Shprehje numerike. Kuptimi i shprehjeve numerike, letrare dhe të ndryshueshme
Një shprehje është termi më i gjerë matematikor. Në thelb, në këtë shkencë gjithçka përbëhet prej tyre, dhe të gjitha operacionet kryhen gjithashtu mbi to. Një pyetje tjetër është se, në varësi të llojit specifik, përdoren metoda dhe teknika krejtësisht të ndryshme. Pra, puna me trigonometri, thyesa ose logaritme është tre veprime të ndryshme. Një shprehje që nuk ka kuptim mund të jetë një nga dy llojet: numerike ose algjebrike. Por çfarë do të thotë ky koncept, si duket shembulli i tij dhe pika të tjera do të diskutohen më tej.
Shprehje numerike
Nëse një shprehje përbëhet nga numra, kllapa, pluse dhe minuse dhe simbole të tjera të veprimeve aritmetike, ajo mund të quhet me siguri numerike. E cila është mjaft logjike: thjesht duhet t'i hedhësh një vështrim tjetër komponentit të parë të emërtuar.
Një shprehje numerike mund të jetë çdo gjë: gjëja kryesore është se ajo nuk përmban shkronja. Dhe me "çdo gjë" në këtë rast nënkuptojmë gjithçka: nga një numër i thjeshtë që qëndron vetëm, në vetvete, në një listë të madhe të tyre dhe shenja të operacioneve aritmetike që kërkojnë llogaritjen e mëvonshme të rezultatit përfundimtar. Një thyesë është gjithashtu shprehje numerike nëse nuk përmban asnjë a, b, c, d etj., sepse atëherë është një lloj krejt tjetër, për të cilin do të diskutohet pak më vonë.
Kushtet për një shprehje që nuk ka kuptim
Kur një detyrë fillon me fjalën "llogarit", mund të flasim për transformim. Puna është se ky veprim nuk është gjithmonë i këshillueshëm: nuk është se ka një nevojë të fortë për të, nëse plan të parë del një shprehje që nuk ka kuptim. Shembujt janë pafundësisht mahnitës: ndonjëherë, për të kuptuar se na ka zënë, duhet t'i hapim kllapat për një kohë të gjatë dhe të lodhshme dhe të numërojmë-numërojmë...
Gjëja kryesore për të kujtuar është se nuk ka asnjë kuptim në shprehjet, rezultati përfundimtar i të cilave zbret në një veprim që është i ndaluar në matematikë. Për të qenë plotësisht i sinqertë, atëherë vetë transformimi bëhet i pakuptimtë, por për ta zbuluar, fillimisht duhet ta kryeni. Një paradoks i tillë!
Operacioni matematikor më i famshëm, por jo më pak i rëndësishëm i ndaluar është ndarja me zero.
Prandaj, për shembull, këtu është një shprehje që nuk ka kuptim:
(17+11):(5+4-10+1).
Nëse, duke përdorur llogaritjet e thjeshta, e zvogëlojmë kllapin e dytë në një shifër, atëherë do të jetë zero.
Me të njëjtin parim, një "titull nderi" i jepet kësaj shprehjeje:
(5-18):(19-4-20+5).
Shprehjet algjebrike
Kjo është e njëjta shprehje numerike nëse i shtohen shkronja të ndaluara. Pastaj bëhet algjebrike e plotë. Mund të vijë gjithashtu në të gjitha madhësitë dhe format. Një shprehje algjebrike është një koncept më i gjerë që përfshin atë të mëparshëm. Por kishte kuptim të fillonim bisedën jo me të, por me një numër, në mënyrë që të ishte më e qartë dhe më e lehtë për t'u kuptuar. Në fund të fundit, nëse një shprehje algjebrike ka kuptim nuk është një pyetje shumë e ndërlikuar, por një pyetje që ka më shumë sqarime.
Pse është kështu?
Një shprehje fjalë për fjalë ose një shprehje me ndryshore janë sinonime. Termi i parë është i lehtë për t'u shpjeguar: në fund të fundit, ai përmban shkronja! E dyta nuk është gjithashtu misteri i shekullit: në vend të shkronjave mund t'i zëvendësoni numra të ndryshëm, si rezultat i së cilës do të ndryshojë kuptimi i shprehjes. Nuk është e vështirë të merret me mend se shkronjat në këtë rast janë variablat. Për analogji, numrat janë konstante.
Dhe këtu i kthehemi temës kryesore: e pakuptimtë?
Shembuj të shprehjeve algjebrike që nuk kanë kuptim
Kusht për pakuptimësi shprehje algjebrike- e ngjashme si për numerike, me vetëm një përjashtim, ose, për të qenë më të saktë, një shtesë. Kur konvertoni dhe llogaritni rezultatin përfundimtar, duhet të merrni parasysh variablat, kështu që pyetja nuk shtrohet si "cila shprehje nuk ka kuptim?", por "në cilën vlerë të ndryshores nuk do të ketë kuptim kjo shprehje?" dhe "a ka një vlerë të ndryshores në të cilën shprehja nuk do të ketë më kuptim?"
Për shembull, (18-3):(a+11-9).
Shprehja e mësipërme nuk ka kuptim kur a është e barabartë me -2.
Por për (a+3):(12-4-8) mund të themi me siguri se kjo është një shprehje që nuk ka kuptim për asnjë a.
Në të njëjtën mënyrë, çfarëdo që të zëvendësoni b në shprehjen (b - 11): (12+1), do të ketë ende kuptim.
Probleme tipike me temën "Një shprehje që nuk ka kuptim"
Klasa e 7-të e studion këtë temë, ndër të tjera, në matematikë dhe detyrat për të gjenden shpesh si direkt pas mësimit përkatës, ashtu edhe si pyetje "mashtrim" në module dhe provime.
Kjo është arsyeja pse ia vlen të merren parasysh problemet tipike dhe metodat për zgjidhjen e tyre.
Shembulli 1.
A ka kuptim shprehja:
(23+11):(43-17+24-11-39)?
Është e nevojshme të kryhen të gjitha llogaritjet në kllapa dhe të sjellësh shprehjen në formën:
Rezultati përfundimtar përmban prandaj shprehja është e pakuptimtë.
Shembulli 2.
Cilat shprehje nuk kanë kuptim?
1) (9+3)/(4+5+3-12);
2) 44/(12-19+7);
3) (6+45)/(12+55-73).
Ju duhet të llogarisni vlerën përfundimtare për secilën shprehje.
Përgjigje: 1; 2.
Shembulli 3.
Gjeni gamën e vlerave të pranueshme për shprehjet e mëposhtme:
1) (11-4)/(b+17);
2) 12/ (14-b+11).
Gama e vlerave të lejueshme (APV) janë të gjithë ata numra, kur zëvendësohen në vend të tyre shprehje e ndryshueshme do të ketë kuptim.
Kjo do të thotë, detyra tingëllon si kjo: gjeni vlera në të cilat nuk do të ketë ndarje me zero.
1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), ose b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.
2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), ose b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.
Shembulli 4.
Në cilat vlera nuk do të ketë kuptim shprehja më poshtë?
Kllapa e dytë është e barabartë me zero kur loja është e barabartë me -3.
Përgjigje: y=-3
Shembulli 4.
Cila nga shprehjet nuk ka kuptim vetëm në x = -14?
1) 14: (x - 14);
2) (3+8x): (14+x);
3) (x/(14+x)):(7/8)).
2 dhe 3, pasi në rastin e parë, nëse zëvendësoni x = -14, atëherë kllapa e dytë do të jetë e barabartë me -28, dhe jo zero, siç tingëllon në përkufizimin e një shprehjeje të pakuptimtë.
Shembulli 5.
Dilni dhe shkruani një shprehje që nuk ka kuptim.
18/(2-46+17-33+45+15).
Shprehje algjebrike me dy ndryshore
Pavarësisht se të gjitha shprehjet që nuk kanë kuptim kanë të njëjtin thelb, ka nivele të ndryshme të kompleksitetit të tyre. Pra, mund të themi se ato numerike janë shembuj të thjeshtë, sepse janë më të lehtë se ata algjebrikë. Numri i variablave në këtë të fundit shton vështirësinë e zgjidhjes. Por ato nuk duhet të duken njësoj: gjëja kryesore është të mbani mend parimin e përgjithshëm të zgjidhjes dhe ta zbatoni atë, pavarësisht nëse shembulli është i ngjashëm me një problem standard ose ka disa shtesa të panjohura.
Për shembull, mund të lindë pyetja se si të zgjidhet një detyrë e tillë.
Gjeni dhe shkruani një çift numrash që janë të pavlefshëm për shprehjen:
(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).
Përgjigjet e mundshme:
Por në fakt, ajo duket vetëm e frikshme dhe e rëndë, sepse në fakt ajo përmban atë që dihet prej kohësh: katrorët dhe numrat në kub, disa veprime aritmetike si pjestimi, shumëzimi, zbritja dhe mbledhja. Për lehtësi, nga rruga, ju mund ta zvogëloni problemin në formë të pjesshme.
Numëruesi i thyesës që rezulton nuk është i lumtur: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ky është një fakt. Por ka një arsye tjetër për lumturinë: as nuk keni nevojë ta prekni për të zgjidhur detyrën! Sipas përkufizimit të diskutuar më parë, ju nuk mund të ndani me zero, dhe çfarë saktësisht do të ndahet me të është krejtësisht e parëndësishme. Prandaj, ne e lëmë këtë shprehje të pandryshuar dhe zëvendësojmë çifte numrash nga këto opsione në emërues. Tashmë pika e tretë përshtatet në mënyrë të përkryer, duke e kthyer një kllapa të vogël në zero. Por ndalimi atje është një rekomandim i keq, sepse diçka tjetër mund të jetë e përshtatshme. Në të vërtetë: edhe pika e pestë përshtatet mirë dhe i përshtatet kushteve.
Ne shkruajmë përgjigjen: 3 dhe 5.
Si përfundim
Siç mund ta shihni, kjo temë është shumë interesante dhe jo veçanërisht e ndërlikuar. Nuk do të jetë e vështirë ta kuptosh. Por nuk është kurrë dhemb të praktikosh disa shembuj!
