Ekuacioni johomogjen i nxehtësisë dhe kushtet kufitare homogjene. Metoda Furier për ekuacionin e nxehtësisë. Burimi pikësor i menjëhershëm
Më poshtë do të shqyrtojmë disa probleme për përcaktimin e fushave të temperaturës për kushte relativisht të thjeshta gjeometrike dhe fizike që lejojnë zgjidhje analitike që janë të thjeshta në formë dhe në të njëjtën kohë ofrojnë një ilustrim të dobishëm të proceseve karakteristike fizike që lidhen me transferimin e nxehtësisë në një trup të ngurtë.
Le të shqyrtojmë një shufër me një sipërfaqe anësore të izoluar termikisht (Fig. 38). Në këtë rast, transferimi i nxehtësisë mund të ndodhë përgjatë shufrës. Nëse shufra është në linjë me boshtin e sistemit koordinativ kartezian, atëherë ekuacioni i palëvizshëm i nxehtësisë do të ketë formënNë vlera konstante të koeficientit të përçueshmërisë termike të fuqisë vëllimore të lëshimit të nxehtësisë, ekuacioni i fundit mund të integrohet dy herë
(75)
Konstantet e integrimit mund të gjenden nga kushtet kufitare. Për shembull, nëse temperatura në skajet e shufrës është vendosur në , . Pastaj nga (75) kemi
Prej këtu gjejmë konstantet e integrimit dhe . Zgjidhja në kushtet e përcaktuara kufitare do të marrë formën
Nga formula e fundit është e qartë se në mungesë të burimeve të nxehtësisë. Temperatura në shufër ndryshon në mënyrë lineare nga një vlerë kufitare në tjetrën
Le të shqyrtojmë tani një kombinim tjetër të kushteve kufitare. Lëreni në skajin e majtë të shufrës burim i jashtëm krijon rrjedhjen e nxehtësisë. Në skajin e djathtë të shufrës ruajmë gjendjen e mëparshme, kështu që kemi
Duke i shprehur këto kushte duke përdorur integralin e përgjithshëm (75), marrim një sistem në lidhje me konstantat e integrimit
Pasi kemi gjetur konstantet e panjohura nga sistemi që rezulton, marrim një zgjidhje në formë
Ashtu si në shembullin e mëparshëm, në mungesë të burimeve të brendshme të nxehtësisë, shpërndarja e temperaturës përgjatë shufrës do të jetë lineare
Në këtë rast, temperatura në skajin e majtë të shufrës, ku ndodhet burimi i jashtëm i nxehtësisë, do të jetë e barabartë me .
Si shembulli tjetër, le të gjejmë një shpërndarje të palëvizshme të temperaturës përgjatë rrezes në një cilindër të gjatë rrethor të ngurtë (Fig. 39). Në këtë rast, përdorimi i një sistemi të koordinatave cilindrike do të thjeshtojë ndjeshëm detyrën. Në rastin e një cilindri me një raport të madh gjatësi ndaj rrezes dhe shpërndarje konstante
Unë ha burim i brendshëmçlirimi i nxehtësisë, temperatura larg skajeve të cilindrit mund të konsiderohet e pavarur nga koordinata boshtore e sistemit cilindrik. Atëherë ekuacioni i palëvizshëm i nxehtësisë (71) do të marrë formën
Integrimi i ekuacionit të fundit dy herë (në konstante ) jep
Kushti i simetrisë për shpërndarjen e temperaturës në boshtin e cilindrit () jep
Nga e marrim?
Kushti i fundit do të plotësohet kur . Le të specifikohet temperatura në sipërfaqen e cilindrit (). Atëherë mund të gjejmë konstantën e dytë të integrimit nga ekuacioni
Prej këtu gjejmë dhe shkruajmë zgjidhjen në formën e saj përfundimtare
Si shembull numerik i aplikimit të rezultatit të marrë, le të shqyrtojmë shpërndarjen e temperaturës në plazmë të një shkarkimi harku cilindrik me një rreze prej mm. Kufiri i kanalit të shkarkimit formohet si një rajon ku proceset e jonizimit ndalojnë. Më sipër pamë se jonizimi i dukshëm i një gazi gjatë ngrohjes ndalon në K. Prandaj, vlera e dhënë mund të merret si kufi K. Dendësinë vëllimore të fuqisë së çlirimit të nxehtësisë e gjejmë në plazmën e shkarkimit nga ligji Joule-Lenz, ku σ
- përçueshmëria elektrike e plazmës, E- tensioni fushë elektrike në kanalin e shkarkimit. Vlerat karakteristike për shkarkimin e harkut janë 1/Ohm m, V/m. Përçueshmëria termike e plazmës së harkut është më e lartë se në një gaz neutral në temperatura të rendit 10,000 K, vlera e tij mund të merret e barabartë me . Pra parametri 
. Shpërndarja e temperaturës përgjatë rrezes është paraqitur në Fig. 39. Në këtë rast, temperatura në boshtin e shkarkimit () do të jetë 8000 K.
