Llogaritësi për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija. Llogaritësi në internet Llogarit integralin e caktuar (sipërfaqja e një trapezi të lakuar)
Le të shqyrtojmë një trapez të lakuar të kufizuar nga boshti Ox, kurba y=f(x) dhe dy drejtëza: x=a dhe x=b (Fig. 85). Le të marrim një vlerë arbitrare të x (vetëm jo a dhe jo b). Le t'i japim një rritje h = dx dhe të konsiderojmë një shirit të kufizuar nga drejtëza AB dhe CD, boshti Ox dhe harku BD që i përket kurbës në shqyrtim. Ne do ta quajmë këtë shirit një shirit elementar. Zona e një shiriti elementar ndryshon nga zona e drejtkëndëshit ACQB nga trekëndëshi lakor BQD dhe sipërfaqja e këtij të fundit më pak sipërfaqe drejtkëndëshi BQDM me brinjë BQ = =h=dx) QD=Ay dhe sipërfaqe e barabartë me hAy = Ay dx. Ndërsa ana h zvogëlohet, ana Du zvogëlohet gjithashtu dhe njëkohësisht me h priret në zero. Prandaj, zona e BQDM është infinite e vogël e rendit të dytë. Sipërfaqja e një shiriti elementar është rritja e zonës, dhe sipërfaqja e drejtkëndëshit ACQB, e barabartë me AB-AC ==/(x) dx> është diferenciali i zonës. Për rrjedhojë, ne e gjejmë vetë zonën duke integruar diferencialin e saj. Brenda figurës në shqyrtim, ndryshorja e pavarur l: ndryshon nga a në b, kështu që sipërfaqja e kërkuar 5 do të jetë e barabartë me 5= \f(x) dx. (I) Shembulli 1. Le të llogarisim sipërfaqen e kufizuar nga parabola y - 1 -x*, drejtëza X =--Fj-, x = 1 dhe boshti O* (Fig. 86). në Fig. 87. Fig. 86. 1 Këtu f(x) = 1 - l?, kufijtë e integrimit janë a = - dhe £ = 1, prandaj J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Shembulli 2. Le të llogarisim sipërfaqen e kufizuar nga sinusoidi y = sinXy, boshti Ox dhe drejtëza (Fig. 87). Duke zbatuar formulën (I), marrim A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Shembulli 3. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga harku i sinusoidit ^у = sin jc, i mbyllur ndërmjet dy pikave të kryqëzimit ngjitur me boshtin Ox (për shembull, midis origjinës dhe pikës me abshissa i). Vini re se nga konsideratat gjeometrike është e qartë se kjo zonë do të jetë dy herë më shumë zonë shembulli i mëparshëm. Megjithatë, le të bëjmë llogaritjet: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Në të vërtetë, supozimi ynë doli i saktë. Shembulli 4. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga sinusoidi dhe boshti Ox në një periudhë (Fig. 88). Llogaritjet paraprake sugjerojnë se zona do të jetë katër herë më e madhe se në shembullin 2. Megjithatë, pas kryerjes së llogaritjeve, marrim “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ky rezultat kërkon sqarim. Për të sqaruar thelbin e çështjes, ne llogarisim gjithashtu zonën e kufizuar nga i njëjti sinusoid y = sin l: dhe boshti Ox në rangun nga l në 2i. Duke aplikuar formulën (I), marrim 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kështu, shohim se kjo zonë rezultoi negative. Duke e krahasuar me sipërfaqen e llogaritur në ushtrimin 3, gjejmë se tyre vlerat absolute janë të njëjta, por shenjat janë të ndryshme. Nëse zbatojmë vetinë V (shih Kapitullin XI, § 4), marrim 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ajo që ndodhi në këtë shembull nuk është një aksident. Gjithmonë sipërfaqja e vendosur nën boshtin Ox, me kusht që ndryshorja e pavarur të ndryshojë nga e majta në të djathtë, merret kur llogaritet duke përdorur integrale. Në këtë kurs ne gjithmonë do të shqyrtojmë zonat pa shenja. Prandaj, përgjigja në shembullin e sapo diskutuar do të jetë: zona e kërkuar është 2 + |-2| = 4. Shembulli 5. Le të llogarisim sipërfaqen e BAB të treguar në Fig. 89. Kjo zonë kufizohet nga boshti Ox, parabola y = - xr dhe drejtëza y - = -x+\. Zona e një trapezi lakor Zona e kërkuar OAB përbëhet nga dy pjesë: OAM dhe MAV. Meqenëse pika A është pika e kryqëzimit të një parabole dhe një drejtëze, koordinatat e saj do t'i gjejmë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve 3 2 Y = mx. (ne duhet të gjejmë vetëm abshisën e pikës A). Duke zgjidhur sistemin, gjejmë l; = ~. Prandaj, sipërfaqja duhet të llogaritet në pjesë, katrori i parë. OAM dhe më pas pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Grafiku i funksionit QAM-^x y=x 2 +2 të vendosura mbi bosht kau , Kjo është arsyeja pse:
Përgjigje: S =9 njësi katrore
Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është plotësisht e qartë se nëse marrim, le të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.
Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht Oh?
b) Llogaritni sipërfaqen e figurës, e kufizuar me linja y=-e x , x=1 Dhe boshtet koordinative.
Zgjidhje.
Le të bëjmë një vizatim.
Nëse një trapez i lakuar të vendosura plotësisht nën bosht Oh , atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Përgjigje: S=(e-1) njësi katrore" 1.72 njësi katrore
Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:
1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.
2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.
Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme.
Me) Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y=2x-x 2, y=-x.
Zgjidhje.
Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës 
dhe drejt 
Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike.
Ne zgjidhim ekuacionin:
Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a=0 , kufiri i sipërm i integrimit b=3 .
|
Ne po ndërtojmë linjat e dhëna: 1. Parabola - kulmi në pikën (1;1); kryqëzimi i akseve Oh - pikë (0;0) dhe (0;2). 2. Drejtëza - përgjysmues i këndit të koordinatave 2 dhe 4. Dhe tani Kujdes! Nëse në segmentin [ a;b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën: Dhe nuk ka rëndësi se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ajo që ka rëndësi është se cili grafik është më i LARTË (në raport me një grafik tjetër), dhe cili është MËPOSHT. Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga |
.Ju mund të ndërtoni linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qartë "vetëvetiu". Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm).
Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment 
, sipas formulës përkatëse:
Përgjigje: S =4.5 njësi katrore
Ne fillojmë të shqyrtojmë procesin aktual të llogaritjes së integralit të dyfishtë dhe të njihemi me kuptimin e tij gjeometrik.
Integrali i dyfishtë është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e figurës së rrafshët (rajoni i integrimit). Kjo forma më e thjeshtë integral i dyfishtë, kur funksioni i dy ndryshoreve është i barabartë me një: .
Së pari, le ta shohim problemin në formë të përgjithshme. Tani do të habiteni se sa e thjeshtë është gjithçka në të vërtetë! Le të llogarisim sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar me vija. Për definicion, supozojmë se në segmentin . Sipërfaqja e kësaj figure është numerikisht e barabartë me:
Le të përshkruajmë zonën në vizatim: 
Le të zgjedhim mënyrën e parë për të përshkuar zonën: 
Kështu: 
Dhe menjëherë një teknikë e rëndësishme teknike: integralet e përsëritura mund të llogariten veçmas. Së pari integrali i brendshëm, pastaj integrali i jashtëm. Kjo metodë Unë e rekomandoj atë për fillestarët në këtë temë.
1) Le të llogarisim integralin e brendshëm, dhe integrimi kryhet mbi ndryshoren "y": 
Integrali i pacaktuar këtu është më i thjeshti dhe më pas përdoret formula banale Njuton-Leibniz, me të vetmin ndryshim që kufijtë e integrimit nuk janë numrat, por funksionet. Së pari, ne zëvendësuam kufirin e sipërm në "y" (funksioni antiderivativ), pastaj kufirin e poshtëm
2) Rezultati i marrë në paragrafin e parë duhet të zëvendësohet në integralin e jashtëm: 
Një paraqitje më kompakte e të gjithë zgjidhjes duket si kjo:
Formula që rezulton 
është pikërisht formula e punës për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur integralin e caktuar "të zakonshëm"! Shikoni mësimin Llogaritja e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ja ku ajo është në çdo hap!
Kjo është, problemi i llogaritjes së sipërfaqes duke përdorur integral të dyfishtë jo shumë ndryshe nga problemi i gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar! Në fakt, është e njëjta gjë!
Prandaj, nuk duhet të ketë vështirësi! Unë nuk do të shikoj shumë shembuj, pasi ju, në fakt, e keni hasur vazhdimisht këtë detyrë.
Shembulli 9
Zgjidhja: Le të përshkruajmë zonën në vizatim: 
Le të zgjedhim rendin e mëposhtëm të kalimit të zonës: 
Këtu e më tej nuk do të ndalem se si të përshkohet zona, pasi në paragrafin e parë u dhanë shpjegime shumë të hollësishme.
Kështu: 
Siç e kam vërejtur tashmë, është më mirë që fillestarët të llogarisin veçmas integrale të përsëritura, dhe unë do t'i përmbahem të njëjtës metodë:
1) Së pari, duke përdorur formulën Newton-Leibniz, kemi të bëjmë me integralin e brendshëm: 
2) Rezultati i marrë në hapin e parë zëvendësohet në integralin e jashtëm: 
Pika 2 është në të vërtetë gjetja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar.
Përgjigje:
Kjo është një detyrë kaq e trashë dhe naive.
Një shembull interesant për vendim i pavarur:
Shembulli 10
Duke përdorur një integral të dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, ,
Mostra e përafërt puna e mbarimit zgjidhje në fund të orës së mësimit.
Në Shembujt 9-10, është shumë më fitimprurëse të përdoret metoda e parë e përshkimit të zonës, meqë ra fjala, lexuesit kureshtarë mund të ndryshojnë rendin e kalimit dhe të llogarisin zonat duke përdorur metodën e dytë; Nëse nuk bëni një gabim, atëherë, natyrisht, do të merrni të njëjtat vlera të zonës.
Por në disa raste, metoda e dytë për të përshkuar zonën është më efektive, dhe në fund të kursit të budallait të ri, le të shohim disa shembuj të tjerë për këtë temë:
Shembulli 11
Duke përdorur një integral të dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija,
Zgjidhja: Ne po presim me padurim dy parabola me një çuditshmëri që shtrihen në anët e tyre. Nuk ka nevojë të buzëqeshni, gjëra të ngjashme ndodhin mjaft shpesh në integrale të shumta.
Cila është mënyra më e lehtë për të bërë një vizatim?
Le të imagjinojmë një parabolë në formën e dy funksioneve:
– dega e sipërme dhe – dega e poshtme.
Në mënyrë të ngjashme, imagjinoni një parabolë në formën e sipërme dhe të poshtme 
degët.
Më pas, hartimi i rregullave të grafikëve sipas pikës, duke rezultuar në një figurë kaq të çuditshme: 
Ne llogarisim sipërfaqen e figurës duke përdorur integralin e dyfishtë sipas formulës:
Çfarë ndodh nëse zgjedhim metodën e parë të përshkimit të zonës? Së pari, kjo zonë duhet të ndahet në dy pjesë. Dhe së dyti, ne do të vëzhgojmë këtë pamje të trishtuar: 
. Integralet, natyrisht, nuk janë të një niveli super të ndërlikuar, por... ka një thënie të vjetër matematikore: ata që janë afër rrënjëve nuk kanë nevojë për test.
Prandaj, nga keqkuptimi i dhënë në kusht, ne shprehim funksionet e anasjellta: 
Funksionet e anasjellta në këtë shembull kanë avantazhin që ata specifikojnë të gjithë parabolën menjëherë pa asnjë gjethe, lis, degë dhe rrënjë.
Sipas metodës së dytë, përshkimi i zonës do të jetë si më poshtë: 
Kështu: 
Siç thonë ata, ndjeni ndryshimin.
1) Kemi të bëjmë me integralin e brendshëm:
Ne e zëvendësojmë rezultatin në integralin e jashtëm:
Integrimi mbi variablin "y" nuk duhet të jetë konfuz nëse do të kishte një shkronjë "zy", do të ishte mirë të integrohej mbi të. Edhe pse kush e ka lexuar paragrafin e dytë të mësimit Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues, ai nuk përjeton më as ngathtësinë më të vogël me integrimin sipas metodës “Y”.
Kushtojini vëmendje edhe hapit të parë: integrani është çift, dhe intervali i integrimit është simetrik rreth zeros. Prandaj, segmenti mund të përgjysmohet, dhe rezultati mund të dyfishohet. Kjo teknikë komentohet me detaje në mësim. Metodat efektive llogaritja e një integrali të caktuar.
Çfarë të shtoni... Të gjitha!
Përgjigje:
Për të testuar teknikën tuaj të integrimit, mund të përpiqeni të llogaritni . Përgjigja duhet të jetë saktësisht e njëjtë.
Shembulli 12
Duke përdorur një integral të dyfishtë, llogaritni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija 
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Është interesante të theksohet se nëse përpiqesh të përdorësh metodën e parë të përshkimit të zonës, figura nuk do të duhet më të ndahet në dy, por në tre pjesë! Dhe, në përputhje me rrethanat, marrim tre palë integrale të përsëritura. Edhe kjo ndodh.
Klasa master ka përfunduar, dhe është koha për të kaluar në nivelin e mjeshtrit të madh - Si të llogarisim integralin e dyfishtë? Shembuj zgjidhjesh. Do të përpiqem të mos jem kaq maniak në artikullin e dytë =)
Ju uroj suksese!
Zgjidhje dhe përgjigje:
Shembulli 2:Zgjidhja:
Le të përshkruajmë zonën në vizatim:
Le të zgjedhim rendin e mëposhtëm të kalimit të zonës:
Kështu: 
Le të kalojmë te funksionet e anasjellta:
Kështu: 
Përgjigje:
Shembulli 4:Zgjidhja:
Le të kalojmë te funksionet e drejtpërdrejta:
Le të bëjmë vizatimin:
Le të ndryshojmë rendin e përshkimit të zonës:
Përgjigje:
Prapa Përpara
Kujdes! Parapamje Sllajdet janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.
Fjalët kyçe: integrale, trapezoid lakor, zona e figurave të kufizuara nga zambakë
Pajisjet: pllakë shënjuese, kompjuter, projektor multimedial
Lloji i mësimit: mësim-ligjëratë
Objektivat e mësimit:
- arsimore: të krijojë një kulturë të punës mendore, të krijojë një situatë suksesi për secilin nxënës dhe të krijojë motivim pozitiv për të mësuar; të zhvillojë aftësinë për të folur dhe dëgjuar të tjerët.
- duke zhvilluar: formimi i të menduarit të pavarur të studentit në zbatimin e njohurive në situata të ndryshme, aftësia për të analizuar dhe nxjerrë përfundime, zhvillimi i logjikës, zhvillimi i aftësisë për të bërë saktë pyetje dhe për të gjetur përgjigje për to. Përmirësimi i formimit të aftësive llogaritëse, zhvillimi i të menduarit të studentëve gjatë përfundimit të detyrave të propozuara, zhvillimi i një kulture algoritmike.
- arsimore: për të formuar koncepte për një trapez lakor, për një integral, për të zotëruar aftësitë e llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.
Metoda e mësimdhënies: shpjeguese dhe ilustruese.
Ecuria e mësimit
Në orët e mëparshme mësuam të llogarisim sipërfaqet e figurave, kufijtë e të cilëve janë vija poligonale. Në matematikë, ka metoda që ju lejojnë të llogaritni zonat e figurave të kufizuara nga kthesa. Shifra të tilla quhen trapezoide lakor, dhe zona e tyre llogaritet duke përdorur antiderivativë.
trapezoid lakor ( rrëshqitje 1)
Një trapez i lakuar është një figurë e kufizuar nga grafiku i një funksioni, ( sh.m.), drejt x = a Dhe x = b dhe boshti x
Lloje të ndryshme trapezoidësh të lakuar ( rrëshqitje 2)
Ne po shqyrtojmë lloje të ndryshme trapezoidet lakor dhe vini re: njera nga vijat degjeneron ne pike, rolin e funksionit kufizues e luan vija
Zona e një trapezi të lakuar (rrëshqitje 3)
Rregulloni skajin e majtë të intervalit A, dhe i duhuri X do të ndryshojmë, d.m.th., lëvizim murin e djathtë të trapezit lakor dhe marrim një figurë në ndryshim. Zona e një trapezi lakor të ndryshueshëm të kufizuar nga grafiku i funksionit është një antiderivativ F për funksion f
Dhe në segmentin [ a; b] zona e një trapezi lakor të formuar nga funksioni f,është e barabartë me rritjen e antiderivativit të këtij funksioni:
Detyra 1:
Gjeni zonën e një trapezi lakor të kufizuar nga grafiku i funksionit: f(x) = x 2 dhe drejt y = 0, x = 1, x = 2.
Zgjidhja: ( sipas rrëshqitjes 3 të algoritmit)
Le të vizatojmë një grafik të funksionit dhe linjave
Le të gjejmë një nga funksionet antiderivative f(x) = x 2 :
Vetë-testimi në rrëshqitje
Integrale
Konsideroni një trapez lakor të përcaktuar nga funksioni f në segmentin [ a; b]. Le ta ndajmë këtë segment në disa pjesë. Sipërfaqja e të gjithë trapezit do të ndahet në shumën e zonave të trapezoidëve më të vegjël të lakuar. ( rrëshqitja 5). Çdo trapez i tillë mund të konsiderohet përafërsisht një drejtkëndësh. Shuma e sipërfaqeve të këtyre drejtkëndëshave jep një ide të përafërt të të gjithë sipërfaqes së trapezit të lakuar. Sa më i vogël ta ndajmë segmentin [ a; b], aq më saktë llogarisim sipërfaqen.
Le t'i shkruajmë këto argumente në formën e formulave.
Ndani segmentin [ a; b] në n pjesë me pika x 0 =a, x1,...,xn = b. Gjatësia k- th shënoj me xk = xk – xk-1. Le të bëjmë një shumë
Gjeometrikisht, kjo shumë përfaqëson sipërfaqen e figurës së hijezuar në figurë ( sh.m.)
Shumat e formës quhen shuma integrale për funksionin f. (sh.m.)
Shumat integrale japin një vlerë të përafërt të sipërfaqes. Vlera e saktë fitohet duke kaluar në kufi. Le të imagjinojmë se po përpunojmë ndarjen e segmentit [ a; b] kështu që gjatësitë e të gjithë segmenteve të vegjël priren në zero. Pastaj zona e figurës së përbërë do t'i afrohet zonës së trapezit të lakuar. Mund të themi se sipërfaqja e një trapezi të lakuar është e barabartë me kufirin e shumave integrale, Sc.t. (sh.m.) ose integrale, d.m.th.
Përkufizimi:
Integral i një funksioni f(x) nga a te b quhet kufiri i shumave integrale
= (sh.m.)
Formula Njuton-Leibniz.
Kujtojmë se kufiri i shumave integrale është i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor, që do të thotë se mund të shkruajmë:
Sc.t. = (sh.m.)
Nga ana tjetër, zona e një trapezi të lakuar llogaritet duke përdorur formulën
S k.t. (sh.m.)
Duke krahasuar këto formula, marrim:
= (sh.m.)Kjo barazi quhet formula Njuton-Leibniz.
Për lehtësinë e llogaritjes, formula shkruhet si:
= = (sh.m.)Detyrat: (sh.m.)
1. Llogarit integralin duke përdorur formulën Njuton-Leibniz: ( kontrolloni rrëshqitjen 5)
2. Kompozoni integrale sipas vizatimit ( kontrolloni rrëshqitjen 6)
3. Gjeni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. Rrëshqitja 7)
Gjetja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët ( rrëshqitje 8)
Si të gjeni zonën e figurave që nuk janë trapezoide të lakuar?
Le të jepen dy funksione, grafikët e të cilëve i shihni në rrëshqitje . (sh.m.) Gjeni zonën e figurës me hije . (sh.m.). A është figura në fjalë një trapez i lakuar? Si mund ta gjeni sipërfaqen e saj duke përdorur vetinë e aditivitetit të sipërfaqes? Konsideroni dy trapezoide të lakuar dhe zbritni sipërfaqen e tjetrit nga sipërfaqja e njërit prej tyre ( sh.m.)
Le të krijojmë një algoritëm për gjetjen e zonës duke përdorur animacionin në një rrëshqitje:
- Funksionet e grafikut
- Projektoni pikat e kryqëzimit të grafikëve në boshtin x
- Hije figurën e përftuar kur kryqëzohen grafikët
- Gjeni trapezoide lakorike, kryqëzimi ose bashkimi i të cilëve është figura e dhënë.
- Llogaritni sipërfaqen e secilit prej tyre
- Gjeni ndryshimin ose shumën e zonave
Detyrë me gojë: Si të merrni sipërfaqen e një figure me hije (tregoni duke përdorur animacion, rrëshqitja 8 dhe 9)
Detyrë shtëpie: Punoni me shënimet, nr. 353 (a), nr. 364 (a).
Referencat
- Algjebra dhe fillimet e analizës: një libër shkollor për klasat 9-11 të shkollës së mbrëmjes (ndërrimit) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminizmi, 1983.
- Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimet e analizës: një libër shkollor për klasat 10-11 të shkollës së mesme / Bashmakov M.I. - M: Iluminizmi, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematika: Libër mësimi për institucionet fillim. dhe të mërkurën prof. arsimi / M.I. Bashmakov. - M: Akademia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11. institucionet arsimore / A.N. - M: Arsimi, 2010.
- Ostrovsky S.L. Si të bëni një prezantim për një mësim?/ S.L. Ostrovskit. – M.: 1 shtator 2010.
Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme - si të përdorni një integral të caktuar për të llogaritur sipërfaqen e një figure të rrafshët. Më në fund, ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Ne do të duhet ta afrojmë atë në jetë komplot vilë verore funksionet elementare dhe gjeni sipërfaqen e saj duke përdorur një integral të caktuar.
Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:
1) Kuptoni integral i pacaktuar të paktën në një nivel mesatar. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.
2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.
Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, shumë më tepër çështje aktuale do të jenë njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni kujtesën tuaj të grafikëve kryesorë funksionet elementare, dhe, së paku, të jetë në gjendje të ndërtojë një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë, është e nevojshme) duke përdorur material metodologjik dhe artikuj mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.
Në fakt, të gjithë kanë qenë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg se programi shkollor. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.
Materialet e këtij seminari janë paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.
Le të fillojmë me një trapez të lakuar.
Trapezoid lakorështë një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një interval që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më e ulët boshti x:
Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në klasë Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të thënë një tjetër fakt i dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.
Kjo është, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.
Shembulli 1
Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Së pari dhe momenti më i rëndësishëm zgjidhje - vizatim. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.
Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: në fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në material referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.
Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):
Nuk do ta bëj hije trapezin e lakuar, këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:
Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:
Përgjigje:
Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz 
, referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.
Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, që duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.
Shembulli 2
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.
Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?
Shembulli 3
Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.
Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim: 
Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast: 
Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:
1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.
2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.
Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga më e thjeshta problemet e shkollës Le të kalojmë në shembuj më kuptimplotë.
Shembulli 4
Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .
Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:
Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..
Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.
Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin: 
E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".
Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme, atëherë zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat , , mund të gjendet duke përdorur formulën: 
Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.
Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga
Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:
Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:
Përgjigje:
Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është një rast i veçantë i formulës 
. Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë 
Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj
Shembulli 5
Shembulli 6
Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .
Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu është një rast i vërtetë:
Shembulli 7
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .
Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim: 
...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.
Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh lind një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar jeshile!
Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:
1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;
2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.
Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:
Përgjigje:
Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.
Shembulli 8
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë: 
Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Mund të jetë? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënja. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?
Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.
Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin: 
,
Vërtet,.
Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.
Në segment 
, sipas formulës përkatëse: 
Përgjigje: 
Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.
Shembulli 9
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,
Zgjidhje: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim. 
Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)
Për ndërtimin pikë për pikë duhet të dini pamjen sinusoidet (dhe përgjithësisht të dobishme për t'u njohur grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.
Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:
Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:
