≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Գտե՛ք հավասարման ամենամեծ բացարձակ արմատը: Թվի մոդուլ (թվի բացարձակ արժեք), սահմանումներ, օրինակներ, հատկություններ

Թվի բացարձակ արժեքը ասկզբից մինչև կետ հեռավորությունն է Ա(ա).

Այս սահմանումը հասկանալու համար եկեք փոխարինենք փոփոխականով ացանկացած թիվ, օրինակ 3 և փորձեք նորից կարդալ.

Թվի բացարձակ արժեքը 3 սկզբից մինչև կետ հեռավորությունն է Ա(3 ).

Պարզ է դառնում, որ մոդուլը ոչ այլ ինչ է, քան սովորական հեռավորություն։ Փորձենք տեսնել սկզբնաղբյուրից մինչև A կետի հեռավորությունը 3 )

Հեռավորությունը ծագումից մինչև A կետ 3 ) հավասար է 3-ի (երեք միավոր կամ երեք քայլ):

Թվի մոդուլը նշվում է երկու ուղղահայաց գծերով, օրինակ.

3 թվի մոդուլը նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ |3|

4 թվի մոդուլը նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ |4|

5 թվի մոդուլը նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ |5|

Մենք փնտրեցինք 3 թվի մոդուլը և պարզեցինք, որ այն հավասար է 3-ի: Այսպիսով, մենք այն գրում ենք.

Կարդում է այսպես. «Երեք թվի մոդուլը երեքն է»

Հիմա փորձենք գտնել -3 թվի մոդուլը։ Կրկին վերադառնում ենք սահմանմանը և դրա մեջ փոխարինում ենք -3 թիվը: Միայն կետի փոխարեն Աօգտագործել նոր կետ Բ. Վերջակետ Ամենք արդեն օգտագործել ենք առաջին օրինակում:

Թվի մոդուլ - 3 սկզբից մինչև կետ հեռավորությունն է Բ(—3 ).

Մի կետից մյուսը հեռավորությունը չի կարող բացասական լինել: Հետեւաբար, մոդուլը ցանկացած բացասական թիվ, լինելով հեռավորություն, նույնպես բացասական չի լինի։ -3 թվի մոդուլը կլինի 3 թիվը: Հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև B(-3) կետը նույնպես հավասար է երեք միավորի.

Կարդում է այսպես. «Մինուս երեքի մոդուլը երեք է»:

0 թվի մոդուլը հավասար է 0-ի, քանի որ 0 կոորդինատով կետը համընկնում է սկզբնակետին, այսինքն. հեռավորությունը ծագումից մինչև կետ O(0)հավասար է զրոյի:

«Զրոյի մոդուլը զրո է»

Մենք եզրակացություններ ենք անում.

• Թվի մոդուլը չի ​​կարող բացասական լինել.
• Դրական թվի և զրոյի համար մոդուլը հավասար է հենց թվին, իսկ բացասական թվի համար՝ հակառակ թիվ;
• Հակառակ թվերն ունեն հավասար մոդուլներ:

Հակառակ թվեր

Այն թվերը, որոնք տարբերվում են միայն նշաններով, կոչվում են հակառակը. Օրինակ՝ −2 և 2 թվերը հակադիր են։ Նրանք տարբերվում են միայն նշաններով: −2 թիվը ունի մինուս նշան, իսկ 2-ը՝ գումարած նշան, բայց մենք դա չենք տեսնում, քանի որ պլյուսը, ինչպես արդեն ասացինք, ավանդաբար չի գրվում։

Հակառակ թվերի ավելի շատ օրինակներ.

Հակառակ թվերն ունեն հավասար մոդուլներ: Օրինակ՝ եկեք գտնենք −2-ի և 2-ի մոդուլները

Նկարը ցույց է տալիս, որ հեռավորությունը ծագումից մինչև կետերը A (−2)Եվ B(2)հավասարապես հավասար է երկու քայլի:

Ձեզ դուր եկավ դասը:
Միացեք մեր նոր VKontakte խմբին և սկսեք ստանալ ծանուցումներ նոր դասերի մասին

Մոդուլն այն բաներից է, որի մասին կարծես թե բոլորը լսել են, բայց իրականում ոչ ոք իրականում չի հասկանում: Ուստի այսօր մեծ դաս է լինելու՝ նվիրված մոդուլներով հավասարումների լուծմանը։

Անմիջապես կասեմ՝ դասը դժվար չի լինի։ Իսկ ընդհանրապես մոդուլները համեմատաբար պարզ թեմա են։ «Այո, իհարկե, դա բարդ չէ: Դա փչում է իմ միտքը»: - Շատ ուսանողներ կասեն, բայց ուղեղի այս բոլոր ընդմիջումները տեղի են ունենում այն ​​պատճառով, որ մարդկանց մեծամասնության գլխում ոչ թե գիտելիք կա, այլ ինչ-որ բան: Եվ այս դասի նպատակն է խառնաշփոթը վերածել գիտելիքի:)

Մի փոքր տեսություն

Այսպիսով, եկեք գնանք: Սկսենք ամենակարևորից՝ ի՞նչ է մոդուլը: Հիշեցնեմ, որ թվի մոդուլը պարզապես նույն թիվն է, բայց վերցված առանց մինուս նշանի։ Այսինքն, օրինակ, $\left| -5 \աջ|=5$. Կամ $\ձախ| -129,5 \իրավունք|=$129,5.

Արդյո՞ք դա այդքան պարզ է: Այո, պարզ: Ո՞րն է այդ դեպքում դրական թվի բացարձակ արժեքը: Այստեղ ավելի պարզ է. դրական թվի մոդուլը հավասար է հենց այս թվին. $\left| 5 \աջ|=5$; $\ձախ| 129,5 \իրավունք|=$129,5 և այլն։

Հետաքրքիր բան է ստացվում. տարբեր թվերկարող է ունենալ նույն մոդուլը: Օրինակ՝ $\left| -5 \աջ|=\ձախ| 5 \աջ|=5$; $\ձախ| -129.5 \աջ|=\ձախ| 129.5\աջ|=$129.5. Հեշտ է տեսնել, թե դրանք ինչ թվեր են, որոնց մոդուլները նույնն են. այս թվերը հակադիր են։ Այսպիսով, մենք ինքներս ենք նշում, որ հակադիր թվերի մոդուլները հավասար են.

\[\ձախ| -a \աջ|=\ձախ| ա\իրավունք|\]

Մեկ այլ կարևոր փաստ: մոդուլը երբեք բացասական չէ. Ինչ թիվ էլ վերցնենք՝ լինի դա դրական, թե բացասական, նրա մոդուլը միշտ դրական է ստացվում (կամ ծայրահեղ դեպքերում՝ զրո): Ահա թե ինչու մոդուլը հաճախ անվանում են թվի բացարձակ արժեք։

Բացի այդ, եթե միավորենք մոդուլի սահմանումը դրական և բացասական թվերի համար, մենք ստանում ենք մոդուլի գլոբալ սահմանում բոլոր թվերի համար: Այսինքն՝ թվի մոդուլը հավասար է թվին, եթե թիվը դրական է (կամ զրո), կամ հավասար է հակառակ թվին, եթե թիվը բացասական է։ Դուք կարող եք սա գրել որպես բանաձև.