Në shembullin vijues do të shikojmë fushë termike, e cila ka simetri sferike. Kushte të tilla lindin, në veçanti, nëse një burim i vogël nxehtësie ndodhet në një grup të madh, për shembull, një defekt i harkut të ndërprerjes në mbështjelljen e një makine të madhe elektrike. Në këtë rast, duke kombinuar qendrën e sistemit të koordinatave sferike me burimin e nxehtësisë, mund ta sjellim ekuacionin e nxehtësisë stacionare (64) në formën:
Duke e integruar këtë ekuacion dy herë, gjejmë
Duke u kthyer te shembulli ynë, supozojmë se gabimi i harkut ndodh brenda një zgavër sferike me rreze (Fig. 40). Le të marrim rezistencën e shkarkimit të harkut si Ohm, rryma e shkarkimit A. Atëherë fuqia e lëshuar në zgavër do të jetë . Le të shqyrtojmë një zgjidhje jashtë zonës së veprimit të burimit të nxehtësisë.Atëherë do të thjeshtohet integrali i ekuacionit të nxehtësisë
Për të llogaritur konstantet e integrimit, së pari përdorim kushtin në pika pafundësisht të largëta nga vendi i shkarkimit, ku C është temperatura e ambientit. Nga shprehja e fundit gjejmë . Për të përcaktuar konstanten, supozojmë se ajo e lëshuar në shkarkim energji termike shpërndahet në mënyrë uniforme mbi sipërfaqen e një zgavër sferike me rreze . Prandaj, fluksi i nxehtësisë në kufirin e zgavrës do të jetë
Që nga , atëherë nga dy ekuacionet e fundit kemi
dhe vendimin përfundimtar
Në këtë rast, temperatura në kufirin e zgavrës (mm) në W/mK do të jetë 
K (Fig. 40).
Si shembulli i parë i këtij grupi, merrni parasysh fushën termike në seksionin kryq të një teli seksion i rrumbullakët, që ka një kanal ftohës (Fig. 41, A). Telat me kanale ftohëse përdoren në mbështjellje të fuqishme makina elektrike dhe mbështjellje për të prodhuar fusha të forta magnetike. Këto pajisje karakterizohen nga rrjedha afatgjatë e rrymave me një amplitudë prej qindra dhe madje mijëra Amperësh. Për shembull, pompohet një lëng, si uji, ose një gaz (hidrogjen, ajër), i cili siguron nxjerrjen e energjisë termike nga sipërfaqe e brendshme kanali dhe ftohja e telit në tërësi. Në këtë rast, kemi të bëjmë me ftohje të detyruar konvektive të sipërfaqes së kanalit, për të cilën mund të përdorim kushtin kufitar të llojit të tretë (67) të justifikuar më sipër. Nëse boshti i sistemit të koordinatave cilindrike është në linjë me boshtin e telit, atëherë temperatura do të varet vetëm nga koordinata radiale. Ne morëm integralin e përgjithshëm të ekuacionit të nxehtësisë stacionare për këtë rast më herët
Dendësia vëllimore e fuqisë së çlirimit të nxehtësisë është gjetur nga ligji Joule-Lenz: j- dendësia e rrymës, σ - përçueshmëri elektrike,
Ku R- rrezja e seksionit të telit, a- rrezja e kanalit të ftohjes. Teli është i rrethuar nga jashtë me shtresa izolimi, i cili, në krahasim me përcjellësin, ka përçueshmëri termike relativisht të ulët. Prandaj, si përafrim i parë, supozojmë se sipërfaqja e jashtme e telit është e izoluar termikisht, d.m.th., rrjedha e nxehtësisë në të.
Në sipërfaqen e kanalit të ftohjes, rrjedha e nxehtësisë përcaktohet nga gjendja e llojit të tretë
ku është koeficienti i transferimit të nxehtësisë, është temperatura e rrjedhës së ftohjes. Shenja minus në anën e djathtë merret për faktin se normalja në sipërfaqen e brendshme të kanalit drejtohet në drejtim të kundërt me boshtin.
Duke zëvendësuar shprehjen për temperaturën (76) në të parën nga kushtet e shkruara kufitare, marrim
ku . Kushti i dytë kufitar jep
nga e gjejmë?
Në të njëjtën kohë, nga (76)
Duke krahasuar dy shprehjet e fundit, gjejmë
Pas zëvendësimit të konstanteve të gjetura në zgjidhje e përgjithshme(76) dhe transformimet marrim
Temperatura në kufijtë e prerjes së telit nga zgjidhja që rezulton do të llogaritet duke përdorur formulat
Shpërndarja e temperaturës përgjatë rrezes së prerjes tërthore për një tel me një kanal ftohës me parametra: A, W/mK, 
1/Ohm m, o C, mm, cm është paraqitur në Fig. 41, b.
Nga Fig. 41, b rrjedh se brenda prerjes tërthore të telit ndryshimi i temperaturës është relativisht i vogël në krahasim me vlerën mesatare të tij, gjë që shpjegohet me përçueshmërinë e lartë termike. λ dhe dimensione relativisht të vogla të prerjes tërthore të telit.
Një situatë e ndryshme lind në shpërndarjen e temperaturës përgjatë një teli të përbërë nga seksione të veçanta në kontakt me njëri-tjetrin. Përkeqësimi i cilësisë së kontakteve midis përçuesve të lidhur çon në një rritje të gjenerimit të nxehtësisë në kryqëzimin e dy telave në krahasim me vetë telin. Matja në distancë e temperaturës së telit duke përdorur imazhe termike ose pirometra ju lejon të diagnostikoni cilësinë e lidhjeve të kontaktit.Le të llogarisim shpërndarjen e temperaturës përgjatë telit në prani të një kontakti të dëmtuar. Shembulli i mëparshëm tregoi se edhe në kushtet më të rënda, ndryshimi i temperaturës brenda seksionit kryq të telit është shumë i vogël. Prandaj, për llogaritjet tona, si përafrim i parë, mund të supozojmë se shpërndarja e temperaturës brenda seksionit kryq të telit është uniforme. Shpërndarja e gjenerimit të nxehtësisë përgjatë telit varet nga shpërndarja rezistenca elektrike përgjatë telit, i cili është uniform larg kontaktit dhe rritet kur i afroheni. Le të rreshtojmë boshtin e sistemit të koordinatave karteziane me boshtin e telit dhe origjinën e koordinatave me qendrën e zonës së kontaktit (Fig. 42). Si model për shpërndarjen e rezistencës përgjatë telit, marrim shpërndarjen e mëposhtme të rezistencës lineare
ku , është një parametër që karakterizon madhësinë lineare të zonës së kontaktit. Fuqia e gjenerimit të nxehtësisë për njësi gjatësi të telit është 
. E llogaritur për njësi vëllimi, fuqia e lëshimit të nxehtësisë është e barabartë me
Ku S- seksion kryq teli. Teli ftohet me konvekcion natyral nga sipërfaqja e tij. Fluksi konvektiv i nxehtësisë për njësi të gjatësisë së telit është
Ku α - koeficienti i transferimit të nxehtësisë, - temperatura e ambientit, fq- perimetri i prerjes tërthore të telit. Transferimi i nxehtësisë në mjedisi llogaritur për njësi vëllimi të përcjellësit do të jetë
Shpërndarja e palëvizshme e temperaturës përgjatë telit do t'i bindet ekuacionit të përçueshmërisë termike
Për transformime të mëtejshme të ekuacionit që rezulton, marrim koeficientin e përçueshmërisë termike konstante përgjatë telit, zëvendësojmë shprehjet e marra më sipër me dhe, dhe gjithashtu si funksionin e dëshiruar në vend të T le të marrim:
arrijmë në një ekuacion diferencial johomogjen linear
Ne do të kërkojmë zgjidhjen e ekuacionit që rezulton në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit homogjen
dhe një zgjidhje të veçantë në formën e anës së djathtë
.
Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike duke përdorur metodën e Njutonit
Një metodë mjaft e njohur për zgjidhjen e ekuacioneve është metoda tangjente, ose Metoda e Njutonit. Në këtë rast, një ekuacion i formës f(x) = 0 zgjidhet si më poshtë. Së pari, përafrimi zero (pika x 0). Në këtë pikë ndërtohet një tangjente me grafikun y = f(x). Pika e prerjes së kësaj tangjente me boshtin x është përafrimi tjetër për rrënjën (pika x 1). Në këtë pikë përsëri ndërtohet një tangjente, etj. Sekuenca e pikave x 0 , x 1 , x 2 ... duhet të çojë në vlerën e vërtetë të rrënjës. Kushti për konvergjencë është.
Meqenëse ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë është x 0 , f(x 0) (dhe kjo është tangjentja), shkruhet në formë
dhe si një përafrim tjetër x 1 për rrënjën e ekuacionit origjinal merret pika e prerjes së kësaj drejtëze me boshtin e abshisës, atëherë duhet të vendosim në këtë pikë y = 0:
nga i cili menjëherë pason ekuacioni për gjetjen e përafrimit pasardhës përmes atij të mëparshëm:
Në Fig. Figura 3 tregon zbatimin e metodës së Njutonit duke përdorur Excel. Përafrimi fillestar ( x 0 = -3), dhe më pas të gjitha vlerat e ndërmjetme llogariten në qelizat e mbetura të kolonës deri në llogaritjen x 1. Për të kryer hapin e dytë, vlera nga qeliza B10 futet në qelizën C3 dhe procesi i llogaritjes përsëritet në kolonën C. Më pas, me qelizat C2:C10 të zgjedhura, mund të tërhiqni dorezën në këndin e poshtëm djathtas të përzgjedhjes për ta zgjatur. atë në kolonat D:F. Si rezultat, vlera 0 merret në qelizën F6, d.m.th. vlera në qelizën F3 është rrënja e ekuacionit.
I njëjti rezultat mund të merret duke përdorur llogaritjet ciklike. Pastaj pasi të keni mbushur kolonën e parë dhe të merrni vlerën e parë x 1, futni formulën =H10 në qelizën H3. Në këtë rast, procesi llogaritës do të hapet dhe në mënyrë që ai të ekzekutohet, në meny Shërbimi | Opsionet në skedën Llogaritjet kutia e kontrollit duhet të kontrollohet Përsëritjet dhe tregoni numrin kufizues të hapave të procesit përsëritës dhe gabimin relativ (numri i paracaktuar prej 0.001 është qartësisht i pamjaftueshëm në shumë raste), me arritjen e të cilit procesi llogaritës do të ndalojë.
Siç dihet, proceset fizike si transferimi i nxehtësisë dhe transferimi i masës gjatë difuzionit i binden ligjit të Fick-ut
Ku l- koeficienti i përçueshmërisë termike (difuzioni), dhe T– temperatura (përqendrimi), dhe – rrjedha e vlerës përkatëse. Nga matematika dihet se divergjenca e rrjedhës është e barabartë me densitetin vëllimor të burimit P kjo vlerë, d.m.th.
ose, për rastin dydimensional, kur studiohet shpërndarja e temperaturës në një plan, ky ekuacion mund të shkruhet si:
Zgjidhja e këtij ekuacioni në mënyrë analitike është e mundur vetëm për zonat me formë të thjeshtë: drejtkëndësh, rreth, unazë. Në situata të tjera, zgjidhja e saktë e këtij ekuacioni është e pamundur, d.m.th. Është gjithashtu e pamundur të përcaktohet shpërndarja e temperaturës (ose përqendrimi i një substance) në raste komplekse. Atëherë duhet të përdorni metoda të përafërta për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla.
Zgjidhja e përafërt e ekuacionit (4) në rajon formë komplekse përbëhet nga disa faza: 1) ndërtimi i rrjetës; 2) ndërtimi i një skeme diferencash; 3) zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike. Le të shqyrtojmë secilën nga fazat në mënyrë sekuenciale dhe zbatimin e tyre duke përdorur paketën Excel.
Ndërtimi i rrjetit. Lëreni zonën të ketë formën e treguar në Fig. 4. Me këtë formë, një zgjidhje e saktë analitike e ekuacionit (4), për shembull, me metodën e ndarjes së ndryshoreve, është e pamundur. Prandaj, ne do të kërkojmë një zgjidhje të përafërt të këtij ekuacioni në pika të veçanta. Le të aplikojmë një rrjet uniform në zonën, të përbërë nga katrorë me anët h. Tani, në vend që të kërkojmë një zgjidhje të vazhdueshme për ekuacionin (4), të përcaktuar në secilën pikë të rajonit, do të kërkojmë një zgjidhje të përafërt, të përcaktuar vetëm në pikat nyje të rrjetit të aplikuara në rajon, d.m.th. në cepat e katrorëve.
Ndërtimi i një skeme diferenciale. Për të ndërtuar një skemë ndryshimi, merrni parasysh një nyje arbitrare të rrjetit të brendshëm C (qendrore) (Fig. 5). Katër nyje janë ngjitur me të: B (sipër), N (poshtë), L (majtas) dhe P (djathtas). Kujtojmë se distanca ndërmjet nyjeve në rrjet është h. Pastaj, duke përdorur shprehjen (2) për të shkruar afërsisht derivatet e dytë në ekuacionin (4), mund të shkruajmë përafërsisht:
nga e cila është e lehtë të merret një shprehje që lidh vlerën e temperaturës në pikën qendrore me vlerat e saj në pikat fqinje:
Shprehja (5) na lejon, duke ditur vlerat e temperaturës në pikat fqinje, të llogarisim vlerën e saj në pikën qendrore. Një skemë e tillë, në të cilën derivatet zëvendësohen me diferenca të fundme, dhe për të kërkuar vlerat në një pikë rrjeti, përdoren vetëm vlerat në pikat fqinje më të afërta, quhet skemë e diferencës qendrore, dhe vetë metoda quhet metoda e diferencës së fundme.
Është e nevojshme të kuptohet se marrim një ekuacion të ngjashëm me (5) PËR ÇDO pikë rrjeti, të cilat kështu rezultojnë të jenë të lidhura me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ne kemi një sistem ekuacionesh algjebrike në të cilin numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e nyjeve të rrjetit. Një sistem i tillë ekuacionesh mund të zgjidhet duke përdorur metoda të ndryshme.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike. Metoda e përsëritjes. Le të vendoset temperatura në nyjet kufitare dhe e barabartë me 20, dhe fuqia e burimit të nxehtësisë e barabartë me 100. Dimensionet e rajonit tonë janë të vendosura dhe të barabarta vertikalisht me 6 dhe horizontalisht me 8, kështu që ana e katrorit të rrjetës ( hap) h= 1. Pastaj shprehja (5) për llogaritjen e temperaturës në pikat e brendshme merr formën
Le t'i caktojmë çdo NODE një qelizë në fletën Excel. Në qelizat që korrespondojnë me pikat kufitare, futim numrin 20 (ato janë theksuar në Fig. 6 gri). Në qelizat e mbetura shkruajmë formulën (6). Për shembull, në qelizën F2 do të duket kështu: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Pasi të keni shkruar këtë formulë në qelizën F2, mund ta kopjoni dhe ta ngjisni në qelizat e mbetura të zonës që korrespondojnë me nyjet e brendshme. Në këtë rast, Excel do të raportojë pamundësinë e kryerjes së llogaritjeve për shkak të rrotullimit të rezultateve:
Klikoni "Anulo" dhe shkoni te dritarja Mjetet|Opsionet|Llogaritjet, ku kontrolloni kutinë në seksionin "Iterations", duke specifikuar 0.00001 si gabim relativ dhe 10000 si numrin maksimal të përsëritjeve:
Vlera të tilla do të na japin një gabim të vogël të NUMËRUESHËM dhe garantojnë që procesi i përsëritjes do të arrijë gabimin e specifikuar.
Sidoqoftë, këto vlera NUK sigurojnë një gabim të vogël të vetë metodës, pasi kjo e fundit varet nga gabimi kur zëvendësohen derivatet e dytë me diferenca të fundme. Natyrisht, ky gabim është më i vogël, sa më i vogël të jetë hapi i rrjetit, d.m.th. madhësia e katrorit në të cilin bazohet skema jonë e dallimeve. Kjo do të thotë se vlera e LLOGARITUR saktë e temperaturës në nyjet e rrjetit, e paraqitur në Fig. 6, në fakt, mund të rezultojë krejtësisht e pavërtetë. Ekziston vetëm një metodë për të kontrolluar zgjidhjen e gjetur: gjeni atë në një rrjet më të hollë dhe krahasoni atë me atë të mëparshme. Nëse këto zgjidhje ndryshojnë pak, atëherë mund të supozojmë se shpërndarja e temperaturës së gjetur korrespondon me realitetin.
Le ta zvogëlojmë hapin përgjysmë. Në vend të 1 do të bëhet e barabartë me ½. Numri ynë i nyjeve do të ndryshojë në përputhje me rrethanat. Vertikalisht, në vend të 7 nyjeve (kishte 6 hapa, d.m.th. 7 nyje) do të ketë 13 (12 katrorë, pra 13 nyje), dhe horizontalisht në vend të 9 do të ketë 17. Nuk duhet harruar se madhësia e hapit ka qenë përgjysmohet dhe tani në formulën (6) në vend të 1 2 ju duhet të zëvendësoni (1/2) 2 në anën e djathtë. Si pikë kontrolli në të cilën do të krahasojmë tretësirat e gjetura, do të marrim pikën me temperaturën maksimale, të shënuar në Fig. 6 të verdhë. Rezultati i llogaritjeve është paraqitur në Fig. 9:
Mund të shihet se ulja e hapit çoi në një ndryshim të rëndësishëm në vlerën e temperaturës në pikën e kontrollit: me 4%. Për të rritur saktësinë e zgjidhjes së gjetur, hapi i rrjetit duhet të reduktohet më tej. Për h= ¼ marrim 199.9 në pikën e kontrollit, dhe për h = 1/8 vlera përkatëse është 200.6. Ju mund të vizatoni varësinë e vlerës së gjetur nga madhësia e hapit:
Nga figura mund të konkludojmë se ulja e mëtejshme e hapit nuk do të çojë në një ndryshim të rëndësishëm të temperaturës në pikën e kontrollit dhe saktësia e zgjidhjes së gjetur mund të konsiderohet e kënaqshme.
Duke përdorur aftësitë e paketës Excel, mund të ndërtoni një sipërfaqe me temperaturë që përfaqëson vizualisht shpërndarjen e saj në zonën e studimit.
me kushte fillestare
dhe kushtet kufitare
Ne do të kërkojmë një zgjidhje për këtë problem në formën e një serie Furier duke përdorur sistemin e eigenfunksioneve (94)
ato. në formë dekompozimi
duke pasur parasysh në të njëjtën kohë t parametri.
Lërini funksionet f(x, t) është i vazhdueshëm dhe ka një derivat të vazhdueshëm pjesë-pjesë të rendit të parë në lidhje me X dhe para të gjithëve t plotësohen >0 kushte
Le të supozojmë tani se funksionet f(x,
t)
Dhe 
mund të zgjerohet në një seri Fourier për sa i përket sinuseve
, (117)
(118)
, (119)
. (120)
Le të zëvendësojmë (116) me ekuacionin (113) dhe duke marrë parasysh (117), marrim
.
Kjo barazi plotësohet kur
, (121)
ose nëse 
, atëherë ky ekuacion (121) mund të shkruhet në formë
. (122)
Duke përdorur kushtin fillestar (114) duke marrë parasysh (116), (117) dhe (119) marrim se
. (123)
Kështu, për të gjetur funksionin e kërkuar 
arrijmë te problemi Cauchy (122), (123) për një ekuacion diferencial johomogjen të rendit të parë. Duke përdorur formulën e Euler-it, mund të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit (122)
,
dhe duke marrë në konsideratë (123), zgjidhjen e problemit Cauchy
.
Prandaj, kur e zëvendësojmë vlerën e këtij funksioni me shprehjen (116), në fund do të marrim një zgjidhje për problemin origjinal
(124)
ku janë funksionet f(x,
t)
Dhe 
përcaktohen nga formula (118) dhe (120).
Shembulli 14. Gjeni një zgjidhje për një ekuacion johomogjen të tipit parabolik
në gjendje fillestare
(14.2)
dhe kushtet kufitare
. (14.3)
▲ Së pari, le të zgjedhim funksionin e mëposhtëm , në mënyrë që të plotësojë kushtet kufitare (14.3). Le, për shembull, = xt 2. Pastaj
Prandaj, funksioni i përcaktuar si
plotëson ekuacionin
(14.5)
kushte kufitare homogjene
dhe zero kushtet fillestare
. (14.7)
Përdorimi i metodës Furier për të zgjidhur ekuacionin homogjen
sipas kushteve (14.6), (14.7), vendosëm
.
Arrijmë në problemin e mëposhtëm Sturm-Liouville:
,
.
Duke zgjidhur këtë problem, gjejmë vlerat vetjake
dhe eigenfunksionet e tyre përkatëse
. (14.8)
Ne kërkojmë një zgjidhje për problemin (14.5)-(14.7) në formën e një serie
, (14.9)
(14.10)
Zëvendësimi 
nga (14.9) në (14.5) marrim
. (14.11)
Për të gjetur një funksion T n (t) le të zgjerojmë funksionin (1- X) në një seri Furier duke përdorur sistemin e funksioneve (14.8) në intervalin (0,1):
. (14.12)
,
dhe nga (14.11) dhe (14.12) marrim ekuacionin
, (14.13)
i cili është një ekuacion diferencial linear johomogjen i zakonshëm i rendit të parë. Zgjidhjen e përgjithshme të tij e gjejmë duke përdorur formulën e Euler-it
dhe duke marrë parasysh kushtin (14.10), gjejmë një zgjidhje për problemin Cauchy
. (14.14)
Nga (14.4), (14.9) dhe (14.14) gjejmë zgjidhjen e problemit fillestar (14.1)-(14.3)
Detyrat për punë të pavarur
Zgjidhja e problemeve fillestare të vlerës kufitare
3.4. Problemi Cauchy për ekuacionin e nxehtësisë
Para së gjithash, le të shohim Problem cauchy për ekuacioni homogjen i nxehtësisë.
të kënaqshme
Le të fillojmë duke zëvendësuar variablat x
Dhe t në 
dhe të prezantojë funksionin 
. Pastaj funksionet 
do të kënaqë ekuacionet
Ku 
- Funksioni i Green-it, i përcaktuar nga formula
, (127)
dhe ka veti
; (130)
. (131)
Shumëzimi i ekuacionit të parë me G* , dhe e dyta në Dhe dhe më pas duke shtuar rezultatet e marra, marrim barazinë
. (132)
Pas integrimit sipas pjesëve të barazisë (132) nga 
duke filluar nga -∞ në +∞ dhe sipas 
duke filluar nga 0 në t, marrim
Nëse supozojmë se funksioni 
dhe derivati i tij 
kufizuar kur 
, atëherë, për shkak të vetive (131), integrali në anën e djathtë të (133) është i barabartë me zero. Prandaj, ne mund të shkruajmë
Duke e zëvendësuar këtë barazi me 
, A 
në 
, marrim lidhjen
.
Nga këtu, duke përdorur formulën (127), më në fund marrim
. (135)
Formula (135) quhet formula e Poisson-it dhe përcakton zgjidhjen e problemit Cauchy (125), (126) për një ekuacion homogjen të nxehtësisë me një gjendje fillestare johomogjene.
Zgjidhja Problemi Cauchy për ekuacionin johomogjen të nxehtësisë
të kënaqshme gjendje fillestare johomogjene
paraqet shumën e zgjidhjeve:
ku është zgjidhja e problemit Cauchy për ekuacionin homogjen të nxehtësisë . , që plotëson kushtin fillestar johomogjen, është një zgjidhje që plotëson kushtin fillestar homogjen. Kështu, zgjidhja e problemit Cauchy (136), (137) përcaktohet nga formula
Shembulli 15. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit
(15.1)
për shpërndarjen e mëposhtme të temperaturës së shufrës:
▲ Shufra është e pafundme, kështu që zgjidhja mund të shkruhet duke përdorur formulën (135)
.
Sepse 
në interval 
e barabartë me temperaturën konstante 
, dhe jashtë këtij intervali temperatura është zero, atëherë tretësira merr formën
. (15.3)
Duke supozuar në (15.3) 
, marrim
.
Sepse
është një integral i probabiliteteve, atëherë zgjidhja përfundimtare e problemit origjinal (13.1), (13.2) mund të shprehet me formulën
.▲
Ekuacioni i nxehtësisë për rastin e paqëndrueshëm
jo të palëvizshme, nëse temperatura e trupit varet si nga pozicioni i pikës ashtu edhe nga koha.
Le të shënojmë me Dhe = Dhe(M, t) temperatura në një pikë M trup homogjen i kufizuar nga një sipërfaqe S, në momentin e kohës t. Dihet se sasia e nxehtësisë dQ, absorbohet me kalimin e kohës dt, shprehet me barazi
Ku dS- element sipërfaqësor, k− koeficienti i përçueshmërisë së brendshme termike, − derivati i funksionit Dhe në drejtim të normales së jashtme ndaj sipërfaqes S. Meqenëse përhapet në drejtim të uljes së temperaturës, atëherë dQ> 0 nëse > 0, dhe dQ < 0, если < 0.
Nga barazia (1) rrjedh
Tani le të gjejmë P në një mënyrë tjetër. Zgjidhni elementin dV vëllimi V, i kufizuar nga sipërfaqja S. Sasia e nxehtësisë dQ, marrë nga elementi dV në kohë dt, është proporcionale me rritjen e temperaturës në këtë element dhe masës së vetë elementit, d.m.th.
ku është dendësia e substancës, një koeficient proporcionaliteti i quajtur kapaciteti termik i substancës.
Nga barazia (2) rrjedh
Kështu,
Ku . Duke marrë parasysh se = , , marrim
Duke zëvendësuar anën e djathtë të barazisë duke përdorur formulën Ostrogradsky-Green, marrim
për çdo vëllim V. Nga këtu marrim ekuacionin diferencial
që quhet ekuacioni i nxehtësisë për rastin e paqëndrueshëm.
Nëse trupi është një shufër e drejtuar përgjatë boshtit Oh, atëherë ekuacioni i nxehtësisë ka formën
Merrni parasysh problemin Cauchy për rastet e mëposhtme.
1. Rasti i një shufre të pakufizuar. Gjeni një zgjidhje për ekuacionin (3) ( t> 0, ), duke përmbushur kushtin fillestar. Duke përdorur metodën Fourier, marrim një zgjidhje në formë
− Integrali Poisson.
2. Rasti i shufrës, kufizuar nga njëra anë. Zgjidhja e ekuacionit (3), që plotëson kushtin fillestar dhe kushtin kufitar, shprehet me formulën
3. Rasti i shufrës, kufizuar nga të dyja anët. Problemi Cauchy është se kur X= 0 dhe X = l gjeni një zgjidhje për ekuacionin (3) që plotëson kushtin fillestar dhe dy kushte kufitare, për shembull, ose .
Në këtë rast, një zgjidhje e veçantë kërkohet në formën e një serie
për kushtet kufitare,
dhe në formën e një serie
për kushtet kufitare.
Shembull. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit
plotësojnë kushtet fillestare
dhe kushtet kufitare.
□ Ne do të kërkojmë një zgjidhje për problemin Cauchy në formular
Kështu,
Ekuacioni i nxehtësisë për rastin e palëvizshëm
Shpërndarja e nxehtësisë në trup quhet stacionare, nëse temperatura e trupit Dhe varet nga pozicioni i pikës M(X, në, z), por nuk varet nga koha t, d.m.th.
Dhe = Dhe(M) = Dhe(X, në, z).
Në këtë rast, 0 dhe ekuacioni i përcjelljes së nxehtësisë për rastin e palëvizshëm bëhet ekuacioni i Laplace
që shpesh shkruhet si .
Në temperaturë Dhe në trup u përcaktua në mënyrë unike nga ky ekuacion, ju duhet të dini temperaturën në sipërfaqe S trupat. Kështu, për ekuacionin (1) problemi i vlerës kufitare është formuluar si më poshtë.
Gjeni funksionin Dhe, ekuacioni i kënaqshëm (1) brenda vëllimit V dhe marrjen në çdo pikë M sipërfaqeve S vendos vlerat
Kjo detyrë quhet Problemi i Dirichletit ose problemi i parë i vlerës kufitare për ekuacionin (1).
Nëse temperatura në sipërfaqen e trupit është e panjohur dhe dihet fluksi i nxehtësisë në secilën pikë të sipërfaqes, i cili është në përpjesëtim me , atëherë në sipërfaqe S në vend të kushtit kufitar (2) do të kemi kushtin
Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje për ekuacionin (1) që plotëson kushtin kufitar (3) quhet Problemi i Neumann-it ose problemi i vlerës së dytë të kufirit.
Për figurat e rrafshët, ekuacioni i Laplace shkruhet si
Ekuacioni Laplace ka të njëjtën formë për hapësirën nëse Dhe nuk varet nga koordinata z, d.m.th. Dhe(M) ruan një vlerë konstante ndërsa pika lëviz M në një vijë të drejtë paralele me boshtin Oz.
Duke zëvendësuar , ekuacioni (4) mund të shndërrohet në koordinata polare
Koncepti i një funksioni harmonik shoqërohet me ekuacionin e Laplace. Funksioni thirret harmonike në zonë D, nëse në këtë rajon është i vazhdueshëm së bashku me derivatet e tij deri në renditjen e dytë përfshirëse dhe plotëson ekuacionin e Laplace.
Shembull. Gjeni shpërndarjen e palëvizshme të temperaturës në një shufër të hollë me një sipërfaqe anësore të izoluar termikisht nëse në skajet e shufrës, .
□ Kemi një rast njëdimensional. Duhet gjetur një funksion Dhe, duke përmbushur ekuacionin dhe kushtet kufitare , . Ekuacioni i përgjithshëm ekuacioni i treguar ka formën . Duke marrë parasysh kushtet kufitare, marrim
Kështu, shpërndarja e temperaturës në një shufër të hollë me një sipërfaqe anësore të izoluar termikisht është lineare. ■
Problemi i Dirichlet për një rreth
Le të jepet një rreth me rreze R me qendër në pol RRETH sistemi i koordinatave polar. Është e nevojshme të gjendet një funksion që është harmonik në një rreth dhe plotëson kushtin në rrethin e tij, ku është një funksion i dhënë që është i vazhdueshëm në rreth. Funksioni i kërkuar duhet të plotësojë ekuacionin Laplace në rreth
Duke përdorur metodën Fourier, mund të merret
− Integrali Poisson.
Shembull. Gjeni shpërndarjen e palëvizshme të temperaturës në një pllakë uniforme të hollë rrethore me rreze R, gjysma e sipërme mbahet në temperaturë , dhe gjysma e poshtme në temperaturë .
□ Nëse, atëherë, dhe nëse, atëherë. Shpërndarja e temperaturës shprehet me integralin
Le të jetë pika e vendosur në gjysmërrethin e sipërm, d.m.th. ; atëherë ndryshon nga në , dhe ky interval gjatësi nuk përmban pikë. Prandaj, ne prezantojmë zëvendësimin , nga ku , . Pastaj marrim
Pra, ana e djathtë është negative, atëherë Dhe at plotëson pabarazitë . Për këtë rast marrim zgjidhjen
Nëse pika ndodhet në gjysmërrethin e poshtëm, d.m.th. , atëherë intervali i ndryshimit përmban pikën , por nuk përmban 0 dhe mund të bëjmë zëvendësimin , nga ku , , Pastaj për këto vlera kemi
Duke kryer transformime të ngjashme, ne gjejmë
Meqenëse ana e djathtë tani është pozitive, atëherë. ■
Metoda e diferencës së fundme për zgjidhjen e ekuacionit të nxehtësisë
Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin
të kënaqshme:
gjendje fillestare
dhe kushtet kufitare
Pra, kërkohet të gjendet një zgjidhje për ekuacionin (1) që plotëson kushtet (2), (3), (4), d.m.th. kërkohet të gjendet një zgjidhje në një drejtkëndësh të kufizuar me vija, , , , nëse vlerat e funksionit të kërkuar janë dhënë në tre anët e tij, , .
Le të ndërtojmë një rrjet drejtkëndor të formuar nga vija të drejta
− hap përgjatë boshtit Oh;
− hap përgjatë boshtit Nga.
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:
Nga koncepti i diferencave të fundme mund të shkruajmë
në mënyrë të ngjashme
Duke marrë parasysh formulat (6), (7) dhe shënimin e paraqitur, e shkruajmë ekuacionin (1) në formën
Nga këtu marrim formulën e llogaritjes
Nga (8) rrjedh se nëse tre vlera të k k shtresa e tretë e rrjetit: , , , atëherë mund të përcaktoni vlerën në ( k+ 1) shtresa.
Kushti fillestar (2) ju lejon të gjeni të gjitha vlerat në vijën e drejtë; kushtet kufitare (3), (4) na lejojnë të gjejmë vlera në linjat dhe . Duke përdorur formulën (8), gjejmë vlerat në të gjitha pikat e brendshme të shtresës tjetër, d.m.th. Për k= 1. Vlerat e funksionit të dëshiruar në pikat ekstreme njihen nga kushtet kufitare (3), (4). Duke kaluar nga një shtresë rrjeti në tjetrën, ne përcaktojmë vlerat e zgjidhjes së dëshiruar në të gjitha nyjet e rrjetit.
; Le të zgjidhim problemin e parë të përzier për ekuacionin e nxehtësisë: të gjejmë një zgjidhje u(x, t) të ekuacionit që plotëson kushtin fillestar dhe kushtet kufitare detyra më e thjeshtë : gjeni një zgjidhje u(x,t) të një ekuacioni homogjen që plotëson kushtin fillestar dhe kushtet kufitare zero (homogjene) Metoda Furier për ekuacionin e nxehtësisë Do të kërkojmë zgjidhje joparëndësi të ekuacionit (4) që plotësojnë kushtet kufitare (6 ), në formën Psdstaapya në formën (7) në ekuacionin (4), marrim ose nga ku kemi dy ekuacione diferenciale të zakonshme Për të marrë zgjidhje jo të parëndësishme u(x, *) të formës (7) që plotësojnë kufirin kushtet (6), është e nevojshme të gjejmë zgjidhje jo të parëndësishme për ekuacionin (10) që plotësojnë kushtet kufitare. Kështu, për të përcaktuar funksionin X(x), vijmë te problemi i eigenvalue: gjeni ato vlera të parametrit A. për të cilat ka zgjidhje jo të parëndësishme të problemit Ky problem është shqyrtuar në kapitullin e mëparshëm. Aty u tregua se vetëm për ka zgjidhje jo të parëndësishme Kur A = A„, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (9) ka formën plotëson ekuacionin (4) dhe kushtet kufitare (6). Le të formojmë një seri formale Duke kërkuar që funksioni u(x) t), i përcaktuar me formulën (12), të plotësojë kushtin fillestar, marrim Seria (13) është një zgjerim në një seri sinusesh Furier në intervalin (O, I). Koeficientët a“ të zgjerimit përcaktohen me formula të njohura. Që atëherë, seria në gjithashtu konvergon absolutisht dhe në mënyrë uniforme. Prandaj, funksioni u(x, t) - shuma e serive (12) - është i vazhdueshëm në rajon dhe i plotëson kushtet fillestare dhe kufitare. Mbetet të tregojmë se funksioni u(x, t) plotëson ekuacionin (4) në rajonin 0. Për ta bërë këtë, mjafton të tregohet se seria e marrë nga (12) me diferencim term pas termi në lidhje me t një herë dhe nga diferencimi term pas termi në lidhje me x dy herë janë gjithashtu absolutisht dhe konvergojnë në mënyrë të njëtrajtshme në. Por kjo rrjedh nga fakti se për çdo t > 0 nëse n është mjaft e madhe. Veçantia e zgjidhjes së problemit (4)-(6) dhe varësia e vazhdueshme e zgjidhjes nga funksioni fillestar tashmë janë përcaktuar më herët. Kështu, për t > 0, problemi (4)-(6) është formuluar saktë; përkundrazi, për t negative ky problem është i pasaktë. Komentoni. Në ndryshim nga ekuacioni i shtëpisë, ekuacioni është johometrik për kohën t: nëse zëvendësojmë t me -t, marrim një ekuacion të një lloji tjetër që përshkruan procese të pakthyeshme: Mund të parashikojmë se çfarë do të bëhet e dhënë pas një periudhe prej koha e dhënë t, por nuk mund të themi me siguri se si m ndodhi kjo në kohën t para momentit në fjalë. Kjo marrëdhënie midis parashikimit dhe historisë është tipike për një ekuacion parabolik dhe nuk ndodh, për shembull, për një ekuacion valor; në rastin e kësaj të fundit, është po aq e lehtë të shikosh në të kaluarën sa në të ardhmen. Shembull. Gjeni shpërndarjen e temperaturës në një shufër homogjene me gjatësi x nëse temperatura fillestare e shufrës dhe temperatura zero ruhen në skajet e shufrës. 4 Problemi është reduktuar në zgjidhjen e ekuacionit me kushtin fillestar dhe kushtet kufitare Duke përdorur metodën Fourier, ne kërkojmë zgjidhje jo të parëndësishme të ekuacionit (15) që plotësojnë kushtet kufitare (17) në formën Duke zëvendësuar u(x). t) në formën (18) në ekuacionin (15) dhe duke ndarë variablat, marrim vlerat vetjake të problemit. eigenfunksionet Xn(x) = mp nx. Për A = A„, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (19) ka formën Tn(t) = ane a n\ kështu që ne kërkojmë zgjidhjen e problemit (15)-(17) në formën e një serie që kërkon përmbushjen të kushtit fillestar (16), marrim nga kjo. Prandaj, zgjidhja e problemit fillestar do të jetë funksioni 2. Le të shqyrtojmë tani problemin e mëposhtëm: të gjejmë një zgjidhje rx(x, t) të ekuacionit johomogjen që plotëson kushtin fillestar dhe kushtet kufitare homogjene , ka një derivat të vazhdueshëm dhe për të gjitha plotësohet kushti t > 0. Ne do të kërkojmë një zgjidhje për problemin (1)-(3) në formën ku e përkufizojmë si zgjidhje për problemin dhe funksionin - si zgjidhje e problemit Problemi (8)-(10) është konsideruar në paragrafin 1. Ne do të kërkojmë një zgjidhje v(x, t) për problemin (5)-(7) në formën e një serie në eigenfunksione (të problemit të vlerës kufitare. Subgaaaya t) në formën në ekuacionin (5), ne marrim Zgjero funksionin /OM) në një seri Furier në sinus, ku Krahasimi i dy zgjerimeve (12) dhe (13) funksionet /(x, t) në një seri Furier, marrim! Duke përdorur kushtin fillestar për v(x, t), metodën Furier për ekuacionin e nxehtësisë, gjejmë se zgjidhjet e ekuacioneve (15) në kushtet fillestare (16) kanë formën: Zëvendësimi i shprehjeve të gjetura për Tn(t) në seri (11), marrim zgjidhjen Funksioni do të jetë një zgjidhje për problemin origjinal (1)-(3). 3. Shqyrtoni problemin: gjeni një zgjidhje për ekuacionin në domenin nën kushtin fillestar dhe kushtet kufitare johomogjene Metoda Fourier nuk është drejtpërdrejt e zbatueshme për shkak të johomogjenitetit të kushteve (20). Le të prezantojmë një funksion të ri të panjohur v(x, t), duke vendosur ku Pastaj zgjidhja e problemit (18)-(20) do të reduktohet në zgjidhjen e problemit (1)-(3), të konsideruar në paragrafin 2, për funksioni v(x, J). Ushtrimet 1. Jepet një shufër homogjene e pafundme. Tregoni se nëse temperatura fillestare atëherë menjëherë temperatura e shufrës 2. Skajet e shufrës me gjatësi w mbahen në temperaturë të barabartë me zero. Temperatura fillestare përcaktohet me formulën Përcaktoni temperaturën e shufrës për çdo kohë t > 0. 3. Skajet e shufrës me gjatësi I mbahen në temperaturë të barabartë me zero. Temperatura fillestare e shufrës përcaktohet me formulën Përcaktoni temperaturën e shufrës për çdo kohë t > 0. 4. Skajet e shufrës me gjatësi I mbahen në temperaturë të barabartë me zero. Shpërndarja fillestare e temperaturës Përcaktoni temperaturën e shufrës për çdo kohë t > 0. Përgjigjet
