Եռանկյունաչափական անհավասարությունների սահմանում. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում
1.5 Եռանկյունաչափական անհավասարություններ և դրանց լուծման մեթոդներ
1.5.1 Ամենապարզ լուծումը եռանկյունաչափական անհավասարություններ
Մաթեմատիկայի ժամանակակից դասագրքերի հեղինակներից շատերը առաջարկում են այս թեմայի մեր դիտարկումը սկսել ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելով: Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու սկզբունքը հիմնված է եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա ոչ միայն հիմնական եռանկյունաչափական անկյունների, այլև այլ արժեքների արժեքները որոշելու իմացության և կարողության վրա։
Մինչդեռ , , , ձևի անհավասարությունների լուծումը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ. նախ գտնում ենք () միջակայքը, որի վրա այս անհավասարությունը ճշմարիտ է, այնուհետև գրում ենք վերջնական պատասխանը՝ գումարելով գտնվածի ծայրերին. սինուսի կամ կոսինուսի ժամանակաշրջանի բազմապատիկ ընդմիջում. 
) Այս դեպքում արժեքը հեշտությամբ հայտնաբերվում է, քանի որ կամ . Արժեքի որոնումը հիմնված է ուսանողների ինտուիցիայի վրա, նրանց կարողությունը նկատելու աղեղների կամ հատվածների հավասարությունը՝ օգտագործելով սինուսի կամ կոսինուսի գրաֆիկի առանձին մասերի համաչափությունը: Եվ դա գեղեցիկ է մեծ թվովուսանողները երբեմն չեն կարողանում դա անել: Դասագրքերում առկա դժվարությունները հաղթահարելու համար 2011թ վերջին տարիներըՕգտագործվել է այլ մոտեցում ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար, սակայն դա չի բարելավել ուսուցման արդյունքները:
Մի քանի տարի մենք բավականին հաջողությամբ օգտագործում ենք համապատասխան հավասարումների արմատների բանաձևերը՝ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծումներ գտնելու համար։
Այս թեման ուսումնասիրում ենք հետևյալ կերպ.
1. Մենք կառուցում ենք գրաֆիկներ և y \u003d a՝ ենթադրելով, որ .
Այնուհետև գրում ենք հավասարումը և դրա լուծումը։ Տալով n 0; 1; 2, մենք գտնում ենք կազմված հավասարման երեք արմատ. Արժեքները գրաֆիկների երեք հաջորդական հատման կետերի աբսցիսներն են և y = a: Ակնհայտ է, որ անհավասարությունը միշտ պահպանվում է () միջակայքի վրա, իսկ ()-ի վրա՝ անհավասարությունը:
Այս միջակայքերի ծայրերին ավելացնելով մի թիվ, որը սինուսի պարբերության բազմապատիկն է, առաջին դեպքում մենք ստանում ենք անհավասարության լուծումը ձևով. իսկ երկրորդ դեպքում անհավասարության լուծումը ձևով.
Միայն ի տարբերություն բանաձևի սինուսի, որը հավասարման լուծում է, n = 0-ի համար մենք ստանում ենք երկու արմատ, իսկ երրորդ արմատը n = 1-ի ձևով. 
. Եվ կրկին գրաֆների հատման կետերի երեք հաջորդական աբսցիսներ և . () ինտերվալում անհավասարությունը կատարվում է, միջակայքում () անհավասարությունը
Այժմ հեշտ է գրել անհավասարությունների լուծումները և . Առաջին դեպքում մենք ստանում ենք.
իսկ երկրորդում՝ .
Ամփոփել. Անհավասարությունը լուծելու համար կամ , անհրաժեշտ է կազմել համապատասխան հավասարումը և լուծել այն։ Ստացված բանաձևից գտե՛ք արմատները և , և անհավասարության պատասխանը գրե՛ք ձևով՝ .
Անհավասարումներ լուծելիս համապատասխան հավասարման արմատների բանաձևից գտնում ենք արմատները և , և անհավասարության պատասխանը գրում ենք ձևով.
Այս տեխնիկան թույլ է տալիս բոլոր ուսանողներին սովորեցնել, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական անհավասարությունները: այս տեխնիկան ամբողջությամբ հիմնված է այն հմտությունների վրա, որոնք ուսանողները ամուր տիրապետել են: Սրանք ամենապարզը լուծելու և բանաձևի միջոցով փոփոխականի արժեքը գտնելու ունակությունն են: Բացի այդ, միանգամայն ընտրովի է դառնում ուսուցչի ղեկավարությամբ զգույշ լուծել մեծ թվով վարժություններ, որպեսզի ցույց տան բոլոր տեսակի հիմնավորման տեխնիկան՝ կախված անհավասարության նշանից, a թվի մոդուլի արժեքից և դրա նշանից: Եվ հենց անհավասարության լուծման գործընթացը դառնում է կարճ և, ինչը շատ կարևոր է, միատեսակ։
Մեկ այլ առավելություն այս մեթոդըայն է, որ հեշտացնում է անհավասարությունները լուծելը, նույնիսկ այն դեպքում, երբ աջ կողմը սինուսի կամ կոսինուսի աղյուսակի արժեք չէ:
Եկեք ցույց տանք սա կոնկրետ օրինակ. Թող պահանջվի լուծել անհավասարությունը: Գրենք համապատասխան հավասարումը և լուծենք.
Եկեք գտնենք և-ի արժեքները:
n = 1-ի համար 
n = 2-ի համար 
Այս անհավասարության վերջնական պատասխանը գրում ենք.
Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու դիտարկված օրինակում կարող է լինել միայն մեկ թերություն՝ ֆորմալիզմի որոշակի քանակի առկայություն։ Բայց եթե ամեն ինչ գնահատվի միայն այս դիրքերից, ապա հնարավոր կլինի մեղադրել ֆորմալիզմի արմատների բանաձեւերին. քառակուսի հավասարում, և լուծման բոլոր բանաձևերը եռանկյունաչափական հավասարումներ, և շատ ավելին:
Առաջարկվող մեթոդը, թեև այն արժանի տեղ է զբաղեցնում եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հմտությունների և կարողությունների ձևավորման մեջ, չի կարելի թերագնահատել եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման այլ մեթոդների կարևորությունն ու առանձնահատկությունները: Սա ներառում է միջակայքի մեթոդը:
Դիտարկենք դրա էությունը.
Հավաքածուն խմբագրել է Ա.Գ. Մորդկովիչին, թեեւ չպետք է անտեսել նաեւ մյուս դասագրքերը։ § 3. «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» թեմայի ուսուցման մեթոդները հանրահաշվի ընթացքում և վերլուծության սկիզբը Դպրոցում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական փուլ՝ ü Նախնական ծանոթություն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին ...
Հետազոտության ընթացքում լուծվել են հետևյալ խնդիրները. 1) Վերլուծվել են հանրահաշվի ընթացիկ դասագրքերը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը՝ բացահայտելու դրանցում ներկայացված իռացիոնալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդները։ Կատարված վերլուծությունը թույլ է տալիս անել հետևյալ եզրակացությունները. Ավագ դպրոցում անբավարար ուշադրություն է դարձվում տարբեր իռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդներին, հիմնականում ...
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարությունները, երբ լուծվում են, վերածվում են cos(t)>a, sint(t)=a և նման ձևի ամենապարզ անհավասարություններին։ Իսկ արդեն ամենապարզ անհավասարությունները լուծված են։ Հաշվի առեք տարբեր օրինակներամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու եղանակներ.
Օրինակ 1. Լուծե՛ք sin(t) անհավասարությունը > = -1/2:
Նկարեք մեկ շրջան: Քանի որ sin (t) ըստ սահմանման y կոորդինատն է, մենք նշում ենք y \u003d -1/2 կետը Oy առանցքի վրա: Նրա միջով x-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ ենք գծում։ Միավոր շրջանագծի գրաֆիկով ուղիղ գծի հատման կետերում նշե՛ք Pt1 և Pt2 կետերը: Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։
Այս անհավասարության լուծումը կլինի միավորի շրջանագծի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են այս կետերից վեր: Այլ կերպ ասած, լուծումը կլինի աղեղը l.. Այժմ դուք պետք է նշեք այն պայմանները, որոնց դեպքում կամայական կետը կպատկանի աղեղ l-ին:
Pt1 գտնվում է աջ կիսաշրջանում, նրա օրդինատը -1/2 է, ապա t1=arcsin(-1/2) = - pi/6: Pt1 կետը նկարագրելու համար կարելի է գրել հետևյալ բանաձևը.
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6: Արդյունքում, t-ի համար մենք ստանում ենք հետևյալ անհավասարությունը.
Մենք պահում ենք անհավասարության նշանները։ Եվ քանի որ սինուսի ֆունկցիան պարբերական ֆունկցիա է, ապա լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2 * pi-ում։ Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։
Պատասխան՝ -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Օրինակ 2Լուծել անհավասարությունը cos(t)<1/2.
Եկեք գծենք միավոր շրջան: Քանի որ cos(t) սահմանման համաձայն սա x-կոորդինատն է, մենք x-ի առանցքի գրաֆիկի վրա նշում ենք x = 1/2 կետը:
Այս կետով մենք ուղիղ գիծ ենք անցկացնում y առանցքին զուգահեռ: Միավոր շրջանագծի գրաֆիկով ուղիղ գծի հատման կետերում նշե՛ք Pt1 և Pt2 կետերը: Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։
Լուծումները միավոր շրջանագծի բոլոր կետերն են, որոնք պատկանում են l աղեղին։ Գտնենք t1 և t2 կետերը։
t1 = arccos (1/2) = pi / 3:
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6:
Ստացանք t-ի անհավասարությունը՝ pi/3 Քանի որ կոսինուսը պարբերական ֆունկցիա է, լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2 * pi-ում: Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։ Պատասխան՝ pi/3+2*pi*n Օրինակ 3Լուծեք tg(t) անհավասարությունը< = 1. Շոշափողի պարբերությունը pi է: Գտնենք լուծումներ, որոնք պատկանում են (-pi/2;pi/2) աջ կիսաշրջանին: Այնուհետև, օգտագործելով շոշափողի պարբերականությունը, մենք գրում ենք այս անհավասարության բոլոր լուծումները: Եկեք գծենք միավոր շրջան և նշենք դրա վրա շոշափողների գիծը: Եթե t-ն անհավասարության լուծում է, ապա T = tg(t) կետի օրդինատը պետք է լինի 1-ից փոքր կամ հավասար: Նման կետերի բազմությունը կկազմի AT ճառագայթը: Pt կետերի բազմությունը, որը կհամապատասխանի այս ճառագայթի կետերին, աղեղն է l: Ընդ որում P(-pi/2) կետը չի պատկանում այս աղեղին։ Բելառուսի Հանրապետության կրթության նախարարություն ուսումնական հաստատություն «Գոմելի պետական համալսարան Ֆրանցիսկ Սկարինայի անունով» Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին Իրավասու է պաշտպանության համար Գլուխ Բաժանմունք Շեմետկով Լ.Ա. Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ Դասընթացի աշխատանք Կատարող: ուսանողական խումբ Մ-51 ՍՄ. Գորսկին Գիտական խորհրդատու Ավագ դասախոս Վ.Գ. Սաֆոնովը Գոմել 2008 թ ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ Ֆակտորիզացիա Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով Եռակի փաստարկի բանաձևերի միջոցով հավասարումների լուծում Բազմապատկում ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԵՌԱԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ԸՆՏՐՈՒԹՅՈՒՆ ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ՑԱՆԿ Հին ժամանակներում եռանկյունաչափությունը առաջացել է աստղագիտության, գեոդեզիական և շինարարության կարիքների հետ կապված, այսինքն՝ այն զուտ երկրաչափական բնույթ է կրել և ներկայացված է հիմնականում։<<исчисление хорд>>. Ժամանակի ընթացքում որոշ վերլուծական կետեր սկսեցին ներթափանցել դրա մեջ: 18-րդ դարի առաջին կեսին տեղի ունեցավ կտրուկ շրջադարձ, որից հետո եռանկյունաչափությունը նոր ուղղություն վերցրեց և անցավ դեպի մաթեմատիկական վերլուծություն։ Հենց այս ժամանակաշրջանում եռանկյունաչափական կախվածությունները սկսեցին դիտարկվել որպես ֆունկցիաներ։ Եռանկյունաչափական հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի ամենաբարդ թեմաներից են։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ առաջանում են պլանաչափության, պինդ երկրաչափության, աստղագիտության, ֆիզիկայի և այլ ոլորտների խնդիրներ լուծելիս։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ և տարեցտարի անհավասարություններ հանդիպում են կենտրոնացված թեստավորման առաջադրանքներից: Եռանկյունաչափական և հանրահաշվական հավասարումների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ հանրահաշվական հավասարումները ունեն վերջավոր թվով արմատներ, մինչդեռ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն անսահման թիվ, ինչը մեծապես բարդացնում է արմատների ընտրությունը: Եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ առանձնահատկություն պատասխանը գրելու ոչ եզակի ձևն է։ Այս թեզը նվիրված է եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներին։ Դիպլոմային աշխատանքը բաղկացած է 6 բաժնից. Առաջին բաժինը պարունակում է հիմնական տեսական տեղեկատվությունը. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; որոշ արգումենտների համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ. եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտությունը այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առումով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման համար, հատկապես՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող. ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները: Երկրորդ բաժնում ներկայացված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները: Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորինգի մեթոդը, եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդներ։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես պարզել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, ինչը կարող է.<<сбить с толку>> թեստերը լուծելիս դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և մանրամասն դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը: Երրորդ բաժինը վերաբերում է ոչ ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումներին, որոնց լուծումները հիմնված են ֆունկցիոնալ մոտեցման վրա։ Չորրորդ բաժինը վերաբերում է եռանկյունաչափական անհավասարություններին: Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն հայտնի ինտերվալների մեթոդը: Հինգերորդ բաժինը ներկայացնում է ամենադժվար առաջադրանքները. երբ անհրաժեշտ է ոչ միայն լուծել եռանկյունաչափական հավասարումը, այլև գտնված արմատներից ընտրել ինչ-որ պայման բավարարող արմատներ։ Այս բաժինը լուծումներ է տալիս արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքներին: Տրված են արմատների ընտրության համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկությունը՝ ամբողջ թվերի բազմության բաժանումը չհատվող ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիոֆանտին)։ Վեցերորդ բաժինը ներկայացնում է ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ՝ նախատեսված թեստի տեսքով։ Թեստային 20 առաջադրանքները թվարկում են ամենադժվար խնդիրները, որոնց կարելի է հանդիպել կենտրոնացված թեստավորման ժամանակ: Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները ձևի հավասարումներ են, որտեղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկն է՝ , , , . Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները անսահման շատ արմատներ ունեն։ Օրինակ՝ հետևյալ արժեքները բավարարում են հավասարումը. Այստեղ այն կարող է վերցնել ցանկացած ամբողջ արժեք, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է հավասարման որոշակի արմատին. այս բանաձեւում (ինչպես նաեւ այլ բանաձեւերում, որոնցով լուծվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները) կոչվում է. պարամետր. Նրանք սովորաբար գրում են՝ դրանով իսկ ընդգծելով, որ պարամետրը կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք։ Հավասարումների լուծումները, որտեղ , գտնում ենք բանաձևով Հավասարումը լուծվում է բանաձևի կիրառմամբ և հավասարումը --- ըստ բանաձևի Հատկապես նշենք տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների մի քանի հատուկ դեպքեր, երբ լուծումը կարելի է գրել առանց ընդհանուր բանաձևերի. Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս կարևոր դեր է խաղում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակաշրջանը։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք երկու օգտակար թեորեմ. Թեորեմ
Եթե --- ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը, ապա թիվը ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է։ Գործառույթների պարբերությունները և կոչվում են համադրելի, եթե կան բնական թվեր և , որ . Թեորեմ
Եթե պարբերական ֆունկցիաները և , ունեն համաչափ և , ապա նրանք ունեն ընդհանուր պարբերություն , որը ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է , , : Թեորեմն ասում է, թե որն է , , , ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը և պարտադիր չէ, որ հիմնական ժամանակաշրջանը լինի։ Օրինակ՝ ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը և-ն է, իսկ դրանց արտադրանքի հիմնական շրջանը՝ ---: Ձևի արտահայտությունների փոխակերպման ստանդարտ եղանակը Հիմնական սխեման, որով մենք առաջնորդվելու ենք եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, հետևյալն է. տրված հավասարման լուծումը վերածվում է տարրական հավասարումների լուծման։ Լուծումներ --- փոխակերպումներ, ֆակտորիզացիաներ, անհայտների փոխարինում: Առաջնորդող սկզբունքը արմատները չկորցնելն է։ Սա նշանակում է, որ հաջորդ հավասարմանը (հավասարումներին) անցնելիս մենք չենք վախենում հավելյալ (օտար) արմատների ի հայտ գալուց, այլ միայն մտածում ենք, որ մեր «շղթայի» յուրաքանչյուր հաջորդ հավասարումը (կամ մի շարք հավասարումների դեպքում. ճյուղավորում) նախորդի հետևանք է։ Արմատներ ընտրելու հնարավոր եղանակներից մեկը ստուգումն է: Անմիջապես նշում ենք, որ եռանկյունաչափական հավասարումների դեպքում արմատների ընտրության հետ կապված դժվարությունները ստուգման հետ, որպես կանոն, կտրուկ աճում են հանրահաշվական հավասարումների համեմատ։ Ի վերջո, դուք պետք է ստուգեք շարքը, որը բաղկացած է անսահման թվով անդամներից: Առանձնահատուկ պետք է նշել անհայտների փոփոխությունը եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ փոխարինումից հետո ստացվում է հանրահաշվական հավասարում։ Ընդ որում, այնքան էլ հազվադեպ չեն հավասարումները, որոնք թեև արտաքին տեսքով եռանկյունաչափական են, բայց ըստ էության այդպես չեն, քանի որ արդեն առաջին քայլից հետո --- փոփոխականների փոփոխությունները --- վերածվում են հանրահաշվականի, իսկ եռանկյունաչափությանը վերադարձը տեղի է ունենում միայն բեմում: տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. Եվս մեկ անգամ հիշեցնենք՝ անհայտի փոխարինումը պետք է անել որքան հնարավոր է շուտ, փոխարինումից հետո ստացված հավասարումը պետք է լուծվի մինչև վերջ՝ ներառելով արմատների ընտրության փուլը, և միայն դրանից հետո այն կվերադառնա բնօրինակին։ անհայտ. Եռանկյունաչափական հավասարումների առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ պատասխանը շատ դեպքերում կարելի է գրել տարբեր ձևերով։ Նույնիսկ հավասարումը լուծելու համար 1) երկու շարքի տեսքով. 2) ստանդարտ ձևով, որը վերը նշված շարքի միությունն է՝ , ; 3) քանի որ Ակնհայտ է, որ թվարկված երեք դեպքերը չեն սպառում քննարկվող հավասարման պատասխանը գրելու բոլոր հնարավորությունները (դրանք անսահման շատ են)։ Օրինակ, համար Սովորաբար պատասխանը գրվում է 2-րդ պարբերության հիման վրա: Օգտակար է հիշել հետևյալ առաջարկությունը. եթե աշխատանքը չի ավարտվում հավասարման լուծմամբ, դեռ պետք է կատարել ուսումնասիրություն, արմատների ընտրություն, ապա. ձայնագրման ամենահարմար ձևը նշված է 1-ին պարբերությունում: (Նման առաջարկություն պետք է տրվի հավասարման համար): Քննենք ասվածը ցույց տվող օրինակ։ Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Առավել ակնհայտ է հետևյալ ճանապարհը. Այս հավասարումը բաժանվում է երկու մասի՝ և . Լուծելով դրանցից յուրաքանչյուրը և համադրելով ստացված պատասխանները՝ գտնում ենք. Մեկ այլ ճանապարհ.Այնուհետև փոխարինելով և կրճատման բանաձևերով: Փոքր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք, որտեղից Առաջին հայացքից երկրորդ բանաձեւը առանձնահատուկ առավելություններ չունի առաջինի նկատմամբ։ Այնուամենայնիվ, եթե վերցնենք, օրինակ, , ապա ստացվում է, որ , այսինքն. հավասարումը լուծում ունի, մինչդեռ առաջին ճանապարհը մեզ տանում է դեպի պատասխանը Պատասխանել.
. Մենք կդիտարկենք թվաբանական պրոգրեսիա, որն անորոշորեն տարածվում է երկու ուղղություններով: Այս առաջընթացի տերմինները կարելի է բաժանել տերմինների երկու խմբի, որոնք գտնվում են որոշակի տերմինի աջ և ձախ կողմում, որը կոչվում է առաջընթացի կենտրոնական կամ զրոյական անդամ։ Անսահման պրոգրեսիայի անդամներից մեկը զրոյական թվով ամրագրելով, մենք ստիպված կլինենք կրկնակի համարակալում կատարել մնացած բոլոր անդամների համար՝ դրական՝ աջ կողմում գտնվող տերմինների համար, իսկ բացասական՝ զրոյից ձախ գտնվող տերմինների համար։ Ընդհանուր դեպքում, եթե առաջընթացի տարբերությունը զրոյական անդամ է, ապա անվերջ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած (րդ) անդամի բանաձևը հետևյալն է. Բանաձևերի փոխակերպումներ անսահման թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի համար 1. Եթե պրոգրեսիայի տարբերությունը գումարենք կամ հանենք զրոյական անդամին, ապա պրոգրեսիան սրանից չի փոխվի, այլ կշարժվի միայն զրոյական անդամը, այսինքն. կփոխվի անդամների համարակալումը. 2. Եթե փոփոխականի գործակիցը բազմապատկվի , ապա դա կհանգեցնի միայն տերմինների աջ և ձախ խմբերի փոխակերպմանը: 3. Եթե անսահման պրոգրեսիայի հաջորդական անդամներ օրինակ, , , ..., , առաջընթացների կենտրոնական անդամները դարձնել նույն տարբերությամբ հավասար. ապա պրոգրեսիան և առաջընթացների շարքը նույն թվերն են արտահայտում։ Օրինակ
Շարքը կարող է փոխարինվել հետևյալ երեք տողերով՝ , , . 4. Եթե նույն տարբերությամբ անվերջ առաջընթացներն ունեն թվեր որպես կենտրոնական անդամներ, որոնք տարբերությամբ կազմում են թվաբանական առաջընթաց, ապա այդ շարքերը կարող են փոխարինվել մեկ տարբերությամբ առաջընթացով և կենտրոնական անդամով, որը հավասար է դրանց կենտրոնական անդամներից որևէ մեկին: առաջընթացներ, այսինքն. Եթե ապա այս առաջընթացները միավորվում են մեկի մեջ. Օրինակ
, , , երկուսն էլ միավորված են մեկ խմբի մեջ, քանի որ Ընդհանուր լուծումներ ունեցող խմբերը ընդհանուր լուծում չունեցող խմբերի վերածելու համար այդ խմբերը բաժանվում են ընդհանուր կետով խմբերի, այնուհետև փորձում ենք միավորել ստացված խմբերը՝ բացառելով կրկնվողները: Ֆակտորացման մեթոդը հետևյալն է՝ եթե ապա հավասարման ցանկացած լուծում հավասարումների բազմության լուծումն է Հակառակ պնդումը, ընդհանուր առմամբ, կեղծ է. բազմության յուրաքանչյուր լուծում չէ, որ հավասարման լուծում է: Դա պայմանավորված է նրանով, որ առանձին հավասարումների լուծումները կարող են չներառվել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում: Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը, մենք ներկայացնում ենք հավասարումը ձևով Պատասխանել.
; Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը վերածելով արտադրյալի Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Մենք կիրառում ենք բանաձևը, ստանում ենք համարժեք հավասարում Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս դեպքում, նախքան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը կիրառելը, դուք պետք է օգտագործեք կրճատման բանաձևը. Պատասխանել.
Մի շարք հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են բանաձևեր. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում. Պատասխանել.
, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում. Պատասխանել.
. Եռանկյունաչափական հավասարումների լայն շրջանակ լուծելիս բանաձևերը առանցքային դեր են խաղում: Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում. Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Մենք կիրառում ենք բանաձևը, ստանում ենք հավասարումը Պատասխանել.
; . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Կիրառելով աստիճանի իջեցման բանաձևերը՝ ստանում ենք. Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.
Պատասխանել.
, . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը։ Պատասխանել.
. Օրինակ
Հայտնի է, որ և բավարարում են հավասարումը Գտեք գումարը. Լուծում.Հավասարումից հետևում է, որ Պատասխանել.
. Հաշվի առեք ձևի գումարները Այս գումարները կարելի է վերածել արտադրյալի՝ բազմապատկելով և բաժանելով դրանք , այնուհետև մենք ստանում ենք Այս տեխնիկան կարող է օգտագործվել որոշ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Ահա այս բանաձևերի ընդհանրացումը. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կարելի է տեսնել, որ բազմությունը սկզբնական հավասարման լուծումն է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ և աջ կողմերը բազմապատկելը չի հանգեցնում լրացուցիչ արմատների առաջացման: Մենք ունենք Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Մենք բազմապատկում ենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը և կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերը՝ ստանում ենք. Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների բազմությանը և , որտեղից և . Քանի որ հավասարման արմատները հավասարման արմատները չեն, ուրեմն պետք է բացառել ստացված լուծումների հավաքածուներից: Այսպիսով, հավաքածուում դուք պետք է բացառեք: Պատասխանել.Եվ , . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը. Հավասարումը գրվելու է հետևյալ ձևով. Պատասխանել.
. Նվազեցնելով քառակուսի Եթե հավասարումը նման է ապա փոխարինումը բերում է այն քառակուսու, քանի որ Եթե ժամկետի փոխարեն կա, ապա պահանջվող փոխարինումը կլինի։ Հավասարումը վերածվում է քառակուսի հավասարման ներկայացում որպես Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք տեղափոխենք այն ձախ կողմ, փոխարինենք այն , և արտահայտենք միջոցով և . Պարզեցումներից հետո ստանում ենք. Բաժանեք տերմինը տերմինի վրա, կատարեք փոխարինում. Վերադառնալով , մենք գտնում ենք Միատարր հավասարումներ՝ կապված, Դիտարկենք ձևի հավասարումը որտեղ , , , ..., , իրական թվերն են: Հավասարման ձախ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր անդամում միանդամների աստիճանները հավասար են, այսինքն՝ սինուսի և կոսինուսի աստիճանների գումարը նույնն է և հավասար։ Նման հավասարումը կոչվում է միատարրհարաբերական և , և թիվը կոչվում է միատարրության ցուցիչ
. Հասկանալի է, որ եթե , ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը. որոնց լուծումներն այն արժեքներն են, որոնց համար, այսինքն՝ թվերը, . Փակագծերում գրված երկրորդ հավասարումը նույնպես միատարր է, բայց աստիճանները 1-ով ցածր են։ Եթե , ապա այս թվերը հավասարման արմատները չեն: Երբ մենք ստանում ենք՝ , և (1) հավասարման ձախ կողմը վերցնում է արժեքը: Այսպիսով, համար, և, հետևաբար, հավասարման երկու կողմերը կարելի է բաժանել . Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը. որը փոխարինմամբ հեշտությամբ վերածվում է հանրահաշվականի. Միատարր հավասարումներ միատարրության ինդեքսով 1. At , մենք ունենք հավասարումը . Եթե , ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը , որտեղից , . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս հավասարումը միատարր է առաջին աստիճանի։ Նրա երկու մասերը բաժանելով ստացվում են՝ , , , . Պատասխանել.
. Օրինակ
ժամը , մենք ստանում ենք ձևի միատարր հավասարում Լուծում. Եթե , ապա հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք հավասարումը Եթե Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս հավասարումը երկրորդ աստիճանի միատարր է։ Հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք. Թող , ապա , , . , , ; , , . Պատասխանել.
Հավասարումը վերածվում է ձևի հավասարման Դա անելու համար բավական է օգտագործել ինքնությունը Մասնավորապես, հավասարումը վերածվում է համասեռի, եթե փոխարինվում է Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը միատարրի. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք Պատասխանել.
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը՝ հաշվի առնելով, որ դրանք ունեն դրական արժեքներ՝ , , Թող, հետո մենք ստանում ենք Պատասխանել.
. Հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույնականացման միջոցով Օգտակար է իմանալ հետևյալ բանաձևերը. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Օգտագործելով՝ մենք ստանում ենք Պատասխանել.
Մենք առաջարկում ենք ոչ թե բուն բանաձևերը, այլ դրանք բխելու ձևը. հետևաբար, Նմանապես, . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը. Հավասարումը գրվելու է հետևյալ ձևով. Վերցնելով, մենք ստանում ենք: , . Ուստի Պատասխանել.
. Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում Ձևի եռանկյունաչափական հավասարում որտեղ --- բանաձևերի օգնությամբ ռացիոնալ ֆունկցիան --, ինչպես նաև բանաձևերի օգնությամբ, կարող է վերածվել ռացիոնալ հավասարման արգումենտների, , , , որից հետո հավասարումը կարող է կրճատվել մինչև Հանրահաշվական ռացիոնալ հավասարում համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերի օգտագործման վերաբերյալ Պետք է նշել, որ բանաձևերի օգտագործումը կարող է հանգեցնել սկզբնական հավասարման ODZ-ի նեղացմանը, քանի որ այն որոշված չէ կետերում, ուստի նման դեպքերում անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք անկյունները սկզբնական հավասարման արմատներն են: . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Ըստ առաջադրանքի. Կիրառելով բանաձևերը և կատարելով փոխարինում, մենք ստանում ենք որտեղից և, հետևաբար, . Ձևի հավասարումներ Այն ձևի հավասարումները, որտեղ բազմանդամն է, լուծվում են անհայտները փոխելով Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կատարելով փոխարինումը և հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք որտեղ, . --- կողմնակի արմատ, քանի որ . Հավասարումների արմատները Կենտրոնացված թեստավորման պրակտիկայում հազվադեպ չեն հանդիպում այնպիսի հավասարումների, որոնց լուծումը հիմնված է ֆունկցիաների և . Օրինակ: Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Քանի որ , , ապա ձախ կողմը չի գերազանցում և հավասար է, եթե Երկու հավասարումներին բավարարող արժեքները գտնելու համար մենք անցնում ենք հետևյալ կերպ. Մենք լուծում ենք դրանցից մեկը, այնուհետև գտնված արժեքներից ընտրում ենք մյուսին բավարարող արժեքները: Սկսենք երկրորդից՝ , . Հետո, Պարզ է, որ կլինի միայն զույգ թվերի համար: Պատասխանել.
. Մեկ այլ գաղափար իրագործվում է՝ լուծելով հետևյալ հավասարումը. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Եկեք օգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը. Այս անհավասարությունները տերմին առ տերմին գումարելով՝ ունենում ենք. Հետևաբար, այս հավասարման ձախ կողմը հավասար է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե երկու հավասարությունները պահպանվեն. այսինքն այն կարող է վերցնել արժեքները, , կամ կարող է վերցնել արժեքները,. Պատասխանել.
, . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում., . Հետևաբար, Պատասխանել.
. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Նշում ենք, ապա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանումից ունենք Քանի որ , անհավասարությունը բխում է հավասարումից, այսինքն. . Քանի որ և , հետո և . Այնուամենայնիվ, և հետևաբար. Եթե և, ապա. Քանի որ նախապես հաստատված էր , որ , ապա . Պատասխանել.
, . Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Հավասարման վավեր արժեքների միջակայքը կազմում է. Նախ ցույց տանք, որ ֆունկցիան Ցանկացածի համար այն կարող է ընդունել միայն դրական արժեքներ: Ներկայացնենք ֆունկցիան հետևյալ կերպ. Այդ ժամանակվանից ի վեր, այսինքն. Հետևաբար անհավասարությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է դա ցույց տալ Ստացված թվային անհավասարությունը ցույց է տալիս, որ . Եթե հաշվի առնենք նաև, որ , ապա հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է։ Այժմ դիտարկենք հավասարման աջ կողմը: Որովհետեւ Սակայն հայտնի է, որ Պատասխանել.
. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Նշել և Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը հետևյալ ձևով. Պատասխանել.
. Փոխակերպումների արդյունքում յուրաքանչյուր հավասարում չի կարող կրճատվել այս կամ այն ստանդարտ ձևի հավասարման, որի լուծման որոշակի մեթոդ կա: Նման դեպքերում օգտակար է օգտագործել ֆունկցիաների այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, սահմանափակությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: Այսպիսով, եթե ֆունկցիաներից մեկը նվազում է, իսկ երկրորդը մեծանում է միջակայքում, ապա եթե հավասարումը ունի. արմատ այս միջակայքում, այս արմատը եզակի է, և հետո, օրինակ, այն կարելի է գտնել ընտրությամբ: Եթե ֆունկցիան սահմանափակված է վերևից, և , և ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևից, և , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարումների համակարգին. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Մենք սկզբնական հավասարումը վերածում ենք ձևի և լուծեք այն որպես քառակուսի . Հետո մենք ստանում ենք Լուծենք առաջին բազմության հավասարումը։ Հաշվի առնելով ֆունկցիայի սահմանափակությունը , գալիս ենք այն եզրակացության , որ հավասարումը կարող է արմատ ունենալ միայն միջակայքի վրա : Այս ընդմիջումով ֆունկցիան մեծանում է, իսկ ֆունկցիան Պատասխանել.
. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Թող, և Քանի որ և միապաղաղ է, ապա հավասարումը համարժեք է հավասարմանը, այսինքն. Պատասխանել.
. Օրինակ
լուծել հավասարումը Լուծում.Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի թեորեմի հիման վրա պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Դիտարկենք հավասարումը երեք ընդմիջումներով: ա) Թող. Այնուհետև այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը: Որը չունի լուծումներ միջակայքում, քանի որ բ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը որոնց արմատները միջակայքի վրա թվերն են , , , . գ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը Որը չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ , բայց . Հավասարումը նույնպես չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ Պատասխանել.
, , , . Հարմար է օգտագործել սիմետրիայի մեթոդը, երբ առաջադրանքի հայտարարությունը պարունակում է հավասարման, անհավասարության, համակարգի և այլնի լուծումը եզակի լինելու պահանջը։ կամ լուծումների քանակի ճշգրիտ նշում: Այս դեպքում պետք է հայտնաբերել տրված արտահայտությունների ցանկացած համաչափություն։ Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել սիմետրիայի տարբեր հնարավոր տեսակների բազմազանությունը։ Ոչ պակաս կարևոր է սիմետրիկությամբ դատողությունների տրամաբանական փուլերի խստիվ պահպանումը։ Սովորաբար համաչափությունը թույլ է տալիս հաստատել միայն անհրաժեշտ պայմանները, իսկ հետո պետք է ստուգել դրանց բավարարությունը։ Օրինակ
Գտեք այն պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնց համար հավասարումն ունի եզակի լուծում: Լուծում.Նկատի ունեցեք, որ և են զույգ ֆունկցիաներ, ուստի հավասարման ձախ կողմը զույգ ֆունկցիա է: Այսպիսով, եթե հավասարման լուծում է, ապա կա նաև հավասարման լուծում: Եթե հավասարման միակ լուծումն է, ապա անհրաժեշտ
, . Եկեք ընտրենք հնարավոր էարժեքներ, որոնք պահանջում են, որ դա լինի հավասարման արմատը: Անմիջապես նշում ենք, որ այլ արժեքները չեն կարող բավարարել խնդրի պայմանը։ Բայց դեռ հայտնի չէ, թե բոլոր ընտրվածներն իրականում բավարարո՞ւմ են խնդրի պայմանը։ Համարժեքություն. 1) , հավասարումը կունենա ձև 2) , հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը. Ակնհայտ է, որ բոլորի համար և Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ ,-ի համար հավասարումն ունի յուրահատուկ լուծում: Պատասխանել.
. Օրինակ
Ապացուցեք, որ հավասարման բոլոր լուծումները Ամբողջ թվեր. Լուծում.Սկզբնական հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանն է. Հետևաբար, մենք նախ ուսումնասիրում ենք այս հավասարումը հատվածի վրա: Եկեք հավասարումը վերածենք ձևի. Հաշվիչի օգնությամբ ստանում ենք. Եթե , ապա նախորդ հավասարություններից ստանում ենք. Ստացված հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք. Կատարված հաշվարկները հնարավորություն են տալիս ենթադրելու, որ միջակայքին պատկանող հավասարման արմատներն են, և. Ուղղակի ստուգումը հաստատում է այս վարկածը: Այսպիսով, ապացուցված է, որ հավասարման արմատները միայն ամբողջ թվեր են, . Օրինակ
Լուծիր հավասարումը Լուծում.Գտե՛ք հավասարման հիմնական պարբերությունը: Գործառույթի հիմնական շրջանն է. Գործառույթի հիմնական շրջանն է. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և հավասար է . Հետևաբար, հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանը . Թող . Ակնհայտ է, որ հավասարման լուծում է: Ընդմիջման վրա. Ֆունկցիան բացասական է: Հետևաբար, հավասարման այլ արմատներ պետք է փնտրել միայն x և ինտերվալների վրա: Միկրոհաշվիչի օգնությամբ մենք նախ գտնում ենք հավասարման արմատների մոտավոր արժեքները։ Դա անելու համար մենք կազմում ենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ Աղյուսակից հեշտությամբ երևում են հետևյալ վարկածները. հատվածին պատկանող հավասարման արմատները թվերն են. ; . Ուղղակի ստուգումը հաստատում է այս վարկածը: Պատասխանել.
Այն ձևի եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելիս, որտեղ կա եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը, հարմար է օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանագիծը, որպեսզի առավել հստակ ներկայացվի անհավասարության լուծումը և գրի առնի պատասխանը: Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք տիպի ամենապարզ անհավասարություններին հասցնելն է: Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես լուծել նման անհավասարությունները: Օրինակ
Լուծե՛ք անհավասարությունը։ Լուծում.Եկեք գծենք եռանկյունաչափական շրջան և դրա վրա նշենք այն կետերը, որոնց համար օրդինատը մեծ է . Այս անհավասարության լուծման համար կլինի . Հասկանալի է նաև, որ եթե ինչ-որ թիվ նշված միջակայքից ինչ-որ թվից տարբերվում է , ապա այն նույնպես կլինի ոչ պակաս . Հետևաբար, լուծման հայտնաբերված հատվածի ծայրերին պարզապես անհրաժեշտ է ավելացնել . Վերջապես, մենք ստանում ենք, որ սկզբնական անհավասարության լուծումները կլինեն բոլորը Պատասխանել.
Տանգենսով և կոտանգենսով անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է շոշափողների և կոտանգենսների գծի հասկացությունը: Սրանք գծերն են և, համապատասխանաբար (նկարում (1) և (2)), դիպչում են եռանկյունաչափական շրջանին: Հեշտ է տեսնել, որ եթե սկզբում ծագում ունեցող ճառագայթ կառուցում եք՝ անկյուն կազմելով աբսցիսայի առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա հատվածի երկարությունը կետից մինչև այս ճառագայթի հատման կետը ուղիղի հետ։ շոշափողներն ուղիղ հավասար են անկյան շոշափմանը, որն այս ճառագայթը կազմում է աբսցիսային առանցքի հետ: Նմանատիպ դիտարկումը վերաբերում է կոտանգենսին: Օրինակ
Լուծե՛ք անհավասարությունը։ Լուծում.Նշեք, ապա անհավասարությունը կստանա ամենապարզի ձևը. Դիտարկենք մի միջակայք, որի երկարությունը հավասար է շոշափողի ամենափոքր դրական շրջանին (LPP): Այս հատվածում, օգտագործելով շոշափողների գիծը, մենք սահմանում ենք, որ . Այժմ մենք հիշում ենք, թե ինչ է պետք ավելացնել, քանի որ ֆունկցիայի RPE-ն է: Այսպիսով, Պատասխանել.
Հարմար է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով: Նկատի ունեցեք, որ եթե ----ը պարբերական ֆունկցիա է, ապա անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա լուծումները մի հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի պարբերությանը: Բնօրինակ անհավասարության բոլոր լուծումները բաղկացած կլինեն հայտնաբերված արժեքներից, ինչպես նաև այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակահատվածներով հայտնաբերվածներից: Դիտարկենք անհավասարության լուծումը (). Այդ ժամանակից ի վեր անհավասարությունը լուծումներ չունի: Եթե , ապա անհավասարության լուծումների բազմությունը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է: Թող . Սինուսի ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ուստի անհավասարությունը կարող է առաջինը լուծվել երկարության հատվածի վրա, օրինակ՝ հատվածի վրա: Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ և (): տրված են ձևի անհավասարություններով՝ և, որտեղից, Այս հոդվածում դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ՝ ինչպես ամենապարզ, այնպես էլ օլիմպիադայի մակարդակով: Դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները, որոնք բնորոշ են միայն եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների համար, և ընդհանուր ֆունկցիոնալ մեթոդները եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարումների լուծման համար, ինչպես կիրառվում են եռանկյունաչափական հավասարումների համար: Թեզը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտությունը այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առումով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման համար, հատկապես՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող. ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները: Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորինգի մեթոդը, եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդներ։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են, թե տարբեր, դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և մանրամասն դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը։ Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն հայտնի ինտերվալների մեթոդը: Տրված են արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների լուծումները։ Տրված են արմատների ընտրության համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկությունը՝ ամբողջ թվերի բազմության բաժանումը չհատվող ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիոֆանտին)։ Այս աշխատանքի արդյունքները կարող են օգտագործվել որպես ուսումնական նյութ կուրսային աշխատանքների և թեզերի պատրաստման, դպրոցականների համար ընտրովի առարկաների պատրաստման, ինչպես նաև ուսանողներին ընդունելության քննություններին և կենտրոնացված թեստավորմանը նախապատրաստելու համար: Vygodsky Ya.Ya., Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. /Վիգոդսկի Յա.Յա. --- Մ.: Նաուկա, 1970: Իգուդիսման Օ., Մաթեմատիկա բանավոր քննության ժամանակ / Igudisman O. --- M .: Iris press, Rolf, 2001 թ. Ազարով Ա.Ի., հավասարումներ / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Մինսկ: Trivium, 1994 թ. Լիտվինենկո Վ.Ն., Տարրական մաթեմատիկայի սեմինար / Litvinenko V.N. --- M .: Կրթություն, 1991 թ. Շարիգին Ի.Ֆ., Մաթեմատիկայի ընտրովի դասընթաց. խնդրի լուծում / Շարիգին Ի.Ֆ., Գոլուբև Վ.Ի. --- Մ.: Լուսավորություն, 1991: Բարդուշկին Վ., Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Արմատների ընտրություն / Վ. Բարդուշկին, Ա. Պրոկոֆև.// Մաթեմատիկա, թիվ 12, 2005 թ. 23--27. Vasilevsky A.B., Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի արտադասարանական աշխատանքի համար / Vasilevsky A.B. --- Մն.՝ Ժողովրդական Ասվետա։ 1988. --- 176 թ. Sapunov P. I., Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում / Sapunov P. I. // Մաթեմատիկական կրթություն, թիվ 3, 1935 թ. Բորոդին Պ., Եռանկյունաչափություն. Մոսկվայի պետական համալսարանի ընդունելության քննությունների նյութեր [տեքստ] / Պ. Բորոդին, Վ. Գալկին, Վ. Պանֆերով, Ի. Սերգեև, Վ. Տարասով // Մաթեմատիկա թիվ 1, 2005 թ. 36--48։ Սամուսենկո Ա.Վ., Մաթեմատիկա. Դիմորդների բնորոշ սխալները. Տեղեկագիր ձեռնարկ / Սամուսենկո Ա.Վ., Կազաչենոկ Վ.Վ. --- Մինսկ: Բարձրագույն դպրոց, 1991 թ. Ազարով Ա.Ի., Քննական խնդիրների լուծման ֆունկցիոնալ և գրաֆիկական մեթոդներ / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Մինսկ: Ավերսև, 2004 թ. Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուղիները ճանաչելու ալգորիթմ։ Բարձրագույն որակավորման կարգի ուսուցիչներ. Շիրկո Ֆ.Մ. Պրոգրես գյուղ, ՄՈԲՈՒ-ՍՈՇ №6 Սանկինա Լ.Ս. Արմավիր, ՊԵԻ «Նոր ուղի» միջնակարգ դպրոց. Բնական-մաթեմատիկական առարկաների դասավանդման ունիվերսալ մեթոդներ չկան։ Յուրաքանչյուր ուսուցիչ միայն իր համար ընդունելի է գտնում ուսուցման իր ձևերը: Դասավանդման մեր բազմամյա փորձը ցույց է տալիս, որ ուսանողներն ավելի հեշտ են սովորում նյութեր, որոնք պահանջում են ուշադրության կենտրոնացում և մեծ քանակությամբ տեղեկատվության պահպանում հիշողության մեջ, եթե նրանց սովորեցնում են օգտագործել ալգորիթմներ իրենց գործունեության մեջ բարդ թեմա սովորելու սկզբնական փուլում: Նման թեմա, մեր կարծիքով, եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման թեման է։ Այսպիսով, նախքան ուսանողների հետ սկսելը բացահայտել եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման տեխնիկան և մեթոդները, մենք մշակում և ամրագրում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմը: Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ
Մենք նշում ենք կետերը համապատասխան առանցքի վրա ( Համար
մեղք
x- y առանցք, համարcos
x- OX առանցք) Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը կհատի շրջանագիծը երկու կետով։ Սկզբում շրջանագծի վրա մենք ստորագրում ենք այն կետը, որը ըստ սահմանման պատկանում է աղեղի ֆունկցիայի արժեքների միջակայքին: Ստորագրված կետից սկսած՝ ստվերում ենք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։ Հատուկ ուշադրություն ենք դարձնում շրջանցման ուղղությանը։ Եթե անցումը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է (այսինքն՝ անցում է կատարվում 0-ով), ապա շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական կլինի, եթե հակառակ ուղղությամբ՝ դրական: Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը։ Դիտարկենք ալգորիթմի գործողությունը օրինակներով։
1)
մեղք
≥ 1/2;
Լուծում: Նկարեք միավորի շրջան; Մենք նշում ենք ½ կետ y առանցքի վրա: Վերականգնել առանցքին ուղղահայացը, որը հատում է շրջանագիծը երկու կետով. Արկսինի սահմանմամբ մենք առաջինը նշում ենք կետ π/6. Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է տրված անհավասարություն, ½ կետից բարձր: Մենք ստվերում ենք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։ Շրջանցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ստացանք 5π/6 կետը։ Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը; Պատասխան.x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2պ n], nԶ. Ամենապարզ անհավասարությունը լուծվում է նույն ալգորիթմի միջոցով, եթե պատասխան գրառման մեջ աղյուսակային արժեք չկա: Աշակերտները, առաջին դասերին, գրատախտակի մոտ լուծելով անհավասարությունները, բարձրաձայն արտասանում են ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլը։ 2) 5
cos
x
– 1 ≥ 0;
Ռ 5 cos x – 1 ≥ 0; cos
x ≥ 1/5; Գծե՛ք միավոր շրջան: OX առանցքի վրա նշում ենք 1/5 կոորդինատով կետ։ Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը շրջանագիծը հատում է երկու կետով. Սկզբում շրջանագծի վրա մենք ստորագրում ենք այն կետը, որը պատկանում է արկկոսինի արժեքների միջակայքին ըստ սահմանման (0; π): Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է այս անհավասարությանը։ Սկսած ստորագրված կետից
arccos 1/5, ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։ Շրջանցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն կա անցում 0-ի վրա), ինչը նշանակում է, որ շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական կլինի. arccos 1/5. Պատասխանը գրում ենք որպես ինտերվալ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ փոքր արժեքից ավելի մեծ։ Պատասխան. x [-arccos 1/5 + 2պ n, arccos 1/5 + 2պ n], nԶ. Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ունակության կատարելագործմանը նպաստում են «Ինչպե՞ս ենք լուծելու անհավասարությունների խումբ» հարցերը. «Ինչո՞վ է մի անհավասարությունը տարբերվում մյուսից»: «Ինչպե՞ս է մի անհավասարություն նման մյուսին»: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե տրվեր խիստ անհավասարություն: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե «» նշանի փոխարեն նշան լիներ. Անհավասարությունների ցանկը լուծելու ուղիների տեսանկյունից վերլուծելու խնդիրը թույլ է տալիս մշակել դրանց ճանաչումը։ Ուսանողներին տրվում են անհավասարություններ դասարանում լուծելու համար: Հարց:Առանձնացրե՛ք այն անհավասարությունները, որոնք պահանջում են համարժեք փոխակերպումների կիրառում եռանկյունաչափական անհավասարությունը ամենապարզին հասցնելիս: Պատասխանել 1, 3, 5. Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որոնց դեպքում անհրաժեշտ է բարդ փաստարկը դիտարկել որպես պարզ: Պատասխան. 1, 2, 3, 5, 6. Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որտեղ կարելի է կիրառել եռանկյունաչափական բանաձևեր: Պատասխան. 2, 3, 6. Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որտեղ դուք կարող եք կիրառել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը: Պատասխան. 6. Անհավասարությունների ցանկը լուծելու ուղիների տեսանկյունից վերլուծելու խնդիրը թույլ է տալիս մշակել դրանց ճանաչումը։ Հմտությունները զարգացնելիս կարևոր է առանձնացնել դրա իրականացման փուլերը և դրանք ձևակերպել ընդհանուր ձևով, որը ներկայացված է ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմում։ Անհավասարումները a › b ձևի հարաբերություններն են, որտեղ a և b-ն առնվազն մեկ փոփոխական պարունակող արտահայտություններ են: Անհավասարությունները կարող են լինել խիստ՝ ‹, › և ոչ խիստ՝ ≥, ≤: Եռանկյունաչափական անհավասարությունները այն ձևի արտահայտություններն են. . Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարության օրինակ է sin x ‹ 1/2: Ընդունված է նման խնդիրները լուծել գրաֆիկորեն, դրա համար մշակվել է երկու մեթոդ. Sin x ‹ 1/2 անհավասարության պայմաններին բավարարող միջակայք գտնելու համար պետք է անել հետևյալը. Երբ արտահայտության մեջ կան ուժեղ նշաններ, հատման կետերը լուծումներ չեն: Քանի որ սինուսոիդի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2π է, պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ. Եթե արտահայտության նշանները խիստ չեն, ապա լուծման միջակայքը պետք է փակցվի քառակուսի փակագծերում - . Խնդրի պատասխանը կարելի է գրել նաև որպես մեկ այլ անհավասարություն. Նմանատիպ խնդիրները հեշտությամբ լուծվում են եռանկյունաչափական շրջանագծի օգնությամբ։ Որոնման ալգորիթմը շատ պարզ է. Եկեք վերլուծենք լուծման քայլերը՝ օգտագործելով sin x › 1/2 անհավասարությունը որպես օրինակ: Շրջանակի վրա նշվում են α և β կետերը` արժեքները α-ի և β-ի վերևում գտնվող աղեղի կետերը տվյալ անհավասարությունը լուծելու միջակայքն են։ Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է օրինակ լուծել cos-ի համար, ապա պատասխանների աղեղը կտեղակայվի սիմետրիկորեն OX առանցքի նկատմամբ, և ոչ թե OY: Դուք կարող եք դիտարկել մեղքի և cos-ի լուծման միջակայքերի տարբերությունը տեքստի ստորև բերված դիագրամներում: Շոշափող և կոտանգենս անհավասարությունների գրաֆիկական լուծումները կտարբերվեն և՛ սինուսից, և՛ կոսինուսից: Դա պայմանավորված է գործառույթների հատկություններով: Արկտանգենսը և արկոտանգենսը շոշափում են եռանկյունաչափական շրջանագծին, և երկու ֆունկցիաների համար նվազագույն դրական պարբերությունը π է: Երկրորդ մեթոդը արագ և ճիշտ օգտագործելու համար հարկավոր է հիշել, թե որ առանցքի վրա են գծագրված sin, cos, tg և ctg արժեքները: Շոշափող շոշափողն անցնում է OY առանցքին զուգահեռ: Եթե arctg a-ի արժեքը գծենք միավոր շրջանագծի վրա, ապա երկրորդ պահանջվող կետը կգտնվի անկյունագծային քառորդում։ անկյունները Դրանք ֆունկցիայի ընդմիջման կետեր են, քանի որ գրաֆիկը հակված է նրանց, բայց երբեք չի հասնում դրանց: Կոտանգենսի դեպքում շոշափողն անցնում է OX առանցքին զուգահեռ, և ֆունկցիան ընդհատվում է π և 2π կետերում։ Եթե անհավասարության ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացված է ոչ միայն փոփոխականով, այլ անհայտ պարունակող մի ամբողջ արտահայտությամբ, ապա մենք խոսում ենք բարդ անհավասարության մասին։ Դրա լուծման ընթացքը և կարգը որոշ չափով տարբերվում են վերը նկարագրված մեթոդներից: Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծում գտնենք հետևյալ անհավասարության համար. Գրաֆիկական լուծումը նախատեսում է սովորական սինուսոիդի կառուցում y = sin x x-ի կամայականորեն ընտրված արժեքների համար: Եկեք հաշվարկենք աղյուսակը գծապատկերի հղման կետերի կոորդինատներով. Արդյունքը պետք է լինի գեղեցիկ կոր: Լուծում գտնելու հեշտության համար մենք փոխարինում ենք կոմպլեքս ֆունկցիայի փաստարկըՏարրական եռանկյունաչափական հավասարումներ
Ներկայացնելով օժանդակ փաստարկ
հետևյալ հնարքն է՝ թող --- անկյունը տրված հավասարումներով 
, 
. Ցանկացած և նման անկյուն գոյություն ունի: Այսպիսով . Եթե , կամ , , , այլ կերպ :Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման սխեմա
պատասխանը կարելի է գրել այսպես.
, , ;
, ապա պատասխանը կարելի է գրել այսպես 
, . (Այնուհետև, պարամետրի առկայությունը , կամ պատասխան գրառման մեջ ինքնաբերաբար նշանակում է, որ այս պարամետրը վերցնում է բոլոր հնարավոր ամբողջ արժեքները: Կսահմանվեն բացառություններ:)
. Հետևաբար, առաջին երկու դեպքերում, եթե , կարող ենք փոխարինել .
.
. «Տես» և ապացուցիր հավասարությունը 
այնքան էլ հեշտ չէ.Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միավորում
.
Ֆակտորիզացիա
.
.
. Արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում
, 
.Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևեր
Եռակի փաստարկի բանաձևերի միջոցով հավասարումների լուծում
.
. Դիմելով մենք ստանում ենք.Համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություն
.
.
.
Եռանկյունաչափական հավասարումների կրճատում հանրահաշվականի
() Եվ.
. Հեշտ է ստուգել, թե ինչի համար , հավասարման արմատներ չեն, և փոփոխություն կատարելով, հավասարումը վերածվում է քառակուսայինի:
.
, որը հեշտությամբ կարող է վերածվել քառակուսու՝ փոխարինելով. 
. Եթե 
, ապա հավասարումն ունի իրական արմատներ , . Սկզբնական հավասարումը կունենա լուծումների երկու խումբ՝ , , .
, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։
.
, ապա ստանում ենք համարժեք հավասարում.
, ստանում ենք հավասարումը.
Թող, ապա մենք հասնում ենք քառակուսի հավասարմանը. 
, 
, .
.
, , .
.
են .Սահմանափակ գործառույթների օգտագործում
.
.
.
.
.
Եվ 
.
.
. Այդ նպատակով մենք խորանարդում ենք այս անհավասարության երկու մասերը, ապա
, Դա
. Այստեղից հետևում է, որ , այսինքն. հավասարման աջ կողմը չի գերազանցում . Նախկինում ապացուցվել էր, որ հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է, հետևաբար, հավասարությունը կարող է լինել միայն այն դեպքում, երբ դրա երկու մասերը հավասար են, և դա հնարավոր է միայն .
. Կիրառելով Կոշի-Բունյակովսկի անհավասարությունը՝ մենք ստանում ենք. Այստեղից հետևում է, որ 
. Մյուս կողմից, կա 
. Հետևաբար, հավասարումը արմատներ չունի:Եռանկյունաչափական և համակցված հավասարումների լուծման ֆունկցիոնալ մեթոդներ
նվազում է. Հետևաբար, եթե այս հավասարումն ունի արմատ, ապա այն եզակի է։ Մենք գտնում ենք ընտրությամբ.
, ապա սկզբնական հավասարումը կարելի է գրել որպես ֆունկցիոնալ հավասարում : Քանի որ ֆունկցիան կենտ է, ուրեմն . Այս դեպքում մենք ստանում ենք հավասարումը
, որն ունի մեկ արմատ .
.
նվազում (գործառույթը նվազում, աճող, նվազում): Այստեղից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան 
սահմանվում է , նվազում. Հետևաբար, այս հավասարումն ունի առավելագույնը մեկ արմատ։ Որովհետեւ 
, Դա
, , Ա . Ինտերվալի վրա սկզբնական հավասարումը նույնպես արմատներ չունի, քանի որ 
, Ա .
, , Ա .Սիմետրիայի մեթոդ
.
. Հետևաբար, վերջին հավասարումը համարժեք է համակարգին.Լուծում ֆունկցիայի ուսումնասիրությամբ
.
ընդմիջումներով և ; այսինքն՝ ընդմիջումներով և .
0
0
202,5
0,85355342
3
-0,00080306
207
0,6893642
6
-0,00119426
210
0,57635189
9
-0,00261932
213
0,4614465
12
-0,00448897
216
0,34549155
15
-0,00667995
219
0,22934931
18
-0,00903692
222
0,1138931
21
-0,01137519
225
0,00000002
24
-0,01312438
228
-0,11145712
27
-0,01512438
231
-0,21961736
30
-0,01604446
234
-0,32363903
33
-0,01597149
237
-0,42270819
36
-0,01462203
240
-0,5160445
39
-0,01170562
243
-0,60290965
42
-0,00692866
246
-0,65261345
45
0,00000002
249
-0,75452006
48
0,00936458
252
-0,81805397
51
0,02143757
255
-0,87270535
54
0,03647455
258
-0,91803444
57
0,0547098
261
-0,95367586
60
0,07635185
264
-0,97934187
63
0,10157893
267
-0,99482505
66
0,1305352
270
-1
67,5
0,14644661
; 
; .Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
..
. Վերադառնալով փոփոխականին, մենք ստանում ենք, որ.
.Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում գրաֆիկական մեթոդով
Լուծում:ժամը
Մեթոդ 1 - Անհավասարությունների լուծում՝ ֆունկցիայի գծագրմամբ
Մեթոդ 2 - Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
Բարդ եռանկյունաչափական անհավասարություններ