Կա նաև զրոյի մոդուլ, բայց այն միշտ հավասար է զրոյի։ Բացի այդ, զրոն միակ թիվն է, որը չունի հակադիր։

Այսպիսով, եթե դիտարկենք $y=\left| ֆունկցիան x \right|$ և փորձեք նկարել դրա գրաֆիկը, դուք կստանաք այսպիսի բան.

Մոդուլի գրաֆիկ և հավասարման լուծման օրինակ

Այս նկարից անմիջապես պարզ է դառնում, որ $\left| -m \աջ|=\ձախ| m \right|$, և մոդուլի գրաֆիկը երբեք չի ընկնում x առանցքից ցածր: Բայց սա դեռ ամենը չէ. կարմիր գիծը նշում է $y=a$ ուղիղ գիծը, որը դրական $a$-ի դեպքում մեզ տալիս է միանգամից երկու արմատ՝ $((x)_(1))$ և $((x) _(2)) $, բայց մենք ավելի ուշ կխոսենք:

Բացի զուտ հանրահաշվական սահմանումից, կա երկրաչափական սահմանում. Ենթադրենք, թվային տողի վրա կա երկու կետ՝ $((x)_(1))$ և $((x)_(2))$: Այս դեպքում $\left| արտահայտությունը ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$-ը պարզապես նշված կետերի միջև եղած հեռավորությունն է: Կամ, եթե նախընտրում եք, այս կետերը միացնող հատվածի երկարությունը.

Մոդուլը թվային գծի կետերի միջև հեռավորությունն է

Այս սահմանումը նաև ենթադրում է, որ մոդուլը միշտ ոչ բացասական է: Բայց բավականաչափ սահմանումներ և տեսություն՝ եկեք անցնենք իրական հավասարումների:

Հիմնական բանաձև

Լավ, մենք պարզեցինք սահմանումը: Բայց դա ավելի հեշտ չդարձրեց: Ինչպե՞ս լուծել այս մոդուլը պարունակող հավասարումները:

Հանգիստ, պարզապես հանգիստ: Սկսենք ամենապարզ բաներից։ Մտածեք այսպիսի մի բան.

\[\ձախ| x\աջ|=3\]

Այսպիսով, $x$-ի մոդուլը 3 է: Ինչի՞ կարող է հավասար լինել $x$-ը: Դե, դատելով սահմանումից, մենք բավականին գոհ ենք $x=3$-ից: Իրոք.

\[\ձախ| 3\աջ|=3\]

Այլ թվեր կա՞ն։ Կապը կարծես ակնարկում է, որ կա: Օրինակ, $x=-3$-ը նույնպես $\left| է -3 \աջ|=3$, այսինքն. պահանջվող հավասարությունը բավարարված է.

Այսպիսով, միգուցե եթե փնտրենք և մտածենք, ավելի շատ թվեր գտնե՞նք։ Բայց անջատիր այն. ավելի շատ թվերՈչ Հավասարում $\ձախ| x \right|=3$-ն ունի ընդամենը երկու արմատ՝ $x=3$ և $x=-3$։

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Թող $f\left(x \right)$ ֆունկցիան կախվի մոդուլի նշանի տակ՝ $x$ փոփոխականի փոխարեն, և դրեք կամայական $a$ թիվ աջ կողմում գտնվող եռակի փոխարեն։ Մենք ստանում ենք հավասարումը.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=a\]

Այսպիսով, ինչպես կարող ենք լուծել սա: Հիշեցնեմ՝ $f\left(x \right)$-ը կամայական ֆունկցիա է, $a$-ը՝ ցանկացած թիվ։ Նրանք. Ընդհանրապես ինչ-որ բան: Օրինակ:

\[\ձախ| 2x+1 \աջ|=5\]

\[\ձախ| 10x-5 \աջ|=-65\]

Ուշադրություն դարձնենք երկրորդ հավասարմանը. Նրա մասին անմիջապես կարելի է ասել՝ նա արմատներ չունի։ Ինչո՞ւ։ Ամեն ինչ ճիշտ է, քանի որ դրա համար պահանջվում է, որ մոդուլը հավասար լինի բացասական թվի, ինչը երբեք չի լինում, քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ մոդուլը միշտ դրական թիվ է, իսկ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։

Բայց առաջին հավասարման դեպքում ամեն ինչ ավելի զվարճալի է: Երկու տարբերակ կա՝ կա՛մ մոդուլի նշանի տակ կա դրական արտահայտություն, այնուհետև $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, կամ այս արտահայտությունը դեռ բացասական է, իսկ հետո $\left| 2x+1 \աջ|=-\ձախ(2x+1 \աջ)=-2x-1$: Առաջին դեպքում մեր հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| 2x+1 \աջ|=5\Աջ սլաք 2x+1=5\]

Եվ հանկարծ պարզվում է, որ $2x+1$ ենթամոդուլային արտահայտությունն իսկապես դրական է՝ այն հավասար է 5 թվին։ մենք կարող ենք ապահով կերպով լուծել այս հավասարումը. արդյունքում ստացված արմատը կլինի պատասխանի մի մասը.

Նրանք, ովքեր հատկապես անվստահ են, կարող են փորձել փոխարինել գտած արմատը սկզբնական հավասարման մեջ և համոզվել, որ մոդուլի տակ իսկապես դրական թիվ կա:

Հիմա եկեք նայենք բացասական ենթամոդուլային արտահայտության դեպքին.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| 2x+1 \աջ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք -2x-1=5 \Աջ սլաք 2x+1=-5\]

Վա՜յ Կրկին ամեն ինչ պարզ է. մենք ենթադրեցինք, որ $2x+1 \lt 0$, և արդյունքում ստացանք $2x+1=-5$ - իսկապես, այս արտահայտությունը զրոյից փոքր է։ Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը, մինչդեռ արդեն հաստատ գիտենք, որ գտնված արմատը կհամապատասխանի մեզ.

Ընդհանուր առմամբ կրկին երկու պատասխան ստացանք՝ $x=2$ և $x=3$։ Այո, հաշվարկների քանակը մի փոքր ավելի մեծ է ստացվել, քան շատ պարզ հավասարման $\left| x \right|=3$, բայց սկզբունքորեն ոչինչ չի փոխվել: Այսպիսով, միգուցե կա ինչ-որ ունիվերսալ ալգորիթմ:

Այո, նման ալգորիթմ գոյություն ունի։ Եվ հիմա մենք կվերլուծենք այն:

Ազատվել մոդուլի նշանից

Եկեք մեզ տրվի $\left| հավասարումը f\left(x \right) \right|=a$, իսկ $a\ge 0$ (հակառակ դեպքում, ինչպես արդեն գիտենք, արմատներ չկան): Այնուհետև կարող եք ազատվել մոդուլի նշանից՝ օգտագործելով հետևյալ կանոնը.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=a\Աջ սլաք f\ ձախ (x \աջ)=\pm a\]

Այսպիսով, մոդուլի հետ մեր հավասարումը բաժանվում է երկու մասի, բայց առանց մոդուլի: Ահա այսքանն է տեխնոլոգիան: Փորձենք լուծել մի քանի հավասարումներ։ Սկսենք սրանից

\[\ձախ| 5x+4 \աջ|=10\Աջ սլաք 5x+4=\pm 10\]

Եկեք առանձին դիտարկենք, երբ աջ կողմում կա տասը գումարած, և առանձին, երբ կա մինուս: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 5x+4=10\Աջ սլաք 5x=6\Աջ սլաք x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Ստացանք երկու արմատ՝ $x=1,2$ և $x=-2,8$։ Ամբողջ լուծումը տեւեց բառացիորեն երկու տող:

Լավ, հարց չկա, եկեք մի քիչ ավելի լուրջ բան նայենք.

\[\ձախ| 7-5x\աջ|=13\]

Կրկին բացում ենք մոդուլը պլյուս և մինուսով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 7-5x=13\Աջ սլաք -5x=6\Աջ սլաք x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին մի քանի տող, և պատասխանը պատրաստ է: Ինչպես ասացի, մոդուլների մեջ բարդ բան չկա: Պարզապես պետք է հիշել մի քանի կանոն. Հետևաբար, մենք առաջ ենք շարժվում և սկսում իսկապես ավելի բարդ խնդիրներից:

Աջ կողմի փոփոխականի դեպք

Այժմ հաշվի առեք այս հավասարումը.

\[\ձախ| 3x-2 \աջ|=2x\]

Այս հավասարումը սկզբունքորեն տարբերվում է բոլոր նախորդներից: Ինչպե՞ս: Իսկ այն, որ հավասար նշանի աջ կողմում դրված է $2x$ արտահայտությունը, և մենք նախապես չենք կարող իմանալ՝ դա դրական է, թե բացասական։

Ի՞նչ անել այս դեպքում: Նախ, մենք պետք է մեկընդմիշտ դա հասկանանք եթե պարզվի, որ հավասարման աջ կողմը բացասական է, ապա հավասարումը արմատներ չի ունենա- մենք արդեն գիտենք, որ մոդուլը չի ​​կարող հավասար լինել բացասական թվի:

Եվ երկրորդը, եթե աջ մասը դեռ դրական է (կամ հավասար է զրոյի), ապա կարող եք գործել ճիշտ այնպես, ինչպես նախկինում. պարզապես բացեք մոդուլը առանձին՝ գումարած նշանով և առանձին՝ մինուս նշանով։

Այսպիսով, մենք ձևակերպում ենք կանոն $f\left(x \right)$ և $g\left(x \right)$ կամայական ֆունկցիաների համար:

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=g\ ձախ (x \աջ)\ Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& f\ ձախ (x \աջ) =\pm g\ ձախ (x \աջ ), \\& g\ ձախ (x \աջ)\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Մեր հավասարման հետ կապված մենք ստանում ենք.

\[\ձախ| 3x-2 \աջ|=2x\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Դե, մենք ինչ-որ կերպ կհաղթահարենք $2x\ge 0$ պահանջը: Ի վերջո, մենք կարող ենք հիմարաբար փոխարինել այն արմատները, որոնք ստանում ենք առաջին հավասարումից և ստուգել, ​​թե արդյոք անհավասարությունը պահպանվում է, թե ոչ:

Այսպիսով, եկեք լուծենք ինքնին հավասարումը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, այս երկու արմատներից որն է բավարարում $2x\ge 0$ պահանջը: Այո երկուսն էլ! Հետևաբար, պատասխանը կլինի երկու թիվ՝ $x=(4)/(3)\;$ և $x=0$։ Սա է լուծումը:

Ես կասկածում եմ, որ ուսանողներից ոմանք արդեն սկսել են ձանձրանալ: Դե, եկեք նայենք նույնիսկ ավելի բարդ հավասարմանը.

\[\ձախ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \աջ|=x-((x)^(3))\]

Թեև այն չար տեսք ունի, իրականում այն ​​դեռևս նույն «մոդուլը հավասար է ֆունկցիայի» ձևի հավասարումն է.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=g\ ձախ (x \աջ)\]

Եվ դա լուծվում է ճիշտ նույն կերպ.

\[\ձախ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \աջ|=x-((x)^(3))\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \ձախ(x-((x)^(3)) \աջ), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Անհավասարության հետ ավելի ուշ կզբաղվենք. այն ինչ-որ կերպ չափազանց չար է (իրականում պարզ է, բայց մենք չենք լուծի այն): Առայժմ ավելի լավ է գործ ունենալ ստացված հավասարումների հետ: Դիտարկենք առաջին դեպքը. սա այն դեպքում, երբ մոդուլը ընդլայնվում է գումարած նշանով.

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Դե, անիմաստ է, որ դուք պետք է ամեն ինչ հավաքեք ձախից, բերեք նմանատիպերը և տեսնեք, թե ինչ է տեղի ունենում: Եվ սա տեղի է ունենում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Փակագծերից հանում ենք $((x)^(2))$ ընդհանուր գործակիցը և ստանում շատ պարզ հավասարում.

\[((x)^(2))\ձախ(2x-3 \աջ)=0\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[((x)_(1))=0;\քառակուսի ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Այստեղ մենք օգտագործեցինք կարևոր գույքարտադրյալը, որի համար մենք գործոնավորեցինք սկզբնական բազմանդամը. արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։

Հիմա ճիշտ նույն կերպ վարվենք երկրորդ հավասարման հետ, որը ստացվում է մինուս նշանով ընդլայնելով մոդուլը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\ձախ(x-((x)^(3)) \աջ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ ձախ (-3x+2 \աջ)=0: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին նույնը. արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի: Մենք ունենք:

\[\ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Դե, ստացանք երեք արմատ՝ $x=0$, $x=1,5$ և $x=(2)/(3)\;$։ Դե, այս հավաքածուից ո՞րը կմտնի վերջնական պատասխանի մեջ: Դա անելու համար հիշեք, որ մենք ունենք լրացուցիչ սահմանափակում անհավասարության տեսքով.

Ինչպե՞ս հաշվի առնել այս պահանջը: Եկեք պարզապես փոխարինենք գտնված արմատները և ստուգենք, թե արդյոք անհավասարությունը պահպանվում է այս $x$-ի համար, թե ոչ: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& x=0\Աջ սլաք x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Աջ սլաք x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Աջ սլաք x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, $x=1,5$ արմատը մեզ չի համապատասխանում։ Եվ ի պատասխան կլինի միայն երկու արմատ.

\[((x)_(1))=0;\քառակուսի ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Ինչպես տեսնում եք, նույնիսկ այս դեպքում ոչ մի բարդ բան չկար. մոդուլների հետ հավասարումները միշտ լուծվում են ալգորիթմի միջոցով: Պարզապես պետք է լավ հասկանալ բազմանդամներն ու անհավասարությունները: Հետևաբար, մենք անցնում ենք ավելի բարդ առաջադրանքների՝ արդեն կլինի ոչ թե մեկ, այլ երկու մոդուլ:

Հավասարումներ երկու մոդուլներով

Առայժմ ուսումնասիրել ենք միայն ամենաշատը պարզ հավասարումներ— կար մեկ մոդուլ և մեկ այլ բան: Այս «ուրիշ բանն» ուղարկեցինք անհավասարության մեկ այլ մաս՝ մոդուլից հեռու, որպեսզի վերջում ամեն ինչ կրճատվի $\left| ձևի հավասարման մեջ։ f\left(x \right) \right|=g\left(x \աջ)$ կամ նույնիսկ ավելի պարզ $\left| f\left(x \աջ) \աջ|=a$.

Բայց մանկապարտեզավարտվեց. ժամանակն է ավելի լուրջ բան մտածել: Սկսենք հետևյալ հավասարումներից.

\[\ձախ| f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\left(x \աջ) \աջ|\]

Սա «մոդուլը հավասար է մոդուլի» ձևի հավասարումն է։ Սկզբունքորեն կարևոր կետայլ տերմինների և գործոնների բացակայությունն է՝ միայն մեկ մոդուլ ձախ կողմում, ևս մեկ մոդուլ՝ աջ կողմում, և ոչ ավելին:

Ինչ-որ մեկը հիմա կմտածի, որ նման հավասարումներ ավելի դժվար է լուծել, քան այն, ինչ մինչ այժմ ուսումնասիրել ենք։ Բայց ոչ. այս հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել: Ահա բանաձևը.

\[\ձախ| f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\ ձախ (x \աջ) \աջ |\ Աջ սլաք f\ ձախ (x \աջ) =\pm g\ ձախ (x \աջ)\]

Բոլորը! Մենք ուղղակի հավասարեցնում ենք ենթամոդուլային արտահայտությունները՝ դրանցից մեկի դիմաց գումարած կամ մինուս նշան դնելով։ Եվ հետո մենք լուծում ենք ստացված երկու հավասարումները, և արմատները պատրաստ են: Ոչ մի լրացուցիչ սահմանափակում, ոչ մի անհավասարություն և այլն: Ամեն ինչ շատ պարզ է.

Փորձենք լուծել այս խնդիրը.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ|=\ձախ| 2x-7 \աջ|\]

Տարրական Ուոթսոն! Մոդուլների ընդլայնում.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ|=\ձախ| 2x-7 \աջ|\Աջ սլաք 2x+3=\pm \ձախ(2x-7 \աջ)\]

Դիտարկենք յուրաքանչյուր դեպք առանձին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ձախ(2x-7 \աջ)\Աջ սլաք 2x+3=-2x+7: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հավասարումը արմատներ չունի։ Որովհետև ե՞րբ է $3=-7$: Ինչ արժեքներով $x$: «Ի՞նչ դժոխք է $x$-ը: Ձեզ քարկոծե՞լ են։ Այնտեղ ընդհանրապես $x$ չկա», - ասում եք դուք: Եվ դուք ճիշտ կլինեք: Մենք ստացել ենք հավասարություն, որը կախված չէ $x$ փոփոխականից, և միևնույն ժամանակ հավասարությունը ինքնին սխալ է։ Դրա համար էլ արմատներ չկան :)

Երկրորդ հավասարման դեպքում ամեն ինչ մի փոքր ավելի հետաքրքիր է, բայց նաև շատ, շատ պարզ.

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ լուծվեց բառացիորեն մի քանի տողում, մենք այլ բան չէինք սպասում գծային հավասարումից :)

Արդյունքում վերջնական պատասխանն է՝ $x=1$։

Այնպես, ինչպես? Դժվա՞ր: Իհարկե ոչ։ Փորձենք մեկ այլ բան.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|\]

Կրկին մենք ունենք $\left| ձևի հավասարում f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\left(x \աջ) \աջ|$. Հետևաբար, մենք անմիջապես վերագրում ենք այն՝ բացահայտելով մոդուլի նշանը.

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \ձախ(x-1 \աջ)\]

Միգուցե ինչ-որ մեկը հիմա հարցնի. «Հեյ, ի՞նչ անհեթեթություն: Ինչո՞ւ է «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում աջ ձեռքի արտահայտության վրա, իսկ ձախում՝ ոչ»: Հանգստացեք, ես հիմա ամեն ինչ կբացատրեմ: Իսկապես, լավ իմաստով մենք պետք է վերագրեինք մեր հավասարումը հետևյալ կերպ.

Այնուհետև պետք է բացել փակագծերը, բոլոր տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ (քանի որ հավասարումը, ակնհայտորեն, երկու դեպքում էլ քառակուսի է լինելու), ապա գտնել արմատները։ Բայց պետք է խոստովանեք. երբ «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում է երեք տերմինից առաջ (հատկապես, երբ այս տերմիններից մեկը քառակուսի արտահայտություն է), ինչ-որ կերպ ավելի բարդ է թվում, քան այն իրավիճակը, երբ «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում է ընդամենը երկու տերմինից առաջ:

Բայց ոչինչ չի խանգարում մեզ վերաշարադրել սկզբնական հավասարումը հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|\Աջ սլաք \ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|=\ձախ| x-1 \ճիշտ|\]

Ինչ է պատահել? Ոչ մի առանձնահատուկ բան. նրանք պարզապես փոխանակեցին ձախ և աջ կողմերը: Մի փոքրիկ բան, որն ի վերջո մի փոքր կհեշտացնի մեր կյանքը:)

Ընդհանուր առմամբ, մենք լուծում ենք այս հավասարումը, հաշվի առնելով տարբերակները գումարած և մինուսով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Աջ սլաք ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\ձախ(x-1 \աջ)\Աջ սլաք ((x)^(2))-2x+1=0: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հավասարումն ունի $x=3$ և $x=1$ արմատներ։ Երկրորդը, ընդհանուր առմամբ, ճշգրիտ քառակուսի է.

\[((x)^(2))-2x+1=((\ձախ(x-1 \աջ))^(2))\]

Հետեւաբար, այն ունի միայն մեկ արմատ՝ $x=1$։ Բայց այս արմատը մենք արդեն ստացել ենք ավելի վաղ: Այսպիսով, վերջնական պատասխանի մեջ կմտնեն միայն երկու թվեր.

\[((x)_(1))=3;\քառակուսի ((x)_(2))=1.\]

Առաքելությունն ավարտված է: Կարելի է դարակից վերցնել կարկանդակ և ուտել։ Դրանք 2-ն են, քոնը միջինն է :)

Կարևոր նշում. Հասանելիություն նույնական արմատներժամը տարբեր տարբերակներՄոդուլի ընդլայնումը նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամները ֆակտորիզացված են, և այդ գործոնների թվում անպայման կլինի ընդհանուր մեկը: Իրոք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|; \\& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| \ձախ(x-1 \աջ)\ձախ(x-2 \աջ) \աջ|. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մոդուլի հատկություններից մեկը՝ $\left| a\cdot b \աջ|=\ձախ| a \աջ|\cdot \ձախ| b \right|$ (այսինքն՝ արտադրյալի մոդուլը հավասար է մոդուլի արտադրյալին), ուստի սկզբնական հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \ճիշտ|\]

Ինչպես տեսնում եք, մենք իսկապես ընդհանուր գործոն ունենք. Այժմ, եթե հավաքում եք բոլոր մոդուլները մի կողմից, կարող եք այս գործոնը հանել փակագծից.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \աջ|; \\& \ձախ| x-1 \աջ|-\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \աջ|=0; \\& \ձախ| x-1 \աջ|\cdot \left(1-\left| x-2 \աջ| \աջ)=0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, հիմա հիշեք, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի.

\[\ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=0, \\& \ձախ| x-2 \աջ|=1. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Այսպիսով, սկզբնական հավասարումը երկու մոդուլով կրճատվել է երկու ամենապարզ հավասարումների, որոնց մասին մենք խոսեցինք դասի հենց սկզբում: Նման հավասարումները կարող են լուծվել բառացիորեն մի երկու տողով :)

Այս դիտողությունը կարող է անհարկի բարդ և գործնականում անկիրառելի թվալ: Այնուամենայնիվ, իրականում դուք կարող եք շատ ավելին հանդիպել բարդ առաջադրանքներ, քան նրանք, որոնք մենք այսօր վերլուծում ենք։ Դրանցում մոդուլները կարող են համակցվել բազմանդամների, թվաբանական արմատների, լոգարիթմների և այլնի հետ։ Եվ նման իրավիճակներում հավասարման ընդհանուր աստիճանն իջեցնելու ունակությունը՝ փակագծերից ինչ-որ բան հանելով, կարող է շատ, շատ օգտակար լինել:

Հիմա կուզենայի նայել մեկ այլ հավասարման, որն առաջին հայացքից կարող է խելահեղ թվալ։ Շատ ուսանողներ խրված են դրա վրա, նույնիսկ նրանք, ովքեր կարծում են, որ լավ են հասկանում մոդուլները:

Այնուամենայնիվ, այս հավասարումը նույնիսկ ավելի հեշտ է լուծել, քան այն, ինչ մենք նայեցինք ավելի վաղ: Եվ եթե հասկանաք, թե ինչու, դուք կստանաք ևս մեկ հնարք մոդուլներով հավասարումներ արագ լուծելու համար:

Այսպիսով, հավասարումը հետևյալն է.

\[\ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|+\ձախ| ((x)^(2))+x-2 \աջ|=0\]

Ոչ, սա տառասխալ չէ. դա պլյուս է մոդուլների միջև: Եվ մենք պետք է գտնենք, թե $x$-ում երկու մոդուլների գումարը հավասար է զրոյի:

Ինչն է ամեն դեպքում խնդիրը: Բայց խնդիրն այն է, որ յուրաքանչյուր մոդուլ դրական թիվ է, կամ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։ Ի՞նչ կլինի, եթե գումարեք երկու դրական թիվ: Ակնհայտորեն կրկին դրական թիվ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին տողը կարող է ձեզ պատկերացում տալ. միակ դեպքը, երբ մոդուլների գումարը զրոյական է, եթե յուրաքանչյուր մոդուլ զրո է.

\[\ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|+\ձախ| ((x)^(2))+x-2 \աջ|=0\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|=0, \\& \ձախ|.

Իսկ ե՞րբ է մոդուլը հավասար զրոյի։ Միայն մեկ դեպքում, երբ ենթամոդուլային արտահայտությունը հավասար է զրոյի.

\[((x)^(2))+x-2=0\Աջ սլաք \ձախ(x+2 \աջ)\ձախ(x-1 \աջ)=0\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել)& x=-2 \\& x=1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Այսպիսով, մենք ունենք երեք կետ, որոնցում առաջին մոդուլը զրոյացված է. 0, 1 և −1; ինչպես նաև երկու կետեր, որոնցում երկրորդ մոդուլը զրոյականացվում է. −2 և 1: Այնուամենայնիվ, մեզ անհրաժեշտ է, որ երկու մոդուլները միաժամանակ զրոյացվեն, ուստի գտնված թվերից պետք է ընտրել դրանք, որոնք ներառված են. երկու հավաքածուները: Ակնհայտ է, որ կա միայն մեկ այդպիսի թիվ՝ $x=1$ - սա կլինի վերջնական պատասխանը։

Ճեղքման մեթոդ

Դե, մենք արդեն անդրադարձել ենք մի շարք խնդիրների և սովորել ենք շատ տեխնիկա: Կարծում եք՝ այսքանո՞վ է: Բայց ոչ! Այժմ մենք կանդրադառնանք վերջնական տեխնիկային, և միևնույն ժամանակ ամենակարևորին: Մենք կխոսենք մոդուլով հավասարումների բաժանման մասին։ Ինչի՞ մասին ենք նույնիսկ խոսելու։ Եկեք մի փոքր հետ գնանք և նայենք մի քանի պարզ հավասարման: Օրինակ սա.

\[\ձախ| 3x-5 \աջ|=5-3x\]

Սկզբունքորեն մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես լուծել նման հավասարումը, քանի որ դա $\left| ձևի ստանդարտ կառուցում է։ f\left(x \right) \right|=g\left(x \աջ)$: Բայց եկեք փորձենք այս հավասարմանը նայել մի փոքր այլ տեսանկյունից: Ավելի ճիշտ, հաշվի առեք արտահայտությունը մոդուլի նշանի տակ: Հիշեցնեմ, որ ցանկացած թվի մոդուլը կարող է հավասար լինել հենց թվին, կամ կարող է հակառակ լինել այս թվին.

\[\ձախ| a \աջ|=\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Իրականում այս երկիմաստությունն է ամբողջ խնդիրը. քանի որ մոդուլի տակ թիվը փոխվում է (դա կախված է փոփոխականից), մեզ համար պարզ չէ՝ դա դրական է, թե բացասական։

Բայց ի՞նչ, եթե սկզբում պահանջեք, որ այս թիվը լինի դրական: Օրինակ, մենք պահանջում ենք, որ $3x-5 \gt 0$ - այս դեպքում մեզ երաշխավորված է դրական թիվ ստանալ մոդուլի նշանի տակ, և մենք կարող ենք ամբողջությամբ ազատվել հենց այս մոդուլից.

Այսպիսով, մեր հավասարումը կվերածվի գծայինի, որը հեշտությամբ կարելի է լուծել.

Ճիշտ է, այս բոլոր մտքերը իմաստ ունեն միայն $3x-5 \gt 0$ պայմանով - մենք ինքներս ենք ներկայացրել այս պահանջը՝ մոդուլը միանշանակ բացահայտելու համար։ Հետևաբար, գտնված $x=\frac(5)(3)$-ը փոխարինենք այս պայմանով և ստուգենք.

Ստացվում է, որ $x$-ի նշված արժեքի համար մեր պահանջը չի բավարարվում, քանի որ արտահայտությունը պարզվեց, որ հավասար է զրոյի, և մեզ անհրաժեշտ է, որ այն խիստ մեծ լինի զրոյից: Տխուր :(

Բայց դա լավ է! Ի վերջո, կա ևս մեկ տարբերակ $3x-5 \lt 0$։ Ավելին. կա նաև $3x-5=0$ դեպք, սա նույնպես պետք է դիտարկել, այլապես լուծումը թերի կլինի։ Այսպիսով, հաշվի առեք դեպքը $3x-5 \lt 0$:

Ակնհայտ է, որ մոդուլը կբացվի մինուս նշանով: Բայց հետո առաջանում է մի տարօրինակ իրավիճակ. սկզբնական հավասարման մեջ և՛ ձախ, և՛ աջ կողմում նույն արտահայտությունն է մնալու.

Հետաքրքիր է, $5-3x$ արտահայտությունը ինչ $x$-ով հավասար կլինի $5-3x$ արտահայտությանը: Նույնիսկ կապիտան Օբյոզենսը կխեղդի իր թուքը նման հավասարումներից, բայց մենք գիտենք, որ այս հավասարումը ինքնություն է, այսինքն. դա ճշմարիտ է փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար:

Սա նշանակում է, որ ցանկացած $x$ կհամապատասխանի մեզ: Այնուամենայնիվ, մենք ունենք սահմանափակում.

Այլ կերպ ասած, պատասխանը կլինի ոչ թե մեկ թիվ, այլ ամբողջ ընդմիջում.

Վերջապես, մնում է ևս մեկ դեպք՝ $3x-5=0$: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. մոդուլի տակ կլինի զրո, և զրոյի մոդուլը նույնպես հավասար է զրոյի (սա ուղղակիորեն հետևում է սահմանումից).

Բայց հետո սկզբնական հավասարումը $\left| 3x-5 \right|=5-3x$-ը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

Մենք արդեն ստացել ենք այս արմատը վերևում, երբ դիտարկեցինք $3x-5 \gt 0$-ի դեպքը։ Ավելին, այս արմատը $3x-5=0$ հավասարման լուծումն է. սա այն սահմանափակումն է, որը մենք ինքներս ենք ներկայացրել մոդուլը վերականգնելու համար:

Այսպիսով, բացի միջակայքից, մենք կբավարարվենք նաև այս միջակայքի ամենավերջում գտնվող թվով.

Արմատների համակցում մոդուլային հավասարումների մեջ

Ընդհանուր վերջնական պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Շատ սովորական չէ նման խեղկատակություն տեսնել մոդուլով բավականին պարզ (ըստ էության գծային) հավասարման պատասխանում, Իսկապե՞ս, ընտելացիր. մոդուլի դժվարությունն այն է, որ նման հավասարումների պատասխանները կարող են լիովին անկանխատեսելի լինել:

Ուրիշ բան շատ ավելի կարևոր է. մենք հենց նոր վերլուծեցինք համընդհանուր ալգորիթմ մոդուլով հավասարումը լուծելու համար: Եվ այս ալգորիթմը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1. Հավասարման յուրաքանչյուր մոդուլը հավասարեցրու զրոյի: Մենք ստանում ենք մի քանի հավասարումներ.
2. Լուծե՛ք այս բոլոր հավասարումները և նշե՛ք արմատները թվային տողի վրա։ Արդյունքում ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի ընդմիջումների, որոնցից յուրաքանչյուրում բոլոր մոդուլները եզակիորեն բացահայտվում են.
3. Լուծեք սկզբնական հավասարումը յուրաքանչյուր ընդմիջման համար և միավորեք ձեր պատասխանները:

Այսքանը: Մնում է միայն մեկ հարց՝ ի՞նչ անել 1-ին քայլով ստացված արմատների հետ։ Ենթադրենք՝ ունենք երկու արմատ՝ $x=1$ և $x=5$։ Նրանք թվային գիծը կբաժանեն 3 մասի.

Թվային գիծը բաժանելով ընդմիջումների՝ օգտագործելով կետերը

Այսպիսով, որո՞նք են միջակայքերը: Պարզ է, որ դրանք երեքն են.

1. Ամենա ձախը՝ $x \lt 1$ — միավորն ինքնին ներառված չէ միջակայքում;
2. Կենտրոնական՝ $1\le x \lt 5$ - այստեղ մեկը ներառված է միջակայքում, բայց հինգը ներառված չէ;
3. Ամենաաջինը. $x\ge 5$ - հինգը ներառված է միայն այստեղ:

Կարծում եմ, դուք արդեն հասկանում եք օրինաչափությունը: Յուրաքանչյուր ինտերվալ ներառում է ձախ ծայրը և չի ներառում աջը:

Առաջին հայացքից նման գրառումը կարող է թվալ անհարմար, անտրամաբանական և ընդհանրապես ինչ-որ խենթ: Բայց հավատացեք ինձ, մի փոքր պրակտիկայից հետո դուք կգտնեք, որ այս մոտեցումը ամենահուսալին է և չի խանգարում մոդուլների միանշանակ բացմանը: Ավելի լավ է օգտագործել նման սխեման, քան ամեն անգամ մտածել՝ ձախ/աջ ծայրը տվեք ընթացիկ ինտերվալին կամ «գցեք» այն հաջորդը:

Հրահանգներ

Եթե ​​մոդուլը ներկայացված է որպես շարունակական ֆունկցիա, ապա դրա արգումենտի արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական՝ |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2);

Հեշտ է հասկանալ, որ բարդ թվերի գումարումն ու հանումը հետևում են նույն կանոնին, ինչ գումարումը և .

Երկու բարդ թվերի արտադրյալը հավասար է.

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Քանի որ i^2 = -1, վերջնական արդյունքը հետևյալն է.

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1):

Կոմպլեքս թվերի հզորացման և արմատահանման գործողությունները սահմանվում են այնպես, ինչպես իրական թվերը: Այնուամենայնիվ, մեջ համալիր տարածքՑանկացած թվի համար կա ճիշտ n թիվ b այնպիսին, որ b^n = a, այսինքն՝ n-րդ աստիճանի n արմատ:

Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ n աստիճանի ցանկացած հանրահաշվական հավասարում մեկ փոփոխականով ունի ճշգրիտ n բարդ արմատ, որոնցից մի քանիսը կարող են լինել .

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Աղբյուրներ:

• Դասախոսություն «Բարդ թվեր» 2019 թ

Արմատը պատկերակ է, որը ցույց է տալիս թվի հայտնաբերման մաթեմատիկական գործողությունը, որի բարձրացումը արմատային նշանի դիմաց նշված հզորությանը պետք է տա ​​հենց այս նշանի տակ նշված թիվը: Հաճախ արմատներ պարունակող խնդիրներ լուծելու համար բավական չէ միայն արժեքը հաշվարկել: Անհրաժեշտ է կատարել լրացուցիչ գործողություններ, որոնցից մեկն արմատային նշանի տակ թիվ, փոփոխական կամ արտահայտություն մուտքագրելն է։

Հրահանգներ

Որոշեք արմատային ցուցիչը: Ցուցանիշը այն ամբողջ թիվն է, որը ցույց է տալիս այն հզորությունը, որով պետք է բարձրացվի արմատը հաշվարկելու արդյունքը, որպեսզի ստացվի արմատական ​​արտահայտությունը (թիվը, որից արդյունահանվում է այս արմատը): Արմատային ցուցիչը որպես վերնագիր՝ արմատային պատկերակի առաջ: Եթե ​​այս մեկը հստակեցված չէ, ապա այդպես է Քառակուսի արմատ, որի աստիճանը երկու է։ Օրինակ՝ √3 արմատի ցուցիչը երկու է, 3√3-ինը՝ երեք, ⁴√3 արմատինը՝ չորս և այլն։

Այն թիվը, որը ցանկանում եք մուտքագրել արմատի նշանի տակ, բարձրացրեք մինչև նախորդ քայլում ձեր կողմից որոշված ​​այս արմատի ցուցիչին հավասար ուժ: Օրինակ, եթե ⁴√3 արմատի նշանի տակ պետք է մուտքագրել 5 թիվը, ապա արմատի աստիճանի ինդեքսը չորս է, և անհրաժեշտ է 5-ը չորրորդ աստիճանին հասցնելու արդյունքը 5⁴=625։ Դուք կարող եք դա անել ձեզ համար հարմար ցանկացած ձևով՝ ձեր գլխում, օգտագործելով հաշվիչ կամ հյուրընկալված համապատասխան ծառայություններ:

Արմատային նշանի տակ մուտքագրեք նախորդ քայլում ստացված արժեքը՝ որպես արմատական ​​արտահայտության բազմապատկիչ։ Նախորդ քայլում օգտագործված օրինակի համար արմատի տակ ⁴√3 5 (5*4√3) ավելացնելով, այս գործողությունը կարող է կատարվել այսպես. 5*4√3=⁴√(625*3):

Հնարավորության դեպքում պարզեցրեք ստացված արմատական ​​արտահայտությունը: Նախորդ քայլերի օրինակի համար պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել արմատային նշանի տակ թվերը՝ 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875: Սա ավարտում է արմատի տակ համարը մուտքագրելու գործողությունը:

Եթե ​​խնդիրը պարունակում է անհայտ փոփոխականներ, ապա վերը նկարագրված քայլերը կարող են կատարվել ընդհանուր տեսարան. Օրինակ, եթե չորրորդ արմատի տակ պետք է մուտքագրեք x անհայտ փոփոխական, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը 5/x³ է, ապա գործողությունների ամբողջ հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. x*4√(5/x³)=4. √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5):

Աղբյուրներ:

• ինչպես է կոչվում արմատային նշանը:

Իրական թվերը բավարար չեն ցանկացած քառակուսի հավասարում լուծելու համար։ Ամենապարզը քառակուսի հավասարումներ, իրական թվերի մեջ արմատներ չունենալով՝ սա x^2+1=0 է։ Լուծելիս ստացվում է, որ x=±sqrt(-1), և ըստ տարրական հանրահաշվի օրենքների՝ բացասականից հանիր զույգ աստիճանի արմատը. թվերդա արգելված է.

Ա-ն հաշվարկվում է հետևյալ կանոնների համաձայն.

Հակիրճության համար օգտագործվում են նշումներ |ա|. Այսպիսով, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| = 100 և այլն:

Ամեն չափս Xհամապատասխանում է բավականին ճշգրիտ արժեքի | X|. Իսկ դա նշանակում է ինքնությունը ժամը= |X| հավաքածուներ ժամըինչպես ոմանք արգումենտ ֆունկցիա X.

Ժամանակացույցսա գործառույթներըներկայացված ստորև.

Համար x > 0 |x| = x, և համար x< 0 |x|= -x; այս առումով y = | x| ժամը x> 0` համակցված ուղիղ գծի հետ y = x(առաջին կոորդինատային անկյան կիսադիր), և երբ X< 0 - с прямой y = -x(երկրորդ կոորդինատային անկյան կիսադիր):

Առանձին հավասարումներնշանի տակ ներառել անհայտներ մոդուլ.

Նման հավասարումների կամայական օրինակներ - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 և այլն:

Հավասարումների լուծումմոդուլի նշանի տակ անհայտ պարունակող հիմնված է այն փաստի վրա, որ եթե x անհայտ թվի բացարձակ արժեքը հավասար է. դրական թիվ a, ապա այս x թիվը ինքնին հավասար է կամ a-ի կամ -a-ի:

Օրինակ:, եթե | X| = 10, ապա կամ X= 10, կամ X = -10.

Եկեք դիտարկենք առանձին հավասարումների լուծում.

Վերլուծենք հավասարման լուծումը | X- 1| = 2.

Եկեք ընդլայնենք մոդուլըապա տարբերությունը X- 1-ը կարող է հավասար լինել կամ + 2 կամ - 2: Եթե x - 1 = 2, ապա X= 3; եթե X- 1 = - 2, ապա X= - 1. Մենք կատարում ենք փոխարինում և գտնում ենք, որ այս երկու արժեքները բավարարում են հավասարումը:

Պատասխանել.Վերոնշյալ հավասարումը երկու արմատ ունի. x 1 = 3, x 2 = - 1.

Եկեք վերլուծենք հավասարման լուծում | 6 — 2X| = 3X+ 1.

հետո մոդուլի ընդլայնումմենք ստանում ենք՝ կամ 6 - 2 X= 3X+ 1 կամ 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Առաջին դեպքում X= 1, իսկ երկրորդում X= - 7.

Փորձաքննություն.ժամը X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; դա բխում է դատարանից, X = 1 - արմատտրված հավասարումներ.

ժամը x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; սկսած 20 ≠ -20, ապա X= - 7-ը այս հավասարման արմատ չէ:

Պատասխանել. Uհավասարումն ունի միայն մեկ արմատ. X = 1.

Այս տեսակի հավասարումները կարող են լինել լուծել և գրաֆիկորեն.

Այսպիսով, եկեք որոշենք Օրինակ, գրաֆիկական հավասարում | X- 1| = 2.

Նախ մենք կկառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկա ժամը = |x- 1|. Նախ, եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկը ժամը=X- 1:

Դրա այդ հատվածը գրաֆիկական արվեստ, որը գտնվում է առանցքի վերևում XՄենք դա չենք փոխի։ Նրա համար X- 1 > 0 և հետևաբար | X-1|=X-1.

Գրաֆիկի այն հատվածը, որը գտնվում է առանցքի տակ X, եկեք պատկերենք սիմետրիկայս առանցքի համեմատ: Քանի որ այս մասի համար X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Ստացվածը տող(հաստ գիծ) և կամք ֆունկցիայի գրաֆիկ y = | X—1|.

Այս գիծը հատվելու է ուղիղ ժամը= 2 երկու կետում՝ M 1 աբսցիսով -1 և M 2 աբսցիսով 3. Եվ, համապատասխանաբար, հավասարումը | X- 1| =2 կլինի երկու արմատ. X 1 = - 1, X 2 = 3.

Լատիներենից բառացիորեն թարգմանված տերմինը (մոդուլ) նշանակում է «չափել»: Այս հասկացությունը մաթեմատիկա է ներմուծել անգլիացի գիտնական Ռ. Քոթսը։ Իսկ գերմանացի մաթեմատիկոս Կ. Վայերշտրասը ներկայացրեց մոդուլի նշանը՝ խորհրդանիշ, որը նշում է այս հասկացությունը գրելիս:

Առաջին այս հայեցակարգըսովորվում է մաթեմատիկա առարկայից՝ ըստ միջնակարգ դպրոցի 6-րդ դասարանի ուսումնական պլանի։ Մեկ սահմանման համաձայն՝ մոդուլը բացարձակ արժեք է իրական թիվ. Այլ կերպ ասած, իրական թվի մոդուլը պարզելու համար հարկավոր է հրաժարվել դրա նշանից։

Գրաֆիկորեն բացարձակ արժեք Անշվում է որպես |ա|.

Հիմնական տարբերակիչ հատկանիշԱյս հասկացությունն այն է, որ այն միշտ ոչ բացասական մեծություն է:

Այն թվերը, որոնք միմյանցից տարբերվում են միայն նշանով, կոչվում են հակադիր թվեր։ Եթե ​​արժեքը դրական է, ապա դրա հակառակը բացասական է, իսկ զրոն՝ հակառակը։

Երկրաչափական իմաստ

Եթե ​​մոդուլի հայեցակարգը դիտարկենք երկրաչափության տեսանկյունից, ապա այն կնշանակի այն հեռավորությունը, որը չափվում է միավոր հատվածներով կոորդինատների սկզբնակետից մինչև տվյալ կետ: Այս սահմանումը լիովին բացահայտում է ուսումնասիրվող տերմինի երկրաչափական իմաստը։

Գրաֆիկորեն սա կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ. |ա| = OA.

Բացարձակ արժեքի հատկություններ

Ստորև մենք կքննարկենք այս հայեցակարգի բոլոր մաթեմատիկական հատկությունները և այն գրելու եղանակները բառացի արտահայտությունների տեսքով.

Մոդուլով հավասարումների լուծման առանձնահատկությունները

Եթե ​​մենք խոսում ենք մաթեմատիկական հավասարումների և մոդուլ պարունակող անհավասարությունների լուծման մասին, ապա պետք է հիշել, որ դրանք լուծելու համար պետք է բացել այս նշանը։

Օրինակ, եթե բացարձակ արժեքի նշանը պարունակում է մաթեմատիկական ինչ-որ արտահայտություն, ապա մոդուլը բացելուց առաջ անհրաժեշտ է հաշվի առնել ընթացիկ մաթեմատիկական սահմանումները։

|A + 5| = A + 5, եթե A-ն մեծ է կամ հավասար է զրոյի:

5-Ա, եթե, A արժեքը զրոյից փոքր է:

Որոշ դեպքերում նշանը կարող է միանշանակ բացահայտվել փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։ Եկեք կառուցենք կոորդինատային գիծ, ​​որի վրա մենք նշում ենք ամեն ինչ թվային արժեքներորի բացարձակ արժեքը կլինի 5։

Նախ անհրաժեշտ է գծել կոորդինատային գիծ, ​​դրա վրա նշել կոորդինատների ծագումը և սահմանել միավորի հատվածի չափը: Բացի այդ, ուղիղ գիծը պետք է ունենա ուղղություն. Այժմ այս տողում անհրաժեշտ է կիրառել գծանշումներ, որոնք հավասար կլինեն միավորի հատվածի չափին:

Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ այս կոորդինատային գծում կլինեն մեզ համար երկու հետաքրքրություն 5 և -5 արժեքներով: