• Brendshme
• Dritare
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave. Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët?

Duhet të gjejmë secilin faktor të secilit prej dy numrave për të cilët gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët dhe më pas të shumëzojmë me njëri-tjetrin faktorët që përkojnë në numrin e parë dhe të dytë. Rezultati i produktit do të jetë shumëfishi i kërkuar.

Për shembull, ne kemi numrat 3 dhe 5 dhe duhet të gjejmë LCM (shumazi më i vogël i zakonshëm). Neve duhet të shumohen dhe tre dhe pesë për të gjithë numrat duke filluar nga 1 2 3 ... dhe kështu me radhë derisa të shohim të njëjtin numër aty-këtu.

Shumëzoni tre dhe merrni: 3, 6, 9, 12, 15

Shumëzojeni me pesë dhe merrni: 5, 10, 15

Metoda e faktorizimit të thjeshtë është metoda më klasike për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave. Kjo metodë tregohet qartë dhe thjesht në videon e mëposhtme:

Shtoni, shumëzoni, pjesëtoni, zvogëloni në emërues i përbashkët dhe veprimet e tjera aritmetike janë një aktivitet shumë emocionues, shembujt që marrin një fletë të tërë letre janë veçanërisht magjepsës.

Pra, gjeni shumëfishin e përbashkët të dy numrave, i cili do të jetë numri më i vogël me të cilin pjesëtohen dy numrat. Dua të vërej se nuk është e nevojshme të drejtoheni në formula në të ardhmen për të gjetur atë që kërkoni, nëse mund të numëroni në kokën tuaj (dhe kjo mund të stërvitet), atëherë vetë numrat shfaqen në kokën tuaj dhe atëherë thyesat çajnë si arra.

Për të filluar, le të mësojmë se mund të shumëzoni dy numra me njëri-tjetrin, dhe më pas ta zvogëloni këtë shifër dhe ta ndani në mënyrë alternative me këta dy numra, kështu që do të gjejmë shumëfishin më të vogël.

Për shembull, dy numra 15 dhe 6. Shumëzoni dhe merrni 90. Ky është qartë një numër më i madh. Për më tepër, 15 pjesëtohet me 3 dhe 6 pjesëtohet me 3, që do të thotë se ne gjithashtu pjesëtojmë 90 me 3. Marrim 30. Provojmë 30 pjesëtojmë 15 është e barabartë me 2. Dhe 30 pjesëtojmë 6 është 5. Meqenëse 2 është kufiri, kthehet se shumëfishi më i vogël për numrat është 15 dhe 6 do të jetë 30.

Me numra më të mëdhenj do të jetë pak më e vështirë. por nëse e dini se cilët numra japin një mbetje zero gjatë pjesëtimit ose shumëzimit, atëherë, në parim, nuk ka vështirësi të mëdha.

• Si të gjeni NOC

  Këtu është një video që do t'ju japë dy mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM). Pasi të keni praktikuar përdorimin e të parës nga metodat e sugjeruara, mund të kuptoni më mirë se cili është shumëfishi më pak i zakonshëm.

Unë paraqes një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët. Le ta shohim me një shembull të qartë.

Duhet të gjesh LCM-në e tre numrave njëherësh: 16, 20 dhe 28.

• Ne përfaqësojmë çdo numër si produkt i faktorëve të tij kryesorë:
• Ne shkruajmë fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Ne zgjedhim të gjithë pjesëtuesit kryesorë (shumëzimit) me në masën më të madhe, shumëzojini ato dhe gjeni LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Kështu, rezultati i llogaritjes ishte numri 560. Ai është shumëfishi më i vogël i përbashkët, domethënë është i pjesëtueshëm me secilin nga tre numrat pa mbetje.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët është një numër që mund të ndahet në disa numra të dhënë pa lënë mbetje. Për të llogaritur një shifër të tillë, duhet të merrni çdo numër dhe ta zbërtheni në faktorë të thjeshtë. Ata numra që përputhen hiqen. I lë të gjithë një nga një, shumëzojini me radhë mes tyre dhe merrni atë të dëshiruar - shumëfishin më pak të zakonshëm.

NOC, ose shumëfishi më pak i zakonshëm, është numri më i vogël natyror i dy ose më shumë numrave që pjesëtohet me secilin nga numrat e dhënë pa mbetje.

Këtu është një shembull se si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 30 dhe 42.

• Hapi i parë është faktorizimi i këtyre numrave në faktorët kryesorë.

Për 30 është 2 x 3 x 5.

Për 42, kjo është 2 x 3 x 7. Meqenëse 2 dhe 3 janë në zgjerimin e numrit 30, ne i kryqëzojmë ato.

• Shkruajmë faktorët që përfshihen në zgjerimin e numrit 30. Ky është 2 x 3 x 5.
• Tani duhet t'i shumëzojmë me faktorin që mungon, që kemi kur zgjerojmë 42, që është 7. Marrim 2 x 3 x 5 x 7.
• Gjejmë me çfarë është e barabartë 2 x 3 x 5 x 7 dhe marrim 210.

Si rezultat, ne gjejmë se LCM e numrave 30 dhe 42 është 210.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të kryeni disa hapa të thjeshtë me radhë. Le ta shohim këtë duke përdorur dy numra si shembull: 8 dhe 12

1. I faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë: 8=2*2*2 dhe 12=3*2*2
2. Ne zvogëlojmë të njëjtët faktorë të njërit prej numrave. Në rastin tonë, 2 * 2 përkojnë, le t'i zvogëlojmë ato për numrin 12, atëherë 12 do të ketë një faktor të mbetur: 3.
3. Gjeni produktin e të gjithë faktorëve të mbetur: 2*2*2*3=24

Duke kontrolluar, sigurohemi që 24 të jetë i pjesëtueshëm me 8 dhe me 12, dhe ky është numri më i vogël natyror që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Këtu jemi gjeti shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Do të përpiqem të shpjegoj duke përdorur numrat 6 dhe 8 si shembull Shumëfishi më i vogël i zakonshëm është një numër që mund të pjesëtohet me këta numra (në rastin tonë, 6 dhe 8) dhe nuk do të ketë mbetje.

Pra, fillimisht fillojmë të shumëzojmë 6 me 1, 2, 3, etj. dhe 8 me 1, 2, 3, etj.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Përkufizimi 2

Nëse një numër natyror a është i pjesëtueshëm me një numër natyror $b$, atëherë $b$ quhet pjesëtues i $a$ dhe $a$ quhet shumëfish i $b$.

Le të jenë numra natyrorë $a$ dhe $b$. Numri $c$ quhet pjesëtues i përbashkët i $a$ dhe $b$.

Bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $a$ dhe $b$ është e fundme, pasi asnjë nga këta pjesëtues nuk mund të jetë më i madh se $a$. Kjo do të thotë se midis këtyre pjesëtuesve ekziston një më i madhi, i cili quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ dhe shënohet me shënimin e mëposhtëm:

$GCD\(a;b)\ ose \D\(a;b)$

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave ju nevojiten:

1. Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

Shembulli 1

Gjeni gcd-në e numrave $121$ dhe $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Zgjidhni numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=2\cdot 11=22$

Shembulli 2

Gjeni gcd-në e monomëve $63$ dhe $81$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë:

Le t'i faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ne zgjedhim numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Le të gjejmë prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=3\cdot 3=9$

Ju mund ta gjeni gcd-në e dy numrave në një mënyrë tjetër, duke përdorur një grup pjesëtuesish numrash.

Shembulli 3

Gjeni gcd-në e numrave $48$ dhe $60$.

Zgjidhja:

Le të gjejmë bashkësinë e pjesëtuesve të numrit $48$: $\majtas\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\djathtas\)$

Tani le të gjejmë grupin e pjesëtuesve të numrit $60$:$\ \majtas\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\djathtas\) $

Le të gjejmë kryqëzimin e këtyre grupeve: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ky grup do të përcaktojë grupin e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $48$ dhe $60 $. Elementi më i madh në këtë grup do të jetë numri $12$. Kjo do të thotë se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $48$ dhe $60$ është $12$.

Përkufizimi i NPL

Përkufizimi 3

Shumëfisha të përbashkët numrat natyrorë $a$ dhe $b$ është një numër natyror që është shumëfish i $a$ dhe $b$.

