≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Անհամասեռ ջերմահաղորդման հավասարում միատարր սահմանային պայմաններ. Ֆուրիեի մեթոդ ջերմային հավասարման համար. Ակնթարթային կետային աղբյուր

Ստորև մենք կքննարկենք համեմատաբար պարզ երկրաչափական և ֆիզիկական պայմանների համար ջերմաստիճանի դաշտերի որոշման մի քանի խնդիրներ, որոնք թույլ են տալիս պարզ ձևով վերլուծական լուծումներ և միևնույն ժամանակ տրամադրում են պինդ մարմնում ջերմության փոխանցման հետ կապված բնորոշ ֆիզիկական գործընթացների օգտակար նկարազարդում:

Դիտարկենք ջերմամեկուսացված կողային մակերեսով ձող (նկ. 38): Այս դեպքում ջերմության փոխանցումը կարող է տեղի ունենալ գավազանի երկայնքով: Եթե ​​ձողը հավասարեցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքին, ապա կայուն ջերմային հավասարումը կունենա ձև.

Ջերմային արձակման ծավալային հզորության ջերմային հաղորդունակության գործակցի հաստատուն արժեքների դեպքում վերջին հավասարումը կարող է ինտեգրվել երկու անգամ.

(75)

Ինտեգրման հաստատունները կարելի է գտնել սահմանային պայմաններից։ Օրինակ, եթե ձողի ծայրերում ջերմաստիճանը , . Հետո (75)-ից ունենք

Այստեղից մենք գտնում ենք ինտեգրման հաստատունները և . Նշված սահմանային պայմաններում լուծումը կընդունի ձևը

Վերջին բանաձեւից երեւում է , որ ջերմային աղբյուրների բացակայության դեպքում . Ձողում ջերմաստիճանը տատանվում է գծային մի սահմանային արժեքից մյուսը

Այժմ դիտարկենք սահմանային պայմանների մեկ այլ համակցություն: Թող արտաքին աղբյուրը ջերմային հոսք ստեղծի ձողի ձախ ծայրում: Ձողի աջ ծայրում մենք պահպանում ենք նախկին վիճակը, ուստի ունենք

Արտահայտելով այս պայմանները ընդհանուր ինտեգրալի օգնությամբ (75), մենք ստանում ենք համակարգ ինտեգրման հաստատունների նկատմամբ.

Ստացված համակարգից գտնելով անհայտ հաստատուններ՝ լուծում ենք ստանում ձևով

Ինչպես նախորդ օրինակում, ջերմության արտանետման ներքին աղբյուրների բացակայության դեպքում, գավազանի երկայնքով ջերմաստիճանի բաշխումը կլինի գծային

Այս դեպքում ջերմաստիճանը ձողի ձախ ծայրում, որտեղ գտնվում է ջերմության արտաքին աղբյուրը, հավասար կլինի .

Որպես հաջորդ օրինակ, եկեք գտնենք ջերմաստիճանի անշարժ բաշխումը շառավղով երկար շրջանաձև գլանով (նկ. 39): Այս դեպքում գլանաձեւ կոորդինատային համակարգի կիրառումը զգալիորեն կհեշտացնի առաջադրանքը: Երկար-շառավիղ մեծ հարաբերակցությամբ և բաշխման հաստատուններով բալոնի դեպքում

Որպես ջերմության արտանետման ներքին աղբյուր, մխոցի ծայրերից հեռու ջերմաստիճանը կարելի է համարել անկախ գլանային համակարգի առանցքային կոորդինատից: Այնուհետև կայուն ջերմային հավասարումը (71) ստանում է ձև

Վերջին հավասարման կրկնակի ինտեգրումը (հաստատունի համար) տալիս է

Մխոցի () առանցքի վրա ջերմաստիճանի բաշխման համաչափության պայմանը տալիս է

Որտեղ ենք մենք ստանում

Վերջին պայմանը կբավարարվի. Թող ջերմաստիճանը սահմանվի մխոցի մակերեսի վրա (): Այնուհետև հավասարումից կարելի է գտնել ինտեգրման երկրորդ հաստատունը

Այստեղից գտնում և գրում ենք լուծումը վերջնական ձևով

Որպես ստացված արդյունքի կիրառման թվային օրինակ՝ դիտարկում ենք մմ շառավղով գլանաձև աղեղի արտանետման պլազմայում ջերմաստիճանի բաշխումը։ Լիցքաթափման ալիքի սահմանը ձևավորվում է որպես շրջան, որտեղ իոնացման գործընթացները դադարում են: Վերևում մենք տեսանք, որ գազի նկատելի իոնացումը տաքացման ժամանակ կանգ է առնում K-ում: Հետևաբար, կրճատված արժեքը կարող է ընդունվել որպես սահման K: Ջերմային արտանետման հզորության ծավալային խտությունը արտանետվող պլազմայում կարելի է գտնել Ջուլ-Լենց օրենքի հիման վրա: որտեղ σ պլազմայի էլեկտրական հաղորդունակությունն է, Ե- էլեկտրական դաշտի ուժը լիցքաթափման ալիքում: Աղեղի արտանետման բնորոշ արժեքներն են 1/Օմ մ, Վ/մ: Աղեղի պլազմայի ջերմային հաղորդունակությունը ավելի բարձր է, քան չեզոք գազում, 10000 Կ կարգի ջերմաստիճանի դեպքում դրա արժեքը կարող է հավասար լինել: Այսպիսով, պարամետրը . Ջերմաստիճանի բաշխումը շառավղով ցույց է տրված նկ. 39. Այս դեպքում ելքի առանցքի () ջերմաստիճանը կլինի 8000 Կ։

Հետևյալ օրինակում մենք դիտարկում ենք գնդաձև համաչափությամբ ջերմային դաշտ: Նման պայմանները առաջանում են, մասնավորապես, եթե ջերմության փոքր աղբյուրը գտնվում է մեծ զանգվածում, օրինակ՝ մեծ էլեկտրական մեքենայի ոլորման մեջ շրջադարձային աղեղի անսարքություն: Այս դեպքում գնդաձև կոորդինատային համակարգի կենտրոնը ջերմության արտանետման աղբյուրի հետ համատեղելով՝ մենք կարող ենք կայուն ջերմային հավասարումը (64) բերել հետևյալ ձևի.

Երկու անգամ ինտեգրելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք

Վերադառնալով մեր օրինակին, ենթադրենք, որ աղեղի խզումը տեղի է ունենում շառավղով գնդաձև խոռոչի ներսում (նկ. 40): Վերցնենք աղեղի արտանետման դիմադրությունը, որը հավասար է Ohm-ին, լիցքաթափման հոսանքը A: Այնուհետև խոռոչում թողարկվող հզորությունը կլինի . Եկեք քննարկենք լուծումը ջերմության աղբյուրի շրջանակից դուրս:

Այնուհետև ջերմային հավասարման ինտեգրալն ավելի պարզ է դառնում

Ինտեգրման հաստատունները հաշվարկելու համար մենք նախ օգտագործում ենք պայմանը արտանետման վայրից անսահման հեռավորության վրա գտնվող կետերում, որտեղ C-ը շրջակա միջավայրի ջերմաստիճանն է: Վերջին արտահայտությունից մենք գտնում ենք. Հաստատունը որոշելու համար մենք ենթադրում ենք, որ արտահոսքի մեջ թողարկված ջերմային էներգիան հավասարաչափ բաշխված է շառավղով գնդաձև խոռոչի մակերևույթի վրա: Հետեւաբար, ջերմային հոսքը խոռոչի սահմանին կլինի

Քանի որ , ապա վերջին երկու հավասարումներից մենք ունենք

և վերջնական որոշումը

Այս դեպքում խոռոչի սահմանին (մմ) ջերմաստիճանը W/mK կլինի Կ (նկ. 40):

Որպես այս խմբի առաջին օրինակ, դիտարկեք ջերմային դաշտը հովացման ալիքով կլոր մետաղալարի խաչմերուկում (նկ. 41, Ա) Սառեցման ալիքներով լարերը օգտագործվում են հզոր էլեկտրական մեքենաների և ոլորունների ոլորուններում՝ ուժեղ մագնիսական դաշտեր արտադրելու համար: Այս սարքերը բնութագրվում են հարյուրավոր և նույնիսկ հազարավոր ամպերի ամպլիտուդով հոսանքների երկար հոսքով: Օրինակ, հեղուկը մղվում է, օրինակ՝ ջուրը կամ գազը (ջրածինը, օդը), որն ապահովում է ալիքի ներքին մակերևույթից ջերմային էներգիայի ընտրությունը և հաղորդալարի սառեցումը որպես ամբողջություն։ Այս դեպքում մենք գործ ունենք ալիքի մակերեսի հարկադիր կոնվեկտիվ սառեցման հետ, որի համար կարող ենք օգտագործել վերը (67) հիմնավորված երրորդ տեսակի սահմանային պայմանը։ Եթե ​​գլանաձեւ կոորդինատային համակարգի առանցքը միացնենք մետաղալարի առանցքի հետ, ապա ջերմաստիճանը կախված կլինի միայն շառավղային կոորդինատից։ Այս դեպքի համար ստացիոնար ջերմային հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը ստացվել է ավելի վաղ

Ջերմային արձակման հզորության ծավալային խտությունը հայտնաբերվում է Ջուլ-Լենցի օրենքից. ժ- ընթացիկ խտությունը, σ - էլեկտրական հաղորդունակություն,

Որտեղ Ռ- մետաղալարերի հատվածի շառավիղը, ա- հովացման ալիքի շառավիղը. Հաղորդալարը արտաքինից շրջապատված է մեկուսիչ շերտերով, որոնք, համեմատած հաղորդիչի հետ, ունեն համեմատաբար ցածր ջերմահաղորդություն։ Հետևաբար, առաջին մոտավորմամբ մենք ընդունում ենք մետաղալարի արտաքին մակերեսը որպես ջերմամեկուսացված, այսինքն՝ դրա վրա ջերմային հոսքը։

Սառեցման ալիքի մակերեսի վրա ջերմային հոսքը որոշվում է երրորդ տեսակի պայմանով

որտեղ է ջերմության փոխանցման գործակիցը, հովացման հոսքի ջերմաստիճանն է: Աջ կողմի մինուս նշանը վերցված է այն պատճառով, որ ալիքի ներքին մակերեսի նորմալն ուղղված է առանցքի հակառակ ուղղությամբ:

Ջերմաստիճանի (76) արտահայտությունը փոխարինելով գրված սահմանային պայմաններից առաջինում՝ ստանում ենք

որտեղ . Երկրորդ սահմանային պայմանը տալիս է

որտեղ ենք գտնում

Այնուամենայնիվ, սկսած (76)

Համեմատելով վերջին երկու արտահայտությունները՝ գտնում ենք

Գտնված հաստատունները ընդհանուր լուծման (76) և փոխակերպումների մեջ փոխարինելուց հետո ստանում ենք

Ստացված լուծույթից մետաղալարերի հատվածի սահմաններում ջերմաստիճանը կհաշվարկվի բանաձևերով

Ջերմաստիճանի բաշխումը հատվածի շառավիղով հովացման ալիքով մետաղալարերի համար՝ պարամետրերով՝ A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm ցույց է տրված նկ. 41, բ.

Սկսած թզ. 41, բհետևում է, որ մետաղալարերի խաչմերուկում ջերմաստիճանի փոփոխությունը համեմատաբար փոքր է՝ համեմատած դրա միջին արժեքի հետ, ինչը բացատրվում է բարձր ջերմահաղորդականությամբ։ λ և մետաղալարի համեմատաբար փոքր խաչմերուկի չափերը:

Այլ իրավիճակ է առաջանում մետաղալարի երկայնքով ջերմաստիճանի բաշխման մեջ, որը բաղկացած է միմյանց հետ շփվող առանձին հատվածներից։ Միացված դիրիժորների միջև շփումների որակի վատթարացումը հանգեցնում է երկու լարերի միացման կետում ջերմության արտադրության ավելացմանը, համեմատած հենց մետաղալարերի հետ: Լարերի ջերմաստիճանի հեռավոր չափումը ջերմային պատկերների կամ պիրոմետրերի միջոցով թույլ է տալիս ախտորոշել կոնտակտային կապերի որակը:

Եկեք հաշվարկենք լարերի երկայնքով ջերմաստիճանի բաշխումը թերի շփման առկայության դեպքում: Նախորդ օրինակը ցույց տվեց, որ նույնիսկ ամենադժվար պայմաններում ջերմաստիճանի փոփոխությունը մետաղալարերի հատվածում շատ փոքր է: Հետևաբար, մեր հաշվարկի համար մենք կարող ենք առաջին մոտավորմամբ ենթադրել, որ ջերմաստիճանի բաշխումը մետաղալարի խաչմերուկում միատեսակ է: Լարի երկայնքով ջերմության բաշխումը կախված է լարերի երկայնքով էլեկտրական դիմադրության բաշխումից, որը միատեսակ է շփումից հեռու և մեծանում է դրան մոտենալիս: Եկեք համատեղենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքը մետաղալարի առանցքի հետ, իսկ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը՝ շփման տարածքի կենտրոնի հետ (նկ. 42): Որպես մետաղալարի երկայնքով դիմադրության բաշխման մոդել, մենք վերցնում ենք գծային դիմադրության հետևյալ բաշխումը

որտեղ , կոնտակտային տարածքի գծային չափը բնութագրող պարամետր է : Հաղորդալարի մեկ միավորի երկարության համար ջերմության արտանետման հզորությունը կազմում է . Մեկ միավորի ծավալի համար ջերմության արտանետման հզորությունը կազմում է

Որտեղ Ս- մետաղալարերի հատվածը. Հաղորդալարը սառչում է իր մակերեսից բնական կոնվեկցիայի միջոցով: Կոնվեկտիվ ջերմային հոսքը մետաղալարի մեկ միավորի երկարության վրա է

Որտեղ α - ջերմության փոխանցման գործակիցը, - շրջակա օդի ջերմաստիճանը, էջ- մետաղալարերի հատվածի պարագիծը. Ջերմափոխադրումը շրջակա միջավայր մեկ միավորի հաղորդիչի ծավալով կլինի

Լարի երկայնքով կայուն ջերմաստիճանի բաշխումը կհնազանդվի ջերմային հաղորդման հավասարմանը

Ստացված հավասարման հետագա փոխակերպումների համար մենք վերցնում ենք ջերմային հաղորդունակության գործակիցը մետաղալարի երկայնքով, վերը նշված արտահայտությունները փոխարինում ենք և-ով և նաև որպես ցանկալի ֆունկցիա՝ փոխարենը: Տվերցնենք.

մենք հասնում ենք գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարմանը

Ստացված հավասարման լուծումը մենք կփնտրենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման գումարի տեսքով

և կոնկրետ լուծում աջ կողմի տեսքով

.

Հանրահաշվական հավասարումների լուծում Նյուտոնի մեթոդով

Հավասարումների լուծման բավականին տարածված մեթոդ է շոշափող մեթոդ, կամ Նյուտոնի մեթոդը. Այս դեպքում ձևի հավասարում զ(x) = 0-ը լուծվում է հետևյալ կերպ. Նախ ընտրվում է զրոյական մոտարկումը (կետ x 0): Այս պահին գծվում է գրաֆիկին շոշափող y = զ(x) Այս շոշափողի x առանցքի հետ հատման կետը արմատի հաջորդ մոտավորությունն է (կետ x 1). Այս պահին կրկին շոշափվում է և այլն: Կետերի հաջորդականություն x 0 , x 1 , x 2 ... պետք է հանգեցնի արմատի իրական արժեքին: Կոնվերգենցիայի պայմանն է.

Քանի որ կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը x 0 , զ(x 0) (և սա շոշափողն է) գրվում է այսպես

և որպես հաջորդ մոտավորություն x 1 սկզբնական հավասարման արմատի համար վերցված է այս ուղիղի հատման կետը աբսցիսայի առանցքի հետ, ապա այն պետք է դրվի այս կետում. y = 0:

որից անմիջապես բխում է նախորդի համեմատ հաջորդ մոտարկումը գտնելու հավասարումը.

Նկ. Նկար 3-ը ցույց է տալիս Նյուտոնի մեթոդի իրականացումը Excel-ի միջոցով: B3 բջիջում մուտքագրեք նախնական մոտավորությունը ( x 0 = -3), այնուհետև բոլոր միջանկյալ արժեքները հաշվարկվում են սյունակի մնացած բջիջներում մինչև հաշվարկը x 1 . Երկրորդ քայլը կատարելու համար B10 բջիջի արժեքը մուտքագրվում է C3 բջիջ, և հաշվարկման գործընթացը կրկնվում է C սյունակում: Այնուհետև, ընտրելով C2:C10 բջիջները, կարող եք այն երկարացնել դեպի D:F սյունակներ՝ քաշելով նշիչը ընտրված տարածքի ստորին աջ անկյունը: Արդյունքում F6 բջիջում ստացվում է 0 արժեքը, այսինքն. F3 բջիջի արժեքը հավասարման արմատն է:

Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ ցիկլային հաշվարկների միջոցով: Այնուհետև առաջին սյունակը լրացնելուց և առաջին արժեքը ստանալուց հետո x 1, H3 բջիջում մուտքագրեք =H10 բանաձեւը: Այս դեպքում հաշվողական գործընթացը կշրջվի, և որպեսզի այն կատարվի, ընտրացանկում Ծառայություն | Ընտրանքներներդիր Համակարգչայինվանդակը պետք է ստուգվի Կրկնումներև նշեք կրկնվող գործընթացի քայլերի սահմանային թիվը և հարաբերական սխալը (0,001-ի լռելյայն արժեքը շատ դեպքերում ակնհայտորեն բավարար չէ), որին հասնելուց հետո հաշվողական գործընթացը կդադարի:

Ինչպես հայտնի է, այնպիսի ֆիզիկական գործընթացներ, ինչպիսիք են ջերմության փոխանցումը, զանգվածի փոխանցումը դիֆուզիայի գործընթացում, ենթարկվում են Ֆիկի օրենքին.

Որտեղ լ- ջերմային հաղորդունակության գործակիցը (դիֆուզիոն), և Տջերմաստիճանն է (կոնցենտրացիան) և համապատասխան արժեքի հոսքն է։ Մաթեմատիկայից հայտնի է, որ հոսքի դիվերգենցիան հավասար է աղբյուրի զանգվածային խտությանը Քայս արժեքը, այսինքն.

կամ երկչափ դեպքի համար, երբ ուսումնասիրվում է ջերմաստիճանի բաշխումը մեկ հարթությունում, այս հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

Այս հավասարման լուծումը վերլուծականորեն հնարավոր է միայն պարզ ձևի տարածքների համար՝ ուղղանկյուն, շրջան, օղակ: Այլ իրավիճակներում այս հավասարման ճշգրիտ լուծումն անհնար է, այսինքն. Հնարավոր չէ նաև որոշել ջերմաստիճանի (կամ նյութի կոնցենտրացիայի) բաշխումը բարդ դեպքերում։ Այնուհետև պետք է օգտագործել մոտավոր մեթոդներ նման հավասարումների լուծման համար։

Բարդ ձևի տարածաշրջանում (4) հավասարման մոտավոր լուծումը բաղկացած է մի քանի փուլից. 1) ցանցի կառուցում. 2) տարբերության սխեմայի կառուցում. 3) հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում. Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք փուլերից յուրաքանչյուրը և դրանց իրականացումը Excel փաթեթի միջոցով:

Ցանց կառուցելը.Թող շրջանը ունենա Նկ. 4. Այս ձևով անհնար է (4) հավասարման ճշգրիտ վերլուծական լուծումը, օրինակ՝ փոփոխականների տարանջատման մեթոդով։ Հետևաբար, մենք կփնտրենք այս հավասարման մոտավոր լուծումը առանձին կետերում: Տարածաշրջանին կիրառեք միատեսակ ցանց, որը բաղկացած է կողքերով քառակուսիներից հ. Այժմ, փոխանակ փնտրելու (4) հավասարման շարունակական լուծումը, որը սահմանված է տարածաշրջանի յուրաքանչյուր կետում, մենք կփնտրենք մոտավոր լուծում, որը սահմանված է միայն շրջանի վրա կիրառվող ցանցի հանգույցային կետերում, այսինքն. հրապարակների անկյուններում:

Տարբերության սխեմայի կառուցում.Տարբերության սխեման կառուցելու համար դիտարկեք կամայական ներքին ցանցային հանգույց C (կենտրոնական) (նկ. 5): Դրան կից չորս հանգույցներ՝ B (վերին), H (ներքև), L (ձախ) և P (աջ): Հիշեցնենք, որ ցանցի հանգույցների միջև հեռավորությունը կազմում է հ. Այնուհետև, օգտագործելով (2) արտահայտությունը (4) հավասարման երկրորդ ածանցյալների մոտավոր նշման համար, մենք կարող ենք մոտավորապես գրել.

որտեղից հեշտ է ստանալ արտահայտություն, որը կապում է կենտրոնական կետի ջերմաստիճանի արժեքը հարևան կետերի արժեքների հետ.

Արտահայտությունը (5) թույլ է տալիս մեզ, իմանալով հարևան կետերում ջերմաստիճանի արժեքները, հաշվարկել դրա արժեքը կենտրոնական կետում: Նման սխեման, որտեղ ածանցյալները փոխարինվում են վերջավոր տարբերություններով, և միայն մոտակա հարևան կետերի արժեքներն են օգտագործվում ցանցի կետում արժեքներ որոնելու համար, կոչվում է կենտրոնական տարբերության սխեման, և մեթոդն ինքնին. կոչվում է վերջավոր տարբերության մեթոդ:

Պետք է հասկանալ, որ ցանցի ԱՄԵՆ կետի ՀԱՄԱՐ ստանում ենք (5)-ի նման հավասարում, որը, այսպիսով, պարզվում է, որ կապված են միմյանց հետ։ Այսինքն՝ ունենք հանրահաշվական հավասարումների համակարգ, որտեղ հավասարումների թիվը հավասար է ցանցային հանգույցների թվին։ Նման հավասարումների համակարգը կարող է լուծվել տարբեր մեթոդներով։

Հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում. Կրկնման մեթոդ.Թող ջերմաստիճանը սահմանային հանգույցներում տրվի և հավասար լինի 20-ի, իսկ ջերմության աղբյուրի հզորությունը հավասար լինի 100-ի: Մեր տարածքի չափերը տրված են և հավասար են 6-ի ուղղահայաց և 8-ի հորիզոնական, ուստի ցանցի քառակուսի կողմը (քայլ) հ= 1. Այնուհետև (5) արտահայտությունը ներքին կետերում ջերմաստիճանը հաշվարկելու համար ձև է ստանում

Եկեք Excel թերթի վրա բջիջ վերագրենք յուրաքանչյուր NODE-ին: Սահմանային կետերին համապատասխան բջիջներում մուտքագրեք 20 թիվը (նկ. 6-ում դրանք ընդգծված են մոխրագույնով): Մնացած բջիջներում մենք գրում ենք բանաձևը (6): Օրինակ, F2 բջիջում այն ​​կունենա հետևյալ տեսքը՝ =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4: Այս բանաձևը գրելով F2 բջիջում, կարող եք պատճենել այն և տեղադրել ներքին հանգույցներին համապատասխանող տարածքի մնացած բջիջներում: Այս դեպքում Excel-ը կհայտնի արդյունքների շրջադարձի պատճառով հաշվարկներ կատարելու անհնարինության մասին.

Սեղմեք «Չեղարկել» և անցեք պատուհան Ծառայություն|Ընտրանքներ|Հաշվարկներ, որտեղ նշեք «Iterations» բաժնի վանդակը՝ նշելով 0.00001 որպես հարաբերական սխալ, իսկ 10000 որպես կրկնությունների առավելագույն քանակ.

Նման արժեքները մեզ կտրամադրեն մի փոքր COUNTING սխալ և երաշխավորում են, որ կրկնվող գործընթացը կհասնի նշված սխալին:

Այնուամենայնիվ, այս արժեքները ՉԵՆ ՏՐԱՄԱԴՐՈՒՄ բուն մեթոդի փոքր սխալ, քանի որ վերջինս կախված է այն սխալից, երբ երկրորդ ածանցյալները փոխարինվում են վերջավոր տարբերություններով: Ակնհայտ է, որ այս սխալը որքան փոքր է, այնքան փոքր է ցանցի քայլը, այսինքն. քառակուսու չափը, որի վրա կառուցված է մեր տարբերությունների սխեման: Սա նշանակում է, որ ճիշտ ՀԱՇՎԱՐԿՎԱԾ ջերմաստիճանի արժեքը ցանցի հանգույցներում, որը ցույց է տրված Նկ. 6-ը կարող է իրականում պարզվել, որ ամբողջովին չի համապատասխանում իրականությանը: Գտնված լուծումը ստուգելու միայն մեկ եղանակ կա՝ գտնել այն ավելի նուրբ ցանցի վրա և համեմատել այն նախորդի հետ: Եթե ​​այս լուծումները քիչ են տարբերվում, ապա կարելի է ենթադրել, որ հայտնաբերված ջերմաստիճանի բաշխումը համապատասխանում է իրականությանը:

Եկեք կիսով չափ կրճատենք քայլը: 1-ի փոխարեն այն կդառնա հավասար ½-ի: Հանգույցների թիվը համապատասխանաբար կփոխվի: Ուղղահայաց՝ 7 հանգույցի փոխարեն (կար 6 քայլ, այսինքն՝ 7 հանգույց) կդառնա 13 (12 քառակուսի, այսինքն՝ 13 հանգույց), իսկ հորիզոնականում՝ 9-ի փոխարեն՝ 17։ Միևնույն ժամանակ, չպետք է. մոռացեք, որ քայլի չափը կիսով չափ կրճատվել է, և այժմ բանաձևում (6) 1 2-ի փոխարեն դուք պետք է փոխարինեք (1/2) 2-ը աջ կողմում: Որպես հսկիչ կետ, որտեղ մենք կհամեմատենք գտնված լուծումները, վերցնում ենք առավելագույն ջերմաստիճանով կետը, որը նշված է Նկ. 6 դեղին. Հաշվարկների արդյունքը ներկայացված է նկ. 9:

Կարելի է տեսնել, որ քայլի նվազումը հանգեցրել է հսկիչ կետում ջերմաստիճանի արժեքի զգալի փոփոխության՝ 4%-ով: Գտնված լուծման ճշգրտությունը բարելավելու համար ցանցի քայլը պետք է էլ ավելի կրճատվի: Համար հ= ¼ մենք ստանում ենք 199.9 կառավարման կետում, իսկ h = 1/8-ի համար համապատասխան արժեքը 200.6 է: Դուք կարող եք գծագրել հայտնաբերված արժեքի կախվածությունը քայլի չափից.

Նկարից կարելի է եզրակացնել, որ քայլի հետագա նվազումը չի հանգեցնի հսկիչ կետում ջերմաստիճանի էական փոփոխության, և գտնված լուծույթի ճշգրտությունը կարելի է բավարար համարել:

Օգտագործելով Excel փաթեթի հնարավորությունները, դուք կարող եք կառուցել ջերմաստիճանի մակերես, որը տեսողականորեն ներկայացնում է դրա բաշխումը ուսումնասիրվող տարածքում:

սկզբնական պայմաններով

և սահմանային պայմանները

Մենք կփնտրենք այս խնդրի լուծումը Ֆուրիեի շարքի տեսքով՝ կապված սեփական ֆունկցիաների համակարգի հետ (94)

դրանք. տարրալուծման տեսքով

դիտարկելիս տպարամետր.

Թողեք գործառույթները զ(x, տ) շարունակական է և մասամբ ունի 1-ին կարգի շարունակական ածանցյալ Xև բոլորի համար տՊայմանները պահպանված են >0

Այժմ ենթադրենք, որ գործառույթները զ(x, տ) Եվ
սինուսների առումով կարելի է ընդլայնել Ֆուրիեի շարքի

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Մենք (116) փոխարինում ենք (113) հավասարմամբ և, հաշվի առնելով (117)՝ ստանում ենք.

.

Այս հավասարությունը գործում է, երբ

, (121)

կամ եթե
, ապա այս հավասարումը (121) կարելի է գրել այսպես

. (122)

Օգտագործելով նախնական պայմանը (114), հաշվի առնելով (116), (117) և (119), մենք ստանում ենք.

. (123)

Այսպիսով, գտնել ցանկալի գործառույթը
Մենք հասնում ենք Քոշիի խնդրին (122), (123) առաջին կարգի սովորական անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման համար: Օգտվելով Էյլերի բանաձևից՝ կարող ենք գրել (122) հավասարման ընդհանուր լուծումը.

,

եւ հաշվի առնելով (123)՝ Քոշիի խնդրի լուծումը

.

Հետևաբար, երբ մենք փոխարինում ենք այս ֆունկցիայի արժեքը արտահայտությամբ (116), մենք ի վերջո կստանանք սկզբնական խնդրի լուծումը.

(124)

որտեղ գործում է զ(x, տ) Եվ
սահմանվում են (118) և (120) բանաձևերով։

Օրինակ 14 Գտեք պարաբոլիկ տիպի անհամասեռ հավասարման լուծում

նախնական պայմանով

(14.2)

և սահմանային պայմանները

. (14.3)

▲ Եկեք նախ ընտրենք նման գործառույթ  բավարարել սահմանային պայմանները (14.3). Եկեք, օրինակ,  = xt 2. Հետո

Հետևաբար, գործառույթը սահմանված է որպես

բավարարում է հավասարումը

(14.5)

միատարր սահմանային պայմաններ

և զրոյական սկզբնական պայմաններ

. (14.7)

Ֆուրիեի մեթոդի կիրառում միատարր հավասարումը լուծելու համար

պայմաններով (14.6), (14.7), մենք սահմանել ենք

.

Մենք հասնում ենք Ստուրմ-Լյուվիլյան հետևյալ խնդրին.

,
.

Լուծելով այս խնդիրը՝ մենք գտնում ենք սեփական արժեքները

և դրանց համապատասխան սեփական գործառույթները

. (14.8)

(14.5)-(14.7) խնդրի լուծումը որոնվում է շարքի տեսքով.

, (14.9)

(14.10)

Փոխարինող
(14.9)-ից մինչև (14.5) մենք ստանում ենք

. (14.11)

Գործառույթ գտնելու համար Տ n (տ) ընդլայնել գործառույթը (1- X) Ֆուրիեի շարքում (14.8) ֆունկցիաների համակարգում (0,1) միջակայքում.

. (14.12)

,

իսկ (14.11) և (14.12)-ից ստանում ենք հավասարումը

, (14.13)

որն առաջին կարգի սովորական անհամասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարում է։ Մենք գտնում ենք դրա ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով Էյլերի բանաձևը

և հաշվի առնելով պայմանը (14.10)՝ գտնում ենք Քոշիի խնդրի լուծումը

. (14.14)

(14.4), (14.9) և (14.14)-ից մենք գտնում ենք սկզբնական խնդրի լուծումը (14.1)-(14.3)

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

Լուծեք սկզբնական սահմանային արժեքի խնդիրները

3.4. Կոշիի խնդիր ջերմային հավասարման համար

Նախ դիտարկենք Cauchy խնդիր համար միատարր ջերմային հավասարում.

գոհացուցիչ

Սկսենք փոփոխականները փոխելով x Եվ տվրա
և ներկայացրեք գործառույթը
. Այնուհետև գործառույթները
կբավարարի հավասարումները

Որտեղ
- Գրինի ֆունկցիան՝ սահմանված բանաձևով

, (127)

և ունենալով հատկություններ

; (130)

. (131)

Առաջին հավասարումը բազմապատկելով Գ* , իսկ երկրորդը դեպի Եվայնուհետև գումարելով ստացված արդյունքները՝ ստանում ենք հավասարություն

. (132)

Հավասարության մասերով (132) ինտեգրվելուց հետո սկսած -∞-ից մինչև +∞ և սկսած 0-ից մինչև տ, ստանում ենք

Եթե ​​ենթադրենք, որ ֆունկցիան
և դրա ածանցյալը սահմանափակված է
, ապա, շնորհիվ (131) հատկությունների, (133)-ի աջ կողմի ինտեգրալը հավասար է զրոյի։ Հետեւաբար, կարելի է գրել

Այս հավասարության մեջ փոխարինելով
, Ա
վրա
, ստանում ենք հարաբերակցությունը

.

Այսպիսով, օգտագործելով (127) բանաձևը, մենք վերջապես ստանում ենք

. (135)

Բանաձևը (135) կոչվում է Պուասոնի բանաձևը և որոշում է Քոշիի խնդրի լուծումը (125), (126) ոչ միատարր սկզբնական պայմանով միատարր ջերմային հավասարման համար։

Լուծումը Քոշիի խնդիրը անհամասեռ ջերմային հավասարման համար

գոհացուցիչ անհամասեռ սկզբնական վիճակ

լուծումների գումարն է.

որտեղ է Քոշիի խնդրի լուծումը միատարր ջերմային հավասարման համար . , որը բավարարում է անհամասեռ սկզբնական պայմանը և լուծում է, որը բավարարում է միատարր սկզբնական պայմանը։ Այսպիսով, Քոշիի խնդրի լուծումը (136), (137) որոշվում է բանաձևով

Օրինակ 15 Գտեք հավասարման լուծում

(15.1)

գավազանների ջերմաստիճանի հետևյալ բաշխման համար.

▲ Ձողը անսահման է, ուստի լուծումը կարելի է գրել՝ օգտագործելով (135) բանաձևը:

.

Որովհետեւ
միջակայքում
հավասար է մշտական ​​ջերմաստիճանին , և այս միջակայքից դուրս ջերմաստիճանը հավասար է զրոյի, ապա լուծումը ստանում է ձև

. (15.3)

Ենթադրելով, որ (15.3)
, ստանում ենք

.

Քանի որ

հավանականությունների ինտեգրալն է, ապա սկզբնական խնդրի վերջնական լուծումը (13.1), (13.2) կարող է արտահայտվել բանաձևով.

.▲

Ջերմային հավասարումը ոչ ստացիոնար դեպքի համար

ոչ ստացիոնար, եթե մարմնի ջերմաստիճանը կախված է ինչպես կետի դիրքից, այնպես էլ ժամանակից։

Նշել ըստ Եվ = Եվ(Մ, տ) ջերմաստիճանը կետում Մմակերեսով սահմանափակված միատարր մարմին Ս, ժամանակի պահին տ. Հայտնի է, որ ջերմության քանակությունը dQժամանակի ընթացքում կլանված dt, արտահայտվում է հավասարությամբ

Որտեղ dS- մակերեսային տարր, կ− ներքին ջերմահաղորդականության գործակից, − ֆունկցիայի ածանցյալ Եվմակերեսին արտաքին նորմալի ուղղությամբ Ս. Քանի որ այն տարածվում է ջերմաստիճանի նվազման ուղղությամբ, ապա dQ> 0, եթե > 0, և dQ < 0, если < 0.

Հավասարությունից (1) հետևում է

Հիմա եկեք գտնենք Քայլ կերպ. Ընտրեք տարր dVծավալը Վ, սահմանափակված է մակերեսով Ս. Ջերմության քանակություն dQստացված տարրի կողմից dVընթացքում dt, համաչափ այս տարրի ջերմաստիճանի բարձրացմանը և բուն տարրի զանգվածին, այսինքն.

որտեղ է նյութի խտությունը, համաչափության գործակիցը, որը կոչվում է նյութի ջերմունակություն:

Հավասարությունից (2) հետևում է

Այսպիսով,

Որտեղ. Հաշվի առնելով, որ = , , մենք ստանում ենք

Հավասարության աջ կողմը փոխարինելով Օստրոգրադսկի-Գրին բանաձևով, մենք ստանում ենք.

ցանկացած ծավալի համար Վ. Դրանից մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում

որը կոչվում է ջերմային հավասարումը ոչ անշարժ դեպքի համար.

Եթե ​​մարմինը ձող է՝ ուղղված առանցքի երկայնքով Օ՜, ապա ջերմային հավասարումը ունի ձև

Դիտարկենք Քոշիի խնդիրը հետևյալ դեպքերի համար.

1. Անսահմանափակ ձողի դեպք.Գտեք (3) հավասարման լուծումը տ> 0, ) բավարարում է նախնական պայմանը: Օգտագործելով Ֆուրիեի մեթոդը, մենք լուծում ենք ստանում ձևով

− Պուասոնի ինտեգրալ։

2. Գամասեղի պատյան, սահմանափակվում է մի կողմից:(3) հավասարման լուծումը, որը բավարարում է նախնական պայմանը և սահմանային պայմանը, արտահայտվում է բանաձևով.

3. Գամասեղի պատյան, սահմանափակված է երկու կողմից:Քոշիի խնդիրն այն է X= 0 և X = լգտե՛ք (3) հավասարման լուծումը, որը բավարարում է սկզբնական պայմանը և երկու սահմանային պայմանները, օրինակ, կամ .

Այս դեպքում կոնկրետ լուծում է որոնվում շարքի տեսքով

սահմանային պայմանների համար,

և շարքի տեսքով

սահմանային պայմանների համար.

Օրինակ.Գտեք հավասարման լուծում

նախնական պայմանները բավարարելը

և սահմանային պայմանները:

□ Կոշիի խնդրի լուծումը մենք կփնտրենք ձևով

Այսպիսով,

Ջերմային հավասարումը անշարժ գործի համար

Ջերմության բաշխումը մարմնում կոչվում է ստացիոնարեթե մարմնի ջերմաստիճանը Եվկախված է կետի դիրքից Մ(X, ժամը, զ), բայց կախված չէ ժամանակից տ, այսինքն.

Եվ = Եվ(Մ) = Եվ(X, ժամը, զ).

Այս դեպքում 0-ը և անշարժ գործի ջերմային հավասարումը վերածվում է Լապլասի հավասարումը

որը հաճախ գրվում է որպես .

Դեպի ջերմաստիճան Եվմարմնում միանշանակ որոշվել է այս հավասարումից, դուք պետք է իմանաք մակերեսի ջերմաստիճանը Սմարմինը. Այսպիսով, (1) հավասարման համար սահմանային արժեքի խնդիրը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ.

Գտեք հատկանիշ Եվ, բավարարող հավասարումը (1) ծավալի ներսում Վև ստանալ յուրաքանչյուր կետում Մմակերեսներ Սսահմանված կետերը

Այս առաջադրանքը կոչվում է Դիրիխլեի խնդիրըկամ առաջին սահմանային արժեքի խնդիրը(1) հավասարման համար։

Եթե ​​մարմնի մակերեսի ջերմաստիճանը անհայտ է, և ջերմության հոսքը մակերեսի յուրաքանչյուր կետում հայտնի է, որը համաչափ է, ապա մակերեսի վրա Ս(2) սահմանային պայմանի փոխարեն կունենանք պայման

(1) հավասարման լուծում գտնելու խնդիրը, որը բավարարում է սահմանային պայմանը (3) կոչվում է. Նեյմանի խնդիրկամ երկրորդ սահմանային արժեքի խնդիր.

Հարթ թվերի համար Լապլասի հավասարումը գրված է այսպես

Նույն ձևն ունի տարածության Լապլասի հավասարումը, եթե Եվկախված չէ կոորդինատից զ, այսինքն. Եվ(Մ) մնում է հաստատուն, երբ կետը շարժվում է Մառանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի երկայնքով Օզ.

Փոխարինելով (4) հավասարումը կարող է վերածվել բևեռային կոորդինատների

Հարմոնիկ ֆունկցիա հասկացությունը կապված է Լապլասի հավասարման հետ։ Ֆունկցիան կոչվում է ներդաշնակտարածքում Դ, եթե այս շրջանում այն ​​շարունակական է իր ածանցյալների հետ մինչև երկրորդ կարգի ներառյալ և բավարարում է Լապլասի հավասարումը։

Օրինակ.Գտե՛ք ջերմաստիճանի անշարժ բաշխումը ջերմամեկուսացված կողային մակերեսով բարակ ձողի մեջ, եթե ձողի ծայրերում, .

□ Մենք ունենք միաչափ պատյան։ Պետք է գտնել գործառույթ Եվ, բավարարելով հավասարումը և սահմանային պայմանները, . Այս հավասարման ընդհանուր հավասարումն ունի ձևը. Հաշվի առնելով սահմանային պայմանները՝ մենք ստանում ենք

Այսպիսով, ջերմային մեկուսացված կողային մակերեսով բարակ ձողում ջերմաստիճանի բաշխումը գծային է: ■

Դիրիխլեի խնդիրը շրջանագծի համար

Թող տրվի շառավղով շրջան Ռկենտրոնացած բևեռի վրա ՄԱՍԻՆբևեռային կոորդինատային համակարգ. Պետք է գտնել մի ֆունկցիա, որը ներդաշնակ է շրջանագծի մեջ և բավարարում է իր շրջանագծի պայմանը, որտեղ է տրված ֆունկցիան, որը շարունակական է շրջանագծի վրա: Ցանկալի ֆունկցիան պետք է բավարարի շրջանագծի Լապլասի հավասարումը

Օգտագործելով Ֆուրիեի մեթոդը, կարելի է ստանալ

− Պուասոնի ինտեգրալ։

Օրինակ.Գտեք անշարժ ջերմաստիճանի բաշխումը շառավղով միատարր բարակ կլոր ափսեի վրա Ռ, վերին կեսը պահվում է , իսկ ստորին կեսը .

□ Եթե , ապա , իսկ եթե , ապա . Ջերմաստիճանի բաշխումն արտահայտվում է ինտեգրալով

Թող գտնվելու վայրը լինի վերին կիսաշրջանում, այսինքն. ; այնուհետև փոխվում է մինչև , և այս երկարության միջակայքը միավորներ չի պարունակում: Հետևաբար ներկայացնում ենք փոխարինումը, որտեղից էլ՝ . Հետո մենք ստանում ենք

Քանի որ աջ կողմը բացասական է, ուրեմն Եվքանի որ բավարարում է անհավասարությունները: Այս դեպքում մենք լուծում ենք ստանում

Եթե ​​կետը գտնվում է ստորին կիսաշրջանում, այսինքն. , ապա փոփոխության միջակայքը պարունակում է կետը, բայց չի պարունակում 0, և մենք կարող ենք փոխարինում կատարել, որտեղից, ապա այս արժեքների համար մենք ունենք

Նմանատիպ փոխակերպումներից հետո մենք գտնում ենք

Քանի որ աջ կողմն այժմ դրական է, ուրեմն . ■

Ջերմային հավասարման լուծման վերջավոր տարբերության մեթոդ

Թող պահանջվի գտնել հավասարման լուծում

բավարարող:

նախնական վիճակ

և սահմանային պայմանները

Այսպիսով, պահանջվում է գտնել (1) հավասարման լուծում, որը բավարարում է (2), (3), (4), այսինքն. պահանջվում է լուծում գտնել ուղղանկյան մեջ, որը սահմանափակված է ուղիղ գծերով, , , , եթե ցանկալի ֆունկցիայի արժեքները տրված են նրա երեք կողմերում , , .

Մենք կառուցում ենք գծերով ձևավորված ուղղանկյուն ցանց

- քայլել առանցքի երկայնքով Օ՜;

- քայլել առանցքի երկայնքով Սկսած.

Ներկայացնենք նշումը.

Վերջավոր տարբերությունների հայեցակարգից մենք կարող ենք գրել

Նմանապես

Հաշվի առնելով (6), (7) բանաձևերը և ներդրված նշումը՝ (1) հավասարումը գրում ենք ձևով.

Այստեղից մենք ստանում ենք հաշվարկման բանաձևը

(8)-ից հետևում է, որ եթե հայտնի են k-ի երեք արժեք կՑանցի երրորդ շերտը՝ , , , ապա կարող եք որոշել արժեքը ( կ+ 1) շերտ.

Սկզբնական պայմանը (2) թույլ է տալիս գտնել գծի բոլոր արժեքները. սահմանային պայմանները (3), (4) թույլ են տալիս մեզ գտնել գծերի և . Ըստ բանաձևի (8) մենք արժեքները գտնում ենք հաջորդ շերտի բոլոր ներքին կետերում, այսինքն. Համար կ= 1. Ծայրահեղ կետերում ցանկալի ֆունկցիայի արժեքները հայտնի են սահմանային պայմաններից (3), (4): Անցնելով ցանցի մի շերտից մյուսը, մենք որոշում ենք ցանկալի լուծման արժեքները ցանցի բոլոր հանգույցներում: ;

Լուծենք ջերմային հավասարման առաջին խառը խնդիրը. գտե՛ք սկզբնական պայմանը և սահմանային պայմանները բավարարող հավասարման u(x, t) լուծումը Սկսենք ամենապարզ խնդրից՝ գտե՛ք միատարր հավասարման u(x, t) լուծումը։ սկզբնական պայմանի և զրոյական (միատարր) սահմանային պայմանների բավարարում Ֆուրիեի մեթոդ ջերմային հավասարման համար Մենք կփնտրենք (4) հավասարման ոչ տրիվիալ լուծումները, որոնք բավարարում են սահմանային պայմանները (6), (7) ձևի *) ձևով: ) բավարարելով սահմանային պայմանները (6), անհրաժեշտ է գտնել (10) հավասարման ոչ տրիվիալ լուծումներ, որոնք բավարարում են սահմանային պայմաններին, որոնց համար կան խնդրի ոչ տրիվիալ լուծումներ Այս խնդիրը դիտարկվել է նախորդ գլխում: Այնտեղ ցույց տվեցին, որ ոչ տրիվիալ լուծումներ գոյություն ունեն միայն A = An-ի համար (9) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձևը, որը բավարարում է հավասարումը (4) և սահմանային պայմանները (6): Մենք ձևավորում ենք պաշտոնական շարք: Պահանջելով, որ (12) բանաձևով սահմանված u(x) t) ֆունկցիան բավարարի սկզբնական պայմանը, մենք ստանում ենք շարք (13)՝ Ֆուրիեի շարքում տրված ֆունկցիայի ընդլայնումն է սինուսների առումով միջակայքում: (Օ, ես): Ընդարձակման an գործակիցները որոշվում են ջերմային հավասարման հայտնի բանաձևերով Ֆուրիեի մեթոդով. Ենթադրենք, որ այնուհետև (13) շարքը (14) բանաձևերով որոշված ​​գործակիցներով բացարձակ և միատեսակ զուգամիտվում է ֆունկցիայի հետ: Այդ ժամանակվանից ի վեր նաև համարի շարքը համընկնում է բացարձակ և միատեսակ: Հետևաբար, u(x, t) ֆունկցիան՝ (12) շարքի գումարը, տարածաշրջանում շարունակական է և բավարարում է նախնական և սահմանային պայմանները։ Մնում է ցույց տալ, որ u(x, t) ֆունկցիան բավարարում է (4) հավասարումը 0-ի տիրույթում: Դա անելու համար բավական է ցույց տալ, որ (12)-ից ստացված շարքը տերմին առ տերմին տարբերակման միջոցով: t մեկ անգամ և տերմին առ տերմին տարբերակում x-ի նկատմամբ երկու անգամ նույնպես բացարձակապես և հավասարաչափ համընկնում են ժամը: Բայց սա բխում է այն փաստից, որ ցանկացած t> 0-ի համար, եթե n-ը բավականաչափ մեծ է: (4)-(6) խնդրի լուծման եզակիությունը և լուծման շարունակական կախվածությունը սկզբնական ֆունկցիայից արդեն հաստատվել են ավելի վաղ։ Այսպիսով, t > 0-ի համար (4)-(6) խնդիրը լավ դրված է. ընդհակառակը, բացասական t-ի համար այս խնդիրը ճիշտ չէ: Մեկնաբանություն. Ի տարբերություն House հավասարման, t ժամանակի վերաբերյալ հավասարումը ոչ մետրիկ է. եթե t-ը փոխարինենք -t-ով, ապա մենք կստանանք այլ կարգի հավասարում, որը նկարագրում է անշրջելի գործընթացները. m սա էր և t ժամանակից առաջ հարցականի տակ. Կանխատեսման և նախապատմության միջև այս տարբերությունը բնորոշ է պարաբոլիկ հավասարմանը և չի հանդիպում, օրինակ, ալիքի հավասարման մեջ. վերջինիս դեպքում նույնքան հեշտ է նայել անցյալին, որքան ապագային։ Օրինակ. Գտե՛ք ջերմաստիճանի բաշխումը w երկարությամբ միատարր ձողի մեջ, եթե ձողի սկզբնական ջերմաստիճանը և զրոյական ջերմաստիճանը պահպանվում են ձողի ծայրերում։ 4 Խնդիրը կրճատվում է մինչև սկզբնական պայմանի և սահմանային պայմանների ներքո հավասարումը լուծելու համար: Օգտագործելով Ֆուրիեի մեթոդը, մենք փնտրում ենք (15) հավասարման ոչ տրիվիալ լուծումներ, որոնք բավարարում են սահմանային պայմանները (17), Փոխարինելով u(x, տ) (18) ձևով (15) հավասարման մեջ և փոփոխականները առանձնացնելով, որտեղից ստանում ենք խնդրի սեփական արժեքները: սեփական ֆունկցիաներ Xn(x) = mn nx. A = An-ի համար (19) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի Tn(t) = ape a n\ ձև, այնպես որ (15)–(17) խնդրի լուծումը որոնվում է շարքի տեսքով: Հետևաբար, սկզբնական խնդրի լուծումը կլինի 2-րդ ֆունկցիան: Այժմ դիտարկենք հետևյալ խնդիրը. գտե՛ք անհամասեռ հավասարման rx(x, t) լուծումը, որը բավարարում է նախնական պայմանը և միատարր սահմանային պայմանները: Ենթադրենք, որ ֆունկցիան / շարունակական է, ունի շարունակական ածանցյալ, և t > 0-ի համար պայմանը բավարարված է: (1)-(3) խնդրի լուծումը կփնտրվի )-(7) ձևով շարքի տեսքով՝ սեփական ֆունկցիաներով (սահմանային արժեքի խնդրի. Փոխարինելով t)՝ (5) հավասարման ձևով: , մենք ստանում ենք ֆունկցիաներ /(x, t) Ֆուրիեի շարքում, ստանում ենք! Օգտագործելով v(x, t) նախնական պայմանը, ջերմային հավասարման Ֆուրիեի մեթոդը, մենք գտնում ենք, որ (16) սկզբնական պայմաններում (15) հավասարումների լուծումներն ունեն ձև՝ Tn(t)-ի գտած արտահայտությունները փոխարինելով շարքով ( 11), մենք ստանում ենք լուծումը Ֆունկցիան կլինի սկզբնական խնդրի լուծումը (1)-(3): 3. Դիտարկենք խնդիրը՝ տիրույթում հավասարման լուծում գտնել նախնական և անհամասեռ սահմանային պայմաններում:Ֆուրիեի մեթոդը ուղղակիորեն կիրառելի չէ պայմանների անհամասեռության պատճառով (20): Մենք ներկայացնում ենք նոր անհայտ v(x, t) ֆունկցիա՝ սահմանելով, որտեղ Այնուհետև (18)–(20) խնդրի լուծումը վերածվում է (1)–(3) խնդրի լուծմանը, որը դիտարկվում է 2-րդ բաժնում v(x ֆունկցիայի համար): , J). Վարժություններ 1. Տրված է անսահման միատարր ձող։ Ցույց տվեք, որ եթե սկզբնական ջերմաստիճանը, ապա ցանկացած պահի ձողի ջերմաստիճանը 2 է: X երկարությամբ ձողի ծայրերը պահպանվում են զրոյի հավասար ջերմաստիճանում: Սկզբնական ջերմաստիճանը որոշվում է բանաձևով Որոշեք ձողի ջերմաստիճանը ցանկացած ժամանակ t > 0: 3. I երկարությամբ ձողի ծայրերը պահվում են զրոյի հավասար ջերմաստիճանում։ Ձողի սկզբնական ջերմաստիճանը որոշվում է բանաձևով Որոշել ձողի ջերմաստիճանը ցանկացած ժամանակ t > 0. 4. I երկարությամբ ձողի ծայրերը պահպանվում են զրոյի հավասար ջերմաստիճանում: Ջերմաստիճանի սկզբնական բաշխում Որոշեք ձողի ջերմաստիճանը ցանկացած ժամանակ t > 0. Պատասխաններ