Եռանկյունաչափական անհավասարությունների բանաձևի աղյուսակ. Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուղիները ճանաչելու ալգորիթմ
Հանրահաշվի նախագիծ «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» Ավարտել է 10 «Բ» դասարանի աշակերտուհի Յուլիա Կազաչկովա Ղեկավար՝ մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Կոչակովա Ն.Ն.
Նպատակը Համախմբել «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» թեմայով նյութը և ստեղծել հուշագիր, որպեսզի աշակերտները պատրաստվեն առաջիկա քննությանը:
Նպատակներ Ամփոփել նյութը թեմայի վերաբերյալ: Կազմակերպել ստացված տեղեկատվությունը: Հաշվի առեք այս թեման քննության ժամանակ:
Համապատասխանություն Իմ ընտրած թեմայի արդիականությունը կայանում է նրանում, որ «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» թեմայի առաջադրանքները ներառված են քննության առաջադրանքների մեջ։
Եռանկյունաչափական անհավասարություններԱնհավասարությունը երկու թվեր կամ արտահայտություններ կապող հարաբերություն է նշաններից մեկի միջոցով՝ (մեծ քան); ≥ (մեծ կամ հավասար): Եռանկյունաչափական անհավասարությունը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարություն է։
Եռանկյունաչափական անհավասարություններ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարությունների լուծումը, որպես կանոն, կրճատվում է ձևի ամենապարզ անհավասարությունների լուծմանը՝ sin x>a, sin x. a, cos x ա, tgx a, ctg x
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ Տրված եռանկյունաչափական ֆունկցիային համապատասխան առանցքի վրա նշի՛ր տրվածը. թվային արժեքայս գործառույթը: Նշված կետի միջով գիծ գծիր, որը հատում է միավոր շրջանագիծը: Ընտրե՛ք ուղիղի և շրջանագծի հատման կետերը՝ հաշվի առնելով խիստ կամ ոչ խիստ անհավասարության նշանը։ Ընտրեք շրջանագծի այն աղեղը, որի վրա գտնվում են անհավասարության լուծումները: Որոշեք անկյունների արժեքները շրջանաձև աղեղի սկզբի և վերջի կետերում: Անհավասարության լուծումը գրի՛ր՝ հաշվի առնելով տրված եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերականությունը։
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման բանաձեւեր sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn): sinx ա; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn): cosxա; x (arctg a + πn ; + πn): tgx ա; x (πn; arctg + πn): ctgx
Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում sinx >a
Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում sinx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում cosx >a Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում cosx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում tgx >a Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում tgx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում ctgx >a
ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ
Համապատասխանություն. Պատմականորեն եռանկյունաչափական հավասարումներին և անհավասարություններին հատուկ տեղ է հատկացվել դպրոցական ծրագրում։ Կարելի է ասել, որ եռանկյունաչափությունը դպրոցական դասընթացի և ընդհանրապես մաթեմատիկական գիտության ամենակարևոր բաժիններից է։
Եռանկյունաչափական հավասարումներիսկ անհավասարությունները զբաղեցնում են մեկը կենտրոնական վայրերավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացին թե՛ բովանդակային առումով ուսումնական նյութ, և կրթական և ճանաչողական գործունեության մեթոդներով, որոնք կարող են և պետք է ձևավորվեն դրանց ուսումնասիրության ընթացքում և կիրառվեն լուծմանը. մեծ թվովտեսական և կիրառական բնույթի խնդիրներ։
Եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը նախադրյալներ է ստեղծում եռանկյունաչափության վերաբերյալ ողջ ուսումնական նյութի հետ կապված ուսանողների գիտելիքները համակարգելու համար (օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները, փոխակերպման մեթոդները. եռանկյունաչափական արտահայտություններև այլն) և հնարավորություն է տալիս արդյունավետ կապեր հաստատել հանրահաշվում ուսումնասիրված նյութի հետ (հավասարումներ, հավասարումների համարժեքություն, անհավասարություններ, նույնական փոխակերպումներ): հանրահաշվական արտահայտություններև այլն):
Այլ կերպ ասած, եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդների դիտարկումը ենթադրում է այդ հմտությունների մի տեսակ տեղափոխում նոր բովանդակություն:
Տեսության նշանակությունը և դրա բազմաթիվ կիրառությունները վկայում են ընտրված թեմայի արդիականության մասին։ Սա իր հերթին թույլ է տալիս որոշել դասընթացի աշխատանքի նպատակները, խնդիրները և հետազոտության առարկան:
Ուսումնասիրության նպատակը. ընդհանրացնել եռանկյունաչափական անհավասարությունների առկա տեսակները, դրանց լուծման հիմնական և հատուկ մեթոդները, ընտրել դպրոցականների կողմից եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջադրանքների մի շարք:
Հետազոտության նպատակները.
1. Հիմնվելով հետազոտական թեմայի վերաբերյալ առկա գրականության վերլուծության վրա՝ համակարգել նյութը:
2. Տրե՛ք «Եռանկյունաչափական անհավասարություններ» թեման համախմբելու համար անհրաժեշտ առաջադրանքների մի շարք։
Ուսումնասիրության օբյեկտ եռանկյունաչափական անհավասարություններ են դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում։
Ուսումնասիրության առարկա. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների տեսակները և դրանց լուծման մեթոդները:
Տեսական նշանակություն նյութը կազմակերպելն է։
Գործնական նշանակություն. տեսական գիտելիքների կիրառում խնդիրների լուծման մեջ; եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական հաճախ հանդիպող մեթոդների վերլուծություն:
Հետազոտության մեթոդներ գիտական գրականության վերլուծություն, ձեռք բերված գիտելիքների սինթեզ և ընդհանրացում, խնդիրների լուծման վերլուծություն, անհավասարությունների լուծման օպտիմալ մեթոդների որոնում։
§1. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների տեսակները և դրանց լուծման հիմնական մեթոդները
1.1. Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները
Երկու եռանկյունաչափական արտահայտությունները, որոնք կապված են նշանով կամ >-ով, կոչվում են եռանկյունաչափական անհավասարություններ։
Եռանկյունաչափական անհավասարություն լուծելը նշանակում է գտնել անհավասարության մեջ ներառված անհայտների արժեքների մի շարք, որոնց դեպքում անհավասարությունը բավարարվում է:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների հիմնական մասը լուծվում է՝ դրանք հասցնելով ամենապարզին.
Սա կարող է լինել ֆակտորիզացիայի մեթոդ, փոփոխականի փոփոխություն ( 
, 
և այլն), որտեղ սկզբում լուծվում է սովորական անհավասարությունը, այնուհետև ձևի անհավասարությունը 
և այլն, կամ այլ եղանակներ:
Ամենապարզ անհավասարությունները լուծվում են երկու եղանակով՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը կամ գրաֆիկորեն։
Թողf(x
հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից է։ Անհավասարությունը լուծելու համար 
բավական է դրա լուծումը գտնել մեկ ժամանակահատվածում, այսինքն. ցանկացած հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի ժամանակաշրջանինզ
x
. Այնուհետև կգտնվի սկզբնական անհավասարության լուծումըx
, ինչպես նաև այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակահատվածներով հայտնաբերված արժեքներից: Այս դեպքում հարմար է օգտագործել գրաֆիկական մեթոդը։
Բերենք անհավասարությունների լուծման ալգորիթմի օրինակ 
(
) Եվ 
.
Անհավասարությունը լուծելու ալգորիթմ (
).
1. Ձևակերպի՛ր թվի սինուսի սահմանումըx միավորի շրջանակի վրա:
3. y առանցքի վրա կոորդինատով կետ նշիրա .
4. Այս կետով OX առանցքին զուգահեռ գիծ գծեք և նրա հատման կետերը նշեք շրջանագծի հետ։
5. Ընտրի՛ր շրջանագծի մի աղեղ, որի բոլոր կետերն ունեն օրդինատից փոքրա .
6. Նշեք շրջանցման ուղղությունը (ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ) և գրեք պատասխանը՝ ֆունկցիայի պարբերությունը ավելացնելով միջակայքի ծայրերին.2πn
,
.
Անհավասարությունը լուծելու ալգորիթմ .
1. Ձևակերպի՛ր թվի շոշափողի սահմանումըx միավորի շրջանակի վրա:
2. Գծե՛ք միավոր շրջան:
3. Գծի՛ր շոշափողների գիծ և դրա վրա մի կետ նշի՛ր օրդինատովա .
4. Այս կետը միացրեք սկզբնակետին և ստացված հատվածի հատման կետը նշեք միավոր շրջանագծի հետ։
5. Ընտրեք շրջանագծի մի աղեղ, որի բոլոր կետերը շոշափող ուղղի վրա ունեն օրդինատ, որը փոքր է.ա .
6. Նշեք անցման ուղղությունը և գրեք պատասխանը՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի շրջանակը՝ ավելացնելով կետ.pn
,
(մուտքի ձախ կողմի համարը միշտ է թվից պակասկանգնած աջ կողմում):
Անհավասարությունների լուծման պարզագույն հավասարումների և բանաձևերի լուծումների գրաֆիկական մեկնաբանություն ընդհանուր տեսարաննշված է հավելվածում (Հավելվածներ 1 և 2):
Օրինակ 1
Լուծե՛ք անհավասարությունը 
.
Միավոր շրջանագծի վրա գիծ գծեք 
, որը հատում է շրջանագիծը A և B կետերում:
Բոլոր արժեքներըy
ընդմիջման վրա NM ավելին
, AMB աղեղի բոլոր կետերը բավարարում են այս անհավասարությունը։ Պտտման բոլոր անկյուններում, մեծ 
, բայց ավելի փոքր 
,
կընդունի ավելի մեծ արժեքներ, քան
(բայց ոչ ավելի, քան մեկ):
Նկ.1
Այսպիսով, անհավասարության լուծումը կլինի բոլոր արժեքները միջակայքում 
, այսինքն. 
. Այս անհավասարության բոլոր լուծումները ստանալու համար բավական է ավելացնել այս միջակայքի ծայրերը 
, Որտեղ 
, այսինքն. 
,
.
Նշենք, որ արժեքները 
Եվ 
հավասարման արմատներն են 
,
դրանք. 
;
.
Պատասխան. 
, .
1.2. Գրաֆիկական մեթոդ
Գործնականում հաճախ օգտակար է եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդը: Դիտարկենք մեթոդի էությունը անհավասարության օրինակով 
:
1. Եթե փաստարկը բարդ է (տարբերX ), այնուհետև այն փոխարինում ենքտ .
2. Մենք կառուցում ենք մեկում կոորդինատային հարթություն
toOy
ֆունկցիայի գրաֆիկներ 
Եվ 
.
3. Մենք գտնում ենք այդպիսինգրաֆիկների հատման երկու հարակից կետեր, որոնց միջևսինուսոիդգտնվում էավելի բարձր
ուղիղ . Գտե՛ք այս կետերի աբսցիսները:
4. Փաստարկի համար գրի՛ր կրկնակի անհավասարությունտ հաշվի առնելով կոսինուսի ժամանակաշրջանը (տ կլինի գտնված աբսցիսների միջև):
5. Կատարեք հակադարձ փոխարինում (վերադառնալ սկզբնական փաստարկին) և արտահայտեք արժեքըX կրկնակի անհավասարությունից պատասխանը գրում ենք որպես թվային միջակայք։
Օրինակ 2 Լուծե՛ք անհավասարությունը.
Անհավասարությունները գրաֆիկական մեթոդով լուծելիս անհրաժեշտ է հնարավորինս ճշգրիտ կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Անհավասարությունը փոխակերպենք ձևի.
Եկեք կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում 
Եվ 
(նկ. 2):
Նկ.2
Ֆունկցիայի գրաֆիկները հատվում են մի կետումԱ
կոորդինատներով 
; 
. Միջեւ 
գրաֆիկի կետերը 
գծապատկերի կետերից ցածր 
. Եւ երբ ֆունկցիայի արժեքները նույնն են. Ահա թե ինչու ժամը 
.
Պատասխան. 
.
1.3. Հանրահաշվական մեթոդ
Շատ հաճախ, սկզբնական եռանկյունաչափական անհավասարությունը, ճիշտ ընտրված փոխարինմամբ, կարող է կրճատվել հանրահաշվական (ռացիոնալ կամ իռացիոնալ) անհավասարության: Այս մեթոդը ներառում է անհավասարության վերափոխում, փոխարինում կամ փոփոխականի փոխարինում:
Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը կոնկրետ օրինակների վրա։
Օրինակ 3
Կրճատում ամենապարզ ձևին 
.
(նկ. 3)
Նկ.3
, 
.
Պատասխան. 
,
Օրինակ 4 Լուծե՛ք անհավասարությունը.
ՕՁ: 
, 
.
Օգտագործելով բանաձևեր. 
, 
անհավասարությունը գրում ենք ձևով. 
.
Կամ, ենթադրելով 
պարզ փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք
,
,
.
Վերջին անհավասարությունը ինտերվալ մեթոդով լուծելով՝ ստանում ենք.
Նկ.4
, համապատասխանաբար 
. Այնուհետև Նկ. 4 հետևում է 
, Որտեղ 
.
Նկ.5
Պատասխան. 
, 
.
1.4. Տարածության մեթոդ
Եռանկյունաչափական անհավասարությունները ինտերվալային մեթոդով լուծելու ընդհանուր սխեման.
Օգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևեր, ֆակտորիզացրեք:
Գտե՛ք ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը և զրոները, դրե՛ք դրանք շրջանագծի վրա։
Վերցրեք ցանկացած կետTO (բայց ավելի վաղ չի հայտնաբերվել) և պարզել ապրանքի նշանը: Եթե արդյունքը դրական է, ապա անկյունին համապատասխանող ճառագայթի վրա կետ դրեք միավորի շրջանակից դուրս: Հակառակ դեպքում կետը դրեք շրջանակի ներսում:
Եթե մի կետ առաջանում է զույգ թվով անգամ, մենք այն անվանում ենք զույգ բազմակի կետ, եթե կենտ թվով անգամ՝ մենք այն անվանում ենք կենտ բազմակի կետ: Նկարել աղեղները հետևյալ կերպ՝ սկսել կետիցTO , եթե հաջորդ կետը կենտ բազմապատիկ է, ապա աղեղն այս կետում հատում է շրջանագիծը, իսկ եթե կետը զույգ բազմակի է, ապա այն չի հատվում։
Շրջանի հետևում գտնվող կամարները դրական բացեր են. շրջանակի ներսում կան բացասական բացեր:
Օրինակ 5 Լուծե՛ք անհավասարությունը
, 
.
Առաջին շարքի կետերը. 
.
Երկրորդ շարքի կետերը. 
.
Յուրաքանչյուր կետ հանդիպում է կենտ թվով անգամ, այսինքն՝ կենտ բազմակի բոլոր կետերը:
Իմացեք ապրանքի նշանը այստեղ 
: Մենք նշում ենք միավոր շրջանագծի բոլոր կետերը (նկ. 6).
Բրինձ. 6
Պատասխան. 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Օրինակ 6 . Լուծե՛ք անհավասարությունը.
Լուծում:
Գտնենք արտահայտության զրոները .
Ստացեքաեմ :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Միավոր շրջանագծի վրա՝ շարքի արժեքներըX
1
ներկայացված են կետերով 
. ՍերիաX
2
միավորներ է տալիս 
. Մի շարքX
3
մենք ստանում ենք երկու միավոր 
. Վերջապես մի շարքX
4
միավորներ կներկայացնի 
. Այս բոլոր կետերը դնում ենք միավոր շրջանագծի վրա՝ փակագծերում նշելով դրա յուրաքանչյուր բազմակի կողքին։
Հիմա թող համարը 
հավասար կլինի. Մենք գնահատում ենք նշանով.
Այսպիսով, կետըԱ
պետք է ընտրվի անկյունը ձևավորող ճառագայթի վրա 
ճառագայթովՕ,
միավորի շրջանակից դուրս: (Նշեք, որ օժանդակ ճառագայթըՄԱՍԻՆ
Ա
Պարտադիր չէ, որ այն ցուցադրվի նկարում: ԿետԱ
ընտրված է մոտավորապես։)
Հիմա կետիցԱ
բոլոր նշված կետերին հաջորդաբար գծում ենք ալիքաձև շարունակական գիծ։ Եվ կետերում մեր գիծն անցնում է մի շրջանից մյուսը. եթե այն գտնվում էր միավորի շրջանակից դուրս, ապա այն անցնում է դրա մեջ: Մոտենալով կետին 
, գիծը վերադառնում է ներքին շրջան, քանի որ այս կետի բազմապատիկը հավասար է։ Նմանապես կետում 
(զույգ բազմակիությամբ) գիծը պետք է պտտվի դեպի արտաքին շրջան: Այսպիսով, մենք նկարեցինք որոշակի նկար, որը պատկերված է Նկ. 7. Այն օգնում է ընդգծել ցանկալի տարածքները միավորի շրջանակի վրա: Դրանք նշվում են «+» նշանով:
Նկ.7
Վերջնական պատասխան.
Նշում. Եթե ալիքաձև գիծը, միավոր շրջանագծի վրա նշված բոլոր կետերը հատելուց հետո, չի կարող վերադարձվել կետԱ , առանց շրջանագիծը «ապօրինի» տեղում հատելու, սա նշանակում է, որ լուծման մեջ սխալ է թույլ տրվել, մասնավորապես՝ կենտ թվով արմատներ են բաց թողնվել:
Պատասխանել: .
§2. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջադրանքների մի շարք
Դպրոցականների եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու կարողության զարգացման գործընթացում կարելի է առանձնացնել նաև 3 փուլ.
1. նախապատրաստական,
2. ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու հմտությունների ձևավորում.
3. այլ տեսակների եռանկյունաչափական անհավասարությունների ներդրում.
Նախապատրաստական փուլի նպատակն այն է, որ դպրոցականների մոտ անհրաժեշտ է ձևավորել անհավասարությունները լուծելու համար եռանկյունաչափական շրջան կամ գրաֆիկ օգտագործելու ունակություն, մասնավորապես.
Ձևի պարզ անհավասարություններ լուծելու ունակություն ,
, ,
,
օգտագործելով սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների հատկությունները.
Թվային շրջանագծի կամ ֆունկցիաների գրաֆիկների կամարների համար կրկնակի անհավասարումներ անելու ունակություն.
Եռանկյունաչափական արտահայտությունների տարբեր փոխակերպումներ կատարելու ունակություն:
Առաջարկվում է այս փուլն իրականացնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների մասին դպրոցականների գիտելիքների համակարգման գործընթացում։ Հիմնական միջոցները կարող են լինել ուսանողներին առաջարկվող առաջադրանքները և կատարվող կամ ուսուցչի ղեկավարությամբ կամ ինքնուրույն, ինչպես նաև եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հմտությունները:
Ահա այսպիսի առաջադրանքների օրինակներ.
1
. Նշեք միավոր շրջանագծի վրա կետ 
, Եթե
.
2.
Կոորդինատային հարթության որ քառորդում է գտնվում կետը , Եթե 
հավասար է. 
3.
Նշեք կետերը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա , Եթե:
4. Արտահայտությունը բերեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներինԻքառորդներ.
Ա) 
,
բ) 
,
V) 
5. Հաշվի առնելով աղեղը MR.Մ - միջինԻեռամսյակ,Ռ - միջինIIեռամսյակ. Սահմանափակել փոփոխականի արժեքըտ համար՝ (կազմել կրկնակի անհավասարություն) ա) աղեղ MP; բ) RM աղեղներ.
6. Գրաֆիկի ընտրված հատվածների համար գրեք կրկնակի անհավասարություն.
Բրինձ. 1
7.
Լուծել անհավասարություններ 
, 
, 
, 
.
8. Փոխակերպել արտահայտությունը .
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուսուցման երկրորդ փուլում մենք կարող ենք առաջարկել ուսանողների գործունեության կազմակերպման մեթոդաբանության հետ կապված հետևյալ առաջարկությունները. Միաժամանակ անհրաժեշտ է կենտրոնանալ ուսանողների՝ եռանկյունաչափական շրջանագծի կամ գրաֆիկի հետ աշխատելու հմտությունների վրա, որոնք գոյանում են ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ։
Նախ, կարելի է հիմնավորել ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ընդհանուր մեթոդի ստացման նպատակահարմարությունը՝ հղում անելով, օրինակ, ձևի անհավասարությանը. 
.
Օգտագործելով ձեռք բերված գիտելիքները և հմտությունները նախապատրաստական փուլ, ուսանողները կբերեն առաջարկվող անհավասարությունը ձևի 
, բայց կարող է դժվարանալ առաջացած անհավասարության լուծումների մի շարք գտնել, քանի որ անհնար է լուծել այն միայն օգտագործելով սինուսային ֆունկցիայի հատկությունները։ Այս դժվարությունից կարելի է խուսափել՝ հղում կատարելով համապատասխան նկարազարդմանը (հավասարման լուծումը գրաֆիկորեն կամ օգտագործելով միավոր շրջան)։
Երկրորդ՝ ուսուցիչը պետք է ուսանողների ուշադրությունը հրավիրի առաջադրանքը կատարելու տարբեր եղանակների վրա, անհավասարությունը լուծելու համապատասխան օրինակ բերի թե՛ գրաֆիկական, թե՛ եռանկյունաչափական շրջանագծի միջոցով։
Դիտարկենք անհավասարությունը լուծելու այսպիսի տարբերակներ .
1. Անհավասարության լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջին դասում մենք ուսանողներին կառաջարկենք լուծման մանրամասն ալգորիթմ, որը քայլ առ քայլ ներկայացման մեջ արտացոլում է անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ բոլոր հիմնական հմտությունները:
Քայլ 1.Գծի՛ր միավոր շրջան, նշի՛ր y առանցքի վրա կետ 
և դրա միջով ուղիղ գիծ գծիր x առանցքին զուգահեռ: Այս ուղիղը կհատի միավորի շրջանագիծը երկու կետով: Այս կետերից յուրաքանչյուրը պատկերում է թվեր, որոնց սինուսը հավասար է .
Քայլ 2Այս ուղիղ գիծը շրջանը բաժանեց երկու կամարի։ Առանձնացնենք այն մեկը, որի վրա ցուցադրված են թվեր, որոնք ունեն ավելի մեծ սինուս . Բնականաբար, այս աղեղը գտնվում է գծված ուղիղ գծի վերևում։
Բրինձ. 2
Քայլ 3Ընտրենք նշված աղեղի ծայրերից մեկը։ Գրենք թվերից մեկը, որը ներկայացված է միավոր շրջանագծի այս կետով 
.
Քայլ 4Ընտրված աղեղի երկրորդ ծայրին համապատասխան թիվ ընտրելու համար այս կամարի երկայնքով «անցնում ենք» անվանված ծայրից մյուսը։ Միևնույն ժամանակ հիշեցնում ենք, որ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժվելիս մեծանում են այն թվերը, որոնցով մենք անցնելու ենք (հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս թվերը կնվազեն)։ Գրենք այն թիվը, որը պատկերված է միավոր շրջանագծի վրա նշված աղեղի երկրորդ ծայրով 
.
Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ անհավասարությունը բավարարում են այն թվերը, որոնց համար անհավասարությունը 
. Մենք լուծեցինք սինուսային ֆունկցիայի նույն պարբերության վրա գտնվող թվերի անհավասարությունը: Հետևաբար անհավասարության բոլոր լուծումները կարելի է գրել այսպես 
Ուսանողներին պետք է խնդրել ուշադիր դիտարկել պատկերը և պարզել, թե ինչու են անհավասարության բոլոր լուծումները կարելի է գրել ձևով 
, 
.
Բրինձ. 3
Աշակերտների ուշադրությունը պետք է հրավիրել այն փաստի վրա, որ կոսինուս ֆունկցիայի անհավասարություններ լուծելիս մենք y-ի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ ենք գծում։
Անհավասարությունը լուծելու գրաֆիկական եղանակ.
Շինությունների գծապատկերներ 
Եվ 
, հաշվի առնելով, որ 
.
Բրինձ. 4
Այնուհետև գրում ենք հավասարումը 
և նրա որոշումը 
, 
, 
, հայտնաբերվել է բանաձևերի միջոցով 
, 
, 
.
(Տալn
արժեքները 0, 1, 2, մենք գտնում ենք կազմված հավասարման երեք արմատ): Արժեքներ 
գրաֆիկների հատման կետերի երեք հաջորդական աբսցիսներ են Եվ . Ակնհայտ է, որ միշտ ընդմիջումով 
անհավասարությունը 
, և ընդմիջման վրա 
- անհավասարություն 
. Մեզ հետաքրքրում է առաջին դեպքը, այնուհետև այս միջակայքի ծայրերին ավելացնելով մի թիվ, որը սինուսի պարբերության բազմապատիկն է, մենք ստանում ենք անհավասարության լուծում. որպես: 
, .
Բրինձ. 5
Ամփոփել. Անհավասարությունը լուծելու համար , անհրաժեշտ է գրել համապատասխան հավասարումը և լուծել այն։ Ստացված բանաձեւից գտե՛ք արմատները 
Եվ 
, և անհավասարության պատասխանը գրի՛ր ձևով. , .
Երրորդ, համապատասխան եռանկյունաչափական անհավասարության արմատների բազմության մասին փաստը շատ հստակորեն հաստատվում է այն գրաֆիկորեն լուծելիս։
Բրինձ. 6
Աշակերտներին անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ կծիկը, որը անհավասարության լուծումն է, կրկնվում է նույն ընդմիջումով, որը հավասար է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերությանը: Կարող եք նաև դիտարկել նմանատիպ նկարազարդում սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկի համար:
Չորրորդ, նպատակահարմար է կատարել աշխատանք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) արտադրյալի վերածելու ուսանողների մեթոդների թարմացման ուղղությամբ, դպրոցականների ուշադրությունը հրավիրել այս տեխնիկայի դերին եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործում:
Նման աշխատանք կարելի է կազմակերպել սովորողների կողմից ուսուցչի առաջադրած առաջադրանքների ինքնուրույն կատարման միջոցով, որոնցից առանձնացնում ենք հետևյալը.
Հինգերորդ, ուսանողներից պետք է պահանջվի նկարազարդել յուրաքանչյուր պարզ եռանկյունաչափական անհավասարության լուծումը՝ օգտագործելով գրաֆիկ կամ եռանկյունաչափական շրջան: Անպայման ուշադրություն դարձրեք դրա նպատակահարմարությանը, հատկապես շրջանագծի օգտագործմանը, քանի որ եռանկյունաչափական անհավասարություններ լուծելիս համապատասխան նկարազարդումը ծառայում է որպես տվյալ անհավասարության լուծումների բազմությունը ամրագրելու շատ հարմար միջոց։
Ուսանողների ծանոթությունը եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդներին, որոնք ամենապարզը չեն, խորհուրդ է տրվում իրականացնել հետևյալ սխեմայի համաձայն. գտնված տեխնիկայի փոխանցումը նույն տեսակի այլ անհավասարություններին:
Եռանկյունաչափության մասին ուսանողների գիտելիքները համակարգելու համար խորհուրդ ենք տալիս հատուկ ընտրել այնպիսի անհավասարություններ, որոնց լուծումը պահանջում է տարբեր փոխակերպումներ, որոնք կարող են իրականացվել դրա լուծման գործընթացում՝ կենտրոնացնելով ուսանողների ուշադրությունը դրանց առանձնահատկությունների վրա:
Որպես այդպիսի արտադրողական անհավասարություններ, մենք կարող ենք առաջարկել, օրինակ, հետևյալը.
Եզրափակելով, մենք տալիս ենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման խնդիրների մի շարք օրինակ:
1. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
2. Լուծե՛ք անհավասարությունները. 3. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները. 4. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները.Ա) 
, բավարարելով պայմանը 
;
բ) 
, բավարարելով պայմանը 
.
5. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները.
Ա) ;
բ) ;
V) 
;
է) 
;
ե) 
.
6. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) ;
բ) ;
V) ;
է) 
;
ե) ;
ե) ;
և) 
.
7. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) 
;
բ) ;
V) ;
G) .
8. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) ;
բ) ;
V) ;
է) 
;
ե) 
;
ե) ;
և) 
;
ը) .
Ցանկալի է 6 և 7 առաջադրանքները առաջարկել մաթեմատիկա բարձր մակարդակով սովորող ուսանողներին, առաջադրանք 8՝ մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ դասարանների ուսանողներին:
§3. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հատուկ մեթոդներ
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հատուկ մեթոդներ - այսինքն այն մեթոդները, որոնք կարող են օգտագործվել միայն եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար: Այս մեթոդները հիմնված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների, ինչպես նաև տարբեր եռանկյունաչափական բանաձևերի և նույնականությունների օգտագործման վրա։
3.1. Ոլորտի մեթոդ
Դիտարկենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման սեկտորի մեթոդը: Ձևի անհավասարությունների լուծում 
, ՈրտեղՊ
(
x
)
ԵվՔ
(
x
)
- ռացիոնալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (սինուսները, կոսինուսները, տանգենսները և կոտանգենսները դրանց մեջ մտնում են ռացիոնալ կերպով), ինչպես ռացիոնալ անհավասարությունների լուծմանը: Հարմար է ռացիոնալ անհավասարությունները լուծել իրական առանցքի վրա ինտերվալների մեթոդով։ Ռացիոնալ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելիս դրա անալոգը եռանկյունաչափական շրջանի հատվածների մեթոդն է,sinx
Եվcosx
(
) կամ եռանկյունաչափական կիսաշրջանի համարtgx
Եվctgx
(
).
Ինտերվալ մեթոդում՝ ձևի համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր գծային գործակից 
կետ թվային առանցքի վրա 
, և այս կետով անցնելիս փոխում է նշանը. Սեկտորային մեթոդում՝ ձևի յուրաքանչյուր բազմապատկիչ 
, Որտեղ 
- գործառույթներից մեկըsinx
կամcosx
Եվ 
, եռանկյունաչափական շրջանագծի մեջ համապատասխանում են երկու անկյուն 
Եվ 
, որոնք շրջանակը բաժանում են երկու հատվածի։ Անցնելիս Եվ ֆունկցիան փոխում է նշանը.
Պետք է հիշել հետևյալը.
ա) Ձևի բազմապատկիչներ 
Եվ 
, Որտեղ 
, պահպանել նշանը բոլոր արժեքների համար 
. Համարի և հայտարարի նման բազմապատկիչները հանվում են՝ փոխվելով (եթե 
) յուրաքանչյուր այդպիսի մերժման համար անհավասարության նշանը հակադարձվում է:
բ) Ձևի բազմապատկիչներ 
Եվ 
նույնպես դեն են նետվում: Ընդ որում, եթե դրանք հայտարարի գործոններ են, ապա անհավասարությունների համարժեք համակարգին ավելացվում են ձևի անհավասարություններ. 
Եվ 
. Եթե սրանք համարիչի գործոններ են, ապա սահմանափակումների համարժեք համակարգում դրանք համապատասխանում են անհավասարություններին. Եվ խիստ սկզբնական անհավասարության դեպքում և հավասարություն 
Եվ 
ոչ խիստ սկզբնական անհավասարության դեպքում. Բազմապատկիչը գցելիս 
կամ 
անհավասարության նշանը հակադարձվում է.
Օրինակ 1
Լուծել անհավասարություններ. ա) 
, բ) 
.
մենք ունենք ֆունկցիա, բ). Լուծե՛ք մեր ունեցած անհավասարությունը
3.2. Համակենտրոն շրջանի մեթոդ
Այս մեթոդը նման է ռացիոնալ անհավասարությունների համակարգերի լուծման զուգահեռ թվային առանցքների մեթոդին:
Դիտարկենք անհավասարությունների համակարգի օրինակ:
Օրինակ 5
Լուծե՛ք պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների համակարգ 
Նախ, մենք յուրաքանչյուր անհավասարություն լուծում ենք առանձին (Նկար 5): Նկարի վերին աջ անկյունում կնշենք, թե որ արգումենտի համար է դիտարկվում եռանկյունաչափական շրջանագիծը։
Նկ.5
Հաջորդը, մենք կառուցում ենք համակենտրոն շրջանակների համակարգ փաստարկի համարX . Շրջանագիծ ենք գծում և ստվերում ենք այն ըստ առաջին անհավասարության լուծմանը, այնուհետև ավելի մեծ շառավղով շրջան ենք գծում և ստվերում ենք ըստ երկրորդի լուծման, այնուհետև երրորդ անհավասարության համար շրջան ենք կառուցում և բազային շրջան։ . Մենք համակարգի կենտրոնից ճառագայթներ ենք գծում աղեղների ծայրերով, որպեսզի նրանք հատեն բոլոր շրջանակները: Հիմքի շրջանագծի վրա լուծում ենք կազմում (Նկար 6):
Նկ.6
Պատասխան.
, 
.
Եզրակացություն
Դասընթացի բոլոր նպատակներն ավարտվեցին: Տեսական նյութը համակարգված է՝ տրված են եռանկյունաչափական անհավասարությունների հիմնական տեսակները և դրանց լուծման հիմնական մեթոդները (գրաֆիկական, հանրահաշվական, ինտերվալների մեթոդ, հատվածներ և համակենտրոն շրջանների մեթոդ)։ Յուրաքանչյուր մեթոդի համար տրվել է անհավասարության լուծման օրինակ: Տեսական մասին հաջորդեց գործնական մասը։ Այն պարունակում է եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջադրանքների մի շարք։
Այս դասընթացը կարող է օգտագործվել ուսանողների կողմից ինքնուրույն աշխատանքի համար: Ուսանողները կարող են ստուգել այս թեմայի յուրացման մակարդակը, վարժվել տարբեր բարդության առաջադրանքների կատարման մեջ:
Աշխատելով այս հարցի վերաբերյալ համապատասխան գրականությամբ, ակնհայտորեն, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու կարողությունն ու հմտությունները և վերլուծության սկիզբը շատ կարևոր են, որոնց զարգացումը զգալի ջանքեր է պահանջում: մաթեմատիկայի ուսուցչուհին։
Ահա թե ինչու այս աշխատանքըօգտակար կլինի մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար, քանի որ հնարավորություն է տալիս արդյունավետ կազմակերպել ուսանողների վերապատրաստումը «Եռանկյունաչափական անհավասարություններ» թեմայով:
Ուսումնասիրությունը կարող է շարունակվել՝ ընդլայնելով այն մինչև վերջնական որակավորման աշխատանքը.
Օգտագործված գրականության ցանկ
Բոգոմոլով, Ն.Վ. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու [Տեքստ] / Ն.Վ. Բոգոմոլովը. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.
Վիգոդսկի, Մ.Յա. Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ [Տեքստ] / Մ.Յա. Վիգոդսկին. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.
Ժուրբենկոն, Լ.Ն. Մաթեմատիկան օրինակներով և առաջադրանքներում [Տեքստ] / L.N. Ժուրբենկո. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.
Իվանով, Օ.Ա. Տարրական մաթեմատիկա դպրոցականների, ուսանողների և ուսուցիչների համար [Text] / O.A. Իվանովը։ – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.
Կարպ, Ա.Պ. Հանրահաշվի առաջադրանքներ և վերլուծության սկիզբ 11-րդ դասարանում վերջնական կրկնության և հավաստագրման կազմակերպման համար [Տեքստ] / Ա.Պ. Կարպ. – Մ.: Լուսավորություն, 2005. – 79 էջ.
Կուլանինը, Է.Դ. 3000 մրցակցային խնդիրներ մաթեմատիկայի մեջ [Text] / E.D. Կուլանինը։ – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.
Լեյբսոն, Կ.Լ. Մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքների ժողովածու [Text] / K.L. Լեյբսոն. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.
Անկյուն, Վ.Վ. Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ և դրանց լուծում: Եռանկյունաչափություն՝ հավասարումներ, անհավասարություններ, համակարգեր։ Դասարան 10 [Տեքստ] / V.V. Անկյուն. – Մ.: ԱՐԿՏԻ, 2008. – 64 էջ.
Մանովա, Ա.Ն. Մաթեմատիկա. Էքսպրես դաստիարակ՝ քննությանը պատրաստվելու համար՝ հաշիվ. նպաստ [Text] / A.N. Մանովա. - Դոնի Ռոստով: Ֆենիքս, 2012. - 541 էջ.
Մորդկովիչ, Ա.Գ. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ. 10-11 դասարաններ. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար [Տեքստ] / Ա.Գ. Մորդկովիչ. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.
Նովիկով, Ա.Ի. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հավասարումներ և անհավասարություններ [Text] / A.I. Նովիկովը։ - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 p.
Օգանեսյան, Վ.Ա. Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդները միջնակարգ դպրոցում. Ընդհանուր մեթոդիկա. Պրոց. նպաստ ֆիզիկայի ուսանողների համար. - գորգ. կեղծ. պեդ. ընկերակից. [Տեքստ] / Վ.Ա. Օգանեսյանը։ – Մ.: Լուսավորություն, 2006. – 368 էջ.
Օլեչնիկ, Ս.Ն. Հավասարումներ և անհավասարություններ. Ոչ ստանդարտ լուծման մեթոդներ [Text] / S.N. Օլեխնիկ. - M .: Publishing House Factorial, 1997. - 219 էջ.
Սևրյուկովը, Պ.Ֆ. Եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ [Տեքստ] / Պ.Ֆ. Սևրյուկով. – Մ.: Ազգային կրթություն, 2008. – 352 էջ.
Սերգեև, Ի.Ն. ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ. 1000 առաջադրանք պատասխաններով և լուծումներով մաթեմատիկայից: C խմբի բոլոր առաջադրանքները [Text] / I.N. Սերգեև. – Մ.: Քննություն, 2012. – 301 էջ.
Սոբոլևը, Ա.Բ. Տարրական մաթեմատիկա [Տեքստ] / Ա.Բ. Սոբոլևը. - Եկատերինբուրգ: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 p.
Ֆենկոն, Լ.Մ. Անհավասարությունների լուծման և ֆունկցիաների ուսումնասիրման միջակայքերի մեթոդը [Text] / L.M. Ֆենկո. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.
Ֆրիդմանը, Լ.Մ. Տեսական հիմքՄաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդներ [Տեքստ] / Լ.Մ. Ֆրիդման. - Մ .: Գրքի տուն «LIBROKOM», 2009. - 248 էջ.
Հավելված 1
Ամենապարզ անհավասարությունների լուծումների գրաֆիկական մեկնաբանություն
Բրինձ. 1
Բրինձ. 2
Նկ.3
Նկ.4
Նկ.5
Նկ.6
Նկ.7
Նկ.8
Հավելված 2
Ամենապարզ անհավասարությունների լուծումները
Վրա գործնական դասմենք կկրկնենք առաջադրանքների հիմնական տեսակները «Եռանկյունաչափություն» թեմայից, մենք լրացուցիչ կվերլուծենք ավելացած բարդության խնդիրները և կդիտարկենք տարբեր եռանկյունաչափական անհավասարությունների և դրանց համակարգերի լուծման օրինակներ:
Այս դասը կօգնի ձեզ նախապատրաստվել B5, B7, C1 և C3 առաջադրանքներից մեկին:
Եկեք սկսենք կրկնելով առաջադրանքների հիմնական տեսակները, որոնք մենք վերանայել ենք Եռանկյունաչափություն թեմայում և լուծենք մի քանի ոչ ստանդարտ առաջադրանքներ:
Առաջադրանք թիվ 1. Անկյունները դարձրեք ռադիանների և աստիճանների. ա) ; բ) .
ա) Օգտագործեք աստիճանները ռադիանի փոխարկելու բանաձևը
Տրված արժեքը փոխարինիր դրան:
բ) Կիրառել ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևը
Կատարենք փոխարինումը 
.
Պատասխանել. Ա) ; բ) .
Առաջադրանք թիվ 2. Հաշվիր՝ ա) ; բ) .
ա) Քանի որ անկյունը աղյուսակից շատ այն կողմ է, մենք նվազեցնում ենք այն՝ հանելով սինուսի պարբերությունը: Որովհետեւ անկյունը տրված է ռադիաններով, ապա կետը կհամարվի որպես .
բ) Այս դեպքում իրավիճակը նման է. Քանի որ անկյունը նշված է աստիճաններով, ապա շոշափողի պարբերությունը կդիտարկենք որպես .
Ստացված անկյունը, թեև ժամկետից փոքր է, բայց ավելի մեծ է, ինչը նշանակում է, որ այն այլևս վերաբերում է ոչ թե հիմնական, այլ աղյուսակի ընդլայնված հատվածին։ Որպեսզի ևս մեկ անգամ չմարզենք մեր հիշողությունը՝ մտապահելով եռաֆունկցիայի արժեքների ընդլայնված աղյուսակը, մենք նորից հանում ենք շոշափող պարբերությունը.
Մենք օգտվեցինք շոշափող ֆունկցիայի տարօրինակությունից։
Պատասխանել. ա) 1; բ) .
Առաջադրանք թիվ 3. Հաշվիր 
, Եթե .
Ամբողջ արտահայտությունը բերում ենք շոշափողներին՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով . Միևնույն ժամանակ, մենք չենք կարող վախենալ դրանից, քանի որ այս դեպքում շոշափողի արժեքը գոյություն չի ունենա:
Առաջադրանք թիվ 4. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Նշված արտահայտությունները փոխակերպվում են ձուլման բանաձևերի միջոցով: Պարզապես դրանք անսովոր կերպով են գրված՝ օգտագործելով աստիճաններ։ Առաջին արտահայտությունը ընդհանուր առմամբ թիվ է: Հերթով պարզեցրեք բոլոր եռաֆունկցիաները.
Որովհետեւ , ապա ֆունկցիան փոխվում է համակցվածի, այսինքն. դեպի կոտանգենս, իսկ անկյունը ընկնում է երկրորդ քառորդի մեջ, որի սկզբնական շոշափողի նշանը բացասական է։
Նույն պատճառներով, ինչ նախորդ արտահայտության մեջ, ֆունկցիան փոխվում է համակցվածի, այսինքն. դեպի կոտանգենս, իսկ անկյունը ընկնում է առաջին քառորդի մեջ, որի սկզբնական շոշափողը դրական նշան ունի։
Ամեն ինչ փոխարինելով պարզեցված արտահայտությամբ.
Առաջադրանք թիվ 5. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Գրենք կրկնակի անկյան շոշափողն ըստ համապատասխան բանաձեւի և պարզեցնենք արտահայտությունը.
Վերջին նույնականությունը կոսինուսի փոխարինման ունիվերսալ բանաձևերից մեկն է:
Առաջադրանք թիվ 6. Հաշվիր.
Հիմնական բանը չէ ստանդարտ սխալև չտալ այն պատասխանը, որ արտահայտությունը հավասար է . Անհնար է օգտագործել աղեղի շոշափողի հիմնական հատկությունը, մինչդեռ նրա մոտ երկուսի տեսքով գործակից կա: Դրանից ազատվելու համար արտահայտությունը գրում ենք կրկնակի անկյան շոշափողի բանաձեւով, մինչդեռ այն վերաբերվում ենք որպես սովորական փաստարկի։
Այժմ արդեն հնարավոր է կիրառել աղեղի շոշափողի հիմնական հատկությունը, հիշեք, որ դրա թվային արդյունքի վրա սահմանափակումներ չկան։
Առաջադրանք թիվ 7. Լուծե՛ք հավասարումը.
զրոյի հավասարվող կոտորակային հավասարումը լուծելիս միշտ նշվում է, որ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը՝ ոչ, քանի որ. չես կարող զրոյի բաժանել.
Առաջին հավասարումը ամենապարզ հավասարման հատուկ դեպքն է, որը լուծվում է եռանկյունաչափական շրջանագծի միջոցով։ Մտածեք այս լուծման մասին ինքներդ: Երկրորդ անհավասարությունը լուծվում է որպես ամենապարզ հավասարում, օգտագործելով շոշափողի արմատների ընդհանուր բանաձևը, բայց միայն ոչ հավասար նշանով:
Ինչպես տեսնում ենք, արմատների մի ընտանիքը բացառում է մեկ այլ արմատների նույն ընտանիքը, որոնք չեն բավարարում հավասարմանը: Նրանք. արմատներ չկան.
Պատասխանել. Արմատներ չկան։
Առաջադրանք թիվ 8. Լուծե՛ք հավասարումը.
Անմիջապես նշեք, որ դուք կարող եք հանել ընդհանուր գործոնը և դա անել.
Հավասարումը վերածվել է ստանդարտ ձևերից մեկի, երբ մի քանի գործակիցների արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Մենք արդեն գիտենք, որ այս դեպքում կա՛մ մեկը հավասար է զրոյի, կա՛մ մյուսը, կա՛մ երրորդը։ Մենք սա գրում ենք որպես հավասարումների մի շարք.
Առաջին երկու հավասարումները ամենապարզների հատուկ դեպքերն են, մենք արդեն բազմիցս հանդիպել ենք նմանատիպ հավասարումների, ուստի անմիջապես կնշենք դրանց լուծումները։ Երրորդ հավասարումը կրճատում ենք մեկ ֆունկցիայի՝ օգտագործելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը:
Առանձին-առանձին լուծենք վերջին հավասարումը.
Այս հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ սինուսի արժեքը չի կարող գերազանցել 
.
Այսպիսով, միայն արմատների առաջին երկու ընտանիքներն են լուծում, դրանք կարելի է միավորել մեկի մեջ, ինչը հեշտ է ցույց տալ եռանկյունաչափական շրջանակի վրա.
 |
Սա բոլոր կեսերից բաղկացած ընտանիք է, այսինքն.
Անցնենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծմանը։ Նախ, եկեք վերլուծենք առանց բանաձևերի օրինակի լուծման մոտեցումը ընդհանուր լուծումներ, բայց եռանկյունաչափական շրջանագծի օգնությամբ։
Առաջադրանք թիվ 9. Լուծե՛ք անհավասարությունը։
Օժանդակ գիծ գծե՛ք եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա, որը համապատասխանում է սինուսի արժեքին, որը հավասար է , և ցույց տվեք անհավասարությունը բավարարող անկյունների միջակայքը:
 |
Շատ կարևոր է ճիշտ հասկանալ, թե ինչպես կարելի է նշել ստացված անկյունային միջակայքը, այսինքն. որն է դրա սկիզբը և որն է նրա ավարտը: Բացքի սկիզբը կլինի այն կետին համապատասխանող անկյունը, որը մենք կմտնենք բացվածքի հենց սկզբում, եթե շարժվենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Մեր դեպքում սա այն կետն է, որը գտնվում է ձախ կողմում, քանի որ շարժվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և անցնելով ճիշտ կետը, ընդհակառակը, դուրս ենք գալիս անհրաժեշտ անկյունային միջակայքից։ Հետևաբար ճիշտ կետը կհամապատասխանի բացվածքի ավարտին:
Այժմ մենք պետք է հասկանանք անհավասարության լուծումների մեր բացթողման սկզբի և վերջի անկյունների արժեքները: Տիպիկ սխալ է անմիջապես նշել, որ ճիշտ կետը համապատասխանում է անկյունին, ձախին և տալ պատասխանը: Սա ճիշտ չէ! Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք հենց նոր նշել ենք շրջանագծի վերին հատվածին համապատասխան միջակայքը, թեև մեզ հետաքրքրում է ստորինը, այլ կերպ ասած՝ խառնել ենք մեզ անհրաժեշտ լուծումների միջակայքի սկիզբն ու վերջը։
Որպեսզի միջակայքը սկսվի աջ կետի անկյունից և ավարտվի ձախ կետի անկյունում, առաջին նշված անկյունը պետք է փոքր լինի երկրորդից: Դա անելու համար մենք պետք է չափենք ճիշտ կետի անկյունը բացասական հղման ուղղությամբ, այսինքն. ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և այն հավասար կլինի . Այնուհետև, դրանից սկսելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ դրական ուղղությամբ, մենք ձախ կետից հետո կհասնենք աջ կետին և կստանանք դրա անկյան արժեքը։ Այժմ անկյունների միջակայքի սկիզբը փոքր է ի վերջից, և մենք կարող ենք գրել լուծումների միջակայքը՝ առանց ժամանակաշրջանը հաշվի առնելու.
Հաշվի առնելով, որ նման ինտերվալները կկրկնվեն անվերջ թվով անգամներ ցանկացած ամբողջ թվով պտույտներից հետո, մենք ստանում ենք ընդհանուր լուծումը՝ հաշվի առնելով սինուսի պարբերությունը.
Կլոր փակագծեր ենք դնում, քանի որ անհավասարությունը խիստ է, և շրջանագծի վրա ծակում ենք այն կետերը, որոնք համապատասխանում են միջակայքի ծայրերին։
Համեմատե՛ք ձեր պատասխանը ընդհանուր լուծման բանաձևի հետ, որը մենք տվել ենք դասախոսության ժամանակ։
Պատասխանել. 
.
Այս մեթոդը լավ է հասկանալու համար, թե որտեղից են գալիս ամենապարզ եռանկյուն անհավասարությունների ընդհանուր լուծումների բանաձևերը: Բացի այդ, օգտակար է նրանց համար, ովքեր չափազանց ծույլ են սովորել այս բոլոր ծանր բանաձեւերը։ Այնուամենայնիվ, մեթոդն ինքնին նույնպես հեշտ չէ, ընտրեք, թե լուծման որ մոտեցումն է առավել հարմար ձեզ համար:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար կարող եք նաև օգտագործել ֆունկցիայի գծապատկերները, որոնց վրա կառուցված է օժանդակ գիծը, ինչպես ցույց տրված մեթոդը՝ օգտագործելով միավոր շրջանակը: Եթե հետաքրքրված եք, փորձեք ինքներդ հասկանալ լուծման այս մոտեցումը։ Հետևյալում մենք կօգտագործենք ընդհանուր բանաձևեր՝ լուծելու ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները:
Առաջադրանք թիվ 10. Լուծե՛ք անհավասարությունը։
Մենք օգտագործում ենք լուծման ընդհանուր բանաձևը՝ հաշվի առնելով, որ անհավասարությունը խիստ չէ.
Մեր դեպքում մենք ստանում ենք.
Պատասխանել. 
Առաջադրանք թիվ 11. Լուծե՛ք անհավասարությունը։
Մենք օգտագործում ենք լուծման ընդհանուր բանաձևը համապատասխան խիստ անհավասարության համար.
Պատասխանել. 
.
Առաջադրանք թիվ 12. Լուծել անհավասարություններ՝ ա) ; բ) .
Այս անհավասարությունների դեպքում չպետք է շտապել օգտագործել ընդհանուր լուծումների կամ եռանկյունաչափական շրջանի բանաձևերը, բավական է միայն հիշել սինուսի և կոսինուսի արժեքների միջակայքը:
ա) Որովհետև 
, ուրեմն անհավասարությունն անիմաստ է։ Հետեւաբար, լուծումներ չկան։
բ) Որովհետև Նմանապես, ցանկացած փաստարկի սինուսը միշտ բավարարում է պայմանում նշված անհավասարությանը: Հետևաբար, անհավասարությունը բավարարվում է փաստարկի բոլոր իրական արժեքներով:
Պատասխանել. ա) լուծումներ չկան. բ) .
Առաջադրանք 13. Լուծե՛ք անհավասարությունը 
.
Բելառուսի Հանրապետության կրթության նախարարություն
ուսումնական հաստատություն
«Գոմելի պետական համալսարան
Ֆրանցիսկ Սկարինայի անունով»
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին
Իրավասու է պաշտպանության համար
Գլուխ Բաժանմունք Շեմետկով Լ.Ա.
Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ
Դասընթացի աշխատանք
Կատարող:
ուսանողական խումբ Մ-51
ՍՄ. Գորսկին
Գիտական խորհրդատու
Ավագ դասախոս
Վ.Գ. Սաֆոնովը
Գոմել 2008 թ
ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ
ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ
Ֆակտորիզացիա
Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Եռակի փաստարկի բանաձևերի միջոցով հավասարումների լուծում
Բազմապատկում ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով
ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ
ԵՌԱԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ԸՆՏՐՈՒԹՅՈՒՆ
ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ
ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ
ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ՑԱՆԿ
Հին ժամանակներում եռանկյունաչափությունը առաջացել է աստղագիտության, գեոդեզիական և շինարարության կարիքների հետ կապված, այսինքն՝ այն զուտ երկրաչափական բնույթ է կրել և ներկայացված է հիմնականում։<<исчисление хорд>>. Ժամանակի ընթացքում որոշ վերլուծական կետեր սկսեցին ներթափանցել դրա մեջ: 18-րդ դարի առաջին կեսին տեղի ունեցավ կտրուկ շրջադարձ, որից հետո եռանկյունաչափությունը նոր ուղղություն վերցրեց և անցավ դեպի մաթեմատիկական վերլուծություն։ Հենց այս ժամանակաշրջանում եռանկյունաչափական կախվածությունները սկսեցին դիտարկվել որպես ֆունկցիաներ։
Եռանկյունաչափական հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի ամենաբարդ թեմաներից են։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ առաջանում են պլանաչափության, պինդ երկրաչափության, աստղագիտության, ֆիզիկայի և այլ ոլորտների խնդիրներ լուծելիս։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ և տարեցտարի անհավասարություններ հանդիպում են կենտրոնացված թեստավորման առաջադրանքներից:
Մեծ մասը կարևոր տարբերությունեռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականից այն է, որ հանրահաշվական հավասարումների մեջ վերջավոր թվով արմատներ կան, իսկ եռանկյունաչափական --- անսահման, ինչը մեծապես բարդացնում է արմատների ընտրությունը։ Եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ առանձնահատկություն պատասխանը գրելու ոչ եզակի ձևն է։
Այս թեզը նվիրված է եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներին։
Դիպլոմային աշխատանքը բաղկացած է 6 բաժնից.
Առաջին բաժինը պարունակում է հիմնական տեսական տեղեկատվությունը. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; որոշ արգումենտների համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ. եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտությունը այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առումով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման համար, հատկապես՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող. ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները:
Երկրորդ բաժնում ներկայացված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները: Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորինգի մեթոդը, եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդներ։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես պարզել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, ինչը կարող է.<<сбить с толку>> թեստերը լուծելիս հաշվի են առնվում ընդհանուր սխեմանՄանրամասն դիտարկվում են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները և եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը։
Երրորդ բաժինը վերաբերում է ոչ ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումներին, որոնց լուծումները հիմնված են ֆունկցիոնալ մոտեցման վրա։
Չորրորդ բաժինը վերաբերում է եռանկյունաչափական անհավասարություններին: Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն հայտնի ինտերվալների մեթոդը:
Հինգերորդ բաժինը ներկայացնում է ամենադժվար առաջադրանքները. երբ անհրաժեշտ է ոչ միայն լուծել եռանկյունաչափական հավասարումը, այլև գտնված արմատներից ընտրել ինչ-որ պայման բավարարող արմատներ։ Այս բաժինը լուծումներ է տալիս արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքներին: Տրված են արմատների ընտրության համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկությունը՝ ամբողջ թվերի բազմության բաժանումը չհատվող ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիոֆանտին)։
Վեցերորդ բաժինը ներկայացնում է առաջադրանքներ անկախ լուծումթեստի տեսքով։ Թեստային 20 առաջադրանքները թվարկում են ամենադժվար խնդիրները, որոնց կարելի է հանդիպել կենտրոնացված թեստավորման ժամանակ:
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումներ
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները ձևի հավասարումներ են, որտեղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկն է՝ , , , .
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները անսահման շատ արմատներ ունեն։ Օրինակ, հետևյալ արժեքները բավարարում են հավասարումը. , , , և այլն: Ընդհանուր բանաձևորով գտնվում են հավասարման բոլոր արմատները, որտեղ , հետևյալն է.
Այստեղ այն կարող է վերցնել ցանկացած ամբողջ արժեք, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է հավասարման որոշակի արմատին. այս բանաձեւում (ինչպես նաեւ այլ բանաձեւերում, որոնցով լուծվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները) կոչվում է. պարամետր. Նրանք սովորաբար գրում են՝ դրանով իսկ ընդգծելով, որ պարամետրը կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք։
Հավասարումների լուծումները, որտեղ , գտնում ենք բանաձևով
Հավասարումը լուծվում է բանաձևի կիրառմամբ
և հավասարումը --- ըստ բանաձևի
Հատկապես նշենք տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների մի քանի հատուկ դեպքեր, երբ լուծումը կարելի է գրել առանց ընդհանուր բանաձևերի.
Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս կարևոր դերխաղում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակաշրջանը: Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք երկու օգտակար թեորեմ.
Թեորեմ Եթե --- հիմնականֆունկցիայի ժամանակաշրջան, ապա թիվը ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է։
Գործառույթների ժամանակաշրջանները և համարվում են համաչափ, եթե կան ամբողջ թվերԵւ ինչ .
Թեորեմ Եթե պարբերական ֆունկցիաները և , ունեն համաչափ և , ապա նրանք ունեն ընդհանուր պարբերություն , որը ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է , , :
Թեորեմն ասում է, թե որն է , , , ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը և պարտադիր չէ, որ հիմնական ժամանակաշրջանը լինի։ Օրինակ՝ ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը և-ն է, իսկ դրանց արտադրանքի հիմնական շրջանը՝ ---:
Ներկայացնելով օժանդակ փաստարկ
Ձևի արտահայտությունների փոխակերպման ստանդարտ եղանակը 
հետեւյալ հնարքն է՝ թող --- անկյուն, տրված հավասարումներով 
, 
. Ցանկացած և նման անկյուն գոյություն ունի: Այսպիսով . Եթե , կամ , , , այլ կերպ :
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման սխեմա
Հիմնական սխեման, որով մենք առաջնորդվելու ենք եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, հետևյալն է.
լուծում տրված հավասարումըհանգում է որոշման տարրական հավասարումներ. Լուծման գործիքներ --- փոխակերպումներ, ֆակտորիզացիաներ, անհայտների փոփոխություն։ Առաջնորդող սկզբունքը արմատները չկորցնելն է։ Սա նշանակում է, որ հաջորդ հավասարմանը (հավասարումներին) անցնելիս մենք չենք վախենում հավելյալ (օտար) արմատների ի հայտ գալուց, այլ միայն մտածում ենք, որ մեր «շղթայի» յուրաքանչյուր հաջորդ հավասարումը (կամ մի շարք հավասարումների դեպքում. ճյուղավորում) նախորդի հետևանք է։ Արմատներ ընտրելու հնարավոր եղանակներից մեկը ստուգումն է: Անմիջապես նշում ենք, որ եռանկյունաչափական հավասարումների դեպքում արմատների ընտրության հետ կապված դժվարությունները ստուգման հետ, որպես կանոն, կտրուկ աճում են հանրահաշվական հավասարումների համեմատ։ Ի վերջո, դուք պետք է ստուգեք շարքը, որը բաղկացած է անսահման թվով անդամներից:
Առանձնահատուկ պետք է նշել անհայտների փոփոխությունը եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ փոխարինումից հետո ստացվում է հանրահաշվական հավասարում։ Ավելին, հազվադեպ չեն հավասարումները, որոնք թեև եռանկյունաչափական են տեսքը, ըստ էության, չեն, քանի որ արդեն առաջին քայլից հետո --- փոխարինումներփոփոխականները --- վերածվում են հանրահաշվականի, իսկ եռանկյունաչափության վերադարձը տեղի է ունենում միայն տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման փուլում։
Եվս մեկ անգամ հիշեցնենք՝ անհայտի փոխարինումը պետք է անել որքան հնարավոր է շուտ, փոխարինումից հետո ստացված հավասարումը պետք է լուծվի մինչև վերջ՝ ներառելով արմատների ընտրության փուլը, և միայն դրանից հետո այն կվերադառնա բնօրինակին։ անհայտ.
Եռանկյունաչափական հավասարումների առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ պատասխանը շատ դեպքերում կարելի է գրել տարբեր ճանապարհներ. Նույնիսկ հավասարումը լուծելու համար 
պատասխանը կարելի է գրել այսպես.
1) երկու շարքի տեսքով. 
, , ;
2) ստանդարտ ձևով, որը վերը նշված շարքի միությունն է՝ , ;
3) քանի որ 
, ապա պատասխանը կարելի է գրել այսպես 
, . (Այնուհետև, պարամետրի առկայությունը , կամ պատասխան գրառման մեջ ինքնաբերաբար նշանակում է, որ այս պարամետրը վերցնում է բոլոր հնարավոր ամբողջ արժեքները: Կսահմանվեն բացառություններ:)
Ակնհայտ է, որ թվարկված երեք դեպքերը չեն սպառում քննարկվող հավասարման պատասխանը գրելու բոլոր հնարավորությունները (դրանք անսահման շատ են)։
Օրինակ, համար 
. Հետևաբար, առաջին երկու դեպքերում, եթե , կարող ենք փոխարինել .
Սովորաբար պատասխանը գրվում է 2-րդ պարբերության հիման վրա: Օգտակար է հիշել հետևյալ առաջարկությունը. եթե աշխատանքը չի ավարտվում հավասարման լուծմամբ, դեռ պետք է կատարել ուսումնասիրություն, արմատների ընտրություն, ապա. ձայնագրման ամենահարմար ձևը նշված է 1-ին պարբերությունում: (Նման առաջարկություն պետք է տրվի հավասարման համար):
Քննենք ասվածը ցույց տվող օրինակ։
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Առավել ակնհայտ է հետևյալ ճանապարհը. Այս հավասարումը բաժանվում է երկու մասի՝ և . Լուծելով դրանցից յուրաքանչյուրը և համադրելով ստացված պատասխանները՝ գտնում ենք.
Մեկ այլ ճանապարհ.Այնուհետև փոխարինելով և կրճատման բանաձևերով: Փոքր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք, որտեղից 
.
Առաջին հայացքից երկրորդ բանաձեւը առանձնահատուկ առավելություններ չունի առաջինի նկատմամբ։ Այնուամենայնիվ, եթե վերցնենք, օրինակ, , ապա ստացվում է, որ , այսինքն. հավասարումը լուծում ունի, մինչդեռ առաջին ճանապարհը մեզ տանում է դեպի պատասխանը 
. «Տես» և ապացուցիր հավասարությունը 
այնքան էլ հեշտ չէ.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միավորում
Մենք կքննարկենք թվաբանական առաջընթացերկու ուղղություններով էլ անորոշ երկարությամբ: Այս առաջընթացի տերմինները կարելի է բաժանել տերմինների երկու խմբի, որոնք գտնվում են որոշակի տերմինի աջ և ձախ կողմում, որը կոչվում է առաջընթացի կենտրոնական կամ զրոյական անդամ։
Անսահման պրոգրեսիայի անդամներից մեկը զրոյական թվով ամրագրելով, մենք ստիպված կլինենք կրկնակի համարակալում իրականացնել մնացած բոլոր անդամների համար՝ դրական՝ աջ կողմում գտնվող տերմինների համար, իսկ բացասական՝ զրոյից ձախ գտնվող տերմինների համար։
IN ընդհանուր դեպք, եթե պրոգրեսիայի տարբերությունը , զրո անդամ , անվերջ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած (րդ) անդամի բանաձևը հետևյալն է.
Բանաձևերի փոխակերպումներ անսահման թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի համար
1. Եթե պրոգրեսիայի տարբերությունը գումարենք կամ հանենք զրոյական անդամին, ապա պրոգրեսիան սրանից չի փոխվի, այլ կշարժվի միայն զրոյական անդամը, այսինքն. կփոխվի անդամների համարակալումը.
2. Եթե փոփոխականի գործակիցը բազմապատկվի , ապա դա կհանգեցնի միայն տերմինների աջ և ձախ խմբերի փոխակերպմանը:
3. Եթե անսահման պրոգրեսիայի հաջորդական անդամներ
օրինակ, , , ..., , առաջընթացների կենտրոնական անդամները դարձնել նույն տարբերությամբ հավասար.
ապա պրոգրեսիան և առաջընթացների շարքը նույն թվերն են արտահայտում։
Օրինակ Շարքը կարող է փոխարինվել հետևյալ երեք տողերով՝ , , .
4. Եթե նույն տարբերությամբ անվերջ առաջընթացներն ունեն թվեր որպես կենտրոնական անդամներ, որոնք տարբերությամբ կազմում են թվաբանական առաջընթաց, ապա այդ շարքերը կարող են փոխարինվել մեկ տարբերությամբ առաջընթացով և կենտրոնական անդամով, որը հավասար է դրանց կենտրոնական անդամներից որևէ մեկին: առաջընթացներ, այսինքն. Եթե
ապա այս առաջընթացները միավորվում են մեկի մեջ.
Օրինակ
, , , երկուսն էլ միավորված են մեկ խմբի մեջ, քանի որ 
.
Ընդհանուր լուծումներ ունեցող խմբերը ընդհանուր լուծում չունեցող խմբերի վերածելու համար այդ խմբերը բաժանվում են ընդհանուր կետով խմբերի, այնուհետև փորձում ենք միավորել ստացված խմբերը՝ բացառելով կրկնվողները։
Ֆակտորիզացիա
Ֆակտորացման մեթոդը հետևյալն է՝ եթե
ապա հավասարման ցանկացած լուծում
հավասարումների բազմության լուծումն է
Հակառակ պնդումը, ընդհանուր առմամբ, կեղծ է. բազմության յուրաքանչյուր լուծում չէ, որ հավասարման լուծում է: Դա պայմանավորված է նրանով, որ առանձին հավասարումների լուծումները կարող են չներառվել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Օգտագործելով հիմնականը եռանկյունաչափական ինքնություն, մենք ներկայացնում ենք հավասարումը ձևով
Պատասխանել.
; 
.
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը վերածելով արտադրյալի
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Մենք կիրառում ենք բանաձևը, ստանում ենք համարժեք հավասարում
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս դեպքում, նախքան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը կիրառելը, դուք պետք է օգտագործեք կրճատման բանաձևը. 
. Արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում
Պատասխանել.
, 
.
Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Մի շարք հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են բանաձևեր.
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.
Պատասխանել. , .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Պատասխանել. .
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևեր
Եռանկյունաչափական հավասարումների լայն շրջանակ լուծելիս բանաձևերը առանցքային դեր են խաղում:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Պատասխանել. ; .
Եռակի փաստարկի բանաձևերի միջոցով հավասարումների լուծում
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Մենք կիրառում ենք բանաձևը, ստանում ենք հավասարումը
Պատասխանել. ; .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Կիրառելով աստիճանի իջեցման բանաձևերը՝ ստանում ենք. 
. Դիմելով մենք ստանում ենք.
Պատասխանել. ; .
Համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություն
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.
Պատասխանել. , .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը։
Պատասխանել. .
Օրինակ Հայտնի է, որ և բավարարում են հավասարումը
Գտեք գումարը.
Լուծում.Հավասարումից հետևում է, որ
Պատասխանել. .
Հաշվի առեք ձևի գումարները
Այս գումարները կարելի է վերածել արտադրյալի՝ բազմապատկելով և բաժանելով դրանք , այնուհետև մենք ստանում ենք
Այս տեխնիկան կարող է օգտագործվել որոշ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Ահա այս բանաձևերի ընդհանրացումը.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կարելի է տեսնել, որ բազմությունը սկզբնական հավասարման լուծումն է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ և աջ կողմերը բազմապատկելը չի հանգեցնում լրացուցիչ արմատների առաջացման:
Մենք ունենք 
.
Պատասխանել. ; .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Մենք բազմապատկում ենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը և կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերը՝ ստանում ենք.
Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների բազմությանը և , որտեղից և .
Քանի որ հավասարման արմատները հավասարման արմատները չեն, ուրեմն պետք է բացառել ստացված լուծումների հավաքածուներից: Այսպիսով, հավաքածուում դուք պետք է բացառեք:
Պատասխանել.Եվ , .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը.
Հավասարումը գրվելու է հետևյալ ձևով.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական հավասարումների կրճատում հանրահաշվականի
Նվազեցնելով քառակուսի
Եթե հավասարումը նման է
ապա փոխարինումը բերում է այն քառակուսու, քանի որ 
() Եվ.
Եթե ժամկետի փոխարեն կա, ապա պահանջվող փոխարինումը կլինի։
Հավասարումը
եռում է մինչև քառակուսի հավասարում
ներկայացում որպես 
. Հեշտ է ստուգել, թե ինչի համար , հավասարման արմատներ չեն, և փոփոխություն կատարելով, հավասարումը վերածվում է քառակուսայինի:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Եկեք տեղափոխենք այն ձախ կողմ, փոխարինենք այն , և արտահայտենք միջոցով և .
Պարզեցումներից հետո ստանում ենք. Բաժանեք տերմինը տերմինի վրա, կատարեք փոխարինում.
Վերադառնալով , մենք գտնում ենք 
.
Միատարր հավասարումներ՝ կապված,
Դիտարկենք ձևի հավասարումը
Որտեղ , , , ..., , --- իրական թվեր. Հավասարման ձախ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր անդամում միանդամների աստիճանները հավասար են, այսինքն՝ սինուսի և կոսինուսի աստիճանների գումարը նույնն է և հավասար։ Նման հավասարումը կոչվում է միատարրհարաբերական և , և թիվը կոչվում է միատարրության ցուցիչ .
Հասկանալի է, որ եթե , ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
որոնց լուծումներն այն արժեքներն են, որոնց համար, այսինքն՝ թվերը, . Փակագծերում գրված երկրորդ հավասարումը նույնպես միատարր է, բայց աստիճանները 1-ով ցածր են։
Եթե , ապա այս թվերը հավասարման արմատները չեն:
Երբ մենք ստանում ենք՝ , և (1) հավասարման ձախ կողմը վերցնում է արժեքը:
Այսպիսով, համար, և, հետևաբար, հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել . Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը.
որը փոխարինմամբ հեշտությամբ վերածվում է հանրահաշվականի.
Միատարր հավասարումներ միատարրության ինդեքսով 1. At , մենք ունենք հավասարումը .
Եթե , ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը , որտեղից , .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս հավասարումը միատարր է առաջին աստիճանի։ Նրա երկու մասերը բաժանելով ստացվում են՝ , , , .
Պատասխանել. .
Օրինակ ժամը , մենք ստանում ենք ձևի միատարր հավասարում
Լուծում.
Եթե , ապա հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք հավասարումը 
, որը հեշտությամբ կարող է վերածվել քառակուսու՝ փոխարինելով. 
. Եթե 
, ապա հավասարումն ունի իրական արմատներ , . Սկզբնական հավասարումը կունենա լուծումների երկու խումբ՝ , , .
Եթե 
, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս հավասարումը երկրորդ աստիճանի միատարր է։ Հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք. Թող , ապա , , . , , ; , , .
Պատասխանել.
.
Հավասարումը վերածվում է ձևի հավասարման
Դա անելու համար բավական է օգտագործել ինքնությունը 
Մասնավորապես, հավասարումը վերածվում է համասեռի, եթե փոխարինվում է 
, ապա ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը միատարրի.
Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 
, ստանում ենք հավասարումը.
Թող , ապա մենք գալիս ենք քառակուսի հավասարմանը. 
, , 
, 
, .
Պատասխանել.
.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը՝ հաշվի առնելով, որ ունեն դրական արժեքներ: , ,
Թող, հետո մենք ստանում ենք 
, , .
Պատասխանել. .
Հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույնականացման միջոցով 
Օգտակար է իմանալ հետևյալ բանաձևերը.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Օգտագործելով՝ մենք ստանում ենք
Պատասխանել.
Մենք առաջարկում ենք ոչ թե բուն բանաձևերը, այլ դրանք բխելու ձևը.
հետևաբար,
Նմանապես, .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը.
Հավասարումը գրվելու է հետևյալ ձևով.
Վերցնելով, մենք ստանում ենք: , . Ուստի
Պատասխանել. .
Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում
Ձևի եռանկյունաչափական հավասարում
Որտեղ --- ռացիոնալՖունկցիան բանաձևերի օգնությամբ -- , ինչպես նաև բանաձևերի օգնությամբ -- կարող է վերածվել ռացիոնալ հավասարման արգումենտների , , , , որից հետո հավասարումը կարող է վերածվել հանրահաշվական ռացիոնալ հավասարման: օգտագործել համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերը
Պետք է նշել, որ բանաձևերի օգտագործումը կարող է հանգեցնել սկզբնական հավասարման ODZ-ի նեղացմանը, քանի որ այն որոշված չէ կետերում, ուստի նման դեպքերում անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք անկյունները սկզբնական հավասարման արմատներն են: .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Ըստ առաջադրանքի. Կիրառելով բանաձևերը և կատարելով փոխարինում, մենք ստանում ենք
որտեղից և, հետևաբար, .
Ձևի հավասարումներ
Ձևի հավասարումներ, որտեղ --- բազմանդամ, լուծվում են անհայտները փոխելով
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կատարելով փոխարինումը և հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք
որտեղ, . --- դրսիցարմատ, քանի որ . Հավասարումների արմատները 
են .
Սահմանափակ գործառույթների օգտագործում
Կենտրոնացված թեստավորման պրակտիկայում հազվադեպ չեն հանդիպում այնպիսի հավասարումների, որոնց լուծումը հիմնված է ֆունկցիաների և . Օրինակ:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Քանի որ , , ապա ձախ կողմը չի գերազանցում և հավասար է, եթե
Երկու հավասարումներին բավարարող արժեքները գտնելու համար մենք անցնում ենք հետևյալ կերպ. Մենք լուծում ենք դրանցից մեկը, այնուհետև գտնված արժեքներից ընտրում ենք մյուսին բավարարող արժեքները:
Սկսենք երկրորդից՝ , . Հետո, 
.
Պարզ է, որ կլինի միայն զույգ թվերի համար:
Պատասխանել. .
Մեկ այլ գաղափար իրագործվում է՝ լուծելով հետևյալ հավասարումը.
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Եկեք օգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը. 
.
Այս անհավասարությունները տերմին առ տերմին գումարելով՝ ունենում ենք.
Հետևաբար, այս հավասարման ձախ կողմը հավասար է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե երկու հավասարությունները պահպանվեն.
այսինքն այն կարող է վերցնել արժեքները, , կամ կարող է վերցնել արժեքները,.
Պատասխանել. , .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում., . Հետևաբար, 
.
Պատասխանել. .
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.Նշում ենք, ապա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանումից ունենք 
Եվ 
.
Քանի որ , անհավասարությունը բխում է հավասարումից, այսինքն. . Քանի որ և , ապա և . Այնուամենայնիվ, և հետևաբար.
Եթե և, ապա. Քանի որ նախապես հաստատված էր , որ , ապա .
Պատասխանել. , .
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.տարածք թույլատրելի արժեքներհավասարումներն են.
Նախ ցույց տանք, որ ֆունկցիան
Ցանկացածի համար այն կարող է ընդունել միայն դրական արժեքներ:
Ներկայացնենք ֆունկցիան հետևյալ կերպ.
Այդ ժամանակվանից ի վեր, այսինքն. 
.
Հետևաբար անհավասարությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է դա ցույց տալ 
. Այդ նպատակով մենք խորանարդում ենք այս անհավասարության երկու մասերը, ապա
Ստացված թվային անհավասարությունը ցույց է տալիս, որ . Եթե հաշվի առնենք նաև, որ , ապա հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է։
Այժմ դիտարկենք հավասարման աջ կողմը:
Որովհետեւ 
, Դա
Սակայն հայտնի է, որ 
. Այստեղից հետևում է, որ , այսինքն. հավասարման աջ կողմը չի գերազանցում . Նախկինում ապացուցվել էր, որ հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է, հետևաբար, հավասարությունը կարող է լինել միայն այն դեպքում, երբ դրա երկու մասերը հավասար են, և դա հնարավոր է միայն .
Պատասխանել. .
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.Նշել և 
. Կիրառելով Կոշի-Բունյակովսկի անհավասարությունը՝ մենք ստանում ենք. Այստեղից հետևում է, որ 
. Մյուս կողմից, կա 
. Հետևաբար, հավասարումը արմատներ չունի:
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը հետևյալ ձևով.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական և համակցված հավասարումների լուծման ֆունկցիոնալ մեթոդներ
Փոխակերպումների արդյունքում յուրաքանչյուր հավասարում չի կարող կրճատվել այս կամ այն ստանդարտ ձևի հավասարման, որի լուծման որոշակի մեթոդ կա: Նման դեպքերում օգտակար է օգտագործել ֆունկցիաների այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, սահմանափակությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: Այսպիսով, եթե ֆունկցիաներից մեկը նվազում է, իսկ երկրորդը մեծանում է միջակայքում, ապա եթե հավասարումը ունի. արմատ այս միջակայքում, այս արմատը եզակի է, և հետո, օրինակ, այն կարելի է գտնել ընտրությամբ: Եթե ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից, և , և ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից, և , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարումների համակարգին.
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.Մենք սկզբնական հավասարումը վերածում ենք ձևի
և լուծեք այն որպես քառակուսի . Հետո մենք ստանում ենք
Լուծենք առաջին բազմության հավասարումը։ Հաշվի առնելով ֆունկցիայի սահմանափակությունը , գալիս ենք այն եզրակացության , որ հավասարումը կարող է արմատ ունենալ միայն միջակայքի վրա : Այս միջակայքում ֆունկցիան մեծանում է, իսկ ֆունկցիան 
նվազում է. Հետևաբար, եթե այս հավասարումն ունի արմատ, ապա այն եզակի է։ Մենք գտնում ենք ընտրությամբ.
Պատասխանել. .
Օրինակ լուծել հավասարումը
Լուծում.Թող, և 
, ապա սկզբնական հավասարումը կարելի է գրել որպես ֆունկցիոնալ հավասարում : Քանի որ ֆունկցիան կենտ է, ուրեմն . Այս դեպքում մենք ստանում ենք հավասարումը
Քանի որ և միապաղաղ է, ապա հավասարումը համարժեք է հավասարմանը, այսինքն. 
, որն ունի մեկ արմատ .
Պատասխանել. .
Օրինակ
լուծել հավասարումը 
.
Լուծում.Ածանցյալ թեորեմի հիման վրա բարդ գործառույթպարզ է, որ ֆունկցիան 
նվազում (գործառույթը նվազում, աճող, նվազում): Այստեղից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան 
սահմանվում է , նվազում. Այսպիսով, այս հավասարումն ունի առավելագույնը մեկ արմատ: Որովհետեւ 
, Դա
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Դիտարկենք հավասարումը երեք ընդմիջումներով:
ա) Թող. Այնուհետև այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը: Որը չունի լուծումներ միջակայքում, քանի որ 
, , Ա . Ինտերվալի վրա սկզբնական հավասարումը նույնպես արմատներ չունի, քանի որ 
, Ա .
բ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը
որոնց արմատները միջակայքի վրա թվերն են , , , .
գ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը
Որը չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ , բայց . Հավասարումը նույնպես չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ , , Ա .
Պատասխանել. , , , .
Սիմետրիայի մեթոդ
Հարմար է օգտագործել սիմետրիայի մեթոդը, երբ առաջադրանքի հայտարարությունը պարունակում է հավասարման, անհավասարության, համակարգի և այլնի լուծումը եզակի լինելու պահանջը։ կամ լուծումների քանակի ճշգրիտ նշում: Այս դեպքում պետք է հայտնաբերել տրված արտահայտությունների ցանկացած համաչափություն։
Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել դրա բազմազանությունը հնարավոր տեսակներըհամաչափություն.
Ոչ պակաս կարևոր է սիմետրիկությամբ դատողությունների տրամաբանական փուլերի խստիվ պահպանումը։
Սովորաբար սիմետրիան թույլ է տալիս սահմանել միայն անհրաժեշտ պայմանները, ապա պահանջվում է ստուգել դրանց բավարարությունը։
Օրինակ Գտեք այն պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնց համար հավասարումն ունի եզակի լուծում:
Լուծում.Նշենք, որ և --- նույնիսկֆունկցիա, ուստի հավասարման ձախ կողմը զույգ ֆունկցիա է:
Այսպիսով, եթե --- լուծումհավասարումներ, դա նույնպես հավասարման լուծումն է։ Եթե --- միակ բանըհավասարման լուծում, ապա անհրաժեշտ , .
Եկեք ընտրենք հնարավոր էարժեքներ, որոնք պահանջում են, որ դա լինի հավասարման արմատը:
Անմիջապես նշում ենք, որ այլ արժեքները չեն կարող բավարարել խնդրի պայմանը։
Բայց դեռ հայտնի չէ, թե բոլոր ընտրվածներն իրականում բավարարո՞ւմ են խնդրի պայմանը։
Համարժեքություն.
1) , հավասարումը կունենա ձև 
.
2) , հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Ակնհայտ է, որ բոլորի համար և 
. Հետևաբար, վերջին հավասարումը համարժեք է համակարգին.
Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ ,-ի համար հավասարումն ունի յուրահատուկ լուծում:
Պատասխանել. .
Լուծում ֆունկցիայի ուսումնասիրությամբ
Օրինակ Ապացուցեք, որ հավասարման բոլոր լուծումները
Ամբողջ թվեր.
Լուծում.Սկզբնական հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանն է. Հետևաբար, մենք նախ ուսումնասիրում ենք այս հավասարումը հատվածի վրա:
Եկեք հավասարումը վերածենք ձևի.
Հաշվիչի օգնությամբ ստանում ենք.
Եթե , ապա նախորդ հավասարություններից ստանում ենք.
Ստացված հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք.
Կատարված հաշվարկները հնարավորություն են տալիս ենթադրելու, որ միջակայքին պատկանող հավասարման արմատներն են, և.
Ուղղակի ստուգումը հաստատում է այս վարկածը: Այսպիսով, ապացուցված է, որ հավասարման արմատները միայն ամբողջ թվեր են, .
Օրինակ
Լուծիր հավասարումը 
.
Լուծում.Գտե՛ք հավասարման հիմնական պարբերությունը: Գործառույթի հիմնական շրջանն է. Գործառույթի հիմնական շրջանն է. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և հավասար է . Հետևաբար, հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանը . Թող .
Ակնհայտ է, որ հավասարման լուծում է: Ընդմիջման վրա. Ֆունկցիան բացասական է: Հետևաբար, հավասարման այլ արմատներ պետք է փնտրել միայն x և ինտերվալների վրա:
Միկրոհաշվիչի օգնությամբ մենք նախ գտնում ենք հավասարման արմատների մոտավոր արժեքները։ Դա անելու համար մենք կազմում ենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ 
ընդմիջումներով և ; այսինքն ընդմիջումներով և .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Աղյուսակից հեշտությամբ երևում են հետևյալ վարկածները. հատվածին պատկանող հավասարման արմատները թվերն են. ; . Ուղղակի ստուգումը հաստատում է այս վարկածը:
Պատասխանել.
; 
; .
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
Այն ձևի եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելիս, որտեղ կա եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը, հարմար է օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանագիծը, որպեսզի առավել հստակ ներկայացվի անհավասարության լուծումը և գրի առնի պատասխանը: Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք տիպի ամենապարզ անհավասարություններին հասցնելն է: Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես լուծել նման անհավասարությունները:
Օրինակ Լուծե՛ք անհավասարությունը։
Լուծում.Եկեք գծենք եռանկյունաչափական շրջան և դրա վրա նշենք այն կետերը, որոնց համար օրդինատը մեծ է .
Այս անհավասարության լուծման համար կլինի . Հասկանալի է նաև, որ եթե ինչ-որ թիվ նշված միջակայքից ինչ-որ թվից տարբերվում է , ապա այն նույնպես կլինի ոչ պակաս . Հետևաբար, լուծման հայտնաբերված հատվածի ծայրերին պարզապես անհրաժեշտ է ավելացնել . Վերջապես, մենք ստանում ենք, որ սկզբնական անհավասարության լուծումները կլինեն բոլորը 
.
Պատասխանել.
.
Տանգենսով և կոտանգենսով անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է շոշափողների և կոտանգենսների գծի հասկացությունը: Սրանք գծերն են և, համապատասխանաբար (նկարում (1) և (2)), դիպչում են եռանկյունաչափական շրջանին:
Հեշտ է տեսնել, որ եթե սկզբում ծագում ունեցող ճառագայթ կառուցում եք՝ անկյուն կազմելով աբսցիսայի առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա հատվածի երկարությունը կետից մինչև այս ճառագայթի հատման կետը ուղիղի հետ։ շոշափողներն ուղիղ հավասար են անկյան շոշափմանը, որն այս ճառագայթը կազմում է աբսցիսային առանցքի հետ: Նմանատիպ դիտարկումը վերաբերում է կոտանգենսին:
Օրինակ Լուծե՛ք անհավասարությունը։
Լուծում.Նշեք, ապա անհավասարությունը կստանա ամենապարզի ձևը. Դիտարկենք մի միջակայք, որի երկարությունը հավասար է շոշափողի ամենափոքր դրական շրջանին (LPP): Այս հատվածում, օգտագործելով շոշափողների գիծը, մենք սահմանում ենք, որ . Այժմ մենք հիշում ենք, թե ինչ է պետք ավելացնել, քանի որ ֆունկցիայի RPE-ն է: Այսպիսով, 
. Վերադառնալով փոփոխականին, մենք ստանում ենք, որ.
Պատասխանել.
.
Հարմար է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում գրաֆիկական մեթոդով
Նշենք, որ եթե --- պարբերականֆունկցիան, ապա անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա լուծումները մի հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի պարբերությանը։ Սկզբնական անհավասարության բոլոր լուծումները բաղկացած կլինեն հայտնաբերված արժեքներից, ինչպես նաև այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակաշրջաններով հայտնաբերվածներից:
Դիտարկենք անհավասարության լուծումը ().
Այդ ժամանակից ի վեր անհավասարությունը լուծումներ չունի: Եթե , ապա անհավասարության լուծումների բազմությունը --- մի փունջբոլոր իրական թվերը.
Թող . Սինուսի ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ուստի անհավասարությունը կարող է առաջինը լուծվել երկարության հատվածի վրա, օրինակ՝ հատվածի վրա: Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ և (): տրված են ձևի անհավասարություններով՝ և, որտեղից,
Այս հոդվածում դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ՝ ինչպես ամենապարզ, այնպես էլ օլիմպիադայի մակարդակով: Եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները դիտարկվել են, ընդ որում, հատուկ --- բնորոշմիայն եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների համար, --- և հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ընդհանուր ֆունկցիոնալ մեթոդներ, ինչպես կիրառվում են եռանկյունաչափական հավասարումների համար:
Թեզը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտությունը այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առումով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման համար, հատկապես՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող. ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները: Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորինգի մեթոդը, եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդներ։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են, թե տարբեր, դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և մանրամասն դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը։ Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն հայտնի ինտերվալների մեթոդը: Տրված են արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների լուծումները։ Տրված են արմատների ընտրության համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկությունը՝ ամբողջ թվերի բազմության բաժանումը չհատվող ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիոֆանտին)։
Այս թեզի աշխատանքի արդյունքները կարող են օգտագործվել որպես ուսումնական նյութ դասընթացի պատրաստման և թեզեր, դպրոցականների համար ընտրովի առարկաներ պատրաստելիս նույն աշխատանքը կարող է օգտագործվել ընդունելության քննություններին և կենտրոնացված թեստավորմանը ուսանողներին պատրաստելիս։
Vygodsky Ya.Ya., Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. /Վիգոդսկի Յա.Յա. --- Մ.: Նաուկա, 1970:
Իգուդիսման Օ., Մաթեմատիկա բանավոր քննության ժամանակ / Igudisman O. --- M .: Iris press, Rolf, 2001 թ.
Ազարով Ա.Ի., հավասարումներ / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Մինսկ: Trivium, 1994 թ.
Լիտվինենկո Վ.Ն., Տարրական մաթեմատիկայի սեմինար / Litvinenko V.N. --- M .: Կրթություն, 1991 թ.
Շարիգին Ի.Ֆ., Մաթեմատիկայի ընտրովի դասընթաց. խնդրի լուծում / Շարիգին Ի.Ֆ., Գոլուբև Վ.Ի. --- Մ.: Լուսավորություն, 1991:
Բարդուշկին Վ., Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Արմատների ընտրություն / Վ. Բարդուշկին, Ա. Պրոկոֆև.// Մաթեմատիկա, թիվ 12, 2005 թ. 23--27.
Vasilevsky A.B., Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի արտադասարանական աշխատանքի համար / Vasilevsky A.B. --- Մն.՝ Ժողովրդական Ասվետա։ 1988. --- 176 թ.
Sapunov P. I., Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում / Sapunov P. I. // Մաթեմատիկական կրթություն, թիվ 3, 1935 թ.
Բորոդին Պ., Եռանկյունաչափություն. Մոսկվայի պետական համալսարանի ընդունելության քննությունների նյութեր [տեքստ] / Պ. Բորոդին, Վ. Գալկին, Վ. Պանֆերով, Ի. Սերգեև, Վ. Տարասով // Մաթեմատիկա թիվ 1, 2005 թ. 36--48։
Սամուսենկո Ա.Վ., Մաթեմատիկա. Ընդհանուր սխալներդիմորդներ՝ Տեղեկատու ձեռնարկ / Սամուսենկո Ա.Վ., Կազաչենոկ Վ.Վ. --- Մինսկ՝ Բարձրագույն դպրոց, 1991 թ.
Ազարով Ա.Ի., Ֆունկցիոնալ և գրաֆիկական մեթոդներքննական խնդիրների լուծում / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Մինսկ: Aversev, 2004 թ.
Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուղիները ճանաչելու ալգորիթմ։
Բարձրագույն որակավորման կարգի ուսուցիչներ.
Շիրկո Ֆ.Մ. Պրոգրես գյուղ, ՄՈԲՈՒ-ՍՈՇ №6
Սանկինա Լ.Ս. Արմավիր, ՊԵԻ «Նոր ուղի» միջնակարգ դպրոց.
Բնական-մաթեմատիկական առարկաների դասավանդման ունիվերսալ մեթոդներ չկան։ Յուրաքանչյուր ուսուցիչ միայն իր համար ընդունելի է գտնում ուսուցման իր ձևերը:
Դասավանդման մեր բազմամյա փորձը ցույց է տալիս, որ ուսանողներն ավելի հեշտ են սովորում նյութեր, որոնք պահանջում են ուշադրության կենտրոնացում և մեծ քանակությամբ տեղեկատվության պահպանում հիշողության մեջ, եթե նրանց սովորեցնում են օգտագործել ալգորիթմներ իրենց գործունեության մեջ բարդ թեմա սովորելու սկզբնական փուլում: Նման թեմա, մեր կարծիքով, եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման թեման է։
Այսպիսով, նախքան ուսանողների հետ սկսելը բացահայտել եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման տեխնիկան և մեթոդները, մենք մշակում և ամրագրում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմը:
Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ
Մենք նշում ենք կետերը համապատասխան առանցքի վրա ( Համար մեղք x- y առանցք, համարcos x- OX առանցք)
Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը կհատի շրջանագիծը երկու կետով։
Սկզբում շրջանագծի վրա մենք ստորագրում ենք այն կետը, որը ըստ սահմանման պատկանում է աղեղի ֆունկցիայի արժեքների միջակայքին:
Ստորագրված կետից սկսած՝ ստվերում ենք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։
Հատուկ ուշադրություն ենք դարձնում շրջանցման ուղղությանը։ Եթե անցումը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է (այսինքն՝ անցում է կատարվում 0-ով), ապա շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական կլինի, եթե հակառակ ուղղությամբ՝ դրական:
Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը։
Դիտարկենք ալգորիթմի գործողությունը օրինակներով։
1) մեղք ≥ 1/2;
Լուծում:
Նկարեք միավոր շրջան;
Մենք նշում ենք ½ կետ y առանցքի վրա:
Վերականգնել առանցքին ուղղահայացը,
որը հատում է շրջանագիծը երկու կետով.
Արկսինի սահմանմամբ մենք առաջինը նշում ենք
կետ π/6.
Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է
տրված անհավասարություն, ½ կետից բարձր:
Մենք ստվերում ենք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։
Շրջանցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ստացանք 5π/6 կետը։
Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը;
Պատասխան.x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], nԶ.
Ամենապարզ անհավասարությունը լուծվում է նույն ալգորիթմի միջոցով, եթե պատասխան գրառման մեջ աղյուսակային արժեք չկա:
Աշակերտները, առաջին դասերին, գրատախտակի մոտ լուծելով անհավասարությունները, բարձրաձայն արտասանում են ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլը։
2) 5 cos x – 1 ≥ 0;
Ռ 
Լուծում:ժամը
5 cos x – 1 ≥ 0;
cos x ≥ 1/5;
Գծե՛ք միավոր շրջան:
OX առանցքի վրա նշում ենք 1/5 կոորդինատով կետ։
Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը
շրջանագիծը հատում է երկու կետով.
Սկզբում շրջանագծի վրա մենք ստորագրում ենք այն կետը, որը պատկանում է արկկոսինի արժեքների միջակայքին ըստ սահմանման (0; π):
Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է այս անհավասարությանը։
Սկսած ստորագրված կետից arccos 1/5, ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։
Շրջանցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն կա անցում 0-ի վրա), ինչը նշանակում է, որ շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական կլինի. arccos 1/5.
Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ փոքր արժեքից ավելի մեծ։
Պատասխան. x [-arccos 1/5 + 2պ n, arccos 1/5 + 2պ n], nԶ.
Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ունակության կատարելագործմանը նպաստում են «Ինչպե՞ս ենք լուծելու անհավասարությունների խումբ» հարցերը. «Ինչո՞վ է մի անհավասարությունը տարբերվում մյուսից»: «Ինչպե՞ս է մի անհավասարություն նման մյուսին»: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե տրվեր խիստ անհավասարություն: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե «» նշանի փոխարեն նշան լիներ.
Անհավասարությունների ցանկը լուծելու ուղիների տեսանկյունից վերլուծելու խնդիրը թույլ է տալիս մշակել դրանց ճանաչումը։
Ուսանողներին տրվում են անհավասարություններ դասարանում լուծելու համար:
Հարց:Նշեք անհավասարությունները, որոնք պետք է կիրառվեն համարժեք փոխակերպումներերբ եռանկյունաչափական անհավասարությունը հասցնում ենք ամենապարզին:
Պատասխանել 1, 3, 5.
Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որոնց դեպքում անհրաժեշտ է բարդ փաստարկը դիտարկել որպես պարզ:
Պատասխան. 1, 2, 3, 5, 6.
Հարց:Անվանեք անհավասարությունները, որտեղ կարող եք դիմել եռանկյունաչափական բանաձևեր?
Պատասխան. 2, 3, 6.
Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որտեղ դուք կարող եք կիրառել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը:
Պատասխան. 6.
Անհավասարությունների ցանկը լուծելու ուղիների տեսանկյունից վերլուծելու խնդիրը թույլ է տալիս մշակել դրանց ճանաչումը։ Հմտությունները զարգացնելիս կարևոր է առանձնացնել դրա իրականացման փուլերը և դրանք ձևակերպել ընդհանուր ձևով, որը ներկայացված է ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմում։
