Տրված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հաշվիչի հավասարումը. Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը
Այս մաթեմատիկական ծրագիրը գտնում է \(f(x) \) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը օգտատիրոջ կողմից սահմանված \(a \) կետում:
Ծրագիրը ոչ միայն ցուցադրում է շոշափող հավասարումը, այլև ցուցադրում է խնդրի լուծման գործընթացը։
Այս առցանց հաշվիչը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար՝ նախապատրաստվելիս վերահսկողական աշխատանքև քննություններ, երբ քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս ծնողները վերահսկում են մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել որքան հնարավոր է շուտ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկա, թե հանրահաշիվ. Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:
Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի վերապատրաստումը, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է:
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, ապա դրա համար մենք ունենք Գտնել ածանցյալ առաջադրանքը:
Եթե դուք ծանոթ չեք գործառույթների ներդրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց:
Մուտքագրեք \(f(x)\) ֆունկցիայի արտահայտությունը և \(a\) թիվը Գտեք շոշափող հավասարումը Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։
JavaScript-ը պետք է միացված լինի, որպեսզի լուծումը հայտնվի:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:
Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...
Եթե դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այդ մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.
Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.
Մի քիչ տեսություն.
Ուղիղ գծի թեքություն
Հիշեցնենք, որ \(y=kx+b\) գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ Կանչվում է \(k=tg \ալֆա \) թիվը ուղիղ գծի թեքություն, իսկ \(\ալֆա \) անկյունը այս ուղիղի և Ox առանցքի միջև եղած անկյունն է
Եթե \(k>0\), ապա \(0 Եթե \(kՖունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը
Եթե M կետը (a; f (a)) պատկանում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին, և եթե այս կետում հնարավոր է շոշափել ֆունկցիայի գրաֆիկին, որը ուղղահայաց չէ: x առանցք, ապա ածանցյալի երկրաչափական իմաստից հետևում է, որ շոշափողի թեքությունը հավասար է f "(a)-ի: Հաջորդիվ կմշակենք ալգորիթմ ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կազմելու համար:
Թող տրվեն y ֆունկցիան \u003d f (x) և M կետը (a; f (a)) այս ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա. թող հայտնի լինի, որ f "(a) գոյություն ունի: Կազմենք տվյալ կետում տրված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը: Այս հավասարումը, ինչպես ցանկացած ուղիղ գծի հավասարումը, որը զուգահեռ չէ y առանցքին: , ունի y \u003d kx + b ձևը, ուստի խնդիրը k և b գործակիցների արժեքները գտնելն է:
K թեքության հետ ամեն ինչ պարզ է. հայտնի է, որ k \u003d f "(a): b-ի արժեքը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ ցանկալի ուղիղ գիծն անցնում է M կետով (a; f (a)) Սա նշանակում է, որ եթե M կետի կոորդինատները փոխարինենք ուղիղ գծի հավասարման մեջ, ապա կստանանք ճիշտ հավասարություն՝ \ (f (a) \u003d ka + b \), այսինքն \ (b \u003d f (a) ) - կա \).
Մնում է k և b գործակիցների գտնված արժեքները փոխարինել ուղիղ գծի հավասարման մեջ.
Մենք ստացել ենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը\(y = f(x) \) \(x=a \) կետում:
\(y=f(x)\ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը գտնելու ալգորիթմ.
1. Նշեք շփման կետի աբսցիսան \ (ա \) տառով:
2. Հաշվիր \(f(a)\)
3. Գտեք \(f"(x) \) և հաշվարկեք \(f"(a) \)
4. Գտնված \ (a, f (a), f "(a) \) թվերը փոխարինեք \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \) բանաձևով:
Օրինակ 1Տրվում է ֆունկցիա զ(x) = 3x 2 + 4x– 5. Գրենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը զ(x) աբսցիսով գրաֆիկի կետում x 0 = 1.
Լուծում.Ֆունկցիայի ածանցյալ զ(x) գոյություն ունի ցանկացած x-ի համար Ռ . Եկեք գտնենք այն.
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Հետո զ(x 0) = զ(1) = 2; (x 0) = = 10. Շոշափող հավասարումն ունի ձև.
y = (x 0) (x – x 0) + զ(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Պատասխանել. y = 10x – 8.
Օրինակ 2Տրվում է ֆունկցիա զ(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Գրենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը զ(x), գծին զուգահեռ y = 2x – 11.
Լուծում.Ֆունկցիայի ածանցյալ զ(x) գոյություն ունի ցանկացած x-ի համար Ռ . Եկեք գտնենք այն.
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Քանի որ ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը զ(x) աբսցիսայի հետ կետում x 0-ը զուգահեռ է ուղիղին y = 2x– 11, ապա դրա թեքությունը 2 է, այսինքն. x 0) = 2. Գտե՛ք այս աբսցիսան այն պայմանից, որ 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Այս հավասարությունը գործում է միայն x 0 = 0 և x 0 = 2. Քանի որ երկու դեպքում էլ զ(x 0) = 5, ապա ուղիղ գիծ y = 2x + բշոշափում է ֆունկցիայի գրաֆիկը կամ (0; 5) կամ (2; 5) կետում:
Առաջին դեպքում թվային հավասարությունը ճշմարիտ է 5 = 2×0 + բ, որտեղ բ= 5, իսկ երկրորդ դեպքում թվային հավասարությունը ճշմարիտ է 5 = 2 × 2 + բ, որտեղ բ = 1.
Այսպիսով, կան երկու շոշափողներ y = 2x+ 5 և y = 2x+ 1 ֆունկցիայի գրաֆիկին զ(x) գծին զուգահեռ y = 2x – 11.
Պատասխանել. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Օրինակ 3Տրվում է ֆունկցիա զ(x) = x 2 – 6x+ 7. Գրենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը զ(x) կետով անցնելը Ա (2; –5).
Լուծում.Որովհետեւ զ(2) –5, ապա կետը Աչի պատկանում ֆունկցիայի գրաֆիկին զ(x) Թող x 0 - հպման կետի աբսիսսա:
Ֆունկցիայի ածանցյալ զ(x) գոյություն ունի ցանկացած x-ի համար Ռ . Եկեք գտնենք այն.
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Հետո զ(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Շոշափող հավասարումն ունի ձև.
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Քանի որ կետը Ապատկանում է շոշափողին, ապա թվային հավասարությունը ճշմարիտ է
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
որտեղ x 0 = 0 կամ x 0 = 4. Սա նշանակում է, որ կետի միջոցով ԱՖունկցիայի գրաֆիկին կարելի է գծել երկու շոշափող զ(x).
Եթե x 0 = 0, ապա շոշափող հավասարումը ունի ձևը y = –6x+ 7. Եթե x 0 = 4, ապա շոշափող հավասարումը ունի ձևը y = 2x – 9.
Պատասխանել. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Օրինակ 4Տրված գործառույթներ զ(x) = x 2 – 2x+ 2 և է(x) = –x 2 - 3. Գրենք այս ֆունկցիաների գրաֆիկներին ընդհանուր շոշափողի հավասարումը։
Լուծում.Թող x 1 - ցանկալի գծի շփման կետի աբսիսսա ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ զ(x), Ա x 2 - ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ նույն գծի շփման կետի աբսցիսա է(x).
Ֆունկցիայի ածանցյալ զ(x) գոյություն ունի ցանկացած x-ի համար Ռ . Եկեք գտնենք այն.
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Հետո զ(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Շոշափող հավասարումն ունի ձև.
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը է(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Վրա ներկա փուլԿրթության զարգացումը որպես նրա հիմնական խնդիրներից մեկը ստեղծագործ մտածող անհատականության ձևավորումն է: Ուսանողների ստեղծագործական ունակությունները կարող են զարգանալ միայն այն դեպքում, եթե նրանք համակարգված ներգրավված լինեն հիմունքների մեջ: հետազոտական գործունեություն. Ուսանողների համար իրենց ստեղծագործական ուժերը, կարողություններն ու տաղանդները օգտագործելու հիմքը լիարժեք գիտելիքների և հմտությունների ձևավորումն է։ Այս առումով համակարգի ձեւավորման խնդիրը հիմնական գիտելիքև մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի յուրաքանչյուր թեմայի վերաբերյալ հմտությունները փոքր նշանակություն չունեն: Միևնույն ժամանակ, լիարժեք հմտությունները պետք է լինեն ոչ թե անհատական առաջադրանքների, այլ դրանց մանրակրկիտ մտածված համակարգի դիդակտիկ նպատակը: Ի շատ լայն իմաստովՀամակարգը հասկացվում է որպես փոխկապակցված փոխազդող տարրերի ամբողջություն, որն ունի ամբողջականություն և կայուն կառուցվածք:
Դիտարկենք մեթոդաբանություն՝ ուսանողներին սովորեցնելու համար, թե ինչպես կազմել ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողի հավասարումը: Ըստ էության, շոշափող հավասարումը գտնելու բոլոր առաջադրանքները կրճատվում են մինչև տողերի բազմությունից (շերտ, ընտանիք) ընտրելու անհրաժեշտությունը, որոնք բավարարում են որոշակի պահանջ. դրանք շոշափում են որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկին: Այս դեպքում տողերի շարքը, որից կատարվում է ընտրությունը, կարելի է նշել երկու եղանակով.
ա) xOy հարթության վրա ընկած կետ (գծերի կենտրոնական մատիտ).
բ) անկյունային գործակից (գծերի զուգահեռ կապոց).
Այս առումով, «Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող» թեման ուսումնասիրելիս՝ համակարգի տարրերը մեկուսացնելու նպատակով, մենք առանձնացրել ենք երկու տեսակի առաջադրանքներ.
1) առաջադրանքներ շոշափողի վրա, որը տրված է այն կետով, որով այն անցնում է.
2) առաջադրանքներ շոշափողի վրա, որը տրված է նրա թեքությամբ.
Շոշափողի վրա խնդիրներ լուծել սովորելը իրականացվել է Ա.Գ.-ի առաջարկած ալգորիթմի միջոցով: Մորդկովիչ. Նրա հիմնարար տարբերությունն արդեն հայտնիներից այն է, որ շոշափող կետի աբսցիսան նշվում է a տառով (x0-ի փոխարեն), որի կապակցությամբ շոշափող հավասարումը ձև է ստանում.
y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(համեմատեք y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)): Այս մեթոդական տեխնիկան, մեր կարծիքով, թույլ է տալիս ուսանողներին արագ և հեշտությամբ հասկանալ, թե որտեղ են գրված ընթացիկ կետի կոորդինատները: ընդհանուր շոշափող հավասարման մեջ, և որտեղ են շփման կետերը:
y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կազմելու ալգորիթմ.
1. a տառով նշեք շփման կետի աբսցիսսը:
2. Գտի՛ր f(a):
3. Գտեք f "(x) և f "(a):
4. Գտնված a, f (a), f "(a) թվերը փոխարինի՛ր ընդհանուր հավասարումշոշափող y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).
Այս ալգորիթմը կարող է կազմվել ուսանողների կողմից գործողությունների անկախ ընտրության և դրանց կատարման հաջորդականության հիման վրա:
Պրակտիկան ցույց է տվել, որ ալգորիթմի օգտագործմամբ հիմնական առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հետևողական լուծումը թույլ է տալիս ձևավորել ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը փուլերով գրելու ունակություն, իսկ ալգորիթմի քայլերը ծառայում են որպես գործողությունների ուժեղ կետեր: . Այս մոտեցումը համապատասխանում է P.Ya-ի կողմից մշակված մտավոր գործողությունների աստիճանական ձևավորման տեսությանը: Գալպերինը և Ն.Ֆ. Տալիզինա.
Առաջադրանքների առաջին տեսակի մեջ առանձնացվել են երկու հիմնական առաջադրանքներ.
- շոշափողն անցնում է կորի վրա ընկած կետով (խնդիր 1);
- շոշափողն անցնում է կորի վրա չգտնվող կետով (Խնդիր 2):
Առաջադրանք 1. Հավասարեցնել ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը 
M(3; – 2) կետում:
Լուծում. M(3; – 2) կետը շփման կետն է, քանի որ
1. a = 3 - հպման կետի աբսիսսա:
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 շոշափող հավասարումն է:
Առաջադրանք 2. Գրի՛ր M(- 3; 6) կետով անցնող y = - x 2 - 4x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր շոշափողների հավասարումները:
Լուծում. M(– 3; 6) կետը շոշափող կետ չէ, քանի որ f(– 3) 6 (նկ. 2):
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2:
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4:
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - շոշափող հավասարում:
Շոշափողն անցնում է M(– 3; 6) կետով, հետևաբար, նրա կոորդինատները բավարարում են շոշափող հավասարումը։
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2:
Եթե a = – 4, ապա շոշափող հավասարումը y = 4x + 18 է:
Եթե a \u003d - 2, ապա շոշափող հավասարումն ունի y \u003d 6 ձև:
Երկրորդ տեսակի մեջ հիմնական առաջադրանքները կլինեն հետևյալը.
- շոշափողը զուգահեռ է ինչ-որ ուղիղ գծի (խնդիր 3);
- շոշափողը որոշակի անկյան տակ անցնում է տվյալ ուղիղին (Խնդիր 4):
Առաջադրանք 3. Գրեք y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր շոշափողների հավասարումները, y \u003d 9x + 1 ուղղին զուգահեռ:
1. ա - հպման կետի աբսցիսա.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3:
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.
Բայց, մյուս կողմից, f "(a) \u003d 9 (զուգահեռության պայման): Այսպիսով, մենք պետք է լուծենք 3a 2 - 6a \u003d 9 հավասարումը: Դրա արմատները a \u003d - 1, a \u003d 3 (նկ. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);
y = 9x + 8 շոշափող հավասարումն է;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);
y = 9x – 24 շոշափող հավասարումն է:
Առաջադրանք 4. Գրե՛ք y = 0,5x 2 - 3x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը 45 ° անկյան տակ անցնելով y = 0 ուղիղ գծի վրա (նկ. 4):
Լուծում. f "(a) \u003d tg 45 ° պայմանից մենք գտնում ենք a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4:
1. a = 4 - հպման կետի աբսիսսա:
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3:
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4):
y \u003d x - 7 - շոշափողի հավասարումը:
Հեշտ է ցույց տալ, որ ցանկացած այլ խնդրի լուծումը կրճատվում է մեկ կամ մի քանի առանցքային խնդիրների լուծումով։ Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ երկու խնդիրները.
1. Գրե՛ք y = 2x 2 - 5x - 2 պարաբոլային շոշափողների հավասարումները, եթե շոշափողները հատվում են ուղիղ անկյան տակ, և դրանցից մեկը դիպչում է պարաբոլին աբսցիսայով 3 կետում (նկ. 5):
Լուծում. Քանի որ տրված է շփման կետի աբսցիսա, լուծման առաջին մասը կրճատվում է առանցքային խնդրին 1։
1. a = 3 - կողմերից մեկի հպման կետի աբսիսսա Աջ անկյունը.
2. f(3) = 1:
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - առաջին շոշափողի հավասարումը:
Թող a լինի առաջին շոշափողի թեքությունը: Քանի որ շոշափողներն ուղղահայաց են, ուրեմն երկրորդ շոշափողի թեքության անկյունն է: Առաջին շոշափողի y = 7x – 20 հավասարումից ունենք tg a = 7: Գտե՛ք.
Սա նշանակում է, որ երկրորդ շոշափողի թեքությունը .
Հետագա լուծումը կրճատվում է առանցքային առաջադրանքի 3.
Թող B(c; f(c)) լինի երկրորդ ուղիղի շոշափող կետը, ապա
1. - շփման երկրորդ կետի աբսցիսա.
2. 
3. 
4. 
երկրորդ շոշափողի հավասարումն է։
Նշում. Շոշափողի անկյունային գործակիցը կարելի է ավելի հեշտ գտնել, եթե ուսանողները գիտեն k 1 k 2 = - 1 ուղղահայաց ուղիղների գործակիցների հարաբերությունը:
2. Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկներին բոլոր ընդհանուր շոշափողների հավասարումները
Լուծում. Խնդիրը կրճատվում է ընդհանուր շոշափող կետերի աբսցիսների գտնելով, այսինքն՝ լուծելով հիմնական խնդիրը 1-ում ընդհանուր տեսարան, կազմելով հավասարումների համակարգ և դրա հետագա լուծումը (նկ. 6):
1. Թող a-ն լինի y = x 2 + x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած հպման կետի աբսցիսան։
2. f(a) = a 2 + a + 1:
3. f "(a) = 2a + 1:
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2:
1. Եկեք c-ն լինի ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա ընկած շոշափող կետի աբսցիսսը. 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
Քանի որ շոշափողներն ընդհանուր են, ուրեմն
Այսպիսով, y = x + 1 և y = - 3x - 3 սովորական շոշափողներ են:
Դիտարկված առաջադրանքների հիմնական նպատակն է ուսանողներին պատրաստել առանցքային առաջադրանքի տեսակի ինքնաճանաչմանը ավելի շատ լուծելիս. դժվար առաջադրանքներորոշակի հետազոտական հմտություններ պահանջող (վերլուծելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, վարկած առաջ քաշելու կարողություն և այլն): Նման առաջադրանքները ներառում են ցանկացած առաջադրանք, որտեղ հիմնական առաջադրանքը ներառված է որպես բաղադրիչ: Որպես օրինակ դիտարկենք խնդիրը ( հակադարձ խնդիր 1) գտնել ֆունկցիա իր շոշափողների ընտանիքով.
3. Ինչի՞ համար են b և c ուղիղները y \u003d x և y \u003d - 2x շոշափող y \u003d x 2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկին:
Թող t լինի y = x y = x 2 + bx + c պարաբոլով ուղիղի շփման կետի աբսցիսա; p-ը y = - 2x y = x 2 + bx + c պարաբոլով ուղիղի շփման կետի աբսցիսան է։ Այնուհետև y = x շոշափող հավասարումը կստանա y = (2t + b)x + c - t 2 ձևը, իսկ y = - 2x շոշափող հավասարումը կունենա y = (2p + b)x + c - p 2 ձևը: .
Կազմել և լուծել հավասարումների համակարգ
Պատասխան. 
Y \u003d f (x) և եթե այս պահին ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է շոշափել, որը ուղղահայաց չէ x առանցքին, ապա շոշափողի թեքությունը f "(a): Մենք արդեն օգտագործել ենք այս մի քանիսը անգամ: Օրինակ, § 33-ում հաստատվեց, որ y \u003d sin x (սինուսոիդ) ֆունկցիայի գրաֆիկը սկզբնակետում կազմում է 45 ° անկյուն աբսցիսայի առանցքի հետ (ավելի ճիշտ՝ գրաֆիկի շոշափողը ծագումը կազմում է 45 ° անկյուն x առանցքի դրական ուղղության հետ), իսկ օրինակում § 33 կետերի 5-ը գտնվել են տվյալ ժամանակացույցով գործառույթները, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է x առանցքին: Օրինակ 2 § 33-ում կազմվել է հավասարում x \u003d x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափման համար x \u003d 1 կետում (ավելի ճիշտ՝ կետում (1; 1), բայց ավելի հաճախ միայն նշվում է աբսցիսայի արժեքը՝ ենթադրելով, որ եթե աբսցիսայի արժեքը հայտնի է, ապա օրդինատի արժեքը կարելի է գտնել y = f(x) հավասարումից): Այս բաժնում մենք կմշակենք ալգորիթմ՝ ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կազմելու համար։
Տրված լինեն y ֆունկցիան \u003d f (x) և M կետը (a; f (a)), և հայտնի է նաև, որ գոյություն ունի f"(a): Եկեք կազմենք գրաֆիկի շոշափողի հավասարումը: տրված ֆունկցիան տվյալ կետում: Այս հավասարումը նման է ցանկացած ուղիղ գծի հավասարմանը, որը զուգահեռ չէ y առանցքին, ունի y = kx + m ձև, ուստի խնդիրը k գործակիցների արժեքները գտնելն է: և մ.
Կ լանջի հետ կապված խնդիրներ չկան. մենք գիտենք, որ k \u003d f "(a): m-ի արժեքը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ ցանկալի գիծն անցնում է M կետով (a; f (a)): Սա նշանակում է, որ եթե կոորդինատները M կետերը փոխարինենք ուղիղ գծի հավասարման մեջ, ապա կստանանք ճիշտ հավասարություն՝ f (a) \u003d ka + m, որտեղից գտնում ենք, որ m \u003d f (a) - ka:
Մնում է կետի գործակիցների գտնված արժեքները փոխարինել հավասարումըուղիղ:
Մենք ստացել ենք y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը x \u003d a կետում:
Եթե, ասենք,
Փոխարինելով (1) հավասարման մեջ գտնված արժեքները a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, մենք ստանում ենք. y \u003d 1 + 2 (x-f), այսինքն. y \u003d 2x -1.
Համեմատեք այս արդյունքը § 33-ի օրինակ 2-ում ստացվածի հետ: Բնականաբար, նույնը տեղի ունեցավ:
Եկեք կազմենք սկզբնաղբյուրում y \u003d tg x ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը: Մենք ունենք: 
հետևաբար cos x f "(0) = 1: Գտնված արժեքները փոխարինելով a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 հավասարման մեջ (1), մենք ստանում ենք. y \u003d x .
Այդ իսկ պատճառով մենք § 15-ի տանգենոիդը գծեցինք (տես Նկար 62) կոորդինատների սկզբնակետի միջով աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ 45 ° անկյան տակ:
Սրանք լուծելը բավական է պարզ օրինակներ, մենք իրականում օգտագործել ենք որոշակի ալգորիթմ, որը ներդրված է (1) բանաձևում։ Եկեք այս ալգորիթմը պարզ դարձնենք:
y \u003d f (x) ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՏԱՆԳԵՆՍԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱԼԳՈՐԻԹՄ
1) ա տառով նշանակել շփման կետի աբսցիսսը.
2) Հաշվիր 1 (ա).
3) Գտեք f «(x) և հաշվարկեք f» (a):
4) Գտնված a, f(a), (a) թվերը փոխարինի՛ր (1) բանաձևով:
Օրինակ 1Գրե՛ք x = 1 կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը:
Եկեք օգտագործենք ալգորիթմը, հաշվի առնելով, որ այս օրինակում
Նկ. 126-ը ցույց է տալիս հիպերբոլա, կառուցված է ուղիղ գիծ y \u003d 2x:
Գծագիրը հաստատում է վերը նշված հաշվարկները. իսկապես, y \u003d 2-x ուղիղը դիպչում է հիպերբոլային կետում (1; 1):
Պատասխան. y \u003d 2-x.
Օրինակ 2Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող, որպեսզի այն զուգահեռ լինի y \u003d 4x - 5 ուղիղ գծին:
Եկեք հստակեցնենք խնդրի ձևակերպումը. «Շոշափում գծելու» պահանջը սովորաբար նշանակում է «հավասարություն կազմել շոշափողի համար»։ Սա տրամաբանական է, քանի որ եթե մարդը կարողացել է հավասարություն կազմել շոշափողի համար, ապա դժվար թե դժվարանա դրա վրա հիմնվել կոորդինատային հարթությունուղիղ գիծ՝ ըստ նրա հավասարման։
Օգտագործենք շոշափող հավասարումը կազմելու ալգորիթմը, նկատի ունենալով, որ այս օրինակում, սակայն, ի տարբերություն նախորդ օրինակի, այստեղ երկիմաստություն կա. շոշափող կետի աբսցիսան հստակ նշված չէ։
Եկեք սկսենք խոսել այսպես. Ցանկալի շոշափողը պետք է զուգահեռ լինի ուղիղ գծին y \u003d 4x-5: Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց թեքությունները հավասար են: Սա նշանակում է, որ շոշափողի թեքությունը պետք է հավասար լինի տրված ուղիղ գծի թեքությանը. 
Այսպիսով, մենք կարող ենք գտնել a-ի արժեքը f «(a) \u003d 4 հավասարումից:
Մենք ունենք: 
Հավասարումից Այսպիսով, կան երկու շոշափողներ, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանները. մեկը աբսցիսայի 2-ի կետում, մյուսը՝ աբսցիսայի կետում -2:
Այժմ դուք կարող եք գործել ըստ ալգորիթմի:
Օրինակ 3(0; 1) կետից նկարեք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող
Եկեք օգտագործենք շոշափողի հավասարումը կազմելու ալգորիթմը, հաշվի առնելով, որ այս օրինակում Նկատի ունեցեք, որ այստեղ, ինչպես օրինակ 2-ում, շոշափողի կետի աբսցիսան բացահայտորեն նշված չէ: Այնուամենայնիվ, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի.
Ըստ պայմանի՝ շոշափողն անցնում է (0; 1) կետով։ Փոխարինելով (2) հավասարման մեջ x = 0, y = 1 արժեքները, մենք ստանում ենք. 
Ինչպես տեսնում եք, այս օրինակում միայն ալգորիթմի չորրորդ քայլում մեզ հաջողվեց գտնել հպման կետի աբսցիսան։ Փոխարինելով a \u003d 4 արժեքը (2) հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք.
Նկ. 127-ը ցույց է տալիս դիտարկված օրինակի երկրաչափական պատկերը՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը
§ 32-ում մենք նշել ենք, որ y = f(x) ֆունկցիայի համար, որն ունի ածանցյալ x հաստատուն կետում, մոտավոր հավասարությունը պահպանվում է.
Հետագա պատճառաբանության հարմարության համար մենք փոխում ենք նշումը՝ x-ի փոխարեն կգրենք a, փոխարենը կգրենք x, համապատասխանաբար՝ x-a փոխարենը: Այնուհետև վերևում գրված մոտավոր հավասարությունը կունենա հետևյալ ձևը.
Այժմ նայեք թուզին: 128. M կետում y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված է շոշափող (a; f (a)): Նշված է x կետը x առանցքի վրա a-ին մոտ: Պարզ է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի օրդինատն է նշված x կետում։ Իսկ ի՞նչ է f (a) + f "(a) (x-a): Սա նույն x կետին համապատասխան շոշափողի օրդինատն է - տե՛ս բանաձևը (1): Ի՞նչ է նշանակում (3) մոտավոր հավասարությունը: հաշվարկել ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը, վերցված է շոշափողի օրդինատի արժեքը։
Օրինակ 4Գտեք մոտավոր արժեքը թվային արտահայտություն 1,02 7 .
Մենք խոսում ենք x \u003d 1.02 կետում y \u003d x 7 ֆունկցիայի արժեքը գտնելու մասին: Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (3)՝ հաշվի առնելով, որ այս օրինակում
Արդյունքում մենք ստանում ենք.
Հաշվիչ օգտագործելու դեպքում կստանանք՝ 1.02 7 = 1.148685667...
Ինչպես տեսնում եք, մոտավոր ճշգրտությունը բավականին ընդունելի է։
Պատասխան. 1,02 7 =1,14.
Ա.Գ. Մորդկովիչի հանրահաշիվ 10-րդ դասարան
Օրացույց-թեմատիկ պլանավորում մաթեմատիկայում, տեսանյութմաթեմատիկայից онлайн, Մաթեմատիկան դպրոցում բեռնել
Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասերՁեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:
Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում
Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:
Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:
Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:
Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.
- Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:
Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.
- Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
- Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
- Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններբարելավել մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները և ձեզ առաջարկություններ տրամադրել մեր ծառայությունների վերաբերյալ:
- Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:
Բացահայտում երրորդ կողմերին
Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:
Բացառություններ.
- Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական կարգով, ք դատավարություն, և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
- Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:
Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:
Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով
Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:
