Ինչպե՞ս է գտնվել ընդհանուր հայտարարը: Երկու թվերի «կռունկ» և «ոչ», էվկլիդեսյան ալգորիթմ
հետ հանրահաշվական կոտորակներ գումարել և հանելիս տարբեր հայտարարներնախ կոտորակները հանգեցնում են Ընդհանուր հայտարար. Սա նշանակում է, որ նրանք գտնում են այդպիսի մեկ հայտարար, որը բաժանվում է այս արտահայտության մաս կազմող յուրաքանչյուր հանրահաշվական կոտորակի սկզբնական հայտարարով։
Ինչպես գիտեք, եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն (կամ բաժանվեն) նույն թվով, բացի զրոյից, ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի: Սա կոտորակի հիմնական հատկությունն է։ Հետևաբար, երբ կոտորակները տանում են ընդհանուր հայտարարի, փաստորեն, յուրաքանչյուր կոտորակի սկզբնական հայտարարը բազմապատկվում է բաց թողնված գործակցով մինչև ընդհանուր հայտարար։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է բազմապատկել այս գործակցով և կոտորակի համարիչով (յուրաքանչյուր կոտորակի համար այն տարբեր է):
Օրինակ՝ հաշվի առնելով հանրահաշվական կոտորակների հետևյալ գումարը.
Պահանջվում է պարզեցնել արտահայտությունը, այսինքն՝ ավելացնել երկու հանրահաշվական կոտորակ: Դրա համար առաջին հերթին անհրաժեշտ է տերմին-կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի։ Առաջին քայլը գտնելն է միանդամ, որը բաժանվում է և՛ 3x-ի, և՛ 2y-ի: Այս դեպքում, ցանկալի է, որ այն լինի ամենափոքրը, այսինքն՝ գտնի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) 3x-ի և 2y-ի համար:
Թվային գործակիցների և փոփոխականների համար LCM-ը որոնվում է առանձին: LCM(3, 2) = 6 և LCM(x, y) = xy: Այնուհետև, գտնված արժեքները բազմապատկվում են՝ 6xy:
Այժմ մենք պետք է որոշենք, թե ինչ գործակցով պետք է բազմապատկենք 3x, որպեսզի ստանանք 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Սա նշանակում է, որ առաջին հանրահաշվական կոտորակը հասցնելով ընդհանուր հայտարարի, դրա համարիչը պետք է բազմապատկվի 2y-ով (հայտարարն արդեն բազմապատկվել է, երբ կրճատվում է ընդհանուր հայտարարի): Նմանապես որոնվում է երկրորդ կոտորակի համարիչի գործակիցը: Այն հավասար կլինի 3x-ի։
Այսպիսով, մենք ստանում ենք. 
Ավելին, արդեն հնարավոր է գործել այնպես, ինչպես նույն հայտարարներով կոտորակների դեպքում. համարիչները գումարվում են, իսկ հայտարարի մեջ գրվում է մեկ ընդհանուր. 
Փոխակերպումներից հետո ստացվում է պարզեցված արտահայտություն, որը մեկն է հանրահաշվական կոտորակ, որը երկու բնօրինակի գումարն է. 
Բնօրինակ արտահայտության հանրահաշվական կոտորակները կարող են պարունակել հայտարարներ, որոնք ավելի շատ բազմանդամ են, քան միանդամներ (ինչպես վերը նշված օրինակում): Այս դեպքում, նախքան ընդհանուր հայտարար գտնելը, հաշվարկեք հայտարարները (եթե հնարավոր է): Հետագա Ընդհանուր հայտարարհավաքվում է տարբեր բազմապատկիչներից։ Եթե գործակիցը մի քանի սկզբնական հայտարարի մեջ է, ապա այն վերցվում է մեկ անգամ։ Եթե գործակիցը սկզբնական հայտարարներում տարբեր աստիճաններ ունի, ապա այն վերցվում է ավելի մեծով։ Օրինակ: 
Այստեղ a 2 - b 2 բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ (a - b)(a + b): 2a – 2b գործակիցը ընդլայնվում է որպես 2(a – b): Այսպիսով, ընդհանուր հայտարարը հավասար կլինի 2(a - b)(a + b):
Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու առաջադրանքները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը գլխավորներից է, որը հատկապես հաճախ է օգտագործվում թեմայում, թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, մինչդեռ նյութը հասկանալն առանձնապես դժվար չէ, ուժերին և բազմապատկման աղյուսակին ծանոթ մարդու համար դժվար չի լինի ընտրել. անհրաժեշտ թվերը և գտնել արդյունքը:
Սահմանում
Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով: Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։
NOC-ը կարճ անուն է, որը վերցված է առաջին տառերից։
Թիվ ստանալու ուղիներ
LCM-ն գտնելու համար թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների, որքան մեծ լինի այդ թիվը, այնքան շատ գործոններ կլինեն։
Օրինակ #1
Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար ընդունում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվը, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։
Օրինակ #2
Երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է. Տրված են 300 և 1260 համարները, LCM գտնելը պարտադիր է։ Առաջադրանքը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.
Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը ամենապարզ գործոնների: 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7: Առաջին փուլն ավարտված է.
Երկրորդ փուլը ենթադրում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր գործոնի համար երևույթների ամենամեծ թիվը վերցված է սկզբնական թվերից: ՀԱՕԿ-ն է ընդհանուր թիվը, ուստի թվերից գործոնները պետք է կրկնվեն դրանում մինչև վերջինը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում։ Երկու սկզբնական թվերն էլ իրենց կազմի մեջ ունեն 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր աստիճաններով, 7-ը միայն մեկ դեպքում է։
Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ վերցնել յուրաքանչյուր թիվ իրենց ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը, ճիշտ լրացմամբ առաջադրանքը առանց բացատրության տեղավորվում է երկու քայլի մեջ.
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք բազմապատկելով հաշվարկել ցանկալի թիվը, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:
Փորձաքննություն:
6300 / 300 = 21 - ճշմարիտ;
6300 / 1260 = 5 ճիշտ է:
Արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ LCM-ը բաժանելով երկու սկզբնական թվերի վրա, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։
Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ
Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անպետք ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելն է: Այն, ինչ սովորաբար սովորում են ավագ դպրոցի 5-6-րդ դասարաններում. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ այդպիսի պայմաններ կան: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի բազմապատիկ, այլև շատ ավելի մեծ թվի՝ երեք, հինգ և այլն։ Որքան շատ թվեր, այնքան շատ գործողություններ առաջադրանքի մեջ, բայց դրա բարդությունը չի ավելանում:
Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Արտահայտություն կազմելու համար պահանջվում է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար պահանջվում է որոշել առավելագույն աստիճանը։
Ուշադրություն. բոլոր բազմապատկիչները պետք է հասցվեն լրիվ պարզեցման, հնարավորության դեպքում՝ քայքայվելով մինչև միանիշ մակարդակ:
Փորձաքննություն:
1) 3000 / 250 = 12 - ճշմարիտ;
2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;
3) 3000 / 1500 = 2 ճիշտ է:
Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։
Մեկ այլ ճանապարհ
Մաթեմատիկայի մեջ շատ բան կապված է, շատ բան կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին՝ LCM-ին գտնելու դեպքում։ Պարզ երկնիշ և միանիշ թվերի դեպքում կարելի է կիրառել հետևյալ մեթոդը. Կազմվում է աղյուսակ, որում բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցվել է թիվ և այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները գրվում են անընդմեջ՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն բավական է 3-5 միավորը, ենթարկվում են երկրորդ և հաջորդ թվերը։ նույն հաշվողական գործընթացին: Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:
Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք LCM-ը, որը միացնում է բոլոր թվերը.
1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:
2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:
3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:
Նկատելի է, որ բոլոր թվերը բավականին տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի դա կլինի LCM-ն։ Այս հաշվարկի հետ կապված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում։ Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականաչափ նշանակալի, LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկ, որը բաժանվում է բոլոր տվյալների վրա: բնօրինակ արժեքներ, իսկ GCD-ն ենթադրում է հաշվարկ ամենամեծ արժեքորով սկզբնական թվերը բաժանվում են.
Այս հոդվածը բացատրում է, ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարըԵվ ինչպես կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի. Նախ տրված են կոտորակների ընդհանուր հայտարարի և ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի սահմանումները, ինչպես նաև ցույց է տրվում, թե ինչպես կարելի է գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը։ Ստորև բերված է կոտորակները ընդհանուր հայտարարի կրճատելու կանոն և դիտարկվում են այս կանոնի կիրառման օրինակներ: Եզրափակելով, օրինակներ կրճատման երեք եւ ավելինկոտորակները ընդհանուր հայտարարի:
Էջի նավարկություն.
Ի՞նչ է կոչվում կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի:
Այժմ կարող ենք ասել, թե ինչ է նշանակում կոտորակներ բերել ընդհանուր հայտարարի։ Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելըտրված կոտորակների համարիչների և հայտարարների բազմապատկումն է այնպիսի լրացուցիչ գործակիցներով, որ ստացվում են նույն հայտարարներով կոտորակներ։
Ընդհանուր հայտարար, սահմանում, օրինակներ
Այժմ ժամանակն է սահմանել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը:
Այսինքն՝ ինչ-որ բազմության ընդհանուր հայտարարը սովորական կոտորակներցանկացած է բնական թիվ, որը բաժանվում է տրված կոտորակների բոլոր հայտարարների վրա։
Նշված սահմանումից հետևում է, որ կոտորակների այս բազմությունն ունի անսահման շատ ընդհանուր հայտարարներ, քանի որ կան կոտորակների սկզբնական բազմության բոլոր հայտարարների ընդհանուր բազմապատիկների անսահման թիվը:
Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի որոշումը թույլ է տալիս գտնել տվյալ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Օրինակ, տրված 1/4 և 5/6 կոտորակները, դրանց հայտարարները համապատասխանաբար 4 և 6 են։ 4-ի և 6-ի դրական ընդհանուր բազմապատիկները 12, 24, 36, 48, ... Այս թվերից որևէ մեկը 1/4 և 5/6 կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է։
Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք հետևյալ օրինակի լուծումը.
Օրինակ.
Հնարավո՞ր է 2/3, 23/6 և 7/12 կոտորակները կրճատել 150 ընդհանուր հայտարարի։
Լուծում.
Այս հարցին պատասխանելու համար պետք է պարզել, թե արդյոք 150 թիվը 3, 6 և 12 հայտարարների ընդհանուր բազմապատիկն է։ Դա անելու համար ստուգեք, արդյոք 150-ը հավասարապես բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերի բաժանման կանոններն ու օրինակները, ինչպես նաև բնական թվերը մնացորդով բաժանելու կանոններն ու օրինակները). 150:3. =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (հանգստ. 6) .
Այսպիսով, 150-ը չի բաժանվում 12-ի, ուստի 150-ը 3-ի, 6-ի և 12-ի ընդհանուր բազմապատիկ չէ: Հետեւաբար, 150 թիվը չի կարող լինել սկզբնական կոտորակների ընդհանուր հայտարարը։
Պատասխան.
Արգելվում է։
Ամենացածր ընդհանուր հայտարարը, ինչպե՞ս գտնել այն:
Այս կոտորակների ընդհանուր հայտարար հանդիսացող թվերի բազմության մեջ կա ամենափոքր բնական թիվը, որը կոչվում է ամենափոքր ընդհանուր հայտարար։ Ձևակերպենք այս կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի սահմանումը։
Սահմանում.
Նվազագույն ընդհանուր հայտարարը- Սա ամենափոքր թիվը, տրված կոտորակների բոլոր ընդհանուր հայտարարներից։
Մնում է զբաղվել այն հարցով, թե ինչպես գտնել ամենաքիչ ընդհանուր բաժանարարը:
Քանի որ թվերի տրված բազմության նվազագույն դրական ընդհանուր բաժանարարն է, այս կոտորակների հայտարարների LCM-ն այս կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարն է:
Այսպիսով, կոտորակների ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարը գտնելը կրճատվում է այս կոտորակների հայտարարների վրա: Եկեք նայենք լուծման օրինակին:
Օրինակ.
Գտե՛ք 3/10 և 277/28 թվերի ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:
Լուծում.
Այս կոտորակների հայտարարներն են 10 և 28։ Ցանկալի նվազագույն ընդհանուր հայտարարը գտնվում է որպես 10 և 28 թվերի LCM: Մեր դեպքում դա հեշտ է՝ քանի որ 10=2 5 և 28=2 2 7, ապա LCM(15, 28)=2 2 5 7=140:
Պատասխան.
140 .
Ինչպե՞ս կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի: Կանոն, օրինակներ, լուծումներ
Ընդհանուր կոտորակները սովորաբար հանգեցնում են ամենացածր ընդհանուր հայտարարի: Այժմ մենք կգրենք մի կանոն, որը բացատրում է, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
Կոտորակներն ամենափոքր ընդհանուր հայտարարին փոքրացնելու կանոնբաղկացած է երեք քայլից.
- Նախ գտե՛ք կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:
- Երկրորդ, յուրաքանչյուր կոտորակի համար հաշվարկվում է լրացուցիչ գործակից, որի համար ամենացածր ընդհանուր հայտարարը բաժանվում է յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա։
- Երրորդ, յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են նրա լրացուցիչ գործակցով։
Նշված կանոնը կիրառենք հետևյալ օրինակի լուծման համար.
Օրինակ.
5/14 և 7/18 կոտորակներն իջեցրե՛ք մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
Լուծում.
Կատարենք կոտորակներն ամենափոքր ընդհանուր հայտարարին կրճատելու ալգորիթմի բոլոր քայլերը։
Նախ՝ գտնում ենք ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը, որը հավասար է 14 և 18 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ Քանի որ 14=2 7 և 18=2 3 3, ապա LCM(14, 18)=2 3 3 7=126:
Այժմ հաշվում ենք լրացուցիչ գործոններ, որոնց օգնությամբ 5/14 և 7/18 կոտորակները կնվազեն մինչև 126 հայտարար։ 5/14 կոտորակի համար հավելյալ գործակիցը 126:14=9 է, իսկ 7/18 կոտորակի համար՝ 126:18=7։
Մնում է 5/14 և 7/18 կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկել համապատասխանաբար 9 և 7 լրացուցիչ գործակիցներով։ ունենք և 
.
Այսպիսով, ավարտված է 5/14 և 7/18 կոտորակների կրճատումը դեպի ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը։ Արդյունքը եղավ 45/126 և 49/126 կոտորակները։
IN իրական կյանքմենք պետք է գործենք սովորական կոտորակներով։ Այնուամենայնիվ, տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար, օրինակ՝ 2/3 և 5/7, մենք պետք է ընդհանուր հայտարար գտնենք: Կոտորակները կրճատելով ընդհանուր հայտարարի` մենք հեշտությամբ կարող ենք կատարել գումարման կամ հանման գործողություններ:
Սահմանում
Կոտորակները հիմնական թվաբանության ամենադժվար թեմաներից են, և ռացիոնալ թվերը վախեցնում են ուսանողներին, ովքեր առաջին անգամ են հանդիպում դրանց: Մենք սովոր ենք գործել տասնորդական ձևաչափով գրված թվերով։ Շատ ավելի հեշտ է անմիջապես ավելացնել 0,71 և 0,44, քան գումարել 5/7 և 4/9: Իսկապես, կոտորակները գումարելու համար դրանք պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Այնուամենայնիվ, կոտորակները շատ ավելի ճշգրիտ են ներկայացնում մեծությունների իմաստը, քան դրանց տասնորդական համարժեքները, իսկ մաթեմատիկայի մեջ՝ ներկայացնելով շարքեր կամ իռացիոնալ թվեր, քանի որ կոտորակները դառնում են առաջնահերթություն. Նման առաջադրանքը կոչվում է «արտահայտությունը փակ ձևի իջեցում»։
Եթե կոտորակի և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն գործակցով, ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի։ Սա ամենաշատերից մեկն է կարևոր հատկություններկոտորակային թվեր. Օրինակ, 3/4 կոտորակը տասնորդական ձևով գրվում է 0,75: Եթե համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 3-ով, կստանանք 9/12 կոտորակը, որը ճիշտ նույնն է, ինչ 0,75-ը։ Այս հատկության շնորհիվ մենք կարող ենք բազմապատկվել տարբեր կոտորակներայնպես որ նրանք բոլորն ունեն նույն հայտարարները. Ինչպե՞ս դա անել:
Ընդհանուր հայտարարի որոնում
Նվազագույն ընդհանուր հայտարարը (LCD) արտահայտության բոլոր հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է: Նման թիվ մենք կարող ենք գտնել երեք եղանակով.
Օգտագործելով առավելագույն հայտարարը
Սա ICD-ներ գտնելու ամենապարզ, բայց ժամանակատար մեթոդներից մեկն է: Սկզբում մենք բոլոր կոտորակների հայտարարներից դուրս ենք գրում ամենամեծ թիվը և ստուգում դրա բաժանելիությունը փոքր թվերի վրա: Եթե բաժանվում է, ապա ամենամեծ հայտարարը NOZ է:
Եթե նախորդ գործողության մեջ թվերը բաժանվում են մնացորդով, ապա պետք է դրանցից ամենամեծը բազմապատկել 2-ով և կրկնել բաժանելիության ստուգումը։ Եթե այն բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա նոր գործակիցը դառնում է NOZ։
Եթե ոչ, ապա ամենամեծ հայտարարը բազմապատկվում է 3-ով, 4-ով, 5-ով և այլն, մինչև որ գտնվի բոլոր կոտորակների ստորին մասի ամենացածր ընդհանուր բազմապատիկը: Գործնականում այն կարծես այսպիսին է.
Ենթադրենք, ունենք 1/5, 1/8 և 1/20 կոտորակներ։ Մենք ստուգում ենք 20-ը 5-ի և 8-ի բաժանման համար: 20-ը չի բաժանվում 8-ի: Մենք 20-ը բազմապատկում ենք 2-ով: Ստուգում ենք 40-ը 5-ի և 8-ի բաժանման համար: Թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, հետևաբար NOZ (1/5, 1/): 8 և 1/20) = 40, իսկ կոտորակները վերածվում են 8/40, 5/40 և 2/40:
Բազմապատիկների հաջորդական թվարկում
Երկրորդ ճանապարհը բազմապատիկների պարզ թվարկումն է և դրանցից ամենափոքրը ընտրելը: Բազմապատիկներ գտնելու համար մենք թիվը բազմապատկում ենք 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն, ուստի բազմապատիկների թիվը հակված է դեպի անվերջություն: Դուք կարող եք սահմանափակել այս հաջորդականությունը սահմանաչափով, որը տրված թվերի արտադրյալն է: Օրինակ՝ 12 և 20 համարների համար ՀԱՕԿ-ը հետևյալն է.
- Դուրս գրեք 12-ի բազմապատիկ թվեր - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
- դուրս գրել թվեր, որոնք բազմապատիկ են 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
- որոշել ընդհանուր բազմապատիկները՝ 60, 120;
- ընտրել դրանցից ամենափոքրը՝ 60:
Այսպիսով, 1/12-ի և 1/20-ի համար ընդհանուր հայտարարը կլինի 60, իսկ կոտորակները վերածվում են 5/60-ի և 3/60-ի:
Առաջնային ֆակտորիզացիա
ՀԱՕԿ-ի հայտնաբերման այս մեթոդն ամենաարդիականն է: Այս մեթոդը ներառում է բոլոր թվերի ընդլայնումը կոտորակների ստորին մասերից դեպի անբաժանելի գործակիցներ: Դրանից հետո կազմվում է մի թիվ, որը պարունակում է բոլոր հայտարարների գործակիցները։ Գործնականում այն աշխատում է այսպես. Գտեք LCM-ն նույն 12-ի և 20-ի զույգի համար.
- ֆակտորիզացնել 12 - 2 × 2 × 3;
- դասավորել 20 - 2 × 2 × 5;
- մենք միավորում ենք գործոնները այնպես, որ դրանք պարունակում են թվեր և 12 և 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
- բազմապատկել անբաժանելիները և ստանալ արդյունքը՝ 60։
Երրորդ պարբերությունում առանց կրկնությունների միավորում ենք գործոնները, այսինքն՝ երկու երկուսը բավական է 12-ը եռակի հետ միասին կազմելու համար, իսկ 20-ը՝ հինգի հետ։
Մեր հաշվիչը թույլ է տալիս որոշել NOZ-ը կամայական թվով կոտորակների համար՝ գրված ինչպես սովորական, այնպես էլ տասնորդական ձևով: NOZ որոնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել ներդիրներով կամ ստորակետերով առանձնացված արժեքներ, որից հետո ծրագիրը կհաշվի ընդհանուր հայտարարը և կցուցադրի փոխարկված կոտորակները:
Իրական կյանքի օրինակ
Կոտորակների գումարում
Ենթադրենք, թվաբանության հարցում մենք պետք է գումարենք հինգ կոտորակ.
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Ձեռքով լուծումը կկատարվեր հետևյալ կերպ. Սկզբից մենք պետք է թվերը ներկայացնենք նշման մեկ ձևով.
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Այժմ մենք ունենք մի շարք սովորական կոտորակներ, որոնք պետք է կրճատվեն մինչև նույն հայտարարը.
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Քանի որ մենք ունենք 5 տերմին, ամենահեշտ ձևն է օգտագործել NOZ-ի որոնման եղանակը ամենամեծ թիվը. Մենք ստուգում ենք 20-ը այլ թվերի վրա բաժանելու համար: 20-ն առանց մնացորդի չի բաժանվում 8-ի։ Մենք 20-ը բազմապատկում ենք 2-ով, ստուգում ենք 40-ը բաժանելիության համար. բոլոր թվերն ամբողջությամբ բաժանում են 40-ը: Սա է մեր ընդհանուր հայտարարը։ Այժմ ռացիոնալ թվերը գումարելու համար մենք պետք է յուրաքանչյուր կոտորակի համար որոշենք լրացուցիչ գործոններ, որոնք սահմանվում են որպես LCM-ի և հայտարարի հարաբերակցությունը: Լրացուցիչ բազմապատկիչները կունենան հետևյալ տեսքը.
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Այժմ մենք կոտորակների համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք համապատասխան լրացուցիչ գործոններով.
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Նման արտահայտության համար մենք կարող ենք հեշտությամբ որոշել գումարը, որը հավասար է 85/40-ի կամ 2 ամբողջ թվի և 1/8-ի: Սրանք ծանր հաշվարկներ են, այնպես որ կարող եք պարզապես մուտքագրել առաջադրանքի տվյալները հաշվիչի ձևի մեջ և անմիջապես ստանալ պատասխանը:
Եզրակացություն
Թվաբանական գործողություններ կոտորակներով - ոչ շատ հարմար բան, քանի որ պատասխանը գտնելու համար պետք է բազմաթիվ միջանկյալ հաշվարկներ կատարել։ Օգտագործեք մեր առցանց հաշվիչը՝ կոտորակները ընդհանուր հայտարարի հասցնելու և դպրոցական խնդիրները արագ լուծելու համար:
Բազմապատկում «խաչաձեւ»
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Որպեսզի գնահատեք, թե որքան շահույթ է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը:
Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը
Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ դրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Տես նաեւ:
Ես սկզբում ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի մեթոդները «Կոտորակների գումարում և հանում» պարբերությունում: Բայց ինֆորմացիան այնքան շատ էր, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվում, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են միևնույն ոչ զրոյական թվով:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ եք ընտրում գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ ցանկալի թվերը, «համահարթեցնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատություն. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Բաժնետոմսերի և տոկոսների վերաբերյալ խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Կան թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ, որոնք բազմապատկելիս հայտարարները հավասարեցնում են: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և, ինչ-որ իմաստով, արդյունավետության:
Բազմապատկում «խաչաձեւ»
Ամենապարզը և հուսալի միջոց, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «առաջ»՝ առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով։ Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Որպես հավելյալ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե նոր եք սկսել սովորել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջությամբ» բազմապատկվում են, և արդյունքում կարող ես ստանալ շատ. մեծ թվեր. Դա հուսալիության գինն է:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է մեծապես նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն հազվադեպ է օգտագործվում: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան «մինչև» անցնելը (այսինքն՝ «խաչաձև») նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանվում է մյուսի վրա։
- Նման բաժանման արդյունքում ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար:
- Միևնույն ժամանակ, մեծ հայտարար ունեցող կոտորակը ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի, սա է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, մենք կիրառում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատել ենք հաշվարկների քանակը։
Ի դեպ, ես այս օրինակի կոտորակները վերցրել եմ մի պատճառով. Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատումից հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա մեթոդի ուժն է: ընդհանուր բաժանարարներ, բայց, կրկնում եմ, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, եթե հայտարարներից մեկը բաժանվի մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի։ Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասարի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղիղ արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96-ի արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը
Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2-րդ և 3-րդ գործակիցները համապարփակ են (նրանք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, բացի 1-ից), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.
Նկատի ունեցեք, թե որքան օգտակար է ստացվել սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացիան.
- Գտնելով նույն գործոնները՝ մենք անմիջապես հասանք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար: Օրինակ, 234 3 \u003d 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է:
Մի կարծեք, որ նման բարդ կոտորակները իրական օրինակներում չեն լինի: Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել այս ԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք չենք անդրադառնա սրան։
Տես նաեւ:
Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը
Ես սկզբում ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի մեթոդները «Կոտորակների գումարում և հանում» պարբերությունում: Բայց ինֆորմացիան այնքան շատ էր, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվում, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են միևնույն ոչ զրոյական թվով:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ եք ընտրում գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ ցանկալի թվերը, «համահարթեցնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի:
Ընդհանուր հայտարար, հասկացություն և սահմանում:
Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատություն. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Բաժնետոմսերի և տոկոսների վերաբերյալ խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Կան թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ, որոնք բազմապատկելիս հայտարարները հավասարեցնում են: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և, ինչ-որ իմաստով, արդյունավետության:
Բազմապատկում «խաչաձեւ»
Ամենապարզ և ամենահուսալի միջոցը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «առաջ»՝ առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով։ Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Որպես հավելյալ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե նոր եք սկսել սովորել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «առաջ» են բազմապատկվում, և արդյունքում կարելի է շատ մեծ թվեր ստանալ։ Դա հուսալիության գինն է:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է մեծապես նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն հազվադեպ է օգտագործվում: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան «մինչև» անցնելը (այսինքն՝ «խաչաձև») նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանվում է մյուսի վրա։
- Նման բաժանման արդյունքում ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար:
- Միևնույն ժամանակ, մեծ հայտարար ունեցող կոտորակը ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի, սա է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, մենք կիրառում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատել ենք հաշվարկների քանակը։
Ի դեպ, ես այս օրինակի կոտորակները վերցրել եմ մի պատճառով. Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատումից հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի ուժն է, բայց, կրկին, այն կարող է կիրառվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասարի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղիղ արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96-ի արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2-րդ և 3-րդ գործակիցները համապարփակ են (նրանք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, բացի 1-ից), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.
Նկատի ունեցեք, թե որքան օգտակար է ստացվել սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացիան.
- Գտնելով նույն գործոնները՝ մենք անմիջապես հասանք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար: Օրինակ, 234 3 \u003d 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է:
Որպեսզի գնահատեք, թե որքան շահույթ է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ դրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Մի կարծեք, որ նման բարդ կոտորակները իրական օրինակներում չեն լինի: Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել այս ԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք չենք անդրադառնա սրան։
Տես նաեւ:
Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը
Ես սկզբում ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի մեթոդները «Կոտորակների գումարում և հանում» պարբերությունում: Բայց ինֆորմացիան այնքան շատ էր, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվում, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են միևնույն ոչ զրոյական թվով:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ եք ընտրում գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ ցանկալի թվերը, «համահարթեցնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատություն. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Բաժնետոմսերի և տոկոսների վերաբերյալ խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Կան թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ, որոնք բազմապատկելիս հայտարարները հավասարեցնում են: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և, ինչ-որ իմաստով, արդյունավետության:
Բազմապատկում «խաչաձեւ»
Ամենապարզ և ամենահուսալի միջոցը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «առաջ»՝ առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով։ Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։
Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Որպես հավելյալ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե նոր եք սկսել սովորել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «առաջ» են բազմապատկվում, և արդյունքում կարելի է շատ մեծ թվեր ստանալ։ Դա հուսալիության գինն է:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է մեծապես նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն հազվադեպ է օգտագործվում: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան «մինչև» անցնելը (այսինքն՝ «խաչաձև») նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանվում է մյուսի վրա։
- Նման բաժանման արդյունքում ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար:
- Միևնույն ժամանակ, մեծ հայտարար ունեցող կոտորակը ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի, սա է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, մենք կիրառում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատել ենք հաշվարկների քանակը։
Ի դեպ, ես այս օրինակի կոտորակները վերցրել եմ մի պատճառով. Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատումից հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի ուժն է, բայց, կրկին, այն կարող է կիրառվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասարի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղիղ արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96-ի արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2-րդ և 3-րդ գործակիցները համապարփակ են (նրանք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, բացի 1-ից), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.
Նկատի ունեցեք, թե որքան օգտակար է ստացվել սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացիան.
- Գտնելով նույն գործոնները՝ մենք անմիջապես հասանք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար: Օրինակ, 234 3 \u003d 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է:
Որպեսզի գնահատեք, թե որքան շահույթ է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ դրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Մի կարծեք, որ նման բարդ կոտորակները իրական օրինակներում չեն լինի: Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել այս ԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք չենք անդրադառնա սրան։
Տես նաեւ:
Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը
Ես սկզբում ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի մեթոդները «Կոտորակների գումարում և հանում» պարբերությունում: Բայց ինֆորմացիան այնքան շատ էր, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։
Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.
Կոտորակը չի փոխվում, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում են միևնույն ոչ զրոյական թվով:
Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ եք ընտրում գործոնները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ ցանկալի թվերը, «համահարթեցնելով» հայտարարները, կոչվում են։
Ինչու՞ պետք է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.
- Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ տարբերակ չկա.
- Կոտորակների համեմատություն. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
- Բաժնետոմսերի և տոկոսների վերաբերյալ խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:
Կան թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ, որոնք բազմապատկելիս հայտարարները հավասարեցնում են: Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և, ինչ-որ իմաստով, արդյունավետության:
Բազմապատկում «խաչաձեւ»
Ամենապարզ և ամենահուսալի միջոցը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «առաջ»՝ առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով։ Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Որպես հավելյալ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.
Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե նոր եք սկսել սովորել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:
Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «առաջ» են բազմապատկվում, և արդյունքում կարելի է շատ մեծ թվեր ստանալ։
Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը
Դա հուսալիության գինն է:
Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ
Այս տեխնիկան օգնում է մեծապես նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն հազվադեպ է օգտագործվում: Մեթոդը հետևյալն է.
- Նախքան «մինչև» անցնելը (այսինքն՝ «խաչաձև») նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանվում է մյուսի վրա։
- Նման բաժանման արդյունքում ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար:
- Միևնույն ժամանակ, մեծ հայտարար ունեցող կոտորակը ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի, սա է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, մենք կիրառում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:
Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատել ենք հաշվարկների քանակը։
Ի դեպ, ես այս օրինակի կոտորակները վերցրել եմ մի պատճառով. Եթե դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատումից հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։
Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի ուժն է, բայց, կրկին, այն կարող է կիրառվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:
Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ
Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։
Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասարի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղիղ արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։
Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96-ի արտադրյալը:
Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):
Նշում. a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:
Եթե ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2-րդ և 3-րդ գործակիցները համապարփակ են (նրանք չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, բացի 1-ից), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702:
Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60:
Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.
Նկատի ունեցեք, թե որքան օգտակար է ստացվել սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացիան.
- Գտնելով նույն գործոնները՝ մենք անմիջապես հասանք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
- Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար: Օրինակ, 234 3 \u003d 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է:
Որպեսզի գնահատեք, թե որքան շահույթ է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ դրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։
Մի կարծեք, որ նման բարդ կոտորակները իրական օրինակներում չեն լինի: Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:
Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել այս ԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ հայտնաբերվում է մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվողական խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք չենք անդրադառնա սրան։
