≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Երկրաչափական բանաձևերի նույնականացում. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները, դրանց ձևակերպումները և ածանցումը

«Մեղքի» հարցումը վերահղված է այստեղ. տես նաև այլ իմաստներ։ «վրկ» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ։ «Sine»-ը վերահղում է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ ... Վիքիպեդիա

Բրինձ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գծապատկերներ՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, սեկանտ, կոսեկանտ, կոտանգենս Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տեսք տարրական գործառույթներ. Սովորաբար դրանք ներառում են սինուս (sin x), կոսինուս (cos x), տանգենս (tg x), կոտանգենս (ctg x), ... ... Վիքիպեդիա

Բրինձ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, սեկանտ, կոսեկանտ, կոտանգենս Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տարրական ֆունկցիաների տեսակ են։ Սովորաբար դրանք ներառում են սինուս (sin x), կոսինուս (cos x), տանգենս (tg x), կոտանգենս (ctg x), ... ... Վիքիպեդիա

Բրինձ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, սեկանտ, կոսեկանտ, կոտանգենս Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տարրական ֆունկցիաների տեսակ են։ Սովորաբար դրանք ներառում են սինուս (sin x), կոսինուս (cos x), տանգենս (tg x), կոտանգենս (ctg x), ... ... Վիքիպեդիա

Բրինձ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, սեկանտ, կոսեկանտ, կոտանգենս Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տարրական ֆունկցիաների տեսակ են։ Սովորաբար դրանք ներառում են սինուս (sin x), կոսինուս (cos x), տանգենս (tg x), կոտանգենս (ctg x), ... ... Վիքիպեդիա

Գեոդեզիական չափումներ (XVII դ.) ... Վիքիպեդիա

Եռանկյունաչափության մեջ կես անկյան շոշափողի բանաձևը կապում է կես անկյան շոշափողը լրիվ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ. Տարբեր տատանումներայս բանաձեւն այսպիսի տեսք ունի ... Վիքիպեդիա

- (հունարեն τρίγονο (եռանկյուն) և հունարեն μετρειν (չափում), այսինքն՝ եռանկյունների չափումը) մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և դրանց կիրառությունը երկրաչափության մեջ։ Այս տերմինն առաջին անգամ հայտնվել է 1595 թվականին որպես ... ... Վիքիպեդիա

- (lat.solutio triangulorum) պատմական տերմիննկատի ունենալով հիմնական եռանկյունաչափական խնդրի լուծումը՝ եռանկյան մասին հայտնի տվյալներից (կողմեր, անկյուններ և այլն) գտե՛ք նրա մնացած բնութագրերը։ Եռանկյունը կարող է տեղակայվել ... ... Վիքիպեդիայում

Գրքեր

• Սեղանների հավաքածու. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-րդ դասարան. 17 աղյուսակ + մեթոդիկա, . Սեղանները տպված են հաստ պոլիգրաֆիկ ստվարաթղթի վրա՝ 680 x 980 մմ չափսերով։ Գրքույկ հետ ուղեցույցներուսուցչի համար. 17 թերթից բաղկացած ուսումնական ալբոմ…
• Ինտեգրալների և այլ մաթեմատիկական բանաձևերի աղյուսակներ, G. B. Dwight: Հայտնի ձեռնարկի տասներորդ հրատարակությունը պարունակում է անորոշ և մանրամասն աղյուսակներ: որոշակի ինտեգրալներ, և մեծ թիվայլ մաթեմատիկական բանաձևեր՝ ընդարձակումներ շարքերի, ...

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ.

secα-ն կարդացել է՝ «հատված ալֆա»: Սա կոսինուս ալֆայի փոխադարձն է:

cosecα-ն կարդացել է՝ «cosecant alpha»: Սա ալֆայի սինուսի փոխադարձությունն է:

Օրինակներ.Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Ա) 1 - մեղք 2 α; բ) cos2α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); է) sin2αcosα - cosα; ե) sin2α+1+cos2α;

ե) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; և) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; ը) ctg 2 α cos 2 α – ctg 2 α; Եվ) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

Ա) 1 - մեղք 2 α \u003d cos 2 α ըստ բանաձևի 1) ;

բ) cos 2 α - 1 \u003d - (1 - cos 2 α) \u003d -sin 2 α նույնպես կիրառել է բանաձևը 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Նախ, մենք կիրառեցինք երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերության բանաձևը. (a - b) (a + b) \u003d a 2 - b 2, այնուհետև բանաձևը. 1) ;

է) sin 2 αcosα - cosα. Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

sin 2 αcosα - cosα \u003d cosα (sin 2 α - 1) \u003d -cosα (1 - sin 2 α) \u003d -cosα ∙ cos 2 α \u003d -cos 3 α. Իհարկե, դուք արդեն նկատել եք, որ քանի որ 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α, ապա sin 2 α - 1 \u003d -cos 2 α: Նմանապես, եթե 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α, ապա cos 2 α - 1 \u003d -sin 2 α:

դ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

ե) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Ունենք՝ sin արտահայտության քառակուսին 2 α գումարած կրկնակի արտադրանք sin 2 α cos 2 α-ով և գումարած cos 2 α երկրորդ արտահայտության քառակուսին: Կիրառենք երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսու բանաձևը՝ a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2: Հաջորդը, կիրառեք բանաձևը 1) . Ստանում ենք՝ sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

և) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α \u003d tg 2 α (1 - sin 2 α) \u003d tg 2 α ∙ cos 2 α \u003d sin 2 α. Մենք կիրառեցինք բանաձևը 1) , ապա բանաձեւը 2) .

Հիշեք. tgα ∙ cosα = մեղքα.

Նմանապես, օգտագործելով բանաձևը 3) հասանելի: ctgα ∙ մեղքα = cosα. Հիշիր.

ը) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α \u003d ctg 2 α (cos 2 α - 1) \u003d ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Եվ) cos 2 α + tg 2 α cos 2 α = cos 2 α (1 + tg 2 α) = 1. Մենք նախ փակագծերից հանեցինք ընդհանուր գործակիցը, և փակագծերի պարունակությունը պարզեցվեց բանաձևով. 7).

Փոխակերպել արտահայտությունը.

Մենք կիրառել ենք բանաձևը 7) և ստացվեց երկու արտահայտությունների գումարի արտադրյալը այս արտահայտությունների տարբերության թերի քառակուսու վրա - երկու արտահայտությունների խորանարդների գումարի բանաձևը:

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ.

secα-ն կարդացել է՝ «հատված ալֆա»: Սա կոսինուս ալֆայի փոխադարձն է:

cosecα-ն կարդացել է՝ «cosecant alpha»: Սա ալֆայի սինուսի փոխադարձությունն է:

Օրինակներ.Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Ա) 1 - մեղք 2 α; բ) cos2α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); է) sin2αcosα - cosα; ե) sin2α+1+cos2α;

ե) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; և) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; ը) ctg 2 α cos 2 α – ctg 2 α; Եվ) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

Ա) 1 - մեղք 2 α \u003d cos 2 α ըստ բանաձևի 1) ;

բ) cos 2 α - 1 \u003d - (1 - cos 2 α) \u003d -sin 2 α նույնպես կիրառել է բանաձևը 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Նախ, մենք կիրառեցինք երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերության բանաձևը. (a - b) (a + b) \u003d a 2 - b 2, այնուհետև բանաձևը. 1) ;

է) sin 2 αcosα - cosα. Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

sin 2 αcosα - cosα \u003d cosα (sin 2 α - 1) \u003d -cosα (1 - sin 2 α) \u003d -cosα ∙ cos 2 α \u003d -cos 3 α. Իհարկե, դուք արդեն նկատել եք, որ քանի որ 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α, ապա sin 2 α - 1 \u003d -cos 2 α: Նմանապես, եթե 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α, ապա cos 2 α - 1 \u003d -sin 2 α:

դ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

ե) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Մենք ունենք՝ sin 2 α արտահայտության քառակուսին գումարած sin 2 α-ի կրկնակի արտադրյալը cos 2 α-ով և գումարած երկրորդ cos 2 α արտահայտության քառակուսին: Կիրառենք երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսու բանաձևը՝ a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2: Հաջորդը, կիրառեք բանաձևը 1) . Ստանում ենք՝ sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

և) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α \u003d tg 2 α (1 - sin 2 α) \u003d tg 2 α ∙ cos 2 α \u003d sin 2 α. Մենք կիրառեցինք բանաձևը 1) , ապա բանաձեւը 2) .

Հիշեք. tgα ∙ cosα = մեղքα.

Նմանապես, օգտագործելով բանաձևը 3) հասանելի: ctgα ∙ մեղքα = cosα. Հիշիր.

ը) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α \u003d ctg 2 α (cos 2 α - 1) \u003d ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Եվ) cos 2 α + tg 2 α cos 2 α = cos 2 α (1 + tg 2 α) = 1. Մենք նախ փակագծերից հանեցինք ընդհանուր գործակիցը, և փակագծերի պարունակությունը պարզեցվեց բանաձևով. 7).

Փոխակերպել արտահայտությունը.

Հոդվածը մանրամասնում է հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները:Այս հավասարությունները կապ են հաստատում տրված անկյան sin , cos , t g , c t g միջեւ: Եթե ​​մի գործառույթ հայտնի է, ապա դրա միջոցով կարելի է գտնել մեկ այլ գործառույթ:

Եռանկյունաչափական ինքնությունները՝ այս հոդվածում դիտարկելու համար: Ստորև ներկայացնում ենք դրանց ածանցման օրինակ՝ բացատրությամբ։

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 մեղք 2α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Խոսենք կարևոր եռանկյունաչափական ինքնության մասին, որը համարվում է եռանկյունաչափության հիմքերի հիմքը։

sin 2 α + cos 2 α = 1

Տրված հավասարումները t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α բխում են հիմնականից՝ երկու մասերը բաժանելով sin 2 α և cos 2 α: Այնուհետև մենք ստանում ենք t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α և t g α · c t g α \u003d 1 - սա սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումների հետևանք է:

Sin 2 α + cos 2 α = 1 հավասարությունը հիմնական եռանկյունաչափական նույնությունն է: Դա ապացուցելու համար անհրաժեշտ է թեմային անդրադառնալ միավոր շրջանով։

Տրվենք A կետի կոորդինատները (1, 0), որը α անկյունով պտտվելուց հետո դառնում է A 1 կետ։ Ըստ սահմանման, sin և cos կետը A 1 կստանան կոորդինատներ (cos α, sin α): Քանի որ A 1-ը գտնվում է միավոր շրջանագծի մեջ, ուրեմն կոորդինատները պետք է բավարարեն այս շրջանի x 2 + y 2 = 1 պայմանը: Cos 2 α + sin 2 α = 1 արտահայտությունը պետք է վավեր լինի: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ապացուցել α պտտման բոլոր անկյունների հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը:

Եռանկյունաչափության մեջ sin 2 α + cos 2 α = 1 արտահայտությունն օգտագործվում է որպես Պյութագորասի թեորեմ եռանկյունաչափության մեջ։ Դա անելու համար հաշվի առեք մանրամասն ապացույց:

Օգտագործելով միավոր շրջանագիծը, մենք պտտում ենք A կետը (1, 0) կոորդինատներով O կենտրոնական կետի շուրջ α անկյան տակ: Պտույտից հետո կետը փոխում է կոորդինատները և հավասարվում է A 1-ին (x, y): A 1 H ուղղահայաց ուղիղը իջեցնում ենք O x A 1 կետից։

Նկարը հստակ ցույց է տալիս, որ ձեւավորումը ուղղանկյուն եռանկյուն O A 1 N. Modulo ոտքերը O A 1 H և O N հավասար են, մուտքը կունենա հետևյալ ձևը. Ա 1 Հ | = | ժամը | , | O N | = | x | . O A 1 հիպոթենուսն ունի միավոր շրջանագծի շառավղին հավասար արժեք, | A 1-ի մասին | = 1. Օգտագործելով այս արտահայտությունը, մենք կարող ենք գրել հավասարությունը Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ | Ա 1 Հ | 2 + | O N | 2 = | A 1-ի մասին | 2. Այս հավասարությունը գրում ենք որպես | y | 2 + | x | 2 = 1 2, ինչը նշանակում է y 2 + x 2 = 1:

Օգտագործելով sin α = y և cos α = x սահմանումը, մենք փոխարինում ենք անկյան տվյալները կետերի կոորդինատների փոխարեն և անցնում անհավասարությանը sin 2 α + cos 2 α = 1:

Այս եռանկյունաչափական ինքնության միջոցով հնարավոր է անկյան մեղքի և կոսի հիմնական կապը: Այսպիսով, կարելի է դիտարկել անկյան մեղքը հայտնի cos-ով և հակառակը: Դա անելու համար անհրաժեշտ է լուծել sin 2 α + cos 2 \u003d 1 մեղքի և cos-ի նկատմամբ, այնուհետև մենք ստանում ենք sin α \u003d ± 1 - cos 2 α և cos α \u003d ± 1 - ձևի արտահայտություններ: sin 2 α, համապատասխանաբար. α անկյան արժեքը որոշում է արտահայտության արմատից առաջ նշանը։ Մանրամասն պարզաբանման համար դուք պետք է կարդաք եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հաշվարկման բաժինը:

Ամենից հաճախ հիմնական բանաձեւը օգտագործվում է փոխակերպումների կամ պարզեցումների համար։ եռանկյունաչափական արտահայտություններ. Սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հնարավոր է փոխարինել 1-ով: Ինքնության փոխարինումը կարող է լինել ինչպես ուղիղ, այնպես էլ հակառակ հերթականությամբ. միավորը փոխարինվում է սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարի արտահայտությամբ:

Շոշափող և կոտանգենս սինուսի և կոսինուսի միջոցով

Կոսինուսի և սինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումից երևում է, որ դրանք փոխկապակցված են միմյանց հետ, ինչը թույլ է տալիս առանձին վերափոխել անհրաժեշտ մեծությունները։

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Սահմանումից սինուսը y-ի օրդինատն է, իսկ կոսինուսը՝ x-ի աբսցիսա։ Տանգենսը օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերակցությունն է: Այսպիսով մենք ունենք.

t g α = y x = sin α cos α , իսկ կոտանգենս արտահայտությունն ունի հակառակ նշանակություն, այսինքն.

c t g α = x y = cos α sin α .

Այստեղից հետևում է, որ ստացված նույնականությունները t g α = sin α cos α և c t g α = cos α sin α տրված են sin և cos անկյուններից: Շոշափող է համարվում սինուսի և նրանց միջև անկյան կոսինուսի հարաբերությունը, իսկ կոտանգենսը՝ հակառակը։

Նկատի ունեցեք, որ t g α = sin α cos α և c t g α = cos α sin α ճիշտ են ցանկացած α անկյան համար, որի արժեքները գտնվում են տիրույթում: t g α \u003d sin α cos α բանաձևից α անկյան արժեքը տարբերվում է π 2 + π · z-ից, իսկ c t g α \u003d cos α sin α-ն վերցնում է α անկյան արժեքը, տարբեր π · z-ից: , z-ն ընդունում է ցանկացած ամբողջ թվի արժեքը:

Շոշափողի և կոտանգենսի փոխհարաբերությունները

Կա մի բանաձև, որը ցույց է տալիս անկյունների միջև կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջոցով: Այս եռանկյունաչափական նույնականությունը կարևոր է եռանկյունաչափության մեջ և նշվում է որպես t g α · c t g α = 1: Այն իմաստ ունի α-ի համար ցանկացած արժեքով, բացի π 2 · z , հակառակ դեպքում գործառույթները չեն սահմանվի:

t g α · c t g α = 1 բանաձևն ապացուցման մեջ ունի իր առանձնահատկությունները. Սահմանումից մենք ունենք, որ t g α = y x և c t g α = x y, հետևաբար մենք ստանում ենք t g α · c t g α = y x · x y = 1: Փոխակերպելով արտահայտությունը և փոխարինելով t g α = sin α cos α և c t g α = cos α sin α, մենք ստանում ենք t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1:

Այնուհետև շոշափողի և կոտանգենսի արտահայտությունը իմաստ ունի, երբ մենք վերջանում ենք փոխադարձ փոխադարձ թվերով:

Շոշափող և կոսինուս, կոտանգենս և սինուս

Վերափոխելով հիմնական ինքնությունները՝ մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ տանգենսը կապված է կոսինուսի միջոցով, իսկ կոտանգենսը՝ սինուսի միջոցով։ Սա կարելի է տեսնել t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α բանաձեւերից:

Սահմանումը հնչում է այսպես՝ անկյան տանգենսի քառակուսու գումարը և 1-ը հավասարվում է կոտորակի, որտեղ համարիչում ունենք 1, իսկ հայտարարում՝ տվյալ անկյան կոսինուսի քառակուսին և գումարը։ անկյան կոտանգենսի քառակուսին հակառակն է։ Սին 2 α + cos 2 α = 1 եռանկյունաչափական նույնականության շնորհիվ կարող եք համապատասխան կողմերը բաժանել cos 2 α-ի և ստանալ tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α, որտեղ cos 2 α-ի արժեքը չպետք է զրո լինի։ sin 2 α-ով բաժանելիս ստանում ենք նույնականությունը 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α, որտեղ sin 2 α արժեքը չպետք է հավասար լինի զրոյի:

Վերոնշյալ արտահայտություններից մենք ստացանք, որ նույնականությունը tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α ճշմարիտ է α անկյան բոլոր արժեքների համար, որոնք չեն պատկանում π 2 + π z-ին, և 1 + c t g 2 α = 1: sin 2 α-ի արժեքների համար, որոնք չեն պատկանում π · z միջակայքին:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Կարող եք պատվիրել մանրամասն լուծումքո առաջադրանքը!!!

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ (`sin x, cos x, tg x` կամ «ctg x») անհայտ պարունակող հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հավասարում, և մենք կքննարկենք դրանց բանաձևերը հետագա:

Ամենապարզ հավասարումներն են՝ «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», որտեղ «x»-ը գտնելու անկյունն է, «a»-ն ցանկացած թիվ է: Գրենք դրանցից յուրաքանչյուրի արմատային բանաձևերը։

1. «sin x=a» հավասարումը:

«|a|>1»-ի համար այն լուծումներ չունի:

`|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z»

2. «cos x=a» հավասարումը

Երբ `|ա|>1` - ինչպես սինուսի դեպքում, լուծումների միջև իրական թվերչունի.

`|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z»:

Սինուսի և կոսինուսի հատուկ դեպքեր գրաֆիկներում:

3. «tg x=a» հավասարումը

«a»-ի ցանկացած արժեքի համար ունի անսահման թվով լուծումներ:

Արմատային բանաձև՝ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. «ctg x=a» հավասարումը

Այն նաև ունի անսահման թվով լուծումներ «a»-ի ցանկացած արժեքի համար:

Արմատային բանաձև՝ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Աղյուսակում տրված եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների բանաձևերը

Սինուսի համար.
Կոսինուսի համար.
Շոշափողի և կոտանգենսի համար.
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարումների լուծման բանաձևեր.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու փուլից.

• օգտագործելով այն ամենապարզին փոխակերպելու համար;
• լուծել ստացված պարզ հավասարումը` օգտագործելով արմատների և աղյուսակների վերը նշված բանաձևերը:

Դիտարկենք լուծման հիմնական մեթոդները՝ օգտագործելով օրինակներ։

հանրահաշվական մեթոդ.

Այս մեթոդով կատարվում է փոփոխականի փոխարինում և փոխարինում հավասարության։

Օրինակ. Լուծեք հավասարումը` «2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

կատարել փոխարինում՝ «cos(x+\frac \pi 6)=y», ապա՝ «2y^2-3y+1=0»,

մենք գտնում ենք արմատները՝ `y_1=1, y_2=1/2`, որից հետևում են երկու դեպք.

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`:

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Պատասխան՝ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`:

Ֆակտորիզացիա.

Օրինակ. Լուծե՛ք «sin x+cos x=1» հավասարումը:

Լուծում. Տեղափոխեք դեպի ձախ հավասարության բոլոր պայմանները՝ «sin x+cos x-1=0»: Օգտագործելով , մենք վերափոխում և ֆակտորիզացնում ենք ձախ կողմը.

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

«2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0»,

1. «sin x/2 =0», «x/2 =\pi n», «x_1=2\pi n»:
2. «cos x/2-sin x/2=0», «tg x/2=1», «x/2=arctg 1+ \pi n», «x/2=\pi/4+ \pi n»: , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`:

Պատասխան՝ «x_1=2\pi n», «x_2=\pi/2+ 2\pi n»:

Կրճատում միատարր հավասարման

Նախ, դուք պետք է բերեք այս եռանկյունաչափական հավասարումը երկու ձևերից մեկին.

