Ինչպես լուծել ընդհանուր կոտորակները նույն հայտարարներով: Տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարում և հանում (հիմնական կանոններ, ամենապարզ դեպքեր)
Նշում!Վերջնական պատասխան գրելուց առաջ տեսեք՝ կարո՞ղ եք կրճատել ստացված կոտորակը։
Կոտորակների հանում նույն հայտարարները,օրինակներ:
,
,
Ճիշտ կոտորակ մեկից հանելը:
Եթե անհրաժեշտ է միավորից հանել ճիշտ կոտորակը, միավորը վերածվում է ոչ պատշաճ կոտորակի ձևի, նրա հայտարարը հավասար է հանված կոտորակի հայտարարին:
Ճիշտ կոտորակը մեկից հանելու օրինակ.
Հանեցվող կոտորակի հայտարարը = 7 , այսինքն՝ մենք ներկայացնում ենք միավորը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ 7/7 և հանում ենք նույն հայտարարներով կոտորակները հանելու կանոնի համաձայն։
Ճիշտ կոտորակի հանում ամբողջ թվից:
Կոտորակները հանելու կանոններ.ճիշտ է ամբողջ թվից (բնական համար):
- Տրված կոտորակները, որոնք ամբողջ թիվ են պարունակում, թարգմանում ենք ոչ պատշաճների։ Մենք ստանում ենք նորմալ պայմաններ (կարևոր չէ, թե դրանք լինեն տարբեր հայտարարներ), որը մենք համարում ենք վերը նշված կանոնների համաձայն.
- Հաջորդը, մենք հաշվարկում ենք ստացված կոտորակների տարբերությունը: Արդյունքում մենք գրեթե կգտնենք պատասխանը.
- Կատարում ենք հակադարձ փոխակերպում, այսինքն՝ ազատվում ենք ոչ պատշաճ կոտորակից՝ կոտորակի մեջ ընտրում ենք ամբողջ թվային մասը։
Ամբողջ թվից հանենք պատշաճ կոտորակ. ներկայացնում ենք բնական թիվորպես խառը թիվ։ Նրանք. վերցնում ենք բնական թվի միավորը և այն վերածում ոչ պատշաճ կոտորակի ձևի, հայտարարը նույնն է, ինչ հանված կոտորակի։
Կոտորակի հանման օրինակ.
Օրինակում միավորը փոխարինեցինք ոչ պատշաճ կոտորակով 7/7 և 3-ի փոխարեն գրեցինք խառը թիվ և կոտորակային մասից հանեցինք կոտորակ:
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում:
Կամ, այլ կերպ ասած, տարբեր կոտորակների հանում.
Տարբեր հայտարարներով կոտորակները հանելու կանոն.Տարբեր հայտարարներով կոտորակները հանելու համար նախ անհրաժեշտ է այդ կոտորակները հասցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի (LCD), և միայն դրանից հետո հանել, ինչպես նույն հայտարար ունեցող կոտորակների դեպքում։
Մի քանի կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)բնական թվեր, որոնք տվյալ կոտորակների հայտարարներն են.
Ուշադրություն.Եթե վերջնական կոտորակի մեջ համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր գործակիցներ, ապա կոտորակը պետք է կրճատվի։ Անպատշաճ կոտորակը լավագույնս ներկայացվում է որպես խառը կոտորակ: Հանման արդյունքը թողնելն առանց կոտորակի կրճատման, որտեղ հնարավոր է, օրինակի անավարտ լուծումն է:
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանման կարգը:
- գտեք LCM-ն բոլոր հայտարարների համար.
- դրեք լրացուցիչ բազմապատկիչներ բոլոր կոտորակների համար.
- բազմապատկել բոլոր համարիչները լրացուցիչ գործակցով.
- ստացված արտադրյալները գրում ենք համարիչում՝ ստորագրելով բոլոր կոտորակների տակ Ընդհանուր հայտարար;
- հանել կոտորակների համարիչները՝ տարբերության տակ ստորագրելով ընդհանուր հայտարարը:
Նույն կերպ կոտորակների գումարումն ու հանումը կատարվում է համարիչի տառերի առկայության դեպքում։
Կոտորակների հանում, օրինակներ.
Խառը կոտորակների հանում.
ժամը խառը կոտորակների (թվերի) հանումառանձին-առանձին ամբողջ թվային մասը հանվում է ամբողջից, իսկ կոտորակայինը՝ կոտորակայինից։
Առաջին տարբերակը խառը կոտորակներից հանելն է։
Եթե կոտորակային մասերը նույնըմինուենդի կոտորակային մասի հայտարարներն ու համարիչը (մենք հանում ենք դրանից) ≥ ենթակետի կոտորակային մասի համարիչը (հանում ենք այն):
Օրինակ:
Երկրորդ տարբերակը խառը կոտորակները հանելն է։
Երբ կոտորակային մասերը տարբերհայտարարները. Սկզբից կոտորակային մասերը կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, այնուհետև ամբողջ թվից հանում ենք ամբողջ մասը, իսկ կոտորակայինը՝ կոտորակայինից։
Օրինակ:
Երրորդ տարբերակը խառը կոտորակները հանելն է։
Մինուենդի կոտորակային մասը փոքր է ենթակառուցվածքի կոտորակային մասից։
Օրինակ:
Որովհետեւ կոտորակային մասերն ունեն տարբեր հայտարարներ, ինչը նշանակում է, որ ինչպես երկրորդ տարբերակում, մենք նախ սովորական կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի:
Մինուենդի կոտորակային մասի համարիչը փոքր է ենթահողերի կոտորակային մասի համարիչից։3 < 14. Այսպիսով, մենք վերցնում ենք միավոր ամբողջ թվից և այս միավորը բերում ենք նույն հայտարարով և համարիչով ոչ պատշաճ կոտորակի ձևի. = 18.
Աջ կողմից տրված համարիչում գրում ենք համարիչների գումարը, ապա աջ կողմից բացում ենք համարիչի փակագծերը, այսինքն՝ ամեն ինչ բազմապատկում ենք և տալիս նմանները։ Հայտարարի մեջ փակագծեր չենք բացում. Ընդունված է ապրանքը թողնել հայտարարի մեջ։ Մենք ստանում ենք.
Գտե՛ք համարիչն ու հայտարարը:Կոտորակը բաղկացած է երկու թվից՝ տողից վերեւ գտնվող թիվը կոչվում է համարիչ, իսկ գծից ներքեւ գտնվող թիվը՝ հայտարար։ Հայտարարը ցույց է տալիս այն մասերի ընդհանուր թիվը, որոնց մեջ տրոհված է մի ամբողջություն, իսկ համարիչը նման մասերի դիտարկված թիվն է:
- Օրինակ՝ ½ կոտորակում համարիչը 1 է, հայտարարը՝ 2։
Որոշի՛ր հայտարարը։Եթե երկու կամ ավելի կոտորակներ ունեն ընդհանուր հայտարար, ապա այդպիսի կոտորակները ունեն նույն թիվը ուղիղի տակ, այսինքն՝ այս դեպքում ինչ-որ ամբողջություն բաժանվում է նույն թվով մասերի։ Ընդհանուր հայտարարով կոտորակների գումարումը շատ հեշտ է, քանի որ ընդհանուր կոտորակի հայտարարը կլինի նույնը, ինչ գումարվող կոտորակների հայտարարը: Օրինակ:
- 3/5 և 2/5 կոտորակներն ունեն 5 ընդհանուր հայտարար։
- 3/8, 5/8, 17/8 կոտորակներն ունեն 8 ընդհանուր հայտարար։
Որոշեք համարիչները.Ընդհանուր հայտարարով կոտորակներ ավելացնելու համար գումարեք դրանց համարիչները և արդյունքը գրեք ավելացված կոտորակների հայտարարի վերևում:
- 3/5 և 2/5 կոտորակներն ունեն 3 և 2 համարիչներ։
- 3/8, 5/8, 17/8 կոտորակներն ունեն 3, 5, 17 համարիչներ։
Գումարե՛ք համարիչները։ 3/5 + 2/5 խնդրին գումարել 3 + 2 = 5 համարիչները։ 3/8 + 5/8 + 17/8 խնդրին գումարել 3 + 5 + 17 = 25 համարիչները։
Գրեք ընդհանուրը:Հիշեք, որ ընդհանուր հայտարարով կոտորակներ ավելացնելիս այն մնում է անփոփոխ՝ ավելացվում են միայն համարիչները:
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Անհրաժեշտության դեպքում փոխարկեք կոտորակը:Երբեմն կոտորակը կարելի է գրել որպես ամբողջ թիվ, այլ ոչ թե որպես սովորական կամ տասնորդական կոտորակ. Օրինակ, 5/5 կոտորակը հեշտությամբ վերածվում է 1-ի, քանի որ ցանկացած կոտորակ, որի համարիչը հավասար է հայտարարին, 1 է: Պատկերացրեք կարկանդակը, որը կտրված է երեք մասի: Եթե դուք ուտում եք բոլոր երեք մասերը, ապա կուտեք ամբողջ (մեկ) կարկանդակը:
- Ցանկացած ընդհանուր կոտորակ կարող է վերածվել տասնորդականի. Դա անելու համար համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա: Օրինակ՝ 5/8 կոտորակը կարելի է գրել այսպես՝ 5 ÷ 8 = 0,625։
Հնարավորության դեպքում պարզեցրեք կոտորակը:Պարզեցված կոտորակը այն կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը չունեն ընդհանուր բաժանարար:
- Օրինակ, հաշվի առեք 3/6 կոտորակը: Այստեղ և՛ համարիչն ունի, և՛ հայտարարը ընդհանուր բաժանարար, հավասար է 3-ի, այսինքն՝ համարիչն ու հայտարարն ամբողջությամբ բաժանվում են 3-ի։ Հետևաբար, 3/6 կոտորակը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½։
Անհրաժեշտության դեպքում սխալ կոտորակը փոխարկեք խառը կոտորակ(խառը թիվ):Անպատշաճ կոտորակի համար համարիչը մեծ է հայտարարից, օրինակ՝ 25/8 (ճիշտ կոտորակի համար համարիչը փոքր է հայտարարից)։ Անպատշաճ կոտորակը կարող է վերածվել խառը կոտորակի, որը բաղկացած է ամբողջ թվից (այսինքն՝ ամբողջ թվից) և կոտորակային մասից (այսինքն՝ պատշաճ կոտորակից)։ Անպատշաճ կոտորակը, ինչպիսին է 25/8-ը խառը թվի փոխարկելու համար, հետևեք հետևյալ քայլերին.
- Անպատշաճ կոտորակի համարիչը բաժանե՛ք նրա հայտարարի վրա. գրի՛ր թերի քանորդը (ամբողջ պատասխանը). Մեր օրինակում՝ 25 ÷ 8 = 3 գումարած որոշ մնացորդ: Այս դեպքում ամբողջ պատասխանը խառը թվի ամբողջական մասն է։
- Գտեք մնացածը: Մեր օրինակում՝ 8 x 3 = 24; արդյունքը հանել սկզբնական համարիչից՝ 25 - 24 \u003d 1, այսինքն՝ մնացորդը 1 է։ Այս դեպքում մնացորդը խառը թվի կոտորակային մասի համարիչն է։
- Գրի՛ր խառը կոտորակ. Հայտարարը չի փոխվում (այսինքն՝ հավասար է ոչ պատշաճ կոտորակի հայտարարին), ուստի 25/8 = 3 1/8։
Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը անվերջ կշարունակվի, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։
Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Բոլորն էլ այս կամ այն կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « Քննարկումները ներկայումս շարունակվում են, գիտական հանրությունը դեռ չի հասցրել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության մասին... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ։ ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների կիրառման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից թվում է, որ ժամանակը դանդաղում է մինչև լրիվ կանգառ այն պահին, երբ Աքիլեսը հասնում է կրիային: Եթե ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:
Եթե շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլեսը վազում է հետ հաստատուն արագություն. Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։
Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորներում և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.
Այն ժամանակ, ինչ Աքիլեսից պահանջվում է հազար քայլ վազել, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Հաջորդ ժամանակային միջակայքում, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։
Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։
Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.
Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն գտնվում է հանգստի վիճակում, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահին, այն միշտ հանգստանում է:
Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հենվում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է։ Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ հարկավոր է միաժամանակ երկու լուսանկար՝ արված տիեզերքի տարբեր կետերից, բայց դրանցից շարժման փաստը չես կարող որոշել (բնականաբար, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի քեզ): Այն, ինչ ուզում եմ մասնավորապես նշել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը երկու տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք ապահովում են. տարբեր հնարավորություններհետազոտության համար։
Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ
Շատ լավ է, որ տարբերությունները set-ի և multiset-ի միջև նկարագրված են Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք.
Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտը չի կարող ունենալ երկու միանման տարրեր», բայց եթե հավաքածուում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»։ Խելամիտ էակները երբեք չեն հասկանա աբսուրդի նման տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որում միտքը բացակայում է «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։
Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամրջի փորձարկումների ժամանակ նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:
Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:
Շատ լավ ենք սովորել մաթեմատիկա, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այստեղ մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար։ Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերի մեջ, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և տալիս մաթեմատիկոսին իր «մաթեմատիկական աշխատավարձի հավաքածուն»։ Մաթեմատիկան բացատրում ենք, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը։ Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:
Առաջին հերթին կաշխատի պատգամավորների տրամաբանությունը՝ «դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև, կսկսվեն հավաստիացումները, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր թղթադրամների համարներ, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույնական տարրեր: Դե, մենք աշխատավարձը հաշվում ենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի ջղաձգորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամների վրա կա տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...
Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտեղ է այն սահմանը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ։
Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն միաժամանակ և՛ բազմախումբ է, և՛ բազմաբնույթ: Որքանո՞վ ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շալլերը իր թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։
Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մեկ հարցին՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։
կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ
Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց նրանք շամաններ են դրա համար, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան։
Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որով կարող ես գտնել որևէ թվի թվանշանների գումարը։ Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել տարրական կարգով:
Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, ենթադրենք ունենք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։
1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք թվային գրաֆիկական նշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։
3. Անհատական գրաֆիկական նիշերը վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
4. Գումարի՛ր ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:
12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք մենք գրում թիվը։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերհաշվի առնելով՝ նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ՀԵՏ մեծ թվով 12345 Չեմ ուզում գլուխս խաբել, հաշվի առեք 26 թիվը հոդվածի մասին։ Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք յուրաքանչյուր քայլ մանրադիտակի տակ չենք դիտարկելու, մենք դա արդեն արել ենք։ Եկեք նայենք արդյունքին:
Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նման է ուղղանկյունի մակերեսը մետրերով և սանտիմետրերով գտնելը ձեզ բոլորովին այլ արդյունքներ կտա:
Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ . Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակվում այն, ինչը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից, ոչինչ գոյություն չունի: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար՝ ոչ։ Իրականությունը միայն թվերով չէ:
Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե միևնույն մեծության չափման տարբեր միավորներով նույն գործողությունները դրանք համեմատելուց հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։
Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի արժեքից, օգտագործված չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։
Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելիս հոգիների անորոշ սրբությունն ուսումնասիրելու համար: Նիմբուս վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:
Իգական... Վերևում լուսապսակ և ներքև սլաքը արական է:
Եթե դուք ունեք դիզայներական արվեստի նման ստեղծագործություն, որը ձեր աչքի առաջ օրական մի քանի անգամ փայլում է,
Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.
Անձամբ ես ինքս ինձ վրա ջանք եմ գործադրում թուխ մարդու մեջ տեսնել մինուս չորս աստիճան (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կազմություն. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Իսկ այս աղջկան ես հիմար չեմ համարում, ով ֆիզիկա չգիտի։ Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման աղեղային կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.
1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թափող մարդ» է կամ տասնվեցական թվային համակարգում «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։
Կոտորակի հաշվիչՆախատեսված է կոտորակների հետ գործողությունների արագ հաշվարկի համար, այն կօգնի ձեզ հեշտությամբ ավելացնել, բազմապատկել, բաժանել կամ հանել կոտորակներ:
Ժամանակակից դպրոցականները կոտորակներ են սկսում սովորել արդեն 5-րդ դասարանում, և ամեն տարի նրանց հետ վարժություններն ավելի են բարդանում։ Մաթեմատիկական տերմիններն ու քանակները, որոնք մենք սովորում ենք դպրոցում, հազվադեպ են մեզ օգտակար հասուն տարիքում: Այնուամենայնիվ, կոտորակները, ի տարբերություն լոգարիթմների և աստիճանների, բավականին տարածված են առօրյա կյանքում (հեռավորության չափում, ապրանքների կշռում և այլն): Մեր հաշվիչը նախատեսված է ֆրակցիաների հետ արագ գործողությունների համար:
Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ են կոտորակները և ինչ են դրանք: Կոտորակները մի թվի և մյուսի հարաբերությունն են, սա միավորի կոտորակների ամբողջ թվից բաղկացած թիվ է:
Կոտորակների տեսակները.
- Սովորական
- Տասնորդականներ
- խառը
Օրինակ սովորական կոտորակներ:
Վերին արժեքը համարիչն է, ներքևի արժեքը՝ հայտարարը: Գծիկը ցույց է տալիս, որ վերին թիվը բաժանվում է ներքևի թվի վրա: Նմանատիպ գրելու ձևաչափի փոխարեն, երբ գծիկը հորիզոնական է, կարող եք գրել այլ կերպ: Կարող եք թեք գիծ դնել, օրինակ.
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Տասնորդականներկոտորակների ամենատարածված տեսակներն են։ Դրանք կազմված են ստորակետով բաժանված ամբողջ և կոտորակային մասից։
Տասնորդական օրինակ.
0.2 կամ 6.71 կամ 0.125
Այն բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից։ Այս կոտորակի արժեքը պարզելու համար պետք է գումարել ամբողջ թիվը և կոտորակը:
Խառը կոտորակների օրինակ.
Կոտորակների հաշվիչը մեր կայքում կարող է առցանց արագ կատարել ցանկացած մաթեմատիկական գործողություններ կոտորակների հետ.
- Հավելում
- Հանում
- Բազմապատկում
- Բաժանում
Հաշվարկն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է դաշտերում մուտքագրել թվերը և ընտրել գործողությունը: Կոտորակների համար պետք է լրացնել համարիչն ու հայտարարը, կարող է ամբողջ թիվ չգրվել (եթե կոտորակը սովորական է): Մի մոռացեք սեղմել «հավասար» կոճակը:
Հարմար է, որ հաշվիչը անմիջապես կոտորակներով օրինակի լուծման գործընթաց տրամադրի, այլ ոչ թե պարզապես պատրաստի պատասխան։ Մանրամասն լուծման շնորհիվ կարող եք օգտագործել այս նյութը դպրոցական խնդիրների լուծման և լուսաբանված նյութը ավելի լավ տիրապետելու համար:
Դուք պետք է հաշվարկեք օրինակը.
Ցուցանիշները ձևի դաշտերում մուտքագրելուց հետո մենք ստանում ենք.
Անկախ հաշվարկ կատարելու համար տվյալները մուտքագրեք ձևի մեջ:
Կոտորակի հաշվիչ
Մուտքագրեք երկու կոտորակ.| + - * : | |||||||
հարակից բաժինները:
Այս դասը կներառի գումարում և հանում: հանրահաշվական կոտորակներտարբեր հայտարարներով։ Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է գումարել և հանել տարբեր հայտարարներով ընդհանուր կոտորակները: Դա անելու համար կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Ստացվում է, որ հանրահաշվական կոտորակները գործում են նույն կանոններով։ Միևնույն ժամանակ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է հանրահաշվական կոտորակները հասցնել ընդհանուր հայտարարի: Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելն ու հանելը 8-րդ դասարանի դասընթացի ամենակարևոր և բարդ թեմաներից է: Ավելին, այս թեման կգտնվի հանրահաշվի դասընթացի բազմաթիվ թեմաներում, որոնք դուք կուսումնասիրեք ապագայում։ Դասի շրջանակներում կուսումնասիրենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները, ինչպես նաև կվերլուծենք. ամբողջ գիծըբնորոշ օրինակներ.
Հաշվի առեք ամենապարզ օրինակըընդհանուր կոտորակների համար.
Օրինակ 1Ավելացնել կոտորակներ.
Լուծում:
Հիշեք կոտորակների գումարման կանոնը. Սկսելու համար, կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Սովորական կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(LCM) սկզբնական հայտարարների.
Սահմանում
Ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է երկու թվերի և .
LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է հայտարարները տարրալուծել պարզ գործակիցների, այնուհետև ընտրել բոլոր այն պարզ գործոնները, որոնք ներառված են երկու հայտարարների ընդլայնման մեջ։
; . Այնուհետև թվերի LCM-ն պետք է ներառի երկու 2 և երկու 3.
Ընդհանուր հայտարարը գտնելուց հետո անհրաժեշտ է, որ կոտորակներից յուրաքանչյուրը գտնի լրացուցիչ գործակից (ըստ էության, ընդհանուր հայտարարը բաժանեք համապատասխան կոտորակի հայտարարի վրա)։
Այնուհետև յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկվում է ստացված լրացուցիչ գործակցով։ Մենք ստանում ենք նույն հայտարարներով կոտորակներ, որոնք սովորել ենք նախորդ դասերին գումարել և հանել:
Մենք ստանում ենք. 
.
Պատասխան..
Այժմ դիտարկենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարումը: Նախ դիտարկենք այն կոտորակները, որոնց հայտարարը թվեր են:
Օրինակ 2Ավելացնել կոտորակներ.
Լուծում:
Լուծման ալգորիթմը բացարձակապես նման է նախորդ օրինակին։ Այս կոտորակների համար հեշտ է գտնել ընդհանուր հայտարար և լրացուցիչ գործոններ նրանցից յուրաքանչյուրի համար:
.
Պատասխան..
Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարման և հանման ալգորիթմ:
1. Գտի՛ր կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:
2. Կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար գտե՛ք հավելյալ գործակիցներ (ընդհանուր հայտարարը բաժանելով այս կոտորակի հայտարարի վրա):
3. Բազմապատկել համարիչները համապատասխան լրացուցիչ գործոններով:
4. Գումարել կամ հանել կոտորակներ՝ օգտագործելով նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման կանոնները:
Դիտարկենք հիմա մի օրինակ կոտորակներով, որոնց հայտարարը պարունակում է բառացի արտահայտություններ.
Օրինակ 3Ավելացնել կոտորակներ.
Լուծում:
Քանի որ երկու հայտարարների բառացի արտահայտությունները նույնն են, դուք պետք է ընդհանուր հայտարար գտնեք թվերի համար: Վերջնական ընդհանուր հայտարարը կունենա հետևյալ տեսքը. Այսպիսով, այս օրինակի լուծումը հետևյալն է.
Պատասխան..
Օրինակ 4Կոտորակները հանել.
Լուծում:
Եթե դուք չեք կարող «խաբել» ընդհանուր հայտարար ընտրելիս (չեք կարող այն գործոնավորել կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը), ապա պետք է երկու կոտորակների հայտարարների արտադրյալն ընդունեք որպես ընդհանուր հայտարար:
Պատասխան..
Ընդհանրապես որոշելիս նմանատիպ օրինակներ, ամենադժվար խնդիրը ընդհանուր հայտարար գտնելն է։
Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:
Օրինակ 5Պարզեցնել.
Լուծում:
Ընդհանուր հայտարար գտնելիս նախ պետք է փորձել բուն կոտորակների հայտարարները ֆակտորիզացնել (ընդհանուր հայտարարը պարզեցնելու համար):
Այս կոնկրետ դեպքում.
Այնուհետև հեշտ է որոշել ընդհանուր հայտարարը. 
.
Մենք որոշում ենք լրացուցիչ գործոններ և լուծում այս օրինակը.
Պատասխան..
Այժմ մենք կֆիքսենք տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները։
Օրինակ 6Պարզեցնել.
Լուծում:
Պատասխան..
Օրինակ 7Պարզեցնել.
Լուծում:
.
Պատասխան..
Դիտարկենք հիմա մի օրինակ, որտեղ ավելացվում են ոչ թե երկու, այլ երեք կոտորակներ (ի վերջո, գումարման և հանման կանոնները. ավելինկոտորակները մնում են նույնը):
Օրինակ 8Պարզեցնել.
