≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Խառը ֆրակցիաների կրճատում. Մանրամասն լուծումով հանրահաշվական կոտորակները փոքրացնելու առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս կրճատել կոտորակը և սխալ կոտորակը վերածել պատշաճ կոտորակի

Մենք կհասկանանք, թե ինչ է կոտորակի կրճատումը, ինչու և ինչպես կրճատել կոտորակները, կտանք կոտորակների կրճատման կանոնը և դրա օգտագործման օրինակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ի՞նչ է «կոտորակային կրճատումը»

Կրճատել կոտորակը

Կրճատել կոտորակը նշանակում է նրա համարիչն ու հայտարարը բաժանել ընդհանուր բաժանարարի, դրական և մեկից տարբեր:

Նման գործողության արդյունքում կստացվի նոր համարիչով և հայտարարով կոտորակ, որը հավասար է սկզբնական կոտորակին։

Օրինակ՝ վերցնենք 6 24 ընդհանուր կոտորակը և փոքրացնենք այն։ Համարիչը և հայտարարը բաժանեք 2-ի, ստացվում է 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12: Այս օրինակում մենք սկզբնական կոտորակը կրճատել ենք 2-ով:

Կոտորակների կրճատում դեպի անկրճատելի ձև

Նախորդ օրինակում մենք կրճատեցինք 6 24 կոտորակը 2-ով, արդյունքում ստացվեց 3 12 կոտորակը: Հեշտ է տեսնել, որ այս մասնաբաժինը կարող է էլ ավելի կրճատվել: Ընդհանրապես, կոտորակների կրճատման նպատակն է վերջանալ անկրճատելի կոտորակի հետ: Ինչպե՞ս կոտորակը վերածել անկրճատելի ձևի:

Դա կարելի է անել՝ կրճատելով համարիչն ու հայտարարը նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով (GCD): Այնուհետև, ըստ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հատկության, համարիչը և հայտարարը կլինեն համապարփակ թվեր, իսկ կոտորակը՝ անկրճատելի։

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Կոտորակի կրճատում դեպի անկրճատելի ձև

Կոտորակը անկրճատելի ձևի վերածելու համար հարկավոր է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել իրենց gcd-ի վրա:

Վերադառնանք 6 24 կոտորակին առաջին օրինակից և այն դարձնենք անկրճատելի։ 6-ի և 24-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է: Կրճատենք կոտորակը.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Կրճատող կոտորակները հարմար է օգտագործել մեծ թվերի հետ չաշխատելու համար։ Ընդհանրապես, մաթեմատիկայի մեջ կա չասված կանոն՝ եթե կարող ես պարզեցնել ցանկացած արտահայտություն, ուրեմն պետք է դա անել։ Կոտորակի կրճատում ասելով ամենից հաճախ նկատի ունեն դրա վերածումը անկրճատելի ձևի, և ոչ թե պարզապես կրճատումը համարիչի և հայտարարի ընդհանուր բաժանարարով։

Կոտորակի կրճատման կանոն

Կոտորակները նվազեցնելու համար բավական է հիշել կանոնը, որը բաղկացած է երկու քայլից.

Կոտորակի կրճատման կանոն

Կոտորակը նվազեցնելու համար.

1. Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի gcd-ն:
2. Բաժանե՛ք համարիչն ու հայտարարը իրենց gcd-ի վրա:

Դիտարկենք գործնական օրինակներ։

Օրինակ 1. Փոքրացնենք կոտորակը:

Տրված է 182 195 կոտորակ։ Եկեք կրճատենք այն:

Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի GCD-ն: Դրա համար այս դեպքում առավել հարմար է օգտագործել Էվկլիդյան ալգորիթմը։

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Համարը և հայտարարը բաժանե՛ք 13-ի։ Մենք ստանում ենք.

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Պատրաստ. Ստացանք անկրճատելի կոտորակ, որը հավասար է սկզբնական կոտորակին։

Ուրիշ ինչպե՞ս կարող եք կրճատել կոտորակները: Որոշ դեպքերում հարմար է համարիչն ու հայտարարը տարրալուծել պարզ գործոնների, իսկ հետո կոտորակի վերին և ստորին մասերից հեռացնել բոլոր ընդհանուր գործոնները։

Օրինակ 2. Կրճատի՛ր կոտորակը

Տրված է 360 2940 կոտորակը: Եկեք կրճատենք այն:

Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք սկզբնական կոտորակը հետևյալ ձևով.

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 5 7 7

Ազատվենք համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործոններից, ինչի արդյունքում ստանում ենք.

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Վերջապես, հաշվի առեք կոտորակները կրճատելու մեկ այլ եղանակ: Սա այսպես կոչված հաջորդական կրճատումն է։ Այս մեթոդի կիրառմամբ կրճատումն իրականացվում է մի քանի փուլով, որոնցից յուրաքանչյուրում կոտորակը կրճատվում է ակնհայտ ընդհանուր բաժանարարով։

Օրինակ 3. Կրճատի՛ր կոտորակը

Կրճատենք 2000 4400 կոտորակը։

Միանգամից պարզ է դառնում, որ համարիչն ու հայտարարն ունեն 100 ընդհանուր գործակից: Կոտորակը կրճատում ենք 100-ով և ստանում.

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ստացված արդյունքը կրկին կրճատվում է 2-ով և ստանում ենք անկրճատելի կոտորակ.

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ելնելով դրանց հիմնական հատկությունից՝ եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական բազմանդամի վրա, ապա կստացվի դրան հավասար կոտորակ։

Դուք կարող եք միայն նվազեցնել բազմապատկիչները:

Բազմանդամների անդամները չեն կարող կրճատվել:

Հանրահաշվական կոտորակը նվազեցնելու համար նախ պետք է գործոնավորել համարիչի և հայտարարի բազմանդամները։

Դիտարկենք կոտորակի կրճատման օրինակներ:

Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը միանդամներ են: Նրանք ներկայացնում են աշխատանք(թվերը, փոփոխականները և դրանց աստիճանները), բազմապատկիչներմենք կարող ենք նվազեցնել.

Թվերը կրճատում ենք իրենց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով, այսինքն՝ ըստ ամենամեծ թիվը, որով տրված թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է։ 24-ի և 36-ի համար սա 12 է։ 24-ից կրճատվելուց հետո մնում է 2-ը՝ 36-ից՝ 3։

Մենք աստիճանները նվազեցնում ենք ամենափոքր ցուցանիշով: Կոտորակը փոքրացնել նշանակում է համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույն բաժանարարի վրա և հանել աստիճանները:

a²-ը և a7-ը կրճատվում են a²-ով: Միևնույն ժամանակ, a²-ից համարիչում մեկը մնում է (1-ը գրում ենք միայն այն դեպքում, եթե կրճատումից հետո այլ գործոն չի մնացել: 24-ից մնում է 2-ը, ուստի a²-ից մնացած 1-ը չենք գրում): Կրճատումից հետո a7-ից մնում է a5:

b-ը և b-ը կրճատվում են b-ով, ստացված միավորները չեն գրվում:

c³º և c5 կրճատվում են c5-ով: c³º-ից c25 մնում է, c5-ից՝ միավոր (մենք չենք գրում): Այսպիսով,

Այս հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են։ Անհնար է կրճատել բազմանդամների պայմանները: (չի կարող կրճատվել, օրինակ, 8x² և 2x!): Այս մասնաբաժինը նվազեցնելու համար անհրաժեշտ է. Համարիչն ունի 4x ընդհանուր գործակից: Դուրս բերենք փակագծերից.

Ե՛վ համարիչը, և՛ հայտարարը ունեն նույն գործակիցը (2x-3): Կոտորակը կրճատում ենք այս գործակցով։ Համարում ստացանք 4x, հայտարարում՝ 1. 1 հատկությամբ հանրահաշվական կոտորակներ, կոտորակը 4x է։

Դուք կարող եք նվազեցնել միայն գործակիցները (դուք չեք կարող կրճատել տրված կոտորակը 25x²-ով): Ուստի կոտորակի համարիչի և հայտարարի բազմանդամները պետք է գործակցվեն։

Համարիչը գումարի լրիվ քառակուսին է, իսկ հայտարարը՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Կրճատ բազմապատկման բանաձևերով ընդլայնվելուց հետո մենք ստանում ենք.

Մենք կրճատում ենք կոտորակը (5x + 1)-ով (դա անելու համար համարիչում երկուսը որպես ցուցիչ խաչեք, (5x + 1) ²-ից կթողնի (5x + 1)):

Համարիչն ունի 2 ընդհանուր գործակից, հանենք փակագծերից։ Հայտարարում - խորանարդների տարբերության բանաձևը.

Հաշվիչի և հայտարարի ընդլայնման արդյունքում ստացանք նույն գործակիցը (9 + 3a + a²): Մենք կրճատում ենք դրա կոտորակը.

Համարիչի բազմանդամը բաղկացած է 4 անդամից. առաջին անդամը երկրորդի հետ, երրորդը՝ չորրորդով, և առաջին փակագծերից հանում ենք x² ընդհանուր գործակիցը։ Հայտարարը բաժանում ենք խորանարդի գումարի բանաձևի համաձայն.

Համարիչում փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցը (x + 2).

Կոտորակը փոքրացնում ենք (x + 2):

Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ լինի 497-ը բաժանել 4-ի, ապա բաժանելիս կտեսնենք, որ 497-ը չի բաժանվում 4-ի, այսինքն. մնում է բաժանման մնացորդը: Նման դեպքերում ասվում է, որ բաժանում մնացորդով, և լուծումը գրված է հետևյալ կերպ.
497: 4 = 124 (1 մնացորդ):

Հավասարության ձախ կողմում գտնվող բաժանման բաղադրիչները կոչվում են նույնը, ինչ առանց մնացորդի բաժանման մեջ. 497 - շահաբաժին, 4 - բաժանարար. Մնացորդով բաժանելիս բաժանման արդյունքը կոչվում է թերի մասնավոր. Մեր դեպքում այս թիվը 124 է: Եվ վերջապես, վերջին բաղադրիչը, որը սովորական բաժանման մեջ չէ. մնացորդը. Երբ մնացորդ չկա, ասում են, որ մի թիվը բաժանվում է մյուսի: առանց հետքի, կամ ամբողջությամբ. Ենթադրվում է, որ նման բաժանման դեպքում մնացորդը զրո է: Մեր դեպքում մնացորդը 1 է։

Մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից:

Դուք կարող եք ստուգել, ​​երբ բաժանում եք բազմապատկելով: Եթե, օրինակ, կա 64 հավասարություն՝ 32 = 2, ապա ստուգումը կարող է կատարվել այսպես՝ 64 = 32 * 2:

Հաճախ այն դեպքերում, երբ կատարվում է մնացորդով բաժանում, հարմար է օգտագործել հավասարությունը
a \u003d b * n + r,
որտեղ a-ն շահաբաժինն է, b-ը՝ բաժանարարը, n-ը՝ մասնակի քանորդը, r-ը՝ մնացորդը:

Բնական թվերի բաժանման գործակիցը կարելի է գրել կոտորակի տեսքով։

Կոտորակի համարիչը դիվիդենտն է, իսկ հայտարարը՝ բաժանարարը։

Քանի որ կոտորակի համարիչը դիվիդենտն է, իսկ հայտարարը՝ բաժանարարը, հավատացեք, որ կոտորակի ուղիղը նշանակում է բաժանման գործողություն. Երբեմն հարմար է բաժանումը գրել որպես կոտորակ՝ առանց «:» նշանի օգտագործման։

m և n բնական թվերի բաժանման գործակիցը կարելի է գրել որպես \(\frac(m)(n) \) կոտորակ, որտեղ m համարիչը դիվիդենտն է, իսկ n հայտարարը բաժանարարն է.
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Հետևյալ կանոնները ճիշտ են.

\(\frac(m)(n) \) կոտորակ ստանալու համար անհրաժեշտ է միավորը բաժանել n հավասար մասերի (բաժնետոմսերի) և վերցնել m այդպիսի մասեր։

\(\frac(m)(n) \) կոտորակը ստանալու համար անհրաժեշտ է m թիվը բաժանել n թվի:

Ամբողջի մի մասը գտնելու համար պետք է ամբողջին համապատասխան թիվը բաժանել հայտարարի վրա և արդյունքը բազմապատկել այն կոտորակի համարիչով, որն արտահայտում է այս մասը։

Ամբողջը իր մասով գտնելու համար պետք է այս մասին համապատասխան թիվը բաժանել համարիչի վրա և արդյունքը բազմապատկել այն կոտորակի հայտարարով, որն արտահայտում է այս մասը։

Եթե ​​կոտորակի համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են նույն թվով (բացի զրոյից), կոտորակի արժեքը չի փոխվի.
\(\ մեծ \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Եթե ​​կոտորակի համարիչը և հայտարարը բաժանվում են միևնույն թվի (բացի զրոյից), կոտորակի արժեքը չի փոխվի.
\(\ մեծ \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Այս հատկությունը կոչվում է Կոտորակի հիմնական հատկությունը.

Վերջին երկու փոխակերպումները կոչվում են ֆրակցիայի կրճատում.

Եթե ​​կոտորակները պետք է ներկայացվեն որպես միևնույն հայտարարով կոտորակներ, ապա նման գործողությունը կոչվում է. կոտորակները վերածելով ընդհանուր հայտարարի.

Պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակներ. խառը թվեր

Դուք արդեն գիտեք, որ կոտորակ կարելի է ստանալ՝ ամբողջությունը հավասար մասերի բաժանելով և մի քանի այդպիսի մասեր վերցնելով։ Օրինակ՝ \(\frac(3)(4) \) կոտորակը նշանակում է մեկի երեք քառորդը։ Նախորդ պարբերության բազմաթիվ խնդիրներում ընդհանուր կոտորակներօգտագործվում է ամբողջի մի մասը նշելու համար: Ողջամտությունը թելադրում է, որ մասը միշտ պետք է փոքր լինի ամբողջից, բայց ինչ վերաբերում է \(\frac(5)(5) \) կամ \(\frac(8)(5) \) կոտորակներին: Հասկանալի է, որ սա այլեւս միավորի մաս չէ: Հավանաբար սա է պատճառը, որ այն կոտորակները, որոնցում համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, կոչվում են. ոչ պատշաճ կոտորակներ. Մնացած կոտորակները, այսինքն՝ այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից, կոչվում են. պատշաճ կոտորակներ.

Ինչպես գիտեք, ցանկացած սովորական կոտորակ՝ ինչպես պատշաճ, այնպես էլ ոչ պատշաճ, կարելի է համարել հայտարարի վրա բաժանելու արդյունք։ Հետևաբար, մաթեմատիկայի մեջ, ի տարբերություն սովորական լեզվի, «անպատշաճ կոտորակ» տերմինը չի նշանակում, որ մենք ինչ-որ բան սխալ ենք արել, այլ միայն այն, որ այս կոտորակը ունի իր հայտարարից մեծ կամ հավասար համարիչ։

Եթե ​​թիվը բաղկացած է ամբողջ թվային մասից և կոտորակից, ապա այդպիսին կոտորակները կոչվում են խառը.

Օրինակ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1-ը ամբողջ թիվն է, իսկ \(\frac(2)(3) \) կոտորակային մասը:

Եթե ​​\(\frac(a)(b) \) համարիչը բաժանվում է բնական թիվ n, ապա այս կոտորակը n-ի բաժանելու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը բաժանել այս թվի վրա.
\(\ մեծ \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Եթե ​​\(\frac(a)(b) \) կոտորակի համարիչը չի բաժանվում n բնական թվի վրա, ապա այս կոտորակը n-ի բաժանելու համար անհրաժեշտ է նրա հայտարարը բազմապատկել այս թվով.
\(\ մեծ \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Նշենք, որ երկրորդ կանոնը գործում է նաև այն դեպքում, երբ համարիչը բաժանվում է n-ի: Հետևաբար, մենք կարող ենք օգտագործել այն, երբ առաջին հայացքից դժվար է որոշել՝ կոտորակի համարիչը բաժանվում է n-ի, թե ոչ։

Գործողություններ կոտորակներով. Կոտորակների գումարում.

Կոտորակային թվերով, ինչպես բնական թվերով, կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ: Եկեք նախ նայենք կոտորակների գումարմանը: Հեշտ է կոտորակներ ավելացնել նույն հայտարարները. Գտեք, օրինակ, \(\frac(2)(7) \) և \(\frac(3)(7) \) գումարը: Հեշտ է հասկանալ, որ \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Նույն հայտարարներով կոտորակները ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց համարիչները, իսկ հայտարարը թողնել նույնը:

Օգտագործելով տառեր, նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
\(\ մեծ \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Եթե ​​ցանկանում եք կոտորակներ ավելացնել տարբեր հայտարարներ, ապա դրանք նախ պետք է կրճատել ընդհանուր հայտարարի։ Օրինակ:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Կոտորակների, ինչպես նաև բնական թվերի համար վավեր են գումարման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունները։

Խառը կոտորակների ավելացում

Ձայնագրությունները, ինչպիսիք են \(2\frac(2)(3) \) կոչվում են խառը կոտորակներ. 2 թիվը կոչվում է ամբողջ մասըխառը կոտորակ, իսկ \(\frac(2)(3) \) թիվը նրա է կոտորակային մաս. \(2\frac(2)(3) \) մուտքն ընթերցվում է այսպես՝ «երկու և երկու երրորդ»:

8 թիվը 3 թվի վրա բաժանելը տալիս է երկու պատասխան՝ \(\frac(8)(3) \) և \(2\frac(2)(3) \): Նրանք արտահայտում են նույն կոտորակային թիվը, այսինքն՝ \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Այսպիսով, ոչ պատշաճ կոտորակը \(\frac(8)(3) \) ներկայացված է որպես խառը կոտորակ \(2\frac(2)(3) \): Նման դեպքերում ասում են, որ ոչ պատշաճ կոտորակից առանձնացրեց ամբողջը.

Կոտորակների հանում (կոտորակային թվեր)

Կոտորակային թվերի, ինչպես նաև բնական թվերի հանումը որոշվում է գումարման գործողության հիման վրա՝ մի թվից հանելը նշանակում է գտնել մի թիվ, որը, երբ գումարվում է երկրորդին, տալիս է առաջինը։ Օրինակ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) քանի որ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Նման հայտարարներով կոտորակները հանելու կանոնը նման է նման կոտորակների գումարման կանոնին.
Նույն հայտարար ունեցող կոտորակների տարբերությունը գտնելու համար առաջին կոտորակի համարիչից հանեք երկրորդ կոտորակի համարիչը, իսկ հայտարարը թողեք նույնը:

Օգտագործելով տառեր, այս կանոնը գրված է հետևյալ կերպ.
\(\ մեծ \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Կոտորակների բազմապատկում

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է բազմապատկել դրանց համարիչները և հայտարարները և առաջին արտադրյալը գրել որպես համարիչ, իսկ երկրորդը՝ որպես հայտարար։

Օգտագործելով տառեր՝ կոտորակների բազմապատկման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
\(\ մեծ \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Ձևակերպված կանոնի միջոցով կարելի է կոտորակը բազմապատկել բնական թվով, խառը կոտորակի վրա, ինչպես նաև բազմապատկել խառը կոտորակները։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է բնական թիվը գրել որպես 1 հայտարար ունեցող կոտորակ, իսկ խառը կոտորակը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ:

Բազմապատկման արդյունքը պետք է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում)՝ կոտորակը փոքրացնելով և ոչ պատշաճ կոտորակի ամբողջ թիվն ընդգծելով։

Կոտորակների, ինչպես նաև բնական թվերի համար վավեր են բազմապատկման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունները, ինչպես նաև բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը գումարման նկատմամբ։

Կոտորակների բաժանում

Վերցրեք \(\frac(2)(3) \) կոտորակը և «շրջեք» այն՝ փոխանակելով համարիչը և հայտարարը: Մենք ստանում ենք \(\frac(3)(2) \) կոտորակը: Այս կոտորակը կոչվում է հակադարձկոտորակներ \(\frac(2)(3) \).

Եթե ​​այժմ «հակադարձենք» կոտորակը \(\frac(3)(2) \), ապա կստանանք սկզբնական կոտորակը \(\frac(2)(3) \): Հետևաբար, այնպիսի կոտորակներ, ինչպիսիք են \(\frac(2)(3) \) և \(\frac(3)(2) \) կոչվում են. փոխադարձ հակադարձ.

Օրինակ՝ \(\frac(6)(5) \) և \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) և \(\frac (18) կոտորակները )(7) \).

Օգտագործելով տառեր, փոխադարձ հակադարձ կոտորակները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ \(\frac(a)(b) \) և \(\frac(b)(a) \)

Հասկանալի է, որ Փոխադարձ կոտորակների արտադրյալը 1 է. Օրինակ՝ \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Փոխադարձ կոտորակներ օգտագործելով՝ կոտորակների բաժանումը կարելի է հասցնել բազմապատկման։

Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու կանոն.
Մեկ կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է շահաբաժինը բազմապատկել բաժանարարի փոխադարձով:

Օգտագործելով տառեր՝ կոտորակների բաժանման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
\(\ մեծ \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Եթե ​​դիվիդենտը կամ բաժանարարը բնական թիվ է կամ խառը կոտորակ, ապա կոտորակների բաժանման կանոնն օգտագործելու համար այն նախ պետք է ներկայացվի որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։

Այս հոդվածը շարունակում է հանրահաշվական կոտորակների փոխակերպման թեման. դիտարկել այնպիսի գործողություն, ինչպիսին է հանրահաշվական կոտորակների կրճատումը: Եկեք սահմանենք ինքնին տերմինը, ձևակերպենք հապավումների կանոնը և վերլուծենք գործնական օրինակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հանրահաշվական կոտորակի հապավումների իմաստը

Սովորական կոտորակի վերաբերյալ նյութերում մենք դիտարկել ենք դրա կրճատումը։ Ընդհանուր կոտորակի կրճատումը մենք սահմանել ենք որպես դրա համարիչի և հայտարարի բաժանում ընդհանուր գործակցի վրա:

Նմանատիպ գործողություն է հանրահաշվական կոտորակի կրճատումը:

Սահմանում 1

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատումնրա համարիչի և հայտարարի բաժանումն է ընդհանուր գործակցի վրա։ Այս դեպքում, ի տարբերություն սովորական կոտորակի կրճատման (ընդհանուր հայտարար կարող է լինել միայն թիվը), բազմանդամը, մասնավորապես՝ միանդամը կամ թիվը, կարող է ծառայել որպես ընդհանուր գործոն հանրահաշվական կոտորակի համարիչի և հայտարարի համար։

Օրինակ՝ 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 հանրահաշվական կոտորակը կարելի է կրճատել 3 թվով, արդյունքում ստանում ենք՝ x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . Մենք կարող ենք նույն կոտորակը կրճատել x փոփոխականով, և դա մեզ կտա 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 արտահայտությունը: Հնարավոր է նաև տրված կոտորակը փոքրացնել միանդամով 3 xկամ բազմանդամներից որևէ մեկը x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y or 3 x 2 + 6 x y.

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման վերջնական նպատակը կոտորակն ավելի մեծ է, քան պարզ ձև, լավագույն դեպքում՝ անկրճատելի կոտորակ։

Արդյո՞ք բոլոր հանրահաշվական կոտորակները ենթակա են կրճատման:

Նորից սովորական կոտորակների նյութերից մենք իմանում ենք, որ կան կրճատվող և անկրճատվող կոտորակներ։ Անկրճատելի - սրանք կոտորակներ են, որոնք չունեն համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցներ, բացի 1-ից:

Հանրահաշվական կոտորակների դեպքում ամեն ինչ նույնն է. դրանք կարող են ունենալ կամ չունենալ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցներ: Ընդհանուր գործոնների առկայությունը թույլ է տալիս պարզեցնել սկզբնական ֆրակցիան կրճատման միջոցով: Երբ չկան ընդհանուր գործոններ, անհնար է օպտիմալացնել տվյալ կոտորակը կրճատման մեթոդով։

IN սովորական դեպքերըստ տվյալ կոտորակի տեսակի՝ բավականին դժվար է հասկանալ, թե արդյոք այն ենթակա է կրճատման։ Իհարկե, որոշ դեպքերում ակնհայտ է համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործոնի առկայությունը։ Օրինակ, 3 · x 2 3 · y հանրահաշվական կոտորակի մեջ միանգամայն պարզ է, որ ընդհանուր գործակիցը 3 թիվն է:

Կոտորակի մեջ - x · y 5 · x · y · z 3 մենք նույնպես անմիջապես հասկանում ենք, որ հնարավոր է այն կրճատել x-ով, կամ y-ով, կամ x · y-ով: Եվ այնուամենայնիվ, հանրահաշվական կոտորակների օրինակները շատ ավելի տարածված են, երբ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը այնքան էլ հեշտ չէ տեսնել, և նույնիսկ ավելի հաճախ՝ այն պարզապես բացակայում է։

Օրինակ, մենք կարող ենք x 3 - 1 x 2 - 1 կոտորակը կրճատել x - 1-ով, մինչդեռ նշված ընդհանուր գործակիցը գրառման մեջ չկա: Բայց x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 կոտորակը չի կարող կրճատվել, քանի որ համարիչն ու հայտարարը չունեն ընդհանուր գործակից:

Այսպիսով, հանրահաշվական կոտորակի կծկվողությունը պարզելու հարցն այնքան էլ պարզ չէ, և հաճախ ավելի հեշտ է աշխատել տվյալ ձևի կոտորակի հետ, քան փորձել պարզել, թե արդյոք այն կծկվող է։ Այս դեպքում այնպիսի փոխակերպումներ են տեղի ունենում, որոնք առանձին դեպքերում թույլ են տալիս որոշել համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը կամ եզրակացնել, որ կոտորակն անկրճատելի է։ Այս հարցը մանրամասն կվերլուծենք հոդվածի հաջորդ պարբերությունում։

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կանոն

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կանոնբաղկացած է երկու հաջորդական քայլերից.

• գտնել համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցները.
• այդպիսին գտնելու դեպքում կոտորակի կրճատման ուղղակի գործողության իրականացումը.

Ընդհանուր հայտարարներ գտնելու ամենահարմար մեթոդը տվյալ հանրահաշվական կոտորակի համարիչում և հայտարարում առկա բազմանդամների ֆակտորիզացումն է։ Սա թույլ է տալիս անմիջապես տեսողականորեն տեսնել ընդհանուր գործոնների առկայությունը կամ բացակայությունը:

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման բուն գործողությունը հիմնված է հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկության վրա, որն արտահայտվում է չսահմանված հավասարությամբ, որտեղ a , b , c որոշ բազմանդամներ են, իսկ b և c-ն զրոյական չեն: Առաջին քայլը կոտորակի կրճատումն է a c b c ձևի, որում մենք անմիջապես նկատում ենք c ընդհանուր գործակիցը: Երկրորդ քայլը կրճատումը կատարելն է, այսինքն. անցում a b ձևի կոտորակի:

Տիպիկ օրինակներ

Չնայած որոշակի ակնհայտությանը, պարզաբանենք այն հատուկ դեպքը, երբ հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը հավասար են։ Նման կոտորակները նույնականորեն հավասար են 1-ի այս կոտորակի փոփոխականների ամբողջ ODZ-ի վրա.

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Քանի որ սովորական կոտորակները հանրահաշվական կոտորակների հատուկ դեպք են, եկեք հիշենք, թե ինչպես են դրանք կրճատվում: Հաշվիչում և հայտարարում գրված բնական թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, ապա կրճատվում են ընդհանուր գործակիցները (եթե այդպիսիք կան)։

Օրինակ՝ 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Պարզ միանման գործակիցների արտադրյալը կարելի է գրել աստիճաններով, իսկ կոտորակի կրճատման գործընթացում օգտագործել նույն հիմքերով աստիճաններ բաժանելու հատկությունը։ Այնուհետև վերը նշված լուծումը կլինի.

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(համարիչը և հայտարարը բաժանված են ընդհանուր գործակցով 2 2 3) Կամ, պարզության համար, հիմնվելով բազմապատկման և բաժանման հատկությունների վրա, լուծումը կտանք հետևյալ ձևը.

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Համեմատությամբ կատարվում է հանրահաշվական կոտորակների կրճատում, որոնցում համարիչն ու հայտարարն ունեն միանդամներ՝ ամբողջ թվային գործակիցներով։

Օրինակ 1

Տրված է հանրահաշվական կոտորակը - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z : Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Հնարավոր է տրված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը գրել որպես պարզ գործակիցների և փոփոխականների արտադրյալ, այնուհետև կրճատել.

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Այնուամենայնիվ, ավելի ռացիոնալ ձև կլինի լուծումը գրել որպես ուժ ունեցող արտահայտություն.

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6:

Պատասխան.- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Երբ հանրահաշվական կոտորակի համարիչում և հայտարարում կան կոտորակային թվային գործակիցներ, հետագա գործողությունների երկու տարբերակ կա. . Վերջին փոխակերպումն իրականացվում է հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկության շնորհիվ (այդ մասին կարող եք կարդալ «Հանրահաշվական կոտորակի վերածումը նոր հայտարարի» հոդվածում):

Օրինակ 2

Տրված է 2 5 x 0, 3 x 3 կոտորակը: Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Կոտորակը հնարավոր է կրճատել հետևյալ կերպ.

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Փորձենք այլ կերպ լուծել խնդիրը՝ նախկինում ազատվելով կոտորակային գործակիցներից. մեկ LCM (5, 10) = 10: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2:

Պատասխան՝ 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Երբ փոքրացնում ենք հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր տեսարան, որտեղ համարիչները և հայտարարները կարող են լինել և՛ միանդամներ, և՛ բազմանդամներ, հնարավոր է խնդիր, երբ ընդհանուր գործոնը միշտ չէ, որ անմիջապես տեսանելի է։ Կամ ավելին, այն պարզապես գոյություն չունի: Այնուհետև ընդհանուր գործակիցը որոշելու կամ դրա բացակայության փաստը ֆիքսելու համար գործոնացվում են հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը։

Օրինակ 3

Տրված է ռացիոնալ կոտորակը 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3: Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Եկեք գործոնացնենք բազմանդամները համարիչի և հայտարարի մեջ: Անցնենք փակագծերը.

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Մենք տեսնում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Հստակ երևում է, որ հնարավոր է կոտորակը կրճատել ընդհանուր գործոնով b 2 (a + 7). Եկեք կրճատում կատարենք.

2 բ 2 (ա + 7) 2 բ 3 (ա - 7) (ա + 7) = 2 (ա + 7) բ (ա - 7) = 2 ա + 14 ա բ - 7 բ

Մենք գրում ենք կարճ լուծում առանց բացատրության որպես հավասարումների շղթա.

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 բ 3 (ա - 7) (ա + 7) = 2 (ա + 7) բ (ա - 7) = 2 ա + 14 ա բ - 7 բ

Պատասխան. 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Պատահում է, որ ընդհանուր գործոնները թաքնված են թվային գործակիցներով։ Այնուհետև կոտորակները փոքրացնելիս օպտիմալ է թվային գործակիցները հանել համարիչի և հայտարարի ավելի մեծ հզորությունների դեպքում:

Օրինակ 4

Տրված է հանրահաշվական կոտորակ 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2: Հնարավորության դեպքում այն ​​պետք է կրճատվի:

Լուծում

Առաջին հայացքից համարիչ և հայտարար գոյություն չունեն Ընդհանուր հայտարար. Այնուամենայնիվ, փորձենք փոխարկել տրված կոտորակը։ Համարիչից հանենք x գործակիցը.

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Այժմ դուք կարող եք տեսնել որոշակի նմանություն փակագծերում դրված արտահայտության և հայտարարի հայտարարի միջև x 2 y-ի պատճառով: . Եկեք հանենք այս բազմանդամների ավելի բարձր հզորությունների թվային գործակիցները.

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Այժմ տեսանելի է դառնում ընդհանուր բազմապատկիչը, մենք իրականացնում ենք կրճատումը.

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Պատասխան. 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Ընդգծենք, որ ռացիոնալ կոտորակները կրճատելու հմտությունը կախված է բազմանդամները ֆակտորիզացնելու ունակությունից։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասում մենք կուսումնասիրենք կոտորակի հիմնական հատկությունը, կպարզենք, թե որ կոտորակներն են իրար հավասար։ Կսովորենք, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները, որոշել՝ կոտորակը փոքրացվա՞ծ է, թե՞ ոչ, կսովորենք կրճատել կոտորակները և կպարզենք, թե երբ օգտագործել կրճատումը, իսկ երբ՝ ոչ:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Այս տեղեկատվությունը հասանելի է գրանցված օգտվողներին

Կոտորակի հիմնական հատկությունը

Պատկերացրեք այսպիսի իրավիճակ.

Սեղանի մոտ 3 մարդկային և 5 խնձոր. Բաժանել 5 երեք խնձոր. Յուրաքանչյուրը ստանում է \(\mathbf(\frac(5)(3))\) խնձոր:

Եվ հաջորդ սեղանին 3 մարդ և նաև 5 խնձոր. Յուրաքանչյուրը կրկին \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Միևնույն ժամանակ, բոլորը 10 խնձոր 6 Մարդ. Յուրաքանչյուր \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Բայց դա նույնն է։

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Այս կոտորակները համարժեք են։

Դուք կարող եք կրկնապատկել մարդկանց թիվը և կրկնապատկել խնձորների թիվը: Արդյունքը նույնն է լինելու.

Մաթեմատիկայի մեջ սա ձևակերպվում է հետևյալ կերպ.

Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում կամ բաժանվում են նույն թվով (ոչ հավասար 0-ի), ապա նոր կոտորակը հավասար կլինի բնօրինակին..

Այս գույքը երբեմն կոչվում է « Կոտորակի հիմնական հատկությունը ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Օրինակ՝ քաղաքից գյուղ ճանապարհը. 14 կմ.

Մենք քայլում ենք ճանապարհով և որոշում կիլոմետրային սյուների անցած ճանապարհը։ Վեց սյուն, վեց կիլոմետր անցնելուց հետո հասկանում ենք, որ անցել ենք \(\mathbf(\frac(6)(14))\) ճանապարհներ։

Բայց եթե մենք չենք տեսնում սյուները (գուցե դրանք տեղադրված չեն), կարող ենք հաշվել ճանապարհի երկայնքով էլեկտրական սյուների երկայնքով անցած ճանապարհը։ իրենց 40 կտոր մեկ կիլոմետրի համար: Այսինքն՝ ամեն ինչ 560 ամբողջ ճանապարհը. Վեց կիլոմետր - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) սյուներ: Այսինքն՝ անցանք 240 -ից 560 սյունակներ- \(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Օրինակ 1

Նշեք կետը կոորդինատներով ( 5; 7 ) վրա կոորդինատային հարթություն XOՅ. Այն կհամապատասխանի \(\mathbf(\frac(5)(7))\) կոտորակին

Միացրեք ծագումը ստացված կետին: Կառուցեք մեկ այլ կետ, որն ունի նախորդներից կրկնակի կոորդինատներ: Ի՞նչ կոտորակ եք ստացել: Արդյո՞ք նրանք հավասար կլինեն:

Լուծում

Կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կոտորակը կարող է նշվել կետով: \(\mathbf(\frac(5)(7))\ կոտորակ նկարելու համար նշեք կետը կոորդինատով 5 առանցքի երկայնքով ՅԵվ 7 առանցքի երկայնքով X. Եկեք ուղիղ գիծ քաշենք ծագումից մեր կետի միջով:

\(\mathbf(\frac(10)(14))\) կոտորակին համապատասխան կետը

Դրանք համարժեք են՝ \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)