Një shprehje është termi më i gjerë matematikor. Në thelb, në këtë shkencë gjithçka përbëhet prej tyre, dhe të gjitha operacionet kryhen gjithashtu mbi to. Një pyetje tjetër është se, në varësi të llojit specifik, përdoren metoda dhe teknika krejtësisht të ndryshme. Pra, puna me trigonometrinë, thyesat ose logaritmet janë tre veprime të ndryshme. Një shprehje që nuk ka kuptim mund të jetë një nga dy llojet: numerike ose algjebrike. Por çfarë do të thotë ky koncept, si duket shembulli i tij dhe pika të tjera do të diskutohen më tej.
Shprehje numerike
Nëse një shprehje përbëhet nga numra, kllapa, pluse dhe minuse dhe simbole të tjera të veprimeve aritmetike, ajo mund të quhet me siguri numerike. E cila është mjaft logjike: thjesht duhet t'i hedhësh një vështrim tjetër komponentit të parë të emërtuar.
Një shprehje numerike mund të jetë çdo gjë: gjëja kryesore është se ajo nuk përmban shkronja. Dhe me "çdo gjë" në këtë rast nënkuptojmë gjithçka: nga një numër i thjeshtë që qëndron vetëm, në vetvete, në një listë të madhe të tyre dhe shenja të operacioneve aritmetike që kërkojnë llogaritjen e mëvonshme të rezultatit përfundimtar. Një thyesë është gjithashtu shprehje numerike nëse nuk përmban asnjë a, b, c, d etj., sepse atëherë është një lloj krejt tjetër, për të cilin do të diskutohet pak më vonë.
Kushtet për një shprehje që nuk ka kuptim
Kur një detyrë fillon me fjalën "llogarit", mund të flasim për transformim. Puna është se ky veprim nuk është gjithmonë i këshillueshëm: nuk është se ka shumë nevojë për të nëse del në pah një shprehje që nuk ka kuptim. Shembujt janë pafundësisht mahnitës: ndonjëherë, për të kuptuar se na ka zënë, duhet t'i hapim kllapat për një kohë të gjatë dhe të lodhshme dhe të numërojmë-numërojmë...
Gjëja kryesore për të kujtuar është se nuk ka asnjë kuptim në shprehjet, rezultati përfundimtar i të cilave zbret në një veprim që është i ndaluar në matematikë. Për të qenë plotësisht i sinqertë, atëherë vetë transformimi bëhet i pakuptimtë, por për ta zbuluar, fillimisht duhet ta kryeni. Një paradoks i tillë!
Operacioni matematikor më i famshëm, por jo më pak i rëndësishëm i ndaluar është ndarja me zero.
Prandaj, për shembull, këtu është një shprehje që nuk ka kuptim:
(17+11):(5+4-10+1).
Nëse, duke përdorur llogaritjet e thjeshta, e zvogëlojmë kllapin e dytë në një shifër, atëherë do të jetë zero.
Me të njëjtin parim, një "titull nderi" i jepet kësaj shprehjeje:
(5-18):(19-4-20+5).
Shprehjet algjebrike
Kjo është e njëjta shprehje numerike nëse i shtohen shkronja të ndaluara. Pastaj bëhet algjebrike e plotë. Mund të vijë gjithashtu në të gjitha madhësitë dhe format. Një shprehje algjebrike është një koncept më i gjerë që përfshin atë të mëparshëm. Por kishte kuptim të fillonim bisedën jo me të, por me një numër, në mënyrë që të ishte më e qartë dhe më e lehtë për t'u kuptuar. Në fund të fundit, nëse një shprehje algjebrike ka kuptim nuk është një pyetje shumë e ndërlikuar, por një pyetje që ka më shumë sqarime.
Pse është kështu?
Një shprehje fjalë për fjalë ose një shprehje me ndryshore janë sinonime. Termi i parë është i lehtë për t'u shpjeguar: në fund të fundit, ai përmban shkronja! E dyta gjithashtu nuk është një mister i shekullit: në vend të shkronjave, mund të zëvendësoni numra të ndryshëm, si rezultat i të cilave kuptimi i shprehjes do të ndryshojë. Nuk është e vështirë të merret me mend se shkronjat në këtë rast janë variablat. Për analogji, numrat janë konstante.
Dhe këtu i kthehemi temës kryesore: çfarë është një shprehje që nuk ka kuptim?
Shembuj të shprehjeve algjebrike që nuk kanë kuptim
Kushti për pakuptimësinë e një shprehjeje algjebrike është i njëjtë me atë numerike, me vetëm një përjashtim, ose, më saktë, një shtesë. Kur konvertoni dhe llogaritni rezultatin përfundimtar, duhet të merrni parasysh variablat, kështu që pyetja nuk shtrohet si "cila shprehje nuk ka kuptim?", por "në cilën vlerë të ndryshores nuk do të ketë kuptim kjo shprehje?" dhe "a ka një vlerë të ndryshores në të cilën shprehja nuk do të ketë më kuptim?"
Për shembull, (18-3):(a+11-9).
Shprehja e mësipërme nuk ka kuptim kur a është e barabartë me -2.
Por për (a+3):(12-4-8) mund të themi me siguri se kjo është një shprehje që nuk ka kuptim për asnjë a.
Në të njëjtën mënyrë, çfarëdo që të zëvendësoni b në shprehjen (b - 11): (12+1), do të ketë ende kuptim.
Probleme tipike me temën "Një shprehje që nuk ka kuptim"
Klasa e 7-të e studion këtë temë, ndër të tjera, në matematikë dhe detyrat për të gjenden shpesh si direkt pas mësimit përkatës, ashtu edhe si pyetje "mashtrim" në module dhe provime.
Kjo është arsyeja pse ia vlen të merren parasysh problemet tipike dhe metodat për zgjidhjen e tyre.
Shembulli 1.
A ka kuptim shprehja:
(23+11):(43-17+24-11-39)?
Është e nevojshme të kryhen të gjitha llogaritjet në kllapa dhe të sjellësh shprehjen në formën:
Rezultati përfundimtar përmban pjesëtimin me zero, kështu që shprehja është e pakuptimtë.
Shembulli 2.
Cilat shprehje nuk kanë kuptim?
1) (9+3)/(4+5+3-12);
2) 44/(12-19+7);
3) (6+45)/(12+55-73).
Ju duhet të llogarisni vlerën përfundimtare për secilën shprehje.
Përgjigje: 1; 2.
Shembulli 3.
Gjeni gamën e vlerave të pranueshme për shprehjet e mëposhtme:
1) (11-4)/(b+17);
2) 12/ (14-b+11).
Gama e vlerave të lejueshme (VA) është të gjithë ata numra që, kur zëvendësohen në vend të variablave, shprehja do të ketë kuptim.
Kjo do të thotë, detyra tingëllon si kjo: gjeni vlera në të cilat nuk do të ketë ndarje me zero.
1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), ose b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.
2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), ose b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.
Shembulli 4.
Në cilat vlera nuk do të ketë kuptim shprehja më poshtë?
Kllapa e dytë është e barabartë me zero kur loja është e barabartë me -3.
Përgjigje: y=-3
Shembulli 4.
Cila nga shprehjet nuk ka kuptim vetëm në x = -14?
1) 14: (x - 14);
2) (3+8x): (14+x);
3) (x/(14+x)):(7/8)).
2 dhe 3, pasi në rastin e parë, nëse zëvendësoni x = -14, atëherë kllapa e dytë do të jetë e barabartë me -28, dhe jo zero, siç tingëllon në përkufizimin e një shprehjeje të pakuptimtë.
Shembulli 5.
Dilni dhe shkruani një shprehje që nuk ka kuptim.
18/(2-46+17-33+45+15).
Shprehje algjebrike me dy ndryshore
Pavarësisht se të gjitha shprehjet që nuk kanë kuptim kanë të njëjtin thelb, ka nivele të ndryshme të kompleksitetit të tyre. Pra, mund të themi se ato numerike janë shembuj të thjeshtë, sepse janë më të lehtë se ata algjebrikë. Numri i variablave në këtë të fundit shton vështirësinë e zgjidhjes. Por ato nuk duhet të jenë konfuze në pamjen e tyre: gjëja kryesore është të mbani mend parimin e përgjithshëm të zgjidhjes dhe ta zbatoni atë, pavarësisht nëse shembulli është i ngjashëm me një problem standard ose ka disa shtesa të panjohura.
Për shembull, mund të lindë pyetja se si të zgjidhet një detyrë e tillë.
Gjeni dhe shkruani një çift numrash që janë të pavlefshëm për shprehjen:
(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).
Përgjigjet e mundshme:
Por në fakt, ajo duket vetëm e frikshme dhe e rëndë, sepse në fakt ajo përmban atë që dihet prej kohësh: katrorët dhe numrat në kub, disa veprime aritmetike si pjestimi, shumëzimi, zbritja dhe mbledhja. Për lehtësi, nga rruga, ju mund ta zvogëloni problemin në formë të pjesshme.
Numëruesi i thyesës që rezulton nuk është i lumtur: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ky është një fakt. Por ka një arsye tjetër për lumturinë: as nuk keni nevojë ta prekni për të zgjidhur detyrën! Sipas përkufizimit të diskutuar më parë, ju nuk mund të ndani me zero, dhe çfarë saktësisht do të ndahet me të është krejtësisht e parëndësishme. Prandaj, ne e lëmë këtë shprehje të pandryshuar dhe zëvendësojmë çifte numrash nga këto opsione në emërues. Tashmë pika e tretë përshtatet në mënyrë të përkryer, duke e kthyer një kllapa të vogël në zero. Por ndalimi atje është një rekomandim i keq, sepse diçka tjetër mund të jetë e përshtatshme. Në të vërtetë: edhe pika e pestë përshtatet mirë dhe i përshtatet kushteve.
Ne shkruajmë përgjigjen: 3 dhe 5.
Si përfundim
Siç mund ta shihni, kjo temë është shumë interesante dhe jo veçanërisht e ndërlikuar. Nuk do të jetë e vështirë ta kuptosh. Por nuk është kurrë dhemb të praktikosh disa shembuj!
Shprehje numerike dhe algjebrike. Konvertimi i shprehjeve.
Çfarë është një shprehje në matematikë? Pse na duhen konvertimet e shprehjes?
Pyetja, siç thonë ata, është interesante... Fakti është se këto koncepte janë baza e të gjithë matematikës. E gjithë matematika përbëhet nga shprehje dhe shndërrime të tyre. Jo shumë e qartë? Më lejoni të shpjegoj.
Le të themi se keni një shembull të keq përpara jush. Shumë i madh dhe shumë kompleks. Le të themi se ju jeni të mirë në matematikë dhe nuk keni frikë nga asgjë! Mund të jepni një përgjigje menjëherë?
Ju do të duhet të vendosin ky shembull. Vazhdimisht, hap pas hapi, ky shembull thjeshtoj. Sipas rregullave të caktuara, natyrisht. Ato. bëj shndërrimi i shprehjes. Sa më me sukses t'i kryeni këto transformime, aq më i fortë jeni në matematikë. Nëse nuk dini të bëni transformimet e duhura, nuk do të jeni në gjendje t'i bëni ato në matematikë. Asgjë...
Për të shmangur një të ardhme kaq të pakëndshme (ose të tashme...), nuk është e dëmshme ta kuptoni këtë temë.)
Së pari, le të zbulojmë çfarë është një shprehje në matematikë. Çfarë ka ndodhur shprehje numerike dhe çfarë është shprehje algjebrike.
Çfarë është një shprehje në matematikë?
Shprehja në matematikë- Ky është një koncept shumë i gjerë. Pothuajse gjithçka me të cilën trajtojmë në matematikë është një grup shprehjesh matematikore. Çdo shembull, formula, thyesë, ekuacion, e kështu me radhë - të gjitha përbëhet nga shprehjet matematikore.
3+2 është një shprehje matematikore. c 2 - d 2- kjo është gjithashtu një shprehje matematikore. Edhe një thyesë e shëndetshme edhe një numër çift janë të gjitha shprehje matematikore. Për shembull, ekuacioni është:
5x + 2 = 12
përbëhet nga dy shprehje matematikore të lidhura me një shenjë të barabartë. Njëra shprehje është në të majtë, tjetra në të djathtë.
Në përgjithësi, termi " shprehje matematikore"Përdoret, më së shpeshti, për të shmangur ankimet. Do t'ju pyesin se çfarë është një thyesë e zakonshme p.sh.? Dhe si të përgjigjeni?!
Përgjigja e parë: "Kjo është... mmmmmm... një gjë e tillë... në të cilën... A mund të shkruaj më mirë një thyesë? Cilin dëshironi?"
Përgjigja e dytë: "Një fraksion i zakonshëm është (me gëzim dhe gëzim!) shprehje matematikore , i cili përbëhet nga një numërues dhe një emërues!"
Opsioni i dytë do të jetë disi më mbresëlënës, apo jo?)
Ky është qëllimi i frazës " shprehje matematikore "Shumë mirë. Të dyja të sakta dhe të qëndrueshme. Por për përdorim praktik duhet të kuptosh mirë lloje të veçanta të shprehjeve në matematikë .
Lloji specifik është çështje tjetër. Kjo Është një çështje krejtësisht tjetër!Çdo lloj i shprehjes matematikore ka e imja një grup rregullash dhe teknikash që duhen përdorur kur merret një vendim. Për të punuar me fraksione - një grup. Për të punuar me shprehje trigonometrike - e dyta. Për të punuar me logaritme - e treta. Dhe kështu me radhë. Diku këto rregulla përkojnë, diku ndryshojnë ashpër. Por mos kini frikë nga këto fjalë të frikshme. Ne do të zotërojmë logaritmet, trigonometrinë dhe gjëra të tjera misterioze në seksionet përkatëse.
Këtu do të zotërojmë (ose - përsërisim, varësisht kush...) dy lloje kryesore të shprehjeve matematikore. Shprehje numerike dhe shprehje algjebrike.
Shprehje numerike.
Çfarë ka ndodhur shprehje numerike? Ky është një koncept shumë i thjeshtë. Vetë emri lë të kuptohet se kjo është një shprehje me numra. Po, kështu është. Një shprehje matematikore e përbërë nga numra, kllapa dhe simbole aritmetike quhet shprehje numerike.
7-3 është një shprehje numerike.
(8+3.2) 5.4 është gjithashtu një shprehje numerike.
Dhe ky përbindësh:
gjithashtu një shprehje numerike, po...
Një numër i zakonshëm, një thyesë, çdo shembull i llogaritjes pa X dhe shkronja të tjera - të gjitha këto janë shprehje numerike.
Shenja kryesore numerike shprehjet - në të pa shkronja. Asnjë. Vetëm numra dhe simbole matematikore (nëse është e nevojshme). Është e thjeshtë, apo jo?
Dhe çfarë mund të bëni me shprehjet numerike? Shprehjet numerike zakonisht mund të numërohen. Për ta bërë këtë, ndodh që ju duhet të hapni kllapat, të ndryshoni shenjat, të shkurtoni, të ndërroni termat - d.m.th. bëj shndërrimet e shprehjes. Por më shumë për këtë më poshtë.
Këtu do të merremi me një rast kaq qesharak kur me një shprehje numerike ju nuk keni nevojë të bëni asgjë. Epo, asgjë fare! Ky operacion i këndshëm - mos bëj asgjë)- ekzekutohet kur shprehja nuk ka kuptim.
Kur një shprehje numerike nuk ka kuptim?
Është e qartë se nëse shohim një lloj abrakadabra para nesh, si
atëherë nuk do të bëjmë asgjë. Sepse nuk është e qartë se çfarë të bëhet në lidhje me të. Një lloj marrëzie. Ndoshta numëroni numrin e pluseve...
