Formulat e identiteteve gjeometrike. Identitetet bazë trigonometrike, formulimet dhe derivimi i tyre
Kërkesa "mëkat" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "sek" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "Sine" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia
Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Pamja e funksioneve trigonometrike funksionet elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia
Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia
Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia
Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia
Matjet gjeodezike (shek. XVII) ... Wikipedia
Në trigonometri, tangjentja e një formule gjysmë këndi lidh tangjentën e një gjysmë këndi me funksionet trigonometrike të një këndi të plotë: Variacionet kjo formulë duket kështu... Wikipedia
- (nga greqishtja τρίγονο (trekëndësh) dhe greqishtja μετρειν (masë), domethënë matja e trekëndëshave) një degë e matematikës në të cilën studiohen funksionet trigonometrike dhe aplikimet e tyre në gjeometri. Ky term u shfaq për herë të parë në 1595 si... ... Wikipedia
- (lat. solutio triangulorum) term historik, që do të thotë zgjidhja e problemit kryesor trigonometrik: duke përdorur të dhënat e njohura për një trekëndësh (brinjët, këndet, etj.), gjeni karakteristikat e tij të mbetura. Trekëndëshi mund të gjendet në... ... Wikipedia
libra
- Set tavolinash. Algjebra dhe fillimet e analizës. klasa e 10-të. 17 tabela + metodologji, . Tabelat janë të printuara në karton të trashë të printuar me përmasa 680 x 980 mm. Përfshin një broshurë me rekomandimet metodologjike
- për mësuesin. Albumi edukativ me 17 fletë.… Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas, Dwight G.B Botimi i dhjetë i librit të famshëm të referencës përmban tabela shumë të detajuara të pacaktuar dhe integrale të përcaktuara, dhe gjithashtu
numër i madh formula të tjera matematikore: zgjerimet e serive,....
bazë
identitetet trigonometrike
secα lexohet: "alfa sekant". Ky është reciproku i kosinusit alfa. cosecα lexoi: "alfa kosekant". Kjo është reciproke e alfa sinusit.
Shembuj. Thjeshtoni shprehjen: A) 1 – mëkat 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα;
d) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
Shembuj. 1 – sin 2 α = cos 2 α sipas formulës 1) ;
A) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α zbatoi gjithashtu formulën 1) ;
b)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Fillimisht aplikuam formulën për diferencën e katrorëve të dy shprehjeve: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 dhe më pas formulën 1) ;
V) sin 2 αcosα – cosα. Le të heqim nga kllapat faktorin e përbashkët.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ju, sigurisht, tashmë keni vënë re se meqenëse 1 – sin 2 α = cos 2 α, atëherë sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Në të njëjtën mënyrë, nëse 1 – cos 2 α = sin 2 α, atëherë cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Kemi: katrorin e shprehjes sin 2 α plus produkt i dyfishtë sin 2 α me cos 2 α dhe plus katrorin e shprehjes së dytë cos 2 α. Le të zbatojmë formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Më pas aplikojmë formulën 1) . Marrim: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = mëkat 2 α. Zbatoni formulën 1) , dhe më pas formula 2) .
Mbani mend: tgα ∙ cosα = mëkatα.
Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën 3) ju mund të merrni: ctgα ∙ mëkatα = cosα. Mbani mend!
h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ne fillimisht hoqëm faktorin e përbashkët nga kllapat dhe thjeshtuam përmbajtjen e kllapave duke përdorur formulën 7).
Konvertoni shprehjen:
Ne aplikuam formulën 7) dhe është marrë prodhimi i shumës së dy shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve - formula për shumën e kubeve të dy shprehjeve.
Identitetet bazë trigonometrike.
bazë
identitetet trigonometrike
secα lexohet: "alfa sekant". Ky është reciproku i kosinusit alfa. cosecα lexoi: "alfa kosekant". Kjo është reciproke e alfa sinusit.
Shembuj. Thjeshtoni shprehjen: A) 1 – mëkat 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα;
d) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
Shembuj. 1 – sin 2 α = cos 2 α sipas formulës 1) ;
A) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α zbatoi gjithashtu formulën 1) ;
b)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Fillimisht aplikuam formulën për diferencën e katrorëve të dy shprehjeve: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 dhe më pas formulën 1) ;
V) sin 2 αcosα – cosα. Le të heqim nga kllapat faktorin e përbashkët.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ju, sigurisht, tashmë keni vënë re se meqenëse 1 – sin 2 α = cos 2 α, atëherë sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Në të njëjtën mënyrë, nëse 1 – cos 2 α = sin 2 α, atëherë cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Kemi: katrorin e shprehjes sin 2 α plus produktin e dyfishtë të sin 2 α me cos 2 α dhe plus katrorin e shprehjes së dytë cos 2 α. Le të zbatojmë formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Më pas aplikojmë formulën 1) . Marrim: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = mëkat 2 α. Zbatoni formulën 1) , dhe më pas formula 2) .
Mbani mend: tgα ∙ cosα = mëkatα.
Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën 3) ju mund të merrni: ctgα ∙ mëkatα = cosα. Mbani mend!
h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ne fillimisht hoqëm faktorin e përbashkët nga kllapat dhe thjeshtuam përmbajtjen e kllapave duke përdorur formulën 7).
Konvertoni shprehjen:
Artikulli përshkruan në detaje identitetet bazë trigonometrike këndi i dhënë. Nëse një funksion njihet, një tjetër mund të gjendet përmes tij.
Identitetet trigonometrike që duhen konsideruar në këtë artikull. Më poshtë tregojmë një shembull të derivimit të tyre me një shpjegim.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = mëkat α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 mëkat 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Le të flasim për një identitet të rëndësishëm trigonometrik, i cili konsiderohet baza e trigonometrisë.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Barazitë e dhëna t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α janë nxjerrë nga ajo kryesore duke i pjesëtuar të dyja pjesët me sin 2 α dhe cos 2 α. Pas së cilës marrim t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α dhe t g α · c t g α = 1 - kjo është pasojë e përkufizimeve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.
Barazia sin 2 α + cos 2 α = 1 është identiteti kryesor trigonometrik. Për ta vërtetuar atë, duhet t'i drejtoheni temës së rrethit të njësisë.
Le të jepen koordinatat e pikës A (1, 0), e cila pas rrotullimit me një kënd α bëhet pika A 1. Sipas përkufizimit të sin dhe cos, pika A 1 do të marrë koordinatat (cos α, sin α). Meqenëse A 1 ndodhet brenda rrethit të njësisë, kjo do të thotë se koordinatat duhet të plotësojnë kushtin x 2 + y 2 = 1 të këtij rrethi. Shprehja cos 2 α + sin 2 α = 1 duhet të jetë e vlefshme. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të vërtetohet identiteti kryesor trigonometrik për të gjitha këndet e rrotullimit α.
Në trigonometri, shprehja sin 2 α + cos 2 α = 1 përdoret si teorema e Pitagorës në trigonometri. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një provë të hollësishme.
Duke përdorur një rreth njësi, ne rrotullojmë pikën A me koordinatat (1, 0) rreth pikës qendrore O sipas këndit α. Pas rrotullimit, pika ndryshon koordinatat dhe bëhet e barabartë me A 1 (x, y). Ne e ulim drejtëzën pingule A 1 H në O x nga pika A 1.
Figura tregon qartë se formimi trekëndësh kënddrejtë O A 1 N. Moduli i këmbëve O A 1 N dhe O N janë të barabartë, hyrja do të marrë formën e mëposhtme: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Hipotenuza O A 1 ka një vlerë të barabartë me rrezen e rrethit njësi, | O A 1 | = 1. Duke përdorur këtë shprehje, mund të shkruajmë barazinë duke përdorur teoremën e Pitagorës: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Ne e shkruajmë këtë barazi si | y | 2 + | x | 2 = 1 2, që do të thotë y 2 + x 2 = 1.
Duke përdorur përkufizimin e sin α = y dhe cos α = x, ne zëvendësojmë të dhënat e këndit në vend të koordinatave të pikave dhe kalojmë në pabarazinë sin 2 α + cos 2 α = 1.
Lidhja themelore midis sin dhe cos-it të një këndi është e mundur përmes këtij identiteti trigonometrik. Kështu, ne mund të llogarisim mëkatin e një këndi me një cos të njohur dhe anasjelltas. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të zgjidhet sin 2 α + cos 2 = 1 në lidhje me sin dhe cos, atëherë marrim shprehje të formës sin α = ± 1 - cos 2 α dhe cos α = ± 1 - sin 2 α , respektivisht. Madhësia e këndit α përcakton shenjën përballë rrënjës së shprehjes. Për një shpjegim të hollësishëm, duhet të lexoni seksionin për llogaritjen e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës duke përdorur formulat trigonometrike.
Më shpesh, formula bazë përdoret për transformime ose thjeshtime shprehjet trigonometrike. Është e mundur të zëvendësohet shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit me 1. Zëvendësimi i identitetit mund të jetë ose i drejtpërdrejtë ose rend i kundërt: njësia zëvendësohet me shprehjen e shumës së katrorëve të sinusit dhe kosinusit.
Tangjente dhe kotangjente përmes sinusit dhe kosinusit
Nga përkufizimi i kosinusit dhe sinusit, tangjentit dhe kotangjentit, është e qartë se ato janë të ndërlidhura me njëra-tjetrën, gjë që ju lejon të konvertoni veçmas sasitë e nevojshme.
t g α = mëkat α cos α c t g α = cos α sin α
Nga përkufizimi, sinusi është ordinata e y dhe kosinusi është abshisa e x. Tangjentja është marrëdhënia midis ordinatës dhe abshisës. Kështu kemi:
t g α = y x = sin α cos α , dhe shprehja kotangjente ka kuptimin e kundërt, d.m.th.
c t g α = x y = cos α sin α .
Nga kjo rrjedh se identitetet rezultuese t g α = sin α cos α dhe c t g α = cos α sin α janë specifikuar duke përdorur këndet sin dhe cos. Tangjenta konsiderohet të jetë raporti i sinusit me kosinusin e këndit ndërmjet tyre dhe kotangjentja është e kundërta.
Vini re se t g α = sin α cos α dhe c t g α = cos α sin α janë të vërteta për çdo vlerë të këndit α, vlerat e të cilit përfshihen në diapazonin. Nga formula t g α = sin α cos α vlera e këndit α është e ndryshme nga π 2 + π · z, dhe c t g α = cos α sin α merr vlerën e këndit α të ndryshëm nga π · z, z merr vlera e çdo numri të plotë.
Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
Ekziston një formulë që tregon marrëdhënien midis këndeve përmes tangjentes dhe kotangjentes. Ky identitet trigonometrik është i rëndësishëm në trigonometri dhe shënohet si t g α · c t g α = 1. Ka kuptim për α me ndonjë vlerë tjetër përveç π 2 · z, përndryshe funksionet nuk do të përcaktohen.
Formula t g α · c t g α = 1 ka veçoritë e veta në vërtetim. Nga përkufizimi kemi që t g α = y x dhe c t g α = x y, prandaj marrim t g α · c t g α = y x · x y = 1. Duke transformuar shprehjen dhe duke zëvendësuar t g α = sin α cos α dhe c t g α = cos α sin α, marrim t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.
Atëherë shprehja e tangjentës dhe e kotangjentës ka kuptimin kur ne përfundimisht marrim numra reciprokisht të anasjelltë.
Tangjenta dhe kosinusi, kotangjenti dhe sinusi
Pas transformimit të identiteteve kryesore, arrijmë në përfundimin se tangjentja lidhet përmes kosinusit dhe kotangjentja përmes sinusit. Kjo mund të shihet nga formulat t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Përkufizimi është si më poshtë: shuma e katrorit të tangjentes së një këndi dhe 1 barazohet me një thyesë, ku në numërues kemi 1, dhe në emërues katrorin e kosinusit të një këndi të caktuar dhe shumën e katrorit të kotangjentes së këndit është e kundërta. Falë identitetit trigonometrik sin 2 α + cos 2 α = 1, ne mund t'i ndajmë anët përkatëse me cos 2 α dhe të marrim t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, ku vlera e cos 2 α nuk duhet të jetë e barabartë me zero. Kur pjesëtojmë me sin 2 α, marrim identitetin 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, ku vlera e sin 2 α nuk duhet të jetë e barabartë me zero.
Nga shprehjet e mësipërme zbuluam se identiteti t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α është i vërtetë për të gjitha vlerat e këndit α që nuk i përkasin π 2 + π · z, dhe 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α për vlerat e α që nuk i përkasin intervalit π · z.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ju mund të porositni zgjidhje e detajuar detyra juaj!!!
Një barazi që përmban një të panjohur nën shenjën e një funksioni trigonometrik (`sin x, cos x, tan x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe janë formulat e tyre që do të shqyrtojmë më tej.
Ekuacionet më të thjeshta quhen `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjësore për secilën prej tyre.
1. Ekuacioni `sin x=a`.
Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.
Kur `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Formula e rrënjës: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Ekuacioni `cos x=a`
Për `|a|>1` - si në rastin e sinusit, zgjidhjet ndërmjet numra realë nuk ka.
Kur `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë. 
3. Ekuacioni `tg x=a`
Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Ekuacioni `ctg x=a`
Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë
Për sinusin: 
Për kosinusin: 
Për tangjenten dhe kotangjenten: 
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike
Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:
- me ndihmën e shndërrimit të tij në më të thjeshtën;
- zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë të marrë duke përdorur formulat rrënjësore dhe tabelat e shkruara më sipër.
Le të shohim metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.
Metoda algjebrike.
Kjo metodë përfshin zëvendësimin e një ndryshoreje dhe zëvendësimin e saj në një barazi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,
gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizimi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.
Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjitha termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reduktimi në një ekuacion homogjen
Së pari, ju duhet ta zvogëloni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:
"a mëkat x+b cos x=0" ( ekuacioni homogjen shkalla e parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).
Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` - për rastin e parë, dhe me `cos^2 x \ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Zgjidhje. Le të shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, e ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, duke rezultuar në `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.
Kalimi në gjysmë kënd
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Zgjidhje. Le të zbatojmë formulat e këndit të dyfishtë, duke rezultuar në: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Duke aplikuar metodën algjebrike të përshkruar më sipër, marrim:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Futja e këndit ndihmës
Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një variabël, ndani të dyja anët me `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe modulet e tyre nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atëherë:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.
Zgjidhje. Ndani të dyja anët e barazisë me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Le të shënojmë `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atëherë marrim `\varphi=arcsin 4/5` si një kënd ndihmës. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ekuacionet racionale trigonometrike thyesore
Këto janë barazime me thyesa, numëruesit dhe emëruesit e të cilave përmbajnë funksione trigonometrike.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1+cos x)`. Si rezultat marrim:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.
Le të barazojmë numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.
Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.
Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.
Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Studimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat ekuacionet trigonometrike- ato patjetër do të jenë të dobishme për ju!
Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje ta nxirrni atë. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shiheni vetë duke shikuar videon.
