≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Նույն արմատների օրինակների ավելացում: Ի՞նչ դժվարություններ են սպասում նրանց, ովքեր պարտավորվում են արմատավորել։

Արմատների գումարում և հանում- ավագ դպրոցում մաթեմատիկայի (հանրահաշվի) դասընթացներ անցողների համար ամենատարածված «գայթակղիչներից» մեկը: Այնուամենայնիվ, դրանք ճիշտ գումարել և հանել սովորելը շատ կարևոր է, քանի որ արմատների գումարի կամ տարբերության օրինակները ներառված են «մաթեմատիկա» առարկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննության ծրագրում:

Նման օրինակների լուծմանը տիրապետելու համար անհրաժեշտ է երկու բան՝ հասկանալ կանոնները և նաև պրակտիկա ձեռք բերել։ Մեկ-երկու տասնյակ տիպիկ օրինակներ լուծելով՝ ուսանողն այս հմտությունը կբերի ավտոմատիզմի, այնուհետև նա այլևս վախենալու բան չի ունենա միասնական պետական ​​քննության ժամանակ։ Թվաբանական գործողությունները խորհուրդ է տրվում սկսել յուրացնել գումարումով, քանի որ դրանք գումարելը մի փոքր ավելի հեշտ է, քան հանելը։

Սա բացատրելու ամենահեշտ ձևը քառակուսի արմատն օգտագործելն է որպես օրինակ: Մաթեմատիկայի մեջ կա «քառակուսի» տերմինը. «Քառակուսի» նշանակում է որոշակի թվի բազմապատկում մեկ անգամ:. Օրինակ, եթե քառակուսի ես դնում 2-ը, ապա կստանաս 4: Եթե քառակուսի ես դնում 7-ը, ապա կստանաս 49: 9-ի քառակուսին 81 է: Այսպիսով, 4-ի քառակուսի արմատը 2-ն է, 49-ի քառակուսի արմատը 7 է, իսկ 81-ի քառակուսինը՝ 9:

Որպես կանոն, այս թեմայի ուսուցումը մաթեմատիկայից սկսվում է քառակուսի արմատներ. Այն անմիջապես որոշելու համար ավագ դպրոցի աշակերտը պետք է անգիր իմանա բազմապատկման աղյուսակը։ Նրանք, ովքեր հաստատապես չգիտեն այս աղյուսակը, պետք է օգտագործեն ակնարկներ: Սովորաբար թվի արմատական ​​քառակուսու արդյունահանման գործընթացը աղյուսակի տեսքով տրվում է դպրոցական մաթեմատիկայի բազմաթիվ տետրերի շապիկներին։

Կան արմատներ հետևյալ տեսակները:

• քառակուսի;
• խորանարդ (կամ այսպես կոչված երրորդ աստիճան);
• չորրորդ աստիճան;
• հինգերորդ աստիճան.

Լրացման կանոններ

Հաջողությամբ լուծելու համար բնորոշ օրինակ, անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ ոչ բոլոր արմատային թվերը կարելի է շարել միմյանց հետ. Որպեսզի դրանք միավորվեն, դրանք պետք է բերվեն մեկ օրինակի: Եթե ​​դա անհնար է, ապա խնդիրը լուծում չունի։ Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են նաև մաթեմատիկայի դասագրքերում՝ որպես յուրօրինակ ծուղակ ուսանողների համար։

Առաջադրանքներում ավելացում չի թույլատրվում, երբ արմատական ​​արտահայտությունները տարբերվում են միմյանցից: Սա կարելի է ցույց տալ պարզ օրինակ:

• Աշակերտի առջեւ խնդիր է դրվում՝ ավելացնել 4-ի և 9-ի քառակուսի արմատը;
• անփորձ ուսանող կանոնների իմացություն, սովորաբար գրում է. «4-ի արմատ + 9-ի արմատ = 13-ի արմատ»:
• Շատ հեշտ է ապացուցել, որ այս լուծումը ճիշտ չէ։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել 13-ի քառակուսի արմատը և ստուգել՝ արդյոք օրինակը ճիշտ է լուծված.
• օգտագործելով միկրոհաշվիչը կարող եք որոշել, որ այն մոտավորապես 3.6 է: Այժմ մնում է միայն ստուգել լուծումը.
• 4=2-ի արմատը, իսկ 9=3-ի արմատը;
• «Երկու» և «երեք» թվերի գումարը հավասար է հինգի։ Այսպիսով, լուծման այս ալգորիթմը կարելի է սխալ համարել։

Եթե ​​արմատները ունեն նույն աստիճանը, բայց տարբեր թվային արտահայտություններ, այն հանվում է փակագծերից և դրվում փակագծերի մեջ երկու արմատական ​​արտահայտությունների գումար. Այսպիսով, այն արդեն արդյունահանվում է այս գումարից։

Ավելացման ալգորիթմ

Ամենապարզ խնդիրը ճիշտ լուծելու համար անհրաժեշտ է.

1. Որոշեք, թե կոնկրետ ինչն է պահանջում ավելացում:
2. Պարզեք, թե արդյոք հնարավոր է միմյանց արժեքներ ավելացնել՝ առաջնորդվելով մաթեմատիկայի առկա կանոններով:
3. Եթե ​​դրանք ծալովի չեն, դուք պետք է փոխակերպեք դրանք, որպեսզի դրանք ծալվեն:
4. Կատարելով բոլոր անհրաժեշտ փոխակերպումները, դուք պետք է կատարեք լրացումը և գրեք պատրաստի պատասխանը: Դուք կարող եք կատարել լրացում ձեր գլխում կամ օգտագործելով միկրոհաշվիչ՝ կախված օրինակի բարդությունից:

Որոնք են նմանատիպ արմատները

Հավելման օրինակը ճիշտ լուծելու համար նախ պետք է մտածել, թե ինչպես կարող եք այն պարզեցնել: Դա անելու համար դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքայն մասին, թե ինչ է նմանությունը:

Նմաններին նույնականացնելու ունակությունն օգնում է արագ լուծել նմանատիպ հավելումների օրինակները՝ դրանք բերելով պարզեցված ձևի: Տիպիկ լրացման օրինակը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտե՛ք նմանատիպերը և բաժանե՛ք մեկ խմբի (կամ մի քանի խմբերի):
2. Վերագրեք գոյություն ունեցող օրինակն այնպես, որ նույն ցուցանիշն ունեցող արմատները հստակորեն հաջորդեն միմյանց (սա կոչվում է «խմբավորում»):
3. Այնուհետև պետք է ևս մեկ անգամ գրել արտահայտությունը, այս անգամ այնպես, որ նմանները (որոնք ունեն նույն ցուցանիշը և նույն արմատական ​​ցուցանիշը) նույնպես հաջորդեն միմյանց։

Դրանից հետո պարզեցված օրինակը սովորաբար հեշտ է լուծել:

Ցանկացած հավելման օրինակ ճիշտ լուծելու համար պետք է հստակ հասկանալ գումարման հիմնական կանոնները, ինչպես նաև իմանալ, թե ինչ է արմատը և ինչ կարող է լինել:

Երբեմն նման խնդիրները առաջին հայացքից շատ դժվար են թվում, բայց սովորաբար դրանք հեշտությամբ լուծվում են՝ խմբավորելով նմանատիպերը։ Ամենակարևորը պրակտիկան է, և այնուհետև ուսանողը կսկսի «ընկույզի պես կոտրել խնդիրները»: Արմատներ ավելացնելը մաթեմատիկայի ամենակարևոր մասերից մեկն է, ուստի ուսուցիչները պետք է բավականաչափ ժամանակ հատկացնեն դրա ուսումնասիրությանը:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ քառակուսի արմատներով հավասարումները:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ. »
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ այնքան. »)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են բանաձեւեր արմատների համարինչ են արմատների հատկությունները, և ինչ կարելի է անել այս ամենով։

Արմատների բանաձևեր, արմատների հատկություններ և արմատների հետ աշխատելու կանոններ- Սա ըստ էության նույն բանն է։ Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչն ինձ անշուշտ ուրախացնում է: Ավելի ճիշտ՝ կարելի է շատ տարբեր բանաձեւեր գրել, բայց արմատների հետ գործնական ու վստահ աշխատանքի համար բավական է միայն երեքը։ Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Թեև շատերը շփոթվում են երեք արմատային բանաձևերում, այո:

Սկսենք ամենապարզից: Ահա նա.

Հիշեցնեմ (նախորդ դասից). a և b-ն ոչ բացասական թվեր են! Հակառակ դեպքում բանաձեւը իմաստ չունի։

Սա արմատների հատկությունը , ինչպես տեսնում եք, պարզ է, կարճ և անվնաս։ Բայց կան շատ հիանալի բաներ, որոնք դուք կարող եք անել այս արմատային բանաձևով: Եկեք նայենք օրինակներայս բոլոր օգտակար բաները:

Օգտակար բանառաջին։ Այս բանաձեւը մեզ թույլ է տալիս բազմապատկել արմատները.

Ինչպե՞ս բազմապատկել արմատները:

Այո, շատ պարզ: Ուղիղ բանաձևին. Օրինակ:

Թվում էր, թե բազմապատկել են, բա ի՞նչ։ Շատ ուրախություն կա՞: Համաձայն եմ, մի քիչ։ Ինչպես եք սիրում սա օրինակ?

Արմատները ճշգրիտ չեն արդյունահանվում գործոններից: Եվ արդյունքը գերազանց է: Դա ավելի լավ է, չէ՞: Համենայն դեպս, ասեմ, որ բազմապատկիչ կարող է լինել այնքան, որքան ուզեք։ Արմատների բազմապատկման բանաձեւը դեռ գործում է։ Օրինակ:

Այսպիսով, բազմապատկմամբ ամեն ինչ պարզ է, ինչու է դա անհրաժեշտ: արմատների հատկությունը- նույնպես հասկանալի.

Երկրորդ օգտակար բանը. Արմատային նշանի տակ թվի մուտքագրում:

Ինչպե՞ս մուտքագրել թիվ արմատի տակ:

Ենթադրենք, որ ունենք այս արտահայտությունը.

Հնարավո՞ր է դյուզը թաքցնել արմատի ներսում: Հեշտությամբ! Եթե ​​երկուսից արմատ եք պատրաստում, արմատների բազմապատկման բանաձեւը կաշխատի։ Ինչպե՞ս կարելի է երկուից արմատ ստեղծել: Այո, ոչ մի հարց. Երկու է քառակուսի արմատ չորս!

Ի դեպ, ցանկացած ոչ բացասական թվից կարելի է արմատ ստեղծել։ Սա կլինի այս թվի քառակուսու արմատը: 3-ը 9-ի արմատն է: 8-ը 64-ի արմատն է: 11-ը 121-ի արմատն է: Դե և այլն:

Իհարկե, այդքան մանրամասն նկարագրելու կարիք չկա։ Դե, սկսնակների համար: Բավական է հասկանալ, որ արմատի տակ կարելի է գումարել ցանկացած ոչ բացասական թիվ, որը բազմապատկվում է արմատով։ Բայց - մի մոռացեք! - արմատի տակ այս թիվը կդառնա քառակուսիինքներդ: Այս գործողությունը՝ արմատի տակ թիվ մուտքագրելը, կարելի է անվանել նաև թիվը արմատով բազմապատկել։ Ընդհանուր առմամբ կարող ենք գրել.

Գործընթացը պարզ է, ինչպես տեսնում եք: Ինչու է դա անհրաժեշտ:

Ինչպես ցանկացած փոխակերպում, այս ընթացակարգը ընդլայնում է մեր հնարավորությունները: Դաժան և անհարմար արտահայտությունը փափուկ և փափուկ արտահայտության վերածելու հնարավորություններ): Ահա ձեզ համար պարզ մեկը օրինակ:

Ինչպես տեսնում ես, արմատների հատկությունը,որը թույլ է տալիս արմատի նշանի տակ բազմապատկիչ մուտքագրել, բավականին հարմար է պարզեցման համար։

Բացի այդ, արմատին գործակից ավելացնելը հեշտացնում է տարբեր արմատների արժեքների համեմատությունը: Առանց որևէ հաշվարկի կամ հաշվիչի: Երրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս համեմատել արմատները:

Այս հմտությունը շատ կարևոր է լուրջ առաջադրանքներում, մոդուլներ և այլ հետաքրքիր բաներ բացահայտելիս:

Համեմատեք այս արտահայտությունները. Ո՞րն է ավելի մեծ: Առանց հաշվիչի! Յուրաքանչյուրը հաշվիչով: հ-ուհ: Մի խոսքով, բոլորը կարող են դա անել:)

Դուք չեք կարող դա անմիջապես ասել: Իսկ եթե դուք թվեր մուտքագրեք արմատային նշանի տակ:

Եկեք հիշենք (ինչ կլիներ, եթե չգիտեիք). եթե արմատի նշանի տակ թիվն ավելի մեծ է, ապա ինքնին արմատն ավելի մեծ է: Այստեղից էլ անմիջապես ճիշտ պատասխանը՝ առանց որևէ բարդ հաշվարկների և հաշվարկների.

Հիանալի, ճիշտ է: Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Հիշեք, որ բոլոր բանաձևերն աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Մինչ այժմ մենք օգտագործել ենք արմատները ձախից աջ բազմապատկելու բանաձևը։ Եկեք գործարկենք արմատների այս հատկությունը հակառակ ուղղությամբ՝ աջից ձախ: Սրա նման:

Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Սա ինչ-որ բան տալի՞ս է: Անշուշտ։ Այժմ դուք ինքներդ կտեսնեք:

Ենթադրենք, որ մենք պետք է հանենք (առանց հաշվիչի!) 6561 թվի քառակուսի արմատը: Որոշ մարդիկ այս փուլում կնվազեն առաջադրանքի հետ անհավասար պայքարում: Բայց մենք համառ ենք, չենք հանձնվում: Չորրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս արմատներ հանել մեծ թվերից:

Հիշենք արտադրանքից արմատներ հանելու բանաձևը. Այն, ինչ ես գրել եմ հենց վերևում: Բայց որտե՞ղ է մեր աշխատանքը: Մենք ունենք հսկայական թիվ 6561 և վերջ։ Այո, աշխատանքն այստեղ չէ։ Բայց եթե մենք դրա կարիքը ունենանք, մենք կունենանք Եկեք անենք դա! Հաշվի առնենք այս թիվը: Մենք իրավունք ունենք.

Նախ, եկեք պարզենք, թե կոնկրետ ինչի վրա է բաժանվում այս թիվը: Ի՞նչ, չգիտես! Մոռացե՞լ եք բաժանելիության նշանները։ Իզուր։ Գնացեք հատուկ բաժին 555, թեման «Կոտորակներ», նրանք այնտեղ են: Այս թիվը բաժանվում է 3-ի և 9-ի։ Որովհետև թվերի գումարը (6+5+6+1=18) բաժանվում է այս թվերի վրա։ Սա բաժանելիության նշաններից մեկն է։ Մեզ պետք չէ բաժանել երեքի (հիմա կհասկանաք, թե ինչու), բայց մենք կբաժանենք 9-ի: Գոնե մի անկյունում։ Մենք ստանում ենք 729: Այսպիսով, մենք գտել ենք երկու գործոն: Առաջինը ինը է (մենք ինքներս ենք ընտրել), իսկ երկրորդը՝ 729 (այդպես ստացվեց)։ Արդեն կարող եք գրել.

Դուք հասկանու՞մ եք գաղափարը: Նույնը կանենք 729 թվի հետ։ Այն նաև բաժանվում է 3-ի և 9-ի: Մենք կրկին չենք բաժանում 3-ի, մենք բաժանում ենք 9-ի: Ստանում ենք 81: Եվ մենք գիտենք այս թիվը: Մենք գրում ենք.

Ամեն ինչ պարզվեց հեշտ և էլեգանտ: Արմատը պետք էր մաս առ մաս հանել, բայց ախր։ Դա կարելի է անել ցանկացած մեծ թվով: Բազմացրե՛ք դրանք և շարունակե՛ք։

Ի դեպ, ինչո՞ւ պետք չէր բաժանել 3-ի, գուշակեցի՞ք: Այո, քանի որ երեքի արմատը չի կարելի ճշգրիտ հանել: Իմաստ ունի այն ներդնել այնպիսի գործոնների մեջ, որ գոնե մեկից արմատը լավ հանվի: Սրանք 4, 9, 16 ջրհոր և այլն: Ձեր հսկայական թիվը բաժանեք այս թվերի վրա մեկ առ մեկ և ձեր բախտը կբերի:

Բայց ոչ պարտադիր: Հնարավոր է, որ ձեր բախտը չբերի: Ենթադրենք, 432 թիվը, երբ գործակցվի և օգտագործվի արտադրանքի արմատային բանաձևը, կտա հետևյալ արդյունքը.

Դե, լավ: Ինչևէ, մենք պարզեցրել ենք արտահայտությունը. Մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է ամենաշատը թողնել փոքր թիվհնարավորից։ Լուծելու գործընթացում ամեն ինչ կախված է օրինակից (գուցե ամեն ինչ կարելի է կրճատել առանց պարզեցման), բայց պատասխանում պետք է տալ այնպիսի արդյունք, որը հնարավոր չէ ավելի պարզեցնել։

Ի դեպ, գիտե՞ք ինչ արեցինք 432-ի արմատի հետ։

Մենք արմատային նշանի տակից հանեց գործոնները ! Այս գործողությունը կոչվում է. Հակառակ դեպքում դուք կստանաք առաջադրանք - « հեռացնել գործոնը արմատային նշանի տակից«Բայց տղամարդիկ նույնիսկ չգիտեն:) Ահա ևս մեկ դիմում ձեզ համար արմատների հատկությունները.Օգտակար բան հինգերորդ.

Ինչպե՞ս հեռացնել բազմապատկիչը արմատի տակից:

Հեշտությամբ։ Գործոնավորեք արմատական ​​արտահայտությունը և հանեք արդյունահանվող արմատները: Եկեք նայենք.

Ոչ մի գերբնական բան: Կարևոր է ճիշտ բազմապատկիչներ ընտրելը: Այստեղ մենք ընդլայնել ենք 72-ը որպես 36·2: Եվ ամեն ինչ լավ ստացվեց։ Կամ կարող էին այլ կերպ ընդլայնել՝ 72 = 6·12: Եւ ինչ!? Արմատը չի կարելի հանել ոչ 6-ից, ոչ 12-ից: Ինչ անել?!

Ամեն ինչ կարգին է։ Կամ փնտրեք տարրալուծման այլ տարբերակներ, կամ շարունակեք քայքայել ամեն ինչ, մինչև այն դադարի: Սրա նման:

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ ստացվեց։ Սա, ի դեպ, ամենաարագը չէ, բայց ամենաշատը հուսալի միջոց. Թիվը բաժանեք ամենափոքր գործոնների, այնուհետև նույնները հավաքեք կույտերի մեջ: Մեթոդը հաջողությամբ կիրառվում է նաև անհարմար արմատները բազմապատկելիս։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք.

Բազմապատկեք ամեն ինչ, դուք ստանում եք խելագար թիվ: Եվ հետո ինչպե՞ս հանել արմատը դրանից։ Կրկին ֆակտորինգ. Ոչ, մենք լրացուցիչ աշխատանքի կարիք չունենք: Մենք այն անմիջապես դասավորում ենք գործոնների և նույնը հավաքում խմբերով.

Այսքանը: Իհարկե, պետք չէ այն մինչև վերջ ընդլայնել։ Ամեն ինչ որոշվում է ձեր անձնական ունակություններով։ Օրինակը հասցրինք այնտեղ, որտեղ ձեզ համար ամեն ինչ պարզ էԴա նշանակում է, որ մենք արդեն կարող ենք հաշվել։ Գլխավորը սխալներ թույլ չտալն է։ Ոչ թե մարդը մաթեմատիկայի համար, այլ մաթեմատիկան մարդու համար:)

Կիրառե՞նք գիտելիքները պրակտիկային։ Սկսենք մի պարզ բանից.

Քառակուսի արմատներ ավելացնելու կանոն

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա կատարել ենք հինգ թվաբանական գործողություն՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճանավորում և ակտիվորեն օգտագործվում էին հաշվարկներում տարբեր հատկություններայս գործողությունները, օրինակ a + b = b + a, a n -b n = (ab) n և այլն:

Այս գլխում ներկայացվում է նոր գործողություն՝ վերցնելով ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը: Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում:

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.
Մենք պետք է ապացուցենք, որ ոչ բացասական թվեր x, y, z հավասարությունը x = yz:

Այսպիսով, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b: Այնուհետև x 2 = y 2 z 2, այսինքն x 2 = (yz) 2:

Եթե քառակուսիներերկու ոչ բացասական թվեր հավասար են, այնուհետև թվերն իրենք են հավասար, ինչը նշանակում է, որ x 2 = (yz) 2 հավասարությունից հետևում է, որ x = yz, և սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել:

Ահա թեորեմի ապացույցի կարճ ամփոփումը.

Ծանոթագրություն 1. Թեորեմը ուժի մեջ է մնում այն ​​դեպքում, երբ արմատական ​​արտահայտությունը երկուից ավելի ոչ բացասական գործոնների արտադրյալ է։

Ծանոթագրություն 2. Թեորեմ 1-ը կարելի է գրել՝ օգտագործելով «եթե» կառուցվածքը: , ապա» (ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայի թեորեմների համար): Տանք համապատասխան ձևակերպումը. եթե a-ն և b-ը ոչ բացասական թվեր են, ապա հավասարությունը ճիշտ է. .

Հենց այսպես էլ կձևակերպենք հաջորդ թեորեմը.

(Համառոտ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատը հավասար է արմատների կոտորակին, կամ գործակցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին):

Այս անգամ մենք կտանք միայն ապացույցի համառոտ ամփոփումը, իսկ դուք փորձեք համապատասխան մեկնաբանություններ անել, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Օրինակ 1. Հաշվել.
Լուծում. Օգտագործելով առաջին գույքը քառակուսի արմատներ(Թեորեմ 1), մենք ստանում ենք

Ծանոթագրություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք միկրոհաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա վերցրեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, կհամաձայնեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի:

Ծանոթագրություն 4. Առաջին մեթոդով մենք «գլխով» հաշվարկներ ենք կատարել: Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) և օգտագործեց քառակուսի արմատների հատկությունը:

Ծանոթագրություն 5. Որոշ «տաք գլուխներ» երբեմն առաջարկում են այս «լուծումը» օրինակ 3-ին.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ օրինակ 3-ում: Փաստն այն է, որ սեփականություն չկա: , քանի որ չկան գույք Կան միայն հատկություններ, որոնք վերաբերում են քառակուսի արմատների բազմապատկմանը և բաժանմանը: Եղե՛ք զգույշ և զգույշ, մի՛ ընդունեք ցանկական մտքեր։

Օրինակ 4. Հաշվիր՝ ա)
Լուծում. Հանրահաշվի ցանկացած բանաձև օգտագործվում է ոչ միայն «աջից ձախ», այլև «ձախից աջ»: Այսպիսով, քառակուսի արմատների առաջին հատկությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտության դեպքում կարող է ներկայացվել ձևով և հակառակը, որը կարող է փոխարինվել նույնը վերաբերում է քառակուսի արմատների երկրորդ հատկությանը: Սա հաշվի առնելով՝ լուծենք առաջարկվող օրինակը։

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ նկատենք ևս մի բան, որը բավականին պարզ է և միևնույն ժամանակ կարևոր գույք:
եթե a > 0 և n - բնական թիվ , Դա

Օրինակ 5.Հաշվիր առանց թվերի քառակուսիների աղյուսակի և միկրոհաշվարկի օգտագործման:

Լուծում. Արմատական ​​թիվը դասավորենք պարզ գործոնների.

Ծանոթագրություն 6. Այս օրինակը կարող է լուծվել այնպես, ինչպես § 15-ի նմանատիպ օրինակը: Հեշտ է կռահել, որ պատասխանը կլինի «80 պոչով», քանի որ 80 2 2: Եկեք գտնենք «պոչը», այսինքն՝ ցանկալի թվի վերջին նիշը։ Առայժմ մենք գիտենք, որ եթե արմատը վերցված է, ապա պատասխանը կարող է լինել 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 կամ 89: Մեզ միայն պետք է ստուգել երկու թիվ՝ 84 և 86, քանի որ միայն նրանք, երբ քառակուսի է, արդյունք կտա քառանիշ 6-ով վերջացող թիվ, այսինքն. նույն թվանշանը, որն ավարտում է 7056 թիվը: Մենք ունենք 84 2 = 7056, սա այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Նշանակում է,

Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան՝ Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ - 3-րդ հրատ., վերանայված. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 էջ: հիվանդ.

Բեռնել գրքեր, մաթեմատիկայի դասագրքեր, ուսուցչին և ուսանողներին օգնելու գրառումներ, սովորել առցանց

Եթե ​​ունեք ուղղումներ կամ առաջարկություններ այս դասի համար, խնդրում ենք գրել մեզ:

Եթե ​​ցանկանում եք տեսնել դասերի այլ ճշգրտումներ և առաջարկներ, նայեք այստեղ՝ Կրթական ֆորում:

Ինչպես ավելացնել քառակուսի արմատները

Թվի քառակուսի արմատ Xզանգահարած համարը Ա, որն ինքն իրենով բազմանալու գործընթացում ( Ա*Ա) կարող է թիվ տալ X.
Նրանք. A * A = A 2 = X, Եվ √X = Ա.

Քառակուսի արմատներից վեր ( √x), ինչպես մյուս թվերը, դուք կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են հանումը և գումարումը: Արմատները հանելու և ավելացնելու համար դրանք պետք է միացվեն այս գործողություններին համապատասխանող նշանների միջոցով (օրինակ √x — √ տ ).
Եվ հետո արմատները բերեք նրանց ամենապարզ ձևը- եթե նրանց միջև կան նմանատիպեր, ապա անհրաժեշտ է կրճատում կատարել։ Այն բաղկացած է համանման տերմինների գործակիցները համապատասխան տերմինների նշանների հետ վերցնելուց, այնուհետև դրանք փակագծերում դնելուց և գործակիցի փակագծերից դուրս ընդհանուր արմատը հանելուց։ Մեր ստացած գործակիցը պարզեցված է սովորական կանոններով։

Քայլ 1. Քառակուսի արմատների արդյունահանում

Նախ, քառակուսի արմատներ ավելացնելու համար նախ պետք է հանել այդ արմատները: Դա կարելի է անել, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ են: Օրինակ վերցրեք տրված արտահայտությունը √4 + √9 . Առաջին համարը 4 թվի քառակուսին է 2 . Երկրորդ համարը 9 թվի քառակուսին է 3 . Այսպիսով, մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Վերջ, օրինակը լուծված է։ Բայց դա միշտ չէ, որ այդքան հեշտ է լինում։

Քայլ 2. Արմատի տակից հանելով թվի բազմապատկիչը

Եթե ​​արմատի նշանի տակ կատարյալ քառակուսիներ չկան, կարող եք փորձել հեռացնել թվի բազմապատկիչը արմատի նշանի տակից: Օրինակ, վերցնենք արտահայտությունը √24 + √54 .

Գործոնավորեք թվերը.
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ի թիվս 24 մենք ունենք բազմապատկիչ 4 , այն կարելի է հանել քառակուսի արմատի նշանի տակից։ Ի թիվս 54 մենք ունենք բազմապատկիչ 9 .

Մենք ստանում ենք հավասարություն.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Հաշվի առնելով այս օրինակը՝ մենք ստանում ենք բազմապատկիչի հեռացում արմատի նշանի տակից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով տրված արտահայտությունը։

Քայլ 3. Հայտարարի կրճատում

Դիտարկենք հետևյալ իրավիճակը. երկու քառակուսի արմատների գումարը կոտորակի հայտարարն է, օրինակ. A/(√a + √b).
Այժմ մեր առջեւ խնդիր է դրված «բացառել իռացիոնալությունը հայտարարի մեջ»։
Կիրառենք հետևյալ մեթոդը՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք արտահայտությամբ. √a - √b.

Այժմ մենք ստանում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևը հայտարարի մեջ.
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Նմանապես, եթե հայտարարն ունի արմատային տարբերություն. √a - √b, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են արտահայտությամբ √a + √b.

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Բարդ հայտարարի կրճատման օրինակ

Հիմա բավականաչափ համարենք բարդ օրինակիռացիոնալությունից ազատվել հայտարարի մեջ.

Օրինակ՝ վերցնենք կոտորակ. 12 / (√2 + √3 + √5) .
Դուք պետք է վերցնեք դրա համարիչը և հայտարարը և բազմապատկեք արտահայտությամբ √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Քայլ 4. Հաշվեք հաշվիչի մոտավոր արժեքը

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա դա կարելի է անել հաշվիչի վրա՝ հաշվարկելով քառակուսի արմատների արժեքը: Արժեքը յուրաքանչյուր թվի համար հաշվարկվում է առանձին և գրվում է պահանջվող ճշգրտությամբ, որը որոշվում է տասնորդական տեղերի քանակով: Հաջորդը կատարվում են բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում։

Մոտավոր արժեքի հաշվարկման օրինակ

Անհրաժեշտ է հաշվարկել այս արտահայտության մոտավոր արժեքը √7 + √5 .

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ոչ մի դեպքում չպետք է քառակուսի արմատներ ավելացնել որպես պարզ թվեր, սա բացարձակապես անընդունելի է: Այսինքն, եթե գումարենք հինգի քառակուսի արմատը և երեքի քառակուսի արմատը, չենք կարող ստանալ ութի քառակուսի արմատը։

Օգտակար խորհուրդ․ եթե որոշել եք թիվ չափել, ապա արմատի նշանի տակից քառակուսին հանելու համար հարկավոր է հակադարձ ստուգում կատարել, այսինքն՝ բազմապատկել բոլոր այն գործոնները, որոնք ստացվել են հաշվարկներից և դրա վերջնական արդյունքը։ մաթեմատիկական հաշվարկը պետք է լինի այն թիվը, որն ի սկզբանե տրվել է մեզ:

Գործողություն արմատներով՝ գումարում և հանում

Թվի քառակուսի արմատը հանելը միակ գործողությունը չէ, որ կարելի է կատարել այս մաթեմատիկական երևույթի հետ։ Ինչպես կանոնավոր թվերը, այնպես էլ քառակուսի արմատները գումարում և հանում են:

Քառակուսի արմատներ գումարելու և հանելու կանոններ

Քառակուսի արմատների գումարումը և հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատական ​​արտահայտությունը նույնն է:

Դուք կարող եք ավելացնել կամ հանել արտահայտությունները 2 3 և 6 3, բայց ոչ 5 6 Եվ 9 4. Եթե ​​նույն ռադիկալով հնարավոր է պարզեցնել արտահայտությունը և արմատավորել այն, ապա պարզեցնել, ապա գումարել կամ հանել:

Գործողություններ արմատներով. հիմունքներ

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Պարզեցրեք արմատական ​​արտահայտությունը. Դրա համար անհրաժեշտ է արմատական ​​արտահայտությունը տարրալուծել 2 գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվը, որից հանվում է ամբողջ քառակուսի արմատը, օրինակ՝ 25 կամ 9)։
2. Այնուհետև անհրաժեշտ է արմատից հանել քառակուսի համարը և ստացված արժեքը գրի՛ր արմատային նշանից առաջ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ գործոնը մուտքագրվում է արմատի նշանի տակ:
3. Պարզեցման գործընթացից հետո անհրաժեշտ է արմատները շեշտել նույն արմատական ​​արտահայտություններով՝ միայն դրանք կարելի է ավելացնել և հանել։
4. Նույն արմատական ​​արտահայտություններով արմատների համար անհրաժեշտ է գումարել կամ հանել այն գործոնները, որոնք հայտնվում են արմատային նշանից առաջ։ Արմատական ​​արտահայտությունը մնում է անփոփոխ։ Դուք չեք կարող գումարել կամ հանել արմատական ​​թվեր:

Եթե ​​ունեք օրինակ մեծ գումարմիանման արմատական ​​արտահայտություններ, ապա ընդգծեք այդպիսի արտահայտությունները մեկ, կրկնակի և եռակի տողերով, որպեսզի հեշտացնեք հաշվարկի գործընթացը:

Փորձենք լուծել այս օրինակը.

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2: Նախ պետք է 50-ը քայքայել 2 գործոնի 25-ի և 2-ի, ապա վերցնել 25-ի արմատը, որը հավասար է 5-ի, իսկ արմատի տակից հանել 5-ը։ Դրանից հետո պետք է 5-ը բազմապատկել 6-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 30 2:

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2: Նախ պետք է 8-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 2-ի: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը հավասար է 2-ի, իսկ 2-ը հանել արմատի տակից: Դրանից հետո պետք է 2-ը բազմապատկել 2-ով (բազմապատկիչը արմատից) և ստանալ 4 2:

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3: Նախ պետք է 12-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 3-ի: Այնուհետև հանել 4-ի արմատը, որը հավասար է 2-ի և հեռացնել արմատի տակից: Դրանից հետո դուք պետք է բազմապատկեք 2-ը 5-ով (արմատի գործակիցը) և ստացեք 10 3:

Պարզեցման արդյունք. 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Արդյունքում մենք տեսանք, թե որքան նույնական արմատական ​​արտահայտություններ կան այս օրինակում: Հիմա եկեք պարապենք այլ օրինակներով։

• Եկեք պարզեցնենք (45): Գործոն 45: (45) = (9 × 5);
• Արմատի տակից հանում ենք 3 հատ (9 = 3)՝ 45 = 3 5;
• Արմատներում ավելացրեք գործոնները՝ 3 5 + 4 5 = 7 5:
• Եկեք պարզեցնենք 6 40-ը: Մենք գործակցում ենք 40՝ 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Արմատի տակից հանում ենք 2 հատ (4 = 2) 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Արմատի դիմաց հայտնված գործոնները բազմապատկում ենք՝ 12 10 ;
• Արտահայտությունը գրում ենք պարզեցված ձևով՝ 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն արմատական ​​թվերը, մենք կարող ենք հանել դրանք՝ (12 - 3) 10 = 9 10 + 5:

Ինչպես տեսնում ենք, հնարավոր չէ պարզեցնել արմատական ​​թվերը, ուստի օրինակում փնտրում ենք նույն արմատական ​​թվերով տերմիններ, կատարում մաթեմատիկական գործողություններ (գումարում, հանում և այլն) և արդյունքը գրում.

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Խորհուրդ.

• Նախքան գումարելը կամ հանելը, անհրաժեշտ է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում) արմատական ​​արտահայտությունները։
• Տարբեր արմատական ​​արտահայտություններով արմատներ ավելացնելն ու հանելը խստիվ արգելվում է։
• Պետք չէ ամբողջ թիվ կամ արմատ գումարել կամ հանել՝ 3 + (2 x) 1/2:
• Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա, այնուհետև կոտորակները կրճատել մինչև Ընդհանուր հայտարար, ապա ավելացրեք համարիչները և թողեք հայտարարներն անփոփոխ։

Թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունները. Թվաբանական քառակուսի արմատի հզորությունը

Թվաբանական քառակուսի արմատների փոխակերպում. Թվաբանական քառակուսի արմատների հակադարձում

Քաղվածք հանելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, անհրաժեշտ է հաշվել բազմանդամը և ստացված թվից հանել արմատը։

Ուշադրություն.Դուք չեք կարող արմատը հանել յուրաքանչյուր տերմինից (հանված և հանված) առանձին:

Շչոբ վիտյագտի բազմանդամի քառակուսի արմատ, պետք է հաշվարկել հարուստ տերմինը և արմատը վերցնել հանված թվից։

Հարգանք.Հնարավոր չէ արմատը հանել մաշկի կցորդից (փոխված կամ հեռացված) okremo-ից։

Վերցնել արտադրանքի քառակուսի արմատը (քանակը), կարող եք հաշվարկել յուրաքանչյուր գործոնի քառակուսի արմատը (շահաբաժին և բաժանարար), և ստացված արժեքները վերցնել որպես արտադրյալ (քաղորդ):

Լրացուցիչ մասից (մասերից) հանել քառակուսի արմատը., կարող եք հաշվարկել մաշկի բազմապատկիչի քառակուսի արմատը (բաժանված և բաժանված), իսկ հանված արժեքը վերցնել որպես լրացուցիչ մաս (մաս):

Կոտորակի քառակուսի արմատը հանելու համար, պետք է առանձին հանել համարիչի և հայտարարի քառակուսի արմատը, իսկ ստացված արժեքները թողնել որպես կոտորակ կամ հաշվարկել դրանք որպես գործակից (եթե դա հնարավոր է պայմանով):

Քառակուսի արմատը կոտորակից հանելու համար, պետք է հանել քառակուսի արմատը թվից և նշանի նշանից, իսկ կոտորակի արժեքը հանել կամ հաշվել որպես մաս (ինչպես հնարավոր է ուղեղի համար)։

Դուք կարող եք բազմապատկիչ հանել արմատի նշանի տակից և կարող եք բազմապատկիչ դնել արմատի նշանի տակ: Երբ գործոնը հանվում է, արմատը հանվում է դրանից, իսկ երբ ավելացվում է, այն բարձրացվում է համապատասխան հզորության։

Դուք կարող եք մուտքագրել բազմապատկիչ արմատային նշանի հետևում, իսկ արմատային նշանի տակ կարող եք մուտքագրել բազմապատկիչ: Երբ բազմապատկիչը գումարվում է, արմատը վերցվում է դրանից, իսկ երբ գումարվում է, արմատը հանվում է դրանից:

Օրինակներ. Կիրառեք այն

Քառակուսի արմատների գումարը (տարբերությունը) փոխարկելու համար անհրաժեշտ է արմատական ​​արտահայտությունները կրճատել աստիճանի նույն հիմքի վրա, հնարավորության դեպքում արմատները հանել հզորություններից և գրել դրանք արմատների նշանների դիմաց, իսկ մնացածը. կարող են գումարվել նույն արմատական ​​արտահայտություններով քառակուսի արմատներ, որոնց համար նշանի դիմաց գործակիցները ավելացվում են արմատ և ավելացնում նույն քառակուսի արմատը։

Քառակուսի արմատների գումարը (չափը) փոխակերպելու համար անհրաժեշտ է արմատական ​​արտահայտությունները հասցնել քայլի մեկ հիմքի վրա, ինչը հնարավոր է հանելով քայլերի արմատները և գրել դրանք արմատների նշանների դիմաց, և Ծալման համար կարող են օգտագործվել նույն արմատներով արմատային արտահայտությունները, որոնց համար գործակիցները գումարվում են արմատի նշանից առաջ և ավելացվում է նույն քառակուսի արմատը։

Եկեք նվազեցնենք բոլոր արմատական ​​արտահայտությունները 2-րդ հիմքի վրա:

Զույգ աստիճանից արմատն ամբողջությամբ հանվում է կենտ աստիճանից, հիմքի արմատը մնում է 1-ի նշանի տակ։

Ներկայացնում ենք միանման ամբողջ թվեր և գումարում նույն արմատներով գործակիցները։ Երկանդամը գրենք որպես թվի և գումարի երկանդամի արտադրյալ։

Եկեք բոլոր արմատները իջեցնենք մինչև 2-րդ հիմքը:

Զուգակցված քայլից արմատը դուրս է քաշվում չզույգված քայլից, 1-ին քայլի հիմքի արմատը հանվում է արմատի նշանի տակ:

Նույն արմատներին գումարվում են նմանատիպ թվեր և գործակիցներ։ Երկանդամը գրենք որպես թվի և երկանդամների գումարի գումարում։

Մենք կրճատում ենք արմատական ​​արտահայտությունները մինչև ամենափոքր հիմքը կամ ամենափոքր հիմքերով հզորությունների արտադրյալը: Արմատական ​​արտահայտությունների զույգ հզորություններից մենք հանում ենք մնացորդները աստիճանի հիմքի տեսքով՝ ցուցիչով 1 կամ նման հիմքերի արտադրյալը մնում է արմատի նշանի տակ։ Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ (ավելացնել նույնական արմատների գործակիցները):

Մենք իրականացնում ենք արտահայտության արմատավորումը դեպի ամենափոքր հիմքը կամ քայլերի ստեղծումը ամենափոքր հիմքից։ Արմատը վերցվում է ենթաարմատավորման սորտերի երկու քայլերից, 1-ին ցուցիչով աստիճանի հիմքի տեսքով ավելցուկը կամ նման հիմքերի ավելացումը հանվում է արմատի նշանի տակ։ Ներկայացնում ենք նմանատիպ անդամներ (գումարվում է նոր արմատների գործակիցը)։

Կոտորակների բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ (երկրորդ կոտորակը փոխարինելով իր փոխադարձով): Կոտորակների համարիչներն ու հայտարարներն առանձին-առանձին բազմապատկենք։ Յուրաքանչյուր արմատային նշանի տակ մենք կարևորում ենք աստիճանները: Կրճատենք նույն գործոնները համարիչում և հայտարարում: Արմատավորենք նույնիսկ ուժերը։

Կոտորակների բաժանումը փոխարինի՛ր բազմապատկմամբ (մյուս կոտորակը կոտորակով փոխարինելով): Եկեք միասին բազմապատկենք կոտորակների թվերն ու նշանակիչները։ Արմատի մաշկային նշանի տակ քայլերը տեսանելի են։ Սակայն արագորեն նոր բազմապատկիչներ կան թվագրքում և նշանագրքում։ Vinesemo արմատը տղաների քայլերից.

Երկու քառակուսի արմատները համեմատելու համար, դրանց արմատական ​​արտահայտությունները պետք է կրճատել նույն հիմքով հզորությունների, ապա որքան շատ ցույց տրվի արմատական ​​արտահայտության ուժերը, այնքան մեծ կլինի քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս օրինակում անհնար է արմատական ​​արտահայտությունները կրճատել մեկ հիմքի, քանի որ առաջինում հիմքը 3 է, իսկ երկրորդում՝ 3 և 7:

Համեմատության երկրորդ եղանակը արմատական ​​արտահայտության մեջ արմատի գործակիցը մուտքագրելն ու համեմատելն է թվային արժեքներարմատական ​​արտահայտություններ. Քառակուսի արմատի համար որքան մեծ է արմատական ​​արտահայտությունը, այնքան մեծ է արմատի արժեքը:

Երկու քառակուսի արմատները հավասարեցնելու համար, դրանց արմատային արտահայտությունները պետք է հասցվեն միևնույն հիմքի վրա, ուստի որքան մեծ է արմատային արտահայտության աստիճանը, այնքան մեծ կլինի քառակուսի արմատի արժեքը։

Մի դեպքում հնարավոր չէ արտահայտության արմատը իջեցնել մի հիմքի, քանի որ առաջինում հիմքը 3 է, իսկ մյուսում՝ 3 և 7։

Հավասարեցնելու մեկ այլ եղանակ է արմատային արտահայտության մեջ արմատային գործակից ներմուծելն ու արմատային արտահայտությունների թվային արժեքները հավասարեցնելը: Քառակուսի արմատում որքան մեծ է ենթաարմատի գագաթը, այնքան մեծ է արմատի արժեքը:

Օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ օրենքը և միևնույն ցուցիչներով արմատները (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատները) բազմապատկելու կանոնը՝ ստացանք երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատի նշանի տակ գտնվող արտադրյալով։ Եկեք 91-ը տարրալուծենք պարզ գործոնների և արմատը հանենք փակագծերից՝ ընդհանուր արմատական ​​գործակիցներով (13*5):

Ստացել ենք արմատի և երկանդամի արտադրյալը, որի միանդամներից մեկն ամբողջ թիվ է (1):

Վիկորիստի բազմապատկման առանձին օրենքը և նույն ցուցանիշներով արմատները (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատները) բազմապատկելու կանոնը, արմատի նշանի տակ գումարումով հանել է երկու քառակուսի արմատների գումարը։ Մենք 91-ը դնում ենք պարզ բազմապատկիչների վրա և արմատը կրում ենք թեւերի տակից (13*5):

Վերցրինք արմատի և երկանդամի գումարում, որի միանդամներից մեկն ունի ամբողջ թիվ (1):

Հետույք 9:

Արմատական ​​արտահայտություններում մենք գործոններով ընտրում ենք այն թվերը, որոնցից կարելի է հանել ամբողջ քառակուսի արմատը։ Քաղենք հզորությունների քառակուսի արմատները և թվերը վերագրենք քառակուսի արմատների գործակիցներին։

Այս բազմանդամի անդամներն ունեն ընդհանուր գործակից √3, որը կարելի է հանել փակագծերից։ Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.

Արմատային արտահայտություններում թվերը դիտվում են որպես բազմապատկիչներ, որոնցից կարելի է հանել ամբողջ քառակուսի արմատը։ Քայլերից վերցնում ենք քառակուսի արմատները և թվերը դնում որպես քառակուսի արմատների գործակիցներ։

Այս բազմանդամի անդամներն ունեն √3 բազմապատկիչ, որը կարող են կրել թեւերը: Նմանատիպ լրացումներ ենք անում։

Երկու միանման հիմքերի (3 և √5) գումարի և տարբերության արտադրյալը, օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը, կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն:

Քառակուսի արմատը միշտ հավասար է արմատական ​​արտահայտությանը, ուստի մենք կազատվենք արտահայտության մեջ արմատականից (արմատի նշանը):

Երկու նոր հիմքերի (3 և √5) գումարի և տարբերության գումարումը կարճ բազմապատկման բանաձևով կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն։

Քառակուսու արմատը միշտ ավելի հին է, քան վիրուսի արմատը, ուստի մենք կհիշենք վիրուսի ռադիկալը (արմատի նշանը):

Վերադառնալ դպրոց։ Արմատների ավելացում

Ժամանակակից էլեկտրոնային մեր ժամանակներում համակարգիչներթվի արմատի հաշվարկը հնարավոր չէ դժվար առաջադրանք. Օրինակ՝ √2704=52, ցանկացած հաշվիչ սա կհաշվի ձեզ համար: Բարեբախտաբար, հաշվիչը հասանելի է ոչ միայն Windows-ում, այլև սովորական, նույնիսկ ամենապարզ հեռախոսում։ Ճիշտ է, եթե հանկարծ (հավանականության փոքր աստիճանով, որի հաշվարկը, ի դեպ, ներառում է արմատների ավելացում) դուք հայտնվեք առանց մատչելի միջոցներ, ապա, ավաղ, ստիպված կլինեք հույսը դնել միայն ձեր ուղեղների վրա։

Մտքի մարզումը երբեք չի ձախողվում: Հատկապես նրանց համար, ովքեր հաճախ չեն աշխատում թվերի հետ, առավել ևս՝ արմատներով: Արմատներ ավելացնելն ու հանելը լավ մարզանք է ձանձրալի մտքի համար: Ես նաև ձեզ ցույց կտամ, թե ինչպես կարելի է արմատներ ավելացնել քայլ առ քայլ: Արտահայտությունների օրինակները կարող են լինել հետևյալը.

Հավասարում պարզեցնելու համար.

Սա իռացիոնալ արտահայտություն է։ Այն պարզեցնելու համար դուք պետք է կրճատեք բոլոր արմատական ​​արտահայտությունները ընդհանուր տեսքը. Մենք դա անում ենք քայլ առ քայլ.

Առաջին համարն այլևս չի կարելի պարզեցնել։ Անցնենք երկրորդ ժամկետին։

3√48 մենք գործակցում ենք 48՝ 48=2×24 կամ 48=3×16: 24-ի քառակուսի արմատը ամբողջ թիվ չէ, այսինքն. ունի կոտորակային մնացորդ։ Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է ճշգրիտ արժեք, մոտավոր արմատները մեզ հարմար չեն: 16-ի քառակուսի արմատը 4 է, հանեք այն արմատի նշանի տակից։ Ստանում ենք՝ 3×4×√3=12×√3

Մեր հաջորդ արտահայտությունը բացասական է, այսինքն. գրված է մինուս նշանով -4×√(27.) Գործոնավորում ենք 27: Ստանում ենք 27=3×9։ Մենք չենք օգտագործում կոտորակային գործակիցներ, քանի որ ավելի դժվար է կոտորակների քառակուսի արմատը հաշվարկելը: Նշանի տակից հանում ենք 9-ը, այսինքն. հաշվարկել քառակուսի արմատը. Ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը՝ -4×3×√3 = -12×√3

Հաջորդ √128 անդամը հաշվարկում է այն մասը, որը կարելի է հանել արմատի տակից։ 128=64×2, որտեղ √64=8: Եթե ​​դա հեշտացնում է ձեզ, ապա կարող եք պատկերացնել այս արտահայտությունը այսպես՝ √128=√(8^2×2)

Մենք վերագրում ենք արտահայտությունը պարզեցված տերմիններով.

Այժմ մենք ավելացնում ենք թվերը՝ օգտագործելով նույն արմատական ​​արտահայտությունը։ Դուք չեք կարող ավելացնել կամ հանել արտահայտություններ տարբեր արմատական ​​արտահայտություններով: Արմատներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է պահպանել այս կանոնը:

Ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

√2=1×√2 - Հուսով եմ, որ այն, որ հանրահաշվում ընդունված է բաց թողնել նման տարրեր, ձեզ համար նորություն չի լինի։

Արտահայտությունները կարող են ներկայացվել ոչ միայն քառակուսի արմատով, այլև խորանարդ կամ n-րդ արմատով։

Արմատների գումարում և հանում տարբեր ցուցանիշներաստիճաններ, բայց համարժեք արմատական ​​արտահայտությամբ, տեղի է ունենում հետևյալ կերպ.

Եթե ​​ունենք √a+∛b+∜b ձևի արտահայտություն, ապա կարող ենք պարզեցնել այս արտահայտությունը հետևյալ կերպ.

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Մենք երկու նմանատիպ անդամներ բերեցինք ընդհանուր ցուցանիշըարմատ Այստեղ օգտագործվել է արմատների հատկությունը, որն ասում է՝ եթե արմատական ​​արտահայտության աստիճանի և արմատի արտահայտիչի թիվը բազմապատկվում է նույն թվով, ապա դրա հաշվարկը կմնա անփոփոխ։

Նշում. ցուցիչները ավելանում են միայն բազմապատկելիս:

Դիտարկենք մի օրինակ, երբ արտահայտությունը պարունակում է կոտորակներ։

Մենք որոշելու ենք փուլերով.

5√8=5*2√2 - արդյունահանված մասը հանում ենք արմատի տակից։

Եթե ​​արմատի մարմինը ներկայացված է կոտորակով, ապա հաճախ այդ կոտորակը չի փոխվի, եթե վերցնենք դիվիդենտի և բաժանարարի քառակուսի արմատը: Արդյունքում ստացանք վերը նկարագրված հավասարությունը։

Ահա պատասխանը.

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ զույգ ցուցիչ ունեցող արմատը չի կարող հանվել բացասական թվերից: Եթե ​​զույգ աստիճանի արմատական ​​արտահայտությունը բացասական է, ապա արտահայտությունն անլուծելի է։

Արմատների ավելացում հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատական ​​արտահայտությունները համընկնում են, քանի որ դրանք նման տերմիններ են։ Նույնը վերաբերում է տարբերությանը.

Տարբեր թվային ցուցիչներով արմատների ավելացումն իրականացվում է երկու տերմիններն էլ ընդհանուր արմատային աստիճանի իջեցնելով։ Այս օրենքը գործում է այնպես, ինչպես կրճատումը ընդհանուր հայտարարի, երբ կոտորակները գումարում կամ հանում ենք:

Եթե ​​արմատական ​​արտահայտությունը պարունակում է մեծացված թիվ, ապա այս արտահայտությունը կարող է պարզեցվել, պայմանով, որ արմատի արտահայտիչի և հզորության միջև կա ընդհանուր հայտարար:

Արտադրանքի և մասնակի քառակուսի արմատը

Թվի քառակուսի արմատը այն թիվն է, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Օրինակ՝ -5 և 5 թվերը 25 թվի քառակուսի արմատներն են։ Այսինքն՝ x^2=25 հավասարման արմատները 25 թվի քառակուսի արմատներն են։ Այժմ դուք պետք է սովորեք աշխատել քառակուսու հետ։ արմատային գործողություն. ուսումնասիրել նրա հիմնական հատկությունները.

Ապրանքի քառակուսի արմատը

√(a*b) =√a*√b

Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է այս թվերի քառակուսի արմատների արտադրյալին։ Օրինակ՝ √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Կարևոր է հասկանալ, որ այս հատկությունը վերաբերում է նաև այն դեպքում, երբ արմատական ​​արտահայտությունը երեքի, չորսի և այլնի արտադրյալն է։ ոչ բացասական գործոններ.

Երբեմն այս գույքի մեկ այլ ձևակերպում կա. Եթե ​​a-ն և b-ն ոչ բացասական թվեր են, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝ √(a*b) =√a*√b: Նրանց միջև բացարձակապես ոչ մի տարբերություն չկա, դուք կարող եք օգտագործել այս կամ այն ​​ձևակերպումը (որը ձեզ համար ավելի հարմար է հիշել):

Կոտորակի քառակուսի արմատ

Եթե ​​a>=0 և b>0, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.

√(a/b) =√a/√b.

Օրինակ՝ √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Այս հատկությունն ունի նաև այլ ձևակերպում, որն, իմ կարծիքով, ավելի հարմար է անգիր անելու համար։
Քառակուսի արմատը հավասար է արմատների գործակցին:

Հարկ է նշել, որ այս բանաձևերը գործում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Այսինքն՝ անհրաժեշտության դեպքում մենք կարող ենք արմատների արտադրյալը ներկայացնել որպես արտադրանքի արմատ։ Նույնը վերաբերում է երկրորդ գույքին:

Ինչպես նկատեցիք, այս հատկությունները շատ հարմար են, և ես կցանկանայի ունենալ նույն հատկությունները գումարման և հանման համար.

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Բայց, ցավոք, նման հատկությունները քառակուսի են արմատներ չունեն, և դրա համար է այդպես չի կարելի անել հաշվարկների մեջ.

• 13. Երթևեկության կանոնակարգերի խաչմերուկներով երթևեկություն 2018 առցանց մեկնաբանություններով 13.1. Աջ կամ ձախ թեքվելիս վարորդը պետք է ճանապարհը զիջի հետիոտներին և հեծանվորդներին, ովքեր հատում են այն ճանապարհը, ուր նա թեքվում է։ Սույն հրահանգը վերաբերում է բոլոր [...]
• Ծնողների հանդիպում«Ծնողների իրավունքները, պարտականությունները և պարտականությունները» Դասի ներկայացում Ներբեռնեք ներկայացում (536.6 kB) Ուշադրություն. Նախադիտումսլայդները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել բոլոր […]
• Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաքը Օրյոլի շրջանՏարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաքը (MK) Օրելում և Օրյոլի շրջանում ստեղծվել է 2011 թվականին: Այժմ դա սոցիալական աջակցության լրացուցիչ միջոց է մեծ ընտանիքներմիանվագ դրամական […]
• Գրանցվելիս միանվագ նպաստի չափը վաղ ժամկետներ 2018 թվականին Ձեր հայցած էջը չի գտնվել: Հնարավոր է՝ սխալ հասցե եք մուտքագրել, կամ էջը ջնջվել է։ Նավարկելու համար օգտագործեք [...]
• Տնտեսական գործերով իրավաբան Տնտեսական ոլորտում հանցագործությունները բավականին լայն հասկացություն են։ Նման գործողությունները ներառում են խարդախություն, անօրինական բիզնես, օրինականացում Փողապօրինի ձեռք բերված, անօրինական բանկային […]
• Կենտրոնական բանկի մամուլի ծառայություն Ռուսաստանի Դաշնություն(Ռուսաստանի բանկ) Մամուլի ծառայություն 107016, Մոսկվա, փող. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Ժամանակավոր ադմինիստրացիայի նշանակման վերաբերյալ Ռուսաստանի Բանկի արտաքին և հասարակական կապերի վարչությունը հայտնում է, որ, համաձայն 2-րդ կետի, […]
• ընդհանուր բնութագրերըԵվ կարճ ակնարկջրային ուղիներ Ջրային ավազանների դասակարգում Ռուսաստանի GIMS-ի կողմից վերահսկվող հաճույքների (փոքր) նավերի նավարկության համար ջրային ավազանների դասակարգումն իրականացվում է կախված գերակշռող […]
• Կուչերենա = Վիկտոր Ցոյի փաստաբան Եվ սա բացառիկ է՝ Անատոլի Կուչերենայի այսօրվա նամակը: Շարունակելով թեման. Այս նամակը դեռ ոչ ոք չի հրապարակել։ Եվ դա անհրաժեշտ է, կարծում եմ։ Մաս 1-ն առայժմ. Շուտով կհրապարակեմ երկրորդ մասը՝ հայտնի իրավաբանի ստորագրությամբ։ Ինչու՞ է դա կարևոր: […]

Արմատային բանաձևեր. Քառակուսի արմատների հատկությունները.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ…»)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են բանաձեւեր արմատների համարինչ են արմատների հատկությունները, և ինչ կարելի է անել այս ամենով։

Արմատների բանաձևեր, արմատների հատկություններ և արմատների հետ աշխատելու կանոններ- Սա ըստ էության նույն բանն է։ Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչն ինձ անշուշտ ուրախացնում է: Ավելի ճիշտ՝ կարելի է շատ տարբեր բանաձեւեր գրել, բայց արմատների հետ գործնական ու վստահ աշխատանքի համար բավական է միայն երեքը։ Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Թեև շատերը շփոթվում են երեք արմատային բանաձևերում, այո...

Սկսենք ամենապարզից: Ահա նա.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Բովանդակություն:

Մաթեմատիկայում արմատները կարող են լինել քառակուսի, խորանարդ կամ ունենալ որևէ այլ ցուցիչ (ուժ), որը գրված է ձախ կողմում՝ արմատի նշանի վերևում։ Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն: Արմատներ ավելացնելը նման է հանրահաշվական արտահայտության տերմիններ ավելացնելուն, այսինքն՝ պահանջում է նույնական արմատներ որոշել։

Քայլեր

Մաս 1 Արմատների որոշում

1. 1 Արմատների նշանակում.Արմատային նշանի տակ (√) արտահայտությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտ է այս արտահայտությունից հանել որոշակի աստիճանի արմատ:
   • Արմատը նշվում է √ նշանով։
   • Արմատի ցուցիչը (աստիճանը) գրված է դեպի ձախ՝ արմատի նշանի վերևում։ Օրինակ, 27-ի խորանարդ արմատը գրված է հետևյալ կերպ՝ 3 √(27)
   • Եթե ​​արմատի աստիճանը (աստիճանը) բացակայում է, ապա ցուցիչը համարվում է հավասար 2-ի, այսինքն՝ քառակուսի արմատ է (կամ երկրորդ աստիճանի արմատ)։
   • Արմատային նշանից առաջ գրված թիվը կոչվում է բազմապատկիչ (այսինքն՝ այս թիվը բազմապատկվում է արմատով), օրինակ՝ 5√(2)
   • Եթե ​​արմատի դիմաց գործակից չկա, ապա այն հավասար է 1-ի (հիշենք, որ 1-ով բազմապատկած ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն):
   • Եթե ​​առաջին անգամ եք աշխատում արմատների հետ, համապատասխան նշումներ կատարեք բազմապատկիչի և արմատային ցուցիչի վրա՝ շփոթությունից խուսափելու և դրանց նպատակը ավելի լավ հասկանալու համար:
2. 2 Հիշեք, թե որ արմատները կարելի է ծալել, իսկ որոնք՝ ոչ:Ինչպես չես կարող ավելացնել արտահայտության տարբեր տերմիններ, օրինակ՝ 2a + 2b ≠ 4ab, այնպես էլ չես կարող ավելացնել տարբեր արմատներ:
   • Դուք չեք կարող արմատներ ավելացնել տարբեր արմատական ​​արտահայտություններով, օրինակ՝ √(2) + √(3) ≠ √(5): Բայց դուք կարող եք թվեր գումարել նույն արմատի տակ, օրինակ՝ √(2 + 3) = √(5) (2-ի քառակուսի արմատը մոտավորապես 1,414 է, 3-ի քառակուսի արմատը մոտավորապես 1,732 է, իսկ 5-ի քառակուսի արմատը՝ մոտավորապես 2.236):
   • Դուք չեք կարող արմատներ ավելացնել նույն արմատական ​​արտահայտություններով, բայց տարբեր ցուցիչներով, օրինակ՝ √(64) + 3 √(64) (այս գումարը հավասար չէ 5 √(64-ի), քանի որ 64-ի քառակուսի արմատը 8 է, 64-ի խորանարդ արմատը 4 է, 8 + 4 = 12, ինչը շատ ավելի մեծ է, քան 64-ի հինգերորդ արմատը, որը մոտավորապես 2,297 է):

Մաս 2 Արմատների պարզեցում և ավելացում

1. 1 Բացահայտեք և խմբավորեք նմանատիպ արմատները:Նման արմատները արմատներն են, որոնք ունեն նույն ցուցանիշները և նույն արմատական ​​արտահայտությունները: Օրինակ, հաշվի առեք արտահայտությունը.
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Նախ, վերագրեք արտահայտությունը այնպես, որ նույն ինդեքսով արմատները տեղադրվեն հաջորդաբար:
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Այնուհետև գրիր արտահայտությունը այնպես, որ նույն ցուցիչով և նույն արմատական ​​արտահայտությամբ արմատները հաջորդաբար տեղակայվեն:
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Պարզեցնել արմատները:Դա անելու համար արմատական ​​արտահայտությունները (որտեղ հնարավոր է) տարրալուծեք երկու գործոնի, որոնցից մեկը հանվում է արմատի տակից։ Այս դեպքում հեռացված թիվը և արմատային գործակիցը բազմապատկվում են:
   • Վերոնշյալ օրինակում 50 թիվը վերածեք 2*25-ի, իսկ 32 թիվը՝ 2*16-ի: 25-ից և 16-ից կարող եք վերցնել քառակուսի արմատները (համապատասխանաբար 5 և 4) և արմատի տակից հանել 5-ը և 4-ը, դրանք բազմապատկելով համապատասխանաբար 2-ով և 1-ով, ստանում եք պարզեցված արտահայտություն՝ 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • 81 թիվը կարելի է չափել 3*27, իսկ 27 թվից վերցնել 3-ի խորանարդային արմատը։ Այս թիվը 3-ը կարելի է հանել արմատի տակից։ Այսպիսով, դուք ստանում եք ավելի պարզեցված արտահայտություն՝ 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Ավելացնել նմանատիպ արմատների գործոնները:Մեր օրինակում կան 2-ի նման քառակուսի արմատներ (դրանք կարող են ավելացվել) և 3-ի նման քառակուսի արմատներ (նրանք կարող են նաև ավելացվել): 3-ի խորանարդ արմատը նման արմատներ չունի։
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Վերջնական պարզեցված արտահայտություն՝ 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Չկան ընդհանուր ընդունված կանոններ արտահայտության մեջ արմատների գրման հերթականության համար։ Հետևաբար, կարելի է արմատներ գրել իրենց ցուցանիշների աճման և արմատական ​​արտահայտությունների աճման կարգով:

Դպրոցական մաթեմատիկայի ուսումնական ծրագրում քառակուսի արմատների թեման պարտադիր է: Քառակուսի հավասարումներ լուծելիս առանց դրանց չես կարող։ Իսկ հետագայում անհրաժեշտ է դառնում ոչ միայն արմատները հանել, այլեւ դրանցով այլ գործողություններ կատարել։ Դրանց թվում բավականին բարդ են՝ աստիճանականացում, բազմապատկում և բաժանում։ Բայց կան նաև բավականին պարզեր՝ արմատների հանում և գումարում։ Ի դեպ, դրանք միայն առաջին հայացքից են թվում։ Դրանք առանց սխալների կատարելը միշտ չէ, որ հեշտ է նրանց համար, ով նոր է սկսում ծանոթանալ դրանց հետ։

Ի՞նչ է մաթեմատիկական արմատը:

Այս գործողությունն առաջացել է ի հեճուկս հզորացման: Մաթեմատիկան առաջարկում է երկու հակադիր գործողություն. Գումարի համար կա հանում։ Բազմապատկումը հակադրվում է բաժանմանը: Հակադարձ գործողությունաստիճանը համապատասխան արմատի արդյունահանումն է:

Եթե ​​աստիճանը երկու է, ապա արմատը կլինի քառակուսի։ Այն ամենատարածվածն է դպրոցական մաթեմատիկա. Այն նույնիսկ ցուցում չունի, որ այն քառակուսի է, այսինքն՝ 2 համարը նշված չէ նկարում։

Դրա սահմանումը սահուն հոսում է նկարագրված գործողությունից: Թվի քառակուսի արմատը հանելու համար պետք է պարզել, թե ինչ կտա արմատական ​​արտահայտությունը, երբ բազմապատկվի ինքն իրեն: Այս թիվը կլինի քառակուսի արմատը: Եթե ​​սա գրենք մաթեմատիկորեն, ապա կստանանք հետևյալը` x*x=x 2 =y, ինչը նշանակում է √y=x:

Ի՞նչ գործողություններ կարող եք կատարել նրանց հետ:

Իր հիմքում արմատը կոտորակային հզորություն է, որի համարիչը մեկ է: Իսկ հայտարարը կարող է լինել ցանկացած բան: Օրինակ՝ քառակուսի արմատն ունի երկու։ Հետևաբար, բոլոր գործողությունները, որոնք կարող են կատարվել ուժերով, վավեր կլինեն նաև արմատների համար:

Իսկ այդ գործողություններին ներկայացվող պահանջները նույնն են. Եթե ​​բազմապատկումը, բաժանումը և աստիճանականացումը դժվարությունների չեն հանդիպում ուսանողների համար, ապա արմատներ ավելացնելը, ինչպես դրանք հանելը, երբեմն հանգեցնում է շփոթության: Եվ ամեն ինչ այն պատճառով, որ ես ուզում եմ այս գործողությունները կատարել առանց արմատի նշանի: Եվ այստեղից են սկսվում սխալները։

Որո՞նք են գումարման և հանման կանոնները:

Նախ պետք է հիշել երկու կատեգորիկ «չպետք է».

• անհնար է կատարել արմատների գումարում և հանում, ինչպես պարզ թվերի դեպքում, այսինքն՝ հնարավոր չէ գումարի արմատական ​​արտահայտություններ գրել մեկ նշանի տակ և դրանցով կատարել մաթեմատիկական գործողություններ.
• Դուք չեք կարող արմատներ գումարել և հանել տարբեր ցուցիչներով, օրինակ՝ քառակուսի և խորանարդ:

Առաջին արգելքի վառ օրինակ. √6 + √10 ≠ √16, բայց √(6 + 10) = √16.

Երկրորդ դեպքում ավելի լավ է սահմանափակվել ինքներս արմատների պարզեցմամբ: Իսկ դրանց գումարը թողեք պատասխանում։

Հիմա կանոններին

1. Գտեք և խմբավորեք նմանատիպ արմատներ: Այսինքն՝ նրանք, ովքեր ոչ միայն ունեն նույն թվերըռադիկալի տակ, բայց նրանք իրենք ունեն մեկ ցուցանիշ.
2. Կատարեք արմատների ավելացում, որոնք միավորված են մեկ խմբի մեջ առաջին գործողության մեջ: Դա հեշտ է իրականացնել, քանի որ անհրաժեշտ է միայն ավելացնել այն արժեքները, որոնք հայտնվում են արմատականների առջև:
3. Հանի՛ր այն տերմինների արմատները, որոնցում արմատական ​​արտահայտությունը կազմում է մի ամբողջ քառակուսի: Այսինքն՝ ոչինչ մի թողեք ռադիկալի նշանի տակ։
4. Պարզեցրեք արմատական ​​արտահայտությունները: Դա անելու համար հարկավոր է դրանք չափել պարզ գործակիցների մեջ և տեսնել, թե արդյոք նրանք տալիս են որևէ թվի քառակուսի: Հասկանալի է, որ դա ճիշտ է, երբ մենք խոսում ենք քառակուսի արմատի մասին։ Երբ ցուցիչը երեք կամ չորս է, ապա պարզ գործակիցները պետք է տան թվի խորանարդը կամ չորրորդ ուժը:
5. Ռադիկալի նշանի տակից հանե՛ք այն գործոնը, որը տալիս է ամբողջ ուժը։
6. Տեսեք, թե արդյոք այն նորից կհայտնվի նմանատիպ տերմիններ. Եթե ​​այո, ապա նորից կատարեք երկրորդ քայլը:

Մի իրավիճակում, երբ առաջադրանքը չի պահանջում ճշգրիտ արժեքարմատ, այն կարելի է հաշվարկել հաշվիչի վրա: Անվերջ տասնորդական, որը կհայտնվի իր պատուհանում՝ կլորացնելով դեպի վեր: Ամենից հաճախ դա արվում է հարյուրերորդական: Եվ հետո կատարեք տասնորդական կոտորակների բոլոր գործողությունները:

Սա ամբողջ տեղեկատվությունն է, թե ինչպես ավելացնել արմատները: Ստորև բերված օրինակները ցույց կտան վերը նշվածը:

Առաջին առաջադրանքը

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքը.

ա) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

բ) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

գ) √275 - 10√11 + 2√99 + √396:

ա) Եթե հետևեք վերը նշված ալգորիթմին, կարող եք տեսնել, որ այս օրինակում առաջին երկու գործողությունների համար ոչինչ չկա: Բայց դուք կարող եք պարզեցնել որոշ արմատական ​​արտահայտություններ:

Օրինակ, 32-ը տարրալուծեք երկու գործոնի 2-ի և 16-ի; 18-ը հավասար կլինի 9-ի և 2-ի արտադրյալին. 128-ը 2-ն է 64-ից: Հաշվի առնելով սա, արտահայտությունը կգրվի այսպես.

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9):

Այժմ դուք պետք է արմատական ​​նշանի տակից հանեք այն գործոնները, որոնք տալիս են թվի քառակուսին: Սա 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2 է: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2:

Պետք է մի փոքր պարզեցնել ձայնագրությունը։ Դա անելու համար արմատական ​​նշաններից առաջ բազմապատկեք գործակիցները.

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Այս արտահայտության մեջ բոլոր տերմինները նման էին։ Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է ծալեք դրանք: Պատասխանը կլինի՝ 5√2:

բ) Նախորդ օրինակի նման, արմատներ ավելացնելը սկսվում է դրանց պարզեցմամբ: 75, 147, 48 և 300 արմատական ​​արտահայտությունները կներկայացվեն հետևյալ զույգերով. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Պարզեցումից հետո պատասխանն է՝ 5√5 - 5√3: Այն կարելի է թողնել այս տեսքով, բայց ավելի լավ է փակագծերից հանել ընդհանուր գործակից 5-ը՝ 5 (√5 - √3):

գ) Եվ կրկին ֆակտորիզացիա՝ 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36։ Արմատի նշանի տակից գործակիցները հեռացնելուց հետո ունենում ենք.

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11: Նման տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք արդյունքը՝ 7√11։

Օրինակ կոտորակային արտահայտություններով

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Դուք պետք է գործակցեք հետևյալ թվերը՝ 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49։ Ինչպես արդեն քննարկվածներին, դուք պետք է արմատական ​​նշանի տակից հանեք գործոնները։ և պարզեցնել արտահայտությունը.

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½):

Այս արտահայտությունը պահանջում է ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկրորդ անդամը բազմապատկել √2/√2-ով:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2:

Գործողությունները ավարտելու համար անհրաժեշտ է արմատների դիմաց ընտրել գործոնների ամբողջ մասը։ Առաջինի համար 1 է, երկրորդի համար՝ 2։