Por nga jashtë ka shprehje mjaft të mira. Për shembull kjo:
(2+3) : (16 - 2 8)
Megjithatë, edhe kjo shprehje nuk ka kuptim! Për arsyen e thjeshtë se në kllapat e dyta - nëse numëroni - merrni zero. Por ju nuk mund të pjesëtoni me zero! Ky është një veprim i ndaluar në matematikë. Prandaj, as me këtë shprehje nuk ka nevojë të bëhet asgjë. Për çdo detyrë me një shprehje të tillë, përgjigja do të jetë gjithmonë e njëjtë: "Shprehja nuk ka kuptim!"
Për të dhënë një përgjigje të tillë, natyrisht, më duhej të llogarisja se çfarë do të ishte në kllapa. Dhe ndonjëherë ka shumë gjëra në kllapa... Epo, nuk mund të bësh asgjë për këtë.
Nuk ka aq shumë veprime të ndaluara në matematikë. Ka vetëm një në këtë temë. Pjestimi me zero. Kufizimet shtesë që lindin në rrënjët dhe logaritmet diskutohen në temat përkatëse.
Pra, një ide se çfarë është shprehje numerike- marrë. Koncepti shprehja numerike nuk ka kuptim- e kuptoi. Le të vazhdojmë.
Shprehjet algjebrike.
Nëse në një shprehje numerike shfaqen shkronja, kjo shprehje bëhet... Shprehja bëhet... Po! bëhet shprehje algjebrike. Për shembull:
5a 2; 3x-2vje; 3 (z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Quhen edhe shprehje të tilla shprehje fjalë për fjalë. Ose shprehjet me variabla.Është praktikisht e njëjta gjë. Shprehje 5a +c, për shembull - edhe fjalë për fjalë edhe algjebrike, dhe një shprehje me ndryshore.
Koncepti shprehje algjebrike - më e gjerë se numerike. Ajo përfshin dhe të gjitha shprehjet numerike. Ato. një shprehje numerike është gjithashtu një shprehje algjebrike, vetëm pa shkronja. Çdo harengë është një peshk, por jo çdo peshk është një harengë...)
Pse alfabetik- Është e qartë. Epo, meqë ka shkronja... Frazë shprehje me variabla Gjithashtu nuk është shumë e çuditshme. Nëse e kuptoni që numrat janë të fshehur nën shkronja. Të gjitha llojet e numrave mund të fshihen nën shkronja... Dhe 5, dhe -18, dhe çdo gjë tjetër. Kjo është, një letër mund të jetë zëvendësojnë në numra të ndryshëm. Prandaj quhen shkronjat variablave.
Në shprehje y+5, Për shembull, në- vlera e ndryshueshme. Ose ata thjesht thonë " e ndryshueshme", pa fjalën "madhësi". Ndryshe nga pesë, që është një vlerë konstante. Ose thjesht - konstante.
Afati shprehje algjebrike do të thotë që për të punuar me këtë shprehje duhet të përdorni ligje dhe rregulla algjebër. Nëse aritmetike punon me numra të caktuar, atëherë algjebër- me të gjithë numrat në të njëjtën kohë. Një shembull i thjeshtë për sqarim.
Në aritmetikë mund ta shkruajmë atë
Por nëse shkruajmë një barazi të tillë përmes shprehjeve algjebrike:
a + b = b + a
do të vendosim menjëherë Të gjitha pyetje. Për të gjithë numrat me një goditje. Për çdo gjë të pafundme. Sepse nën letra A Dhe b të nënkuptuara Të gjitha numrat. Dhe jo vetëm numrat, por edhe shprehjet e tjera matematikore. Kështu funksionon algjebra.
Kur një shprehje algjebrike nuk ka kuptim?
Gjithçka në lidhje me shprehjen numerike është e qartë. Nuk mund të pjesëtosh me zero atje. Dhe me shkronja a mund të merret vesh me çfarë po ndajmë?!
Le të marrim për shembull këtë shprehje me variabla:
2: (A - 5)
A ka kuptim? Kush e di? A- çdo numër...
Çdo, çdo... Por ka një kuptim A, për të cilën kjo shprehje pikërisht nuk ka kuptim! Dhe cili është ky numër? po! Kjo është 5! Nëse ndryshorja A zëvendëso (thonë “zëvendëso”) me numrin 5, në kllapa del zero. Që nuk mund të ndahet. Pra, rezulton se shprehja jonë nuk ka kuptim, Nëse a = 5. Por për vlera të tjera A ka kuptim? A mund të zëvendësoni numra të tjerë?
Sigurisht. Në raste të tilla ata thjesht thonë se shprehja
2: (A - 5)
ka kuptim për çdo vlerë A, përveç a = 5 .
Tërë grupi i numrave që Mund zëvendësimi në një shprehje të caktuar quhet varg vlerash të pranueshme kjo shprehje.
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të ndërlikuar. Le të shohim shprehjen me variabla dhe të kuptojmë: në cilën vlerë të ndryshores fitohet operacioni i ndaluar (pjestimi me zero)?
Dhe pastaj sigurohuni që të shikoni pyetjen e detyrës. Çfarë po pyesin?
nuk ka kuptim, kuptimi ynë i ndaluar do të jetë përgjigja.
Nëse pyesni se në cilën vlerë të një ndryshoreje shprehet ka kuptim(ndjeni ndryshimin!), përgjigjja do të jetë të gjithë numrat e tjerë përveç të ndaluarave.
Pse na duhet kuptimi i shprehjes? Ai është atje, ai nuk është... Cili është ndryshimi?! Çështja është se ky koncept bëhet shumë i rëndësishëm në shkollën e mesme. Jashtëzakonisht i rëndësishëm! Kjo është baza për koncepte të tilla solide si fusha e vlerave të pranueshme ose fusha e një funksioni. Pa këtë, ju nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni fare ekuacione ose pabarazi serioze. Si kjo.
Konvertimi i shprehjeve. Transformimet e identitetit.
U njohëm me shprehjet numerike dhe algjebrike. Kuptuam se çfarë do të thotë shprehja "shprehja nuk ka kuptim". Tani duhet të kuptojmë se çfarë është shndërrimi i shprehjes. Përgjigja është e thjeshtë, deri në turp.) Ky është çdo veprim me shprehje. Kjo është e gjitha. Këto transformime i keni bërë që në klasën e parë.
Le të marrim shprehjen numerike të ftohtë 3+5. Si mund të konvertohet? Po, shumë e thjeshtë! Llogaritni:
Kjo llogaritje do të jetë transformimi i shprehjes. Ju mund të shkruani të njëjtën shprehje ndryshe:
Këtu nuk kemi llogaritur asgjë. Thjesht shkruani shprehjen në një formë tjetër. Ky do të jetë gjithashtu një transformim i shprehjes. Mund ta shkruani kështu:
Dhe kjo është gjithashtu një transformim i një shprehjeje. Ju mund të bëni transformime të tilla sa të doni.
Çdo veprim në shprehje ndonjë shkrimi i tij në një formë tjetër quhet transformim i shprehjes. Dhe kjo është e gjitha. Është shumë e thjeshtë. Por këtu ka një gjë rregull shumë i rëndësishëm. Aq e rëndësishme sa mund të quhet me siguri rregulli kryesor gjithë matematikën. Duke thyer këtë rregull në mënyrë të pashmangshmeçon në gabime. A po hyjmë në të?)
Le të themi se e transformuam shprehjen tonë në mënyrë të rastësishme, si kjo:
Konvertimi? Sigurisht. E kemi shkruar shprehjen në një formë tjetër, çfarë nuk shkon këtu?
Nuk është kështu.) Çështja është se transformimet "rastësisht" nuk janë të interesuar fare për matematikën.) E gjithë matematika është e ndërtuar mbi transformimet në të cilat pamja ndryshon, por thelbi i shprehjes nuk ndryshon. Tre plus pesë mund të shkruhen në çdo formë, por duhet të jetë tetë.
Transformimet, shprehje që nuk e ndryshojnë thelbin quhen identike.
Pikërisht transformimet e identitetit dhe na lejoni, hap pas hapi, të transformojmë një shembull kompleks në një shprehje të thjeshtë, duke ruajtur thelbi i shembullit. Nëse bëjmë një gabim në zinxhirin e transformimeve, bëjmë një transformim JO identik, atëherë do të vendosim një tjetër shembull. Me përgjigje të tjera që nuk lidhen me ato të sakta.)
Ky është rregulli kryesor për zgjidhjen e çdo detyre: ruajtja e identitetit të transformimeve.
Për qartësi kam dhënë një shembull me shprehjen numerike 3+5. Në shprehjet algjebrike, shndërrimet e identitetit jepen me formula dhe rregulla. Le të themi se në algjebër ekziston një formulë:
a(b+c) = ab + ac
Kjo do të thotë se në çdo shembull ne mundemi në vend të shprehjes a(b+c) mos ngurroni të shkruani një shprehje ab + ac. Dhe anasjelltas. Kjo transformim identik. Matematika na jep një zgjedhje midis këtyre dy shprehjeve. Dhe cila të shkruaj varet nga shembulli specifik.
Një shembull tjetër. Një nga shndërrimet më të rëndësishme dhe më të nevojshme është vetia themelore e një thyese. Mund të shikoni lidhjen për më shumë detaje, por këtu do t'ju kujtoj vetëm rregullin: Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, ose një shprehje që nuk është e barabartë me zero, thyesa nuk do të ndryshojë. Këtu është një shembull i transformimeve të identitetit duke përdorur këtë pronë:
Siç e keni marrë me mend, ky zinxhir mund të vazhdojë pafundësisht...) Një pronë shumë e rëndësishme. Është kjo që ju lejon të ktheni të gjitha llojet e përbindëshave shembull në të bardhë dhe me gëzof.)
Ka shumë formula që përcaktojnë transformime identike. Por më të rëndësishmet janë një numër mjaft i arsyeshëm. Një nga transformimet bazë është faktorizimi. Përdoret në të gjithë matematikën - nga fillore në të avancuar. Le të fillojmë me të. Në mësimin tjetër.)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
I. Shprehjet në të cilat numrat, simbolet aritmetike dhe kllapat mund të përdoren së bashku me shkronjat quhen shprehje algjebrike.
Shembuj të shprehjeve algjebrike:
2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0.3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Meqenëse një shkronjë në një shprehje algjebrike mund të zëvendësohet me disa numra të ndryshëm, shkronja quhet ndryshore dhe vetë shprehja algjebrike quhet shprehje me ndryshore.
II. Nëse në një shprehje algjebrike shkronjat (ndryshoret) zëvendësohen nga vlerat e tyre dhe kryhen veprimet e specifikuara, atëherë numri që rezulton quhet vlera e shprehjes algjebrike.
Shembuj.
Gjeni kuptimin e shprehjes:
1) a + 2b -c me a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| në x = -8; y = -5; z = 6..
Zgjidhje
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
1) a + 2b -c me a = -2; b = 10; c = -3,5. Në vend të variablave, le të zëvendësojmë vlerat e tyre. Ne marrim:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
2) |x| + |y| -|z| në x = -8; y = -5; z = 6. Zëvendësoni vlerat e treguara. Kujtojmë se moduli i një numri negativ është i barabartë me numrin e kundërt të tij, dhe moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë këtë numër. Ne marrim: III.
Vlerat e shkronjës (ndryshueshme) për të cilat shprehja algjebrike ka kuptim quhen vlerat e lejuara të shkronjës (ndryshueshme).
Shembuj. Për cilat vlera të ndryshores shprehja nuk ka kuptim?
Në shembullin 1) kjo vlerë është a = 0. Në të vërtetë, nëse zëvendësoni 0 në vend të a, atëherë do t'ju duhet të ndani numrin 6 me 0, por kjo nuk mund të bëhet. Përgjigje: shprehja 1) nuk ka kuptim kur a = 0.
Në shembullin 2) emëruesi i x është 4 = 0 në x = 4, prandaj, kjo vlerë x = 4 nuk mund të merret. Përgjigje: shprehja 2) nuk ka kuptim kur x = 4.
Në shembullin 3) emëruesi është x + 2 = 0 kur x = -2. Përgjigje: shprehja 3) nuk ka kuptim kur x = -2.
Në shembullin 4) emëruesi është 5 -|x| = 0 për |x| = 5. Dhe që nga |5| = 5 dhe |-5| = 5, atëherë nuk mund të marrësh x = 5 dhe x = -5. Përgjigje: shprehja 4) nuk ka kuptim në x = -5 dhe në x = 5.
IV. Dy shprehje thuhet se janë identike të barabarta nëse, për çdo vlerë të pranueshme të variablave, vlerat përkatëse të këtyre shprehjeve janë të barabarta.
Shembull: 5 (a – b) dhe 5a – 5b janë gjithashtu të barabarta, pasi barazia 5 (a – b) = 5a – 5b do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të a dhe b. Barazia 5 (a – b) = 5a – 5b është një identitet.
Identiteti është një barazi që vlen për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në të. Shembuj të identiteteve tashmë të njohura për ju janë, për shembull, vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit dhe vetia shpërndarëse.
Zëvendësimi i një shprehjeje me një shprehje tjetër identikisht të barabartë quhet transformim identitar ose thjesht transformim i një shprehjeje. Shndërrimet identike të shprehjeve me variabla kryhen në bazë të vetive të veprimeve me numra.
Shembuj.
a) shndërroni shprehjen në identike të barabartë duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit:
1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1,5· (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
2) |x| + |y| -|z| në x = -8; y = -5; z = 6.. Le të kujtojmë vetinë shpërndarëse (ligjin) e shumëzimit:
(a+b)c=ac+bc(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: për të shumëzuar shumën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni rezultatet që rezultojnë).
(a-b) c=a c-b c(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: për të shumëzuar diferencën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni minuendin dhe të zbrisni me këtë numër veçmas dhe të zbrisni të dytin nga rezultati i parë).
1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) shndërroni shprehjen në identikisht të barabartë, duke përdorur vetitë (ligjet) komutative dhe shoqëruese të mbledhjes:
4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.
Shembuj. Le të zbatojmë ligjet (vetitë) e shtimit:
a+b=b+a(komutativ: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinative: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy termave, mund të shtoni shumën e të dytit dhe të tretë në numrin e parë).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.
6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.
V) Shndërroni shprehjen në identike të barabartë duke përdorur vetitë (ligjet) komutative dhe shoqëruese të shumëzimit:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Shembuj. Le të zbatojmë ligjet (vetitë) e shumëzimit:
a·b=b·a(komutativ: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon produktin).
(a b) c=a (b c)(kombinative: për të shumëzuar prodhimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e të dytit dhe të tretë).
7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.
8) -3,5 · 2u · (-1) = 7у.
9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.
Nëse një shprehje algjebrike jepet në formën e një thyese të reduktueshme, atëherë duke përdorur rregullën e reduktimit të thyesave ajo mund të thjeshtohet, d.m.th. zëvendësojeni atë me një shprehje identike të barabartë më të thjeshtë.
Shembuj. 
Shembuj. Thjeshtoni duke përdorur reduktimin e fraksionit. Të reduktosh një thyesë do të thotë të pjesëtosh numëruesin dhe emëruesin e saj me të njëjtin numër (shprehje) përveç zeros. Pjesa 10) do të reduktohet me 3b A; thyesa 11) do të reduktohet me dhe thyesa 12) do të reduktohet me 7n
. Ne marrim:
Shprehjet algjebrike përdoren për të krijuar formula. Një formulë është një shprehje algjebrike e shkruar si barazi dhe që shpreh marrëdhënien midis dy ose më shumë ndryshoreve. Shembull: formula e rrugës që ju e dini s=v t
(s - distanca e përshkuar, v - shpejtësia, t - koha). Mos harroni se cilat formula të tjera dini.