Shumëfishat e përbashkët të numrave janë numra që janë të pjesëtueshëm me numrat origjinalë pa mbetje Për shembull, për numrat 25$ dhe 50$, shumëfishat e përbashkët do të jenë numrat 50,100,150,200$, etj.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe do të shënohet LCM$(a;b)$ ose K$(a;b).$

Për të gjetur LCM-në e dy numrave, duhet:

1. Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë
2. Shkruani faktorët që janë pjesë e numrit të parë dhe shtoni atyre faktorët që janë pjesë e të dytit dhe nuk janë pjesë e të parit.

Shembulli 4

Gjeni LCM-në e numrave $99$ dhe $77$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë

Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Shkruani faktorët e përfshirë në të parën

shtoni atyre shumëzues që janë pjesë e së dytës dhe jo pjesë e së parës

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Përpilimi i listave të pjesëtuesve të numrave është shpesh një detyrë shumë e vështirë. Ekziston një mënyrë për të gjetur GCD që quhet algoritmi Euklidian.

Deklaratat në të cilat bazohet algoritmi Euklidian:

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë, dhe $a\vdots b$, atëherë $D(a;b)=b$

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë të tillë që $b

Duke përdorur $D(a;b)= D(a-b;b)$, ne mund t'i zvogëlojmë në mënyrë të njëpasnjëshme numrat në shqyrtim derisa të arrijmë një çift numrash të tillë që njëri prej tyre të jetë i pjesëtueshëm me tjetrin. Atëherë, më i vogli nga këta numra do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar për numrat $a$ dhe $b$.

Vetitë e GCD dhe LCM

1. Çdo shumëfish i përbashkët i $a$ dhe $b$ është i pjesëtueshëm me K$(a;b)$
2. Nëse $a\vdots b$ , atëherë К$(a;b)=a$

Nëse K$(a;b)=k$ dhe $m$ është një numër natyror, atëherë K$(am;bm)=km$

Nëse $d$ është një pjesëtues i zakonshëm për $a$ dhe $b$, atëherë K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Nëse $a\vdots c$ dhe $b\vdots c$, atëherë $\frac(ab)(c)$ është shumëfishi i përbashkët i $a$ dhe $b$

Për çdo numër natyror $a$ dhe $b$ barazia vlen

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Çdo pjesëtues i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ është pjesëtues i numrit $D(a;b)$

Shprehjet dhe problemet matematikore kërkojnë shumë njohuri shtesë. NOC është një nga ato kryesore, veçanërisht shpesh përdoret në Tema studiohet në shkollën e mesme dhe nuk është veçanërisht e vështirë për të kuptuar materialin një person i njohur me fuqitë dhe tabelën e shumëzimit nuk do ta ketë të vështirë të identifikojë numrat e nevojshëm dhe të zbulojë rezultat.

Përkufizimi

Një shumëfish i përbashkët është një numër që mund të ndahet plotësisht në dy numra në të njëjtën kohë (a dhe b). Më shpesh, ky numër fitohet duke shumëzuar numrat origjinalë a dhe b. Numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me të dy numrat njëherësh, pa devijime.

NOC është emri i shkurtër i miratuar për përcaktimin, i mbledhur nga shkronjat e para.

Mënyrat për të marrë një numër

Metoda e shumëzimit të numrave nuk është gjithmonë e përshtatshme për gjetjen e LCM-së, ajo është shumë më e përshtatshme për numrat e thjeshtë njëshifror ose dyshifror. Është zakon të ndahet në faktorë, sa më i madh të jetë numri, aq më shumë faktorë do të ketë.

Shembulli #1

Për shembullin më të thjeshtë, shkollat ​​zakonisht përdorin numra të thjeshtë, njëshifrorë ose dyshifrorë. Për shembull, duhet të zgjidhni detyrën e mëposhtme, të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 7 dhe 3, zgjidhja është mjaft e thjeshtë, mjafton t'i shumëzoni ato. Si rezultat, ekziston një numër 21, thjesht nuk ka numër më të vogël.

Shembulli nr. 2

Versioni i dytë i detyrës është shumë më i vështirë. Janë dhënë numrat 300 dhe 1260, gjetja e LOC është e detyrueshme. Për të zgjidhur problemin, supozohen veprimet e mëposhtme:

Zbërthimi i numrave të parë dhe të dytë në faktorë të thjeshtë. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Faza e parë ka përfunduar.

Faza e dytë përfshin punën me të dhënat e marra tashmë. Secili nga numrat e marrë duhet të marrë pjesë në llogaritjen e rezultatit përfundimtar. Për çdo shumëzues, më së shumti numër i madh dukurive. NOC është numri total Prandaj, në të duhet të përsëriten faktorët nga numrat, secili, edhe ata që janë të pranishëm në një kopje. Të dy numrat fillestarë përmbajnë numrat 2, 3 dhe 5, në fuqi të ndryshme 7 është i pranishëm vetëm në një rast.

Për të llogaritur rezultatin përfundimtar, duhet të merrni çdo numër në fuqinë më të madhe të paraqitur në ekuacion. Mbetet vetëm shumëzimi dhe marrja e përgjigjes nëse plotësohet saktë, detyra përshtatet në dy hapa pa shpjegim;

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Ky është i gjithë problemi, nëse përpiqeni të llogarisni numrin e kërkuar me shumëzim, atëherë përgjigjja definitivisht nuk do të jetë e saktë, pasi 300 * 1260 = 378,000.

Ekzaminimi:

6300 / 300 = 21 - e saktë;

6300 / 1260 = 5 - e saktë.

Korrektësia e rezultatit të marrë përcaktohet duke kontrolluar - pjesëtuar LCM me të dy numrat origjinalë nëse numri është numër i plotë në të dy rastet, atëherë përgjigja është e saktë.

Çfarë do të thotë NOC në matematikë?

Siç e dini, nuk ka asnjë funksion të vetëm të padobishëm në matematikë, ky nuk është përjashtim. Qëllimi më i zakonshëm i këtij numri është të zvogëlojë thyesat në një emërues të përbashkët. Çfarë studiohet zakonisht në klasat 5-6 të shkollës së mesme. Ai është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët për të gjithë shumëfishat, nëse kushte të tilla janë të pranishme në problem. Një shprehje e tillë mund të gjejë një shumëfish jo vetëm të dy numrave, por edhe të një numri shumë më të madh - tre, pesë, e kështu me radhë. Si më shumë numra- aq më shumë veprime ka në detyrë, por kompleksiteti nuk rritet.

Për shembull, duke pasur parasysh numrat 250, 600 dhe 1500, ju duhet të gjeni LCM-në e tyre të përbashkët:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ky shembull përshkruan faktorizimin në detaje, pa reduktim.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Për të kompozuar një shprehje, është e nevojshme të përmenden të gjithë faktorët, në këtë rast janë dhënë 2, 5, 3 - për të gjithë këta numra është e nevojshme të përcaktohet shkalla maksimale.

Kujdes: të gjithë faktorët duhet të sillen në thjeshtim të plotë, nëse është e mundur, të zbërthehen në nivelin njëshifror.

Ekzaminimi:

1) 3000 / 250 = 12 - e saktë;

2) 3000 / 600 = 5 - e vërtetë;

3) 3000 / 1500 = 2 - e saktë.

Kjo metodë nuk kërkon ndonjë truk apo aftësi të nivelit gjenial, gjithçka është e thjeshtë dhe e qartë.

Menyre tjeter

Në matematikë, shumë gjëra janë të lidhura, shumë gjëra mund të zgjidhen në dy ose më shumë mënyra, e njëjta gjë vlen edhe për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët, LCM. Metoda e mëposhtme mund të përdoret në rastin e numrave të thjeshtë dyshifrorë dhe njëshifrorë. Përpilohet një tabelë në të cilën shumëzuesi futet vertikalisht, shumëzuesi horizontalisht dhe produkti tregohet në qelizat kryqëzuese të kolonës. Mund ta pasqyroni tabelën duke përdorur një rresht, të merrni një numër dhe të shkruani rezultatet e shumëzimit të këtij numri me numra të plotë, nga 1 në pafundësi, ndonjëherë mjaftojnë 3-5 pikë, numrat e dytë dhe të mëpasshëm i nënshtrohen të njëjtit proces llogaritës. Gjithçka ndodh derisa të gjendet një shumëfish i përbashkët.

Duke pasur parasysh numrat 30, 35, 42, duhet të gjeni LCM që lidh të gjithë numrat:

1) Shumëfishat e 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etj.

2) Shumëfishat e 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etj.

3) Shumëfishat e 42: 84, 126, 168, 210, 252, etj.

Vërehet se të gjithë numrat janë krejt të ndryshëm, i vetmi numër i përbashkët mes tyre është 210, pra do të jetë NOC. Ndër proceset e përfshira në këtë llogaritje ekziston edhe një pjesëtues më i madh i përbashkët, i cili llogaritet sipas parimeve të ngjashme dhe haset shpesh në problemet fqinje. Dallimi është i vogël, por mjaft domethënës, LCM përfshin llogaritjen e një numri që është i pjesëtueshëm me të gjitha të dhënat vlerat origjinale, dhe GCD përfshin llogaritjen vlera më e lartë me të cilin ndahen numrat origjinal.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave lidhet drejtpërdrejt me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të atyre numrave. Kjo lidhje midis GCD dhe NOC përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë pozitiv a dhe b është i barabartë me produktin e a dhe b të pjesëtuar me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të a dhe b, d.m.th. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dëshmi.

Le M është disa shumëfish i numrave a dhe b. Domethënë, M është i pjesëtueshëm me a, dhe nga përkufizimi i pjesëtueshmërisë, ka një numër të plotë k të tillë që barazia M=a·k është e vërtetë. Por M është gjithashtu i pjesëtueshëm me b, atëherë a·k pjesëtohet me b.

Le të shënojmë gcd(a, b) si d. Atëherë mund të shkruajmë barazitë a=a 1 ·d dhe b=b 1 ·d, dhe a 1 =a:d dhe b 1 =b:d do të jenë numra relativisht të thjeshtë. Për rrjedhojë, kushti i marrë në paragrafin e mëparshëm që a · k është i pjesëtueshëm me b mund të riformulohet si më poshtë: a 1 · d · k pjesëtohet me b 1 · d, dhe kjo, për shkak të vetive të pjesëtueshmërisë, është e barabartë me kushti që a 1 · k të ndahet me b 1 .

Ju gjithashtu duhet të shkruani dy përfundime të rëndësishme nga teorema e shqyrtuar.

Shumëfishat e përbashkët të dy numrave janë të njëjtë me shumëfishat e shumëfishit të tyre më të vogël të përbashkët.

Ky është me të vërtetë rasti, pasi çdo shumëfish i përbashkët i M i numrave a dhe b përcaktohet nga barazia M=LMK(a, b)·t për një vlerë të plotë t.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i koprimit numra pozitiv a dhe b janë të barabartë me produktin e tyre.

Arsyeja për këtë fakt është mjaft e qartë. Meqenëse a dhe b janë relativisht të thjeshtë, atëherë gcd(a, b)=1, pra, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave mund të reduktohet në gjetjen sekuenciale të LCM të dy numrave. Si bëhet kjo tregohet në teoremën e mëposhtme a 1, a 2, ..., a k përputhen me shumëfishat e përbashkët të numrave m k-1 dhe a k , pra, përputhen me shumëfishat e përbashkët të numrit m k. Dhe meqenëse shumëfishi më i vogël pozitiv i numrit m k është vetë numri m k, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1, a 2, ..., a k është m k.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria e numrave.
• Kulikov L.Ya. dhe të tjera Mbledhja e problemeve në algjebër dhe teoria e numrave: Tutorial për studentët e fizikës dhe matematikës. specialitete të instituteve pedagogjike.

Përkufizimi. Numri më i madh natyror që mund të pjesëtohet pa mbetje me numrat a dhe b quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) këta numra.

Le të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 24 dhe 35.
Pjesëtuesit e 24 janë numrat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dhe pjesëtuesit e 35 janë numrat 1, 5, 7, 35.
Shohim që numrat 24 dhe 35 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numrat e tillë quhen kryeministër reciprok.

Përkufizimi. Numrat natyrorë quhen kryeministër reciprok, nëse pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët (GCD) është 1.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) mund të gjenden pa i shkruar të gjithë pjesëtuesit e numrave të dhënë.

Duke faktorizuar numrat 48 dhe 36, marrim:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e të parit prej këtyre numrave, kalojmë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë (d.m.th., dy dysh).
Faktorët që mbeten janë 2 * 2 * 3. Prodhimi i tyre është 12. Ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 48 dhe 36. Gjendet edhe pjesëtuesi më i madh i përbashkët i tre ose më shumë numrave.

Per te gjetur pjesëtuesi më i madh i përbashkët

2) nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzoni ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të tjerë;
3) gjeni produktin e faktorëve të mbetur.

Nëse të gjithë numrat e dhënë janë të pjesëtueshëm me njërin prej tyre, atëherë ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët numrat e dhënë.
Për shembull, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 15, 45, 75 dhe 180 është numri 15, pasi të gjithë numrat e tjerë janë të pjesëtueshëm me të: 45, 75 dhe 180.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM)

Përkufizimi. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) numrat natyrorë a dhe b është numri natyror më i vogël që është shumëfish i a dhe b. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave 75 dhe 60 mund të gjendet pa i shkruar shumëfishat e këtyre numrave me radhë. Për ta bërë këtë, le të faktorizojmë 75 dhe 60 në faktorët kryesorë: 75 = 3 * 5 * 5 dhe 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Le të shkruajmë faktorët e përfshirë në zgjerimin e të parit prej këtyre numrave dhe t'u shtojmë atyre faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë (d.m.th., ne kombinojmë faktorët).
Marrim pesë faktorë 2 * 2 * 3 * 5 * 5, prodhimi i të cilëve është 300. Ky numër është shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 75 dhe 60.

Ata gjithashtu gjejnë shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave.

te gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët ju duhen disa numra natyrorë:
1) faktorizoni në faktorë kryesorë;
2) shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e një prej numrave;
3) shtojini atyre faktorët që mungojnë nga zgjerimet e numrave të mbetur;
4) gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë.

Vini re se nëse njëri prej këtyre numrave është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e tjerë, atëherë ky numër është shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave.
Për shembull, shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 12, 15, 20 dhe 60 është 60 sepse është i pjesëtueshëm me të gjithë këta numra.

Pitagora (shekulli VI para Krishtit) dhe studentët e tij studiuan çështjen e pjesëtueshmërisë së numrave. Numri, e barabartë me shumën Ata i quajtën të gjithë pjesëtuesit e tij (pa vetë numrin) një numër të përsosur. Për shembull, numrat 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) janë të përsosur. Numrat e ardhshëm të përsosur janë 496, 8128, 33,550,336 Pitagorianët dinin vetëm tre numrat e parë të përsosur. E katërta - 8128 - u bë e njohur në shekullin I. n. e. E pesta - 33,550,336 - u gjet në shekullin e 15-të. Deri në vitin 1983, njiheshin tashmë 27 numra të përsosur. Por shkencëtarët ende nuk e dinë nëse ka numra të përsosur tek apo nëse ka një numër më të madh të përsosur.
Interesi i matematikanëve të lashtë për numrat e thjeshtë është për faktin se çdo numër është ose i thjeshtë ose mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë, d.m.th., numrat e thjeshtë janë si tulla nga të cilat janë ndërtuar pjesa tjetër e numrave natyrorë.
Ju ndoshta keni vënë re se numrat e thjeshtë në serinë e numrave natyrorë ndodhin në mënyrë të pabarabartë - në disa pjesë të serisë ka më shumë prej tyre, në të tjera - më pak. Por sa më tej lëvizim përgjatë serisë së numrave, aq më pak të zakonshëm janë numrat e thjeshtë. Shtrohet pyetja: a ka një numër të thjeshtë të fundit (më të madh)? Matematikani i lashtë grek Euklidi (shek. III p.e.s.), në librin e tij "Elementet", i cili ishte teksti kryesor i matematikës për dy mijë vjet, vërtetoi se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë, pra pas çdo numri të thjeshtë ka një numër të thjeshtë edhe më të madh numri.
Për të gjetur numrat e thjeshtë, një tjetër matematikan grek i së njëjtës kohë, Eratosthenes, doli me këtë metodë. Ai i shënoi të gjithë numrat nga 1 në një numër, dhe më pas shënoi njërin, i cili nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë, pastaj kaloi përmes një të gjithë numrat që vijnë pas 2 (numrat që janë shumëfish të 2, d.m.th. 4, 6, 8, etj.). Numri i parë i mbetur pas 2 ishte 3. Më pas, pas dy, të gjithë numrat që vinin pas 3 (numrat që janë shumëfish të 3, d.m.th. 6, 9, 12, etj.) u kryqëzuan. në fund vetëm numrat e thjeshtë mbetën të pakryqëzuar.