Shembuj për përshkrimin e vetive të funksioneve duke përdorur një grafik. Funksionet themelore elementare dhe vetitë e tyre

Funksioni në rënie - nëse për ndonjë x 1 Dhe x 2, të tilla që x 1 < x 2, pabarazia qëndron f( x 1 )>f( x 2 )

Metodat për specifikimin e një funksioni

¨ Për të përcaktuar një funksion, duhet të specifikoni një mënyrë në të cilën, për secilën vlerë të argumentit, mund të gjendet vlera përkatëse e funksionit. Mënyra më e zakonshme për të specifikuar një funksion është përdorimi i një formule në =f(x), Ku f(x)- shprehje me një ndryshore X. Në këtë rast, ata thonë se funksioni jepet me një formulë ose se funksioni është dhënë në mënyrë analitike.

¨ Në praktikë përdoret shpesh tabelare mënyrë për të specifikuar një funksion. Me këtë metodë, ofrohet një tabelë që tregon vlerat e funksionit për vlerat e argumenteve të disponueshme në tabelë. Shembuj të funksioneve të tabelës janë një tabelë me katrorë dhe një tabelë me kube.

Llojet e funksioneve dhe vetitë e tyre

1) Funksioni i vazhdueshëm - funksioni i dhënë me formulë y= b , Ku b- ndonjë numër. Grafiku i funksionit konstant y=b është një drejtëz paralele me boshtin e abshisave dhe që kalon në pikën (0;b) në boshtin e ordinatave.

2) Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë - funksioni i dhënë me formulë y= kx , ku k¹0. Numri k thirrur faktor proporcionaliteti .

Karakteristikat e funksionit y=kx :

1. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë

2. y=kx- funksion tek

3. Kur k>0 funksioni rritet, dhe kur k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Funksioni linear- funksioni, i cili jepet nga formula y=kx+b, Ku k Dhe b - numra realë. Nëse në veçanti k=0, atëherë marrim një funksion konstant y=b; Nëse b=0, atëherë marrim proporcionalitet të drejtpërdrejtë y=kx .

Karakteristikat e funksionit y=kx+b :

1. Domeni - grupi i të gjithë numrave realë

2. Funksioni y=kx+b forma e përgjithshme, d.m.th. as çift e as tek.

3. Kur k>0 funksioni rritet, dhe kur k<0 убывает на всей числовой прямой

Grafiku i funksionit është drejt .

4)proporcionaliteti i kundërt - funksioni i dhënë me formulë y=k /X, ku k¹0 Numri k thirrur koeficienti i proporcionalitetit të anasjelltë.

Karakteristikat e funksionit y=k / x:

1. Domeni - grupi i të gjithë numrave realë përveç zeros

2. y=k / x - funksion tek

3. Nëse k>0, atëherë funksioni zvogëlohet në intervalin (0;+¥) dhe në intervalin (-¥;0). Nëse k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Grafiku i funksionit është hiperbolë .

5)Funksioni y=x2

Karakteristikat e funksionit y=x2:

2. y=x2 - madje funksion

3. Në interval funksioni zvogëlohet

Grafiku i funksionit është parabolë .

6)Funksioni y=x 3

Karakteristikat e funksionit y=x 3:

1. Domeni i përkufizimit - e gjithë rreshti numerik

2. y=x 3 - funksion tek

3. Funksioni rritet përgjatë gjithë vijës numerike

Grafiku i funksionit është parabolë kubike

7)Funksioni i fuqisë me eksponent natyror - funksioni i dhënë me formulë y=xn, Ku n- numri natyror. Kur n=1 marrim funksionin y=x, vetitë e tij diskutohen në paragrafin 2. Për n=2;3 marrim funksionet y=x 2 ; y=x 3 . Karakteristikat e tyre janë diskutuar më lart.

Le të jetë n një numër çift arbitrar më i madh se dy: 4,6,8... Në këtë rast, funksioni y=xn ka të njëjtat veti si funksioni y=x 2. Grafiku i funksionit i ngjan një parabole y=x 2, vetëm degët e grafikut për |x|>1 ngrihen më pjerrët sa n më e madhe, dhe për |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: 5,7,9... Në këtë rast, funksioni y=xn ka të njëjtat veti si funksioni y=x 3 . Grafiku i funksionit i ngjan një parabole kubike.

8)Funksioni i fuqisë me një eksponent negativ të numrit të plotë - funksioni i dhënë me formulë y=x -n , Ku n- numri natyror. Për n=1 marrim y=1/x vetitë e këtij funksioni janë diskutuar në paragrafin 4.

Le të jetë n një numër tek më i madh se një: 3,5,7... Në këtë rast, funksioni y=x -n ka në thelb të njëjtat veti si funksioni y=1/x.

Le të jetë n një numër çift, për shembull n=2.

Karakteristikat e funksionit y=x -2 :

1. Funksioni është përcaktuar për të gjitha x¹0

2. y=x -2 - madje funksion

3. Funksioni zvogëlohet me (0;+¥) dhe rritet me (-¥;0).

Çdo funksion me n më të madh se dy kanë të njëjtat veti.

9)Funksioni y= Ö X

Karakteristikat e funksionit y= Ö X :

1. Domeni i përkufizimit - rreze; pabarazia a<x<b – intervali dhe shënohet me (); pabarazitë dhe - gjysmë-intervale dhe shënohen përkatësisht me dhe. Gjithashtu shpesh duhet të merreni me intervale të pafundme dhe gjysmë-intervale: , , , dhe . Është e përshtatshme për t'i thirrur të gjithë në intervale .

Intervali, d.m.th. grup pikash që plotësojnë pabarazinë (ku ), quhet -lagja e pikës a.

Koncepti i funksionit. Vetitë themelore të një funksioni

Nëse çdo element x grupe X përputhet një element i vetëm y grupe Y, pastaj e thonë këtë në xhirime X dhënë funksionin y=f(x). Në të njëjtën kohë x thirrur ndryshore e pavarur ose argument, A y – ndryshore e varur ose funksionin, A f tregon ligjin e korrespondencës. Shumë X thirrur fusha e përkufizimit funksionet dhe një grup Y – varg vlerash funksionet.

Ka disa mënyra për të specifikuar funksionet.

1) Metoda analitike - funksioni jepet me një formulë të formës y=f(x).

2) Metoda tabelare - funksioni specifikohet nga një tabelë që përmban vlerat e argumentit dhe vlerat përkatëse të funksionit y=f(x).

3) Metoda grafike - paraqitja e një grafiku të një funksioni, d.m.th. grup pikash ( x; y) plani koordinativ, abshisat e të cilit përfaqësojnë vlerat e argumentit, dhe ordinatat përfaqësojnë vlerat përkatëse të funksionit y=f(x).

4) Metoda verbale - një funksion përshkruhet nga rregulli për përbërjen e tij. Për shembull, funksioni Dirichlet merr vlerën 1 if xështë një numër racional dhe 0 nëse x– numër irracional.

Dallohen vetitë kryesore të mëposhtme të funksioneve.

1 Çift dhe tek Funksioni y=f(x) quhet madje, nëse për ndonjë vlerë x nga fusha e tij e përkufizimit është i kënaqur f(–x)=f(x), Dhe i çuditshëm, Nëse f(–x)=–f(x). Nëse asnjë nga barazitë e listuara nuk plotësohet, atëherë y=f(x) quhet funksioni i përgjithshëm. Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin Oy, dhe grafiku i funksionit tek është simetrik në lidhje me origjinën.

2 Monotonia Funksioni y=f(x) quhet në rritje (në rënie) në interval X, nëse një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe (më të vogël) funksioni. Le x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1. Pastaj funksioni rritet në interval X, Nëse f(x 2)>f(x 1), dhe zvogëlohet nëse f(x 2)<f(x 1).

Së bashku me funksionet rritëse dhe zvogëluese, merren parasysh funksionet jo-zvogëluese dhe jo-rritëse. Funksioni thirret jo në rënie (jo në rritje), nëse në x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 vlen pabarazia f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Funksionet rritëse dhe zvogëluese, si dhe funksionet që nuk rriten dhe nuk zvogëlohen quhen monotone.

3 E kufizuar Funksioni y=f(x) quhet i kufizuar në interval X, nëse ka një numër kaq pozitiv M>0, çfarë | f(x)|≤M për këdo xÎ X. Përndryshe funksioni thuhet se është i pakufizuar X.

4 Frekuenca Funksioni y=f(x) quhet periodik me një pikë T≠0, nëse për ndonjë x nga domeni i funksionit f(x+T)=f(x). Në vijim, me periudhë nënkuptojmë periudhën më të vogël pozitive të një funksioni.

Funksioni thirret eksplicite, nëse jepet me një formulë të formës y=f(x). Nëse funksioni jepet nga ekuacioni F(x, y)=0, nuk lejohet në lidhje me variablin e varur y, atëherë quhet të nënkuptuar.

Le y=f(x) është një funksion i ndryshores së pavarur të përcaktuar në grup X me varg Y. Le të përputhemi me secilën yÎ Y kuptim i vetëm xÎ X, në të cilën f(x)=y.Pastaj funksioni rezultues x=φ (y), e përcaktuar në set Y me varg X, thirri e kundërta dhe është caktuar y=f –1 (x). Grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta janë simetrike në lidhje me përgjysmuesin e tremujorit të parë dhe të tretë të koordinatave.

Lëreni funksionin y=f(u) është një funksion i një ndryshoreje u, të përcaktuara në set U me varg Y, dhe ndryshoren u nga ana tjetër është një funksion u=φ (x), e përcaktuar në set X me varg U. Më pas jepet në set X funksionin y=f(φ (x)) quhet funksion kompleks(përbërja e funksioneve, mbivendosja e funksioneve, funksioni i një funksioni).

Funksionet elementare

Funksionet kryesore elementare përfshijnë:

• funksioni i fuqisë y=x n; y=x–n Dhe y=x 1/ n;
• funksioni eksponencial y=një x;
• funksioni logaritmik y=log një x;
• funksionet trigonometrike y= mëkat x, y=cos x, y=tg x Dhe y=ctg x;
• funksionet e anasjellta trigonometrike y= harksin x, y=arcos x, y=arctg x Dhe y=arcctg x.

Nga funksionet bazë elementare, funksionet e reja mund të përftohen duke përdorur veprime algjebrike dhe mbivendosje të funksioneve.

Funksionet e ndërtuara nga funksionet elementare bazë duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh algjebrike dhe një numër të fundëm operacionesh mbivendosje quhen elementare.

algjebrikeështë një funksion në të cilin një numër i kufizuar veprimesh algjebrike kryhen në argument. Funksionet algjebrike përfshijnë:

· Një funksion i tërë racional (polinom ose polinom)

· Funksioni thyesor-racional (raporti i dy polinomeve)

· Funksioni irracional (nëse operacionet në argument përfshijnë nxjerrjen e rrënjës).

Çdo funksion joalgjebrik quhet transcendentale. Funksionet transcendentale përfshijnë funksionet eksponenciale, logaritmike, trigonometrike dhe të anasjellta trigonometrike.