Ինչպե՞ս է հայտնաբերվում ընդհանուր հայտարարը: Երկու թվերի պտույտ և շարժում, էվկլիդեսյան ալգորիթմ
հետ հանրահաշվական կոտորակներ գումարել և հանելիս տարբեր հայտարարներնախ կոտորակները հանգեցնում են Ընդհանուր հայտարար. Սա նշանակում է, որ նրանք գտնում են մեկ հայտարար, որը բաժանվում է տվյալ արտահայտության մեջ ներառված յուրաքանչյուր հանրահաշվական կոտորակի սկզբնական հայտարարի վրա։
Ինչպես գիտեք, եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն (կամ բաժանվեն) նույն թվով, բացի զրոյից, կոտորակի արժեքը չի փոխվի։ Սա կոտորակի հիմնական հատկությունն է։ Հետևաբար, երբ կոտորակները կրճատվում են ընդհանուր հայտարարի, նրանք ըստ էության բազմապատկում են յուրաքանչյուր կոտորակի սկզբնական հայտարարը բացակայող գործակցով՝ ստանալու ընդհանուր հայտարար։ Այս դեպքում պետք է կոտորակի համարիչը բազմապատկել այս գործակցով (յուրաքանչյուր կոտորակի համար այն տարբեր է):
Օրինակ՝ հաշվի առնելով հանրահաշվական կոտորակների հետևյալ գումարը.
Պահանջվում է պարզեցնել արտահայտությունը, այսինքն՝ ավելացնել երկու հանրահաշվական կոտորակ: Դա անելու համար առաջին հերթին պետք է կոտորակի անդամները բերել ընդհանուր հայտարարի: Առաջին քայլը գտնելն է միանդամ, որը բաժանվում է և՛ 3x-ի, և՛ 2y-ի: Այս դեպքում ցանկալի է, որ այն լինի ամենափոքրը, այսինքն՝ գտնի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) 3x-ի և 2y-ի համար։
Թվային գործակիցների և փոփոխականների համար LCM-ը որոնվում է առանձին: LCM(3, 2) = 6, և LCM(x, y) = xy: Հաջորդը, գտնված արժեքները բազմապատկվում են ՝ 6xy:
Այժմ մենք պետք է որոշենք, թե ինչ գործակցով պետք է բազմապատկենք 3x, որպեսզի ստանանք 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Սա նշանակում է, որ առաջին հանրահաշվական կոտորակը ընդհանուր հայտարարի կրճատելիս նրա համարիչը պետք է բազմապատկվի 2y-ով (ընդհանուր հայտարարի կրճատման ժամանակ հայտարարն արդեն բազմապատկվել է)։ Նույն կերպ փնտրում են երկրորդ կոտորակի համարիչի բազմապատկիչը։ Այն հավասար կլինի 3x-ի։
Այսպիսով մենք ստանում ենք. 
Այնուհետև կարող եք գործել այնպես, ինչպես միանման հայտարար ունեցող կոտորակների դեպքում. գումարեք համարիչները և գրեք մեկ ընդհանուր հայտարար. 
Փոխակերպումներից հետո ստացվում է պարզեցված արտահայտություն, որը մեկն է հանրահաշվական կոտորակ, որը երկու բնօրինակների գումարն է. 
Բնօրինակ արտահայտության հանրահաշվական կոտորակները կարող են պարունակել հայտարարներ, որոնք ավելի շատ բազմանդամներ են, քան միանդամներ (ինչպես վերը նշված օրինակում): Այս դեպքում, նախքան ընդհանուր հայտարարի որոնումը, պետք է հաշվի առնել հայտարարները (եթե հնարավոր է): Հետագա Ընդհանուր հայտարարհավաքվում է տարբեր գործոններից: Եթե բազմապատկիչը մի քանի սկզբնական հայտարարի մեջ է, ապա այն վերցվում է մեկ անգամ: Եթե բազմապատկիչը սկզբնական հայտարարներում տարբեր հզորություններ ունի, ապա այն վերցվում է ավելի մեծի հետ։ Օրինակ: 
Այստեղ a 2 – b 2 բազմանդամը կարելի է ներկայացնել որպես արտադրյալ (a – b)(a + b): 2a – 2b գործակիցը ընդլայնվում է որպես 2(a – b): Այսպիսով, ընդհանուր հայտարարը կլինի 2(a – b)(a + b):
Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու խնդիրները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը հիմնականներից է, հատկապես հաճախ օգտագործվում է Թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, և առանձնապես դժվար չէ նյութը հասկանալը, անձը, ով ծանոթ է հզորություններին և բազմապատկման աղյուսակին, չի դժվարանա բացահայտել անհրաժեշտ թվերը և հայտնաբերել արդյունք.
Սահմանում
Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով։ Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։
NOC-ն անվանման համար ընդունված կարճ անվանումն է՝ հավաքված առաջին տառերից։
Թիվ ստանալու ուղիներ
Թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է LCM-ն գտնելու համար, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների.
Օրինակ #1
Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար օգտագործում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվ, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։
Օրինակ թիվ 2
Առաջադրանքի երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է։ Տրված են 300 և 1260 համարները, LOC գտնելը պարտադիր է։ Խնդիրը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.
Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Առաջին փուլն ավարտված է.
Երկրորդ փուլը ներառում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր գործոնի համար երևույթների ամենամեծ թիվը վերցված է սկզբնական թվերից: ՀԱՕԿ-ն է ընդհանուր թիվըՀետևաբար, թվերի գործոնները պետք է կրկնվեն դրանում, յուրաքանչյուրը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում: Երկու սկզբնական թվերն էլ պարունակում են 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր ուժերով 7-ը առկա է միայն մեկ դեպքում.
Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ ներդնել յուրաքանչյուր թիվը՝ ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը ճիշտ լրացման դեպքում, առաջադրանքը տեղավորվում է երկու քայլի մեջ՝ առանց բացատրության.
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք հաշվարկել անհրաժեշտ թիվը բազմապատկելով, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:
Փորձաքննություն:
6300 / 300 = 21 - ճիշտ;
6300 / 1260 = 5 - ճիշտ:
Ստացված արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ LCM-ն երկու սկզբնական թվերի վրա բաժանելով, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։
Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ:
Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անպետք ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի հասցնելն է: Այն, ինչ սովորաբար սովորում են միջնակարգ դպրոցի 5-6-րդ դասարաններում. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ առկա են այդպիսի պայմաններ: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի բազմապատիկ, այլև շատ ավելի մեծ թվի՝ երեք, հինգ և այլն։ Որքան շատ թվեր, այնքան շատ գործողություններ առաջադրանքի մեջ, բայց բարդությունը չի ավելանում:
Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Արտահայտություն կազմելու համար անհրաժեշտ է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար անհրաժեշտ է որոշել առավելագույն աստիճանը։
Ուշադրություն. բոլոր գործոնները պետք է հասցվեն լիակատար պարզեցման, հնարավորության դեպքում տարրալուծվեն միանիշ մակարդակի:
Փորձաքննություն:
1) 3000 / 250 = 12 - ճիշտ;
2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;
3) 3000 / 1500 = 2 - ճիշտ:
Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։
Մեկ այլ ճանապարհ
Մաթեմատիկայի մեջ շատ բաներ կապված են, շատ բաներ կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու՝ LCM-ին։ Պարզ երկնիշ և միանիշ թվերի դեպքում կարելի է կիրառել հետևյալ մեթոդը. Կազմվում է աղյուսակ, որի մեջ բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը՝ հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցնել մի թիվ և գրել այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն 3-5 միավորը բավական է, երկրորդ և հաջորդ թվերն անցնում են նույն հաշվողական գործընթացին։ Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:
Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք բոլոր թվերը միացնող LCM-ը.
1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:
2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:
3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:
Նկատելի է, որ բոլոր թվերը միանգամայն տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի այն կլինի ՀԱՕԿ-ը։ Այս հաշվարկում ներգրավված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում: Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականին զգալի LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկ, որը բաժանվում է բոլոր տվյալների վրա բնօրինակ արժեքներ, իսկ GCD-ն ներառում է հաշվարկը ամենաբարձր արժեքըորով բաժանվում են սկզբնական թվերը։
Այս հոդվածը բացատրում է ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարըԵվ ինչպես կրճատել կոտորակները ընդհանուր հայտարարի. Նախ տրված են կոտորակների ընդհանուր հայտարարի և ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարի սահմանումները, ինչպես նաև ցույց է տրված, թե ինչպես կարելի է գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Ստորև բերված է կոտորակները ընդհանուր հայտարարի կրճատելու կանոն և դիտարկվում են այս կանոնի կիրառման օրինակներ: Եզրափակելով, օրինակներ բերելու երեք և ավելինկոտորակները ընդհանուր հայտարարի:
Էջի նավարկություն.
Ի՞նչ է կոչվում կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի:
Այժմ կարող ենք ասել, թե ինչ է նշանակում կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի հասցնելը: Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի- Սա տրված կոտորակների համարիչների և հայտարարների բազմապատկումն է այնպիսի լրացուցիչ գործոններով, որ ստացվում են նույն հայտարարներով կոտորակները:
Ընդհանուր հայտարար, սահմանում, օրինակներ
Այժմ ժամանակն է սահմանել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը:
Այսինքն՝ որոշակի բազմության ընդհանուր հայտարարը սովորական կոտորակներցանկացած է բնական թիվ, որը բաժանվում է այս կոտորակների բոլոր հայտարարների վրա։
Նշված սահմանումից հետևում է, որ կոտորակների տրված բազմությունն ունի անսահման շատ ընդհանուր հայտարարներ, քանի որ կա անվերջ թվով ընդհանուր բազմապատիկ կոտորակների սկզբնական բազմության բոլոր հայտարարների:
Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի որոշումը թույլ է տալիս գտնել տվյալ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Օրինակ՝ 1/4 և 5/6 կոտորակները հաշվի առնելով՝ դրանց հայտարարները համապատասխանաբար 4 և 6 են։ 4 և 6 թվերի դրական ընդհանուր բազմապատիկներն են 12, 24, 36, 48, ... Այս թվերից որևէ մեկը 1/4 և 5/6 կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է։
Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք հետևյալ օրինակի լուծումը.
Օրինակ։
Կարո՞ղ են 2/3, 23/6 և 7/12 կոտորակները կրճատել 150 ընդհանուր հայտարարի:
Լուծում.
Հարցին պատասխանելու համար պետք է պարզել, թե արդյոք 150 թիվը 3, 6 և 12 հայտարարների ընդհանուր բազմապատիկն է։ Դա անելու համար ստուգենք, թե արդյոք 150-ը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերի բաժանման կանոններն ու օրինակները, ինչպես նաև բնական թվերը մնացորդով բաժանելու կանոններն ու օրինակները). 150:3=50. , 150:6=25, 150՝ 12=12 (մնաց 6) .
Այսպիսով, 150-ը հավասարապես չի բաժանվում 12-ի, հետևաբար 150-ը 3-ի, 6-ի և 12-ի ընդհանուր բազմապատիկը չէ: Հետևաբար, 150 թիվը չի կարող լինել սկզբնական կոտորակների ընդհանուր հայտարարը։
Պատասխան.
Արգելվում է։
Ամենացածր ընդհանուր հայտարարը, ինչպե՞ս գտնել այն:
Տրված կոտորակների ընդհանուր հայտարար հանդիսացող թվերի բազմության մեջ կա ամենափոքր բնական թիվ, որը կոչվում է ամենափոքր ընդհանուր հայտարար։ Ձևակերպենք այս կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարի սահմանումը։
Սահմանում.
Նվազագույն ընդհանուր հայտարարըայս կոտորակների բոլոր ընդհանուր հայտարարների ամենափոքր թիվն է։
Մնում է զբաղվել այն հարցով, թե ինչպես գտնել ամենաքիչ ընդհանուր բաժանարարը:
Քանի որ թվերի տրված բազմության նվազագույն դրական ընդհանուր բաժանարարն է, ապա տվյալ կոտորակների հայտարարների LCM-ն ներկայացնում է տվյալ կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:
Այսպիսով, կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը գտնելը իջնում է այդ կոտորակների հայտարարների վրա։ Դիտարկենք օրինակի լուծումը։
Օրինակ։
Գտե՛ք 3/10 և 277/28 կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
Լուծում.
Այս կոտորակների հայտարարներն են 10 և 28։ Ցանկալի ամենացածր ընդհանուր հայտարարը գտնվում է որպես 10 և 28 թվերի LCM: Մեր դեպքում դա հեշտ է՝ քանի որ 10=2·5 և 28=2·2·7, ապա LCM(15, 28)=2·2·5·7=140:
Պատասխան.
140 .
Ինչպե՞ս կրճատել կոտորակները ընդհանուր հայտարարի: Կանոն, օրինակներ, լուծումներ
Ընդհանուր կոտորակները սովորաբար ունենում են ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Այժմ մենք կգրենք մի կանոն, որը բացատրում է, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները մինչև իրենց ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
Կոտորակներն ամենացածր ընդհանուր հայտարարին փոքրացնելու կանոնբաղկացած է երեք քայլից.
- Նախ գտե՛ք կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
- Երկրորդ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի համար հաշվարկվում է լրացուցիչ գործակից՝ ամենացածր ընդհանուր հայտարարը բաժանելով յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա։
- Երրորդ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են նրա լրացուցիչ գործակցով։
Եկեք կիրառենք նշված կանոնը հետևյալ օրինակը լուծելու համար.
Օրինակ։
5/14 և 7/18 կոտորակներն իջեցրե՛ք մինչև իրենց ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
Լուծում.
Կատարենք կոտորակներն ամենացածր ընդհանուր հայտարարին կրճատելու ալգորիթմի բոլոր քայլերը։
Նախ գտնում ենք ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը, որը հավասար է 14 և 18 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ Քանի որ 14=2·7 և 18=2·3·3, ապա LCM(14, 18)=2·3·3·7=126:
Այժմ հաշվում ենք լրացուցիչ գործոններ, որոնց օգնությամբ 5/14 և 7/18 կոտորակները կնվազեն մինչև 126 հայտարար։ 5/14 կոտորակի համար հավելյալ գործակիցը 126:14=9 է, իսկ 7/18 կոտորակի համար՝ 126:18=7։
Մնում է 5/14 և 7/18 կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկել համապատասխանաբար լրացուցիչ 9 և 7 գործակիցներով։ ունենք և 
.
Այսպիսով, 5/14 և 7/18 կոտորակները մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարի կրճատումը ավարտված է: Ստացված կոտորակները եղել են 45/126 և 49/126:
IN իրական կյանքՊետք է գործել սովորական կոտորակներով։ Այնուամենայնիվ, տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար, օրինակ՝ 2/3 և 5/7, մենք պետք է ընդհանուր հայտարար գտնենք: Կոտորակները բերելով ընդհանուր հայտարարի, մենք հեշտությամբ կարող ենք կատարել գումարման կամ հանման գործողություններ:
Սահմանում
Կոտորակները տարրական թվաբանության ամենադժվար թեմաներից են, իսկ ռացիոնալ թվերը վախեցնում են ուսանողներին, ովքեր առաջին անգամ են հանդիպում դրանց: Մենք սովոր ենք աշխատել տասնորդական ձևաչափով գրված թվերի հետ։ Շատ ավելի հեշտ է անմիջապես ավելացնել 0,71 և 0,44, քան ավելացնել 5/7 և 4/9: Ի վերջո, կոտորակները գումարելու համար դրանք պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Այնուամենայնիվ, կոտորակները շատ ավելի ճշգրիտ են ներկայացնում մեծությունների իմաստը, քան նրանց տասնորդական համարժեքները, իսկ մաթեմատիկայի մեջ շարքերը կամ իռացիոնալ թվերը որպես կոտորակ ներկայացնելը դառնում է առաջնահերթություն. Այս առաջադրանքը կոչվում է «արտահայտությունը փակ ձևի բերել»:
Եթե կոտորակի և համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում կամ բաժանվում են միևնույն գործակցով, կոտորակի արժեքը չի փոխվում: Սա ամենաշատերից մեկն է կարևոր հատկություններկոտորակային թվեր. Օրինակ, 3/4 կոտորակը տասնորդական ձևով գրվում է 0,75: Եթե համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 3-ով, կստանանք 9/12 կոտորակը, որը ճիշտ նույնն է, ինչ 0,75-ը։ Այս հատկության շնորհիվ մենք կարող ենք բազմապատկվել տարբեր կոտորակներայնպես որ նրանք բոլորն ունեն նույն հայտարարները. Ինչպե՞ս դա անել:
Ընդհանուր հայտարարի որոնում
Ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը (LCD) արտահայտության բոլոր հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է: Նման թիվ մենք կարող ենք գտնել երեք եղանակով.
Օգտագործելով առավելագույն հայտարարը
Սա ոչ վարակիչ հիվանդությունների որոնման ամենապարզ, բայց ժամանակատար մեթոդներից մեկն է: Սկզբում մենք բոլոր կոտորակների հայտարարներից դուրս ենք գրում ամենամեծ թիվը և ստուգում դրա բաժանելիությունը փոքր թվերի վրա: Եթե այն բաժանելի է, ապա ամենամեծ հայտարարը NCD-ն է:
Եթե նախորդ գործողության մեջ թվերը բաժանվում են մնացորդով, ապա դրանցից ամենամեծը պետք է բազմապատկել 2-ով և կրկնել բաժանելիության թեստը։ Եթե այն բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա նոր գործակիցը դառնում է NOZ։
Եթե ոչ, ապա ամենամեծ հայտարարը բազմապատկվում է 3-ով, 4-ով, 5-ով և այլն, մինչև գտնվի բոլոր կոտորակների ստորին մասերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Գործնականում դա այսպիսի տեսք ունի.
Եկեք ունենանք 1/5, 1/8 և 1/20 կոտորակները: 20-ը ստուգում ենք 5-ի և 8-ի բաժանելիության համար: 20-ը չի բաժանվում 8-ի, 20-ը բազմապատկվում է 2-ով: Ստուգում ենք 40-ը 5-ի և 8-ի բաժանելիության համար: Թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, հետևաբար՝ N3 (1/5, 1/8): և 1/20) = 40, իսկ կոտորակները դառնում են 8/40, 5/40 և 2/40:
Բազմապատիկների հաջորդական որոնում
Երկրորդ մեթոդը բազմակի պարզ որոնումն է և ամենափոքրը ընտրելը: Բազմապատիկները գտնելու համար մենք թիվը բազմապատկում ենք 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն, ուստի բազմապատիկների թիվը հասնում է անսահմանության: Այս հաջորդականությունը կարող է սահմանափակվել սահմանաչափով, որը տրված թվերի արտադրյալն է։ Օրինակ, 12 և 20 թվերի համար LCM-ը գտնվել է հետևյալ կերպ.
- Գրեք թվեր, որոնք 12-ի բազմապատիկ են՝ 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
- Գրեք թվեր, որոնք բազմապատիկ են 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
- որոշել ընդհանուր բազմապատիկները՝ 60, 120;
- ընտրել դրանցից ամենափոքրը՝ 60:
Այսպիսով, 1/12-ի և 1/20-ի համար ընդհանուր հայտարարը 60 է, իսկ կոտորակները վերածվում են 5/60-ի և 3/60-ի:
Առաջնային ֆակտորիզացիա
LOC-ի հայտնաբերման այս մեթոդն ամենաարդիականն է: Այս մեթոդը ներառում է բոլոր թվերի տարրալուծումը կոտորակների ստորին մասերից անբաժանելի գործոնների: Սրանից հետո կազմվում է մի թիվ, որը պարունակում է բոլոր հայտարարների գործակիցները։ Գործնականում այն աշխատում է այսպես. Եկեք գտնենք LCM-ն նույն 12 և 20 զույգի համար.
- ֆակտորիզացնել 12 - 2 × 2 × 3;
- դասավորել 20 - 2 × 2 × 5;
- մենք միավորում ենք գործոնները, որպեսզի դրանք պարունակեն և՛ 12, և՛ 20 թվերը՝ 2 × 2 × 3 × 5;
- բազմապատկել անբաժանելիները և ստանալ արդյունքը՝ 60։
Երրորդ կետում առանց կրկնությունների միավորում ենք բազմապատկիչները, այսինքն՝ երկու երկուսը բավական է 12-ը երեքի հետ միասին կազմելու համար, իսկ 20-ը՝ հինգի հետ։
Մեր հաշվիչը թույլ է տալիս որոշել NOZ-ը սովորական և տասնորդական ձևով գրված կամայական թվով կոտորակների համար: NOS որոնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել ներդիրներով կամ ստորակետերով առանձնացված արժեքներ, որից հետո ծրագիրը կհաշվի ընդհանուր հայտարարը և կցուցադրի փոխարկված կոտորակները:
Իրական կյանքի օրինակ
Կոտորակների ավելացում
Ենթադրենք, թվաբանական խնդիրում մենք պետք է գումարենք հինգ կոտորակ.
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Լուծումը կկատարվի ձեռքով հետևյալ կերպ. Նախ, մենք պետք է թվերը ներկայացնենք մեկ ձևով.
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Այժմ մենք ունենք մի շարք սովորական կոտորակներ, որոնք պետք է կրճատվեն մինչև նույն հայտարարը.
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Քանի որ մենք ունենք 5 տերմին, ամենահեշտ ձևը NOZ-ի կողմից որոնելու մեթոդն է ամենամեծ թիվը. Մենք ստուգում ենք 20-ը այլ թվերի վրա բաժանելու համար: 20-ն առանց մնացորդի չի բաժանվում 8-ի։ Մենք 20-ը բազմապատկում ենք 2-ով, ստուգում ենք 40-ը բաժանելիության համար. բոլոր թվերը 40-ը բաժանում են ամբողջի: Սա է մեր ընդհանուր հայտարարը։ Այժմ ռացիոնալ թվերն ամփոփելու համար մենք պետք է յուրաքանչյուր կոտորակի համար որոշենք լրացուցիչ գործոններ, որոնք սահմանվում են որպես LCM-ի և հայտարարի հարաբերակցությունը: Լրացուցիչ բազմապատկիչները կունենան հետևյալ տեսքը.
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Այժմ մենք կոտորակների համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք համապատասխան լրացուցիչ գործոններով.
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Նման արտահայտության համար մենք կարող ենք հեշտությամբ որոշել գումարը, որը հավասար է 85/40 կամ 2 ամբողջ և 1/8: Սա ծանր հաշվարկ է, այնպես որ կարող եք պարզապես մուտքագրել խնդրի տվյալները հաշվիչի ձևաթղթում և անմիջապես ստանալ պատասխանը:
Եզրակացություն
Թվաբանական գործողություններ կոտորակներով - ոչ շատ հարմար բան, քանի որ պատասխանը գտնելու համար պետք է բազմաթիվ միջանկյալ հաշվարկներ կատարել։ Օգտագործեք մեր առցանց հաշվիչը՝ կոտորակները ընդհանուր հայտարարի վերածելու և դպրոցական խնդիրները արագ լուծելու համար:
Խաչաձեւ բազմապատկում
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը:
Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը
Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Տես նաեւ:
Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:
Խաչաձեւ բազմապատկում
Ամենապարզ և հուսալի միջոց, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ դուք պետք է շատ հաշվեք, քանի որ հայտարարները բազմապատկվում են «անընդմեջ», և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր. Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
- Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
- Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72. 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:
Ի դեպ, ես պատահական չեմ վերցրել այս օրինակի կոտորակները: Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա մեթոդի ուժն է ընդհանուր բաժանարարներ, բայց, կրկնում եմ, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի։ Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը
Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի.
Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.
- Բացահայտելով միանման գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից դուք կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։
Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։
Տես նաեւ:
Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի
Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի:
Ընդհանուր հայտարար, հասկացություն և սահմանում:
Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:
Խաչաձեւ բազմապատկում
Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր: Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
- Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
- Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72. 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:
Ի դեպ, ես պատահական չեմ վերցրել այս օրինակի կոտորակները: Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի.
Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.
- Բացահայտելով միանման գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից դուք կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։
Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։
Տես նաեւ:
Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի
Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:
Խաչաձեւ բազմապատկում
Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։
Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր: Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
- Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
- Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72. 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:
Ի դեպ, ես պատահական չեմ վերցրել այս օրինակի կոտորակները: Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի.
Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.
- Բացահայտելով միանման գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից դուք կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։
Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։
Տես նաեւ:
Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի
Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:
Խաչաձեւ բազմապատկում
Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր:
Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի
Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
- Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
- Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72. 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:
Ի դեպ, ես պատահական չեմ վերցրել այս օրինակի կոտորակները: Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի.
Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.
- Բացահայտելով միանման գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից դուք կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։
Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։
