• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Գումարած երկու անգամ առաջինի և երկրորդի արտադրանքը: Առցանց հաշվիչ Բազմապատկելով բազմանդամները

Դրանք օգտագործվում են հաշվարկները պարզեցնելու, ինչպես նաև բազմանդամների ֆակտորինգի և բազմանդամների արագ բազմապատկման համար։ Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի մեծ մասը կարելի է ստանալ Նյուտոնի երկանդամից. շուտով դա կտեսնեք:

Քառակուսիների բանաձևերավելի հաճախ օգտագործվում է հաշվարկներում: Դպրոցական ծրագրում դրանք սկսում են ուսումնասիրվել 7-րդ դասարանից և մինչև ուսման ավարտը դպրոցականները պետք է անգիր իմանան քառակուսիների և խորանարդների բանաձևեր։

Բանաձևեր խորանարդի համարայնքան էլ բարդ չէ, և դուք պետք է դրանք իմանաք բազմանդամները ստանդարտ ձևի վերածելիս, պարզեցնել փոփոխականի և թվի գումարը կամ տարբերությունը խորանարդի հասցնելու համար:

Կարմիրով նշված բանաձևերը ստացվում են նախորդներից՝ խմբավորելով նմանատիպ տերմիններ։

Չորրորդ և հինգերորդ աստիճանների բանաձևերՔչերին դա օգտակար կլինի դպրոցական դասընթացում, բայց կան խնդիրներ բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մեջ, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել ուժերի գործակիցները:

Բանաձևեր աստիճանի համար n-ը գրվում է երկանդամ գործակիցների միջոցով՝ օգտագործելով հետևյալ գործակիցները

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի օգտագործման օրինակներ

Օրինակ 1. Հաշվի՛ր 51^2։

Լուծում.

Եթե ​​դուք ունեք հաշվիչ, ապա այն կարող եք գտնել առանց խնդիրների:

Կատակում էի՝ բոլորը խելացի են հաշվիչով, առանց դրա... (տխուր բաներից չխոսենք)։

Առանց հաշվիչի և իմանալով վերը նշված կանոնները՝ կանոնի միջոցով գտնում ենք թվի քառակուսին

Օրինակ 2. Գտնել 99^2:

Լուծում. Կիրառենք երկրորդ բանաձեւը
Օրինակ 3. Քառակուսի տալ արտահայտությունը

(x+y-3):

Լուծում. Առաջին երկու անդամների գումարը մտովի համարում ենք մեկ անդամ և, օգտագործելով կրճատ բազմապատկման երկրորդ բանաձևը, ունենք.
11^2-9^2.

Օրինակ 4. Գտե՛ք քառակուսիների տարբերությունը

Լուծում.

Քանի որ թվերը փոքր են, կարող եք պարզապես փոխարինել քառակուսիների արժեքները
17^2-3^2 .

Բայց մեր նպատակը բոլորովին այլ է՝ սովորել, թե ինչպես օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ հաշվարկները պարզեցնելու համար։ Այս օրինակի համար մենք կիրառում ենք երրորդ բանաձևը

Օրինակ 5. Գտի՛ր քառակուսիների տարբերությունը

Լուծում.
Այս օրինակում դուք արդեն կցանկանաք ուսումնասիրել հաշվարկները մեկ տողով նվազեցնելու կանոնները

Ինչպես տեսնում եք, մենք ոչ մի զարմանալի բան չենք արել։ Օրինակ 6. Պարզեցնել արտահայտությունը(x-y)^2-(x+y)^2.

Լուծում.

Կարող եք հրապարակներ դնել և ավելի ուշ խմբավորել դրանք
նմանատիպ տերմիններ

. Այնուամենայնիվ, կարելի է ուղղակիորեն կիրառել քառակուսիների տարբերությունը

Պարզ և առանց երկար լուծումների։
Օրինակ 7. Խորանարդի բազմանդամ
բ) x^2+4x+29

Լուծում. ա) Վերադասավորեք պայմանները

բ) Պարզեցնել՝ հիմնվելով նախորդ փաստարկների վրա

Օրինակ 9. Ընդարձակի՛ր ռացիոնալ կոտորակը

Լուծում.

Կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը

Ստեղծենք հավասարումների համակարգ հաստատունները որոշելու համար

Եռապատկված առաջին հավասարմանը գումարենք երկրորդը։ Մենք գտած արժեքը փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ

Քայքայումը վերջապես ձև կընդունի

Ռացիոնալ կոտորակի ընդլայնումը հաճախ անհրաժեշտ է ինտեգրվելուց առաջ՝ հայտարարի հզորությունը նվազեցնելու համար:
Օրինակ 10. Օգտագործելով Նյուտոնի երկանդամը, գրի՛ր

արտահայտություն (x-a)^7.

Լուծում. Դուք հավանաբար արդեն գիտեք, թե ինչ է Նյուտոնի երկանդամը: Եթե ​​ոչ, ապա ստորև ներկայացված են երկանդամ գործակիցները

Դրանք ձևավորվում են հետևյալ կերպ. միավորները անցնում են եզրով, նրանց միջև եղած գործակիցները ներքևի տողում ձևավորվում են հարակից վերևների գումարմամբ: Եթե ​​մենք ինչ-որ չափով տարբերություն ենք փնտրում, ապա ժամանակացույցի նշանները փոխվում են գումարածից մինուս: Այսպիսով, յոթերորդ կարգի համար մենք ստանում ենք հետևյալ դասավորությունը

Նաև ուշադիր նայեք, թե ինչպես են փոխվում ցուցանիշները. առաջին փոփոխականի համար դրանք յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինի ընթացքում նվազում են մեկով, համապատասխանաբար, երկրորդի համար դրանք ավելանում են մեկով: Ընդհանուր առմամբ, ցուցանիշները միշտ պետք է հավասար լինեն տարրալուծման աստիճանին (=7):

Կարծում եմ՝ հիմնվելով վերը նշված նյութի վրա, դուք կկարողանաք խնդիրներ լուծել՝ օգտագործելով Նյուտոնի երկանդամը: Սովորեք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը և կիրառեք դրանք ամենուր, որտեղ նրանք կարող են պարզեցնել հաշվարկները և խնայել ժամանակը առաջադրանքը կատարելու վրա: Պարզեցնելու համարհանրահաշվական բազմանդամներ , գոյություն ունիկրճատված բազմապատկման բանաձևեր

. Դրանք այնքան էլ շատ չեն, և դրանք հեշտ է հիշել, բայց դուք պետք է հիշեք դրանք: Բանաձևերում օգտագործվող նշումը կարող է ունենալ ցանկացած ձև (թիվ կամ բազմանդամ): Առաջին կրճատված բազմապատկման բանաձևը կոչվում էքառակուսիների տարբերությունը

. Այն բաղկացած է մեկ թվի քառակուսին երկրորդ թվի քառակուսուց հանելուց, որը հավասար է այս թվերի տարբերությանը, ինչպես նաև դրանց արտադրյալին։

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
Պարզության համար եկեք նայենք դրան.

9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc) Երկրորդ բանաձեւը վերաբերում էքառակուսիների գումարը

. Թվում է, թե երկու մեծությունների քառակուսի գումարը հավասար է առաջին մեծության քառակուսուն, դրան գումարվում է առաջին մեծության կրկնակի արտադրյալը, որը բազմապատկվում է երկրորդով, իսկ երկրորդ մեծության քառակուսին գումարվում է նրանց։

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 Այս բանաձևի շնորհիվ շատ ավելի հեշտ է դառնում քառակուսու հաշվարկըմեծ թիվ

, առանց համակարգչային տեխնիկայի օգտագործման։Այսպիսով, օրինակ.
112-ի քառակուսին հավասար կլինի
112 = 100 + 12
2) Արդյունքը մուտքագրում ենք քառակուսի փակագծերում
112 2 = (100+12) 2
3) Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք.
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Երրորդ բանաձեւն է քառակուսի տարբերություն. Ինչն ասում է, որ քառակուսիում իրարից հանված երկու մեծությունները հավասար են, քանի որ քառակուսի առաջին մեծությունից հանում ենք առաջին մեծության կրկնակի արտադրյալը՝ բազմապատկելով երկրորդով, դրանց գումարելով երկրորդ մեծության քառակուսին։

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

որտեղ (a - b) 2 հավասար է (b - a) 2. Սա ապացուցելու համար (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Համառոտ բազմապատկման չորրորդ բանաձևը կոչվում է գումարի խորանարդ. Ինչը հնչում է այսպես. խորանարդի մեջ երկու գումարելի մեծություններ հավասար են 1 մեծության խորանարդին, գումարվում է 1 քանակի եռակի արտադրյալը՝ բազմապատկված 2-րդ քանակով, դրանց գումարվում է 1 քանակի եռակի արտադրյալը՝ բազմապատկած 2-ի քառակուսու վրա։ քանակները, գումարած երկրորդ քանակությունը խորանարդով:

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Հինգերորդը, ինչպես արդեն հասկացաք, կոչվում է տարբերության խորանարդ. Որը գտնում է մեծությունների միջև եղած տարբերությունները, քանի որ խորանարդի առաջին նշումից հանում ենք քառակուսու առաջին նշագրման եռակի արտադրյալը՝ բազմապատկված երկրորդով, դրանց գումարվում է առաջին նշագրման եռակի արտադրյալը՝ բազմապատկված երկրորդի քառակուսու վրա։ նշում, հանած երկրորդ նշումը խորանարդի մեջ:

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Վեցերորդը կոչվում է. խորանարդի գումարը. Խորանարդների գումարը հավասար է երկու հավելումների արտադրյալին՝ բազմապատկած տարբերության մասնակի քառակուսու վրա, քանի որ մեջտեղում կրկնակի արժեք չկա։

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Խորանարդների գումարն ասելու մեկ այլ եղանակ է այն անվանել արտադրյալ երկու փակագծերում:

Յոթերորդը և վերջինը կոչվում է խորանարդի տարբերություն(դա հեշտությամբ կարելի է շփոթել խորանարդի տարբերության բանաձևի հետ, բայց դրանք տարբեր բաներ են): Խորանարդների տարբերությունը հավասար է երկու մեծությունների տարբերության արտադրյալին՝ բազմապատկած գումարի մասնակի քառակուսու վրա, քանի որ մեջտեղում կրկնակի արժեք չկա։

a 3 - b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)

Եվ այսպես, կա կրճատված բազմապատկման ընդամենը 7 բանաձև, դրանք նման են միմյանց և հեշտ է հիշել, միակ կարևորը նշանների մեջ չշփոթվելն է։ Դրանք նաև նախատեսված են օգտագործելու համար հակառակ կարգըիսկ դասագրքերում հավաքված նման առաջադրանքները բավականին շատ են։ Զգույշ եղեք, և ձեզ մոտ ամեն ինչ կստացվի։

Եթե ​​բանաձևերի վերաբերյալ հարցեր ունեք, անպայման գրեք դրանք մեկնաբանություններում։ Մենք ուրախ կլինենք պատասխանել ձեզ:

Եթե ​​դուք ծննդաբերության արձակուրդում եք, բայց ցանկանում եք գումար վաստակել. Պարզապես հետևեք Օրիֆլեյմի հետ ինտերնետ բիզնես հղմանը: Այնտեղ ամեն ինչ շատ մանրամասն գրված և ցուցադրված է։ Հետաքրքիր է լինելու!

Դիպլոմային բանաձևերօգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։

Թիվ գէ n- թվի հզորությունը աԵրբ:

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցիչները գումարվում են.

մի մ·a n = a m + n.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց ցուցիչները.

3. Արտադրանքի հզորությունը 2 կամ ավելինգործոնները հավասար են այս գործոնների հզորությունների արտադրյալին.

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

(a/b) n = a n /b n .

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

(a m) n = a m n.

Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:

Օրինակ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Գործողություններ արմատներով.

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և արմատների բաժանարարի հարաբերությանը.

3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական ​​թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ ներդնել nրդ հզորությունը արմատական ​​թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանեք արմատը n-արմատական ​​թվի երրորդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացարձակ արժեքոչ դրական ցուցանիշ.

Բանաձև մի մ:a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ հետ մ< n.

Օրինակ. ա4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Բանաձևին մի մ:a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։

Զրո ինդեքսով աստիճան։Զրո ցուցիչով զրոյի չհավասարվող ցանկացած թվի հզորությունը հավասար է մեկի:

Օրինակ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանին մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մ- այս թվի-րդ հզորությունը Ա.

Կրճատված արտահայտչական բանաձևերը շատ հաճախ օգտագործվում են պրակտիկայում, ուստի խորհուրդ է տրվում դրանք բոլորն անգիր սովորել: Մինչև այս պահը այն հավատարմորեն կծառայի մեզ, որը խորհուրդ ենք տալիս տպել և մշտապես պահել ձեր աչքի առաջ.

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի կազմված աղյուսակի առաջին չորս բանաձևերը թույլ են տալիս քառակուսի և խորանարդի մեջ դնել երկու արտահայտությունների գումարը կամ տարբերությունը: Հինգերորդը նախատեսված է տարբերությունը և երկու արտահայտությունների գումարը համառոտ բազմապատկելու համար։ Իսկ վեցերորդ և յոթերորդ բանաձևերը օգտագործվում են a և b արտահայտությունների գումարը բազմապատկելու համար նրանց տարբերության ոչ լրիվ քառակուսիով (այսպես է կոչվում a 2 −a b+b 2 ձևի արտահայտությունը) և երկուսի տարբերությամբ։ a և b արտահայտությունները համապատասխանաբար իրենց գումարի թերի քառակուսիով (a 2 + a·b+b 2 ):

Առանձին-առանձին հարկ է նշել, որ աղյուսակում յուրաքանչյուր հավասարություն ինքնություն է: Սա բացատրում է, թե ինչու կրճատված բազմապատկման բանաձևերը կոչվում են նաև կրճատված բազմապատկման նույնականություն:

Օրինակներ լուծելիս, հատկապես, որոնցում բազմանդամը ֆակտորացված է, FSU-ն հաճախ օգտագործվում է ձախ և աջ կողմերը փոխված տեսքով.

Աղյուսակի վերջին երեք ինքնությունները ունեն իրենց անունները: Կանչվում է a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) բանաձևը քառակուսիների տարբերության բանաձևը, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - խորանարդի գումարի բանաձևը, Ա a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - խորանարդի բանաձևի տարբերություն. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք չենք անվանել նախորդ աղյուսակի վերադասավորված մասերով համապատասխան բանաձևերը:

Լրացուցիչ բանաձևեր

Չի խանգարի ավելացնել ևս մի քանի ինքնություն կրճատված բազմապատկման բանաձևերի աղյուսակում:

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի (FSU) և օրինակների կիրառման ոլորտները

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի (fsu) հիմնական նպատակը բացատրվում է նրանց անունով, այսինքն, այն բաղկացած է արտահայտությունների համառոտ բազմապատկմամբ: Այնուամենայնիվ, FSU- ի կիրառման շրջանակը շատ ավելի լայն է և չի սահմանափակվում կարճ բազմապատկմամբ: Թվարկենք հիմնական ուղղությունները.

Անկասկած, կրճատված բազմապատկման բանաձևի կենտրոնական կիրառությունը գտնվել է արտահայտությունների նույնական փոխակերպումներ կատարելիս։ Ամենից հաճախ այդ բանաձևերը օգտագործվում են գործընթացում պարզեցնող արտահայտություններ.

Օրինակ։

Պարզեցրե՛ք 9·y−(1+3·y) արտահայտությունը 2:

Լուծում.

Այս արտահայտության մեջ քառակուսիացումը կարող է կատարվել կրճատ, մենք ունենք 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Մնում է բացել փակագծերը և բերել նմանատիպ տերմիններ. 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերը կամ կանոնները օգտագործվում են թվաբանության մեջ, ավելի ճիշտ՝ հանրահաշիվում՝ մեծերի հաշվման ավելի արագ գործընթացի համար։ հանրահաշվական արտահայտություններ. Բանաձևերը բխում են մի քանի բազմանդամների բազմապատկման հանրահաշիվում գոյություն ունեցող կանոններից:

Այս բանաձևերի օգտագործումը բավականին արագ լուծում է տալիս տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներին, ինչպես նաև օգնում է պարզեցնել արտահայտությունները: Հանրահաշվական փոխակերպումների կանոնները թույլ են տալիս կատարել որոշ մանիպուլյացիաներ արտահայտություններով, որոնցից հետո կարող եք հավասարության ձախ կողմում ստանալ աջ կողմի արտահայտությունը կամ վերափոխել հավասարության աջ կողմը (ձախ կողմի արտահայտությունը ստանալու համար հավասարության նշանից հետո):

Հիշողությունից հարմար է իմանալ համառոտ բազմապատկման համար օգտագործվող բանաձևերը, քանի որ դրանք հաճախ օգտագործվում են խնդիրներ և հավասարումներ լուծելիս։ Ստորև ներկայացված են այս ցանկում ընդգրկված հիմնական բանաձևերը և դրանց անվանումները:

Գումարի քառակուսին

Գումարի քառակուսին հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել առաջին անդամի քառակուսուց բաղկացած գումարը, առաջին անդամի և երկրորդի և երկրորդի քառակուսու արտադրյալի կրկնապատիկը: Արտահայտության տեսքով այս կանոնը գրված է հետևյալ կերպ՝ (a + c)² = a² + 2ac + c²:

Քառակուսի տարբերություն

Տարբերության քառակուսին հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել գումարը, որը բաղկացած է առաջին թվի քառակուսուց, առաջին թվի արտադրյալից երկու անգամ և երկրորդ (վերցված հակառակ նշանով) և երկրորդ թվի քառակուսուց։ Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a - c)² = a² - 2ac + c²:

Քառակուսիների տարբերություն

Երկու քառակուսի թվերի տարբերության բանաձևը հավասար է այս թվերի գումարի և դրանց տարբերության արտադրյալին: Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ a² - с² = (a + с)·(a - с):

Գումարի խորանարդ

Երկու անդամների գումարի խորանարդը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել առաջին անդամի խորանարդից բաղկացած գումարը, եռապատկել առաջին անդամի և երկրորդի քառակուսու արտադրյալը, եռապատկել առաջին անդամի և երկրորդի արտադրյալը: քառակուսի, իսկ երկրորդ անդամի խորանարդը։ Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³:

Խորանարդների գումարը

Ըստ բանաձևի՝ այն հավասար է այս անդամների գումարի և նրանց տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու արտադրյալին։ Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²):

Օրինակ։Անհրաժեշտ է հաշվարկել այն գործչի ծավալը, որը ձևավորվում է երկու խորանարդի ավելացումով: Հայտնի են միայն դրանց կողքերի չափերը։

Եթե ​​կողմնակի արժեքները փոքր են, ապա հաշվարկները պարզ են:

Եթե ​​կողմերի երկարություններն արտահայտված են ծանր թվերով, ապա այս դեպքում ավելի հեշտ է օգտագործել «Խորանարդների գումարը» բանաձևը, որը մեծապես կհեշտացնի հաշվարկները։

Տարբերության խորանարդ

Խորանարդային տարբերության արտահայտությունը հնչում է այսպես. որպես առաջին անդամի երրորդ աստիճանի գումար, եռապատկեք առաջին անդամի քառակուսու բացասական արտադրյալը երկրորդով, եռապատկեք առաջին անդամի արտադրյալը երկրորդի քառակուսու վրա: և երկրորդ անդամի բացասական խորանարդը: Մաթեմատիկական արտահայտության տեսքով տարբերության խորանարդն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³:

Խորանարդների տարբերությունը

Խորանարդների բանաձևի տարբերությունը խորանարդների գումարից տարբերվում է միայն մեկ նշանով. Այսպիսով, խորանարդների տարբերությունը բանաձև է, որը հավասար է այս թվերի տարբերության և դրանց գումարի ոչ լրիվ քառակուսու արտադրյալին։ Մաթեմատիկական արտահայտության տեսքով խորանարդների տարբերությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2):

Օրինակ։Անհրաժեշտ է հաշվարկել այն գործչի ծավալը, որը կմնա կապույտ խորանարդի ծավալից հանելուց հետո ծավալային գործիչ դեղին գույն, որը նույնպես խորանարդ է։ Հայտնի է միայն փոքր և մեծ խորանարդի կողային չափերը։

Եթե ​​կողմնակի արժեքները փոքր են, ապա հաշվարկները բավականին պարզ են: Իսկ եթե կողմերի երկարություններն արտահայտված են զգալի թվերով, ապա արժե կիրառել «Խորանարդների տարբերություն» (կամ «Տարբերության խորանարդ») խորագրով բանաձեւը, որը մեծապես կհեշտացնի հաշվարկները։