• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Քննությանը կլուծեմ ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները. Եռանկյունաչափական հավասարումներ

Բավականին հաճախ հանդիպում ենք բարդության բարձրացման խնդիրներում մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումներ. Դրանցից շատերը պահանջում են լուծումների էվրիստիկ մոտեցում, որը լիովին անծանոթ է դպրոցականների մեծ մասին:

Ստորև ներկայացված խնդիրները նպատակ ունեն ձեզ ծանոթացնել մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման առավել բնորոշ մեթոդներին:

Առաջադրանք 1. Գտե՛ք ամենափոքր դրականի և ամենամեծի տարբերությունը (աստիճաններով): բացասական արմատներհավասարումներ 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Լուծում.

Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.

1) Եթե cos x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը կունենա 1 + 2sin x · cos x = 0 ձև:

Օգտագործելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը, մենք ստանում ենք.

1 + մեղք 2x = 0; մեղք 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x ≥ 0, ապա x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Եթե cos x< 0, то տրված հավասարումըունի 1 – 2sin x cos x = 0 ձև: Օգտագործելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը, մենք ունենք.

1 – մեղք 2x = 0; մեղք 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Հավասարման ամենամեծ բացասական արմատը՝ -π/4; հավասարման ամենափոքր դրական արմատը՝ 5π/4:

Պահանջվող տարբերությունը՝ 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°:

Պատասխան՝ 270°։

Խնդիր 2. Գտե՛ք (աստիճաններով) հավասարման ամենափոքր դրական արմատը |tg x| + 1/cos x = tan x.

Լուծում.

Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.

1) Եթե tan x ≥ 0, ապա

tan x + 1 / cos x = tan x;

Ստացված հավասարումը արմատներ չունի։

2) Եթե tg x< 0, тогда

Tg x + 1 / cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 և cos x ≠ 0:

Օգտագործելով Նկար 1-ը և tg x պայմանը< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Հավասարման ամենափոքր դրական արմատը 5π/6 է: Եկեք այս արժեքը փոխարկենք աստիճանների.

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°:

Պատասխան՝ 150°։

Խնդիր 3. Գտե՛ք sin հավասարման տարբեր արմատների թիվը |2x| = cos 2x [-π/2; π/2]:

Լուծում.

Հավասարումը գրենք sin|2x| ձևով – cos 2x = 0 և դիտարկենք y = sin |2x| ֆունկցիան - 2x. Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, մենք կգտնենք նրա զրոները x ≥ 0-ի համար:

մեղք 2x – cos 2x = 0; Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք cos 2x ≠ 0-ով, կստանանք.

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Զ.

Օգտագործելով ֆունկցիայի հավասարությունը՝ մենք գտնում ենք, որ սկզբնական հավասարման արմատները ձևի թվեր են

± (π/8 + πn/2), որտեղ n € Զ.

Ինտերվալ [-π/2; π/2] պատկանում են թվերին՝ -π/8; π/8.

Այսպիսով, հավասարման երկու արմատները պատկանում են տվյալ միջակայքին։

Պատասխան՝ 2.

Այս հավասարումը կարող է լուծվել նաև մոդուլը բացելով:

Խնդիր 4. Գտե՛ք sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) հավասարման արմատների թիվը [-π; 2π]:

Լուծում.

1) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1 > 0, այսինքն. cos x > 1/2, ապա հավասարումը ստանում է ձևը.

sin x – մեղք 2 x = մեղք 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 կամ 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 կամ sin x = 1/2:

Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x > 1/2 պայմանը, մենք գտնում ենք հավասարման արմատները.

x = π/6 + 2πn կամ x = 2πn, n € Զ.

2) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

մեղք x + մեղք 2 x = մեղք 2 x;

x = 2πn, n € Զ.

Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x պայմանը< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Երկու դեպքերը համադրելով՝ ստանում ենք.

x = π/6 + 2πn կամ x = πn:

3) ինտերվալ [-π; 2π] պատկանում են արմատներին՝ π/6; -π; 0; π; 2պ.

Այսպիսով, տրված միջակայքը պարունակում է հավասարման հինգ արմատ:

Պատասխան՝ 5.

Խնդիր 5. Գտե՛ք հավասարման արմատների թիվը (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 միջակայքում [-π; 2π]:

Լուծում.

1) Եթե sin x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը ստանում է ձևը (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0։ Ընդհանուր sin x գործոնը փակագծերից հանելուց հետո ստանում ենք.

sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; քանի որ (x – 0.7) 2 + 1 > 0 բոլոր իրական x-ի համար, ապա sinx = 0, այսինքն. x = πn, n € Զ.

2) Եթե մեղք x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 կամ (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Քանի որ sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Քառակուսի արմատՎերջին հավասարման ձախ և աջ կողմերից մենք ստանում ենք.

x – 0.7 = 1 կամ x – 0.7 = -1, ինչը նշանակում է x = 1.7 կամ x = -0.3:

Սինքս պայմանը հաշվի առնելով< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ինչը նշանակում է, որ միայն -0.3 թիվը սկզբնական հավասարման արմատն է:

3) ինտերվալ [-π; 2π] պատկանում են թվերին՝ -π; 0; π; 2π; -0.3.

Այսպիսով, հավասարումը ունի հինգ արմատ տվյալ միջակայքում:

Պատասխան՝ 5.

Դուք կարող եք պատրաստվել դասերին կամ քննություններին՝ օգտագործելով տարբեր կրթական ռեսուրսներ, որոնք գտնվում են համացանցում։ Ներկայումս որևէ մեկը մարդը պարզապես պետք է օգտագործի նորերը ինֆորմացիոն տեխնոլոգիա, քանի որ դրանց ճիշտ և ամենակարևորը տեղին օգտագործումը կօգնի բարձրացնել մոտիվացիան առարկան ուսումնասիրելիս, մեծացնել հետաքրքրությունը և կօգնի ավելի լավ հասկանալ. պահանջվող նյութ. Բայց մի մոռացեք, որ համակարգիչը ձեզ չի սովորեցնում մտածել, ստացված տեղեկատվությունը պետք է մշակվի, հասկանալի և հիշվի Հետևաբար, դուք կարող եք դիմել մեր առցանց դաստիարակների օգնությանը, որոնք կօգնեն ձեզ պարզել, թե ինչպես լուծել ձեզ հետաքրքրող խնդիրները:

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.
Առաջին դասն անվճար է։

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը:

Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Մաթեմատիկայի քննության առաջին մասում առաջադրանք կա՝ կապված հավասարման լուծման հետ. պարզ հավասարումներ, որոնք լուծվում են րոպեներով, շատ տեսակներ կարելի է լուծել բանավոր։ Ներառում է՝ գծային, քառակուսի, ռացիոնալ, իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական հավասարումներ։

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք եռանկյունաչափական հավասարումների: Դրանց լուծումը թե՛ հաշվարկների ծավալով, թե՛ բարդությամբ տարբերվում է այս մասի մյուս խնդիրներից։ Մի անհանգստացեք, «դժվարություն» բառը վերաբերում է նրանց հարաբերական դժվարությանը, համեմատած այլ խնդիրների հետ:

Բացի հավասարման արմատները գտնելուց, անհրաժեշտ է որոշել ամենամեծ բացասական կամ ամենափոքր դրական արմատը: Քննության ժամանակ եռանկյունաչափական հավասարում ստանալու հավանականությունը, իհարկե, փոքր է:

Պետական ​​միասնական քննության այս հատվածում նրանց թիվը 7%-ից էլ քիչ է։ Բայց դա չի նշանակում, որ դրանք պետք է անտեսվեն։ Մաս C-ում դուք նույնպես պետք է լուծեք եռանկյունաչափական հավասարում, ուստի լուծման տեխնիկայի լավ ըմբռնումը և տեսության ըմբռնումը պարզապես անհրաժեշտ է:

Մաթեմատիկայի եռանկյունաչափության բաժինը հասկանալը մեծապես կորոշի ձեր հաջողությունը բազմաթիվ խնդիրների լուծման գործում: Հիշեցնում եմ, որ պատասխանը ամբողջ կամ վերջավոր թիվ է տասնորդական. Հավասարման արմատները ստանալուց հետո ԱՆՊԱՅՄԱՆ ստուգեք. Դա շատ ժամանակ չի խլի, և դա ձեզ կազատի սխալներից։

Մենք ապագայում կնայենք նաև այլ հավասարումների, բաց մի՛ թողեք: Եկեք հիշենք եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների բանաձևերը, դուք պետք է իմանաք դրանք.

Այս արժեքների իմացությունը անհրաժեշտ է. Հիանալի է, եթե ձեր հիշողությունը լավ է, դուք հեշտությամբ սովորել և հիշել եք այս արժեքները: Ինչ անել, եթե չես կարողանում դա անել, քո գլխում խառնաշփոթ կա, բայց դու ուղղակի շփոթվել ես քննությունը հանձնելիս: Մի միավոր կորցնելը ամոթ կլինի, քանի որ սխալ արժեք եք գրել ձեր հաշվարկներում։

Այս արժեքները պարզ են, այն տրվում է նաև այն տեսության մեջ, որը դուք ստացել եք տեղեկագրին բաժանորդագրվելուց հետո երկրորդ նամակում: Եթե ​​դեռ չեք բաժանորդագրվել, արեք դա: Հետագայում մենք նաև կնայենք, թե ինչպես կարելի է որոշել այս արժեքները եռանկյունաչափական շրջանից: Իզուր չէ, որ այն կոչվում է «Եռանկյունաչափության ոսկե սիրտ»:

Անմիջապես բացատրեմ՝ շփոթությունից խուսափելու համար, որ ստորև դիտարկված հավասարումների մեջ տրված են անկյունը օգտագործող արկսինի, արկկոսինի, արկտանգենսի սահմանումները. Xհամապատասխան հավասարումների համար՝ cosx=a, sinx=a, tgx=a, որտեղ Xկարող է լինել նաև արտահայտություն. Ստորև բերված օրինակներում մեր փաստարկը տրված է հենց արտահայտությամբ.

Այսպիսով, եկեք դիտարկենք հետևյալ առաջադրանքները.

Գտեք հավասարման արմատը.

Ձեր պատասխանում գրեք ամենամեծ բացասական արմատը:

cos x = a հավասարման լուծումը երկու արմատ է.

Սահմանում. Թող մոդուլում a թիվը չգերազանցի մեկը: Թվի աղեղային կոսինուսը 0-ից Pi միջակայքում գտնվող x անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է a-ի:

Միջոցներ

Արտահայտենք x:

Գտնենք ամենամեծ բացասական արմատը։ Ինչպե՞ս դա անել: Եկեք փոխարինենք տարբեր իմաստներ n ստացված արմատների մեջ, հաշվարկեք և ընտրեք ամենամեծ բացասականը:

Մենք հաշվարկում ենք.

n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Մենք գտանք, որ ամենամեծ բացասական արմատը –1,5 է

Պատասխան՝ –1.5

Ինքներդ որոշեք.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Sin x = a հավասարման լուծումը երկու արմատ է.

Կամ (այն համատեղում է վերը նշված երկուսը).

Սահմանում. Թող մոդուլում a թիվը չգերազանցի մեկը: Թվի աղեղնաշարը այն x անկյունն է, որը գտնվում է – 90°-ից 90° միջակայքում, որի սինուսը հավասար է a-ի:

Միջոցներ

Արտահայտեք x (բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 4-ով և բաժանեք Pi-ով).

Գտնենք ամենափոքր դրական արմատը։ Այստեղ անմիջապես պարզ է դառնում, որ փոխարինելիս բացասական արժեքներ n ստանում ենք բացասական արմատներ։ Հետևաբար, մենք կփոխարինենք n = 0,1,2...

Երբ n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Երբ n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Երբ n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Եկեք ստուգենք n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Այսպիսով, ամենափոքր դրական արմատը 4-ն է:

Պատասխան՝ 4

Ինքներդ որոշեք.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Ձեր պատասխանում գրեք ամենափոքր դրական արմատը:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, ք դատավարություն, և/կամ հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: