≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Որո՞նք են հակադիր թվերը: Տեսադաս «Հակառակ թվեր»

Այս հոդվածում մենք կփորձենք պարզել, թե որոնք են հակադիր թվերը: Մենք կբացատրենք, թե դրանք ընդհանրապես ինչ են, ցույց կտանք, թե կոնկրետ ինչ նշանակումներ են օգտագործվում դրանց համար և կնայենք մի քանի օրինակների: Նյութի վերջին մասում կթվարկենք հակադիր թվերի հիմնական հատկությունները։

Հակադրությունների բուն հասկացությունը բացատրելու համար նախ պետք է պատկերել կոորդինատային գիծ: Եկեք դրա վրա վերցնենք M կետը (բայց ոչ հետհաշվարկի հենց սկզբում): Նրա հեռավորությունը զրոյին հավասար կլինի որոշակի թվով միավորի հատվածների, որոնք, իր հերթին, կարելի է բաժանել տասներորդների և հարյուրերորդների: Եթե ​​սկզբից նույն հեռավորությունը չափենք այն ուղղությամբ, որտեղ գտնվում է M-ը, ապա կարող ենք հասնել մեկ այլ նմանատիպ կետի: Անվանենք Ն. Օրինակ՝ M-ից զրոյական 2,4 միավոր հատվածների հեռավորություն է, իսկ N-ից զրո նույնն է։ Նայեք նկարին.

Հիշենք, որ կոորդինատային ուղղի յուրաքանչյուր կետ կարող է կապված լինել միայն մեկ իրական թվի հետ։ Այս դեպքում մեր M և N կետերը համապատասխանում են որոշակի թվերի, որոնք կոչվում են հակադիր։ Յուրաքանչյուր թիվ ունի հակառակ թիվ, բացի զրոյից: Քանի որ սա հետհաշվարկի սկիզբն է, այն համարվում է ինքնին հակառակը։

Եկեք գրենք սահմանումը, թե ինչ են հակադիր թվերը.

Սահմանում 1

Հակառակկոչվում են թվեր, որոնք համապատասխանում են կոորդինատային գծի այնպիսի կետերին, որոնց մենք կհասնենք, եթե տարբեր ուղղություններով (դրական և բացասական) նշենք սկզբնակետից նույն հեռավորությունը։ Զրոն սկզբնաղբյուրում է և ինքն իրեն հակադիր։

Ինչպե՞ս են նշվում հակադիր թվերը:

Այս բաժնում մենք կներկայացնենք նման թվերի հիմնական նշումը: Եթե ​​մենք ունենք որոշակի թիվ և պետք է գրենք դրա հակառակը, ապա դրա համար օգտագործում ենք մինուս:

Օրինակ 1

Ենթադրենք մեր թիվը a է, հետևաբար դրա հակադիրը a է (մինուս a): Ճիշտ նույն կերպ 0,26-ի համար հակառակը 0,26 է, իսկ 145-ի համար կլինի՝ 145։ Եթե ​​սկզբնական թիվը ինքնին բացասական է, օրինակ՝ - 9, ապա հակառակը գրում ենք որպես – (- 9):

Հակառակ թվերի ի՞նչ այլ օրինակներ կարող եք բերել: Վերցնենք ամբողջ թվերը՝ 12 և - 12։ Հակառակ ռացիոնալ թվերն են 3 2 11 և - 3 2 11, ինչպես նաև 8, 128 և − 8, 128, 0, (18901) և − 0, (18901) և այլն։ Իռացիոնալ թվերը կարող են նաև հակառակ լինել, օրինակ. 2 + 1 և - 2 + 1 թվային արտահայտությունների արժեքները:

Հակառակ իռացիոնալ թվերը նույնպես կլինեն e և - e:

Հակառակ թվերի հիմնական հատկությունները

Նման թվերն ունեն որոշակի հատկություններ. Ստորև կտանք դրանց ցանկը՝ բացատրություններով։

Սահմանում 2

1. Եթե սկզբնական թիվը դրական է, ապա դրա հակառակը կլինի բացասական:

Այս հայտարարությունը ակնհայտ է և բխում է վերը նշված գրաֆիկից. այդպիսի թվերը գտնվում են հղման գծի հակառակ կողմերում: Եթե ​​մոռացել եք դրական և բացասական թվեր հասկացությունները, նայեք ավելի վաղ հրապարակած նյութին։

Այս կանոնից կարելի է եզրակացնել ևս մեկ շատ կարևոր պնդում. Բառացի ձևով նրա նշումը հետևյալն է. ցանկացած դրական a-ի համար այն ճիշտ կլինի − (− a) = a: Օրինակով ցույց տանք, թե ինչու է դա կարևոր։

Վերցնենք 5 թիվը։ Օգտագործելով կոորդինատային գիծը, դուք կարող եք տեսնել, որ հակառակ թիվը 5 է, և հակառակը: Օգտագործելով վերևում նշած նշումը՝ 5-ի հակառակ թիվը գրում ենք որպես – (- 5): Ստացվում է, որ – (- 5) = 5: Այստեղից էլ եզրակացություն՝ հակադիր թվերը միմյանցից տարբերվում են միայն մինուս նշանի առկայությամբ։

2. Հետևյալ հատկությունը սովորաբար կոչվում է համաչափության հատկություն. Այն կարող է ստացվել նաև հակադիր թվերի սահմանումից: Այն հնչում է այսպես.

Սահմանում 3

Եթե ​​որոշ a թիվ b-ի հակառակն է, ապա b-ն a-ի հակառակն է:

Ակնհայտ է, որ այս հայտարարությունը լրացուցիչ ապացույցների կարիք չունի։

3. Հակառակ թվերի երրորդ հատկությունն ասում է.

Սահմանում 4

Յուրաքանչյուր իրական թիվ ունի միայն մեկ հակադիր թիվ:

Այս պնդումը բխում է այն փաստից, որ կոորդինատային գծի կետերը չեն կարող միանգամից շատ թվերի համապատասխանել։

Սահմանում 5

4. Հակառակ թվերի մոդուլները հավասար են։

Սա բխում է մոդուլի սահմանումից: Տրամաբանական է, որ ցանկացած հակադիր թվին համապատասխանող գծի կետերը նույն հեռավորության վրա են գտնվում հղման կետից։

Սահմանում 6

5. Եթե գումարենք հակադիր թվեր, ապա կստանանք 0:

Բառացիորեն այս հայտարարությունը նման է + (− a) = 0-ի:

Օրինակ 2

Ահա այսպիսի հաշվարկների օրինակներ.

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Ինչպես տեսնում եք, այս կանոնը գործում է բոլոր թվերի համար՝ ամբողջ թվեր, ռացիոնալ, իռացիոնալ և այլն:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Դիտարկենք այս օրինակը։ Պետք է հաջորդաբար հաշվել՝ .

Դուք կարող եք վերադասավորել այն թվերը, որոնք պետք է ավելացվեն, իսկ հետո հանեք մնացածները.

Բայց սա միշտ չէ, որ հարմար է: Օրինակ, մենք կարող ենք հաշվել ինչ-որ պահեստի իրերի մնացորդը, և մենք պետք է իմանանք միջանկյալ արդյունքը:

Դուք կարող եք կատարել գործողություններ անընդմեջ.

Մենք գիտենք, որ, հետևաբար, արդյունքը կլինի թվից հանում: Սա նշանակում է, որ մենք պետք է հանենք, բայց դեռ ոչ մի բանից: Երբ մենք ինչ-որ բան ունենք հանելու, մենք հանում ենք.

Բայց մենք կարող ենք «խաբել» և նշանակել: Այսպիսով, մենք կներկայացնենք նոր օբյեկտ. բացասական թվեր.

Մենք արդեն կատարել ենք նման գործողություն. բնության մեջ, օրինակ, «» թիվը նույնպես գոյություն չուներ, բայց մենք նման օբյեկտ ենք ներկայացրել, որպեսզի հեշտացնենք գործողություններ գրանցելը:

Պատկերացրեք, որ սպորտային պահեստում մեզ հանձնարարվել է գնդակներ տալ և ստանալ: Պետք է արձանագրություններ պահենք. Դուք կարող եք գրել բառերով.

Թողարկված, ընդունված, թողարկված, ընդունված… (տես Նկար 1:)

Բրինձ. 1. Հաշվապահություն

Համաձայնեք, եթե ձեզ անհրաժեշտ է օրական բազմիցս թողարկել և ստանալ, ապա ձայնագրությունն այնքան էլ հարմար չէ։

Դուք կարող եք թերթիկը բաժանել երկու սյունակի, մեկը՝ Ընդունված, մյուսը՝ Թողարկված։ (Տե՛ս Նկար 2):

Բրինձ. 2. Պարզեցված ձայնագրություն

Ձայնագրությունն ավելի կարճ է դարձել։ Բայց ահա խնդիրն այն է. ինչպե՞ս հասկանալ, թե քանի գնդակ է խլվել (կամ բաժանվել) ժամանակի որոշակի պահին:

Գրառման համար կարող եք օգտագործել հետևյալ նկատառումը. երբ պահեստից գնդակներ ենք թողարկում, պահեստում դրանց քանակը նվազում է, իսկ երբ ընդունում ենք, ավելանում է։

Բայց ինչպե՞ս գրել «գնդակը դուրս է տվել»: Դուք կարող եք մուտքագրել հետևյալ օբյեկտը.

Այս օբյեկտը մեզ թույլ է տալիս մաթեմատիկական արձանագրություն կատարել գնդակների շարժման վերաբերյալ այն հաջորդականությամբ, որով դա տեղի է ունեցել.

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։

Ձեր հեռախոսի հաշվում կան ռուբլիներ: Դուք մտել եք առցանց, և այն արժեր ռուբլի: Արդյունքը ռուբլու պարտքն էր։ Օպերատորը կարող էր գրել. «հաճախորդը ռուբլու պարտք ունի»: Դուք ռուբլի եք դնում: Օպերատորը հանել է պարտքը. Պարզվել է ռուբլու հաշվին։

Բայց հարմար է հաշվում գրանցել և՛ գործարքները, և՛ գումարը՝ օգտագործելով «» և «» նշանները: (Տե՛ս Գծապատկեր 3):

Բրինձ. 3. Հարմար ձայնագրություն

Մուտքագրում ենք բացասական թիվ՝ փոքր թվից ավելի մեծ թիվ հանելու արդյունքը գրելու համար.

Բացասական թվի գումարումը համարժեք է հանելու՝ .

Բացասական թվերը դրական թվերից տարբերելու համար, որոնց հետ ավելի վաղ անդրադարձել էինք, պայմանավորվեցինք դրա դիմաց դնել մինուս նշան.

Կարո՞ղ էիր առանց նրանց: Այո, դու կարող ես։ Ցանկացած իրավիճակում մենք կօգտագործեինք «ետ», «պարտք» և այլն բառերը: Բայց նրանք, այս խոսքերը, այլ կերպ կլինեին։

Եվ այսպես, մենք ունենք ունիվերսալ, հարմար գործիք: Մեկը նման բոլոր դեպքերի համար։

Մենք կարող ենք անալոգիա անել մեքենայի հետ: Այն բաղկացած է մեծ թվով մասերից, որոնցից շատերը առանձին-առանձին անհրաժեշտ չեն, բայց միասին նրանք թույլ են տալիս վարել։ Նմանապես, բացասական թվերը մի գործիք են, որը մաթեմատիկական այլ գործիքների հետ միասին հեշտացնում է բազմաթիվ խնդիրների լուծումն ու գրելը հաշվարկելն ու պարզեցնելը։

Այսպիսով, մենք ներկայացրել ենք նոր օբյեկտ՝ բացասական թվեր։ Ինչի՞ համար են դրանք օգտագործվում կյանքում:

Նախ հիշենք դրական թվերի դերերը.

Քանակը՝ օրինակ փայտ, լիտր կաթ։ (Տես Գծապատկեր 4):

Բրինձ. 4. Քանակ

Կարգավորում. Օրինակ՝ տները համարակալված են դրական թվերով։ (Տես Նկար 5):

Բրինձ. 5. Կազմակերպել

Անունը՝ օրինակ՝ ֆուտբոլիստի համարը։ (Տես Գծապատկեր 6):

Բրինձ. 6. Համարը որպես անուն

Հիմա եկեք նայենք բացասական թվերի գործառույթներին.

Բացակայող քանակի նշում. Քանակը երբեք բացասական չէ։ Բայց բացասական թիվն օգտագործվում է ցույց տալու համար, որ մեծությունը հանվում է։ Օրինակ, մենք կարող ենք լցնել շշից և գրել որպես . (Տես Նկար 7):

Բրինձ. 7. Բացակայող քանակի նշում

Կազմակերպում. Երբեմն համարակալելիս ընտրվում է զրոն և անհրաժեշտ է համարակալել զրոյի երկու կողմերում գտնվող առարկաները: Օրինակ, հարկերը, որոնք գտնվում են ներքևում՝ նկուղում։ (Տե՛ս Նկար 8.) Կամ ջերմաստիճանը, որը ցածր է ընտրված զրոյից: (Տես Նկար 9):

Բրինձ. 8. Հարկը գտնվում է նկուղում, ներքևում

Բրինձ. 9. Բացասական թվեր ջերմաչափի սանդղակի վրա

Բայց, այնուամենայնիվ, բացասական թվերի հիմնական նպատակը մաթեմատիկական հաշվարկները պարզեցնելու գործիք լինելն է։

Բայց որպեսզի բացասական թվերը դառնան այդքան հարմար գործիք, դուք պետք է.

Բացասական ջերմաստիճանը այն ջերմաստիճանն է, որը զրոյից ցածր է, զրոյից ցածր ջերմաստիճանը: Բայց ինչ է զրոյական ջերմաստիճանը: Ջերմաստիճանը չափելու և գրանցելու համար անհրաժեշտ է ընտրել չափման միավոր և հղման կետ: Երկուսն էլ պայմանավորվածություններ են։ Մենք օգտագործում ենք Ցելսիուսի սանդղակը այն առաջարկած գիտնականից հետո: (Տե՛ս նկ. 10):

Բրինձ. 10. Անդերս Ցելսիուս

Այստեղ որպես հենակետ ընտրված է ջրի սառեցման կետը։ Ստորև բերված ցանկացած բան նշվում է բացասական արժեքով: (Տես Նկար 11):

Բրինձ. տասնմեկ.

Բայց պարզ է, որ եթե վերցնենք մեկ այլ հղման կետ, ևս մեկ զրո, ապա Ցելսիուսում բացասական ջերմաստիճանը կարող է դրական լինել այս մյուս սանդղակի վրա: Սա այն է, ինչ տեղի է ունենում. Կելվինի սանդղակը լայնորեն կիրառվում է ֆիզիկայում։ Այն նման է Ցելսիուսի սանդղակի, միայն հնարավոր ամենացածր ջերմաստիճանի արժեքը ընտրված է որպես զրո (այն չի կարող ավելի ցածր լինել): Այս արժեքը կոչվում է «բացարձակ զրո»: Ցելսիուսում սա մոտավորապես. (Տե՛ս Նկար 12):

Բրինձ. 12. Երկու կշեռք

Այսինքն, Կելվինի սանդղակի մեջ ընդհանրապես բացասական արժեքներ չկան:

Այսպիսով, մեր ամառը .

Իսկ ցրտաշունչները .

Այսինքն՝ բացասական ջերմաստիճանը պայմանականություն է, պայմանավորվածություն մարդկանց մեջ՝ դա այդպես անվանելու։

Սկսենք զրոյից։ Թվերի մեջ առանձնահատուկ դիրք է գրավում զրոն։

Ինչպես արդեն քննարկել ենք, մեր հարմարության համար յոթի հանումը կարող ենք նշել որպես բացասական թիվ։ Քանի որ դա նշանակում է հանում, մենք թողնում ենք «» նշանը որպես դրա նշան: Անվանենք նոր թիվ։

Այսինքն՝ «»-ը զրոյի գումարվող թիվ է. Եվ ցանկացած կարգով: Սա բացասական (կամ հակառակ) թվի սահմանումն է:

Նախկինում ուսումնասիրած յուրաքանչյուր թվի համար կներկայացնենք նոր թիվ՝ բացասական, որի նշանը դիմացի մինուս նշանն է։ Այսինքն՝ յուրաքանչյուր նախորդ թվի համար առաջացել է նրա բացասական երկվորյակը։ Նման երկվորյակներին մենք հակառակ թվեր ենք անվանում։ (Տե՛ս Նկար 13):

Բրինձ. 13. Հակառակ թվեր

Այսպիսով, սահմանումը. հակադիր թվերը երկու թվեր են, որոնց գումարը հավասար է զրոյի:

Արտաքինից դրանք տարբերվում են միայն «» նշանով։

Եթե ​​փոփոխականին նախորդում է «» նշանը, ապա ի՞նչ է դա նշանակում: Սա չի նշանակում, որ այս արժեքը բացասական է: Մինուս նշանը նշանակում է, որ այս արժեքը թվի հակառակն է՝ . Մենք չգիտենք, թե այս թվերից որն է դրական և որը բացասական։

Եթե, ապա։

Եթե ​​(բացասական թիվ), ապա (դրական թիվ):

Ո՞ր թիվն է հակառակ զրոյին: Սա մենք արդեն գիտենք։

Եթե ​​որևէ թվի, ներառյալ զրոյի, ավելացվի զրո, ապա սկզբնական թիվը չի փոխվի: Այսինքն՝ երկու զրոների գումարը զրո է. Բայց այն թվերը, որոնց գումարը զրո է, հակադիր են։ Այսպիսով, զրոն հակադիր է ինքն իրեն։

Այսպիսով, մենք տվել ենք բացասական թվերի սահմանումը և պարզել, թե ինչու են դրանք անհրաժեշտ։

Հիմա եկեք մի փոքր ժամանակ հատկացնենք տեխնոլոգիային։ Առայժմ մենք պետք է սովորենք, թե ինչպես գտնել դրա հակառակը ցանկացած թվի համար.

Դասի վերջին մասում կխոսենք բացասական թվերի ներմուծումից հետո առաջացող բազմությունների նոր անունների և նշումների մասին:

Հակառակը ինքներդ.

Իրականության հակառակը

Սահմանումից հակառակ թիվպետք է

$n"\; =\; -n$

Այսպիսով, հակառակ թվերն ունեն նույն մեծությունները, բայց հակառակ նշանները։ Սրան համապատասխան՝ թվի հակառակը $n$նշանակել $-n$.

Համալիր թվերի ձևեր	Թիվ $(զ)$	Հակառակ $(-z)$
Հանրահաշիվ	$x+iy$	$-x-iy$
Եռանկյունաչափական	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Ինդիկատիվ	$re^(i\backslash varphi)$	$-re^(i\backslash varphi)$

Երևակայական միավորի հակառակը

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ կամ__ $-i\; =\; i^(-1)$

Նույնպես և համար $-ի$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ կամ __ $i\; =\; -i^(-1)$

Գրեք կարծիք «Հակառակ համար» հոդվածի մասին

Նշումներ

տես նաեւ

Հակառակ թիվը բնութագրող հատված

«Մարգագետիններում, ա՜յ... մարգագետիններում...», - լսում էր նրա սուլոցն ու թխկոցը, երբեմն խեղդվում ձայների բղավոցներից: Սպան իր հոգում ուրախացավ այս ձայներից, բայց միևնույն ժամանակ վախենում էր, որ ինքն է մեղավոր, որ այսքան ժամանակ իրեն վստահված կարևոր հրամանը չի փոխանցել։ Արդեն ժամը ինն էր։ Նա իջավ ձիուց և մտավ ռուսների և ֆրանսիացիների միջև գտնվող մեծ, անձեռնմխելի կալվածքի պատշգամբն ու նախասրահը։ Մթերանոցում և միջանցքում հետևակները եռում էին գինիներով և ուտեստներով։ Պատուհանների տակ երգարաններ կային։ Սպային տանում էին դռնից ներս, և նա հանկարծ տեսավ բանակի բոլոր կարևոր գեներալներին միասին, այդ թվում՝ մեծ, նկատելի կերպարանքին՝ Էրմոլովին։ Բոլոր գեներալները բաց կոճակներով, կարմիր, աշխույժ դեմքերով, բարձր ծիծաղում էին կիսաշրջանաձեւ կանգնած։ Դահլիճի մեջտեղում կարմիր դեմքով մի գեղեցկադեմ, կարճահասակ գեներալ, խելացի ու հմտորեն թրաշ էր սարքում։
-Հա՛, հա՛, հա՛։ Այո, Նիկոլայ Իվանովիչ: հա, հա, հա՜..
Սպան զգաց, որ այս պահին մի կարևոր հրամանով ներս մտնելով՝ կրկնակի մեղավոր է, և ուզում էր սպասել. բայց գեներալներից մեկը տեսավ նրան և իմանալով, թե ինչի համար է նա, ասաց Էրմոլովին. Էրմոլովը խոժոռված դեմքով դուրս եկավ սպայի մոտ և լսելուց հետո վերցրեց թուղթը նրանից՝ ոչինչ չասելով։
-Ի՞նչ եք կարծում, պատահաբար հեռացա՞վ։ - Այդ երեկո Էրմոլովի մասին մի շտաբի ընկեր ասաց հեծելազորի սպային։ - Սրանք բաներ են, այդ ամենը միտումնավոր է: Տվեք Կոնովնիցինին զբոսանք: Տեսեք, վաղը ինչ խառնաշփոթ է լինելու։

Հաջորդ օրը, վաղ առավոտյան, խեղճ Կուտուզովը վեր կացավ, աղոթեց Աստծուն, հագնվեց և այն տհաճ գիտակցությամբ, որ պետք է տաներ մի ճակատամարտ, որը իրեն հավանություն չէր տալիս, նստեց կառքը և դուրս պրծավ Լետաշևկայից։ , Տարուտինից հինգ մղոն ետևից մինչև այն վայրը, որտեղ պետք է հավաքվեին առաջացող սյուները։ Կուտուզովը քշեց, քնեց և արթնացավ և լսեց, թե արդյոք աջ կողմում կրակոցներ եղե՞լ են, արդյոք ամեն ինչ սկսվե՞լ է: Բայց ամեն ինչ դեռ հանգիստ էր։ Խոնավ ու ամպամած աշնանային օրվա լուսաբացը նոր էր սկսվում։ Մոտենալով Տարուտինին, Կուտուզովը նկատեց հեծելազորներին, որոնք իրենց ձիերը տանում էին դեպի ջուրը այն ճանապարհով, որով անցնում էր կառքը: Կուտուզովը ուշադիր նայեց նրանց, կանգնեցրեց կառքը և հարցրեց, թե ո՞ր գունդը։ Հեծելազորները այն շարասյունից էին, որը դարանակալած պետք է շատ առաջ լիներ։ «Դա կարող է սխալ լինել», - մտածեց ծեր գլխավոր հրամանատարը: Բայց, ավելի հեռուն քշելուց հետո, Կուտուզովը տեսավ հետևակային գնդեր, զենքեր նրանց տուփերում, շիլաներով և վառելափայտով զինվորներ, ներքնաշորերով: Սպա է կանչվել։ Սպան հայտնել է, որ տեղաշարժվելու հրաման չկա։
«Ինչպե՞ս չես կարող…», - սկսեց Կուտուզովը, բայց անմիջապես լռեց և հրամայեց ավագ սպային կանչել իր մոտ: Դուրս գալով կառքից, գլուխը կախ ու ծանր շնչելով, լուռ սպասելով՝ նա ետ ու առաջ քայլեց։ Երբ հայտնվեց հայցված Գլխավոր շտաբի սպա Էյխենը, Կուտուզովը դարձավ մանուշակագույն, ոչ թե այն պատճառով, որ այս սպան մեղավոր էր սխալի մեջ, այլ այն պատճառով, որ նա արժանի առարկա էր զայրույթն արտահայտելու համար: Եվ, դողալով, շունչ քաշելով, ծերունին, մտնելով այն կատաղության մեջ, որի մեջ կարողացավ մտնել, երբ զայրացած գլորվում էր գետնին, հարձակվեց Էյխենի վրա՝ սպառնալով ձեռքերով, բղավելով և գռեհիկ հայհոյանքներով. բառերը. Նույն ճակատագրին արժանացավ ևս մեկ անձ՝ կապիտան Բրոզինը, ով ոչնչից անմեղ էր։
- Սա ի՞նչ սրիկա է։ Կրակեք սրիկաներին։ – գոռաց նա խռպոտ, ձեռքերը թափահարելով ու ցնցվելով։ Նա ֆիզիկական ցավ ուներ։ Նրան՝ գերագույն գլխավոր հրամանատարին, ամենանշանավորին, ում բոլորը վստահեցնում են, որ Ռուսաստանում ոչ ոք նման իշխանություն չի ունեցել, ինչպես ինքը, նրան դնում են այս դիրքում՝ ծաղրում են ամբողջ բանակի առաջ։ «Իզուր էի այդքան անհանգստանում այս օրվա համար աղոթելու համար, իզուր էի գիշերները չէի քնում և մտածում էի ամեն ինչի մասին։ - նա մտածեց իր մասին: «Երբ ես տղա էի սպա, ոչ ոք չէր համարձակվի ինձ այդպես ծաղրել... Բայց հիմա»: Նա ֆիզիկական տառապանք էր ապրում, ինչպես մարմնական պատժից, և չէր կարող դա չարտայայտել զայրացած ու ցավալի աղաղակներով. բայց շուտով նրա ուժերը թուլացան, և նա, նայելով շուրջը, զգալով, որ շատ վատ բաներ է ասել, նստեց կառքը և լուռ ետ քշեց։

§ 1 Դրական թվի հասկացությունը

Այս դասում դուք կսովորեք, թե որ թվերն են կոչվում հակադիրներ, ինչպես գտնել հակառակ թիվը, ինչպես նաև ինչ են ամբողջ թվերն ու ռացիոնալ թվերը:

Սկսենք գործնական աշխատանքից։ Կոորդինատային գծի վրա նշել A(2) և B(-2) կետերը: Դրանք սիմետրիկ են և այս կետերի համաչափության կենտրոնը O(0) կոորդինատների սկզբնաղբյուրն է, քանի որ OA=OB հեռավորությունը:

Մենք տեսնում ենք, որ ծագման նկատմամբ սիմետրիկ կետերի կոորդինատները թվեր են, որոնք տարբերվում են միայն նշանով։ Նման թվերը կոչվում են հակադիրներ:

Հակառակ թվերի մեկ այլ սահմանում կա. Որո՞նք են 2 և -2 թվերի բացարձակ արժեքները: Հավասար է 2-ի։ Հետևաբար, հակադիր թվերը թվեր են, որոնք ունեն նույն մոդուլները, բայց տարբերվում են նշանով։

Տրված թվի հակառակը նշելու համար օգտագործեք մինուս նշանը, որը գրված է տվյալ թվի դիմաց։ Այսինքն՝ a-ի հակառակ թիվը գրվում է որպես −a։ Օրինակ՝ 0,24 թիվը հակառակ է −0,24 թվին, -25 թիվը հակառակ թիվն է −(−25), բայց կոորդինատային գծի -25 թիվը հակառակ է 25-ին, ինչը նշանակում է -(-25) = 25։ Այստեղից հետևում է, որ -( -a) = a և a = -(-a):

§ 2 Հակառակ թվերի հատկությունները

Եկեք առանձնացնենք հակադիր թվերի որոշ հատկություններ:

Դրական թվի հակադիրը բացասական է, իսկ բացասական թվին հակառակը՝ դրական։ Սա հասկանալի է, քանի որ հակադիր թվերին համապատասխան կոորդինատային գծի կետերը գտնվում են սկզբնաղբյուրի հակառակ կողմերում։

Եթե ​​a թիվը հակառակ է b թվին, ապա b-ն հակառակ է a-ին, սա բխում է կոորդինատային գծի կետերի համաչափության հատկությունից:

Անդրադառնանք կոորդինատային գծին։ Քանի՞ կետ կարելի է նշել կոորդինատային ուղղի վրա, որոնք սիմետրիկ են տվյալին սկզբնաղբյուրի նկատմամբ: Միայն մեկը։ Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր թվի համար կա միայն մեկ հակառակ թիվ։

Միայն մեկ թիվ է հակառակ ինքն իրեն. սա 0 թիվն է, քանի որ 0 = -0 (հետևաբար, ընդունված չէ գրել -0):

Ընդհանուր հատկանիշ ունեցող թվերը կազմում են բազմություն (կամ խումբ), յուրաքանչյուր բազմություն ունի իր անունը:

Հիշենք, որ այն թվերը, որոնք մենք օգտագործում ենք հաշվելիս, կոչվում են բնական թվեր.

Յուրաքանչյուր բնական թվի համար կարող եք գտնել նրա հակառակ թիվը: Բնական թվերը, դրանց հակադիրները և 0 թիվը կոչվում են ամբողջ թվեր։

Կոտորակային թվերը կարող են լինել նաև դրական կամ բացասական: Բոլոր ամբողջ թվերը և բոլոր կոտորակները կոչվում են ռացիոնալ թվեր: Ասում են նաև, որ նրանք միասին կազմում են ռացիոնալ թվերի բազմությունը։

Առանձնացնենք թվերի ևս երկու խումբ. Վերցնենք կոորդինատային գիծ. Եթե ​​հանենք գծի այն մասը, որի վրա գտնվում են բացասական թվերը, ապա մնում է դրական թվերով և 0 հղման կետ ունեցող ճառագայթ: Մնացած թվերը կոչվում են ոչ բացասական, այսինքն՝ թվեր, որոնք մեծ են կամ հավասար են: 0. Հետևաբար, ոչ դրական թվերը բոլոր բացասական թվերն են և 0 թիվը, այսինքն՝ 0-ից փոքր կամ հավասար թվեր։

Այսօր իմացանք, թե ինչ են հակադիր, ամբողջ թիվը, ռացիոնալ, ոչ բացասական, ոչ դրական թվերը և սովորեցինք գտնել տրվածի հակառակ թիվը։

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Մաթեմատիկա 6-րդ դասարան. I.I.-ի դասագրքի պլաններ. Զուբարևա, Ա.Գ. Մորդկովիչ //հեղինակ-կազմող Լ.Ա. Տոպիլինա. Mnemosyne 2009 թ
2. Մաթեմատիկա։ 6-րդ դասարան՝ դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների սովորողների համար. Ի.Ի. Զուբարևա, Ա.Գ. Մորդկովիչ - Մ.: Mnemosyne, 2013 թ.
3. Մաթեմատիկա։ 6-րդ դասարան՝ դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների սովորողների համար. /Ն.Յա. Վիլենկին, Վ.Ի. Ժոխով, Ա.Ս. Չեսնոկով, Ս.Ի. Շվարցբուրդ. - M.: Mnemosyne, 2013:
4. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ձեռնարկ միջնակարգ դպրոցի աշակերտների համար http://shkolo.ru

Հակառակ թվերի սահմանում

Հակառակ թվերի սահմանում.

Երկու թվերը կոչվում են հակառակ, եթե դրանք տարբերվում են միայն նշաններով:

Հակառակ թվերի օրինակներ

Հակառակ թվերի օրինակներ.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Այստեղից պարզ է դառնում, թե ինչպես կարելի է գտնել տվյալ թվի հակառակը՝ պարզապես փոխեք թվի նշանը։

3-ին հակառակ թիվն է՝ հանած երեք:

Օրինակ։ Թվերը հակադիր են տվյալներին։

Տրված է՝ թվեր 1; 5; 8; 9.

Գտեք տվյալների հակառակ թվերը:

Այս խնդիրը լուծելու համար պարզապես փոխեք տրված թվերի նշանները.

Կազմենք հակադիր թվերի աղյուսակ.

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Զրոյի հակառակը

Զրոյի հակադրությունը հենց զրոյի թիվն է:

Այսպիսով, 0-ին հակառակ թիվը 0 է:

Հակառակ ամբողջ թվեր

Հակառակ ամբողջ թվերը տարբերվում են միայն նշանով:

Հակառակ ամբողջ թվերի օրինակներ.

10 -10
20 -20
125 -125

Հակառակ թվերի զույգ

Երբ խոսում են հակադիր թվերի մասին, նրանք միշտ նկատի ունեն զույգ հակադիր թվեր։

Թիվը հակառակն է մեկ այլ թվի: Եվ յուրաքանչյուր թիվ ունի միայն մեկ հակադիր թիվ:

Բնական թվերին հակադիր թվեր

Բնական թվերի հակառակը բացասական ամբողջ թվերն են:

Կազմենք հակադիր թվերի աղյուսակ առաջին հինգ բնական թվերի համար.

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Հակառակ թվերի գումարը

Հակառակ թվերի գումարը զրո է։ Ի վերջո, հակադիր թվերը տարբերվում են միայն նշանով։