radhë. Në to ju duhet të zhvendosni pikën dhjetore në të majtë me numrin e shifrave në faktorët e paraqitur. Kjo do të thotë, nëse shumëzohet me 0.1, atëherë pika dhjetore zhvendoset me një pozicion.
Si të ndani një thyesë dhjetore në detyra të ndryshme?
Pjesëtimi i thyesave dhjetore me një numër natyror kryhet sipas rregullit të mëposhtëm:
shkruajini për pjesëtim në një kolonë sikur të ishin natyrore;
ndaje sipas rregullit të zakonshëm derisa të përfundojë e gjithë pjesa;
vendosni presje në përgjigje;
vazhdoni të ndani përbërësin thyesor derisa pjesa e mbetur të jetë zero;
nëse është e nevojshme, mund të shtoni numrin e kërkuar të zerave.
Nëse pjesa e plotë është e barabartë me zero, atëherë nuk do të jetë as në përgjigje.
Më vete, ekziston ndarja në numra të barabartë me dhjetë, njëqind, e kështu me radhë. Në probleme të tilla, duhet të zhvendosni pikën dhjetore majtas me numrin e zerave në pjesëtues. Ndodh që nuk ka numra të mjaftueshëm në një pjesë të plotë, atëherë në vend të tyre përdoren zero. Ju mund të shihni se ky operacion është i ngjashëm me shumëzimin me 0.1 dhe numra të ngjashëm.
Për të ndarë numrat dhjetorë, duhet të përdorni këtë rregull:
kthejeni pjesëtuesin në një numër natyror dhe për ta bërë këtë, zhvendosni presjen në të djathtas në fund;
zhvendosni pikën dhjetore në dividend me të njëjtin numër shifrash;
veproni sipas skenarit të mëparshëm.
Theksohet ndarja me 0.1; 0.01 dhe të tjerët numra të ngjashëm. Në shembuj të tillë, pika dhjetore zhvendoset djathtas nga numri i shifrave në pjesën thyesore. Nëse ato mbarojnë, atëherë duhet të shtoni numrin e munguar të zerave. Vlen të përmendet se ky veprim përsërit pjesëtimin me 10 dhe numra të ngjashëm.
Përfundim: Gjithçka ka të bëjë me praktikën
Asgjë në të mësuar nuk vjen lehtë ose pa përpjekje. Përvetësimi i besueshëm i materialit të ri kërkon kohë dhe praktikë. Matematika nuk bën përjashtim.
Për të siguruar që tema për thyesat dhjetore të mos shkaktojë vështirësi, duhet të zgjidhni sa më shumë shembuj me to. Në fund të fundit, ka qenë një kohë kur shtimi i numrave natyrorë ishte një rrugë pa krye. Dhe tani gjithçka është në rregull.
Prandaj, për të parafrazuar fraza e famshme: vendos, vendos dhe vendos sërish. Atëherë detyrat me numra të tillë do të kryhen lehtësisht dhe natyrshëm, si një enigmë tjetër.
Nga rruga, enigmat janë të vështira për t'u zgjidhur në fillim, dhe më pas duhet të bëni lëvizjet e zakonshme. Është e njëjta gjë në shembujt matematikorë: pasi të keni ecur në të njëjtën rrugë disa herë, atëherë nuk do të mendoni më se ku të ktheheni.
Në këtë artikull do të shikojmë veprimin e shumëzimit të numrave dhjetorë. Le të fillojmë me formulimin e parimeve të përgjithshme, pastaj do të tregojmë se si të shumëzojmë një thyesë dhjetore me një tjetër dhe të shqyrtojmë metodën e shumëzimit me një kolonë. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj. Pastaj do të shikojmë se si të shumëzojmë saktë thyesat dhjetore me numrat e zakonshëm, si dhe të përzier dhe natyrorë (përfshirë 100, 10, etj.)
Në këtë material, ne do të prekim vetëm rregullat për shumëzimin e thyesave pozitive. Rastet me numra negativ trajtohen veçmas në artikujt mbi shumëzimin e numrave racional dhe real.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Le të formulojmë parimet e përgjithshme, e cila duhet të ndiqet gjatë zgjidhjes së problemave në shumëzimin e thyesave dhjetore.
Së pari, le të kujtojmë se thyesat dhjetore nuk janë gjë tjetër veçse një formë e veçantë e shkrimit të thyesave të zakonshme, prandaj, procesi i shumëzimit të tyre mund të reduktohet në një të ngjashëm për thyesat e zakonshme. Ky rregull funksionon si për thyesat e fundme ashtu edhe për ato të pafundme: pasi t'i shndërroni në thyesa të zakonshme, është e lehtë të shumëzoni me to sipas rregullave që kemi mësuar tashmë.
Le të shohim se si zgjidhen probleme të tilla.
Shembulli 1
Llogaritni prodhimin e 1,5 dhe 0,75.
Zgjidhje: së pari, le të zëvendësojmë thyesat dhjetore me ato të zakonshme. Ne e dimë se 0,75 është 75/100, dhe 1,5 është 15/10. Mund të zvogëlojmë thyesën dhe të zgjedhim të gjithë pjesën. Ne do ta shkruajmë rezultatin që rezulton 125 1000 si 1, 125.
Përgjigje: 1 , 125 .
Mund të përdorim metodën e numërimit të kolonave, ashtu si për numrat natyrorë.
Shembulli 2
Shumëzoni një thyesë periodike 0, (3) me një tjetër 2, (36).
Së pari, le të reduktojmë fraksionet origjinale në ato të zakonshme. Ne do të marrim:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Prandaj, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
Thyesa e zakonshme që rezulton mund të shndërrohet në formë dhjetore duke e ndarë numëruesin me emëruesin në një kolonë:
Përgjigje: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Nëse kemi fraksione të pafundme jo periodike në deklaratën e problemit, atëherë duhet të kryejmë rrumbullakim paraprak (shiko artikullin për rrumbullakimin e numrave nëse keni harruar se si ta bëni këtë). Pas kësaj, ju mund të kryeni veprimin e shumëzimit me fraksione dhjetore tashmë të rrumbullakosura. Le të japim një shembull.
Shembulli 3
Llogaritni prodhimin e 5, 382... dhe 0, 2.
Zgjidhje
Në problemin tonë kemi një thyesë të pafundme që fillimisht duhet të rrumbullakoset në të qindtat. Rezulton se 5,382... ≈ 5,38. Nuk ka kuptim të rrumbullakosni faktorin e dytë në të qindtat. Tani mund të llogarisni produktin e kërkuar dhe të shkruani përgjigjen: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.
Përgjigje: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.
Metoda e numërimit të kolonave mund të përdoret jo vetëm për numrat natyrorë. Nëse kemi dhjetore, mund t'i shumëzojmë në të njëjtën mënyrë. Le të nxjerrim rregullin:
Përkufizimi 1
Shumëzimi i thyesave dhjetore me kolonë kryhet në 2 hapa:
1. Kryeni shumëzimin e kolonave, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve.
2. Vendosni një pikë dhjetore në numrin përfundimtar, duke e ndarë atë sa më shumë shifra nga anën e djathtë, sa vende dhjetore përmbajnë të dy faktorët së bashku. Nëse rezultati nuk ka numra të mjaftueshëm për këtë, shtoni zero në të majtë.
Le të shohim shembuj të llogaritjeve të tilla në praktikë.
Shembulli 4
Shumëzoni dhjetoret 63, 37 dhe 0, 12 kolona.
Zgjidhje
Së pari, le të shumëzojmë numrat, duke injoruar pikat dhjetore.
Tani duhet të vendosim presjen në vendin e duhur. Do të ndajë katër shifrat në anën e djathtë sepse shuma e dhjetoreve në të dy faktorët është 4. Nuk ka nevojë të shtoni zero, sepse shenja të mjaftueshme:
Përgjigje: 3,37 0,12 = 7,6044.
Shembulli 5
Llogaritni sa është 3,2601 herë 0,0254.
Zgjidhje
Ne numërojmë pa presje. Ne marrim numrin e mëposhtëm:
Ne do të vendosim një presje që ndan 8 shifra në anën e djathtë, sepse thyesat origjinale së bashku kanë 8 shifra dhjetore. Por rezultati ynë ka vetëm shtatë shifra, dhe ne nuk mund të bëjmë pa zero shtesë:
Përgjigje: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.
Si të shumëzojmë një dhjetore me 0,001, 0,01, 01, etj.
Shumëzimi i numrave dhjetorë me numra të tillë është i zakonshëm, prandaj është e rëndësishme që të jeni në gjendje ta bëni atë shpejt dhe saktë. Le të shkruajmë një rregull të veçantë që do të përdorim për këtë shumëzim:
Përkufizimi 2
Nëse shumëzojmë një dhjetore me 0, 1, 0, 01, etj., përfundojmë me një numër të ngjashëm me thyesën origjinale, me pikën dhjetore të zhvendosur majtas numrin e kërkuar të vendeve. Nëse nuk ka numra të mjaftueshëm për të transferuar, duhet të shtoni zero në të majtë.
Pra, për të shumëzuar 45, 34 me 0, 1, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në thyesën dhjetore origjinale me një vend. Do të përfundojmë me 4534.
Shembulli 6
Shumëzoni 9.4 me 0.0001.
Zgjidhje
Do të duhet të zhvendosim pikën dhjetore katër vende sipas numrit të zerave në faktorin e dytë, por numrat në faktorin e parë nuk mjaftojnë për këtë. Ne caktojmë zerot e nevojshme dhe gjejmë se 9,4 · 0,0001 = 0,00094.
Përgjigje: 0 , 00094 .
Për dhjetoret e pafundme përdorim të njëjtin rregull. Kështu, për shembull, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ose 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... etj.
Procesi i një shumëzimi të tillë nuk është i ndryshëm nga veprimi i shumëzimit të dy thyesave dhjetore. Është e përshtatshme të përdoret metoda e shumëzimit të kolonave nëse deklarata e problemit përmban një fraksion dhjetor përfundimtar. Në këtë rast, është e nevojshme të merren parasysh të gjitha rregullat për të cilat folëm në paragrafin e mëparshëm.
Shembulli 7
Llogaritni sa është 15 · 2.27.
Zgjidhje
Le të shumëzojmë numrat origjinalë me një kolonë dhe të ndajmë dy presje.
Përgjigje: 15 · 2,27 = 34,05.
Nëse shumëzojmë një thyesë dhjetore periodike me një numër natyror, fillimisht duhet ta ndryshojmë thyesën dhjetore në një të zakonshme.
Shembulli 8
Llogaritni prodhimin e 0 , (42) dhe 22 .
Le ta zvogëlojmë thyesën periodike në formën e zakonshme.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Rezultati përfundimtar mund të shkruhet në formën e një thyese dhjetore periodike si 9, (3).
Përgjigje: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .
Thyesat e pafundme duhet së pari të rrumbullakosen përpara llogaritjeve.
Shembulli 9
Llogaritni sa do të jetë 4 · 2, 145....
Zgjidhje
Le të rrumbullakojmë thyesën dhjetore të pafundme në të qindtat. Pas kësaj arrijmë te shumëzojmë një numër natyror dhe një thyesë dhjetore përfundimtare:
4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.
Përgjigje: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
Si të shumëzoni një dhjetore me 1000, 100, 10, etj.
Shumëzimi i një thyese dhjetore me 10, 100, etj., haset shpesh në problema, prandaj këtë rast do ta analizojmë veçmas. Rregulli themelor i shumëzimit është:
Përkufizimi 3
Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me 1000, 100, 10, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore të saj në 3, 2, 1 shifra në varësi të shumëzuesit dhe të hidhni zerat shtesë në të majtë. Nëse nuk ka numra të mjaftueshëm për të lëvizur presjen, shtojmë në të djathtë aq zero sa na duhen.
Le të tregojmë me një shembull saktësisht se si ta bëjmë këtë.
Shembulli 10
Shumëzoni 100 dhe 0,0783.
Zgjidhje
Për ta bërë këtë, ne duhet të lëvizim pikën dhjetore me 2 shifra në të djathtë. Do të përfundojmë me 007, 83 Zerot në të majtë mund të hidhen poshtë dhe rezultati të shkruhet si 7, 38.
Përgjigje: 0,0783 100 = 7,83.
Shembulli 11
Shumëzoni 0,02 me 10 mijë.
Zgjidhja: Do ta zhvendosim presjen me katër shifra djathtas. Ne nuk kemi shenja të mjaftueshme për këtë në thyesën dhjetore origjinale, kështu që do të duhet të shtojmë zero. Në këtë rast, tre 0 do të jenë të mjaftueshme. Rezultati është 0, 02000, lëvizni presjen dhe merrni 00200, 0. Duke injoruar zerot në të majtë, mund ta shkruajmë përgjigjen si 200.
Përgjigje: 0,02 · 10,000 = 200.
Rregulli që kemi dhënë do të funksionojë njësoj në rastin e thyesave dhjetore të pafundme, por këtu duhet të keni shumë kujdes për periodën e thyesës fundore, pasi është e lehtë të gabosh në të.
Shembulli 12
Llogaritni prodhimin e 5,32 (672) herë 1000.
Zgjidhja: para së gjithash, ne do ta shkruajmë thyesën periodike si 5, 32672672672 ..., kështu që probabiliteti për të bërë një gabim do të jetë më i vogël. Pas kësaj, ne mund ta zhvendosim presjen në numrin e kërkuar të karaktereve (tre). Rezultati do të jetë 5326, 726726... Le ta mbyllim pikën në kllapa dhe ta shkruajmë përgjigjen si 5,326, (726).
Përgjigje: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .
Nëse kushtet problemore përmbajnë thyesa të pafundme jo periodike që duhet të shumëzohen me dhjetë, njëqind, një mijë, etj., mos harroni t'i rrumbullakosni para se t'i shumëzoni.
Për të kryer shumëzimin e këtij lloji, duhet të përfaqësoni thyesën dhjetore si një thyesë të zakonshme dhe më pas të vazhdoni sipas rregullave tashmë të njohura.
Shembulli 13
Shumëzoni 0, 4 me 3 5 6
Zgjidhje
Së pari, le ta kthejmë thyesën dhjetore në një thyesë të zakonshme. Kemi: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
Përgjigjen e morëm në formën e një numri të përzier. Mund ta shkruani si thyesë periodike 1, 5 (3).
Përgjigje: 1 , 5 (3) .
Nëse një fraksion i pafundëm jo periodik është i përfshirë në llogaritjen, duhet ta rrumbullakosni atë në një numër të caktuar dhe më pas ta shumëzoni.
Shembulli 14
Llogaritni produktin 3, 5678. . . · 2 3
Zgjidhje
Mund ta paraqesim faktorin e dytë si 2 3 = 0, 6666…. Më pas, rrumbullakoni të dy faktorët në vendin e mijëtë. Pas kësaj, do të na duhet të llogarisim produktin e dy thyesave dhjetore përfundimtare 3,568 dhe 0,667. Le të numërojmë me një kolonë dhe të marrim përgjigjen:
Rezultati përfundimtar duhet të rrumbullakoset në të mijtën, pasi ishte në këtë shifër që rrumbullakuam numrat origjinal. Rezulton se 2,379856 ≈ 2,380.
Përgjigje: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Le të kalojmë në studimin e veprimit tjetër me thyesat dhjetore, tani do t'i hedhim një vështrim gjithëpërfshirës duke shumëzuar numrat dhjetorë. Së pari, le të diskutojmë parimet e përgjithshme të shumëzimit të numrave dhjetorë. Pas kësaj, ne do të kalojmë në shumëzimin e një thyese dhjetore me një fraksion dhjetor, do të tregojmë se si të shumëzojmë thyesat dhjetore me një kolonë dhe do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve. Më pas, do të shohim shumëzimin e thyesave dhjetore me numra natyrorë, veçanërisht me 10, 100, etj. Së fundi, le të flasim për shumëzimin e numrave dhjetorë me thyesa dhe numra të përzier.
Le të themi menjëherë se në këtë artikull do të flasim vetëm për shumëzimin e thyesave dhjetore pozitive (shih numrat pozitivë dhe negativë). Rastet e mbetura diskutohen në artikujt shumëzimi i numrave racionalë dhe duke shumëzuar numrat realë.
Navigimi i faqes.
Parimet e përgjithshme të shumëzimit të numrave dhjetorë
Le të diskutojmë parimet e përgjithshme që duhen ndjekur gjatë shumëzimit me numra dhjetorë.
Meqenëse dhjetoret e fundme dhe thyesat periodike të pafundme janë forma dhjetore e thyesave të zakonshme, shumëzimi i këtyre dhjetoreve është në thelb shumëzimi i thyesave të zakonshme. Me fjalë të tjera, duke shumëzuar dhjetore të fundme, duke shumëzuar thyesat dhjetore të fundme dhe periodike, dhe gjithashtu duke shumëzuar dhjetore periodike zbret në shumëzimin e thyesave të zakonshme pas shndërrimit të thyesave dhjetore në të zakonshme.
Le të shohim shembuj të zbatimit të parimit të deklaruar të shumëzimit të thyesave dhjetore.
Shembull.
Shumëzoni dhjetoret 1.5 dhe 0.75.
Zgjidhje.
Le të zëvendësojmë thyesat dhjetore që shumëzohen me thyesat e zakonshme përkatëse. Meqenëse 1.5=15/10 dhe 0.75=75/100, atëherë . Ju mund ta zvogëloni thyesën, pastaj të izoloni të gjithë pjesën nga fraksioni i papërshtatshëm dhe është më e përshtatshme të shkruani thyesën e zakonshme që rezulton 1 125/1 000 si një thyesë dhjetore 1.125.
Përgjigje:
1,5·0,75=1,125.
Duhet të theksohet se është e përshtatshme të shumëzoni thyesat dhjetore në një kolonë, ne do të flasim për këtë metodë të shumëzimit të thyesave dhjetore;
Le të shohim një shembull të shumëzimit të thyesave dhjetore periodike.
Shembull.
Njehsoni prodhimin e thyesave dhjetore periodike 0,(3) dhe 2,(36) .
Zgjidhje.
Le të konvertojmë thyesat dhjetore periodike në thyesa të zakonshme:
Pastaj . Ju mund ta shndërroni thyesën e zakonshme që rezulton në një thyesë dhjetore:
Përgjigje:
0,(3)·2,(36)=0,(78) .
Nëse midis thyesave dhjetore të shumëzuara ka të pafundme jo periodike, atëherë të gjitha thyesat e shumëzuara, përfshirë ato të fundme dhe periodike, duhet të rrumbullakosen në një shifër të caktuar (shih rrumbullakimi i numrave), dhe më pas shumëzoni thyesat dhjetore përfundimtare të marra pas rrumbullakimit.
Shembull.
Shumëzoni dhjetoret 5,382... dhe 0,2.
Zgjidhje.
Së pari, le të rrumbullakojmë një thyesë dhjetore të pafundme jo periodike, rrumbullakimi mund të bëhet në të qindtat, kemi 5,382...≈5,38. Thyesa dhjetore përfundimtare 0.2 nuk ka nevojë të rrumbullakoset në të qindtën më të afërt. Kështu, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Mbetet të llogaritet prodhimi i thyesave dhjetore përfundimtare: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.
Përgjigje:
5,382…·0,2≈1,076.
Shumëzimi i thyesave dhjetore me kolonë
Shumëzimi i thyesave dhjetore të fundme mund të bëhet në një kolonë, ngjashëm me shumëzimin e numrave natyrorë në një kolonë.
Le të formulojmë rregull për shumëzimin e thyesave dhjetore me kolonë. Për të shumëzuar thyesat dhjetore me kolonë, duhet:
- pa i kushtuar vëmendje presjeve, kryeni shumëzimin sipas të gjitha rregullave të shumëzimit me një kolonë numrash natyrorë;
- në numrin që rezulton, ndani me një pikë dhjetore aq shifra në të djathtë sa ka numra dhjetore në të dy faktorët së bashku, dhe nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në produkt, atëherë numri i kërkuar i zerave duhet të shtohet majtas.
Le të shohim shembuj të shumëzimit të thyesave dhjetore me kolona.
Shembull.
Shumëzoni dhjetoret 63,37 dhe 0,12.
Zgjidhje.
Le të shumëzojmë thyesat dhjetore në një kolonë. Së pari, ne shumëzojmë numrat, duke injoruar presjet: 
E tëra që mbetet është të shtoni një presje në produktin që rezulton. Ajo duhet të ndajë 4 shifra në të djathtë, pasi faktorët kanë gjithsej katër shifra dhjetore (dy në thyesën 3.37 dhe dy në thyesën 0.12). Ka numra të mjaftueshëm atje, kështu që nuk keni nevojë të shtoni zera në të majtë. Le të përfundojmë regjistrimin: 
Si rezultat kemi 3.37·0.12=7.6044.
Përgjigje:
3,37·0,12=7,6044.
Shembull.
Njehsoni prodhimin e dhjetoreve 3,2601 dhe 0,0254.
Zgjidhje.
Pasi kemi kryer shumëzimin në një kolonë pa marrë parasysh presjet, marrim foton e mëposhtme: 
Tani në produkt duhet të ndani 8 shifrat në të djathtë me presje, pasi numri i përgjithshëm i numrave dhjetorë të fraksioneve të shumëzuara është tetë. Por ka vetëm 7 shifra në produkt, prandaj, duhet të shtoni sa më shumë zero në të majtë, në mënyrë që të mund të ndani 8 shifra me presje. Në rastin tonë, ne duhet të caktojmë dy zero: 
Kjo plotëson shumëzimin e thyesave dhjetore me kolonë.
Përgjigje:
3.2601·0.0254=0.08280654.
Shumëzimi i numrave dhjetorë me 0,1, 0,01, etj.
Shumë shpesh ju duhet të shumëzoni thyesat dhjetore me 0.1, 0.01, e kështu me radhë. Prandaj, këshillohet të formulohet një rregull për shumëzimin e një thyese dhjetore me këta numra, i cili rrjedh nga parimet e shumëzimit të thyesave dhjetore të diskutuara më sipër.
Pra, duke shumëzuar një dhjetore të dhënë me 0,1, 0,01, 0,001, e kështu me radhë jep një fraksion që merret nga origjinali nëse në shënimin e saj presja zhvendoset në të majtë me përkatësisht 1, 2, 3 e kështu me radhë, dhe nëse nuk ka shifra të mjaftueshme për të lëvizur presjen, atëherë duhet të shtoni në të majtë sasia e kërkuar zero.
Për shembull, për të shumëzuar thyesën dhjetore 54,34 me 0,1, duhet të zhvendosni pikën dhjetore në thyesën 54,34 majtas me 1 shifër, e cila do t'ju japë thyesën 5,434, domethënë 54,34·0,1=5,434. Le të japim një shembull tjetër. Shumëzoni thyesën dhjetore 9,3 me 0,0001. Për ta bërë këtë, ne duhet të zhvendosim pikën dhjetore 4 shifra në të majtë në thyesën dhjetore të shumëzuar 9.3, por shënimi i thyesës 9.3 nuk përmban aq shifra. Prandaj, duhet të caktojmë kaq shumë zero në të majtë të thyesës 9.3 në mënyrë që të mund ta zhvendosim lehtësisht presjen dhjetore në 4 shifra, kemi 9.3·0.0001=0.00093.
Vini re se rregulli i deklaruar për shumëzimin e një thyese dhjetore me 0,1, 0,01, ... vlen edhe për thyesat dhjetore të pafundme. Për shembull, 0.(18)·0.01=0.00(18) ose 93.938…·0.1=9.3938….
Shumëzimi i një dhjetore me një numër natyror
Në thelbin e saj duke shumëzuar numrat dhjetorë me numrat natyrorë nuk ndryshon nga shumëzimi i një dhjetore me një dhjetore.
Është më e përshtatshme të shumëzoni një thyesë dhjetore përfundimtare me një numër natyror në një kolonë, në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullave për shumëzimin e thyesave dhjetore në një kolonë, të diskutuara në një nga paragrafët e mëparshëm.
Shembull.
Njehsoni prodhimin 15·2.27.
Zgjidhje.
Le të shumëzojmë një numër natyror me një thyesë dhjetore në një kolonë: 
Përgjigje:
15·2.27=34.05.
Kur shumëzoni një thyesë dhjetore periodike me një numër natyror, thyesa periodike duhet të zëvendësohet me një thyesë të zakonshme.
Shembull.
Shumëzoni thyesën dhjetore 0.(42) me numrin natyror 22.
Zgjidhje.
Së pari, le ta shndërrojmë thyesën periodike dhjetore në një fraksion të zakonshëm:
Tani le të bëjmë shumëzimin: . Ky rezultat si dhjetor është 9,(3) .
Përgjigje:
0,(42)·22=9,(3) .
Dhe kur shumëzoni një thyesë dhjetore të pafundme jo periodike me një numër natyror, së pari duhet të bëni rrumbullakim.
Shembull.
Shumëzoni 4·2,145….
Zgjidhje.
Pasi të kemi rrumbullakosur thyesën dhjetore të pafundme në të qindtat, arrijmë në shumëzimin e një numri natyror dhe një thyese dhjetore përfundimtare. Kemi 4·2,145…≈4·2,15=8,60.
Përgjigje:
4·2,145…≈8,60.
Duke shumëzuar një dhjetore me 10, 100, ...
Shumë shpesh ju duhet të shumëzoni thyesat dhjetore me 10, 100, ... Prandaj, këshillohet që të ndaleni në këto raste në detaje.
Le ta shprehim atë rregulli për shumëzimin e një thyese dhjetore me 10, 100, 1000, etj. Kur shumëzoni një thyesë dhjetore me 10, 100, ... në shënimin e tij, duhet të zhvendosni pikën dhjetore djathtas në 1, 2, 3, ... shifra, përkatësisht, dhe të hidhni zerat shtesë në të majtë; Nëse shënimi i fraksionit që shumëzohet nuk ka shifra të mjaftueshme për të lëvizur pikën dhjetore, atëherë duhet të shtoni numrin e kërkuar të zerave në të djathtë.
Shembull.
Shumëzoni thyesën dhjetore 0,0783 me 100.
Zgjidhje.
Le ta zhvendosim thyesën 0.0783 dy shifra djathtas dhe marrim 007.83. Duke hedhur dy zero në të majtë jepet thyesa dhjetore 7,38. Kështu, 0,0783·100=7,83.
Përgjigje:
0,0783·100=7,83.
Shembull.
Shumëzoni thyesën dhjetore 0.02 me 10.000.
Zgjidhje.
Për të shumëzuar 0,02 me 10,000, duhet të zhvendosim pikën dhjetore 4 shifra djathtas. Natyrisht, në shënimin e thyesës 0.02 nuk ka shifra të mjaftueshme për të lëvizur pikën dhjetore me 4 shifra, kështu që do të shtojmë disa zero djathtas në mënyrë që pika dhjetore të mund të zhvendoset. Në shembullin tonë, mjafton të shtojmë tre zero, kemi 0.02000. Pas zhvendosjes së presjes, marrim hyrjen 00200.0. Duke hedhur poshtë zerot në të majtë, kemi numrin 200.0, i cili është i barabartë me numrin natyror 200, i cili është rezultat i shumëzimit të thyesës dhjetore 0.02 me 10.000.
§ 107. Mbledhja e thyesave dhjetore.Shtimi i numrave dhjetorë është i njëjtë me mbledhjen e numrave të plotë. Le ta shohim këtë me shembuj.
1) 0,132 + 2,354. Le t'i etiketojmë termat njëri nën tjetrin.
Këtu, duke shtuar 2 të mijëtat në 4 mijëshe rezultonin në 6 mijëshe;
nga mbledhja e 3 qindëshave me 5 të qindtat rezulton 8 të qindtat;
nga mbledhja e 1 të dhjetës me 3 të dhjetat -4 të dhjetat dhe
nga shtimi i 0 numrave të plotë me 2 numra të plotë - 2 numra të plotë.
2) 5,065 + 7,83.
Nuk ka të mijta në termin e dytë, prandaj është e rëndësishme të mos bëni gabime kur etiketoni termat njëri pas tjetrit.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Këtu, kur mblidhen të mijëtat, rezultati është 21 mijëshe; shkruajmë 1 nën të mijtën, dhe shtuam 2 në të qindtat, kështu që në të qindtat morëm termat e mëposhtëm: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; gjithsej japin 19 të qindtat, ne firmosëm 9 nën qindëshe, dhe 1 llogaritet si e dhjeta etj.
Kështu, gjatë mbledhjes së thyesave dhjetore duhet të respektohet radha e mëposhtme: shënoni thyesat njëra poshtë tjetrës në mënyrë që në të gjitha termat të jenë të njëjtat shifra nën njëra-tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë të numrave dhjetorë të disa termave, një numër i tillë zerosh janë caktuar, të paktën mendërisht, në mënyrë që të gjithë termat pas presjes dhjetore të kenë të njëjtin numër numrat Pastaj ata kryejnë mbledhjen me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në shumën që rezulton vendosin një presje në të njëjtën kolonë vertikale në të cilën ndodhet në këto terma.
§ 108. Zbritja e thyesave dhjetore.
Zbritja e numrave dhjetorë funksionon në të njëjtën mënyrë si zbritja e numrave të plotë. Le ta tregojmë këtë me shembuj.
1) 9,87 - 7,32. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend në mënyrë që njësitë e së njëjtës shifër të jenë njëra nën tjetrën:
2) 16.29 - 4.75. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend, si në shembullin e parë:
Për të zbritur të dhjetat, duhej të merrje një njësi të plotë nga 6 dhe ta ndash atë në të dhjetat.
3) 14.0213- 5.350712. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend:
Zbritja u krye si më poshtë: meqenëse nuk mund t'i zbresim 2 të miliontat nga 0, duhet të kthehemi në shifrën më të afërt në të majtë, d.m.th., njëqind e mijëra, por në vend të njëqindmijëtave ka edhe zero, kështu që marrim 1 të dhjetëmijtë nga 3 dhjetëmijë dhe e ndajmë në njëqindmijëshe, marrim 10 të qindmijëtat, nga të cilat lëmë 9 të qindmijëtat në kategorinë e njëqindmijëshe, dhe 1qindmijtën e thyejmë në të milionat, marrim 10 milionëshe. Kështu, në tre shifrat e fundit morëm: milionat 10, qindmijëtat 9, dhjetëmijëtat 2. Për qartësi dhe lehtësi më të madhe (për të mos harruar), këta numra shkruhen mbi shifrat thyesore përkatëse të minuendit. Tani mund të filloni të zbritni. Nga 10 milionta zbresim 2 milionta, marrim 8 milionta; nga 9 qindmijët zbresim 1 qindmijë, marrim 8 qindmijë etj.
Kështu, gjatë zbritjes së thyesave dhjetore, vërehet rendi i mëposhtëm: nënshkrimi nën minuend në mënyrë që të njëjtat shifra të vendosen nën njëra-tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë ata shtojnë, të paktën mendërisht, aq shumë zero në minuend ose në subtrahend në mënyrë që të kenë të njëjtin numër shifrash, pastaj zbresin me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në ndryshimin që rezulton vendosin presje në e njëjta kolonë vertikale në të cilën ndodhet në minuend dhe zbritje.
§ 109. Shumëzimi i thyesave dhjetore.
Le të shohim disa shembuj të shumëzimit të thyesave dhjetore.
Për të gjetur prodhimin e këtyre numrave, mund të arsyetojmë si vijon: nëse faktori rritet me 10 herë, atëherë të dy faktorët do të jenë numra të plotë dhe më pas mund t'i shumëzojmë sipas rregullave për shumëzimin e numrave të plotë. Por ne e dimë se kur një nga faktorët rritet disa herë, produkti rritet me të njëjtën sasi. Kjo do të thotë se numri që fitohet nga shumëzimi i faktorëve të plotë, pra 28 me 23, është 10 herë më i madh se produkti i vërtetë dhe për të marrë produktin e vërtetë, prodhimi i gjetur duhet të zvogëlohet për 10 herë. Prandaj, këtu do të duhet të shumëzoni me 10 një herë dhe të pjesëtoni me 10 një herë, por shumëzimi dhe pjesëtimi me 10 bëhet duke lëvizur pikën dhjetore djathtas dhe majtas me një vend. Prandaj, duhet ta bëni këtë: në faktor, zhvendosni presjen në vendin e duhur, kjo do ta bëjë atë të barabartë me 23, atëherë duhet të shumëzoni numrat e plotë që rezultojnë:
Ky produkt është 10 herë më i madh se ai i vërtetë. Prandaj, duhet të zvogëlohet me 10 herë, për të cilën e lëvizim presjen një vend në të majtë. Kështu, marrim
28 2,3 = 64,4.
Për qëllime verifikimi, mund të shkruani një thyesë dhjetore me emërues dhe të kryeni veprimin sipas rregullit të shumëzimit të thyesave të zakonshme, d.m.th.
2) 12,27 0,021.
Dallimi midis këtij shembulli dhe atij të mëparshëm është se këtu të dy faktorët përfaqësohen si thyesa dhjetore. Por këtu, në procesin e shumëzimit, ne nuk do t'i kushtojmë vëmendje presjeve, d.m.th. do të rrisim përkohësisht shumëzuesin me 100 herë, dhe shumëzuesin me 1000 herë, gjë që do të rrisë produktin me 100,000 herë. Kështu, duke shumëzuar 1227 me 21, marrim:
1 227 21 = 25 767.
Duke marrë parasysh që produkti që rezulton është 100,000 herë më i madh se produkti i vërtetë, tani duhet ta zvogëlojmë atë me 100,000 herë duke vendosur siç duhet një presje në të, atëherë marrim:
32,27 0,021 = 0,25767.
Le të kontrollojmë:
Kështu, për të shumëzuar dy thyesa dhjetore, mjafton, pa i kushtuar vëmendje presjeve, t'i shumëzojmë ato si numra të plotë dhe në prodhim të ndahen me presje në anën e djathtë aq numra dhjetore sa kishte në shumëzues dhe në shumëzues së bashku.
Shembulli i fundit rezultoi në një produkt me pesë shifra dhjetore. Nëse nuk kërkohet një saktësi kaq e madhe, atëherë thyesa dhjetore rrumbullakohet. Kur rrumbullakosni, duhet të përdorni të njëjtin rregull siç tregohet për numrat e plotë.
§ 110. Shumëzimi duke përdorur tabela.
Shumëzimi i numrave dhjetorë ndonjëherë mund të bëhet duke përdorur tabela. Për këtë qëllim, për shembull, mund të përdorni ato tabela shumëzimi për numrat dyshifrorë, përshkrimi i të cilave u dha më herët.
1) Shumëzoni 53 me 1,5.
Ne do ta shumëzojmë 53 me 15. Në tabelë, ky prodhim është i barabartë me 795. Ne gjetëm prodhimin 53 me 15, por faktori ynë i dytë ishte 10 herë më i vogël, që do të thotë se produkti duhet të zvogëlohet për 10 herë, d.m.th.
53 1,5 = 79,5.
2) Shumëzoni 5.3 me 4.7.
Së pari, ne gjejmë në tabelë produktin 53 me 47, do të jetë 2,491 Por meqënëse kemi rritur shumëzuesin dhe shumëzuesin me një total prej 100 herë, prodhimi që rezulton është 100 herë më i madh se sa duhet; kështu që ne duhet ta zvogëlojmë këtë produkt me 100 herë:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Shumëzoni 0.53 me 7.4.
Së pari, gjejmë në tabelë produktin 53 me 74; do të jetë 3,922, por meqenëse e rritëm shumëzuesin me 100 herë, dhe shumëzuesin me 10 herë, prodhimi u rrit me 1000 herë; kështu që tani duhet ta zvogëlojmë atë me 1000 herë:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Pjesëtimi i thyesave dhjetore.
Ne do të shikojmë ndarjen e thyesave dhjetore në këtë rend:
1. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me numër i plotë,
1. Pjesëtoj një thyesë dhjetore me një numër të plotë.
1) Ndani 2.46 me 2.
Pjestuam me 2 fillimisht të plota, pastaj të dhjetat dhe në fund të qindtat.
2) Ndani 32.46 me 3.
32,46: 3 = 10,82.
Ne ndamë 3 dhjetëshe me 3, pastaj filluam të ndajmë 2 njësi me 3; pasi numri i njësive të dividentit është (2) më pak se pjesëtuesi(3), atëherë më duhej të vendosja 0 në herës; më tej, pjesës së mbetur morëm 4 të dhjetat dhe ndamë 24 të dhjetat me 3; mori 8 të dhjetat në herës dhe në fund ndau 6 të qindtat.
3) Ndani 1.2345 me 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Këtu në herës vendi i parë është zero numra të plotë, pasi një numër i plotë nuk pjesëtohet me 5.
4) Ndani 13.58 me 4.
E veçanta e këtij shembulli është se kur morëm 9 të qindtat në herës, zbuluam një mbetje të barabartë me 2 të qindtat, e ndajmë këtë mbetje në të mijta, morëm 20 të qindtat dhe përfunduam pjesëtimin.
Rregulli. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër të plotë kryhet në të njëjtën mënyrë si pjesëtimi i numrave të plotë, dhe mbetjet që rezultojnë shndërrohen në thyesa dhjetore, gjithnjë e më të vogla; Ndarja vazhdon derisa pjesa e mbetur të jetë zero.
2. Ndani një dhjetore me një dhjetore.
1) Pjestoni 2.46 me 0.2.
Ne tashmë dimë se si të pjesëtojmë një thyesë dhjetore me një numër të plotë. Le të mendojmë, a është e mundur ta reduktojmë këtë rast të ri të ndarjes në atë të mëparshëm? Në një kohë kemi menduar pronë e mrekullueshme koeficienti, që konsiston në faktin se ai mbetet i pandryshuar kur dividenti dhe pjesëtuesi rriten ose zvogëlohen njëkohësisht me të njëjtin numër herë. Ne mund t'i ndajmë lehtësisht numrat që na janë dhënë nëse pjesëtuesi do të ishte një numër i plotë. Për ta bërë këtë, mjafton ta rrisni atë me 10 herë, dhe për të marrë koeficientin e saktë, është e nevojshme të rritet dividenti me të njëjtën shumë, d.m.th., 10 herë. Pastaj pjesëtimi i këtyre numrave do të zëvendësohet me pjesëtimin e numrave të mëposhtëm:
Për më tepër, nuk do të ketë më nevojë për të bërë ndonjë ndryshim në të dhënat.
Le të bëjmë këtë ndarje:
Pra 2.46: 0.2 = 12.3.
2) Ndani 1.25 me 1.6.
Pjesëtuesin (1.6) e rrisim me 10 herë; në mënyrë që herësi të mos ndryshojë, e rrisim dividentin me 10 herë; 12 numra të plotë nuk janë të pjesëtueshëm me 16, kështu që ne shkruajmë 0 në herës dhe pjesëtojmë 125 të dhjetat me 16, marrim 7 të dhjetat në herës dhe pjesën e mbetur 13. 13 të dhjetat i ndajmë në të qindtat duke caktuar zero dhe pjesëtojmë 130 të qindtat me 16, etj. Ju lutemi vini re sa vijon:
a) kur nuk ka numra të plotë në një të veçantë, atëherë në vend të tyre shkruhen zero numra të plotë;
b) kur pas shtimit të shifrës së dividendit në mbetje, fitohet një numër që nuk pjesëtohet me pjesëtuesin, atëherë në herës shkruhet zero;
c) kur, pas heqjes së shifrës së fundit të dividentit, pjesëtimi nuk përfundon, atëherë, duke i shtuar zero pjesës së mbetur, pjesëtimi vazhdon;
d) nëse dividenti është një numër i plotë, atëherë kur pjesëtohet me një thyesë dhjetore, rritet duke i shtuar zero.
Kështu, për të ndarë një numër me një thyesë dhjetore, duhet të hidhni presjen në pjesëtues, dhe më pas ta rritni dividentin me aq herë sa u rrit pjesëtuesi kur hidhni presjen në të, dhe më pas të kryeni ndarjen sipas rregulli i pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër të plotë.
§ 112. Herës të përafërt.
Në paragrafin e mëparshëm, ne shikuam ndarjen e thyesave dhjetore dhe në të gjithë shembujt që zgjidhëm, pjesëtimi u plotësua, d.m.th., u mor një herës i saktë. Megjithatë, në të shumtën e rasteve nuk mund të merret një koeficient i saktë, sado larg të vazhdojmë pjesëtimin. Këtu është një rast i tillë: ndani 53 me 101.
Ne kemi marrë tashmë pesë shifra në herës, por ndarja nuk ka përfunduar ende dhe nuk ka shpresë se do të përfundojë ndonjëherë, pasi në pjesën e mbetur fillojmë të kemi numra që tashmë janë hasur më parë. Në herës do të përsëriten edhe numrat: është e qartë se pas numrit 7 do të shfaqet pafundësisht numri 5, pastaj 2 etj. Në raste të tilla, ndarja ndërpritet dhe kufizohet në shifrat e para të herësit. Ky herës quhet të afërmit. Do të tregojmë me shembuj se si kryhet ndarja.
Le të themi se duhet të pjesëtojmë 25 me 3. Natyrisht, një herës i saktë, i shprehur si një numër i plotë ose një thyesë dhjetore, nuk mund të merret nga një ndarje e tillë. Prandaj, ne do të kërkojmë një koeficient të përafërt:
25: 3 = 8 dhe mbetja 1
Koeficienti i përafërt është 8; është, natyrisht, më i vogël se herësi i saktë, sepse ka një mbetje 1. Për të marrë herësin e saktë, duhet t'i shtosh herësit të përafërt të gjetur thyesën që fitohet duke pjesëtuar pjesën e mbetur të barabartë me 1 me 3, d.m.th. , deri në 8; kjo do të jetë një fraksion 1/3. Kjo do të thotë se herësi i saktë do të shprehet si një numër i përzier 8 1/3. Meqenëse 1/3 përfaqëson thyesa e saktë, pra thyesa, më pak se një, atëherë, duke e hedhur poshtë, ne do ta lejojmë gabim, e cila më pak se një. Koeficienti 8 do të jetë herësi i përafërt deri në unitet me një disavantazh. Nëse në vend të 8 marrim 9 në herës, atëherë do të lejojmë edhe një gabim më të vogël se një, pasi nuk do të shtojmë të gjithë njësinë, por 2/3. Një testament i tillë privat herësi i përafërt në brenda një me tepricë.
Tani le të marrim një shembull tjetër. Le të themi se duhet të ndajmë 27 me 8. Meqenëse këtu nuk do të marrim një herës të saktë të shprehur si një numër i plotë, do të kërkojmë një herës të përafërt:
27: 8 = 3 dhe pjesa tjetër 3.
Këtu gabimi është i barabartë me 3/8, është më i vogël se një, që do të thotë se herësi i përafërt (3) u gjet i saktë me një me disavantazh. Vazhdojmë ndarjen: pjesën e mbetur e ndajmë në të dhjeta, marrim 30 të dhjetat; pjesëtojini ato me 8.
Ne morëm 3 në herës në vend të të dhjetave dhe 6 të dhjeta në pjesën e mbetur. Nëse kufizohemi në numrin 3.3 dhe hedhim pjesën e mbetur 6, atëherë do të lejojmë një gabim më të vogël se një të dhjetën. Pse? Sepse herësi i saktë do të fitohej kur t'i shtonim 3.3 rezultatin e pjesëtimit të 6 të dhjetave me 8; kjo ndarje do të jepte 6/80, që është më pak se një e dhjeta. (Kontrollo!) Kështu, nëse në herës kufizohemi në të dhjetat, atëherë mund të themi se kemi gjetur herësin saktë në një të dhjetën(me një disavantazh).
Le të vazhdojmë ndarjen për të gjetur një numër tjetër dhjetor. Për ta bërë këtë, ne ndajmë 6 të dhjetat në të qindtat dhe marrim 60 të qindtat; pjesëtojini ato me 8.
Në koeficientin në vendin e tretë rezultoi 7 dhe në pjesën e mbetur 4 të qindtat; nëse i hedhim do të lejojmë një gabim më të vogël se një e qindta, sepse 4 të qindtat e pjesëtuara me 8 janë më pak se një e qindta. Në raste të tilla thonë se është gjetur herësi saktë në një të qindtën(me një disavantazh).
Në shembullin që po shikojmë tani, mund të marrim herësin e saktë të shprehur si thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, mjafton të ndajmë pjesën e fundit, 4 të qindtat, në të mijtë dhe të ndajmë me 8.
Megjithatë, në shumicën dërrmuese të rasteve është e pamundur të merret një koeficient i saktë dhe duhet të kufizohet në vlerat e tij të përafërta. Tani do të shikojmë këtë shembull:
40: 7 = 5,71428571...
Pikat e vendosura në fund të numrit tregojnë se pjesëtimi nuk është përfunduar, pra barazia është e përafërt. Zakonisht barazia e përafërt shkruhet si më poshtë:
40: 7 = 5,71428571.
Kemi marrë herësin me tetë shifra dhjetore. Por nëse nuk kërkohet një saktësi kaq e madhe, mund të kufizoni veten vetëm në të gjithë pjesën e herësit, pra në numrin 5 (më saktë 6); për saktësi më të madhe, mund të merren parasysh të dhjetat dhe të merret herësi i barabartë me 5,7; nëse për ndonjë arsye kjo saktësi është e pamjaftueshme, atëherë mund të ndaleni në të qindtat dhe të merrni 5,71, etj. Le të shkruajmë koeficientët individualë dhe t'i emërtojmë ato.
Koeficienti i parë i përafërt i saktë në një 6.
E dyta » » » deri në një të dhjetën 5.7.
E treta » » » deri në një të qindtën 5.71.
E katërta » » » deri në një të mijtën 5.714.
Kështu, për të gjetur një koeficient të përafërt të saktë për disa, për shembull, në numrin e tretë dhjetor (d.m.th., deri në një të mijëtën), ndaloni ndarjen sapo të gjendet kjo shenjë. Në këtë rast, duhet të mbani mend rregullin e përcaktuar në § 40.
§ 113. Problemet më të thjeshta që përfshijnë përqindje.
Pasi të mësojmë për numrat dhjetorë, do të bëjmë disa probleme të tjera për qind.
Këto probleme janë të ngjashme me ato që zgjidhëm në departamentin e fraksioneve; por tani do t'i shkruajmë të qindtat në formën e thyesave dhjetore, domethënë pa një emërues të caktuar në mënyrë eksplicite.
Para së gjithash, ju duhet të jeni në gjendje të lëvizni lehtësisht nga thyesë e zakonshme në një dhjetore me emërues 100. Për ta bërë këtë, ndajeni numëruesin me emëruesin:
Tabela më poshtë tregon se si një numër me shenjë % (përqindje) zëvendësohet me një thyesë dhjetore me emërues 100:
Le të shqyrtojmë tani disa probleme.
1. Gjetja e përqindjes së një numri të dhënë.
Detyra 1. Vetëm 1600 njerëz jetojnë në një fshat. Numri i fëmijëve mosha shkolloreështë 25% e numri i përgjithshëm banorët. Sa fëmijë të moshës shkollore ka në këtë fshat?
Në këtë problem ju duhet të gjeni 25%, ose 0.25, nga 1600. Problemi zgjidhet duke shumëzuar:
1600 0,25 = 400 (fëmijë).
Prandaj, 25% e 1600 është 400.
Për të kuptuar qartë këtë detyrë, është e dobishme të kujtojmë se për çdo njëqind të popullsisë ka 25 fëmijë të moshës shkollore. Prandaj, për të gjetur numrin e të gjithë fëmijëve të moshës shkollore, së pari mund të zbuloni se sa qindra janë në numrin 1600 (16), dhe më pas të shumëzoni 25 me numrin e qindra (25 x 16 = 400). Në këtë mënyrë ju mund të kontrolloni vlefshmërinë e zgjidhjes.
Detyra 2. Bankat e kursimeve u ofrojnë depozituesve një kthim prej 2% në vit. Sa të ardhura do të marrë një depozitues në një vit nëse vendos në arkë: a) 200 rubla? b) 500 rubla? c) 750 rubla? d) 1000 rubla.?
Në të katër rastet, për të zgjidhur problemin, do t'ju duhet të llogaritni 0.02 nga shumat e treguara, d.m.th., secili prej këtyre numrave do të duhet të shumëzohet me 0.02. Le të bëjmë këtë:
a) 200 0.02 = 4 (fshij.),
b) 500 0,02 = 10 (fshij.),
c) 750 0.02 = 15 (fshij.),
d) 1000 0,02 = 20 (fshij.).
Secili prej këtyre rasteve mund të verifikohet nga konsideratat e mëposhtme. Bankat e kursimeve u japin investitorëve 2% të ardhura, pra 0.02 të shumës së depozituar në kursime. Nëse shuma ishte 100 rubla, atëherë 0.02 prej saj do të ishte 2 rubla. Kjo do të thotë që çdo njëqind i sjell investitorit 2 rubla. të ardhurat. Prandaj, në secilin prej rasteve të shqyrtuara, mjafton të kuptosh sa qindra ka në një numër të caktuar dhe të shumëzosh 2 rubla me këtë numër qindra. Në shembullin a) ka 2 qindra, që do të thotë
2 2 = 4 (fshij.).
Në shembullin d) ka 10 qindra, që do të thotë
2 10 = 20 (fshij.).
2. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.
Detyra 1. Shkolla diplomoi 54 nxënës në pranverë, që përbën 6% të numrit të përgjithshëm të të regjistruarve. Sa nxënës kishte në shkollë vitin e kaluar shkollor?
Le të sqarojmë së pari kuptimin e kësaj detyre. Në shkollë kanë diplomuar 54 nxënës, që është 6% e numrit të përgjithshëm të nxënësve, ose thënë ndryshe, 6 të qindtat (0,06) të të gjithë nxënësve të shkollës. Kjo do të thotë se ne e dimë pjesën e nxënësve të shprehur me numrin (54) dhe thyesën (0.06), dhe nga kjo thyesë duhet të gjejmë të gjithë numrin. Kështu, ne kemi përpara një detyrë të zakonshme për të gjetur një numër nga thyesa e tij (§90, paragrafi 6). Problemet e këtij lloji zgjidhen me ndarje:
Kjo do të thotë se në shkollë kishte vetëm 900 nxënës.
Është e dobishme të kontrolloni probleme të tilla duke zgjidhur problemin e anasjelltë, d.m.th., pasi të keni zgjidhur problemin, të paktën në kokën tuaj, duhet të zgjidhni një problem të llojit të parë (gjetja e përqindjes së një numri të caktuar): merrni numrin e gjetur ( 900) siç është dhënë dhe gjeni përqindjen e saj të treguar në problemin e zgjidhur, përkatësisht:
900 0,06 = 54.
Detyra 2. Familja shpenzon 780 rubla për ushqim gjatë muajit, që është 65% e të ardhurave mujore të babait. Përcaktoni të ardhurat e tij mujore.
Kjo detyrë ka të njëjtin kuptim si ajo e mëparshme. Ai jep një pjesë të fitimeve mujore, të shprehura në rubla (780 rubla) dhe tregon se kjo pjesë është 65%, ose 0,65, e të ardhurave totale. Dhe ajo që ju kërkoni janë të gjitha fitimet:
780: 0,65 = 1 200.
Prandaj, të ardhurat e kërkuara janë 1200 rubla.
3. Gjetja e përqindjes së numrave.
Detyra 1. Në bibliotekën e shkollës ka vetëm 6000 libra. Midis tyre janë 1200 libra për matematikën. Sa përqind e librave të matematikës përbëjnë numrin e përgjithshëm të librave në bibliotekë?
Ne kemi shqyrtuar tashmë (§97) probleme të këtij lloji dhe kemi arritur në përfundimin se për të llogaritur përqindjen e dy numrave, duhet të gjeni raportin e këtyre numrave dhe ta shumëzoni atë me 100.
Në problemin tonë duhet të gjejmë raportin në përqindje të numrave 1200 dhe 6000.
Le të gjejmë fillimisht raportin e tyre dhe më pas ta shumëzojmë me 100:
Kështu, përqindja e numrave 1200 dhe 6000 është 20. Me fjalë të tjera, librat e matematikës përbëjnë 20% të numrit të përgjithshëm të të gjithë librave.
Për të kontrolluar ne do të vendosim problem i anasjelltë: gjeni 20% nga 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
Detyra 2. Fabrika duhet të marrë 200 ton qymyr. 80 ton tashmë janë dorëzuar në uzinë.
Ky problem pyet se sa përqind është një numër (80) i një tjetri (200). Raporti i këtyre numrave do të jetë 80/200. Le ta shumëzojmë me 100:
Kjo do të thotë se 40% e qymyrit është dorëzuar.
