• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Հապավման հանրահաշվական բանաձևերը. Բազմանդամների քառակուսի

Այժմ դիտարկենք երկանդամի քառակուսիացումը և, կիրառելով թվաբանական տեսակետ, կխոսենք գումարի քառակուսու մասին, այսինքն՝ (a + b)², և երկու թվերի տարբերության քառակուսին, այսինքն. բ)².

Քանի որ (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

ապա գտնում ենք՝ (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², այսինքն.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Օգտակար է հիշել այս արդյունքը ինչպես վերը նկարագրված հավասարության, այնպես էլ բառերով. երկու թվերի գումարի քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն գումարած երկուսի արտադրյալը առաջին թվի և երկրորդի կողմից։ թիվը՝ գումարած երկրորդ թվի քառակուսին։

Իմանալով այս արդյունքը, մենք կարող ենք անմիջապես գրել, օրինակ.

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Դիտարկենք այս օրինակներից երկրորդը: Մենք պետք է քառակուսի դարձնենք երկու թվերի գումարը. առաջին թիվը 3ab է, երկրորդը՝ 1։ Արդյունքը պետք է լինի՝ 1) առաջին թվի քառակուսին, այսինքն՝ (3ab)², որը հավասար է 9a²b²; 2) երկուսի արտադրյալը առաջին թվով և երկրորդով, այսինքն՝ 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2-րդ թվի քառակուսին, այսինքն՝ 1² = 1 - այս երեք անդամները պետք է գումարվեն միասին:

Մենք նաև ստանում ենք երկու թվերի տարբերությունը քառակուսու համար, այսինքն՝ (a – b)²-ի համար.

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²:

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

այսինքն՝ երկու թվերի տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն՝ հանած երկու թվի արտադրյալը առաջին թվի և երկրորդի կողմից, գումարած երկրորդ թվի քառակուսին։

Իմանալով այս արդյունքը՝ մենք կարող ենք անմիջապես կատարել երկանդամների քառակուսիացում, որոնք թվաբանական տեսանկյունից ներկայացնում են երկու թվերի տարբերությունը։

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 և այլն:

Բացատրենք 2-րդ օրինակը. Այստեղ փակագծերում ունենք երկու թվերի տարբերություն՝ առաջին թիվը 5ab 3 է, իսկ երկրորդ թիվը՝ 3a 2 b։ Արդյունքը պետք է լինի՝ 1) առաջին թվի քառակուսին, այսինքն՝ (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) երկուսի արտադրյալը 1-ին և 2-րդ թվերի վրա, այսինքն՝ 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 և 3) երկրորդ թվի քառակուսին, այսինքն (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; Առաջին և երրորդ անդամները պետք է ընդունել գումարածով, իսկ 2-րդը՝ մինուսով, ստանում ենք 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2: 4-րդ օրինակը բացատրելու համար մենք միայն նշում ենք, որ 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... ցուցանիշը պետք է բազմապատկվի 2-ով և 2-ով) երկուսի արտադրյալը 1-ին թվով և 2-ով = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Եթե ​​վերցնենք հանրահաշվի տեսակետը, ապա երկու հավասարությունները՝ 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² և 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² արտահայտում են նույն բանը, այն է՝ երկանդամի քառակուսին հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն՝ գումարած (+2) թվի արտադրյալը առաջին անդամի և երկրորդի կողմից, գումարած երկրորդ անդամի քառակուսին։ Սա պարզ է, քանի որ մեր հավասարությունները կարող են վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Որոշ դեպքերում հարմար է ստացված հավասարությունները մեկնաբանել այսպես.

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Այստեղ մենք քառակուսի ենք դնում երկանդամ, որի առաջին անդամը = –4a և երկրորդը = –3b: Այնուհետև մենք ստանում ենք (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² և վերջապես.

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Հնարավոր կլիներ նաև ձեռք բերել և հիշել եռանդամի, քառանդամի կամ ընդհանրապես ցանկացած բազմանդամի քառակուսիացման բանաձևը: Այնուամենայնիվ, մենք դա չենք անի, քանի որ մեզ հազվադեպ է անհրաժեշտ այս բանաձևերը օգտագործել, և եթե մեզ անհրաժեշտ է քառակուսի դնել որևէ բազմանդամ (բացի երկանդամից), մենք նյութը կկրճատենք մինչև բազմապատկման: Օրինակ:

31. Կիրառենք ստացված 3 հավասարումները, այն է՝.

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

դեպի թվաբանություն.

Թող լինի 41 ∙ 39: Այնուհետև մենք կարող ենք սա ներկայացնել (40 + 1) (40 – 1) ձևով և նյութը նվազեցնել մինչև առաջին հավասարությունը. մենք ստանում ենք 40² – 1 կամ 1600 – 1 = 1599: Դրա շնորհիվ, հեշտ է կատարել բազմապատկումներ, ինչպիսիք են 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 և այլն:

Թող լինի 41 ∙ 41; դա նույնն է, ինչ 41² կամ (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681: Նաև 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է 37 ∙ 3 ապա սա հավասար է (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369: Նման բազմապատկումները (կամ երկնիշ թվերի քառակուսում) հեշտ է կատարել ձեր գլխում որոշակի հմտությամբ:

Դրանք օգտագործվում են հաշվարկները պարզեցնելու, ինչպես նաև բազմանդամների ֆակտորինգի և բազմանդամների արագ բազմապատկման համար։ Կրճատված բազմապատկման բանաձևերի մեծ մասը կարելի է ստանալ Նյուտոնի երկանդամից. շուտով դա կտեսնեք:

Քառակուսիների բանաձևերավելի հաճախ օգտագործվում է հաշվարկներում: Դպրոցական ծրագրում դրանք սկսում են ուսումնասիրվել 7-րդ դասարանից և մինչև ուսման ավարտը դպրոցականները պետք է անգիր իմանան քառակուսիների և խորանարդների բանաձևեր։

Բանաձևեր խորանարդի համարայնքան էլ բարդ չէ, և դուք պետք է դրանք իմանաք բազմանդամները ստանդարտ ձևի վերածելիս, պարզեցնել փոփոխականի և թվի գումարը կամ տարբերությունը խորանարդի հասցնելու համար:

Կարմիրով նշված բանաձևերը ստացվում են նախորդներից՝ խմբավորելով նմանատիպ տերմիններ։

Չորրորդ և հինգերորդ աստիճանների բանաձևերՔչերին դա օգտակար կլինի դպրոցական դասընթացում, բայց կան խնդիրներ բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մեջ, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել ուժերի գործակիցները:

Բանաձևեր աստիճանի համար n-ը գրվում է երկանդամ գործակիցների միջոցով՝ օգտագործելով հետևյալ գործակիցները

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի օգտագործման օրինակներ

Օրինակ 1. Հաշվի՛ր 51^2։

Լուծում.

Եթե ​​դուք ունեք հաշվիչ, ապա այն կարող եք գտնել առանց խնդիրների:

Կատակում էի՝ բոլորը խելացի են հաշվիչով, առանց դրա... (տխուր բաներից չխոսենք)։

Առանց հաշվիչի և իմանալով վերը նշված կանոնները՝ կանոնի միջոցով գտնում ենք թվի քառակուսին

Օրինակ 2. Գտեք 99^2:

Լուծում. Կիրառենք երկրորդ բանաձեւը
Օրինակ 3. Քառակուսի տալ արտահայտությունը

(x+y-3):

Լուծում. Առաջին երկու անդամների գումարը մտովի համարում ենք մեկ անդամ և, օգտագործելով կրճատ բազմապատկման երկրորդ բանաձևը, ունենք.
11^2-9^2.

Օրինակ 4. Գտե՛ք քառակուսիների տարբերությունը

Լուծում.

Քանի որ թվերը փոքր են, կարող եք պարզապես փոխարինել քառակուսիների արժեքները
17^2-3^2 .

Բայց մեր նպատակը բոլորովին այլ է՝ սովորել, թե ինչպես օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ հաշվարկները պարզեցնելու համար: Այս օրինակի համար մենք կիրառում ենք երրորդ բանաձևը

Օրինակ 5. Գտի՛ր քառակուսիների տարբերությունը

Լուծում.
Այս օրինակում դուք արդեն կցանկանաք ուսումնասիրել հաշվարկները մեկ տողով նվազեցնելու կանոնները

Ինչպես տեսնում եք, մենք ոչ մի զարմանալի բան չենք արել։ Օրինակ 6. Պարզեցնել արտահայտությունը(x-y)^2-(x+y)^2.

Լուծում.

Կարող եք հրապարակներ դնել և ավելի ուշ խմբավորել դրանք
նմանատիպ տերմիններ

. Այնուամենայնիվ, կարելի է ուղղակիորեն կիրառել քառակուսիների տարբերությունը

Պարզ և առանց երկար լուծումների։
Օրինակ 7. Խորանարդի բազմանդամ
x^3-4.

Լուծում. Կիրառենք 5 կրճատ բազմապատկման բանաձևը

Օրինակ 8. Գրի՛ր քառակուսիների տարբերությամբ կամ դրանց գումարով

ա) x^2-8x+7

բ) x^2+4x+29

Լուծում. ա) Վերադասավորեք պայմանները

բ) Պարզեցնել՝ հիմնվելով նախորդ փաստարկների վրա

Օրինակ 9. Ընդարձակի՛ր ռացիոնալ կոտորակը

Լուծում.

Կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը
Ստեղծենք հավասարումների համակարգ հաստատունները որոշելու համար

Եռապատկված առաջին հավասարմանը գումարենք երկրորդը։ Մենք գտած արժեքը փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ

Դրանք ձևավորվում են հետևյալ կերպ. միավորները անցնում են եզրով, նրանց միջև եղած գործակիցները ներքևի տողում ձևավորվում են հարակից վերևների գումարմամբ: Եթե ​​մենք ինչ-որ չափով տարբերություն ենք փնտրում, ապա ժամանակացույցի նշանները փոխվում են գումարածից մինուս: Այսպիսով, յոթերորդ կարգի համար մենք ստանում ենք հետևյալ դասավորությունը

Նաև ուշադիր նայեք, թե ինչպես են փոխվում ցուցանիշները. առաջին փոփոխականի համար դրանք յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինի ընթացքում նվազում են մեկով, համապատասխանաբար, երկրորդի համար դրանք ավելանում են մեկով: Ընդհանուր առմամբ, ցուցանիշները միշտ պետք է հավասար լինեն տարրալուծման աստիճանին (=7):

Կարծում եմ՝ հիմնվելով վերը նշված նյութի վրա, դուք կկարողանաք խնդիրներ լուծել՝ օգտագործելով Նյուտոնի երկանդամը: Սովորեք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը և կիրառեք դրանք ամենուր, որտեղ նրանք կարող են պարզեցնել հաշվարկները և խնայել ժամանակը առաջադրանքը կատարելու վրա:

Հանրահաշվական բազմանդամները հաշվարկելիս, հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործեք կրճատված բազմապատկման բանաձևեր . Ընդհանուր առմամբ կա յոթ նման բանաձև: Դուք պետք է բոլորին անգիր իմանաք:

Պետք է նաև հիշել, որ բանաձևերում a և b-ի փոխարեն կարող են լինել կամ թվեր կամ այլ հանրահաշվական բազմանդամներ:

Քառակուսիների տարբերություն

Երկու թվերի քառակուսիների տարբերությունը հավասար է այս թվերի տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալին։

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Գումարի քառակուսին

Երկու թվերի գումարի քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն գումարած կրկնակի արտադրանքառաջին թիվը երկրորդին գումարած երկրորդ թվի քառակուսին:

(ա + բ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս կրճատված բազմապատկման բանաձևով դա հեշտ է գտնել քառակուսիներ մեծ թվեր առանց հաշվիչ օգտագործելու կամ երկար բազմապատկելու: Բացատրենք օրինակով.

Գտեք 112 2.

112-ը բաժանենք այն թվերի գումարին, որոնց քառակուսիները լավ հիշում ենք։2
112 = 100 + 1

Գրի՛ր փակագծերում տրված թվերի գումարը և փակագծերի վերևում տեղադրի՛ր քառակուսի:
112 2 = (100 + 12) 2

Եկեք օգտագործենք գումարի քառակուսու բանաձևը.
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Հիշեք, որ քառակուսի գումարի բանաձևը վավեր է նաև ցանկացած հանրահաշվական բազմանդամների համար:

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Զգուշացում!!!

(ա + բ) 2 հավասար չէ a 2 + b 2-ին

Քառակուսի տարբերություն

Երկու թվերի տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն՝ հանած առաջին և երկրորդ թվի արտադրյալի կրկնապատիկը գումարած երկրորդ թվի քառակուսին։

(ա - բ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Հարկ է նաև հիշել մի շատ օգտակար փոխակերպում.

(ա - բ) 2 = (բ - ա) 2
Վերոնշյալ բանաձևը կարելի է ապացուցել՝ պարզապես բացելով փակագծերը.

(ա - բ) 2 = ա 2 - 2աբ + բ 2 = բ 2 - 2աբ + ա 2 = (բ - ա) 2

Գումարի խորանարդ

Երկու թվերի գումարի խորանարդ հավասար է խորանարդիառաջին թվին գումարած եռապատկվում է առաջին թվի քառակուսու արտադրյալը, իսկ երկրորդին գումարած եռապատկվում է առաջինի արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին գումարած երկրորդի խորանարդը:

(ա + բ) 3 = ա 3 + 3 ա 2 բ + 3աբ 2 + բ 3

Բավականին հեշտ է հիշել այս «վախկոտ» տեսք ունեցող բանաձևը։

Իմացեք, որ 3-ը գալիս է սկզբում:

Մեջտեղում գտնվող երկու բազմանդամներն ունեն 3 գործակից։

INհիշեք, որ զրոյական հզորության ցանկացած թիվ 1 է (a 0 = 1, b 0 = 1): Հեշտ է նկատել, որ բանաձևում կա a աստիճանի նվազում և b աստիճանի աճ։ Դուք կարող եք ստուգել սա.
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Զգուշացում!!!

(ա + բ) 3 հավասար չէ a 3 + b 3-ին

Տարբերության խորանարդ

Երկու թվերի տարբերության խորանարդը հավասար է առաջին թվի խորանարդին՝ հանած առաջին թվի քառակուսու արտադրյալի եռապատիկը և երկրորդին գումարած երեք անգամ առաջին թվի արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին հանած խորանարդը։ երկրորդի։

(ա - բ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Այս բանաձևը հիշվում է ինչպես նախորդը, բայց միայն հաշվի առնելով «+» և «-» նշանների փոփոխությունը։ Առաջին a 3 անդամին նախորդում է «+» (ըստ մաթեմատիկայի կանոնների, մենք այն չենք գրում): Սա նշանակում է, որ հաջորդ տերմինին կնախորդի «-», այնուհետև կրկին «+» և այլն:

(ա - բ) 3 = + ա 3 - 3ա 2 բ + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Խորանարդների գումարը ( Չշփոթել գումարի խորանարդի հետ:)

Խորանարդների գումարը հավասար է երկու թվերի գումարի և տարբերության մասնակի քառակուսու արտադրյալին։

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Խորանարդների գումարը երկու փակագծերի արտադրյալն է։

Առաջին փակագիծը երկու թվերի գումարն է։

Երկրորդ փակագիծը թվերի տարբերության թերի քառակուսին է։ Տարբերության ոչ լրիվ քառակուսին արտահայտությունն է.

A 2 - ab + b 2
Այս քառակուսին թերի է, քանի որ մեջտեղում կրկնակի արտադրյալի փոխարեն թվերի սովորական արտադրյալն է։

Խորանարդների տարբերությունը (Չշփոթել տարբեր խորանարդի հետ!!!)

Խորանարդների տարբերությունը հավասար է երկու թվերի տարբերության և գումարի մասնակի քառակուսու արտադրյալին։

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Զգույշ եղեք նշաններ գրելիս.Պետք է հիշել, որ վերը նշված բոլոր բանաձևերը նույնպես օգտագործվում են աջից ձախ:

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը հիշելու հեշտ միջոց, կամ... Պասկալի եռանկյունին։

Դժվա՞ր եք հիշել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Պատճառը հեշտ է օգնել: Պարզապես պետք է հիշել, թե ինչպես է պատկերված այնպիսի պարզ բան, ինչպիսին Պասկալի եռանկյունն է։ Այդ ժամանակ դուք կհիշեք այս բանաձեւերը միշտ և ամենուր, ավելի ճիշտ՝ ոչ թե հիշեք, այլ կվերականգնեք։

Ո՞րն է Պասկալի եռանկյունը: Այս եռանկյունը բաղկացած է գործակիցներից, որոնք մտնում են ձևի երկանդամության ցանկացած աստիճանի բազմանդամի ընդլայնման մեջ:

Ընդարձակենք, օրինակ.

Այս գրառումում հեշտ է հիշել, որ առաջին թվի խորանարդը սկզբում է, իսկ երկրորդ թվի խորանարդը՝ վերջում։ Բայց այն, ինչ կա մեջտեղում, դժվար է հիշել: Եվ նույնիսկ այն փաստը, որ յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինի մեկ գործոնի աստիճանը անընդհատ նվազում է, իսկ երկրորդը մեծանում է, դժվար չէ նկատել և հիշել գործակիցներն ու նշանները հիշելու հետ կապված իրավիճակը (պլյուս, թե մինուս). ?):

Այսպիսով, առաջին հերթին, հավանականությունը: Կարիք չկա դրանք անգիր անել: Մենք արագորեն գծում ենք Պասկալի եռանկյունը նոթատետրի եզրերում, և ահա դրանք՝ գործակիցները, որոնք արդեն մեր առջև են: Մենք սկսում ենք նկարել երեք միավորով, մեկը վերևում, երկուսը ներքևում, աջ և ձախ - այո, դա արդեն եռանկյուն է:

Առաջին տողը, մեկ 1-ով, զրո է: Հետո գալիս է առաջինը, երկրորդը, երրորդը և այլն: Երկրորդ տողը ստանալու համար հարկավոր է նորից եզրերին վերագրել մեկը, իսկ կենտրոնում գրի առնել ստացված թիվը՝ ավելացնելով դրա վերևում գտնվող երկու թվերը.

Մենք գրում ենք երրորդ տողը. կրկին միավորի եզրերի երկայնքով և կրկին, նոր տողում հաջորդ համարը ստանալու համար, նախորդում ավելացնում ենք դրա վերևի թվերը.

Ինչպես կռահեցիք, յուրաքանչյուր տողում մենք ստանում ենք երկանդամի բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Դե, նույնիսկ ավելի հեշտ է հիշել նշանները. առաջինը նույնն է, ինչ ընդլայնված երկանդամում (մենք ընդլայնում ենք գումարը, նշանակում է գումարած, տարբերությունը նշանակում է մինուս), այնուհետև նշանները փոխարինվում են:

Սա այնքան օգտակար բան է՝ Պասկալի եռանկյունին։ Օգտագործիր դա!

Մաթեմատիկական արտահայտություններ (բանաձևեր) կրճատ բազմապատկում(գումարի և տարբերության քառակուսին, գումարի և տարբերության խորանարդը, քառակուսիների տարբերությունը, խորանարդների գումարը և տարբերությունը) չափազանց անփոխարինելի են ճշգրիտ գիտությունների շատ ոլորտներում։ Այս 7 խորհրդանշական նշումներն անգնահատելի են արտահայտությունների պարզեցման, հավասարումների լուծման, բազմանդամների բազմապատկման, կոտորակների կրճատման, ինտեգրալները լուծելու և շատ ավելին: Սա նշանակում է, որ շատ օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես են դրանք ձեռք բերվում, ինչու են դրանք անհրաժեշտ, և ամենակարևորը՝ ինչպես հիշել դրանք և հետո կիրառել դրանք: Հետո դիմելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերգործնականում ամենադժվարը կլինի տեսնել, թե ինչ կա Xիսկ դու ինչ ունես: Ակնհայտ է, որ սահմանափակումներ չկան աԵվ բոչ, ինչը նշանակում է, որ դա կարող է լինել ցանկացած թվային կամ այբբենական արտահայտություն:

Եվ այսպես, ահա դրանք.

Առաջին x 2 - 2-ին = (x - y) (x+y).Հաշվարկել քառակուսիների տարբերություներկու արտահայտություն, դուք պետք է բազմապատկեք այս արտահայտությունների տարբերությունները իրենց գումարներով:

Երկրորդ (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Գտնել գումարի քառակուսիներկու արտահայտություն, առաջին արտահայտության քառակուսին պետք է ավելացնել առաջին արտահայտության կրկնակի արտադրյալը և երկրորդին գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:

Երրորդ (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Հաշվարկելու համար քառակուսի տարբերություներկու արտահայտություն, պետք է առաջին արտահայտության քառակուսուց երկու անգամ պակասեցնել առաջին արտահայտության արտադրյալը երկրորդով գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:

Չորրորդ (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + ժամը 3-ին։Հաշվարկելու համար գումարի խորանարդերկու արտահայտություն, առաջին արտահայտության խորանարդին պետք է ավելացնել առաջին արտահայտության քառակուսու եռակի արտադրյալը երկրորդով գումարած առաջին արտահայտության եռակի արտադրյալը երկրորդի քառակուսու վրա գումարած երկրորդ արտահայտության խորանարդը:

Հինգերորդ (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - 3-ին. Հաշվարկելու համար տարբերության խորանարդերկու արտահայտություն, անհրաժեշտ է առաջին արտահայտության խորանարդից հանել առաջին արտահայտության քառակուսու եռակի արտադրյալը երկրորդով, գումարած առաջին արտահայտության եռակի արտադրյալը երկրորդի քառակուսու վրա՝ հանած երկրորդ արտահայտության խորանարդը։

Վեցերորդ x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)Հաշվարկելու համար խորանարդի գումարըերկու արտահայտություն, դուք պետք է բազմապատկեք առաջին և երկրորդ արտահայտությունների գումարները այս արտահայտությունների տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու վրա:

Յոթերորդ x 3 - 3-ին = (x - y) (x 2 + xy + y 2)Հաշվարկը կատարելու համար խորանարդի տարբերություններըերկու արտահայտություն, դուք պետք է բազմապատկեք առաջին և երկրորդ արտահայտությունների տարբերությունը այս արտահայտությունների գումարի ոչ լրիվ քառակուսու վրա:

Դժվար չէ հիշել, որ բոլոր բանաձեւերն օգտագործվում են հակառակ ուղղությամբ (աջից ձախ) հաշվարկներ կատարելու համար:

Այս նախշերի գոյության մասին հայտնի է եղել մոտ 4 հազար տարի առաջ։ Դրանք լայնորեն օգտագործվել են հին Բաբելոնի և Եգիպտոսի բնակիչների կողմից։ Բայց այդ դարաշրջաններում դրանք արտահայտվում էին բանավոր կամ երկրաչափական և հաշվարկներում տառեր չէին օգտագործում։

Եկեք դասավորենք այն քառակուսի գումարի ապացույց(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

Նախ սա մաթեմատիկական օրինաչափությունՀին հույն գիտնական Էվկլիդեսի կողմից, ով աշխատել է Ալեքսանդրիայում մ. Նրանք ամենուր օգտագործում էին ոչ թե «a 2», այլ «a հատվածի քառակուսի», ոչ թե «ab», այլ «a և b հատվածների միջև պարփակված ուղղանկյուն»:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, ք դատավարություն, և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: