≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Իրական թվերի աքսիոմներ. Տեսության կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդի մասին. Բնական թվի սահմանում Ամբողջ թվերի համակարգի աքսիոմատիկ սահմանում

Իրական թվերի համար, որոնք նշվում են (այսպես կոչված R-ով կտրված), ներդրվում է գումարման գործողությունը («+»), այսինքն՝ տարրերի յուրաքանչյուր զույգի համար ( x,y) իրական թվերի բազմությունից վերագրվում է տարրը x + yնույն հավաքածուից, որը կոչվում է գումար xԵվ y .

Բազմապատկման աքսիոմներ

Ներկայացվում է բազմապատկման գործողությունը («·»), այսինքն, յուրաքանչյուր զույգ տարրերի համար ( x,y) իրական թվերի բազմությունից վերագրվում է տարր (կամ, կարճ ասած, xy) նույն հավաքածուից, որը կոչվում է արտադրանք xԵվ y .

Ավելացման և բազմապատկման հարաբերությունը

Կարգի աքսիոմներ

«» կարգի տրված հարաբերության վրա (փոքր կամ հավասար), այսինքն՝ ցանկացած զույգի համար x, yպայմաններից առնվազն մեկից կամ .

Պատվերի և ավելացման հարաբերությունները

Կարգի և բազմապատկման հարաբերությունը

Շարունակականության աքսիոմա

Մեկնաբանություն

Այս աքսիոմը նշանակում է, որ եթե XԵվ Յ- իրական թվերի երկու ոչ դատարկ հավաքածուներ, որոնցից ցանկացած տարրից Xչի գերազանցում որևէ տարր Յ, ապա այս բազմությունների միջև կարելի է տեղադրել իրական թիվ։ Ռացիոնալ թվերի համար այս աքսիոմը չի գործում. դասական օրինակՀաշվի առեք դրական ռացիոնալ թվեր և նշանակեք դրանք բազմությանը Xայն թվերը, որոնց քառակուսին փոքր է 2-ից, իսկ մյուսները՝ դեպի Յ. Այնուհետեւ միջեւ XԵվ ՅԴուք չեք կարող ռացիոնալ թիվ տեղադրել (դա ռացիոնալ թիվ չէ):

Այս հիմնական աքսիոմն ապահովում է խտություն և դրանով իսկ հնարավոր է դարձնում մաթեմատիկական վերլուծության կառուցումը: Դրա կարևորությունը ցույց տալու համար մատնանշենք դրանից երկու հիմնարար հետևանք.

Աքսիոմների հետևանքները

Որոշ աքսիոմներ ուղղակիորեն հետևում են կարևոր հատկություններիրական թվեր, օրինակ

• զրոյի եզակիությունը,
• հակադիր և հակադարձ տարրերի եզակիությունը.

գրականություն

• Զորիչ Վ.Ա.Մաթեմատիկական վերլուծություն. Հատոր I. M.: Phasis, 1997, գլուխ 2:

տես նաեւ

Հղումներ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ է «Իրական թվերի աքսիոմատիկան» այլ բառարաններում.

Իրական կամ իրական թիվը մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որն առաջացել է շրջակա աշխարհի երկրաչափական և ֆիզիկական մեծությունները չափելու, ինչպես նաև այնպիսի գործողություններ իրականացնելու անհրաժեշտությունից, ինչպիսիք են արմատների հանումը, լոգարիթմների հաշվարկը, լուծումը... Վիքիպեդիա:

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Իրական կամ իրական թվերը մաթեմատիկական աբստրակցիա են, որը ծառայում է, մասնավորապես, ներկայացնելու և համեմատելու ֆիզիկական մեծությունների արժեքները: Նման թիվը կարող է ինտուիտիվ կերպով ներկայացվել որպես կետի դիրքը նկարագրող ուղիղի վրա... ... Վիքիպեդիա

Վիքիբառարանն ունի «աքսիոմ» հոդված Աքսիոմ (հին հունարեն ... Վիքիպեդիա

Աքսիոմա, որը հանդիպում է տարբեր աքսիոմատիկ համակարգերում։ Իրական թվերի աքսիոմատիկա Հիլբերտի Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմատիկա Կոլմոգորովի հավանականությունների տեսության աքսիոմատիկա ... Վիքիպեդիա

Ամբողջական համակարգ

Հիշենք, որ բնական շարքը հայտնվել է օբյեկտներ թվարկելու համար։ Բայց եթե ուզում ենք ինչ-որ գործողություններ կատարել առարկաների հետ, ապա մեզ անհրաժեշտ կլինեն թվաբանական գործողություններ։ Այսինքն, եթե մենք ուզում ենք խնձորներ դիզել կամ տորթ բաժանել, պետք է այս գործողությունները թարգմանենք թվերի լեզվով։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ + և * գործողությունները բնական թվերի լեզվով ներմուծելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել աքսիոմներ, որոնք սահմանում են այդ գործողությունների հատկությունները: Բայց հետո բնական թվերի բազմությունն ինքնին նույնպես ընդլայնվելով.

Տեսնենք, թե ինչպես է ընդլայնվում բնական թվերի բազմությունը։ Ամենապարզ գործողությունըԱյն, ինչ անհրաժեշտ էր, առաջիններից մեկն էր: Եթե ​​ցանկանում ենք սահմանել գումարման գործողությունը, ապա պետք է սահմանենք դրա հակադարձ՝ հանումը։ Փաստորեն, եթե իմանանք, թե ինչ արդյունք կունենա գումարումը, օրինակ՝ 5-ը և 2-ը, ապա պետք է կարողանանք լուծել այնպիսի խնդիրներ, ինչպիսիք են՝ ինչն է պետք գումարել 4-ին, որպեսզի ստացվի 11: Այսինքն՝ գումարման հետ կապված խնդիրները անպայման կլինեն։ պահանջում են հակադարձ գործողություն՝ հանում կատարելու ունակություն: Բայց եթե բնական թվեր գումարելով նորից բնական թիվ է ստացվում, ապա բնական թվերը հանելուց ստացվում է արդյունք, որը չի տեղավորվում N-ի մեջ։ Որոշ այլ թվեր պահանջվեցին։ Ավելի մեծ թվից փոքր թվի հասկանալի հանման անալոգիայով ներմուծվեց ավելի փոքր թվից ավելի մեծ թիվ հանելու կանոնը՝ այսպես հայտնվեցին բացասական ամբողջ թվերը։

Բնական շարքը լրացնելով + և - գործողություններով՝ հասնում ենք ամբողջ թվերի բազմությանը։

Z=N+գործողություններ(+-)

Ռացիոնալ թվերի համակարգը որպես թվաբանության լեզու

Այժմ դիտարկենք հաջորդ ամենաբարդ գործողությունը՝ բազմապատկումը: Ըստ էության, սա կրկնվող հավելում է։ Իսկ ամբողջ թվերի արտադրյալը մնում է ամբողջ թիվ։

Բայց բազմապատկման հակադարձ գործողությունը բաժանումն է: Բայց դա միշտ չէ, որ տալիս է լավագույն արդյունքները: Եվ նորից մենք կանգնած ենք երկընտրանքի առաջ՝ կամ ընդունել որպես տրված, որ բաժանման արդյունքը կարող է «չլինի», կամ հանդես գալ ինչ-որ նոր տեսակի թվերով։ Այսպես հայտնվեցին ռացիոնալ թվերը։

Վերցնենք ամբողջ թվերի համակարգ և լրացնենք այն աքսիոմներով, որոնք սահմանում են բազմապատկման և բաժանման գործողությունները։ Մենք ստանում ենք ռացիոնալ թվերի համակարգ:

Q=Z+ գործողություններ (*/)

Այսպիսով, ռացիոնալ թվերի լեզուն մեզ թույլ է տալիս արտադրել բոլոր թվաբանական գործողություններըթվերի նկատմամբ։ Սրա համար բնական թվերի լեզուն բավարար չէր։

Տանք ռացիոնալ թվերի համակարգի աքսիոմատիկ սահմանումը։

Սահմանում. Q բազմությունը կոչվում է ռացիոնալ թվերի բազմություն, իսկ դրա տարրերը կոչվում են ռացիոնալ թվեր, եթե բավարարված է հետևյալ պայմանների բազմությունը, որը կոչվում է ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկա.

Հավելման գործողության աքսիոմներ. Յուրաքանչյուր պատվիրված զույգի համար x, yտարրերից Քորոշ տարր է սահմանվում x+y OQ, որը կոչվում է գումար XԵվ ժամը. Այս դեպքում բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

1. (Զրոյի առկայությունը) Կա տարր 0 (զրո) այնպիսին, որ ցանկացածի համար XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Ցանկացած տարրի համար XО Q կա տարր - XО Q (հակառակ X) այնպիսին է, որ

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Կոմուտատիվություն) Ցանկացածի համար x, yО Ք

4. (Ասոցիատիվություն) Ցանկացած x,y,zО Q-ի համար

x + (y + z) = (x + y) + z

Բազմապատկման գործողության աքսիոմներ.

Յուրաքանչյուր պատվիրված զույգի համար x, yտարրեր Q-ից որոշ տարր է սահմանվում xyО Q, որը կոչվում է արտադրանք XԵվ u.Այս դեպքում բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

5. (Միավոր տարրի առկայությունը) Կա տարր 1 О Q այնպիսին, որ ցանկացածի համար XО Ք

X . 1 = 1. x = x

6. Ցանկացած տարրի համար XО Q, ( X≠ 0) կա հակադարձ տարր X-1 ≠0 այնպիսին, որ

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Ասոցիատիվություն) Ցանկացածի համար x, y, zО Ք

X . (y . z) = (x . y) . զ

8. (Կոմուտատիվություն) Ցանկացածի համար x, yО Ք

Գումարի և բազմապատկման միջև կապի աքսիոմա.

9. (Բաշխվածություն) Ցանկացածի համար x, y, zО Ք

(x+y) . z = x . z+y . զ

Կարգի աքսիոմներ.

Ցանկացած երկու տարր x, y,О Q մտնել համեմատական ​​կապի մեջ ≤. Այս դեպքում բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

10. (X≤ժամը)Լ ( ժամը≤x) ó x=y

11. (X≤y)Լ ( y≤ զ) => x≤զ

12. Ցանկացածի համար x, yО Q կամ x< у, либо у < x .

Վերաբերմունք< называется строгим неравенством,

= կապը կոչվում է Q-ի տարրերի հավասարություն:

Հավելվածի և կարգի միջև կապի աքսիոմա.

13. Ցանկացած x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Բազմապատկման և կարգի միջև կապի աքսիոմա.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Արքիմեդի շարունակականության աքսիոմա.

15. Ցանկացած a > b > 0-ի համար գոյություն ունեն m О N և n О Q այնպիսին, որ m³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Այսպիսով, ռացիոնալ թվերի համակարգը թվաբանության լեզու է։

Այնուամենայնիվ, այս լեզուն բավարար չէ գործնական հաշվողական խնդիրներ լուծելու համար։

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում իրական թվերը սահմանվել են կառուցողական կերպով՝ ելնելով չափումներ կատարելու անհրաժեշտությունից։ Այս սահմանումը խիստ չէր և հաճախ հետազոտողներին տանում էր դեպի փակուղի: Օրինակ՝ իրական թվերի շարունակականության հարցը, այսինքն՝ կա՞ն արդյոք դատարկություններ այս բազմության մեջ։ Ուստի մաթեմատիկական հետազոտություններ կատարելիս անհրաժեշտ է ունենալ ուսումնասիրվող հասկացությունների խիստ սահմանում, թեկուզ պրակտիկային համահունչ որոշ ինտուիտիվ ենթադրությունների (աքսիոմների) շրջանակներում։

Սահմանում. Տարրերի մի շարք x, y, z, …, որը բաղկացած է մեկից ավելի տարրից,կոչվում է հավաքածու Ռիրական թվեր, եթե այս օբյեկտների համար սահմանված են հետևյալ գործողությունները և հարաբերությունները.

Աքսիոմների I խումբ- գումարման գործողության աքսիոմներ.

Առատությամբ Ռներդրվել է ավելացման գործողությունը, այսինքն՝ ցանկացած զույգ տարրերի համար աԵվ բ գումարըև նշանակված ա + բ
Ես 1. ա+բ=բ+ա, ա, բ Ռ .

Ես 2. ա+(բ+գ)=(ա+բ)+գ,ա, բ, գ Ռ .

I 3. Նման տարր կա, որը կոչվում է զրոև նշանակվում է 0-ով, որը ցանկացածի համար ա Ռ պայմանը բավարարված է ա+0=ա.

Ես 4. Ցանկացած տարրի համար ա Ռ կա մի տարր, որը կոչվում է այն հակառակըև նշվում է - ա, ինչի համար ա+(-ա)=0. Տարր ա+(-բ), ա, բ Ռ , կանչեց տարբերությունըտարրեր աԵվ բև նշանակված է ա - բ.

II – աքսիոմների խումբ - բազմապատկման գործողության աքսիոմներ. Առատությամբ Ռգործառնություն է մտել բազմապատկում, այսինքն՝ ցանկացած զույգ տարրերի համար աԵվ բսահմանվում է մեկ տարր, որը կոչվում է դրանք աշխատանքըև նշանակված ա բ, որպեսզի բավարարվեն հետևյալ պայմանները.
II 1. աբ=բա, ա, բ Ռ .

II 2 ա(մ.թ.ա)=(աբ)գ, ա, բ, գ Ռ .

II 3. Կա մի տարր, որը կոչվում է միավորև նշվում է 1-ով, որը ցանկացածի համար ա Ռ պայմանը բավարարված է ա 1=ա.

II 4. Որևէ մեկի համար ա 0 կա մի տարր, որը կոչվում է այն հակադարձև նշվում է կամ 1/-ով ա, ինչի համար ա=1. Տարր ա , բ 0, զանգ մասնավորբաժանումից ավրա բև նշանակված է ա:բկամ կամ ա/բ.

II 5. Գումարման և բազմապատկման գործողությունների միջև կապը՝ ցանկացածի համար ա, բ, գ Ռ պայմանը բավարար է ( ac + բ) գ=ac+bc.

I և II խմբերի աքսիոմներին բավարարող օբյեկտների հավաքածուն կոչվում է թվային դաշտ կամ պարզապես դաշտ։ Իսկ համապատասխան աքսիոմները կոչվում են դաշտային աքսիոմներ։

III – աքսիոմների երրորդ խումբ՝ կարգի աքսիոմներ։Տարրերի համար Ռկարգի հարաբերությունը սահմանվում է. Դա հետեւյալն է. Ցանկացած երկու տարբեր տարրերի համար աԵվ բերկու հարաբերություններից մեկը գործում է՝ կամ ա բ(կարդում է" ապակաս կամ հավասար բ"), կամ ա բ(կարդում է" աավելի կամ հավասար բԵնթադրվում է, որ բավարարված են հետևյալ պայմանները.

III 1. ա այուրաքանչյուրի համար ա.Սկսած ա բ, բպետք է a=b.

III 2. Անցումային. Եթե ա բԵվ բ գ, Դա ագ.

III 3. Եթե ա բ, ապա ցանկացած տարրի համար գտեղի է ունենում ա+գ բ+գ.

III 4. Եթե ա 0, բ 0, Դա աբ 0 .

Աքսիոմների IV խումբը բաղկացած է մեկ աքսիոմից՝ շարունակականության աքսիոմից։Ցանկացած ոչ դատարկ հավաքածուների համար XԵվ Յ-ից Ռայնպես, որ յուրաքանչյուր զույգ տարրերի համար x XԵվ y Յանհավասարությունը պահպանվում է x < y, կա տարր ա Ռ, պայմանը բավարարելով

Բրինձ. 2

x < ա < y, x X, y Յ(նկ. 2): Թվարկված հատկություններն ամբողջությամբ սահմանում են իրական թվերի բազմությունը այն իմաստով, որ նրա բոլոր մյուս հատկությունները բխում են այս հատկություններից։ Այս սահմանումըեզակիորեն սահմանում է իրական թվերի բազմությունը մինչև դրա տարրերի հատուկ բնույթը: Այն նախազգուշացումը, որ հավաքածուն պարունակում է մեկից ավելի տարր, անհրաժեշտ է, քանի որ միայն զրոյից բաղկացած բազմությունը ակնհայտորեն բավարարում է բոլոր աքսիոմները: Հետևյալում մենք բազմության տարրերը կանվանենք R թվեր։

Այժմ սահմանենք բնական, ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի ծանոթ հասկացությունները: Կոչվում են 1, 2 1+1, 3 2+1, ... թվերը բնական թվեր, և դրանց հավաքածուն նշվում է Ն . Բնական թվերի բազմության սահմանումից հետևում է, որ այն ունի հետևյալ բնորոշ հատկությունը. Եթե

1) Ա Ն ,

3) յուրաքանչյուր տարրի համար x A ներառումը x+ 1 Ա, ապա Ա=Ն .

Իսկապես, 2-րդ պայմանի համաձայն ունենք 1 Ահետևաբար 3) և 2-րդ գույքով Ա, իսկ հետո նույն հատկության համաձայն ստանում ենք 3 Ա. Քանի որ ցանկացած բնական թիվ nստացվում է 1-ից՝ դրան հաջորդաբար նույն 1-ը ավելացնելով, ապա n Ա, այսինքն. Ն Ա, և քանի որ 1-ին պայմանով ներառումը Ա Ն , Դա Ա=Ն .

Ապացույցի սկզբունքը հիմնված է բնական թվերի այս հատկության վրա մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով. Եթե ​​կան բազմաթիվ պնդումներ, որոնցից յուրաքանչյուրին տրվում է բնական թիվ (նրա համարը) n=1, 2, ..., և եթե ապացուցվի, որ.

1) թիվ 1 պնդումը ճիշտ է.

2) ցանկացած համարով հայտարարության վավերականությունից n Ն հետևում է համարով հայտարարության վավերականությանը n+1;

ապա դրանով ապացուցվում է բոլոր հայտարարությունների վավերականությունը, այսինքն. կամայական թվով ցանկացած հայտարարություն n Ն .

0 համարներ, + 1, + 2, ... կոչվում է ամբողջ թվեր, նրանց բազմությունը նշվում է Զ .

Ձևի համարները մ/ն, Որտեղ մԵվ nամբողջ, և n 0, կոչվում են ռացիոնալ թվեր. Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Ք .

Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն, կոչվում են իռացիոնալ, նրանց բազմությունը նշվում է Ի .

Հարց է առաջանում, որ միգուցե ռացիոնալ թվերը սպառում են բազմության բոլոր տարրերը R?Այս հարցի պատասխանը տրվում է շարունակականության աքսիոմով։ Իրոք, այս աքսիոմը չի գործում ռացիոնալ թվերի համար: Օրինակ, հաշվի առեք երկու հավաքածու.

Դա հեշտ է տեսնել ցանկացած տարրի և անհավասարության համար: Այնուամենայնիվ ռացիոնալայս երկու հավաքածուները բաժանող թիվ չկա: Իրականում այս թիվը կարող է լինել միայն , բայց դա ռացիոնալ չէ։ Այս փաստը ցույց է տալիս, որ բազմության մեջ կան իռացիոնալ թվեր Ռ.

Ի հավելումն թվերի չորս թվաբանական գործողությունների, դուք կարող եք կատարել աստիճանականացման և արմատների արդյունահանման գործողությունները: Ցանկացած թվի համար ա Ռ և բնական nաստիճան a nսահմանվում է որպես արտադրանք nհավասար գործոններ ա:

A-priory ա 0 1, ա>0, ա- n 1/ ա n, ա 0, n- բնական թիվ.

Օրինակ։Բեռնուլիի անհավասարությունը. 1+x)n> 1 + nxԱպացուցել ինդուկցիայի միջոցով:

Թող ա>0, n- բնական թիվ. Թիվ բկանչեց արմատ nրդ աստիճանի միջից ա, Եթե b n =a. Այս դեպքում գրված է. Ցանկացած աստիճանի դրական արմատի առկայությունը և եզակիությունը nցանկացած դրական թվից ապացուցվելու է ստորև՝ 7.3 բաժնում:
Նույնիսկ արմատ, ա 0-ն ունի երկու նշանակություն՝ եթե բ = , կ Ն , ապա -բ= . Իսկապես, սկսած բ 2կ = ահետևում է դրան

(-բ)2կ = ((-բ) 2 )կ = (բ 2)կ = բ 2կ

Ոչ բացասական արժեքը կոչվում է իր թվաբանական արժեքը.
Եթե r = p/q, Որտեղ էջԵվ քամբողջական, ք 0, այսինքն. rռացիոնալ թիվ է, ապա համար ա > 0

(2.1)

Այսպիսով, աստիճան ա ռսահմանված ցանկացած ռացիոնալ թվի համար r. Նրա սահմանումից հետեւում է, որ ցանկացած ռացիոնալ rկա հավասարություն

a -r = 1/ա ռ.

Աստիճան կացին(թիվ xկանչեց ցուցիչ) ցանկացած իրական թվի համար xստացվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի շարունակական տարածման միջոցով (հավելյալ տեղեկությունների համար տե՛ս Բաժին 8.2): Ցանկացած համարի համար ա Ռ ոչ բացասական թիվ

դա կոչվում է բացարձակ արժեքկամ մոդուլ. Համար բացարձակ արժեքներթվեր, որոնց անհավասարությունները վավեր են

|ա + բ| < |ա| + |բ|,
||ա - բ|| < |ա - բ|, ա, բ Ռ

Դրանք ապացուցված են իրական թվերի I-IV հատկությունների միջոցով։

Շարունակականության աքսիոմի դերը մաթեմատիկական վերլուծության կառուցման մեջ

Շարունակականության աքսիոմի նշանակությունն այնպիսին է, որ առանց դրա անհնար է մաթեմատիկական վերլուծության խիստ կառուցումը։ [ աղբյուրը նշված չէ 1351 օր] Պատկերացնելու համար մենք ներկայացնում ենք վերլուծության մի քանի հիմնարար դրույթներ, որոնց ապացույցը հիմնված է իրական թվերի շարունակականության վրա.

· (Վայերշտրասի թեորեմա):Յուրաքանչյուր սահմանափակված միապաղաղ աճող հաջորդականություն համընկնում է

· (Բոլզանո-Կոշիի թեորեմ).Շարունակական ֆունկցիա հատվածի վրա, որն իր ծայրերում արժեքներ է ընդունում տարբեր նշան, անհետանում է հատվածի ներքին ինչ-որ կետում

· (Հզորության, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առկայությունը սահմանման «բնական» տիրույթում):Օրինակ, ապացուցված է, որ բոլորի և ամբողջի համար գոյություն ունի, այսինքն՝ հավասարման լուծում։ Սա թույլ է տալիս որոշել արտահայտության արժեքը բոլոր ռացիոնալների համար.

Ի վերջո, կրկին թվային տողի շարունակականության շնորհիվ հնարավոր է որոշել արտահայտության արժեքը կամայականի համար։ Նմանապես, օգտագործելով շարունակականության հատկությունը, թվի գոյությունն ապացուցվում է ցանկացած .

Երկար պատմական ժամանակաշրջանում մաթեմատիկոսներն ապացուցում էին թեորեմներ վերլուծությունից՝ «նուրբ տեղերում», որոնք վերաբերում էին երկրաչափական հիմնավորմանը, և ավելի հաճախ՝ դրանք ընդհանրապես բաց թողնելով, քանի որ դա ակնհայտ էր: Օգտագործվել է շարունակականության ամենակարևոր հասկացությունը՝ առանց որևէ հստակ սահմանման: Միայն 19-րդ դարի վերջին երրորդում գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Վայերշտրասը թվաբանեց վերլուծությունը՝ կառուցելով իրական թվերի առաջին խիստ տեսությունը որպես անվերջ տասնորդական կոտորակներ։ Նա առաջարկեց լեզվի սահմանի դասական սահմանում, ապացուցեց մի շարք պնդումներ, որոնք իր առջև «ակնհայտ» էին համարվում և դրանով իսկ ավարտեց մաթեմատիկական վերլուծության հիմքի կառուցումը:

Հետագայում իրական թվի որոշման այլ մոտեցումներ են առաջարկվել։ Աքսիոմատիկ մոտեցման մեջ իրական թվերի շարունակականությունը բացահայտորեն ընդգծվում է որպես առանձին աքսիոմ։ Իրական թվերի տեսության կառուցողական մոտեցումներում, օրինակ, իրական թվեր կառուցելիս, օգտագործելով Dedekind բաժինները, շարունակականության հատկությունը (այս կամ այն ​​ձևով) ապացուցվում է որպես թեորեմ։

Շարունակականության և համարժեք նախադասությունների հատկության այլ ձևակերպումներ[ խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Կան մի քանի տարբեր պնդումներ, որոնք արտահայտում են իրական թվերի շարունակականության հատկությունը: Այս սկզբունքներից յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործվել որպես իրական թվի տեսության կառուցման հիմք՝ որպես շարունակականության աքսիոմա, իսկ մնացած բոլորը կարող են բխվել դրանից։ Այս հարցը ավելի մանրամասն քննարկվում է հաջորդ բաժնում:

Շարունակություն՝ ըստ Դեդեկինդի[խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Հիմնական հոդված.Կտրումների տեսություն ռացիոնալ թվերի ոլորտում

Իր «Շարունակություն և իռացիոնալ թվեր» աշխատության մեջ Դեդեկինդը դիտարկում է իրական թվերի շարունակականության հարցը։ Դրանում նա ռացիոնալ թվերը համեմատում է ուղիղ գծի կետերի հետ: Ինչպես հայտնի է, ռացիոնալ թվերի և գծի կետերի միջև կարելի է համապատասխանություն հաստատել, երբ գծի վրա ընտրվում են ելակետը և հատվածների չափման միավորը։ Վերջինիս միջոցով կարելի է յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար կառուցել համապատասխան հատված և այն դնելով աջ կամ ձախ՝ կախված դրական կամ բացասական թվից՝ ստանալ թվին համապատասխան կետ։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվին համապատասխանում է մեկ և միայն մեկ կետ ուղիղի վրա:

Ստացվում է, որ գծի վրա անսահման շատ կետեր կան, որոնք չեն համապատասխանում որևէ ռացիոնալ թվի։ Օրինակ, կետ, որը ստացվում է միավոր հատվածի վրա կառուցված քառակուսու անկյունագծի երկարությունը գծագրելով: Այսպիսով, ռացիոնալ թվերի տարածաշրջանը դա չունի ամբողջականությունը, կամ շարունակականություն, որը բնորոշ է ուղիղ գծին։

Պարզելու համար, թե ինչից է բաղկացած այս շարունակականությունը, Դեդեկինդը կատարում է հետևյալ դիտողությունը. Եթե ​​գծի վրա կա որոշակի կետ, ապա գծի բոլոր կետերը բաժանվում են երկու դասի՝ ձախ կողմում գտնվող կետեր և աջ կողմում գտնվող կետեր: Կետն ինքնին կարող է կամայականորեն վերագրվել կամ ստորին կամ վերին դասին: Դեդեկինդը տեսնում է շարունակականության էությունը հակառակ սկզբունքը:

Երկրաչափական առումով այս սկզբունքը ակնհայտ է թվում, բայց մենք չենք կարողանում դա ապացուցել։ Դեդեկինդն ընդգծում է, որ, ըստ էության, այս սկզբունքը պոստուլատ է, որն արտահայտում է ուղիղին վերագրվող այդ հատկության էությունը, որը մենք անվանում ենք շարունակականություն։

Դեդեկինդի իմաստով թվային տողի շարունակականության էությունը ավելի լավ հասկանալու համար դիտարկենք իրական թվերի բազմության կամայական հատվածը, այսինքն՝ բոլոր իրական թվերի բաժանումը երկու ոչ դատարկ դասերի, որպեսզի բոլոր թվերը մի դասի ընկած է երկրորդի բոլոր թվերի ձախ կողմում գտնվող թվային տողի վրա: Այս դասերը կոչվում են համապատասխանաբար ավելի ցածրԵվ բարձր դասերբաժինները. Տեսականորեն կա 4 հնարավորություն.

1. Ստորին դասը ունի առավելագույն տարր, վերին դասը չունի նվազագույն

2. Ստորին դասը չունի մաքսիմալ տարր, իսկ վերին դասը՝ նվազագույն

3. Ստորին դասն ունի առավելագույնը, իսկ վերինը՝ նվազագույն տարրերը

4. Ստորին դասում չկա առավելագույն տարր, իսկ վերին դասում՝ նվազագույն տարր

Առաջին և երկրորդ դեպքերում ներքևի առավելագույն տարրը կամ վերևի նվազագույն տարրը, համապատասխանաբար, արտադրում է այս հատվածը: Երրորդ դեպքում ունենք ցատկ, իսկ չորրորդում՝ տարածություն. Այսպիսով, թվային տողի շարունակականությունը նշանակում է, որ իրական թվերի բազմության մեջ չկան թռիչքներ կամ բացեր, այսինքն՝ պատկերավոր ասած՝ դատարկություններ չկան։

Եթե ​​ներկայացնենք իրական թվերի բազմության հատվածի հայեցակարգը, ապա Դեդեկինդի շարունակականության սկզբունքը կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ.

Դեդեկինդի շարունակականության (ամբողջականության) սկզբունքը. Իրական թվերի բազմության յուրաքանչյուր հատվածի համար կա մի թիվ, որն առաջացնում է այս բաժինը:

Մեկնաբանություն. Երկու բազմություններ բաժանող կետի գոյության մասին շարունակականության աքսիոմի ձևակերպումը շատ է հիշեցնում Դեդեկինդի շարունակականության սկզբունքի ձևակերպումը։ Իրականում այս պնդումները համարժեք են և ըստ էության նույն բանի տարբեր ձևակերպումներ են։ Հետեւաբար, այս երկու հայտարարությունները կոչվում են Իրական թվերի շարունակականության Դեդեկինդի սկզբունքը.

Լեմմա ներդիր հատվածների վրա (Կոշի-Կանտոր սկզբունք)[խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Հիմնական հոդված.Լեմմա ներդիր հատվածների վրա

Լեմմա ներդիր հատվածների վրա (Կոշի - Կանտոր): Բնադրված հատվածների ցանկացած համակարգ

ունի ոչ դատարկ խաչմերուկ, այսինքն՝ կա առնվազն մեկ թիվ, որը պատկանում է տվյալ համակարգի բոլոր հատվածներին։

Եթե, ի լրումն, տվյալ համակարգի հատվածների երկարությունը ձգտում է զրոյի, այսինքն

ապա այս համակարգի հատվածների հատումը բաղկացած է մեկ կետից:

Այս գույքը կոչվում է իրական թվերի բազմության շարունակականությունը Cantor-ի իմաստով. Ստորև մենք ցույց կտանք, որ Արքիմեդյան դասավորված դաշտերի համար Cantor-ի շարունակականությունը համարժեք է Dedekind շարունակականությանը:

Գերագույն սկզբունք[խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Գերագույն սկզբունք. Վերևում սահմանափակված իրական թվերի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ բազմություն ունի գերագույն գումար:

Հաշվարկի դասընթացներում այս դրույթը սովորաբար թեորեմ է, և դրա ապացույցը հիմնականում օգտագործում է իրական թվերի բազմության շարունակականությունը ինչ-որ ձևով: Միևնույն ժամանակ, կարելի է, ընդհակառակը, վերևում սահմանափակված ցանկացած ոչ դատարկ բազմության համար ենթադրել գերակայության առկայությունը և դրա վրա հիմնվելով՝ ապացուցելու, օրինակ, շարունակականության սկզբունքը ըստ Դեդեկինդի։ Այսպիսով, գերագույն թեորեմը իրական թվերի շարունակականության հատկության համարժեք ձևակերպումներից մեկն է։

Մեկնաբանություն. supremum-ի փոխարեն կարելի է օգտագործել infimum երկակի հասկացությունը։

Ինֆիմումի սկզբունքը. Ներքևից սահմանափակված իրական թվերի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ բազմություն ունի ինֆիմում:

Այս առաջարկը նույնպես համարժեք է Դեդեկինդի շարունակականության սկզբունքին։ Ավելին, կարելի է ցույց տալ, որ գերագույն թեորեմի պնդումն ուղղակիորեն բխում է infimum թեորեմի պնդումից և հակառակը (տե՛ս ստորև)։

Վերջավոր ծածկույթի լեմմա (Հայնե-Բորելի սկզբունք)[խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Հիմնական հոդված.Հայնե-Բորել Լեմմա

Վերջնական ծածկույթի լեմմա (Հայնե - Բորել): Սեգմենտը ընդգրկող ինտերվալների ցանկացած համակարգում կա այս հատվածը ծածկող վերջավոր ենթահամակարգ:

Սահմանային կետի լեմմա (Բոլզանո-Վայերշտրասի սկզբունք)[խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Հիմնական հոդված.Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ

Սահմանային կետի լեմմա (Բոլցանո - Վայերշտրաս): Յուրաքանչյուր անսահման սահմանափակ թվերի հավաքածու ունի առնվազն մեկ սահմանային կետ:

Իրական թվերի բազմության շարունակականությունն արտահայտող նախադասությունների համարժեքությունը[ խմբագրել | խմբագրել վիքի տեքստը]

Մի քանի նախնական նկատողություն անենք. Իրական թվի աքսիոմատիկ սահմանման համաձայն, իրական թվերի բազմությունը բավարարում է աքսիոմների երեք խմբի. Առաջին խումբը դաշտային աքսիոմներն են։ Երկրորդ խումբն արտահայտում է այն փաստը, որ իրական թվերի բազմությունը գծային կարգավորված բազմություն է, և կարգի կապը համապատասխանում է դաշտի հիմնական գործողություններին։ Այսպիսով, աքսիոմների առաջին և երկրորդ խմբերը նշանակում են, որ իրական թվերի բազմությունը ներկայացնում է դասավորված դաշտ։ Աքսիոմների երրորդ խումբը բաղկացած է մեկ աքսիոմից՝ շարունակականության (կամ ամբողջականության) աքսիոմից։

Իրական թվերի շարունակականության տարբեր ձևակերպումների համարժեքությունը ցույց տալու համար անհրաժեշտ է ապացուցել, որ եթե այս պնդումներից մեկը գործում է դասավորված դաշտի համար, ապա դրանից բխում է բոլոր մյուսների վավերականությունը։

Թեորեմ. Թող լինի կամայական գծային կարգավորված բազմություն: Հետևյալ հայտարարությունները համարժեք են.

1. Անկախ այն բանից, թե ինչ ոչ դատարկ բազմություններ և այնպիսին, որ ցանկացած երկու տարրի և անհավասարության համար գործում է, գոյություն ունի այնպիսի տարր, որ բոլորի համար և կապը գործում է

2. Յուրաքանչյուր հատվածի համար կա այս բաժինը արտադրող տարր

3. Վերևում սահմանափակված յուրաքանչյուր ոչ դատարկ հավաքածու ունի գերագույն գումար

4. Ներքևից սահմանափակված յուրաքանչյուր ոչ դատարկ հավաքածու ունի ինֆիմում

Ինչպես երևում է այս թեորեմից, այս չորս նախադասություններն օգտագործում են միայն այն փաստը, որ գծային կարգի կապը ներմուծված է, և չեն օգտագործում դաշտի կառուցվածքը։ Այսպիսով, նրանցից յուրաքանչյուրն արտահայտում է հատկություն որպես գծային կարգավորված բազմություն։ Այս հատկությունը (կամայական գծային կարգավորված բազմության, պարտադիր չէ, որ իրական թվերի բազմությունը) կոչվում է. շարունակականություն կամ ամբողջականություն՝ ըստ Դեդեկինդի.

Այլ նախադասությունների համարժեքությունն ապացուցելու համար արդեն անհրաժեշտ է դաշտային կառուցվածքի առկայությունը։

Թեորեմ. Թող լինի կամայական պատվիրված դաշտ: Հետևյալ նախադասությունները համարժեք են.

1. (որպես գծային կարգավորված հավաքածու) Dedekind-ը ամբողջական է

2. Կատարել Արքիմեդի սկզբունքըԵվ Ներդիր հատվածների սկզբունքը

3. Քանի որ Հայնե-Բորելի սկզբունքը բավարարված է

4. Բոլցանո-Վայերշտրասի սկզբունքը կատարվում է

Մեկնաբանություն. Ինչպես երևում է թեորեմից, ինքնին բույն դրված հատվածների սկզբունքը ոչ համարժեքԴեդեկինդի շարունակականության սկզբունքը. Դեդեկինդի շարունակականության սկզբունքից բխում է բնադրված հատվածների սկզբունքը, սակայն հակառակի համար անհրաժեշտ է լրացուցիչ պահանջել, որ դասավորված դաշտը բավարարի Արքիմեդի աքսիոմին։

Վերոնշյալ թեորեմների ապացույցները կարելի է գտնել ստորև բերված տեղեկատու ցուցակի գրքերում:

· Կուդրյավցև, Լ.Դ.Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. - 5-րդ հրատ. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1։

· Ֆիխտենգոլց, Գ.Մ.Մաթեմատիկական վերլուծության հիմունքներ. - 7-րդ հրատ. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Դեդեկինդը, Ռ.Շարունակականություն և իռացիոնալ թվեր = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-րդ վերանայված հրատարակություն. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

· Զորիչ, Վ.Ա.Մաթեմատիկական վերլուծություն. Մաս I. - Խմբ. 4-րդ, շտկված - Մ.: «MCNMO», 2002. - 657 էջ. - ISBN 5-94057-056-9։

· Գործառույթների և թվային տիրույթների շարունակականություն՝ B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor: - 3-րդ հրատ. - Նովոսիբիրսկ: ԱՆՏ, 2005. - 64 էջ.

4.5. Շարունակականության աքսիոմա

Ինչ էլ որ լինեն A և իրական թվերի երկու ոչ դատարկ բազմությունները

B , որի համար a ∈ A և b ∈ B ցանկացած տարրերի համար անհավասարություն է

a ≤ b, կա λ այնպիսի թիվ, որ a ∈ A, b ∈ B բոլորի համար գործում է հետևյալը.

հավասարություն a ≤ λ ≤ բ.

Իրական թվերի շարունակականության հատկությունը նշանակում է, որ իրական թվերի վրա

երակային գծում «դատարկություններ» չկան, այսինքն՝ թվերը ներկայացնող կետերը լրացվում են

ամբողջ իրական առանցքը.

Տանք շարունակականության աքսիոմի մեկ այլ ձևակերպում. Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք

Սահմանում 1.4.5. Երկու A և B բազմությունները մենք կանվանենք բաժին

իրական թվերի բազմություն, եթե

1) A և B բազմությունները դատարկ չեն.

2) A և B բազմությունների միությունը կազմում է բոլոր իրականների բազմությունը

թվեր;

3) A բազմության յուրաքանչյուր թիվը քիչ թիվհավաքածու B.

Այսինքն՝ բաժին կազմող յուրաքանչյուր հավաքածու պարունակում է առնվազն մեկը

տարր, այս հավաքածուները չեն պարունակում ընդհանուր տարրերև, եթե a ∈ A և b ∈ B, ապա

Մենք A բազմությունը կանվանենք ստորին դաս, իսկ B-ն՝ վերին դաս:

բաժնի դաս. Բաժինը կնշանակենք A B-ով:

Առավելագույնը պարզ օրինակներբաժինները հետևյալ բաժիններն են

փչող ճանապարհ. Վերցնենք մի քանի α թիվ և դնենք

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

կտրված են, և եթե a ∈ A և b ∈ B, ապա a< b , поэтому множества A и B образуют

Բաժին։ Նմանապես, դուք կարող եք ձևավորել բաժին ըստ հավաքածուների

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) :

Նման բաժինները մենք կանվանենք α կամ թվով առաջացած բաժիններ

մենք կասենք, որ α թիվը արտադրում է այս հատվածը։ Սա կարելի է գրել այսպես

Ցանկացած թվով գեներացված բաժիններն ունեն երկու հետաքրքիր

հատկությունները:

Հատկություն 1. Կամ վերին դասը պարունակում է ամենափոքր թիվը, իսկ ստորինը

դասը չունի ամենամեծ թիվը, կամ ստորին դասը պարունակում է ամենամեծ թիվը

ահա, իսկ վերին դասում ոչ պակաս բան չկա։

Հատկություն 2. Տվյալ բաժին ստեղծող թիվը եզակի է։

Ստացվում է, որ վերը ձևակերպված շարունակականության աքսիոմը համարժեք է

համահունչ է այն հայտարարությանը, որը կոչվում է Դեդեկինդի սկզբունք.

Դեդեկինդի սկզբունքը. Յուրաքանչյուր հատվածի համար նախատեսված է թվեր

սա մի հատված է:

Եկեք ապացուցենք այս պնդումների համարժեքությունը։

Թող շարունակականության աքսիոմը ճշմարիտ լինի, և որոշ ս.

կարդալով A B. Այնուհետև, քանի որ A և B դասերը բավարարում են պայմանները, բանաձևը

Աքսիոմում նշված, կա λ այնպիսի թիվ, որ ցանկացած թվի համար a ≤ λ ≤ b

a ∈ A և b ∈ B. Բայց λ թիվը պետք է պատկանի մեկին և միայն մեկին

A կամ B դասեր, հետևաբար a ≤ λ անհավասարություններից մեկը կբավարարվի< b или

ա< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

կամ ամենափոքրը վերին դասում և առաջացնում է տվյալ հատվածը։

Եվ հակառակը, թող Դեդեկինդի սկզբունքը բավարարված լինի, իսկ երկուսը` ոչ դատարկ

սահմանում է A և B այնպես, որ բոլորի համար a ∈ A և b ∈ B անհավասարությունը

ա ≤ բ. B-ով նշանակենք b թվերի բազմությունն այնպես, որ a ≤ b ցանկացածի համար

b ∈ B և բոլոր a ∈ A. Այնուհետև B ⊂ B. A բազմության համար վերցնում ենք բոլոր թվերի բազմությունը

Բ–ում չընդգրկված գյուղերը.

Փաստենք, որ A և B բազմությունները կազմում են հատված։

Իսկապես, ակնհայտ է, որ B բազմությունը դատարկ չէ, քանի որ պարունակում է

ոչ դատարկ հավաքածու Բ. A բազմությունը նույնպես դատարկ չէ, քանի որ եթե a ∈ A թիվը,

ապա a − 1∉ B թիվը, քանի որ B-ում ներառված ցանկացած թիվ պետք է լինի առնվազն

a թվեր, հետևաբար, a − 1∈ A.

բոլոր իրական թվերի բազմությունը՝ բազմությունների ընտրության շնորհիվ։

Եվ վերջապես, եթե a ∈ A և b ∈ B, ապա a ≤ b. Իսկապես, եթե այդպիսիք կան

c թիվը կբավարարի c > b անհավասարությունը, որտեղ b ∈ B, ապա սխալը

հավասարություն c > a (a-ն A բազմության կամայական տարրն է) և c ∈ B:

Այսպիսով, A-ն և B-ն կազմում են բաժին, և Դեդեկինդի սկզբունքի համաձայն, կա մի թիվ

lo λ ստեղծում է այս բաժինը, այսինքն՝ լինելով կամ ամենամեծը դասում

Փաստենք, որ այս թիվը չի կարող պատկանել Ա դասին։ Վավերական

բայց, եթե λ ∈ A, ապա կա a* ∈ A այնպիսի թիվ, որ λ< a* . Тогда существует

λ և a* թվերի միջև ընկած a′ թիվը: a′ անհավասարությունից< a* следует, что

a′ ∈ A, ապա λ անհավասարությունից< a′ следует, что λ не является наибольшим в

Ա դաս, որը հակասում է Դեդեկինդի սկզբունքին։ Հետևաբար, λ թիվը կլինի

ամենափոքրն է B դասում և բոլորի համար a ∈ A և անհավասարությունը կպահպանվի

a ≤ λ ≤ b , որը պետք է ապացուցվեր։◄

Այսպիսով, աքսիոմում ձևակերպված հատկությունը և հատկությունը

Դեդեկինդի սկզբունքով ձևակերպված համարժեք են։ Ապագայում սրանք

Իրական թվերի բազմության հատկությունները, որոնք մենք կանվանենք շարունակականություն

ըստ Դեդեկինդի.

Իրական թվերի բազմության շարունակականությունից ըստ Դեդեկինդի հետեւում է

երկու կարևոր թեորեմ.

Թեորեմ 1.4.3. (Արքիմեդի սկզբունք) Ինչպիսին էլ լինի իրական թիվը

ա, կա n բնական թիվ, որ ա< n .

Ենթադրենք թեորեմի պնդումը կեղծ է, այսինքն՝ կա այսպիսի մի

b0 այնպիսի թիվ, որ n ≤ b0 անհավասարությունը գործում է բոլոր բնական թվերի համար

n. Իրական թվերի բազմությունը բաժանենք երկու դասի՝ B դասի ենք ներառում

բոլոր b թվերը, որոնք բավարարում են n ≤ b անհավասարությունը ցանկացած բնական n-ի համար:

Այս դասը դատարկ չէ, քանի որ պարունակում է b0 թիվը: Մենք ամեն ինչ կդնենք A դասարանում

մնացած թվերը։ Այս դասը նույնպես դատարկ չէ, քանի որ ցանկացած բնական թիվ

ընդգրկված Ա. A և B դասերը չեն հատվում, և դրանց միությունն է

բոլոր իրական թվերի բազմությունը:

Եթե ​​վերցնենք կամայական a ∈ A և b ∈ B թվեր, ապա կա բնական թիվ

թիվ 0 այնպիսին, որ ա< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A-ն և B-ն բավարարում են Դեդեկինդի սկզբունքը, և կա α թիվ, որը

առաջացնում է A B հատված, այսինքն՝ α-ն կամ ամենամեծն է A դասում, կամ

կամ B դասի ամենափոքրը: Եթե ​​ենթադրենք, որ α-ն A դասում է, ապա

կարելի է գտնել n1 բնական թիվ, որի համար α անհավասարությունը< n1 .

Քանի որ n1-ը նույնպես ներառված է A-ում, α թիվը ամենամեծը չի լինի այս դասում,

հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ է, և α-ն ամենափոքրն է

դաս B.

Մյուս կողմից վերցրեք α − 1 թիվը, որն ընդգրկված է A դասում։ Սլեդովա-

Այսպիսով, կա n2 բնական թիվ, որ α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

հետևում է, որ α ∈ Ա. Ստացված հակասությունն ապացուցում է թեորեմը։◄

Հետևանք. Ինչ էլ որ a և b թվերն այնպիսին լինեն, որ 0-ն լինեն< a < b , существует

n բնական թիվ, որի համար գործում է na > b անհավասարությունը:

Դա ապացուցելու համար բավական է թվի նկատմամբ կիրառել Արքիմեդի սկզբունքը

և օգտագործել անհավասարությունների հատկությունը.◄

Եզրակացությունն ունի պարզ երկրաչափական նշանակություն՝ ինչ էլ որ լինի երկուսը

հատվածը, եթե դրանցից մեծի վրա, նրա ծայրերից մեկից հաջորդաբար

դրեք ավելի փոքրը, այնուհետև վերջավոր թվով քայլերով կարող եք անցնել այն կողմ

ավելի մեծ հատված:

Օրինակ 1. Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր ոչ բացասական թվի համար գոյություն ունի a

միակ ոչ բացասական իրական թիվը t այնպիսին է, որ

t n = a, n ∈, n ≥ 2:

Այս թեորեմը n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի գոյության մասին

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում ոչ բացասական թվից ընդունվում է առանց ապացույցի

գործեր.

☺ Եթե a = 0, ապա x = 0, ուրեմն թվաբանության գոյության ապացույց

a-ի իրական արմատը պահանջվում է միայն a > 0-ի համար:

Ենթադրենք a > 0 և բաժանենք բոլոր իրական թվերի բազմությունը

երկու դասի համար. B դասում մենք ներառում ենք բոլոր դրական x թվերը, որոնք բավարարում են

ստեղծել x n > a անհավասարությունը, A դասում, մնացած բոլորը:

Ըստ Արքիմեդի աքսիոմի՝ գոյություն ունեն k և m բնական թվեր, որ

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >ա և 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A-ն պարունակում է դրական թվեր:

Ակնհայտ է, որ A ∪ B = և եթե x1 ∈ A և x2 ∈ B, ապա x1< x2 .

Այսպիսով, A և B դասերը կազմում են խաչմերուկ: Թիվը, որը կազմում է սա

բաժինը, որը նշվում է տ. Այդ դեպքում t-ը կամ դասի ամենամեծ թիվն է

ce A կամ B դասի ամենափոքրը:

Ենթադրենք, որ t ∈ A և t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

ինքնիշխանություն 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) - t n

Այնուհետև մենք ստանում ենք (t + h)< a . Это означает,

Ուստի, եթե վերցնենք հ<

որ t + h ∈ A, ինչը հակասում է այն փաստին, որ t-ն ամենամեծ տարրն է A դասում։

Նմանապես, եթե ենթադրենք, որ t-ը B դասի ամենափոքր տարրն է,

ապա վերցնելով 0 անհավասարությունները բավարարող h թիվը< h < 1 и h < ,

ստանում ենք (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Սա նշանակում է, որ t − h ∈ B և t չեն կարող լինել ամենափոքր տարրը

դաս B. Հետեւաբար, t n = a.

Եզակիությունը բխում է նրանից, որ եթե t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Օրինակ 2. Ապացուցեք, որ եթե ա< b , то всегда найдется рациональное число r

այնպիսին, որ ա< r < b .

☺Եթե a և b թվերը ռացիոնալ են, ապա թիվը ռացիոնալ է և բավարար.

բավարարում է պահանջվող պայմանները. Ենթադրենք, որ a կամ b թվերից գոնե մեկը

իռացիոնալ, օրինակ, ասենք, որ b թիվը իռացիոնալ է։ Ենթադրաբար

Մենք նաև ենթադրում ենք, որ a ≥ 0, ապա b > 0: Գրենք a և b թվերի ներկայացումները ձևով

տասնորդական կոտորակներ՝ a = α 0, α1α 2α 3.... և b = β 0, β1β 2 β3..., որտեղ երկրորդ կոտորակն անվերջ է.

ընդհատվող և ոչ պարբերական: Ինչ վերաբերում է ա թվի ներկայացմանը, մենք կքննարկենք

Պետք է նշել, որ եթե a թիվը ռացիոնալ է, ապա նրա նշումը կամ վերջավոր է, կամ ոչ

պարբերական կոտորակ, որի պարբերությունը հավասար չէ 9-ի։

Քանի որ b > a, ապա β 0 ≥ α 0; եթե β 0 = α 0, ապա β1 ≥ α1; եթե β1 = α1, ապա β 2 ≥ α 2

և այլն, և կա i-ի արժեք, որի վրա առաջին անգամ կլինի

βi > α i խիստ անհավասարությունը բավարարված է. Այնուհետեւ β 0, β1β 2 ...βi թիվը ռացիոնալ կլինի

nal և կլինի a և b թվերի միջև:

Եթե< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, որտեղ n-ն այնպիսի բնական թիվ է, որ n ≥ a. Նման թվի առկայությունը

բխում է Արքիմեդի աքսիոմից. ☻

Սահմանում 1.4.6. Թող տրվի թվային տողի հատվածների հաջորդականություն

([ an ; bn ]), ան< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

հատվածների, եթե որևէ n-ի համար ≤ an+1 և

Նման համակարգի համար ընդգրկումներ են կատարվում

[a1; b1] ⊃ [a2; b2 ] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [an; bn ] ⊃ ...,

այսինքն՝ յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը պարունակվում է նախորդում։

Թեորեմ 1.4.4. Ներդրված հատվածների ցանկացած համակարգի համար կա

առնվազն մեկ կետ, որը ներառված է այս հատվածներից յուրաքանչյուրում:

Վերցնենք երկու բազմություն A = (an) և B = (bn): Նրանք դատարկ չեն և որևէ մեկի համար

n և m անհավասարությունը an< bm . Докажем это.

Եթե ​​n ≥ m, ապա an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Այսպիսով, A և B դասերը բավարարում են շարունակականության աքսիոմը և,

հետևաբար, կա λ այնպիսի թիվ, որ ≤ λ ≤ bn ցանկացած n-ի համար, այսինքն. Սա

թիվը պատկանում է ցանկացած հատվածի [an; bn ] .◄

Հետևյալում (Թեորեմ 2.1.8) մենք կճշտենք այս թեորեմը:

Թեորեմ 1.4.4-ում ձևակերպված պնդումը կոչվում է սկզբունք

Cantor-ը, և այս պայմանը բավարարող հավաքածուն կկոչվի ոչ

ընդհատված՝ ըստ Cantor-ի.

Մենք ապացուցել ենք, որ եթե պատվիրված հավաքածուն Dede-շարունակական է

kindu, ապա դրանում կատարվում է Արքիմեդի սկզբունքը և այն շարունակական է ըստ Կանտորի։

Կարելի է ապացուցել, որ պատվիրված հավաքածու, որում սկզբունքները բավարարված են

Արքիմեդի և Կանտորի խորհուրդները, ըստ Դեդեկինդի, լինելու են շարունակական։ Ապացույց

Այս փաստը պարունակվում է, օրինակ, մեջ.

Արքիմեդի սկզբունքը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր գծի հատված համեմատել ոչ

որը միակն է դրական թիվ, բավարարելով պայմանները.

1. համապատասխանում են հավասար հատվածներ հավասար թվեր;

2. Եթե AC հատվածի B կետը և AB և BC հատվածները համապատասխանում են a և թվերին.

b, ապա AC հատվածը համապատասխանում է a + b թվին;

3. 1 թիվը համապատասխանում է որոշակի հատվածի։

Յուրաքանչյուր հատվածին համապատասխանող և 1-3 պայմանները բավարարող թիվը.

կոչվում է այս հատվածի երկարություն:

Կանտորի սկզբունքը մեզ թույլ է տալիս դա ապացուցել յուրաքանչյուր դրականի համար

թիվը, կարող եք գտնել մի հատված, որի երկարությունը հավասար է այս թվին: Այսպիսով,

դրական իրական թվերի բազմության և հատվածների բազմության միջև

կովերը, որոնք դրվում են որոշակի կետից ուղիղ գծի վրա տվյալ կողմի երկայնքով

այս պահից կարելի է հաստատել մեկ առ մեկ համապատասխանություն:

Սա թույլ է տալիս մեզ սահմանել թվային առանցքը և ներկայացնել համապատասխանություն նրանց միջև

Ես սպասում եմ իրական թվերի և կետերի մի տողի վրա: Դա անելու համար եկեք վերցնենք մի քանիսը

առաջին տողը և դրա վրա ընտրեք O կետը, որը կբաժանի այս տողը երկուսի

ճառագայթ. Այս ճառագայթներից մեկը մենք կանվանենք դրական, իսկ երկրորդը` բացասական:

անվ. Հետո կասենք, որ այս ուղիղ գծի վրա ընտրել ենք ուղղությունը։

Սահմանում 1.4.7. Թվային առանցքը մենք կանվանենք այն ուղիղը, որի վրա

ա) O կետը, որը կոչվում է կոորդինատների ծագում կամ ծագում.

բ) ուղղություն;

գ) միավորի երկարության հատվածը:

Այժմ յուրաքանչյուր իրական թվի համար M կետը կապում ենք թվի հետ

ուղիղ ոռնալ այնպես, որ

ա) 0 թիվը համապատասխանում էր կոորդինատների ծագմանը.

բ) OM = a - սկզբնակետից մինչև M կետ հատվածի երկարությունը հավասար էր

մոդուլի համարը;

գ) եթե a-ն դրական է, ապա կետը վերցվում է դրական ճառագայթի վրա և, եթե

Եթե ​​բացասական է, ուրեմն բացասական է։

Այս կանոնը սահմանում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն

իրական թվերի և գծի վրա գտնվող կետերի մի շարք:

Թվային գիծը (առանցքը) նույնպես կանվանենք իրական գիծ

Սա նաև ենթադրում է իրական թվի մոդուլի երկրաչափական նշանակությունը։

la. թվի մոդուլը հավասար է սկզբնակետից մինչև պատկերված կետ հեռավորությանը

սեղմելով այս թիվը թվային տողի վրա:

Այժմ մենք կարող ենք երկրաչափական մեկնաբանություն տալ 6 և 7 հատկություններին

իրական թվի մոդուլ. x թվի դրական C-ի համար ես բավարարում եմ

բավարարող հատկություն 6, լրացրեք միջակայքը (−C, C), իսկ x թվերը բավարարող

հատկություն 7, ընկած է ճառագայթների վրա (−∞,C) կամ (C, +∞):

Եկեք նշենք նյութի մոդուլի ևս մեկ ուշագրավ երկրաչափական հատկություն.

իրական թիվ.

Երկու թվերի տարբերության մոդուլը հավասար է կետերի միջև եղած հեռավորությանը, որը համապատասխանում է

իրական առանցքի վրա համապատասխանող այս թվերին:

բազմաթիվ ստանդարտ թվային հավաքածուներ:

Բնական թվերի հավաքածու;

Ամբողջ թվերի հավաքածու;

Ռացիոնալ թվերի հավաքածու;

Իրական թվերի հավաքածու;

Համապատասխանաբար ամբողջ թվերի բազմություններ՝ ռացիոնալ և իրական

իրական ոչ բացասական թվեր;

Կոմպլեքս թվերի հավաքածու.

Բացի այդ, իրական թվերի բազմությունը նշվում է որպես (−∞, +∞):

Այս հավաքածուի ենթաբազմությունները.

(ա, բ) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - հատված;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly կամ կես հատվածներ;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) կամ (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - փակ ճառագայթներ:

Վերջապես, երբեմն մեզ անհրաժեշտ կլինեն բացեր, որոնց վրա մենք չենք հետաքրքրվի

արդյոք դրա ծայրերը պատկանում են այս միջակայքին, թե ոչ։ Մենք ունենալու ենք այդպիսի շրջան

նշանակել ա, բ.

§ 5 Թվային բազմությունների սահմանը

Սահմանում 1.5.1. X թվային բազմությունը կոչվում է սահմանափակված

վերևից, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ x ≤ M յուրաքանչյուր x տարրի համար

հավաքածու X.

Սահմանում 1.5.2. X թվային բազմությունը կոչվում է սահմանափակված

ներքևում, եթե կա m այնպիսի թիվ, որ x ≥ m յուրաքանչյուր x տարրի համար

հավաքածու X.

Սահմանում 1.5.3. X թվային բազմությունը կոչվում է սահմանափակ,

եթե այն սահմանափակված է վերևում և ներքևում:

Խորհրդանշական նշումով այս սահմանումները նման կլինեն.

X բազմությունը սահմանափակված է վերևից, եթե ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

սահմանափակված է ներքևում, եթե ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m և

սահմանափակ է, եթե ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Թեորեմ 1.5.1. X թվային բազմությունը սահմանափակված է, եթե և միայն, եթե

երբ կա C այնպիսի թիվ, որ այս բազմությունից x բոլոր տարրերի համար

Գործում է x ≤ C անհավասարությունը:

Թող X բազմությունը սահմանափակված լինի: Եկեք դնենք C = ​​max (m, M) - առավելագույնը

m և M թվերից մեծը. Այնուհետև, օգտագործելով ռեալների մոդուլի հատկությունները

թվեր, ստանում ենք x ≤ M ≤ M ≤ C և x ≥ m ≥ − m ≥ −C անհավասարությունները, որոնցից բխում է.

Ճիշտ է, որ x ≤ C.

Եվ հակառակը, եթե x ≤ C անհավասարությունը բավարարված է, ապա −C ≤ x ≤ C: Սա երեքն է

սպասվում է, եթե դնենք M = C և m = −C .◄

Մ թիվը, որը վերևից սահմանում է X բազմությունը, կոչվում է վերին

հավաքածուի սահմանը. Եթե ​​M-ը X բազմության վերին սահմանն է, ապա ցանկացած

M թիվը, որը մեծ է M-ից, նույնպես կլինի այս բազմության վերին սահմանը:

Այսպիսով, մենք կարող ենք խոսել հավաքածուի վերին սահմանների բազմության մասին

X. Վերին սահմանների բազմությունը նշանակենք M-ով. Այնուհետև՝ ∀x ∈ X և ∀M ∈ M

x ≤ M անհավասարությունը կբավարարվի, հետևաբար, ըստ աքսիոմի.

Գոյություն ունի M 0 այնպիսի թիվ, որ x ≤ M 0 ≤ M . Այս թիվը կոչվում է ճշգրիտ

X թվային բազմության վերին սահման կամ դրա վերին սահման չկա

բազմություն կամ X բազմության գերագույն գումարը և նշվում է M 0 = sup X-ով:

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ յուրաքանչյուր ոչ դատարկ թիվ,

վերևում սահմանափակվածը միշտ ունի ճշգրիտ վերին սահման:

Ակնհայտ է, որ M 0 = sup X հավասարությունը համարժեք է երկու պայմանի.

1) ∀x ∈ X գործում է x ≤ M 0 անհավասարությունը, այսինքն. M 0 - բազմակի վերին սահման

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X այնպես, որ xε > M 0 − ε անհավասարությունը պահպանվի, այսինքն. այս խաղը

Գինը չի կարող բարելավվել (նվազել):

Օրինակ 1. Դիտարկենք X = ⎨1 − ⎬ բազմությունը: Եկեք ապացուցենք, որ sup X = 1:

☺Իսկապես, առաջին հերթին անհավասարություն 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; երկրորդ, եթե վերցնենք կամայական դրական թիվ ε, ապա ըստ

Արքիմեդի սկզբունքով կարելի է գտնել nε այնպիսի բնական թիվ, որ nε > . Դա-

որտեղ 1 − > 1 − ε անհավասարությունը բավարարված է, այսինքն. գտնված տարր xnε բազմա-

X-ից, 1-ից մեծ, ինչը նշանակում է, որ 1-ը նվազագույն վերին սահմանն է

Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ եթե բազմությունը սահմանափակված է ներքևում, ապա

այն ունի ճշգրիտ ստորին սահման, որը կոչվում է նաև ստորին սահման

X բազմության նորը կամ infimum-ը և նշվում է X inf-ով:

M0 = inf X հավասարությունը համարժեք է պայմաններին.

1) ∀x ∈ X գործում է x ≥ m0 անհավասարությունը;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X այնպես, որ xε անհավասարությունը պահպանվի.< m0 + ε .

Եթե ​​X բազմությունն ունի ամենամեծ x0 տարրը, ապա մենք այն կանվանենք

X բազմության առավելագույն տարրը և նշանակում x0 = max X: Հետո

sup X = x0. Նմանապես, եթե հավաքածուում կա ամենափոքր տարրը, ապա

մենք այն կանվանենք նվազագույն, կնշանակենք min X և այն կլինի ին-

X բազմության գումարը.

Օրինակ՝ բնական թվերի բազմությունն ունի ամենափոքր տարրը՝

միավոր, որը նաև լրակազմի ինֆիմումն է։ Գերագույն -

Այս հավաքածուն չունի մամա, քանի որ այն սահմանափակված չէ վերևից:

Հստակ վերին և ստորին սահմանների սահմանումները կարելի է ընդլայնել մինչև

բազմություններ, որոնք անսահմանափակ են վերևում կամ ներքևում՝ ենթադրելով sup X = +∞ կամ, համապատասխանաբար,

Համապատասխանաբար, inf X = −∞ .

Եզրափակելով, մենք ձևակերպում ենք վերին և ստորին սահմանների մի քանի հատկություններ:

Հատկություն 1. X-ը որոշ թվերի բազմություն է: Նշենք ըստ

− X բազմություն (− x | x ∈ X ) . Այնուհետև sup (− X) = − inf X և inf (− X) = − sup X:

Հատկություն 2. X-ը որոշ թվային բազմություն λ իրական լինի

թիվ։ λ X-ով նշանակենք բազմությունը (λ x | x ∈ X ): Ապա եթե λ ≥ 0, ապա

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X և, եթե λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X.

Հատկություն 3. Թող X1 և X2 թվային բազմություններ լինեն: Նշենք ըստ

X1 + X 2-ը բազմությունն է ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) և X1 − X 2 միջով բազմությունը

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Հետո sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 և

inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2:

Հատկություն 4. Թող X1 և X2 թվային բազմություններ լինեն, որոնց բոլոր տարրերը

ryh-ը ոչ բացասական են: Հետո

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2:

Եկեք ապացուցենք, օրինակ, սեփականության 3-ի առաջին հավասարությունը:

Թող x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 և x = x1 + x2: Ապա x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 և

x ≤ sup X1 + sup X 2, որտեղից sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2:

Հակառակ անհավասարությունն ապացուցելու համար վերցրեք թիվը

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

որ x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, որը ավելի շատ համար y և

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Մնացած հատկությունների ապացույցները կատարվում են նույն կերպ և ապահովում են

բացահայտվում են ընթերցողին:

§ 6 Հաշվելի և անհաշվելի բազմություններ

Սահմանում 1.6.1. Դիտարկենք առաջին n բնական թվերի բազմությունը

n = (1,2,..., n) և որոշ Ա. Եթե ​​հնարավոր լինի հաստատել փոխադարձ

A-ի և n-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն, ապա կկանչվի A բազմությունը

եզրափակիչ.

Սահմանում 1.6.2. Թող տրվի մի քանի A հավաքածու: Եթե ​​ես կարող եմ

հաստատել մեկ առ մեկ համապատասխանություն A բազմության և

բնական թվերի բազմություն, ապա A բազմությունը կկոչվի հաշվել

Սահմանում 1.6.3. Եթե ​​A բազմությունը վերջավոր է կամ հաշվելի, ապա մենք կանենք

հավատացեք, որ այն ավելին չէ, քան հաշվելը:

Այսպիսով, բազմությունը հաշվելի կլինի, եթե դրա տարրերը հնարավոր լինի հաշվել

դնել հաջորդականությամբ.

Օրինակ 1. Զույգ թվերի բազմությունը հաշվելի է, քանի որ քարտեզագրումը n ↔ 2n

բնականի բազմության միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն է

թվեր և շատ զույգ թվեր:

Ակնհայտ է, որ նման համապատասխանություն կարող է հաստատվել ոչ միայն

զոմ. Օրինակ, դուք կարող եք համապատասխանություն հաստատել հավաքածուի և բազմակի միջև

gestion (ամբողջ թվերի)՝ այս կերպ համապատասխանություն հաստատելով

ՕՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ
Օմսկի պետական ​​մանկավարժական համալսարանի ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ ԹԱՌ-ում
BBK Հրատարակվել է խմբագրության որոշմամբ և հրատարակությամբ
Տարայի Օմսկի պետական ​​մանկավարժական համալսարանի մասնաճյուղի 22ya73 հատվածը
Ch67

Առաջարկությունները նախատեսված են մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար, ովքեր ուսումնասիրում են «Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն» առարկան: Այս կարգապահության շրջանակներում, համաձայն պետական ​​ստանդարտ 6-րդ կիսամյակում բաժինը « Թվային համակարգեր«Այս առաջարկությունները ներկայացնում են բնական թվերի համակարգերի աքսիոմատիկ կառուցման վերաբերյալ նյութեր (Պեանոյի աքսիոմային համակարգ), ամբողջ թվերի և ռացիոնալ թվերի համակարգեր: Այս աքսիոմատիկան թույլ է տալիս ավելի լավ հասկանալ, թե ինչ է թիվը, որը դպրոցի հիմնական հասկացություններից մեկն է: Մաթեմատիկայի դասընթաց նյութի ավելի լավ յուրացման համար տրված են համապատասխան թեմաներով առաջադրանքներ, հանձնարարականներ և լուծումներ:

Գրախոս՝ մանկավարժական գիտությունների դոկտոր, պրոֆ. Դալինգեր Վ.Ա.

(գ) Մոժան Ն.Ն.

Ստորագրված է հրապարակման - 22.10.98

Լրատվական թուղթ
Տպաքանակը՝ 100 օրինակ։
Գործառնական տպագրության մեթոդ
Օմսկի պետական ​​մանկավարժական համալսարան, 644099, Omsk, emb. Տուխաչևսկի, 14
մասնաճյուղ, 644500, Տարա, փ. Շկոլնայա, 69

1. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ.

Բնական թվերի համակարգի աքսիոմատիկ կառուցման ժամանակ մենք կենթադրենք, որ հայտնի են բազմություն, հարաբերություններ, ֆունկցիաներ և այլ բազմություն-տեսական հասկացություններ։

1.1 Peano աքսիոմային համակարգը և ամենապարզ հետևանքները:

Պեանոյի աքսիոմատիկ տեսության սկզբնական հասկացություններն են N բազմությունը (որը մենք կանվանենք բնական թվերի բազմություն), դրանից զրո հատուկ թիվը (0), և երկուական հարաբերությունը «հետևում է» N-ին, որը նշվում է S(a) (կամ. ա ()).
ԱՔՍԻՈՄՆԵՐ:
1. ((a(N) a"(0 (Կա բնական թիվ 0, որը չի հաջորդում ոչ մի թվի:)
2. a=b (a"=b" (Յուրաքանչյուրի համար բնական թիվ a կա հետևյալ բնական թիվը a», և միայն մեկը։)
3. a"=b" (a=b (Յուրաքանչյուր բնական թվի հետևում է առավելագույնը մեկ թվի:)
4. (ինդուկցիոն աքսիոմա) Եթե M(N և M բազմությունը բավարարում է երկու պայման.
Ա) 0 (M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, ապա M=N.
Ֆունկցիոնալ տերմինաբանության մեջ դա նշանակում է, որ S:N®N քարտեզագրումը ներարկային է: Աքսիոմ 1-ից հետևում է, որ S:N®N քարտեզագրումը սուբյեկտիվ չէ: Աքսիոմ 4-ը հիմք է դրույթներն ապացուցելու «մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով»:
Նկատենք բնական թվերի որոշ հատկություններ, որոնք ուղղակիորեն բխում են աքսիոմներից։
Հատկություն 1. Յուրաքանչյուր բնական թիվ a(0) հաջորդում է մեկ և միայն մեկ թվի:
Ապացույց. Թող M-ն նշանակի զրո պարունակող բնական թվերի բազմությունը և բոլոր այն բնական թվերը, որոնցից յուրաքանչյուրին հաջորդում է ինչ-որ թվի։ Բավական է ցույց տալ, որ M=N, եզակիությունը բխում է աքսիոմ 3-ից: Եկեք կիրառենք ինդուկցիոն աքսիոմա 4.
Ա) 0(M - M բազմության կառուցմամբ;
Բ) եթե a(M, ապա a"(M, քանի որ a"-ն հաջորդում է a-ին:
Սա նշանակում է, ըստ աքսիոմի 4, M=N:
Հատկություն 2. Եթե a(b, ապա a"(b):
Հատկությունն ապացուցվում է հակասությամբ՝ օգտագործելով աքսիոմ 3։ Հետևյալ հատկությունը 3-ն ապացուցվում է նույն կերպ՝ օգտագործելով աքսիոմա 2-ը։
Հատկություն 3. Եթե a"(b), ապա a(b.
Հատկություն 4. ((a(N)a(a). (Իրեն չի հաջորդում ոչ մի բնական թիվ):
Ապացույց. Թող M=(x (x(N, x(x")).Բավական է ցույց տալ, որ M=N. Քանի որ ըստ աքսիոմի 1-ի ((x(N)x"(0, ապա մասնավորապես 0"(0) , և այսպիսով, 4 0(M - աքսիոմի A) պայմանը բավարարված է։ Եթե x(M, այսինքն՝ x(x), ապա 2 x"((x") հատկությամբ, ինչը նշանակում է, որ պայմանը B) x. (M ® x» (M. Բայց հետո, ըստ աքսիոմի 4-ի, M=N.
Թող ( լինի բնական թվերի որոշ հատկություն։ Այն, որ a թիվը ունի (, կգրենք ((a) հատկությունը։
Առաջադրանք 1.1.1. Ապացուցեք, որ բնական թվերի բազմության սահմանման 4-րդ աքսիոմը համարժեք է հետևյալ դրույթին՝ ցանկացած հատկության համար (, եթե ((0) և, ապա.
Առաջադրանք 1.1.2. A=(a,b,c) երեք տարրերից բաղկացած բազմության վրա միատարր գործողությունը ( սահմանվում է հետևյալ կերպ. a(=c, b(=c, c(=a: Պեանոյի աքսիոմներից որո՞նք են ճշմարիտ բազմության վրա: Ա վիրահատության հետ (?
Առաջադրանք 1.1.3. Թող A=(a) լինի միատոնային բազմություն, a(=a: Peano-ի աքսիոմներից որո՞նք են ճիշտ A բազմության վրա (?
Առաջադրանք 1.1.4. N բազմության վրա մենք սահմանում ենք միատարր գործողություն՝ ենթադրելով ցանկացածի համար: Պարզեք, թե արդյոք գործողության առումով ձևակերպված Պեանոյի աքսիոմների պնդումները ճշմարիտ կլինեն Ն.
Խնդիր 1.1.5. Թող լինի: Ապացուցեք, որ A-ն փակված է գործողության ներքո (. Ստուգեք A բազմության վրա Peano աքսիոմների ճշմարտացիությունը գործողությամբ (.
Խնդիր 1.1.6. Թող լինի,. Եկեք սահմանենք միատարր գործողություն A-ի վրա, պարամետր: Պեանոյի աքսիոմներից որո՞նք են ճիշտ գործողության A բազմության վրա:

1.2. Peano աքսիոմային համակարգի հետևողականությունն ու կատեգորիկությունը:

Աքսիոմների համակարգը կոչվում է համահունչ, եթե նրա աքսիոմներից անհնար է ապացուցել T թեորեմը և դրա ժխտումը (T. Հասկանալի է, որ աքսիոմների հակասական համակարգերը մաթեմատիկայում իմաստ չունեն, քանի որ նման տեսության մեջ կարելի է ապացուցել որևէ բան և նման բան. տեսությունը չի արտացոլում իրական աշխարհի օրենքները: Հետևաբար, աքսիոմային համակարգի հետևողականությունը բացարձակապես անհրաժեշտ պահանջ է:
Եթե ​​T թեորեմը և նրա ժխտումները (T) չեն գտնվել աքսիոմատիկ տեսության մեջ, դա չի նշանակում, որ աքսիոմային համակարգը կարող է ի հայտ գալ ապագայում Համապատասխանությունն ապացուցելու ամենատարածված ձևը մեկնաբանման մեթոդն է, որը հիմնված է այն փաստի վրա, որ եթե ակնհայտորեն համահունչ տեսության մեջ կա աքսիոմային համակարգի մեկնաբանություն, ապա ինքնին աքսիոմային համակարգը հետևողական է: ապա T և (T) թեորեմները դրանում ապացուցելի կլինեն, բայց այդ թեորեմները վավերական կլինեն և դրա մեկնաբանության մեջ, և դա հակասում է S տեսության հետևողականությանը: Մեկնաբանության մեթոդը թույլ է տալիս ապացուցել տեսության միայն հարաբերական հետևողականությունը: .
Պեանոյի աքսիոմային համակարգի համար կարելի է շատ տարբեր մեկնաբանություններ կառուցել: Մեկնաբանություններով հատկապես հարուստ է բազմությունների տեսությունը։ Եկեք նշենք այս մեկնաբանություններից մեկը. Բազմությունները (, ((), ((()), (((())),... կհամարենք բնական թվեր, զրոն կհամարենք հատուկ թիվ (. Հետևում է հարաբերությունը. M բազմությանը հաջորդում է բազմությունը (M), որի միակ տարրը հենց ինքը M-ն է: Այսպիսով, ("=((), (()"=(()) և այլն 1-4 աքսիոմները կարելի է հեշտությամբ ստուգել, ​​սակայն, նման մեկնաբանության արդյունավետությունը փոքր է. այն ցույց է տալիս, որ Պյանոյի աքսիոմային համակարգը համահունչ է, եթե բազմությունների տեսությունը համահունչ է: Առաջադրանք Պեանոյի աքսիոմային համակարգի առավել համոզիչ մեկնաբանությունը ինտուիտիվ թվաբանությունն է, որի հետևողականությունը հաստատվում է նրա զարգացման դարերի ընթացքում:
Աքսիոմների հետևողական համակարգը կոչվում է անկախ, եթե այս համակարգի յուրաքանչյուր աքսիոմ չի կարող ապացուցվել որպես թեորեմ՝ այլ աքսիոմների հիման վրա։ Ապացուցել, որ աքսիոմը (կախված չէ համակարգի այլ աքսիոմներից
(1, (2, ..., (n, ((1)
բավական է ապացուցել, որ աքսիոմների համակարգը համահունչ է
(1, (2, ..., (n, ((2)
Իսկապես, եթե (ապացուցվեր (1) համակարգի մնացած աքսիոմների հիման վրա, ապա (2) համակարգը հակասական կլիներ, քանի որ դրանում թեորեմը (և աքսիոմը ((.
Այսպիսով, աքսիոմի անկախությունը (1 համակարգի մյուս աքսիոմներից) ապացուցելու համար բավական է կառուցել աքսիոմների համակարգի մեկնաբանություն (2):
Աքսիոմային համակարգի անկախությունը կամընտիր պահանջ է: Երբեմն «դժվար» թեորեմների ապացուցումից խուսափելու համար կառուցվում է աքսիոմների միտումնավոր ավելորդ (կախված) համակարգ։ Այնուամենայնիվ, «լրացուցիչ» աքսիոմները դժվարացնում են աքսիոմների դերի ուսումնասիրությունը տեսության մեջ, ինչպես նաև տեսության տարբեր բաժինների միջև ներքին տրամաբանական կապերի ուսումնասիրությունը: Բացի այդ, աքսիոմների կախյալ համակարգերի համար մեկնաբանություններ կառուցելը շատ ավելի դժվար է, քան անկախների համար. չէ՞ որ մենք պետք է ստուգենք «լրացուցիչ» աքսիոմների վավերականությունը։ Այս պատճառներով աքսիոմների միջև կախվածության հարցին հնագույն ժամանակներից տրվել է առաջնահերթ նշանակություն։ Ժամանակին փորձեր ապացուցել, որ 5-րդ պոստուլատը Էվկլիդեսի աքսիոմներում «Ա կետով ամենաշատը մեկ ուղիղ է անցնում ուղիղին զուգահեռ (» թեորեմ է (այսինքն կախված է մնացած աքսիոմներից) և հանգեցրեց Լոբաչևսկու բացահայտմանը։ երկրաչափություն.
Հետևողական համակարգը կոչվում է դեդուկտիվորեն ամբողջական, եթե տվյալ տեսության Ա-ի որևէ դրույթ կարող է կամ ապացուցվել կամ հերքվել, այսինքն՝ կա՛մ Ա-ն, կա՛մ (A-ն այս տեսության թեորեմն է։ Եթե կա մի դրույթ, որը չի կարող ոչ ապացուցվել, ոչ էլ հերքվել, Այնուհետև աքսիոմների համակարգը կոչվում է դեդուկտիվ ամբողջականությունը պարտադիր պահանջ չէ, օրինակ, աքսիոմների համակարգը, օղակների տեսությունը և դաշտերի տեսությունը թերի են. դաշտերում, անհնար է ապացուցել կամ հերքել առաջարկը այս տեսություններում. «Խումբը (օղակը, դաշտը) պարունակում է վերջավոր թվով տարրեր։
Հարկ է նշել, որ շատ աքսիոմատիկ տեսություններում (մասնավորապես՝ չֆորմալիզացված) դրույթների ամբողջությունը չի կարելի համարել ճշգրիտ սահմանված և, հետևաբար, անհնար է ապացուցել նման տեսության աքսիոմային համակարգի դեդուկտիվ ամբողջականությունը։ Մեկ այլ ամբողջականության զգացում կոչվում է կատեգորիկություն: Աքսիոմների համակարգը կոչվում է կատեգորիկ, եթե նրա մեկնաբանություններից որևէ երկուսը իզոմորֆ են, այսինքն՝ կա այդպիսի մեկ առ մեկ համապատասխանություն մեկի և մյուս մեկնաբանության սկզբնական օբյեկտների բազմությունների միջև, որը պահպանվում է բոլոր սկզբնական հարաբերությունների ներքո: Կատեգորիկությունը նույնպես կամընտիր պայման է։ Օրինակ՝ խմբերի տեսության աքսիոմային համակարգը կատեգորիկ չէ։ Սա բխում է այն փաստից, որ վերջավոր խումբը չի կարող իզոմորֆ լինել անվերջ խմբի նկատմամբ։ Այնուամենայնիվ, ցանկացած թվային համակարգի տեսության աքսիոմատիզացման ժամանակ կատեգորիկությունը պարտադիր է. Օրինակ, բնական թվերը սահմանող աքսիոմների համակարգի կատեգորիկ բնույթը նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը գոյություն ունի միայն մեկ բնական շարք։
Եկեք ապացուցենք Peano աքսիոմային համակարգի կատեգորիկ բնույթը: Եկեք (N1, s1, 01) և (N2, s2, 02) լինեն Peano աքսիոմային համակարգի ցանկացած երկու մեկնաբանություն: Պահանջվում է նշել f:N1®N2 երկակի (մեկ առ մեկ) քարտեզագրում, որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.
ա) f(s1(x)=s2(f(x)) N1-ից ցանկացած x-ի համար;
բ) f(01)=02
Եթե ​​երկու s1 և s2 գործողությունները նշանակվում են նույն պարզով, ապա ա) պայմանը կվերագրվի որպես.
ա) f(x()=f(x)(.
Սահմանենք f երկուական հարաբերություն N1(N2) բազմության վրա հետևյալ պայմաններով.
1) 01f02;
2) եթե xfy, ապա x(fy(.
Եկեք համոզվենք, որ այս հարաբերությունը քարտեզագրում է N1-ից N2, այսինքն՝ N1-ից յուրաքանչյուր x-ի համար:
((y(N2) xfy (1)
Թող M1-ը նշանակի N1-ից x բոլոր տարրերի բազմությունը, որոնց համար (1) պայմանը բավարարված է: Հետո
Ա) 01 (M1 1-ի պատճառով);
Բ) x(M1 ® x((M1 2-ի ուժով) և 1-ին պարբերության 1 հատկությունները:
Այստեղից, ըստ աքսիոմ 4-ի, եզրակացնում ենք, որ M1=N1, և դա նշանակում է, որ f հարաբերությունը N1-ի N2-ի քարտեզագրումն է: Ընդ որում, 1)-ից հետևում է, որ f(01)=02. 2-րդ պայմանը գրված է հետևյալ ձևով՝ եթե f(x)=y, ապա f(x()=y(. Հետևում է, որ f(x()=f(x)(): Այսպիսով, f պայմանը ցուցադրելու համար a. ) և բ) բավարարված են, մնում է ապացուցել, որ f-ի քարտեզագրումը երկակի է:
M2-ով նշանակենք N2-ի այդ տարրերի բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը N1-ից մեկ և միայն մեկ տարրի պատկերն է f-ի քարտեզագրման տակ։
Քանի որ f(01)=02, ուրեմն 02-ը պատկեր է: Ավելին, եթե x(N2 և x(01), ապա 1-ին կետի 1-ին հատկությամբ x հաջորդում է N1-ից c տարրին, ապա f(x)=f(c()=f(c)((02: Սա նշանակում է, որ 02-ը. միակ տարրի պատկերը՝ 01, այսինքն՝ 02 (M2.
Թող y(M2 և y=f(x), որտեղ x-ը y տարրի միակ հակադարձ պատկերն է: Այնուհետև ա պայմանով y(=f(x)(=f(x()), այսինքն. y(x տարրի պատկերն է (. Թող c-ն լինի y(, այսինքն՝ f(c)=y((: տարր, որը մենք նշում ենք d-ով Այնուհետև y(=f(c)=f(d()=f(d)(), որտեղից 3-ով y=f(d):Բայց քանի որ y(M2, ապա d=. x, որտեղից c=d(=x(. Մենք ապացուցել ենք, որ եթե y-ը եզակի տարրի պատկեր է, ապա y(եզակի տարրի պատկերն է, այսինքն՝ y(M2 ® y((M2. Երկուսն էլ 4-րդ աքսիոմի պայմանները բավարարված են և, հետևաբար, M2=N2, որն ավարտում է կատեգորիկության ապացույցը։
Ամբողջ նախահունական մաթեմատիկան էմպիրիկ բնույթ է կրել: Տեսության առանձին տարրեր խեղդվեցին գործնական խնդիրների լուծման էմպիրիկ մեթոդների զանգվածում։ Հույները այս էմպիրիկ նյութը ենթարկեցին տրամաբանական մշակման և փորձեցին կապեր գտնել տարբեր էմպիրիկ տեղեկատվության միջև։ Այս առումով Պյութագորասը և նրա դպրոցը (մ.թ.ա. 5-րդ դար) մեծ դեր են խաղացել երկրաչափության մեջ։ Աքսիոմատիկ մեթոդի գաղափարները հստակորեն հնչել են Արիստոտելի աշխատություններում (մ.թ.ա. 4-րդ դար)։ Սակայն այս գաղափարների գործնական իրականացումն իրականացրեց Էվկլիդեսը իր «Էլեմենտներ» գրքում (Ք.ա. III դար):
Ներկայումս կարելի է առանձնացնել աքսիոմատիկ տեսությունների երեք ձև.
1). Իմաստալից աքսիոմատիկա, որը միակն էր մինչև անցյալ դարի կեսերը։
2). Անցյալ դարի վերջին քառորդում առաջացած կիսաֆորմալ աքսիոմատիկա։
3). Ֆորմալ (կամ ֆորմալացված) աքսիոմատիկա, որի ծննդյան տարեթիվը կարելի է համարել 1904 թվականը, երբ Դ.Հիլբերտը հրապարակեց իր հայտնի ծրագիրը ֆորմալացված մաթեմատիկայի հիմնական սկզբունքների վերաբերյալ։
Յուրաքանչյուր նոր ձև չի ժխտում նախորդը, այլ նրա զարգացումն ու հստակեցումն է, որպեսզի յուրաքանչյուր նոր ձևի խստության աստիճանը ավելի բարձր լինի, քան նախորդը։
Իմաստալից աքսիոմատիկան բնութագրվում է նրանով, որ սկզբնական հասկացությունները ունեն ինտուիտիվ հստակ իմաստ նույնիսկ աքսիոմների ձևակերպումից առաջ: Այսպիսով, Էվկլիդեսի տարրերում կետը նշանակում է հենց այն, ինչ մենք ինտուիտիվ հասկանում ենք այս հայեցակարգով: Այս դեպքում օգտագործվում է սովորական լեզուն և սովորական ինտուիտիվ տրամաբանությունը՝ Արիստոտելից:
Կիսաֆորմալ աքսիոմատիկ տեսությունները նույնպես օգտագործում են սովորական լեզու և ինտուիտիվ տրամաբանություն: Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն բովանդակալից աքսիոմատիկայի, բնօրինակ հասկացություններին տրված չէ որևէ ինտուիտիվ նշանակություն, դրանք բնութագրվում են միայն աքսիոմներով. Սա մեծացնում է խստությունը, քանի որ ինտուիցիան որոշ չափով խանգարում է խստությանը: Բացի այդ, ընդհանրությունը ձեռք է բերվում, քանի որ նման տեսության մեջ ապացուցված յուրաքանչյուր թեորեմ վավերական կլինի ցանկացած մեկնաբանության մեջ: Կիսաֆորմալ աքսիոմատիկ տեսության օրինակ է Հիլբերտի տեսությունը, որը դրված է նրա «Երկրաչափության հիմքերը» (1899) գրքում։ Կիսաֆորմալ տեսությունների օրինակներ են նաև օղակների տեսությունը և հանրահաշվի դասընթացում ներկայացված մի շարք այլ տեսություններ։
Ֆորմալացված տեսության օրինակ է դրույթային հաշվարկը, որն ուսումնասիրվել է մաթեմատիկական տրամաբանության դասընթացում: Ի տարբերություն բովանդակային և կիսաֆորմալ աքսիոմիկայի, ֆորմալացված տեսությունը օգտագործում է հատուկ խորհրդանշական լեզու։ Մասնավորապես, տրված է տեսության այբուբենը, այսինքն՝ սիմվոլների որոշակի հավաքածու, որոնք նույն դերն են խաղում, ինչ տառերը սովորական լեզվում։ Նիշերի ցանկացած վերջավոր հաջորդականություն կոչվում է արտահայտություն կամ բառ: Արտահայտությունների մեջ առանձնացվում է բանաձևերի դաս, և նշվում է ճշգրիտ չափանիշ, որը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր արտահայտություն պարզել, թե արդյոք դա բանաձև է։ Բանաձևերը խաղում են նույն դերը, ինչ նախադասությունները սովորական լեզվով: Որոշ բանաձևեր հայտարարված են աքսիոմներ: Բացի այդ, հստակեցված են տրամաբանական եզրակացության կանոնները. Յուրաքանչյուր նման կանոն նշանակում է, որ որոշակի բանաձև ուղղակիորեն բխում է բանաձևերի որոշակի հավաքածուից: Թեորեմի ապացույցն ինքնին բանաձևերի վերջավոր շղթա է, որտեղ վերջին բանաձևը հենց թեորեմն է, և յուրաքանչյուր բանաձև կամ աքսիոմ է, կամ նախկինում ապացուցված թեորեմ, կամ ուղղակիորեն բխում է շղթայի նախորդ բանաձևերից՝ համաձայն որևէ մեկի: եզրակացության կանոնները. Այսպիսով, ապացույցների խստության մասին բացարձակապես կասկած չկա. կա՛մ տվյալ շղթան ապացույց է, կա՛մ կասկածելի ապացույց չկա: Այս առումով, ֆորմալացված աքսիոմատիկան օգտագործվում է մաթեմատիկական տեսությունների հիմնավորման հատկապես նուրբ հարցերում, երբ սովորական ինտուիտիվ տրամաբանությունը կարող է հանգեցնել սխալ եզրակացությունների, որոնք հիմնականում առաջանում են մեր սովորական լեզվի անճշտությունների և երկիմաստությունների պատճառով:
Քանի որ ֆորմալացված տեսության մեջ յուրաքանչյուր արտահայտության մասին կարելի է ասել, թե արդյոք դա բանաձև է, ապա ֆորմալացված տեսության նախադասությունների ամբողջությունը կարելի է համարել որոշակի։ Այս առումով, սկզբունքորեն, կարելի է բարձրացնել դեդուկտիվ ամբողջականության, ինչպես նաև հետևողականության ապացուցման հարցը՝ առանց մեկնաբանության դիմելու։ Մի շարքում պարզ դեպքերսա կարելի է իրականացնել: Օրինակ, առաջարկային հաշվարկի հետևողականությունն ապացուցված է առանց մեկնաբանության:
Չֆորմալացված տեսություններում շատ դրույթներ հստակ սահմանված չեն, ուստի անիմաստ է բարձրացնել հետևողականությունն ապացուցելու հարցը՝ առանց մեկնաբանությունների դիմելու: Նույնը վերաբերում է դեդուկտիվ ամբողջականության ապացուցման հարցին։ Այնուամենայնիվ, եթե հանդիպում է ոչ պաշտոնական տեսության առաջարկ, որը չի կարող ոչ ապացուցվել, ոչ էլ հերքվել, ապա տեսությունն ակնհայտորեն դեդուկտիվորեն թերի է:
Աքսիոմատիկ մեթոդը վաղուց օգտագործվել է ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի մեջ։ Այս ուղղությամբ առաջին փորձերը արվել են Արիստոտելի կողմից, բայց աքսիոմատիկ մեթոդը ֆիզիկայում իր իրական կիրառումը ստացավ միայն Նյուտոնի մեխանիկայի աշխատություններում:
Գիտությունների մաթեմատիկացման սրընթաց գործընթացի հետ կապված կա նաև աքսիոմատիզացիայի գործընթաց։ Ներկայումս աքսիոմատիկ մեթոդը նույնիսկ կիրառվում է կենսաբանության որոշ ոլորտներում, օրինակ՝ գենետիկայի մեջ։
Այնուամենայնիվ, աքսիոմատիկ մեթոդի հնարավորություններն անսահման չեն։
Նախ, մենք նշում ենք, որ նույնիսկ ֆորմալացված տեսություններում հնարավոր չէ լիովին խուսափել ինտուիցիայից: Ֆորմալացված տեսությունն ինքնին առանց մեկնաբանությունների իմաստ չունի։ Հետևաբար, մի շարք հարցեր են առաջանում ֆորմալացված տեսության և դրա մեկնաբանության միջև փոխհարաբերությունների վերաբերյալ: Բացի այդ, ինչպես ֆորմալացված տեսություններում, հարցեր են բարձրացվում աքսիոմային համակարգի հետևողականության, անկախության և ամբողջականության վերաբերյալ: Բոլոր նման հարցերի ամբողջությունը կազմում է մեկ այլ տեսության բովանդակություն, որը կոչվում է ֆորմալացված տեսության մետատեսություն։ Ի տարբերություն ֆորմալացված տեսության, մետատեսության լեզուն սովորական առօրյա լեզու է, իսկ տրամաբանական դատողությունն իրականացվում է սովորական ինտուիտիվ տրամաբանության կանոններով։ Այսպիսով, ինտուիցիան, ամբողջովին դուրս մղված ֆորմալացված տեսությունից, կրկին հայտնվում է իր մետատեսության մեջ։
Բայց սա աքսիոմատիկ մեթոդի հիմնական թույլ կողմը չէ։ Մենք արդեն նշեցինք Դ.Հիլբերտի ծրագիրը, որը հիմք դրեց պաշտոնականացված աքսիոմատիկ մեթոդին։ Հիլբերտի հիմնական գաղափարն էր արտահայտել դասական մաթեմատիկան որպես ֆորմալացված աքսիոմատիկ տեսություն, ապա ապացուցել դրա հետևողականությունը։ Սակայն այս ծրագիրն իր հիմնական կետերով ուտոպիստական ​​ստացվեց։ 1931 թվականին ավստրիացի մաթեմատիկոս Կ. Օգտագործելով իր կոդավորման մեթոդը, նա կարողացավ արտահայտել որոշ ճշմարիտ ենթադրություններ մետատեսությունից՝ օգտագործելով ֆորմալացված թվաբանության բանաձևերը և ապացուցել, որ այդ բանաձևերը ելքելի չեն ֆորմալացված թվաբանության մեջ: Այսպիսով, ֆորմալացված թվաբանությունը պարզվեց, որ դեդուկտիվորեն թերի է: Գոդելի արդյունքներից հետևեց, որ եթե այս անապացուցելի բանաձևը ներառվի աքսիոմների թվի մեջ, ապա կգտնվի մեկ այլ անապացուցելի բանաձև, որն արտահայտում է որոշ ճշմարիտ դրույթ։ Այս ամենը նշանակում էր, որ ոչ միայն ամբողջ մաթեմատիկան, այլ նույնիսկ թվաբանությունը՝ դրա ամենապարզ մասը, չէր կարող ամբողջությամբ ձևակերպվել։ Մասնավորապես, Գոդելը կառուցեց «Ֆորմալացված թվաբանությունը հետևողական է» նախադասությանը համապատասխան բանաձև և ցույց տվեց, որ այս բանաձևը նույնպես ածանցելի չէ։ Այս փաստը նշանակում է, որ ֆորմալացված թվաբանության հետևողականությունը չի կարող ապացուցվել հենց թվաբանության մեջ։ Իհարկե, կարելի է կառուցել ավելի ուժեղ ֆորմալիզացված տեսություն և օգտագործել դրա միջոցները՝ ֆորմալացված թվաբանության հետևողականությունն ապացուցելու համար, բայց հետո ավելի բարդ հարց է առաջանում այս նոր տեսության հետևողականության վերաբերյալ։
Գոդելի արդյունքները ցույց են տալիս աքսիոմատիկ մեթոդի սահմանափակումները։ Եվ այնուամենայնիվ, գիտելիքի տեսության մեջ բացարձակապես ոչ մի հիմք չկա հոռետեսական եզրակացությունների համար, որ կան անհայտ ճշմարտություններ: Այն, որ կան թվաբանական ճշմարտություններ, որոնք չեն կարող ապացուցվել ֆորմալ թվաբանության մեջ, չի նշանակում, որ կան անհայտ ճշմարտություններ և չի նշանակում, որ մարդկային մտածողությունը սահմանափակ է: Դա միայն նշանակում է, որ մեր մտածողության հնարավորությունները չեն սահմանափակվում ամբողջովին ֆորմալացված ընթացակարգերով, և որ մարդկությունը դեռ պետք է բացահայտի ու հորինի ապացուցման նոր սկզբունքներ:

1.3.Բնական թվերի գումարում

Բնական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները չեն ենթադրվում Peano աքսիոմային համակարգով, մենք կսահմանենք այդ գործողությունները:
Սահմանում. Բնական թվերի գումարումը երկուական հանրահաշվական գործողություն է + N բազմության վրա, որն ունի հետևյալ հատկությունները.
1 վ. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Հարց է առաջանում՝ կա՞ նման վիրահատություն, եւ եթե այո, ապա դա միակն է։
Թեորեմ. Բնական թվերի միայն մեկ գումարում կա.
Ապացույց. N բազմության վրա երկուական հանրահաշվական գործողությունը քարտեզագրումն է (:N(N®N: Պահանջվում է ապացուցել, որ գոյություն ունի եզակի քարտեզագրում (:N(N®N) հատկություններով՝ 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Եթե յուրաքանչյուր x բնական թվի համար ապացուցենք քարտեզագրման առկայությունը fx:N®N հատկություններով 1() fx(0 )=x 2() fx(y()=fx(y)(), այնուհետև ֆունկցիան ((x,y), որը սահմանված է ((x); ,y) (fx(y), կբավարարի 1) և 2 պայմանները):
N բազմության վրա մենք սահմանում ենք fx երկուական հարաբերությունը հետևյալ պայմաններով.
ա) 0fxx;
բ) եթե yfxz, ապա y(fxz(.
Եկեք համոզվենք, որ այս հարաբերությունը քարտեզագրում է N-ից N, այսինքն, յուրաքանչյուր y-ի համար N-ից
(((z(N) yfxz (1)
Թող M-ն նշանակի y բնական թվերի բազմությունը, որի համար (1) պայմանը բավարարված է: Այնուհետև ա) պայմանից հետևում է, որ 0(M, իսկ b) պայմանից և 1-ին կետի 1 հատկությունից հետևում է, որ եթե y(M, ապա y((M. Հետևաբար, 4-րդ աքսիոմի հիման վրա մենք եզրակացնում ենք, որ M = N. , և սա նշանակում է, որ fx հարաբերությունը քարտեզագրում է N-ից դեպի N: Այս քարտեզագրման համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1() fx(0)=x - պայմանավորված ա);
2() fx((y)=fx(y() - բ-ի ուժով:
Այսպիսով, հավելման առկայությունը ապացուցված է։
Եկեք ապացուցենք եզակիությունը. Թող + և (ը լինեն երկուական երկուական հանրահաշվական գործողություններ N բազմության վրա՝ 1c և 2c հատկություններով: Մենք պետք է ապացուցենք, որ
((x,y(N) x+y=x(y
Ամրագրենք կամայական x թիվը և S-ով նշանակենք այն բնական թվերի y բազմությունը, որոնց հավասարությունը
x+y=x(y (2)
կատարվեց։ Քանի որ ըստ 1c x+0=x և x(0=x), ապա
Ա) 0 (Ս
Եկեք հիմա y(S, այսինքն՝ (2) հավասարությունը բավարարված է։ Քանի որ x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(և x+y=x(y), ապա աքսիոմով 2 x+y(=x(y(, այսինքն՝ պայմանը բավարարված է
B) y (S ® y ((S.
Այսպիսով, ըստ 4-րդ աքսիոմի՝ S=N, որն ավարտում է թեորեմի ապացույցը։
Եկեք ապացուցենք ավելացման որոշ հատկություններ.
1. 0 թիվը գումարման չեզոք տարր է, այսինքն՝ a+0=0+a=a յուրաքանչյուր բնական թվի համար:
Ապացույց. a+0=a հավասարությունը բխում է 1c պայմանից: Ապացուցենք 0+a=a հավասարությունը։
Թող M-ն նշանակի բոլոր թվերի բազմությունը, որոնց համար այն համապատասխանում է: Ակնհայտ է, որ 0+0=0 և հետևաբար 0(M. Թող a(M, այսինքն՝ 0+a=a. Այնուհետև 0+a(=(0+a)(=a(և, հետևաբար, a((M) Սա նշանակում է M=N, ինչը պետք է ապացուցվեր:
Հաջորդը մեզ պետք է լեմմա:
Լեմմա. a(+b=(a+b)(.
Ապացույց. Թող M լինի բոլոր բնական թվերի b բազմությունը, որոնց համար a(+b=(a+b) հավասարությունը ճիշտ է a-ի ցանկացած արժեքի համար: Ապա.
A) 0(M, քանի որ a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Իրոք, այն փաստից, որ b(M և 2c մենք ունենք
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
այսինքն՝ b((M. Սա նշանակում է M=N, ինչը պետք է ապացուցվեր։
2. Բնական թվերի գումարումը կոմուտատիվ է:
Ապացույց. Թող M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a) Բավական է ապացուցել, որ M=N. Ունենք.
Ա) 0(Մ - 1 սեփականության պատճառով:
B) a(M ® a((M. Իրոք, կիրառելով լեմման և այն փաստը, որ a(M, մենք ստանում ենք.
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Սա նշանակում է a((M, իսկ 4 աքսիոմով M=N:
3. Ավելացումը ասոցիատիվ է:
Ապացույց. Թող
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
Պահանջվում է ապացուցել, որ M=N. Քանի որ (a+b)+0=a+b և a+(b+0)=a+b, ապա 0(M: Թող c(M, այսինքն (a+b)+c=a+(b+c) Հետո
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c():
Սա նշանակում է c((M և 4 աքսիոմով M=N:
4. a+1=a(, որտեղ 1=0(.
Ապացույց. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Եթե b(0, ապա ((a(N)a+b(a.
Ապացույց. Թող M=(a(a(N(a+b(a). Քանի որ 0+b=b(0, ապա 0(M. Հետագայում, եթե a(M, այսինքն՝ a+b(a), ապա ըստ հատկություն 2 կետ 1 (a+b)((a(կամ a(+b(a(. Այսպիսով a((M և M=N.
6. Եթե b(0, ապա ((a(N)a+b(0.
Ապացույց. Եթե ​​a=0, ապա 0+b=b(0, բայց եթե a(0 և a=c(, ապա a+b=c(+b=(c+b)(0: Այսպիսով, ամեն դեպքում a + բ(0.
7. (Ավելացման տրիխոտոմիայի օրենքը). Ցանկացած բնական թվերի համար a և b, երեք հարաբերություններից միայն մեկը ճիշտ է.
1) a=b;
2) b=a+u, որտեղ u(0;
3) a=b+v, որտեղ v(0.
Ապացույց. Ամրագրենք կամայական a թիվը և M-ով նշանակենք բոլոր բնական թվերի b բազմությունը, որոնց համար գործում է 1), 2), 3) հարաբերություններից առնվազն մեկը։ Պահանջվում է ապացուցել, որ M=N. Թող b=0: Ապա եթե a=0, ապա 1 հարաբերակցությունը ճշմարիտ է), իսկ եթե a(0, ապա 3-ը ճիշտ է), քանի որ a=0+a: Այսպիսով, 0 (Մ.
Այժմ ենթադրենք, որ b(M, այսինքն՝ ընտրված a-ի համար 1), 2), 3 հարաբերություններից մեկը բավարարված է։ Եթե ​​a=b, ապա b(=a(=a+1, այսինքն՝ b-ի համար (2 առնչությունը գործում է): Եթե b=a+u, ապա b(=a+u(, այսինքն՝ b(-ի համար: Եթե ​​a=b+v հարաբերակցությունը, ապա հնարավոր է երկու դեպք՝ v=1 և v(1. Եթե v=1, ապա a=b+v=b», այսինքն՝ b» հարաբերությունները 1 են): բավարարված է նույն v(1, ապա v=c", որտեղ c(0 և ապա a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, որտեղ c(0, այսինքն. b" 3 հարաբերակցությունը բավարարված է): Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ b(M®b"(M, և հետևաբար M=N, այսինքն, a-ի և b-ի ցանկացած հարաբերությունների համար 1), 2), 3-ը հավասար է. Համոզված լինենք, որ դրանցից ոչ մեկը չի կարող կատարվել միաժամանակ. 1)-ի և 3-ի բավարարելիության անհնարինությունը, ի վերջո, եթե բավարարված լինեին 2) և 3) հարաբերությունները, ապա կունենայինք a=(a+u)+v = a+ +(u+v): ), և դա անհնար է 5 և 6 հատկությունների պատճառով: 7-րդ հատկությունը լիովին ապացուցված է:
Առաջադրանք 1.3.1. Թող 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9): Ապացուցեք, որ 3+5=8, 2+4=6.

1.4. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԶՄԱՑՈՒՄ.

Սահմանում 1. Բնական թվերի բազմապատկումն այնպիսի երկուական գործողություն է (N բազմության վրա, որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1ու. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Կրկին հարց է առաջանում՝ կա՞ նման օպերացիա, և եթե այն կա, միակն է։
Թեորեմ. Բնական թվերի բազմապատկման միայն մեկ գործողություն կա.
Ապացուցումն իրականացվում է գրեթե նույնը, ինչ հավելման համար։ Պահանջվում է գտնել քարտեզագրում (:N(N®N), որը բավարարում է պայմաններին
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Եկեք կամայականորեն ֆիքսենք x թիվը։ Եթե ​​յուրաքանչյուր x(N-ի համար ապացուցենք քարտեզագրման fx: N®N հատկությունների առկայությունը
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
ապա ֆունկցիան ((x,y) սահմանվում է ((x,y)=fx(y) հավասարությամբ և կբավարարի 1) և 2-րդ պայմանները):
Այսպիսով, թեորեմի ապացույցը կրճատվում է մինչև ապացուցելու fx(y) ֆունկցիայի յուրաքանչյուր x-ի գոյությունը և եզակիությունը 1") և 2" հատկություններով): N բազմության վրա համապատասխանություն սահմանենք հետևյալ կանոնի համաձայն.
ա) զրո թիվը համեմատելի է 0 թվի հետ,
բ) եթե y թիվը կապված է c թվի հետ, ապա y թիվը (կապակցեք c+x թիվը։
Եկեք համոզվենք, որ նման համեմատության դեպքում յուրաքանչյուր y թիվ ունի եզակի պատկեր. սա կնշանակի, որ համապատասխանությունը N-ի N-ի գծագրումն է: Եկեք M-ով նշանակենք y բոլոր բնական թվերի բազմությունը, որոնք ունեն եզակի պատկեր: ա) պայմանից և 1-ին աքսիոմից հետևում է, որ 0(M. Թող y(M. Այնուհետև բ պայմանից) և աքսիոմա 2-ից հետևում է, որ y((M. Սա նշանակում է M=N, այսինքն՝ մեր համապատասխանությունը N-ի N-ն է N-ում: Նշենք այն fx-ով, այնուհետև fx(0)=0 պայմանով a) և fx(y()=fx(y)+x-ի պատճառով:
Այսպիսով, բազմապատկման գործողության գոյությունն ապացուցված է։ Հիմա թող (և ( լինի N բազմության ցանկացած երկուական գործողություններ՝ 1у և 2у հատկություններով։ Մնում է ապացուցել, որ ((x,y(N) x(y=x(y։ Եկեք ամրագրենք կամայական x թիվը և թող
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Քանի որ 1y x(0=0 և x(0=0) ուժով, ապա 0(S. Թող y(S, այսինքն՝ x(y=x(y. Ապա
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
և, հետևաբար, y((S. Սա նշանակում է S=N, որն ավարտում է թեորեմի ապացույցը։
Նկատի առնենք բազմապատկման որոշ հատկություններ.
1. Բազմապատկման նկատմամբ չեզոք տարրը 1=0(, այսինքն ((a(N) a(1=1(a=a) թիվն է։
Ապացույց. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Այսպիսով, a(1=a) հավասարությունն ապացուցված է: Մնում է ապացուցել հավասարությունը 1(a=a. Թող M=(a ?a(N (1(a=a). Քանի որ 1(0=0, ապա 0(M. Թող a(M, այսինքն՝ 1(a=a. Ապա 1(a(=1(a+1= a+1= a(, և, հետևաբար, a((M. Սա նշանակում է 4-րդ աքսիոմով M=N, ինչը պետք է ապացուցվեր:
2. Բազմապատկման համար գործում է ճիշտ բաշխման օրենքը, այն է
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Ապացույց. Թող M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc): Քանի որ (a+b)0=0 և a(0+b(0=0, ապա 0(M. Եթե c(M, այսինքն (a+b)c=ac+bc, ապա (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Այսպիսով, c((M և M=N.
3. Բնական թվերի բազմապատկումը կոմուտատիվ է, այսինքն՝ ((a,b(N) ab=ba.
Ապացույց. Եկեք նախ ապացուցենք ցանկացած b(N) հավասարությունը 0(b=b(0=0: b(0=0 հավասարությունը բխում է 1y պայմանից: Թող M=(b (b(N (0(b=0): Քանի որ 0( 0=0, ապա 0(M. Եթե b(M, այսինքն՝ 0(b=0, ապա 0(b(=0(b+0=0 և, հետևաբար, b((M. Այսպիսով M =N, այսինքն՝ 0(b=b(0) հավասարությունն ապացուցված է բոլոր b(N-ի համար։ Թող հետագա S=(a (a(N (ab=ba). Քանի որ 0(b=b(0, ապա 0(S. Թող a (S, այսինքն՝ ab=ba. Ապա a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, այսինքն՝ a((S. Սա նշանակում է S =N, ինչը պետք է ապացուցվեր:
4. Բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ: Այս հատկությունը բխում է 3 և 4 հատկություններից:
5. Բազմապատկումը ասոցիատիվ է, այսինքն՝ ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc):
Ապացուցումն իրականացվում է, ինչ վերաբերում է հավելմանը, ինդուկցիայի միջոցով ք.
6. Եթե a(b=0, ապա a=0 կամ b=0, այսինքն՝ N-ում զրո բաժանարարներ չկան։
Ապացույց. Թող b(0 և b=c(. Եթե ab=0, ապա ac(=ac+a=0, ինչը նշանակում է, որ 3-րդ կետի 6-րդ հատկության ուժով a=0:
Առաջադրանք 1.4.1. Թող 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9): Ապացուցեք, որ 2(4=8, 3 (3=9.
Թող n, a1, a2,...,an լինեն բնական թվեր: a1, a2,...,an թվերի գումարը մի թիվ է, որը նշանակվում և որոշվում է պայմաններով. ցանկացած բնական թվի համար k
a1, a2,...,an թվերի արտադրյալը բնական թիվ է, որը նշանակվում և որոշվում է հետևյալ պայմաններով. ցանկացած բնական թվի համար k
Եթե, ապա թիվը նշանակվում է an-ով:
Առաջադրանք 1.4.2. Ապացուցեք դա
Ա) ;
բ) ;
V) ;
G) ;
դ) ;
ե) ;
և) ;
ը) ;
Եվ):

1.5. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԿԱՐԳԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ.

«Հետևում» կապը հակառեֆլեքսիվ և հակասիմետրիկ է, բայց ոչ անցումային և, հետևաբար, կարգի հարաբերություն չէ: Մենք կսահմանենք կարգի հարաբերություն բնական թվերի գումարման հիման վրա։
Սահմանում 1. ա
Սահմանում 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Համոզվենք, որ կապը Նկատենք բնական թվերի որոշ հատկություններ՝ կապված հավասարության և անհավասարության հարաբերությունների հետ։
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3 ա
1.4 ա
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 ա + ք
1.8 ակ
1.9 ա
1.10 ա
Ապացույց. 1.1 և 1.2 հատկությունները բխում են գումարման և բազմապատկման գործողությունների եզակիությունից: Եթե
2. ((a(N)a
Ապացույց. Քանի որ a(=a+1, ապա a
3. N-ում ամենափոքր տարրը 0-ն է, իսկ N\(0)-ում ամենափոքր տարրը 1-ն է։
Ապացույց. Քանի որ ((a(N) a=0+a, ապա 0(a, և, հետևաբար, 0-ն ամենափոքր տարրն է N-ում: Ավելին, եթե x(N\(0), ապա x=y(, y(N , կամ x=y+1 Հետևում է, որ ((x(N\(0)) 1(x, այսինքն՝ 1-ը N\(0) ամենափոքր տարրն է։
4. Հարաբերություն ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Ապացույց. Ակնհայտորեն, ցանկացած բնական թվի համար կա n այնպիսի բնական թիվ, որ
a Նման թիվն է, օրինակ, n=a(: Այնուհետև, եթե b(N\(0), ապա ըստ 3 հատկության.
1(բ(2)
(1) և (2)-ից, 1.10 և 1.4 հատկությունների հիման վրա մենք ստանում ենք aa:

1.6. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԼՐԱՑՎԱԾ ԿԱՐԳԸ.

Սահմանում 1. Եթե դասավորված բազմության յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն (M; Եկեք համոզվենք, որ ընդհանուր կարգը գծային է: Թող a և b լինեն ցանկացած երկու տարր ամբողջությամբ դասավորված բազմությունից (M; Lemma . 1) ա
Ապացույց.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0))
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0)) (a
Թեորեմ 1. Բնական թվերի բազմության բնական կարգը ընդհանուր կարգն է։
Ապացույց. Թող M լինի բնական թվերի ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն, իսկ S՝ նրա ստորին սահմանների բազմությունը N-ում, այսինքն՝ S=(x (x(N (((m(M) x(m). 3 հատկությունից։ 5-րդ կետից հետևում է, որ 0(S. Եթե 4 n(S) աքսիոմի երկրորդ պայմանը նույնպես բավարարված լիներ, ապա մենք կունենայինք S=N: Փաստորեն, S(N; այսինքն, եթե a( M, ապա a((S) անհավասարության պատճառով a
Թեորեմ 2. Վերևում սահմանափակված բնական թվերի ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի ամենամեծ տարրը:
Ապացույց. Թող M-ն լինի վերևում սահմանափակված բնական թվերի ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն, իսկ S՝ նրա վերին սահմանների բազմությունը, այսինքն՝ S=(x(x(N (((m(M) m(x): Թող x0 նշանակի S-ի ամենափոքր տարրը: Այնուհետև m(x0) անհավասարությունը գործում է M-ից m բոլոր թվերի համար, և խիստ անհավասարությունը m
Առաջադրանք 1.6.1. Ապացուցեք դա
Ա) ;
բ) ;
V) .
Խնդիր 1.6.2. Թող ( լինի բնական թվերի որոշ հատկություն, իսկ k-ն՝ կամայական բնական թիվ։ Ապացուցե՛ք, որ
ա) ցանկացած բնական թիվ ունի հատկություն (, հենց որ 0-ն ունենա այս հատկությունը յուրաքանչյուր n-ի համար (0
բ) k-ից մեծ կամ հավասար ցանկացած բնական թիվ ունի հատկություն (, հենց որ k-ն ունենա այս հատկությունը և յուրաքանչյուր n-ի համար (k(n) այն ենթադրությունից, որ n-ն ունի հատկություն (, հետևում է, որ n+1 թիվը. ունի նաև այս հատկությունը.
գ) ցանկացած բնական թիվ, որը մեծ է կամ հավասար է k-ին, ունի հատկություն (, հենց որ k-ն ունենա այս հատկությունը և յուրաքանչյուր n-ի համար (n>k)՝ ենթադրելով, որ t (t) պայմանով սահմանված բոլոր թվերը.

1.7. Ինդուկցիայի ՍԿԶԲՈՒՆՔ.

Օգտագործելով բնական թվերի համակարգի ամբողջական դասավորությունը՝ կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը, որի վրա հիմնված է ապացուցման մեթոդներից մեկը, որը կոչվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ։
Թեորեմ (ինդուկցիայի սկզբունք). A1, A2, ..., An, ... հաջորդականության բոլոր պնդումները ճիշտ են, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1) A1 պնդումը ճիշտ է.
2) եթե Ak պնդումները ճիշտ են k-ի համար
Ապացույց. Ենթադրենք հակառակը՝ 1) և 2) պայմանները բավարարված են, բայց թեորեմը ճիշտ չէ, այսինքն՝ M=(m(m(N\(0), Am-ը սխալ է) բազմությունը դատարկ չէ): 6-րդ կետի 1-ին թեորեմ կա ամենափոքր տարրը, որը մենք նշում ենք n-ով, քանի որ ըստ 1-ի պայմանի) A1-ը ճշմարիտ է, իսկ An-ն սխալ է, ապա 1(n) և հետևաբար 1-ը
Ինդուկցիայի միջոցով ապացուցելիս կարելի է առանձնացնել երկու փուլ. Առաջին փուլում, որը կոչվում է ինդուկցիոն հիմք, ստուգվում է 1) պայմանի իրագործելիությունը։ Երկրորդ փուլում, որը կոչվում է ինդուկցիոն քայլ, ապացուցվում է 2) պայմանի իրագործելիությունը։ Այս դեպքում ամենից հաճախ լինում են դեպքեր, երբ պնդումների ճշմարտացիությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտություն չկա Աք պնդումների ճշմարտացիությունը օգտագործել k-ի համար.
Օրինակ։ Ապացուցեք անհավասարությունը Put =Sk: Պահանջվում է ապացուցել Ak=(Sk) պնդումների ճշմարտացիությունը Թեորեմ 1-ում նշված պնդումների հաջորդականությունը կարելի է ստանալ N բազմության վրա սահմանված A(n) պրեդիկատից կամ նրա Nk=(x (x(N) ենթաբազմության վրա։ , x(k), որտեղ k-ը ցանկացած հաստատուն բնական թիվ է։
Մասնավորապես, եթե k=1, ապա N1=N\(0), իսկ հայտարարությունների համարակալումը կարող է իրականացվել A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A հավասարումների միջոցով: (n), ... Եթե k(1, ապա հայտարարությունների հաջորդականությունը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n): -1), .. Նման նշումին համապատասխան, թեորեմ 1-ը կարող է ձևակերպվել այլ ձևով:
Թեորեմ 2. A(m) նախադրյալը նույնականորեն ճշմարիտ է Nk բազմության վրա, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1) A(k) պնդումը ճիշտ է.
2) եթե A(m) պնդումները ճիշտ են m-ի համար
Առաջադրանք 1.7.1. Ապացուցեք, որ հետևյալ հավասարումները բնական թվերի տիրույթում լուծումներ չունեն.
ա) x+y=1;
բ) 3x=2;
գ) x2=2;
դ) 3x+2=4;
ե) x2+y2=6;
զ) 2x+1=2y.
Առաջադրանք 1.7.2. Ապացուցեք՝ օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքը.
ա) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
բ) ;
V) ;
G) ;
դ) ;
ե) .

1.8. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՆՑՈՒՄ ԵՎ ԲԱԺԱՆՈՒՄ.

Սահմանում 1. a և b բնական թվերի տարբերությունը այնպիսի բնական թիվ է, որ b+x=a: a և b բնական թվերի տարբերությունը նշանակվում է a-b-ով, իսկ տարբերությունը գտնելու գործողությունը կոչվում է հանում։ Հանումը հանրահաշվական գործողություն չէ: Սա բխում է հետևյալ թեորեմից.
Թեորեմ 1. a-b տարբերությունը գոյություն ունի, եթե և միայն, եթե b(a. Եթե տարբերությունը կա, ապա կա միայն մեկը:
Ապացույց. Եթե ​​b(a, ապա հարաբերության սահմանմամբ (կա բնական x այնպիսի թիվ, որ b+x=a: Բայց սա նաև նշանակում է, որ x=a-b: Ընդհակառակը, եթե a-b տարբերությունը գոյություն ունի, ապա ըստ սահմանման 1 կա a. բնական x, որ b+x=a. Բայց սա նաև նշանակում է, որ b(a.
Եկեք ապացուցենք եզակիությունը տարբերություններ a-b. Թողեք a-b=x և a-b=y: Այնուհետեւ ըստ սահմանման 1 b+x=a, b+y=a. Այստեղից՝ b+x=b+y և, հետևաբար, x=y։
Սահմանում 2. a և b(0) թվերի գործակիցը այնպիսի բնական թիվ է, որ a=bc գործակիցը կոչվում է բաժանում բաժանելիությունը.
Թեորեմ 2. Եթե գործակից գոյություն ունի, ապա կա միայն մեկը:
Ապացույց. Թող =x և =y: Այնուհետև ըստ սահմանման 2-ի a=bx և a=by. Հետևաբար bx=by և հետևաբար x=y։
Նկատենք, որ հանման և բաժանման գործողությունները սահմանվում են գրեթե բառացի այնպես, ինչպես դպրոցական դասագրքերում: Սա նշանակում է, որ 1-7-րդ պարբերություններում, հիմնվելով Պեանոյի աքսիոմների վրա, ամուր տեսական հիմք է դրված բնական թվերի թվաբանության համար, և դրա հետագա ներկայացումը հետևողականորեն իրականացվում է դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում և «Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն» համալսարանական դասընթացում։ .
Առաջադրանք 1.8.1. Ապացուցեք հետևյալ պնդումների վավերականությունը՝ ենթադրելով, որ դրանց ձևակերպումներում առկա բոլոր տարբերությունները կան.
ա) (a-b)+c=(a+c)-b;
բ) (a-b) (c=a (c-b (c;
գ) (ա+բ)-(գ+բ)=ա-գ;
դ) a-(b+c)=(a-b)-c;
ե) (ա-բ)+(գ-դ)=(ա+գ)-(բ+դ);
ե) (ա-բ)-(գ-դ)=ա-գ;
է) (ա+բ)-(բ-գ)=ա+գ;
ը) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
ժ) (ա-բ)-(գ+դ)=(ա-գ)-(բ+դ);
ժա) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
լ) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
մ) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
ժե) a2-b2=(a-b)(a+b).
Խնդիր 1.8.2. Ապացուցե՛ք հետևյալ պնդումների վավերականությունը՝ ենթադրելով, որ դրանց ձևակերպումներում հայտնված բոլոր գործակիցները գոյություն ունեն։
Ա) ; բ) ; V) ; G) ; դ) ; ե) ; և) ; ը) ; Եվ) ; Դեպի) ; լ) ; մ) ; ժդ) ; O) ; P) ; Ռ) .
Խնդիր 1.8.3. Ապացուցեք, որ հետևյալ հավասարումները չեն կարող ունենալ երկու տարբեր բնական լուծում. ա) ax2+bx=c (a,b,c(N); բ) x2=ax+b (a,b(N); գ) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Խնդիր 1.8.4. Բնական թվերով լուծե՛ք հետևյալ հավասարումները.
ա) x2+(x+1)2=(x+2)2; բ) x+y=x(y; c) ; դ) x2+2y2=12; ե) x2-y2=3; ե) x+y+z=x(y(z.
Խնդիր 1.8.5. Ապացուցե՛ք, որ հետևյալ հավասարումները բնական թվերի դաշտում լուծումներ չունեն. ա) x2-y2=14; բ) x-y=xy; V) ; G) ; ե) x2=2x+1; ե) x2=2y2.
Խնդիր 1.8.6. Բնական թվերով լուծե՛ք հետևյալ անհավասարությունները. ա) ; բ) ; V) ; դ) x+y2 Խնդիր 1.8.7. Ապացուցեք, որ բնական թվերի դաշտում վավեր են հետևյալ հարաբերությունները՝ ա) 2ab(a2+b2; բ) ab+bc+ac(a2+b2+c2; գ) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ.
Գործնականում բնական թվերն օգտագործվում են հիմնականում տարրերը հաշվելու համար, և դրա համար անհրաժեշտ է հաստատել Պեանոյի տեսության մեջ բնական թվերի քանակական նշանակությունը։
Սահմանում 1. (x (x(N, 1(x(n)) բազմությունը կոչվում է բնական շարքի հատված և նշանակվում է (1;n(.
Սահմանում 2. Վերջավոր բազմություն է համարվում ցանկացած բազմություն, որը հավասար է բնական շարքի որոշակի հատվածին, ինչպես նաև դատարկ բազմությանը։ Այն բազմությունը, որը վերջավոր չէ, կոչվում է անսահման:
Թեորեմ 1. A վերջավոր բազմությունը համարժեք չէ իր սեփական ենթաբազմություններից որևէ մեկին (այսինքն՝ A-ից տարբեր ենթաբազմությանը):
Ապացույց. Եթե ​​A=(, ապա թեորեմը ճշմարիտ է, քանի որ դատարկ բազմությունը չունի համապատասխան ենթաբազմություններ: Թող A((և A-ն) լինեն հավասարապես հզոր (1,n((A((1,n()): Մենք կապացուցենք թեորեմը n-ի ինդուկցիայի միջոցով, այսինքն՝ A((1,1), ապա A բազմության միակ պատշաճ ենթաբազմությունը դատարկ բազմությունն է: Պարզ է, որ A(և, հետևաբար, n=1-ի համար): Թեորեմը ճշմարիտ է. Ենթադրենք, որ թեորեմը ճշմարիտ է n=m-ի համար, այսինքն (1,m() հատվածին համարժեք բոլոր վերջավոր բազմությունները չունեն համարժեք համապատասխան ենթաբազմություններ։ +1(և (:(1,m+1(®A - հատվածի (1,m+1(A-ում) ինչ-որ բիեկտիվ քարտեզ. Եթե ((k)-ը նշանակվում է ak-ով, k=1,2,.. .,m+1, ապա A բազմությունը կարող է գրվել որպես A=(a1, a2, ... , am, am+1). թող B(A, B(A, B(A և f: A®B) լինի բիեկտիվ քարտեզ: Մենք կարող ենք ընտրել բիեկտիվ քարտեզներ այս ձևով: (և f այնպիսին, որ am+1(B և f(am+1) =am+1.
Դիտարկենք A1=A\(am+1) և B1=B\(am+1) բազմությունները: Քանի որ f(am+1)=am+1, f ֆունկցիան կիրականացնի A1 բազմության բիեկտիվ քարտեզագրում B1 բազմության վրա: Այսպիսով, A1 բազմությունը հավասար կլինի իր սեփական B1 ենթաբազմությանը: Բայց քանի որ A1((1,m(, սա հակասում է ինդուկցիոն ենթադրությանը:
Հետևություն 1. Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է:
Ապացույց. Peano աքսիոմներից հետևում է, որ S:N®N\(0), S(x)=x( երկակի է: Սա նշանակում է, որ N-ը հավասար է իր իսկ ենթաբազմությանը N\(0) և թեորեմի ուժով. 1, վերջավոր չէ:
Հետևություն 2. Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ վերջավոր A բազմություն համարժեք է բնական շարքի մեկ և միայն մեկ հատվածին:
Ապացույց. Թող A((1,m(և A((1,n(. Ապա (1,m(((1,n(, որից թեորեմ 1-ով հետևում է, որ m=n. Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ մ
Եզրակացություն 2-ը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել սահմանում:
Սահմանում 3. Եթե A((1,n(, ապա n բնական թիվը կոչվում է A բազմության տարրերի թիվը, իսկ A և (1,n((1,n((1,n((1)) բազմությունների միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն հաստատելու գործընթացն է. կոչվում է A բազմության տարրերի հաշվում։ Բնական է դատարկ բազմության տարրերի թիվը զրո համարել։
Հաշվի ահռելի կարևորության մասին գործնական կյանքավելորդ է ասել.
Նկատի ունեցեք, որ իմանալով բնական թվի քանակական նշանակությունը՝ գումարման միջոցով հնարավոր կլինի սահմանել բազմապատկման գործողությունը, այն է՝
.
Մենք միտումնավոր չգնացինք այս ճանապարհով, որպեսզի ցույց տանք, որ թվաբանությունն ինքնին քանակական իմաստի կարիք չունի. բնական թվի քանակական իմաստը անհրաժեշտ է միայն թվաբանության կիրառություններում:

1.10. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՈՐՊԵՍ ԴԻՍԿՐԵՏ ԱՄԲՈՂՋՈՒԹՅԱՆ ՊԱՏՎԻՐՎԱԾ ԿԱԶՄՈՎ։

Մենք ցույց տվեցինք, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջությամբ դասավորված է բնական կարգի համեմատ։ Ավելին, ((a(N) a
1. ցանկացած a(N) թվի համար կա հարևան մեկը, որը հաջորդում է դրան 2-ի հետ կապված. Ցանկացած a(N\(0) թվի համար կա հարևան, որը նախորդում է նրան A լրիվ դասավորված բազմություն (A;() 1-ին և 2-րդ հատկություններով մենք կանվանենք լրիվ դասավորված բազմություն Ստացվում է, որ 1-ին և 2-րդ հատկությունների հետ կապված ամբողջական դասավորությունը բնական թվերի համակարգի բնորոշ հատկությունն է 1 և 2 հատկություններով: A. բազմության վրա «հետևում» կապը սահմանենք հետևյալ կերպ. a(=b, եթե b-ը հարևան տարր է, որը հաջորդում է a-ին հարաբերության մեջ (. ​​Պարզ է, որ բազմության ամենափոքր տարրը. A-ն չի հետևում որևէ տարրի և, հետևաբար, Պեանոյի 1-ին աքսիոմը բավարարված է։
Քանի որ հարաբերությունը (գծային կարգ է, ապա ցանկացած a տարրի համար դրան հաջորդում է եզակի տարր և առավելագույնը նախորդող մեկ տարր: Սա ենթադրում է 2 և 3 աքսիոմների վավերականությունը: Այժմ թող M լինի A բազմության ցանկացած ենթախումբ: որոնք բավարարված են հետևյալ պայմաններով.
1) a0(M, որտեղ a0-ը A-ի ամենափոքր տարրն է.
2) a(M (a((M.
Փաստենք, որ M=N. Ենթադրենք հակառակը, այսինքն՝ A\M((. b-ով նշանակենք A\M-ի ամենափոքր տարրը: Քանի որ a0(M, ապա b(a0 և, հետևաբար, կա c տարր այնպիսին, որ c( =b Քանի որ ք
Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք բնական թվերի համակարգի մեկ այլ սահմանման հնարավորությունը։
Սահմանում. Բնական թվերի համակարգ ցանկացած լավ դասավորված բազմություն է, որի վրա բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1. ցանկացած տարրի համար դրան հաջորդում է հարակից տարրը.
2. ցանկացած տարրի համար, բացի ամենափոքրից, դրան նախորդում է հարակից տարր:
Բնական թվերի համակարգի սահմանման այլ մոտեցումներ կան, որոնց վրա մենք այստեղ կանգ չենք առնում։

2. ՈՂՋ ԹՎԵՐ ԵՎ ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐ.

2.1. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ ԵՎ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ.
Հայտնի է, որ ամբողջ թվերի բազմությունն իրենց ինտուիտիվ ընկալմամբ օղակ է գումարման և բազմապատկման առումով, և այս օղակը պարունակում է բոլոր բնական թվերը։ Հասկանալի է նաև, որ ամբողջ թվերի օղակում չկա պատշաճ ենթագրում, որը կպարունակի բոլոր բնական թվերը: Այս հատկությունները, պարզվում է, կարող են օգտագործվել որպես ամբողջ թվերի համակարգի խիստ սահմանման հիմք։ 2.2-րդ և 2.3-րդ պարբերություններում կհաստատվի այս սահմանման ճիշտությունը:
Սահմանումներ 1. Ամբողջ թվերի համակարգը հանրահաշվական համակարգ է, որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1. Հանրահաշվական համակարգը օղակ է;
2. Բնական թվերի բազմությունը պարունակվում է, և ենթաբազմության վրա օղակում գումարումն ու բազմապատկումը համընկնում են բնական թվերի գումարման և բազմապատկման հետ, այսինքն.
3. (նվազագույնի պայման): Z-ը ներառական-նվազագույն բազմություն է՝ 1 և 2 հատկություններով: Այլ կերպ ասած, եթե օղակի ենթ օղակը պարունակում է բոլոր բնական թվերը, ապա Z0=Z:
Սահմանում 1-ին կարելի է տալ ընդլայնված աքսիոմատիկ բնույթ: Այս աքսիոմատիկ տեսության սկզբնական հասկացությունները կլինեն.
1) Z բազմությունը, որի տարրերը կոչվում են ամբողջ թվեր։
2) հատուկ ամբողջ թիվ, որը կոչվում է զրո և նշվում է 0-ով:
3) Երրորդական հարաբերություններ + և (.
Ինչպես սովորաբար, N-ը նշում է բնական թվերի բազմությունը գումարումով (և բազմապատկմամբ): Համաձայն 1-ի սահմանման, ամբողջ թվերի համակարգը հանրահաշվական համակարգ է (Z; +, (, N), որի համար գործում են հետևյալ աքսիոմները.
1. (Օղակաձեւ աքսիոմներ.)
1.1.
Այս աքսիոմը նշանակում է, որ +-ը երկուական հանրահաշվական գործողություն է Z բազմության վրա։
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, այսինքն՝ 0 թիվը չեզոք տարր է գումարման նկատմամբ։
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, այսինքն՝ յուրաքանչյուր ամբողջ թվի համար կա հակառակ թիվ a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Այս աքսիոմը նշանակում է, որ բազմապատկումը երկուական հանրահաշվական գործողություն է Z բազմության վրա։
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Z օղակը բնական թվերի համակարգի հետ կապող աքսիոմներ):
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (մինիմումի աքսիոմա):
Եթե ​​Z0-ը Z և N(Z0) օղակի ենթ օղակն է, ապա Z0=Z:
Եկեք նշենք ամբողջ թվային համակարգի որոշ հատկություններ.
1. Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես երկու բնական թվերի տարբերություն։ Այս ներկայացումը երկիմաստ է՝ z=a-b-ով և z=c-d-ով, որտեղ a,b,c,d(N, եթե և միայն, եթե a+d=b+c:
Ապացույց. Z0-ով նշանակենք բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է ներկայացվել որպես երկու բնական թվերի տարբերություն։ Ակնհայտորեն, ((a(N) a=a-0, և հետևաբար N(Z0.
Հաջորդը թող x,y(Z0, այսինքն՝ x=a-b, y=c-d, որտեղ a,b,c,d(N. Այնուհետև x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- (a(d(b(c): Այստեղից պարզ է դառնում, որ x-y, x(y(Z0 և, հետևաբար, Z0-ը N բազմությունը պարունակող Z օղակի ենթ օղակն է: Բայց հետո, ըստ Աքսիոմ 3-ի, Z0=Z. և այսպիսով ապացուցված է սեփականության 1-ի առաջին մասը Այս գույքի երկրորդ հայտարարությունը ակնհայտ է.
2. Ամբողջ թվերի օղակը միավորով կոմուտատիվ օղակ է, և այս օղակի զրոն 0 բնական թիվն է, իսկ այս օղակի միավորը՝ 1 բնական թիվը։
Ապացույց. Թող x,y(Z. Ըստ 1 հատկության x=a-b, y=c-d, որտեղ a,b,c,d(N. Այնուհետեւ x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c (a(d(b)-(d(a(c(b): Այսպիսով, բնական թվերի բազմապատկման փոխադարձության շնորհիվ մենք եզրակացնում ենք, որ xy=yx: Z օղակում բազմապատկման փոխադարձությունն ապացուցված է: 2-րդ հատկության մնացած պնդումները բխում են հետևյալ ակնհայտ հավասարություններից, որոնցում 0-ը և 1-ը նշանակում են զրո և մեկ բնական թվերը. x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. ՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԳՈՅՈՒՅԹ։

Ամբողջ թվային համակարգը սահմանվում է 2.1-ում որպես բոլոր բնական թվերը պարունակող ներառական-նվազագույն օղակ: Հարց է առաջանում՝ գոյություն ունի՞ նման մատանին։ Այսինքն՝ 2.1-ից աքսիոմների համակարգը համահունչ է։ Աքսիոմների այս համակարգի հետևողականությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է դրա մեկնաբանությունը կառուցել ակնհայտ հետևողական տեսության մեջ։ Նման տեսություն կարելի է համարել բնական թվերի թվաբանություն։
Այսպիսով, եկեք սկսենք կառուցել 2.1 աքսիոմների համակարգի մեկնաբանությունը: Կոմպլեկտը կհամարենք սկզբնական։ Այս հավաքածուի վրա մենք սահմանում ենք երկու երկուական գործողություն և երկուական հարաբերություն: Քանի որ զույգերի գումարումը և բազմապատկումը վերածվում են բնական թվերի գումարման և բազմապատկման, ապա, ինչ վերաբերում է բնական թվերին, զույգերի գումարումն ու բազմապատկումը փոխադարձ են, ասոցիատիվ, իսկ բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ: Եկեք ստուգենք, օրինակ, զույգերի գումարման փոխադարձությունը՝ +===+։
Դիտարկենք ~ հարաբերության հատկությունները։ Քանի որ a+b=b+a, ուրեմն ~, այսինքն՝ ~ կապը ռեֆլեկտիվ է։ Եթե ​​~, այսինքն՝ a+b1=b+a1, ապա a1+b=b1+a, այսինքն՝ ~: Սա նշանակում է, որ հարաբերությունը սիմետրիկ է։ Let հետագա ~ and ~. Ապա ճշմարիտ են a+b1=b+a1 և a1+b2=b1+a2 հավասարությունները։ Այս հավասարությունները գումարելով՝ ստանում ենք a+b2=b+a2, այսինքն՝ ~: Սա նշանակում է, որ ~ հարաբերությունը նույնպես անցողիկ է և, հետևաբար, համարժեք։ Զույգ պարունակող համարժեքության դասը կնշանակվի. Այսպիսով, համարժեքության դասը կարող է նշանակվել նրա ցանկացած զույգով և միևնույն ժամանակ
(1)
Բոլոր համարժեքության դասերի բազմությունը նշանակում ենք. Մեր խնդիրն է ցույց տալ, որ այս բազմությունը, գումարման և բազմապատկման գործողությունների համապատասխան սահմանմամբ, կլինի աքսիոմների համակարգի մեկնաբանություն 2.1-ից։ Բազմության վրա գործողությունները մենք սահմանում ենք հավասարումներով.
(2)
(3)
Եթե ​​և, այսինքն, N բազմության վրա a+b(=b+a(, c+d(=a+c() հավասարությունները ճիշտ են, ապա հավասարությունը (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), որից (1-ի ուժով) մենք ստանում ենք դա: Սա նշանակում է, որ հավասարությունը (2) սահմանում է եզակի գումարման գործողություն բազմության վրա՝ անկախ Ավելացված դասերը նշող զույգերի ընտրությունը ստուգվում է նույն ձևով և դասերի բազմապատկման եզակիությունը: Այսպիսով, հավասարումները (2) և (3) սահմանում են երկուական հանրահաշվական գործողություններ:
Քանի որ դասերի գումարումը և բազմապատկումը վերածվում են զույգերի գումարման և բազմապատկման, այս գործողությունները փոխադարձ են, ասոցիատիվ, իսկ դասերի բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ: Հավասարություններից մենք եզրակացնում ենք, որ դասը չեզոք տարր է գումարման նկատմամբ և յուրաքանչյուր դասի համար կա դրան հակառակ դաս։ Սա նշանակում է, որ հավաքածուն օղակ է, այսինքն՝ 2.1-ից 1-ին խմբի աքսիոմները բավարարված են։
Դիտարկենք օղակի ենթաբազմությունը: Եթե ​​a(b), ապա (1)-ով, և եթե a
Բազմության վրա մենք սահմանում ենք երկուական հարաբերությունը (հետևում է (; այն է՝ դասին հաջորդում է դասը, որտեղ x(x-ին հաջորդող բնական թիվ է։ Բնականաբար հաջորդող դասը նշանակվում է (. Պարզ է, որ դասը չի հետևում. ցանկացած դաս և յուրաքանչյուր դաս, որին հետևում է դաս, և, ընդ որում, միայն մեկը: Վերջինս նշանակում է, որ հարաբերակցությունը (հետևում է միատարր հանրահաշվական գործողություն N բազմության վրա.
Դիտարկենք քարտեզագրումը: Ակնհայտորեն, այս քարտեզագրումը բիեկտիվ է և պայմանները f(0)= , f(x()==(=f(x)(): Սա նշանակում է, որ f-ի քարտեզագրումը հանրահաշվի իզոմորֆիզմն է (N;0,() հանրահաշվի վրա (;, (): Այլ կերպ ասած, հանրահաշիվը (;,() Պեանոյի աքսիոմային համակարգի մեկնաբանությունն է: Այս իզոմորֆ հանրահաշիվները նույնականացնելով, այսինքն՝ ենթադրելով, որ N բազմությունն ինքնին էթաբազմություն է: Ակնհայտ հավասարումների մեջ նույնականացումը հանգեցնում է a(c=a+c), a(c=ac) հավասարություններին, որոնք նշանակում են, որ N ենթախմբի վրա գումարումը և բազմապատկումը համընկնում են բնական թվերի գումարման և բազմապատկման հետ: Այսպիսով, հաստատվել է 2-րդ խմբի աքսիոմների բավարարվածությունը։
Թող Z0 լինի N և բազմությունը պարունակող օղակի ցանկացած ենթ օղակ: Նկատի ունեցեք, որ և, հետևաբար, . Բայց քանի որ Z0-ը օղակ է, այս դասերի տարբերությունը նույնպես պատկանում է Z0 օղակին։ -= (= հավասարություններից եզրակացնում ենք, որ (Z0 և, հետևաբար, Z0=: 2.1 կետի աքսիոմների համակարգի հետևողականությունն ապացուցված է.

2.3. ՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՅՈՒՐԱՍՏԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ.

Ամբողջ թվերի միայն մեկ համակարգ կա, քանի որ դրանք ինտուիտիվ են հասկացվում: Սա նշանակում է, որ ամբողջ թվերը սահմանող աքսիոմային համակարգը պետք է լինի կատեգորիկ, այսինքն՝ այս աքսիոմային համակարգի ցանկացած երկու մեկնաբանություն պետք է լինի իզոմորֆ։ Կատեգորիկ նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը գոյություն ունի ամբողջ թվերի միայն մեկ համակարգ։ Համոզվենք, որ դա իսկապես այդպես է։
Եկեք (Z1;+,(,N) և (Z2;(,(,N)) լինեն 2.1 կետի աքսիոմային համակարգի ցանկացած երկու մեկնաբանություն: Բավական է ապացուցել նման երկակի քարտեզագրման f:Z1®Z2 գոյությունը: որոնց համար բնական թվերը մնում են ֆիքսված, և բացառությամբ Z1 օղակի ցանկացած x և y տարրերի համար գործում են հետևյալ հավասարումները.
(1)
. (2)
Նշենք, որ քանի որ N(Z1 և N(Z2), ապա
, a(b=a(b. (3)
Թող x(Z1 և x=a-b, որտեղ a,b(N. Այս տարրի հետ կապենք x=a-b տարրը u=a(b, որտեղ (հանումը Z2 օղակում. Եթե a-b=c-d, ապա a+d. =b+c, ​​որտեղից (3), a(d=b(c) և հետևաբար a(b=c(d) ուժով: Սա նշանակում է, որ մեր համապատասխանությունը կախված չէ x տարրի ներկայացուցչից: երկու բնական թվերի տարբերության ձևը և այդպիսով որոշվում է f քարտեզագրումը. Սա նշանակում է, որ Z2-ից յուրաքանչյուր տարր պատկեր է f-ի քարտեզագրման տակ, և, հետևաբար, f-ի քարտեզագրումը սուբյեկտիվ է:
Եթե ​​x=a-b, y=c-d, որտեղ a,b,c,d(N և f(x)=f(y), ապա a(b=c(d: Բայց հետո a(d=b(d, in ուժ (3) a+d=b+c, ​​այսինքն՝ a-b=c-d Մենք ապացուցել ենք, որ f(x)=f(y) հավասարությունը ենթադրում է x=y հավասարություն, այսինքն՝ f-ի քարտեզագրումը: ներարկային.
Եթե ​​a(N, ապա a=a-0 և f(a)=f(a-0)=a(0=a: Սա նշանակում է, որ բնական թվերը ամրագրված են f քարտեզագրման տակ: Ավելին, եթե x=a-b, y=c-d, որտեղ a,b,c,d(N, ապա x+y=(a+c)- և f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y): (1) հավասարության վավերականությունն ապացուցված է: Ստուգենք հավասարությունը (2): Քանի որ f( xy)=(ac+bd)((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), իսկ մյուս կողմից՝ f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c): Սա նշանակում է f(xy)=f(x)(f(y), որն ավարտում է. աքսիոմների համակարգի կատեգորիկության ապացույցը էջ 2.1.

2.4. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄԸ ԵՎ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ.

Ռացիոնալ թվերի Q բազմությունը իրենց ինտուիտիվ ընկալմամբ դաշտ է, որի համար ամբողջ թվերի Z բազմությունը ենթ օղակ է։ Ակնհայտ է, որ եթե Q0-ը բոլոր ամբողջ թվերը պարունակող Q դաշտի ենթադաշտ է, ապա Q0=Q։ Այս հատկությունները մենք կօգտագործենք որպես ռացիոնալ թվերի համակարգի խիստ սահմանման հիմք:
Սահմանում 1. Ռացիոնալ թվերի համակարգը հանրահաշվական համակարգ է (Q;+,(;Z), որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1. հանրահաշվական համակարգը (Q;+,() դաշտ է;
2. ամբողջ թվերի Z օղակը Q դաշտի ենթաօղակն է;
3. (մինիմալության պայման) եթե Q դաշտի Q0 ենթադաշտը պարունակում է Z ենթագունդ, ապա Q0=Q:
Մի խոսքով, ռացիոնալ թվերի համակարգը նվազագույն ներառման դաշտ է, որը պարունակում է ամբողջ թվերի ենթաշրջան: Կարելի է տալ ռացիոնալ թվերի համակարգի առավել մանրամասն աքսիոմատիկ սահմանումը։
Թեորեմ. Յուրաքանչյուր ռացիոնալ x թիվը կարող է ներկայացվել որպես երկու ամբողջ թվերի քանորդ, այսինքն
, որտեղ a,b(Z, b(0. (1)
Այս ներկայացումը երկիմաստ է, և որտեղ a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Ապացույց. Q0-ով նշանակենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը (1) տեսքով։ Բավական է համոզվել, որ Q0=Q. Թող, որտեղ a,b,c,d(Z, b(0, d(0: Այնուհետև դաշտի հատկություններով մենք ունենք՝ , իսկ c(0-ի համար: Սա նշանակում է, որ Q0-ը փակվում է հանման և ոչ թվերի բաժանման դեպքում: հավասար է զրոյի, և, հետևաբար, Q դաշտի ենթադաշտն է: Քանի որ a-ի ցանկացած ամբողջ թիվ ներկայացված է ձևով, ապա Z(Q0: Այստեղից, ելնելով նվազագույնի պայմանից, հետևում է, որ Q0=Q: Ապացույցը. թեորեմի երկրորդ մասը ակնհայտ է.

2.5. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԳՈՅՈՒԹՅՈՒՆԸ.

Ռացիոնալ թվերի համակարգը սահմանվում է որպես նվազագույն դաշտ, որը պարունակում է ամբողջ թվերի ենթաշրջան։ Բնականաբար հարց է առաջանում՝ կա՞ նման դաշտ, այսինքն՝ արդյո՞ք ռացիոնալ թվերը սահմանող աքսիոմների համակարգը համահունչ է։ Համապատասխանությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է կառուցել աքսիոմների այս համակարգի մեկնաբանությունը: Այս դեպքում կարելի է հույս դնել ամբողջ թվերի համակարգի գոյության վրա։ Մեկնաբանություն կառուցելիս մենք ելակետ կհամարենք Z(Z\(0) բազմությունը:Այս բազմության վրա սահմանում ենք երկուական հանրահաշվական գործողություն:
, (1)
(2)
և երկուական հարաբերություն
(3)
Գործողությունների և հարաբերությունների հենց այս սահմանման նպատակահարմարությունը բխում է նրանից, որ այն մեկնաբանության մեջ, որը մենք կառուցում ենք, զույգը արտահայտելու է առանձնահատուկը։
Հեշտ է ստուգել, ​​որ (1) և (2) գործողությունները կոմուտատիվ են, ասոցիատիվ, իսկ բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ: Այս բոլոր հատկությունները ստուգվում են ամբողջ թվերի գումարման և բազմապատկման համապատասխան հատկությունների նկատմամբ։ Ստուգենք, օրինակ, բազմապատկվող զույգերի ասոցիատիվությունը.
Նմանապես, հաստատվում է, որ ~ հարաբերակցությունը համարժեքություն է, և, հետևաբար, Z(Z\(0) բազմությունը բաժանվում է համարժեքության դասերի: Բոլոր դասերի բազմությունը նշանակում ենք, իսկ զույգ պարունակող դասը՝ ըստ: , դասը կարող է նշանակվել նրա զույգերից որևէ մեկով և (3) պայմանով մենք ստանում ենք.
. (4)
Մեր խնդիրն է սահմանել գումարման և բազմապատկման գործողությունը բազմության վրա, որպեսզի այն լինի դաշտ: Մենք սահմանում ենք այս գործողությունները հավասարություններով.
, (5)
(6)
Եթե, այսինքն, ab1=ba1 և, այսինքն, cd1=dc1, ապա այս հավասարությունները բազմապատկելով՝ մենք ստանում ենք (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), ինչը նշանակում է, որ սա մեզ համոզում է, որ հավասարությունը (6) իսկապես սահմանում է եզակի գործողություն մի շարք դասերի վրա՝ անկախ յուրաքանչյուր դասի ներկայացուցիչների ընտրությունից: Նույն կերպ ստուգվում է գործողության յուրահատկությունը (5):
Քանի որ դասերի գումարումը և բազմապատկումը վերածվում են զույգերի գումարման և բազմապատկման, (5) և (6) գործողությունները փոխադարձ են, ասոցիատիվ, իսկ բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ:
Հավասարություններից մենք եզրակացնում ենք, որ դասը չեզոք տարրեր է գումարման նկատմամբ և յուրաքանչյուր դասի համար կա դրան հակառակ տարր։ Նմանապես, հավասարություններից հետևում է, որ դասը բազմապատկման առումով չեզոք տարր է, և յուրաքանչյուր դասի համար կա հակադարձ դաս: Սա նշանակում է, որ դա դաշտ է (5) և (6) գործողությունների նկատմամբ. 2.4 կետի սահմանման առաջին պայմանը բավարարված է.
Եկեք հաջորդիվ քննարկենք հավաքածուն: Ակնհայտորեն, ։ Բազմաթիվը փակվում է հանման և բազմապատկման դեպքում և, հետևաբար, դաշտի ենթագրում է: Իսկապես, . Եկեք հաջորդիվ դիտարկենք քարտեզագրումը, . Այս քարտեզագրման տեսողականությունը ակնհայտ է: Եթե ​​f(x)=f(y), այսինքն, ապա x(1=y(1 կամ x=y: Հետևաբար, f-ի քարտեզագրումը նույնպես ներարկային է: Ավելին, . Այսպիսով, f-ի քարտեզագրումը օղակի իզոմորֆիզմն է: Սահմանելով, որ դրանք իզոմորֆ օղակներ են, մենք կարող ենք ենթադրել, որ Z օղակը դաշտի ենթաշրջան է, այսինքն՝ 2.4-րդ կետի սահմանումը բավարարված է ենթադաշտ. դաշտերը և, ևթող լինի. Քանի որ, ախ, ուրեմն: Բայց քանի որ դա դաշտ է, այս տարրերի գործակիցը նույնպես դաշտին է պատկանում։ Սա ապացուցում է, որ եթե, ուրեմն, դա է. Ապացուցված է ռացիոնալ թվերի համակարգի գոյությունը։

2.6. ՌԱՑԻԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՅՈՒՐԱՍՏԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ.

Քանի որ դրանց ինտուիտիվ ընկալման մեջ կա ռացիոնալ թվերի միայն մեկ համակարգ, այստեղ ներկայացված ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը պետք է լինի կատեգորիկ։ Կատեգորիկ նշանակում է, որ մինչև իզոմորֆիզմը կա ռացիոնալ թվերի միայն մեկ համակարգ։ Եկեք ցույց տանք, որ դա իսկապես այդպես է։
Թող (Q1;+, (; Z) և (Q2; (, (; Z)) լինեն ռացիոնալ թվերի ցանկացած երկու համակարգ: Բավական է ապացուցել երկակի քարտեզագրման գոյությունը, որի տակ բոլոր ամբողջ թվերը մնում են ֆիքսված և, ի լրումն, , պայմանները բավարարված են
(1)
(2)
ցանկացած x և y տարրերի համար Q1 դաշտից:
Q1 դաշտում a և b տարրերի քանորդը կնշանակվի, իսկ Q2 դաշտում a:b-ով: Քանի որ Z-ը Q1 և Q2 դաշտերից յուրաքանչյուրի ենթածանցն է, ապա a և b ցանկացած ամբողջ թվերի համար հավասարությունները ճշմարիտ են:
, . (3)
Թող և, որտեղ, . Այս x տարրի հետ ասոցացնենք y=a:b տարրը Q2 դաշտից: Եթե ​​հավասարությունը ճշմարիտ է Q1 դաշտում, որտեղ, ապա 2.4 թեորեմով Z օղակում գործում է ab1=ba1 հավասարությունը, կամ (3)-ի ուժով հավասարությունը, ապա նույն թեորեմով հավասարությունը a:b=. a1:b1-ը պահվում է Q2 դաշտում: Սա նշանակում է, որ Q2 դաշտից y=a:b տարրը կապելով Q1 դաշտի տարրի հետ՝ սահմանում ենք քարտեզագրում, .
Q2 դաշտի ցանկացած տարր կարող է ներկայացվել որպես a:b, որտեղ և, հետևաբար, Q1 դաշտի տարրի պատկերն է: Սա նշանակում է, որ f-ի քարտեզագրումը սուբյեկտիվ է:
Եթե, ապա Q1 դաշտում և հետո: Այսպիսով, f-ի քարտեզագրումը բիեկտիվ է, և բոլոր ամբողջ թվերը մնում են ֆիքսված: Մնում է ապացուցել (1) և (2) հավասարումների վավերականությունը։ Թող և, որտեղ a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Ապա և, որտեղից, (3)-ի ուժով f(x+y)=f(x)(f(y): Նմանապես և որտեղ:
Ապացուցված է մեկնաբանությունների (Q1;+, (; Z) և (Q2; (, (; Z)) իզոմորֆիզմը։

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ, ՀՐԱՀԱՆԳՆԵՐ, ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ.

1.1.1. Լուծում. Թող ճշմարիտ լինի 4-րդ աքսիոմի պայմանը (բնական թվերի հատկություն, որն այնպիսին է, որ ((0) և. Թող M-ը բավարարում է 4-րդ աքսիոմի նախադրյալը, քանի որ ((0)(0(M և. Հետևաբար, M=N, այսինքն՝ ցանկացած բնական թիվ ունի հատկություն (. Ընդհակառակը։ Ենթադրենք, որ ցանկացած հատկության համար (((0)) և դրանից բխում է։ Թող M լինի N-ի այնպիսի ենթաբազմություն, որ 0 (M և։ Ցույց տանք, որ M = N. Ներկայացնենք հատկություն (, ենթադրելով. Այնուհետև ((0), քանի որ, and. Այսպիսով, հետևաբար M=N.
1.1.2. Պատասխան՝ 1-ին և 4-րդ Պեանոյի աքսիոմների պնդումները ճիշտ են։ 2-րդ աքսիոմի պնդումը սխալ է։
1.1.3. Պատասխան. Պեանոյի աքսիոմների 2,3,4 պնդումները ճշմարիտ են: 1-ին աքսիոմի պնդումը կեղծ է։
1.1.4. Պեանոյի աքսիոմների 1, 2, 3 պնդումները ճշմարիտ են: 4-րդ աքսիոմի պնդումը սուտ է։ Ուղղություն. ապացուցեք, որ բազմությունը բավարարում է աքսիոմ 4-ի նախադրյալը, որը ձևակերպված է գործողության մեջ, բայց.
1.1.5. Հուշում.Աքսիոմ 4-ի պնդման ճշմարտացիությունն ապացուցելու համար հաշվի առեք A-ի M ենթաբազմությունը, որը բավարարում է ա) 1((M,b) և բազմությունը, Ապացուցեք, որ այնուհետև M=A:
1.1.6. 1-ին, 2-րդ և 3-րդ Peano աքսիոմների պնդումները ճիշտ են: Պեանոյի 4-րդ աքսիոմի պնդումը կեղծ է։
1.6.1. ա) Լուծում. Նախ ապացուցեք, որ եթե ժամը 1.00. Ետ. Թույլ տվեք
1.6.2. ա) Լուծում. Ենթադրենք հակառակը. Թող M-ն նշանակի բոլոր այն թվերի բազմությունը, որոնք չունեն հատկություն (. Ըստ ենթադրության՝ M((. 1-ին թեորեմով M-ն ունի ամենափոքր տարրը n(0. Ցանկացած x թիվ
1.8.1. զ) Օգտագործեք ե) և գ կետերը՝ (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, հետևաբար՝ (a-b)-(c-b)=a-c:
ը) օգտագործել գույքը.
ժա) Օգտագործեք բ).
ժգ) Օգտագործեք բ) և ը կետերը.
1.8.2. գ) Ուստի մենք ունենք . Այսպիսով, .
դ) ունենք: Հետևաբար, .
և) .
1.8.3. ա) Եթե (եւ (ax2+bx=c հավասարման տարբեր լուծումներ են, ապա a(2+b(=a(2+b(). Մյուս կողմից, եթե, օրինակ, (b) Թող (եւ ( լինի հավասարման տարբեր լուծումներ: Եթե ((. Այնուամենայնիվ (2=a(+b>a(, հետևաբար, (>a. Մենք ունենք հակասություն.
գ) Ենթադրենք (և (ը լինեն հավասարման տարբեր արմատներ և (>(. Ապա 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ).Ուրեմն a((+()=2, բայց (+(>2, հետևաբար a((+()>2, որն անհնար է։
1.8.4. ա) x=3; բ) x=y=2. Հուշում. քանի որ և, մենք ունենք x=y; գ) x=y(y+2), y - ցանկացած բնական թիվ; դ) x=y=2; ե) x=2, y=1; զ) Մինչև x=1, y=2, z=3 փոխարկումները: Լուծում. Օրինակ՝ x(y(z. Ապա xyz=x+y+z(3z, այսինքն՝ xy(3. Եթե xy=1, ապա x=y=1 և z=2+z, ինչը անհնար է։ Եթե ​​xy=2, ապա x=1, y=2 Այս դեպքում՝ 2z=3+z, այսինքն՝ եթե xy=3, ապա x=1, y=3, այսինքն՝ z=2 ենթադրությունը y(z.
1.8.5. բ) Եթե x=a, y=b-ը հավասարման լուծում է, ապա ab+b=a, այսինքն. a>ab, որը անհնար է. դ) Եթե x=a, y=b հավասարման լուծումն է, ապա b
1.8.6. ա) x=ky, որտեղ k,y-ը կամայական բնական թվեր են, իսկ y(1. բ) x-ը կամայական բնական թիվ է, y=1: գ) x-ը կամայական բնական թիվ է, y=1: դ) լուծում չկա: ե) x1=1; x2=2; x3=3. ե) x>5.
1.8.7. ա) Եթե a=b, ապա 2ab=a2+b2: Եկեք, օրինակ, ա

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Ռեդկով Մ.Ի. Թվային համակարգեր. / Ուղեցույցներուսումնասիրել «Թվային համակարգեր» դասընթացը։ Մաս 1.- Օմսկ՝ Օմսկի պետական ​​մանկավարժական ինստիտուտ, 1984.- 46 էջ.
2. Էրշովա Թ.Ի. Թվային համակարգեր. / Մեթոդական մշակումգործնական պարապմունքների համար - Սվերդլովսկ: SGPI, 1981. - 68 p.

Ցանկացած մաթեմատիկական տեսություն աքսիոմատիկորեն կառուցելիս որոշակի կանոնները:

· տեսության որոշ հասկացություններ ընտրվում են որպես հիմնական և ընդունվում առանց սահմանման.

· Տեսության յուրաքանչյուր հասկացության, որը չի պարունակվում հիմնականների ցանկում, տրվում է սահմանում.

· Ձևակերպվում են աքսիոմներ - դրույթներ, որոնք տվյալ տեսության մեջ ընդունվում են առանց ապացույցի. նրանք բացահայտում են հիմնական հասկացությունների հատկությունները.

· Տեսության յուրաքանչյուր դրույթ, որը չի պարունակվում աքսիոմների ցանկում, պետք է ապացուցված լինի. Նման դրույթները կոչվում են թեորեմներ և ապացուցվում են աքսիոմների և թեորեմների հիման վրա։

Տեսության աքսիոմատիկ կառուցման մեջ բոլոր պնդումները բխում են աքսիոմներից՝ ապացուցման միջոցով:

Ուստի հատուկ պահանջներ են կիրառվում աքսիոմների համակարգի նկատմամբ։ պահանջներ:

· հետևողականություն (աքսիոմների համակարգը կոչվում է հետևողական, եթե դրանից տրամաբանորեն հնարավոր չէ դուրս բերել երկու միմյանց բացառող դրույթներ);

· անկախություն (աքսիոմների համակարգը կոչվում է անկախ, եթե այս համակարգի աքսիոմներից ոչ մեկը այլ աքսիոմների հետևանք չէ):

Նրանում նշված հարաբերություն ունեցող բազմությունը կոչվում է տվյալ աքսիոմային համակարգի մոդել, եթե դրանում բավարարված են տվյալ համակարգի բոլոր աքսիոմները։

Բնական թվերի բազմության համար աքսիոմների համակարգ կառուցելու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ թվերի գումարը կամ կարգի կապը կարելի է ընդունել որպես հիմնական հասկացություն։ Ամեն դեպքում, դուք պետք է սահմանեք աքսիոմների համակարգ, որը նկարագրում է հիմնական հասկացությունների հատկությունները:

Ներկայացնենք աքսիոմների համակարգ՝ ընդունելով գումարման գործողության հիմնական հայեցակարգը։

Ոչ դատարկ հավաքածու Նեկեք այն անվանենք բնական թվերի բազմություն, եթե գործողությունը սահմանված է դրանում (ա; բ) → a + b, որը կոչվում է հավելում և ունի հետևյալ հատկությունները.

1. հավելումը փոխադարձ է, այսինքն. a + b = b + a.

2. հավելումը ասոցիատիվ է, այսինքն. (ա + բ) + գ = ա + (բ + գ):

4. ցանկացած հավաքածուում Ա, որը բազմության ենթաբազմություն է Ն, Որտեղ Ակա մի թիվ և այնպիսին, որ ամեն ինչ Հա, հավասար են ա+բ, Որտեղ bN.

1-4 աքսիոմները բավարար են բնական թվերի ամբողջ թվաբանությունը կառուցելու համար: Բայց նման կառուցման դեպքում այլեւս հնարավոր չէ ապավինել վերջավոր բազմությունների հատկություններին, որոնք արտացոլված չեն այս աքսիոմներում։

Որպես հիմնական հասկացություն վերցնենք «ուղղակիորեն հետևում...» կապը, որը սահմանված է ոչ դատարկ բազմության վրա Ն. Այնուհետև թվերի բնական շարքը կլինի N բազմությունը, որում սահմանվում է «անմիջապես հետևում» կապը, և N-ի բոլոր տարրերը կկոչվեն բնական թվեր, և գործում է հետևյալը. Պեանոյի աքսիոմները:

ԱՔՍԻՈՄ 1.

ԱռատությամբՆկա մի տարր, որը անմիջապես չի հետևում այս հավաքածուի որևէ տարրի: Մենք այն կանվանենք միասնություն և կնշանակենք 1 նշանով։

ԱՔՍԻՈՄ 2.

Յուրաքանչյուր տարրի համար a ofՆկա մեկ տարր, որը անմիջապես հաջորդում է a.

ԱՔՍԻՈՄ 3.

Յուրաքանչյուր տարրի համար a ofՆԿա առավելագույնը մեկ տարր, որին անմիջապես հաջորդում է a.

ԱՔՍՈԻՄԱ 4.

Բազմության ցանկացած M ենթաբազմությունՆհամընկնում էՆ, եթե ունի հետևյալ հատկությունները. 1) 1-ը պարունակվում է M-ում. 2) Մ-ում a-ի պարունակությունից հետեւում է, որ a-ն պարունակվում է նաև Մ-ում։

Մի փունջ N,այն տարրերի համար, որոնց համար հաստատված է «ուղղակիորեն հետևում է...» կապը, որը բավարարում է 1-4 աքսիոմները, կոչվում է. բնական թվերի հավաքածու , և դրա տարրերն են բնական թվեր.

Եթե ​​որպես հավաքածու Նընտրեք ինչ-որ կոնկրետ բազմություն, որի վրա տրված է «ուղղակիորեն հետևում է...» կոնկրետ կապը՝ բավարարելով 1-4 աքսիոմները, այնուհետև մենք ստանում ենք տարբեր մեկնաբանություններ (մոդելներ) տրված աքսիոմային համակարգեր.

Peano աքսիոմային համակարգի ստանդարտ մոդելը թվերի շարք է, որոնք առաջացել են հասարակության պատմական զարգացման գործընթացում. 1, 2, 3, 4, 5, ...

Peano աքսիոմների մոդելը կարող է լինել ցանկացած հաշվելի բազմություն:

Օրինակ՝ I, II, III, IIII, ...

օ՜, օ՜, օ՜, օ՜...

մեկ երկու երեք չորս, …

Դիտարկենք բազմությունների մի հաջորդականություն, որտեղ բազմությունը (oo) սկզբնական տարրն է, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ բազմություն ստացվում է նախորդից՝ ավելացնելով ևս մեկ շրջան (նկ. 15):

Հետո Նկա մի շարք, որը բաղկացած է նկարագրված ձևի հավաքածուներից, և դա Peano աքսիոմային համակարգի մոդել է:

Իրոք, շատերի մեջ Նկա տարր (oo), որը անմիջապես չի հաջորդում տվյալ բազմության որևէ տարրի, այսինքն. Աքսիոմա 1-ը բավարարված է յուրաքանչյուր հավաքածուի համար ԱՔննարկվող բնակչության մեջ կա մեկ հավաքածու, որը ստացվում է Ամեկ շրջան ավելացնելով, այսինքն. Աքսիոմա 2-ը գործում է յուրաքանչյուր հավաքածուի համար Ակա առավելագույնը մեկ հավաքածու, որից ձևավորվում է բազմություն Ամեկ շրջան ավելացնելով, այսինքն. Աքսիոմա 3 գործում է, եթե ՄՆև հայտնի է, որ շատերը Ամեջ պարունակվող Մ,դրանից բխում է, որ մի բազմություն, որում կա մեկ ավելի շատ շրջան, քան բազմության մեջ Ա, նաև պարունակվող Մ, Դա M =Ն, և հետևաբար 4-րդ աքսիոմը բավարարված է։

Բնական թվի սահմանման մեջ աքսիոմներից ոչ մեկը չի կարելի բաց թողնել։

Եկեք պարզենք, թե նկ. 16-ը Peano աքսիոմների մոդելն է:

1 ա բ դ ա G) Նկ.16

Լուծում.Նկար 16 ա) ցույց է տալիս մի շարք, որտեղ 2-րդ և 3-րդ աքսիոմները բավարարված են: Բայց այս բազմությունում 1-ին աքսիոմը բավարարված չէ (աքսիոմա 4-ն իմաստ չունի, քանի որ բազմության մեջ չկա որևէ տարր, որն անմիջապես չհետևի որևէ այլին): Հետևաբար, այս հավաքածուն Peano աքսիոմների մոդել չէ:

Նկար 16 բ) ցույց է տալիս մի շարք, որտեղ 1, 3 և 4 աքսիոմները բավարարված են, բայց տարրի հետևում Աանմիջապես հաջորդում են երկու տարր, և ոչ թե մեկը, ինչպես պահանջվում է աքսիոմ 2-ում: Հետևաբար, այս հավաքածուն Peano աքսիոմների մոդել չէ:

Նկ. 16 գ) ցույց է տալիս մի շարք, որտեղ 1, 2, 4 աքսիոմները բավարարված են, բայց տարրը Հետանմիջապես հետևում է երկու տարրի անմիջապես. Հետևաբար, այս հավաքածուն Peano աքսիոմների մոդել չէ:

Նկ. 16 դ) ցույց է տալիս մի բազմություն, որը բավարարում է 2, 3 աքսիոմները, և եթե որպես սկզբնական տարր վերցնենք 5 թիվը, ապա այս բազմությունը կբավարարի 1 և 4 աքսիոմները: Այսինքն, այս բազմության մեջ յուրաքանչյուր տարրի համար կա եզակի մեկը: հետևելով դրան, և կա մեկ տարր, որին հետևում է: Կա նաև տարր, որը անմիջապես չի հետևում այս հավաքածուի որևէ տարրի, սա 5-ն է , դրանք. Աքսիոմա 1-ը բավարարված է, հետևաբար, աքսիոմա 4-ը նույնպես կբավարարվի:

Օգտագործելով Պեանոյի աքսիոմները, մենք կարող ենք ապացուցել մի շարք պնդումներ, օրինակ, մենք կապացուցենք, որ բոլոր բնական թվերի անհավասարությունը x x.

Ապացույց.Նշենք ըստ Աբնական թվերի հավաքածու, որոնց համար ա ա.Թիվ 1 պատկանում է Ա, քանի որ այն չի հետևում որևէ թվի Ն, ինչը նշանակում է, որ դա ինքնին չի հետևում. 1 1. Թող աԱ,Հետո ա ա.Նշենք Ամիջոցով բ. Աքսիոմ 3-ի ուժով. Աբ,դրանք. բ բԵվ բԱ.