Գծային հավասարումների համակարգեր. Տարրական համակարգի փոխակերպումներ Տարրական համակարգի փոխակերպումներ
Գծային հավասարումների երկու համակարգ մեկ բազմությունից x 1 ,..., x n անհայտների և, համապատասխանաբար, m և p հավասարումներից
Դրանք կոչվում են համարժեք, եթե դրանց լուծումները համընկնում են և համընկնում են (այսինքն՝ ենթաբազմությունները և K n-ում համընկնում են, ): Սա նշանակում է, որ կամ դրանք երկուսն էլ դատարկ ենթաբազմություն են (այսինքն՝ երկու համակարգերն էլ (I) և (II) անհամատեղելի են), կամ միաժամանակ դատարկ չեն, և (այսինքն՝ I համակարգի յուրաքանչյուր լուծում II համակարգի լուծումն է և յուրաքանչյուր լուծման համակարգ II): I համակարգի լուծումն է):
Օրինակ 3.2.1.
Գաուսի մեթոդ
Գաուսի առաջարկած ալգորիթմի պլանը բավականին պարզ էր.
- կիրառել հաջորդական փոխակերպումներ գծային հավասարումների համակարգում, որոնք չեն փոխում լուծումների բազմությունը (այսպիսով մենք պահպանում ենք սկզբնական համակարգի լուծումների բազմությունը) և անցնում համարժեք համակարգ, որն ունի «պարզ ձև» (այսպես կոչված քայլ. ձև);
- Համակարգի «պարզ ձևի» համար (քայլ մատրիցով) նկարագրեք լուծումների ամբողջությունը, որը համընկնում է սկզբնական համակարգի լուծումների բազմության հետ:
Նշենք, որ սերտորեն կապված «ֆան-չեն» մեթոդն արդեն հայտնի էր հին չինական մաթեմատիկայում:
Գծային հավասարումների համակարգերի տարրական փոխակերպումներ (մատրիցների տողեր)
Սահմանում 3.4.1 (տարրական տիպի 1 փոխակերպում). Երբ համակարգի i-րդ հավասարումը գումարվում է k-րդ հավասարմանը, որը բազմապատկվում է թվով (նշում. (i) «= (i) + c (k), այսինքն՝ փոխարինվում է միայն մեկ i-րդ հավասարումը (i). նոր հավասարմամբ (i)"=(i)+c(k) ): Նոր i-րդ հավասարումն ունի ձև (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb kկամ, հակիրճ,
Այսինքն՝ նոր i-րդ հավասարման մեջ a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.
Սահմանում 3.4.2 (տարրական տիպի 2 փոխակերպում). i-րդ և k-րդ հավասարումների համար փոխվում են, մնացած հավասարումները չեն փոխվում (նշում՝ (i)"=(k) , (k)"=(i), գործակիցների համար սա նշանակում է հետևյալը. j=1-ի համար. ,... .,n
Դիտողություն 3.4.3. Հարմարության համար կոնկրետ հաշվարկներում կարող եք կիրառել 3-րդ տիպի տարրական փոխակերպում. i-րդ հավասարումը բազմապատկվում է ոչ զրոյական թվով: 
, (i)"=c(i) .
Առաջարկ 3.4.4. Եթե I համակարգից II համակարգ անցանք 1-ին և 2-րդ տիպի տարրական փոխակերպումների վերջավոր քանակի օգնությամբ, ապա II համակարգից կարող ենք վերադառնալ I համակարգ նաև 1-ին և 2-րդ տիպի տարրական փոխակերպումներով։
Ապացույց.
Դիտողություն 3.4.5. Հայտարարությունը ճիշտ է նաև տարրական փոխակերպումների թվի մեջ 3-րդ տիպի տարրական փոխակերպման ընդգրկման դեպքում։ Եթե and (i)"=c(i) , ապա 
և (i)=c -1 (i)" .
Թեորեմ 3.4.6.Գծային հավասարումների համակարգում 1-ին կամ 2-րդ տիպի տարրական փոխակերպումների վերջավոր քանակի հաջորդական կիրառումից հետո ստացվում է գծային հավասարումների համակարգ, որը համարժեք է սկզբնականին:
Ապացույց. Նկատի ունեցեք, որ բավական է դիտարկել I համակարգից II համակարգ անցման դեպքը մեկ տարրական փոխակերպման օգնությամբ և ապացուցել լուծումների բազմությունների ներառումը (քանի որ ապացուցված առաջարկի ուժով հնարավոր է վերադառնալ II համակարգից. I համակարգին և, հետևաբար, մենք կունենանք ընդգրկում, այսինքն՝ կապացուցվի հավասարություն):
Սահմանում 5. Տարրական փոխակերպումներԳծային հավասարումների համակարգը կոչվում է նրա հետևյալ փոխակերպումները.
1) ցանկացած երկու հավասարումների փոխարկումը տեղերում.
2) մեկ հավասարման երկու մասերի բազմապատկումը ցանկացած թվով.
3) մի հավասարման երկու մասերին ավելացնելով մյուս հավասարման համապատասխան մասերը` բազմապատկելով ցանկացած թվով. կ;
(մինչ բոլոր մյուս հավասարումները մնում են անփոփոխ):
Զրոյական հավասարումմենք անվանում ենք հետևյալ հավասարումը.
Թեորեմ 1. Տարրական փոխակերպումների ցանկացած վերջավոր հաջորդականություն և զրոյական հավասարման ջնջման փոխակերպումը գծային հավասարումների մի համակարգը վերածում է դրան համարժեք գծային հավասարումների մեկ այլ համակարգի:
Ապացույց.Նախորդ ենթաբաժնի 4-րդ հատկությամբ բավական է ապացուցել թեորեմը յուրաքանչյուր փոխակերպման համար առանձին։
1. Երբ համակարգի հավասարումները վերադասավորվում են, հավասարումները իրենք չեն փոխվում, հետևաբար, ըստ սահմանման, ստացված համակարգը համարժեք է սկզբնականին:
2. Ապացույցի առաջին մասի ուժով բավական է ապացուցել առաջին հավասարման պնդումը։ Մենք (1) համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք թվով, ստանում ենք համակարգը
(2)
Թող 
համակարգեր (1) . Այնուհետև թվերը բավարարում են (1) համակարգի բոլոր հավասարումները։ Քանի որ (2) համակարգի բոլոր հավասարումները, բացի առաջինից, համընկնում են (1) համակարգի հավասարումների հետ, թվերը բավարարում են այս բոլոր հավասարումները։ Քանի որ թվերը բավարարում են համակարգի առաջին հավասարումը (1), ապա տեղի է ունենում ճիշտ թվային հավասարություն.
Բազմապատկելով այն թվով Կ, մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն.
Դա. մենք դա հաստատում ենք
համակարգեր (2).
Ընդհակառակը, եթե (2) համակարգի լուծումը, ապա թվերը բավարարում են (2) համակարգի բոլոր հավասարումները։ Քանի որ (1) համակարգի բոլոր հավասարումները, բացի առաջինից, համընկնում են (2) համակարգի հավասարումների հետ, թվերը բավարարում են այս բոլոր հավասարումները։ Քանի որ թվերը բավարարում են համակարգի (2) առաջին հավասարումը, ապա թվային հավասարությունը (4) վավեր է։ Նրա երկու մասերը բաժանելով թվի վրա՝ ստանում ենք թվային հավասարությունը (3) և ապացուցում, որ
համակարգի լուծում (1).
Հետևաբար, ըստ 4 սահմանման, համակարգը (1) համարժեք է համակարգին (2):
3. Ապացույցի առաջին մասի ուժով բավական է ապացուցել համակարգի առաջին և երկրորդ հավասարումների պնդումը։ Համակարգի առաջին հավասարման երկու մասերին էլ ավելացնենք երկրորդի համապատասխան մասերը բազմապատկած թվով. Կ, մենք ստանում ենք համակարգը
(5)
Թող համակարգի լուծում (1) . Այնուհետև թվերը բավարարում են (1) համակարգի բոլոր հավասարումները։ Քանի որ (5) համակարգի բոլոր հավասարումները, բացի առաջինից, համընկնում են (1) համակարգի հավասարումների հետ, թվերը բավարարում են այս բոլոր հավասարումները։ Քանի որ թվերը բավարարում են համակարգի առաջին հավասարումը (1), ապա տեղի են ունենում ճիշտ թվային հավասարումներ.
Առաջին հավասարությանը անդամ առ անդամ ավելացնելով երկրորդը՝ բազմապատկելով թվով Կմենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն:
Սահմանում 1.(1) ձևի գծային հավասարումների համակարգը, որտեղ , դաշտը, կոչվում է m գծային հավասարումների համակարգ դաշտում n անհայտներով, - գործակիցներ անհայտների մոտ, , , - համակարգի ազատ պայմաններ (1).
Սահմանում 2.Պատվիրել է n-ka (), որտեղ , կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծում(1) եթե փոփոխականը փոխարինվում է (1) համակարգի յուրաքանչյուր հավասարմամբ, այն վերածվում է իրական թվային հավասարության։
Սահմանում 3. համատեղեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Հակառակ դեպքում կոչվում է (1) համակարգը անհամատեղելի.
Սահմանում 4.Գծային հավասարումների համակարգը (1) կոչվում է որոշակիեթե այն ունի յուրահատուկ լուծում. Հակառակ դեպքում կոչվում է (1) համակարգը անորոշ.
Գծային հավասարումների համակարգ
(լուծում կա) (լուծում չկա)
համատեղ ոչ համատեղ
(միակ լուծումը) (ոչ միակ լուծումը)
որոշակի անորոշ
Սահմանում 5.Դաշտի վրա գծային հավասարումների համակարգ Ռկանչեց միատարրեթե նրա բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի։ Հակառակ դեպքում համակարգը կոչվում է տարասեռ.
Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգը (1): Այնուհետև տեսակների միատարր համակարգը կոչվում է միատարր համակարգ, կապվածհամակարգով (1): Միատարր SLE-ը միշտ հետևողական է, քանի որ այն միշտ լուծում ունի:
Յուրաքանչյուր SLN-ի համար կարելի է հաշվի առնել երկու մատրիցա՝ հիմնական և ընդլայնված:
Սահմանում 6. Գծային հավասարումների համակարգի հիմնական մատրիցը(1) կոչվում է մատրիցա, որը կազմված է հետևյալ ձևի անհայտների գործակիցներից.
Սահմանում 7. Գծային հավասարումների ընդլայնված մատրիցային համակարգ(1) կոչվում է մատրից, որը ստացվում է մատրիցից՝ դրան ավելացնելով ազատ անդամների սյունակ.
Սահմանում 8.Գծային հավասարումների համակարգի տարրական փոխակերպումներկոչվում են՝ 1) համակարգի որոշ հավասարման երկու մասերի բազմապատկում սկալյարով. 2) համակարգի մեկ հավասարման երկու մասերին մյուս հավասարման համապատասխան մասերի գումարում` բազմապատկված տարրով. 3) ձևի հավասարման ավելացում կամ հանում:
Սահմանում 9.Դաշտի վրա գծային հավասարումների երկու համակարգ Ռփոփոխականների համեմատ կոչվում են համարժեքեթե դրանց լուծումների հավաքածուները նույնն են:
Թեորեմ 1 . Եթե տարրական փոխակերպումների օգնությամբ գծային հավասարումների մի համակարգ ստացվում է մյուսից, ապա այդպիսի համակարգերը համարժեք են։
Հարմար է տարրական փոխակերպումները կիրառել ոչ թե գծային հավասարումների համակարգում, այլ դրա ընդլայնված մատրիցին։
Սահմանում 10.Թող տրվի P դաշտի տարրերով մատրիցա: Տարրական փոխակերպումներմատրիցները կոչվում են հետևյալ կերպ.
1) ցանկացած տողի բոլոր տարրերի բազմապատկում մատրիցներով aО Р # ;
2) ցանկացած տողի բոլոր տարրերի բազմապատկում մատրիցներով aО Р #-ի վրա և գումարում մեկ այլ տողի համապատասխան տարրերով.
3) մատրիցի ցանկացած երկու տողերի փոխակերպում.
4) զրոյական տող ավելացնել կամ ջնջել.
8. SLN լուծում:մ անհայտների հաջորդական բացառման մեթոդ (Գաուսի մեթոդ):
Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման հիմնական մեթոդներից մեկը, որը կոչվում է անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդկամ այլ կերպ, Գաուսի մեթոդ. Դիտարկենք համակարգը (1) մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ դաշտի վրայով R:(1) .
Համակարգում (1) համար գործակիցներից առնվազն մեկը հավասար չէ 0 . Հակառակ դեպքում (1)-ը () անհայտներով հավասարումների համակարգ է - սա հակասում է պայմանին: Փոխանակենք հավասարումները այնպես, որ առաջին հավասարման գործակիցը հավասար չլինի 0 . Այսպիսով, մենք կարող ենք ենթադրել, որ. Բազմապատկեք առաջին հավասարման երկու կողմերը և գումարեք երկրորդ, երրորդ, ... մրդ հավասարումները, համապատասխանաբար: Մենք ստանում ենք ձևի համակարգ՝ , որտեղ ս- ամենափոքր թիվն այնպիսին, որ at-ի գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ 0 . Փոխեք հավասարումները այնպես, որ երկրորդ շարքում փոփոխականի գործակիցը հավասար չլինի 0 , այսինքն. կարելի է ենթադրել, որ. Այնուհետև մենք բազմապատկում ենք երկրորդ հավասարման երկու մասերը և ավելացնում երրորդի համապատասխան մասերին, …, մրդ հավասարումները, համապատասխանաբար: Շարունակելով այս գործընթացը՝ մենք ստանում ենք ձևի համակարգ.
Գծային հավասարումների համակարգը, որը, ըստ Թեորեմ 1-ի, համարժեք է (1) համակարգին. . Համակարգը կոչվում է գծային հավասարումների աստիճանական համակարգ։ Երկու դեպք կա՝ 1) տարրերից առնվազն մեկը հավասար չէ 0 . Եկեք, օրինակ,. Այնուհետև գծային հավասարումների համակարգում կա ձևի հավասարում, որն անհնար է։ Սա նշանակում է, որ համակարգը չունի լուծումներ, և հետևաբար (1) համակարգը չունի լուծումներ (այս դեպքում (1) անհետևողական համակարգ է):
2) Թող ,…, . Այնուհետև տարրական փոխակերպման օգնությամբ 3) ստանում ենք համակարգ՝ համակարգ rհետ գծային հավասարումներ nանհայտ. Այս դեպքում գործակիցների վրա գտնվող փոփոխականները կոչվում են հիմնական փոփոխականներ(սա), դրանց ընդհանուրը r. Մնացածը ( n-r) փոփոխականները կոչվում են անվճար.
Երկու դեպք կա՝ 1) Եթե r=n, ապա եռանկյուն համակարգ է։ Այս դեպքում վերջին հավասարումից գտնում ենք փոփոխականը, նախավերջինից՝ փոփոխականը, ..., առաջին հավասարումից՝ փոփոխականը։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգի եզակի լուծում, հետևաբար՝ գծային հավասարումների համակարգի (1) (այս դեպքում սահմանվում է համակարգը (1):
2) Թող r
Գծային հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով լուծելիս հարմար է տարրական փոխակերպումներ կատարել ոչ թե համակարգի, այլ նրա ընդլայնված մատրիցով։
Սահմանում. A մատրիցի աստիճանը ցանկացած քայլային մատրիցի ոչ զրոյական տողերի թիվն է, որոնց A-ն կրճատվում է տարրական փոխակերպումներով: A մատրիցայի աստիճանը նշանակվում է r(A) կամ rang(A):
Գծային հավասարումների համակարգի լուծման ալգորիթմ Գաուսի մեթոդով
1. Կազմե՛ք գծային հավասարումների համակարգի (1) ընդլայնված մատրիցը և տարրական փոխակերպումների միջոցով բերե՛ք այն աստիճանական ձևի։
2. Հետազոտություն անցկացնել՝ ա) եթե , ապա (1) համակարգը անհամապատասխան է.
բ) եթե , ապա համակարգը (1) համատեղելի է:
Միևնույն ժամանակ, եթե r=n, ապա համակարգը (1) սահմանվում է, եթե r
3. Ստացված քայլի մատրիցին համապատասխան համակարգի լուծում գտնել:
§7. Գծային հավասարումների համակարգեր
Հավասարակշռության համակարգեր. Գծային հավասարումների համակարգի տարրական փոխակերպումներ.
Թող ՀԵՏկոմպլեքս թվերի դաշտն է։ Տիպի հավասարում
Որտեղ 
, կոչվում է գծային հավասարում հետ nանհայտ 
. պատվիրված հավաքածու 
,
կոչվում է (1) հավասարման լուծում, եթե .
համակարգ մհետ գծային հավասարումներ nանհայտը ձևի հավասարումների համակարգ է.
- գծային հավասարումների համակարգի գործակիցները, 
- անվճար անդամներ:
ուղղանկյուն սեղան
,
կոչվում է չափի մատրիցա 
. Ներկայացնենք նշումը. ես- մատրիցայի երրորդ շարքը, 
-
կ- մատրիցայի-րդ սյունակ: Մատրիցա Անաև նշել 
կամ 
.
Հետևյալ մատրիցային տողերի փոխակերպումները Ակոչվում են տարրական։ 
) զրոյական տողերի բացառություն; 
) ցանկացած տողի բոլոր տարրերը թվով բազմապատկելը 
; 
) ցանկացած այլ տողի ցանկացած տողի ավելացում, բազմապատկված 
. Նմանատիպ մատրիցային սյունակների փոխակերպումներ Ակոչվում են տարրական մատրիցային փոխակերպումներ Ա.
Մատրիցային ցանկացած տողի առաջին ոչ զրոյական տարրը (հաշվում ենք ձախից աջ): Ակոչվում է այս տողի առաջատար տարր:
Սահմանում. Մատրիցա 
կոչվում է աստիճանաբար, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1) մատրիցայի զրոյական տողերը (եթե այդպիսիք կան) գտնվում են ոչ զրոյականից ցածր.
2) եթե 
մատրիցայի տողերի առաջատար տարրերը, ապա 
Ցանկացած ոչ զրոյական A մատրիցա կարող է վերածվել քայլային մատրիցի՝ ըստ շարքի տարրական փոխակերպումների:
Օրինակ. Ներկայացնում ենք մատրիցը 
քայլի մատրիցին. 
~ 
~ 
.
Համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցա 
գծային հավասարումները (2) կոչվում են համակարգի հիմնական մատրիցա։ Մատրիցա 
, որը ստացվում է ազատ տերմինների սյունակի ավելացումից, կոչվում է համակարգի ընդլայնված մատրիցա։
Կարգավորված բազմությունը կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծում (2), եթե այն լուծում է այս համակարգի յուրաքանչյուր գծային հավասարման:
Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է հետևողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում և անհամապատասխան, եթե լուծումներ չունի:
Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է որոշակի, եթե ունի եզակի լուծում, և անորոշ, եթե ունի մեկից ավելի լուծում:
Գծային հավասարումների համակարգի հետևյալ փոխակերպումները կոչվում են տարրական.
) ձևի հավասարումների համակարգից բացառումը.
) ցանկացած հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը 
, 
;
) ցանկացած այլ հավասարման ցանկացած հավասարման գումարում, բազմապատկված ,-ով:
Գծային հավասարումների երկու համակարգեր nԱնհայտները համարվում են համարժեք, եթե դրանք համատեղելի չեն կամ դրանց լուծումների բազմությունը նույնն է:
Թեորեմ. Եթե գծային հավասարումների մի համակարգ մյուսից ստացվում է ), ), տիպի տարրական փոխակերպումների միջոցով, ապա այն համարժեք է սկզբնականին։
Անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդով) գծային հավասարումների համակարգի լուծում.
Թող համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ:
Եթե (1) համակարգը պարունակում է ձևի հավասարում
ապա այս համակարգը անհամապատասխան է:
Ենթադրենք, որ (1) համակարգը չի պարունակում (2) ձևի հավասարում։ Համակարգում (1) թողեք փոփոխականի գործակիցը x 1 առաջին հավասարման մեջ 
(եթե դա այդպես չէ, ապա տեղ-տեղ հավասարումները վերադասավորելով մենք կհասնենք դրան, քանի որ ոչ բոլոր գործակիցներն են. x 1-ը հավասար է զրոյի): Գծային հավասարումների համակարգին (1) կիրառենք տարրական փոխակերպումների հետևյալ շղթան.
, ավելացնել երկրորդ հավասարմանը;
Առաջին հավասարումը բազմապատկված է 
, ավելացնել երրորդ հավասարմանը և այլն;
Առաջին հավասարումը բազմապատկված է 
, ավելացրեք համակարգի վերջին հավասարմանը:
Արդյունքում մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ (հետևյալում մենք կօգտագործենք CLE հապավումը գծային հավասարումների համակարգի համար) համարժեք համակարգ (1): Կարող է պարզվել, որ ստացված համակարգում ոչ մի հավասարում թվի հետ ես,
ես 
2,
չի պարունակում անհայտ x 2. Թող կամենափոքր բնական թիվն այնպիսին է, որ անհայտը x կպարունակվում է թվի հետ առնվազն մեկ հավասարման մեջ ես,
ես 2. Այնուհետև ստացված հավասարումների համակարգը ունի ձև.
Համակարգը (3) համարժեք է համակարգին (1): Դիմեք հիմա ենթահամակարգին 
գծային հավասարումների համակարգեր (3) պատճառաբանություն, որը կիրառվել է SLE (1) . Եվ այսպես շարունակ։ Այս գործընթացի արդյունքում մենք հասնում ենք երկու արդյունքներից մեկին:
1. Ստանում ենք SLE, որը պարունակում է (2) ձևի հավասարում: Այս դեպքում SLE (1) անհամապատասխան է:
2. SLE (1)-ի նկատմամբ կիրառվող տարրական փոխակերպումները չեն հանգեցնում (2) ձևի հավասարում պարունակող համակարգի: Այս դեպքում SLE (1) տարրական փոխակերպումներով 
վերածվում է ձևի հավասարումների համակարգի.
(4)
որտեղ, 1< կ < լ < . . .< ս,
(4) ձևի գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է փուլային: Այստեղ հնարավոր են հետևյալ երկու դեպքերը.
Ա) r= n, ապա համակարգը (4) ունի ձևը
(5)
Համակարգը (5) ունի յուրահատուկ լուծում. Հետևաբար, (1) համակարգը նույնպես ունի յուրահատուկ լուծում.
Բ) r<
n. Այս դեպքում անհայտը 
(4) համակարգում կոչվում են հիմնական անհայտներ, իսկ մնացած անհայտներն այս համակարգում կոչվում են ազատ (դրանց թիվը հավասար է. n-
r) Եկեք կամայական թվային արժեքներ վերագրենք անվճար անհայտներին, ապա SLE (4) կունենա նույն ձևը, ինչ համակարգը (5): Դրանից յուրովի են որոշվում հիմնական անհայտները։ Այսպիսով, համակարգն ունի լուծում, այսինքն՝ համատեղ։ Քանի որ անվճար անհայտներին տրվել են կամայական թվային արժեքներ ՀԵՏ, ապա համակարգը (4) անորոշ է։ Հետևաբար, (1) համակարգը նույնպես անորոշ է։ SLE (4)-ով հիմնական անհայտներն արտահայտելով ազատ անհայտներով՝ մենք ստանում ենք համակարգ, որը կոչվում է համակարգի ընդհանուր լուծում (1):
Օրինակ. Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով մեթոդը Գ aussa
Մենք դուրս ենք գրում գծային հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցը և տարրական տողերի փոխակերպումների միջոցով այն վերածում ենք քայլային մատրիցայի.
~
~
~
~
~ . Օգտագործելով ստացված մատրիցը, մենք վերականգնում ենք գծային հավասարումների համակարգը. 
Այս համակարգը համարժեք է սկզբնական համակարգին: Որպես հիմնական անհայտներ, մենք այնուհետև վերցնում ենք 
ազատ անհայտներ. Եկեք արտահայտենք հիմնական անհայտները միայն ազատ անհայտների առումով.
Մենք ստացել ենք SLE-ի ընդհանուր լուծումը: Թող ուրեմն 
(5, 0, -5, 0, 1) SLE-ի որոշակի լուծում է:
Անկախ լուծման առաջադրանքներ
1. Գտե՛ք հավասարումների համակարգի ընդհանուր և մեկ առանձին լուծում՝ վերացնելով անհայտները.
1) 
2) 
4) 
6) 
2. Գտեք տարբեր պարամետրերի արժեքներով ԱՀավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծում.
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§8. Վեկտորային տարածություններ
Վեկտորային տարածության հայեցակարգը. Ամենապարզ հատկությունները.
Թող Վ ≠ Ø, ( Ֆ, +,∙) – դաշտ։ Դաշտի տարրերը կկոչվեն սկալերներ։
Ցուցադրել φ : Ֆ× Վ –> Վկոչվում է բազմության տարրերի բազմապատկման գործողություն Վդեպի սկալերներ դաշտից Ֆ. Նշանակել φ (λ, ա) միջոցով լատարր արտադրանք Ադեպի սկալարի λ .
Սահմանում.Մի փունջ Վբազմության տարրերի գումարման տրված հանրահաշվական գործողությամբ Վև բազմապատկում տարրերի բազմապատկում Վդեպի սկալերներ դաշտից Ֆկոչվում է վեկտորային տարածություն F դաշտի վրա, եթե գործում են հետևյալ աքսիոմները.
Օրինակ.
Թող Ֆդաշտ, Ֆ n = {(ա 1
, ա 2
, … , ա n) | ա ես 
Ֆ (ես=)): Հավաքածուի յուրաքանչյուր տարր Ֆ nկանչեց n- ծավալային թվաբանական վեկտոր: Ներկայացնում ենք ավելացման գործողությունը n-չափային վեկտորներ և բազմապատկում n- ծավալային վեկտոր դեպի սկալար դաշտից Ֆ. Թող 
.
Եկեք դնենք = ( ա 1 + բ 1 , … , ա n + բ n), = (λ ա 1 , λ ա 2 , … , λ ա n) Մի փունջ Ֆ n-ը ներկայացված գործողությունների նկատմամբ վեկտորային տարածություն է, և այն կոչվում է n- ծավալային թվաբանական վեկտորային տարածություն դաշտի վրա Ֆ.
Թող Վ- վեկտորային տարածություն դաշտի վրա Ֆ, ,
. Տեղի են ունենում հետևյալ հատկությունները.
1) 
;
3) 
;
4) 
;
Սեփականության ապացույց 3.
Խմբում կրճատման օրենքի համաձայն հավասարությունից ( Վ,+) ունենք 
.
Գծային կախվածություն, վեկտորների համակարգերի անկախություն։
Թող Վդաշտի վրայի վեկտորային տարածությունն է Ֆ, 
. Վեկտորը կոչվում է վեկտորների համակարգի գծային համակցություն 
. Վեկտորների համակարգի բոլոր գծային համակցությունների բազմությունը կոչվում է վեկտորների այս համակարգի գծային միջակայք և նշանակվում է .
Սահմանում.Վեկտորների համակարգը համարվում է գծային կախված, եթե այդպիսի սկալերներ կան 
ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, ինչը
Եթե հավասարությունը (1) գործում է, եթե և միայն, եթե λ 1 = λ 2 = … = =λ մ=0, ապա վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային անկախ:
Օրինակ.Պարզեք, արդյոք վեկտորների համակարգը 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1, 3, 4) տարածություններ R 3 գծային կախված կամ անկախ:
Լուծում.Թող λ 1, λ 2, λ 3 
Եվ
|=> (0,0,0) – համակարգի լուծում. Հետևաբար, վեկտորների համակարգը գծային անկախ է:
Վեկտորների համակարգի գծային կախվածության և անկախության հատկությունները:
1. Առնվազն մեկ զրոյական վեկտոր պարունակող վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի:
2. Գծային կախված ենթահամակարգ պարունակող վեկտորների համակարգը գծային կախված է:
3. Վեկտորների համակարգ, որտեղ 
գծային կախված է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս համակարգի առնվազն մեկ վեկտորը, որը տարբերվում է վեկտորից, իրեն նախորդող վեկտորների գծային համակցություն է:
4. Եթե վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, իսկ վեկտորների համակարգը 
գծային կախված, ապա վեկտորը 
կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների գծային համակցություն և, ընդ որում, յուրօրինակ ձևով։
Ապացույց.Քանի որ վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի, ուրեմն 
ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, ինչը
Վեկտորային հավասարության մեջ (2) λ
մ+1 ≠ 0. Ենթադրելով, որ λ
մ+1 =0, ապա (2) => Ստացվում է, որ վեկտորների համակարգը գծային կախված է, քանի որ λ
1 , λ
2 , … , λ
մոչ բոլորն են զրո: Հասանք պայմանի հետ հակասության. (1) => որտեղից 
.
Թող վեկտորը կարող է ներկայացվել նաև հետևյալ կերպ. Հետո վեկտորային հավասարությունից 
վեկտորների համակարգի գծային անկախության պատճառով հետևում է, որ 
1 = β
1 , …, մ = β
մ .
5. Թող վեկտորների երկու համակարգեր և 
, մ>կ. Եթե վեկտորների համակարգի յուրաքանչյուր վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների համակարգի գծային համակցություն, ապա վեկտորների համակարգը գծային կախված է:
Վեկտորների համակարգի հիմքը, աստիճանը.
Տիեզերական վեկտորների վերջավոր համակարգ Վդաշտի վրայով Ֆ նշելով Ս.
Սահմանում.Վեկտորների համակարգի ցանկացած գծային անկախ ենթահամակարգ Սկոչվում է վեկտորների համակարգի հիմք Ս, եթե համակարգի որևէ վեկտոր Սկարող է ներկայացվել որպես վեկտորների համակարգի գծային համակցություն:
Օրինակ.Գտեք վեկտորների համակարգի հիմքը 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2, 3, 0) R 3: Վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, քանի որ, ըստ հատկության 5-ի, վեկտորների համակարգը ստացվում է վեկտորների համակարգից։ նպաստ հիմունքներէլեկտրամեխանոտրոնիկա: կրթականնպաստ հիմունքներէլեկտրատեխնիկա»; ...
Ուսումնական գրականություն 2000-2008 (1)
գրականությունՄաթեմատիկա Մաթեմատիկա Լոբկովա Ն.Ի. Հիմունքներգծային հանրահաշիվև անալիտիկ երկրաչափություն. կրթականնպաստ/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... նախագծում է հիմունքներէլեկտրամեխանոտրոնիկա: կրթականնպաստ/ PGUPS. Բաժ. «Տեսական հիմունքներէլեկտրատեխնիկա»; ...
