≡× MENU

• Brendshme
• Dritare
• Muret
• Projektet
• Ndërtesat

Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike me numra të mëdhenj. Si të gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Shqyrtohen rastet e rrënjëve reale, të shumëfishta dhe komplekse. Faktorizimi i një trinomi kuadratik. Interpretimi gjeometrik. Shembuj të përcaktimit të rrënjëve dhe faktorizimit.

Formulat bazë

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik:
(1) .
Rrënjët e një ekuacioni kuadratik(1) përcaktohen nga formula:
; .
Këto formula mund të kombinohen si kjo:
.
Kur dihen rrënjët e një ekuacioni kuadratik, atëherë një polinom i shkallës së dytë mund të përfaqësohet si produkt i faktorëve (të faktorizuar):
.

Ne supozojmë më tej se - numra realë.
Le të shqyrtojmë diskriminues i një ekuacioni kuadratik:
.
Nëse diskriminuesi është pozitiv, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë të ndryshme reale:
; .
Atëherë faktorizimi i trinomit kuadratik ka formën:
.
Nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë reale të shumëfishta (të barabarta):
.
Faktorizimi:
.
Nëse diskriminuesi është negativ, atëherë ekuacioni kuadratik (1) ka dy rrënjë komplekse të konjuguara:
;
.
Këtu është njësia imagjinare, ;
dhe janë pjesët reale dhe imagjinare të rrënjëve:
; .
Pastaj

.

Interpretimi grafik

Nëse ndërtoni grafiku i një funksioni
,
e cila është një parabolë, atëherë pikat e prerjes së grafikut me boshtin do të jenë rrënjët e ekuacionit
.
Në , grafiku pret boshtin x (boshtin) në dy pika.
Kur , grafiku prek boshtin x në një pikë.
Kur , grafiku nuk e kalon boshtin x.

Më poshtë janë shembuj të grafikëve të tillë.

Formula të dobishme në lidhje me ekuacionin kuadratik

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ne kryejmë transformime dhe zbatojmë formulat (f.1) dhe (f.3):




,
Ku
; .

Pra, morëm formulën për një polinom të shkallës së dytë në formën:
.
Kjo tregon se ekuacioni

kryer në
Dhe .
Kjo është, dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
.

Shembuj të përcaktimit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

Shembulli 1

(1.1) .

Zgjidhje

.
Duke krahasuar me ekuacionin tonë (1.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Meqenëse diskriminuesi është pozitiv, ekuacioni ka dy rrënjë reale:
;
;
.

Nga këtu marrim faktorizimin e trinomit kuadratik:

.

Grafiku i funksionit y = 2 x 2 + 7 x + 3 pret boshtin x në dy pika.

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai kalon boshtin (boshtin) e abshisave në dy pika:
Dhe .
Këto pika janë rrënjët e ekuacionit origjinal (1.1).

Përgjigju

;
;
.

Shembulli 2

Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(2.1) .

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
.
Duke krahasuar me ekuacionin origjinal (2.1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Meqenëse diskriminuesi është zero, ekuacioni ka dy rrënjë të shumta (të barabarta):
;
.

Atëherë faktorizimi i trinomit ka formën:
.

Grafiku i funksionit y = x 2 - 4 x + 4 prek boshtin x në një pikë.

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Ai prek boshtin x (boshtin) në një pikë:
.
Kjo pikë është rrënja e ekuacionit origjinal (2.1). Meqenëse kjo rrënjë faktorizohet dy herë:
,
atëherë një rrënjë e tillë zakonisht quhet shumëfish. Kjo do të thotë, ata besojnë se ekzistojnë dy rrënjë të barabarta:
.

Përgjigju

;
.

Shembulli 3

Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik:
(3.1) .

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme:
(1) .
Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal (3.1):
.
Krahasuar me (1), gjejmë vlerat e koeficientëve:
.
Gjejmë diskriminuesin:
.
Diskriminuesi është negativ, .

Prandaj nuk ka rrënjë të vërteta.
;
;
.

Ju mund të gjeni rrënjë komplekse:


.

Pastaj

Le të vizatojmë funksionin
.
Grafiku i funksionit nuk e kalon boshtin x. Nuk ka rrënjë të vërteta.

Përgjigju

Grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Nuk e pret boshtin x (boshtin). Prandaj nuk ka rrënjë të vërteta.
;
;
.

Nuk ka rrënjë të vërteta. Rrënjët komplekse:

Niveli i parë. Ekuacionet kuadratike (2019)

Udhëzues gjithëpërfshirës

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

1. Përgjigjet:
2. Përgjigjet:
3. katror;
4. katror;
5. katror;
6. Përgjigjet:
7. katror;
8. jo katror;

katrore.

• Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Sepse ne dimë të nxjerrim Rrenja katrore, atëherë le të shprehemi nga ky ekuacion

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni asnjëherë rrënjët me shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të heqim dorë nga shembujt.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbaj mend, Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATIKE. NIVELI MESATAR

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Këto formula nuk kanë nevojë të memorizohen. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse atëherë ekuacioni ka rrënjë të njëjta, por në thelb një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse është e mundur sasi të ndryshme rrënjët? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) abshisë. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte të tilla numrash që japin në produkt dhe diferenca e të cilave është e barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të dalësh me rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vietës:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Në përgjithësi, transformimi do të duket si ky:

Kjo nënkupton: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATIKE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Nëse një ekuacion kuadratik i formës ka rrënjë, atëherë ai mund të shkruhet në formën: .

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, për pranim në kolegj me një buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 499 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

NË shoqëri moderne aftësia për të kryer operacione me ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në shkencë dhe zhvillimet teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në projektimin e anijeve detare dhe lumore, avionëve dhe raketave. Duke përdorur llogaritje të tilla, përcaktohen trajektoret e lëvizjes së një shumëllojshmërie të gjerë trupash, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse flasim në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e treguara, pavarësisht se si duken, gjithmonë mund të sillen në formën kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Duke zëvendësuar vlerat e nevojshme, duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohurat e mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në raste më komplekse. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Kjo trinom kuadratikështë i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrenja katrore

Një rast tjetër ekuacion jo të plotë rendi i dytë është një shprehje e përfaqësuar në gjuhën e shkronjave në mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj rrënja katrore merret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë rezulton negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës në ato kohë të largëta ishte përcaktuar kryesisht nga nevoja për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në probleme të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e vendit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m 2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Megjithëse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Së pari, le të bëjmë transformimet e nevojshme, pastaj pamjen e kësaj shprehjeje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë një shprehje në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c=-612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu llogaritjet e nevojshme prodhohen sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por edhe përcakton sasinë opsionet e mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë të barazisë, të bëjmë një transformim, domethënë, do të marrim llojin e ekuacionit që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë atë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën përkatëse të zakonshme dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është e përshtatshme të zgjidhen ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas dikujt që jetoi në Francën e shekullit të 16-të dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe produkti i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisës

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse y 0 merr vlerat negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse nuk është e lehtë për të marrë një paraqitje vizuale të një funksioni kuadratik, mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtëve u duheshin llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët e Mesopotamisë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata gjithashtu nuk ishin të njohur me hollësitë e tjera që i njeh çdo nxënës i shkollës moderne.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax^2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrar, dhe a ≠ 0, përndryshe nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik. Ekuacionet kuadratike ose nuk kanë rrënjë, ose kanë saktësisht një rrënjë, ose dy rrënjë të ndryshme. Hapi i parë është të kërkoni një diskriminues. Formula: D = b^2 − 4ac.< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >1. Nëse D

0, do të ketë dy rrënjë. Me opsionin e parë është e qartë, nuk ka rrënjë. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden si më poshtë: x12 = (-b +- √D) / 2a. Sa i përket opsionit të dytë, kur D = 0, mund të përdoret formula e mësipërme.

Ekuacionet kuadratike fillojnë të studiohen në lëndën e matematikës shkollore. Por, për fat të keq, jo të gjithë e kuptojnë dhe dinë të zgjidhin saktë një ekuacion kuadratik dhe të llogarisin rrënjët e tij. Së pari, le të kuptojmë se çfarë është një ekuacion kuadratik.

Çfarë është një ekuacion kuadratik Termi ekuacion kuadratik zakonisht nënkupton një ekuacion algjebrik pamje e përgjithshme . Ky ekuacion ka pamje tjetër

• : ax2 + bx + c = 0, ndërsa a, b dhe c janë disa numra specifikë, x është një i panjohur. Këta tre numra zakonisht quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik:
• a - koeficienti i parë;
• b - koeficienti i dytë;

c është koeficienti i tretë.

Për të llogaritur se me çfarë do të jenë të barabarta rrënjët e një ekuacioni kuadratik, është e nevojshme të gjendet diskriminuesi i ekuacionit. Diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është një shprehje që është e barabartë dhe llogaritet duke përdorur formulën b2 - 4ac. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, rrënja llogaritet duke përdorur formulën: x = -b + - rrënja e diskriminuesit pjesëtuar me 2 a.

Shqyrtoni shembullin e ekuacionit 5x në katror - 8x +3 = 0

Diskriminuesi është i barabartë me tetë në katror, ​​minus katër herë pesë, herë tre, domethënë = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + rrënja e katër e ndarë me dy herë pesë = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Prandaj, rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik do të jenë 1 dhe 0.6.

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, gabimisht mund të vendosni se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik koeficienti në termin e dytë është çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 e barabartë me një dhe ekuacioni do të marrë formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.