«a մեղք x+b cos x=0» ( միատարր հավասարումառաջին աստիճան) կամ «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում):

Այնուհետև երկու մասերը բաժանեք «cos x \ne 0»-ով առաջին դեպքի համար, և «cos^2 x \ne 0»-ով երկրորդի համար: Մենք ստանում ենք «tg x»-ի հավասարումներ՝ «a tg x+b=0» և «a tg^2 x + b tg x +c =0», որոնք պետք է լուծվեն հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը` «2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1»:

Լուծում. Եկեք աջ կողմը գրենք որպես `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=``sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -`` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Սա երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, որի ձախ և աջ կողմերը բաժանելով «cos^2 x \ne 0»-ի, ստանում ենք.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`: Ներկայացնենք «tg x=t» փոխարինումը, արդյունքում՝ «t^2 + t - 2=0»: Այս հավասարման արմատներն են՝ «t_1=-2» և «t_2=1»: Ապա.

1. «tg x=-2», «x_1=arctg (-2)+\pi n», «n \in Z»
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Գնացեք կես անկյուն

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը` «11 sin x - 2 cos x = 10»:

Լուծում. Կիրառելով կրկնակի անկյան բանաձևերը, ստացվում է` «22 sin (x/2) cos (x/2) -` «2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` «10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 տգ^2 x/2 - 11 տգ x/2 +6=0`

Կիրառելով վերը նկարագրված հանրահաշվական մեթոդը՝ մենք ստանում ենք.

1. «tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n», «n \in Z»,
2. «tg x/2=3/4», «x_2=arctg 3/4+2\pi n», «n \in Z»:

Պատասխանել. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`:

Օժանդակ անկյունի ներդրում

«a sin x + b cos x =c» եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, որտեղ a,b,c գործակիցներն են, իսկ x-ը փոփոխական է, մենք երկու մասերը բաժանում ենք «sqrt (a^2+b^2)»-ի.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))».

Ձախ կողմի գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այսինքն՝ դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի, իսկ մոդուլը 1-ից մեծ չէ: Նշեք դրանք հետևյալ կերպ. «\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, ապա.

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`:

Եկեք մանրամասն նայենք հետևյալ օրինակին.

Օրինակ. Լուծե՛ք «3 sin x+4 cos x=2» հավասարումը։

Լուծում. Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով «sqrt (3^2+4^2)»-ի վրա՝ ստանում ենք.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))»:

«3/5 մեղք x+4/5 cos x=2/5»:

Նշեք `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`: Քանի որ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, մենք վերցնում ենք `\varphi=arcsin 4/5` որպես օժանդակ անկյուն: Այնուհետև մենք գրում ենք մեր հավասարությունը ձևով.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Կիրառելով սինուսի անկյունների գումարի բանաձևը, մենք գրում ենք մեր հավասարությունը հետևյալ ձևով.

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Կոտորակային-ռացիոնալ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Սրանք հավասարումներ են կոտորակների հետ, որոնց համարիչներում և հայտարարներում կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`:

Լուծում. Հավասարման աջ կողմը բազմապատկեք և բաժանեք «(1+cos x)»-ով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Հաշվի առնելով, որ հայտարարը չի կարող զրո լինել, մենք ստանում ենք «1+cos x \ne 0», «cos x \ne -1», «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z»:

Կոտորակի համարիչը հավասարեցնել զրոյի՝ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`: Այնուհետև՝ «sin x=0» կամ «1-sin x=0»:

1. «sin x=0», «x=\pi n», «n \in Z»:
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`:

Հաշվի առնելով, որ «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z», լուծումներն են՝ «x=2\pi n, n \in Z» և «x=\pi /2+2\pi n»: , `n \in Z`.

Պատասխանել. «x=2\pi n», «n \in Z», «x=\pi /2+2\pi n», «n \in Z»:

Եռանկյունաչափությունը և հատկապես եռանկյունաչափական հավասարումները կիրառվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի և ճարտարագիտության գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Ուսումը սկսվում է 10-րդ դասարանից, քննության համար միշտ առաջադրանքներ կան, այնպես որ աշխատեք հիշել բոլոր բանաձեւերը. եռանկյունաչափական հավասարումներ- նրանք անպայման օգտակար կլինեն:

Այնուամենայնիվ, դուք նույնիսկ կարիք չունեք դրանք անգիր անել, գլխավորն այն է, որ հասկանաք էությունը և կարողանաք եզրակացնել: Դա այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Կհամոզվեք ինքներդ՝ դիտելով տեսանյութը։