≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

9 Ընդհանուր կոտորակների գումարում և հանում: Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում: Սովորական կոտորակների գումարում և հանում

Ինչպես գիտեք մաթեմատիկայից, կոտորակային թիվը բաղկացած է համարիչից և հայտարարից: Համարիչը վերևում է, իսկ հայտարարը ներքևում:

Միևնույն հայտարարով կոտորակային մեծությունների գումարման կամ հանման մաթեմատիկական գործողություններ կատարելը բավականին պարզ է։ Պարզապես պետք է կարողանաք գումարել կամ հանել համարիչի թվերը (վերևում), և նույն ներքևի թիվը մնում է անփոփոխ:

Օրինակ՝ վերցնենք 7/9 կոտորակային թիվը, այստեղ.

• վերևում գտնվող «յոթ» թիվը համարիչն է.
• ներքևում գտնվող «ինը» թիվը հայտարարն է:

Օրինակ 1. Հավելում:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Օրինակ 2. Հանում:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Պարզ կոտորակային արժեքների հանում, որոնք ունեն այլ հայտարար.

Տարբեր հայտարար ունեցող արժեքները հանելու մաթեմատիկական գործողություն կատարելու համար նախ պետք է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի: Այս առաջադրանքը կատարելիս անհրաժեշտ է պահպանել այն կանոնը, որ սա Ընդհանուր հայտարարպետք է լինի ամենափոքրը տարբերակները.

Օրինակ 3

Հաշվի առնելով երկու հիմնական քանակներըՀետ տարբեր հայտարարներ(ներքևի համարներ) 7/8 և 2/9:

Առաջին արժեքից հանեք երկրորդը:

Լուծումը բաղկացած է մի քանի քայլերից.

1. Գտի՛ր ընդհանուր ստորին թիվը, այսինքն. այն, ինչը բաժանվում է և՛ առաջին կոտորակի, և՛ երկրորդի ստորին արժեքի վրա։ Սա կլինի 72 թիվը, քանի որ այն «ութ» և «ինը» թվերի բազմապատիկն է։

2. Յուրաքանչյուր կոտորակի ստորին թվանշանը մեծացել է.

• «ութ» թիվը 7/8 կոտորակի մեջ ավելացել է ինը անգամ՝ 8*9=72;
• 2/9 կոտորակի «ինը» թիվը ութ անգամ աճել է՝ 9*8=72։

3. Եթե հայտարարը (ստորին թիվը) փոխվել է, ապա պետք է փոխվի նաեւ համարիչը (վերին թիվը): Գոյություն ունեցող մաթեմատիկական կանոնի համաձայն, վերին ցուցանիշը պետք է ավելացվի ճիշտ նույն չափով, ինչ ստորինը։ Այն է:

• առաջին կոտորակի (7/8) «յոթ» համարիչը բազմապատկվում է «ինը» թվով - 7*9=63;
• երկրորդ կոտորակի (2/9) «երկու» համարիչը բազմապատկվում է «ութ» թվով՝ 2*8=16։

4. Գործողությունների արդյունքում ստացանք երկու նոր արժեք, որոնք, սակայն, նույնական են սկզբնական արժեքներին։

• առաջինը՝ 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• երկրորդը `2/9 = 2 * 8 / 9 * 8 = 16/72:

5. Այժմ թույլատրվում է մեկ կոտորակային թիվ հանել մյուսից.

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Կատարելով այս գործողությունը՝ վերադառնում ենք նույն ստորին թվերով (հայտարարներով) կոտորակները հանելու թեմային։ Իսկ դա նշանակում է, որ հանման գործողությունը կիրականացվի վերևից՝ համարիչում, իսկ ստորին ցուցանիշը փոխանցվում է առանց փոփոխության։

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Օրինակ 4

Եկեք բարդացնենք խնդիրը՝ ներքևում տարբեր, բայց մի քանի թվանշաններով լուծելու համար վերցնելով մի քանի կոտորակ:

Տրված արժեքներ՝ 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Այս հաջորդականությամբ դրանք պետք է խլվեն միմյանցից։

1. Վերոնշյալ կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որը կլինի «24» թիվը.

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - այս վերջին արժեքը թողնում ենք անփոփոխ, քանի որ հայտարարն է ընդհանուր թիվը«24».

2. Հանեք բոլոր արժեքները.

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Քանի որ ստացված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանվում են մեկ թվի, դրանք կարելի է կրճատել «երեք» թվի վրա բաժանելով.

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Պատասխանը գրում ենք այսպես.

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Օրինակ 5

Տրված է ոչ բազմակի հայտարար ունեցող երեք կոտորակ՝ 3/4; 2/7; 1/13.

Դուք պետք է գտնեք տարբերությունը:

1. Առաջին երկու թվերը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, դա կլինի «28» թիվը.

• ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Առաջին երկու կոտորակները հանե՛ք միմյանց միջև.

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28:

3. Ստացված արժեքից հանել երրորդ տրված կոտորակը.

4. Թվերը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի: Եթե ​​հնարավոր չէ գտնել նույն հայտարարը ավելի քան հեշտ ճանապարհը, ապա ուղղակի պետք է գործողությունները կատարել՝ հաջորդաբար բոլոր հայտարարները միմյանցով բազմապատկելով՝ չմոռանալով նույն թվով ավելացնել համարիչի արժեքը։ Այս օրինակում մենք անում ենք հետևյալը.

• 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, որտեղ 13-ը 5/13-ից ստորին թվանշանն է.
• 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, որտեղ 28-ը 13/28-ի ստորին թվանշանն է:

5. Ստացված կոտորակները հանել.

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Պատասխան՝ ¾-2/7-5/13 = 29/364:

Խառը կոտորակային թվեր

Վերը քննարկված օրինակներում օգտագործվել են միայն պատշաճ կոտորակներ:

Որպես օրինակ.

• 8/9-ը պատշաճ կոտորակ է;
• 9/8 սխալ է.

Անպատշաճ կոտորակը պատշաճի վերածել հնարավոր չէ, բայց հնարավոր է վերածել խառը. Ինչու է վերևի թիվը (համարիչը) բաժանվում է ներքևի թվի (հայտարարի) վրա՝ մնացորդով թիվ ստանալու համար: Բաժանման արդյունքում ստացված ամբողջ թիվը գրվում է այսպես, մնացորդը գրվում է վերևի համարիչով, իսկ հայտարարը, որը գտնվում է ներքևում, մնում է նույնը։ Ավելի պարզ դարձնելու համար հաշվի առեք կոնկրետ օրինակ:

Օրինակ 6

Թարգմանություն ոչ պատշաճ կոտորակ 9/8 դեպի աջ:

Դա անելու համար մենք «ինը» թիվը բաժանում ենք «ութի», արդյունքում ստանում ենք խառը կոտորակ՝ ամբողջ թվով և մնացորդով.

9: 8 = 1 և 1/8 (այլ կերպ այն կարելի է գրել որպես 1 + 1/8), որտեղ.

• թիվ 1-ը բաժանման արդյունքում ստացված ամբողջ թիվն է.
• մեկ այլ թիվ 1 - մնացորդը;
• 8 թիվը հայտարարն է, որը մնացել է անփոփոխ։

Ամբողջ թիվը կոչվում է նաև բնական թիվ։

Մնացորդը և հայտարարը նոր, բայց արդեն ճիշտ կոտորակ են։

1 թիվը գրելիս այն գրվում է 1/8 ճիշտ կոտորակից առաջ։

Տարբեր հայտարարներով խառը թվերի հանում

Վերոհիշյալից մենք տալիս ենք խառը կոտորակային թվի սահմանումը. «Խառը թիվ - սա մի արժեք է, որը հավասար է ամբողջ թվի և ճիշտ սովորական կոտորակի գումարին: Այս դեպքում ամբողջ մասը կոչվում է բնական թիվ, իսկ մնացորդում եղած թիվը նրա է կոտորակային մաս».

Օրինակ 7

Տրված է՝ երկու խառը կոտորակային մեծություններ՝ բաղկացած ամբողջ թվից և պատշաճ կոտորակից.

• առաջին արժեքը 9 և 4/7 է, այսինքն, (9 + 4/7);
• երկրորդ արժեքը 3 և 5/21 է, այսինքն (3+5/21):

Պահանջվում է գտնել այս արժեքների տարբերությունը:

1. 9+4/7-ից 3+5/21 հանելու համար նախ պետք է իրարից հանել ամբողջ թվերը.

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Երկու խառը թվերի տարբերության արդյունքը բաղկացած կլինի բնական (ամբողջական) թվից 6 և պատշաճ կոտորակից 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Բոլոր երկրների մաթեմատիկոսները համաձայնել են, որ խառը մեծություններ գրելիս «+» նշանը կարելի է բաց թողնել և կոտորակի դիմացի ամբողջ թիվը թողնել առանց որևէ նշանի։

Հրահանգ

Ընդունված է առանձնացնել սովորական և տասնորդական կոտորակները, որի հետ ծանոթությունը սկսվում է ավագ դպրոցից։ Ներկայումս չկա այնպիսի գիտելիքի ոլորտ, որտեղ դա չկիրառվի։ Նույնիսկ մենք խոսում ենք առաջին 17-րդ դարի մասին, և միանգամից, ինչը նշանակում է 1600-1625 թթ. Դուք նաև հաճախ պետք է զբաղվեք տարրական գործողություններով, ինչպես նաև դրանց փոխակերպմամբ մի ձևից մյուսը:

Կոտորակները ընդհանուր հայտարարի հասցնելը թերևս ամենակարևոր գործողությունն է: Դա բոլոր հաշվարկների հիմքն է։ Այսպիսով, ենթադրենք, որ երկուսն են կոտորակներըա/բ և գ/դ. Այնուհետև դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելու համար պետք է գտնել b և d թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (M), այնուհետև բազմապատկել առաջինի համարիչը։ կոտորակներըվրա (M/b), իսկ երկրորդ համարիչը (M/d):

Կոտորակների համեմատությունը ևս մեկ կարևոր խնդիր է: Դա անելու համար տվեք տրված պարզը կոտորակներըընդհանուր հայտարարի և այնուհետև համեմատիր այն համարիչները, որոնց համարիչն ավելի մեծ է, այդ կոտորակն ավելի մեծ է:

Կատարել գումարում կամ հանում սովորական կոտորակներ, դուք պետք է դրանք բերեք ընդհանուր հայտարարի, ապա ստացեք անհրաժեշտ մաթեմատիկական այս կոտորակներից: Հայտարարը մնում է անփոփոխ։ Ենթադրենք, դուք պետք է հանեք c/d a/b-ից: Դա անելու համար հարկավոր է գտնել b և d թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այնուհետև հանել մյուսը մի համարիչից՝ չփոխելով հայտարարը. (a*(M/b)-(c*(M/d) )/Մ

Բավական է միայն մեկ կոտորակը բազմապատկել մյուսով, դրա համար պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց համարիչները և հայտարարները.
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b *d) Մեկ կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դիվիդենտի բաժինը բաժանարարի փոխադարձությամբ: (ա/բ)/(գ/դ)=(ա*դ)/(բ*գ)
Հարկ է հիշել, որ փոխադարձություն ստանալու համար անհրաժեշտ է փոխանակել համարիչը և հայտարարը:

Խառը կոտորակները կարելի է հանել ճիշտ այնպես, ինչպես պարզ կոտորակները: Խլել խառը թվերկոտորակների համար անհրաժեշտ է իմանալ հանման մի քանի կանոն: Եկեք ուսումնասիրենք այս կանոնները օրինակներով:

Նույն հայտարարներով խառը կոտորակների հանում.

Դիտարկենք օրինակ այն պայմանով, որ կրճատվող ամբողջ թիվը և կոտորակային մասը մեծ են համապատասխանաբար հանվող ամբողջ և կոտորակային մասերից: Նման պայմաններում հանումը կատարվում է առանձին։ Ամբողջ թվային մասը հանվում է ամբողջ թվից, իսկ կոտորակայինը՝ կոտորակայինից։

Դիտարկենք մի օրինակ.

Հանեք խառը կոտորակները \(5\frac(3)(7)\) և \(1\frac(1)(7)\):

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ ֆրակ (2) (7)\)

Հանման ճիշտությունը ստուգվում է գումարումով։ Ստուգենք հանումը.

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ ֆրակ(3)(7)\)

Դիտարկենք մի օրինակ այն պայմանով, որ մինուենդի կոտորակային մասը համապատասխանաբար փոքր է ենթակառուցվածքի կոտորակային մասից: Այս դեպքում մենք վերցնում ենք մեկը մինուենդի ամբողջ թվից:

Դիտարկենք մի օրինակ.

Հանեք խառը կոտորակները \(6\frac(1)(4)\) և \(3\frac(3)(4)\):

Կրճատված \(6\frac(1)(4)\)-ն ունի ավելի փոքր կոտորակային մասը, քան հանված \(3\frac(3)(4)\-ի կոտորակային մասը): Այսինքն, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\սկիզբ(հավասարեցնել)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \գույն(կարմիր) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \գույն(կարմիր) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \վերջ (հավասարեցնել)\)

Հաջորդ օրինակը.

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Ամբողջ թվից հանել խառը կոտորակը:

Օրինակ՝ \(3-1\frac(2)(5)\)

Կրճատված 3-ը կոտորակային մաս չունի, ուստի մենք չենք կարող անմիջապես հանել: Վերցնենք y 3 միավորի ամբողջական մասը, ապա կատարենք հանումը։ Մենք միավորը գրում ենք որպես \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(կարմիր) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(կարմիր) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Տարբեր հայտարարներով խառը կոտորակների հանում:

Դիտարկենք մի օրինակ այն պայմանով, եթե մինուենդի և ենթակետի կոտորակային մասերն ունեն տարբեր հայտարարներ: Պետք է կրճատել ընդհանուր հայտարարի, իսկ հետո կատարել հանում։

Հանեք երկու խառը կոտորակներ տարբեր հայտարարներով \(2\frac(2)(3)\) և \(1\frac(1)(4)\):

Ընդհանուր հայտարարը 12 է։

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12) ) = 1\frac(5)(12)\)

Առնչվող հարցեր.
Ինչպե՞ս հանել խառը կոտորակները: Ինչպե՞ս լուծել խառը կոտորակները:
Պատասխան՝ պետք է որոշել, թե որ տեսակին է պատկանում արտահայտությունը և կիրառել լուծման ալգորիթմը՝ ըստ արտահայտության տեսակի: Ամբողջ թվից հանել ամբողջ թիվը, կոտորակային մասից հանել կոտորակային մասը։

Ինչպե՞ս ամբողջ թվից հանել կոտորակը: Ինչպե՞ս ամբողջ թվից հանել կոտորակը:
Պատասխան՝ պետք է ամբողջ թվից միավոր վերցնել և այս միավորը գրել որպես կոտորակ

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

ապա ամբողջից հանել ամբողջը, կոտորակային մասից հանել կոտորակային մասը։ Օրինակ:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Օրինակ #1:
Մեկից հանեք ճիշտ կոտորակը. ա) \(1-\frac(8)(33)\) բ) \(1-\frac(6)(7)\)

Լուծում:
ա) Ներկայացնենք միավորը 33 հայտարարով կոտորակի տեսքով: Ստանում ենք \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

բ) Ներկայացնենք միավորը 7 հայտարարով կոտորակի տեսքով: Ստանում ենք \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Օրինակ #2:
հանել խառը կոտորակամբողջ թվից՝ ա) \(21-10\frac(4)(5)\) բ) \(2-1\frac(1)(3)\)

Լուծում:
ա) Վերցնենք 21 միավոր ամբողջ թվից և գրենք այսպես \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

բ) Վերցնենք 1-ը 2-րդ ամբողջ թվից և գրենք այսպես \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Օրինակ #3:
Խառը կոտորակից հանել մի ամբողջ թիվ՝ ա) \(15\frac(6)(17)-4\) բ) \(23\frac(1)(2)-12\)

ա) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

բ) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Օրինակ #4:
Խառը կոտորակից հանել ճիշտ կոտորակը. ա) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Օրինակ #5:
Հաշվել \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\սկիզբ(հավասարեցնել)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \ անգամ \գույն(կարմիր) ( - 3\frac(6)(16) = (4 + \գույն(կարմիր) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4) + \գույն(կարմիր) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \գույն(կարմիր) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \վերջ (հավասարեցնել)\)

Նույն հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում

Սկսենք ամենապարզ օրինակից՝ կոտորակներ գումարելով և հանելով նույն հայտարարները. Այս դեպքում պարզապես անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել համարիչներով՝ ավելացնել դրանք կամ հանել դրանք:

Նույն հայտարարներով կոտորակները գումարել-հանելիս հայտարարը չի փոխվում:

Հիմնական բանը հայտարարի մեջ ոչ մի գումարում-հանում գործողություն չկատարելն է, բայց որոշ ուսանողներ մոռանում են դրա մասին: Այս կանոնը ավելի լավ հասկանալու համար դիմենք վիզուալիզացիայի սկզբունքին, կամ ասելով պարզ բառերովԵկեք նայենք իրական կյանքի օրինակին.

Դուք ունեք կես խնձոր, դա ամբողջ խնձորի կեսն է: Ձեզ տրվում է ևս մեկ կես, այսինքն ևս մեկ ½: Ակնհայտ է, որ հիմա դուք ունեք մի ամբողջ խնձոր (չհաշված, որ այն կտրված է 🙂): Հետևաբար ½ + ½ = 1 և ոչ թե 2/4-ի նման մի բան: Կամ ձեզնից խլում են այս կեսը՝ ½ - ½ = 0։ Նույն հայտարարներով հանելու դեպքում ընդհանուր առմամբ ստացվում է հատուկ դեպք՝ նույն հայտարարները հանելիս կստանանք 0, բայց դուք չեք կարող բաժանել 0-ի։ , և այս կոտորակը իմաստ չի ունենա։

Բերենք վերջնական օրինակ.

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում

Իսկ եթե հայտարարները տարբեր են: Դա անելու համար նախ պետք է կոտորակները բերենք նույն հայտարարի, այնուհետև շարունակենք այնպես, ինչպես վերևում նշեցի:

Կոտորակը ընդհանուր հայտարարի հասցնելու երկու եղանակ կա. Բոլոր մեթոդներում օգտագործվում է մեկ կանոն. համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բազմապատկելիս կոտորակը չի փոխվում .

Երկու ճանապարհ կա. Առաջինը` ամենապարզը, այսպես կոչված, «խաչաձեւ»: Այն կայանում է նրանում, որ մենք առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով (և համարիչով և հայտարարով), իսկ երկրորդ կոտորակը բազմապատկում ենք առաջինի հայտարարով (նմանապես՝ համարիչով և հայտարարով): Դրանից հետո մենք գործում ենք այնպես, ինչպես նույն հայտարարների դեպքում. հիմա նրանք իսկապես նույնն են:

Նախորդ մեթոդը ունիվերսալ է, այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում կարելի է գտնել հայտարարի կոտորակներ նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ - այն թիվը, որով և՛ առաջին հայտարարը, և՛ երկրորդը բաժանվում են, և ամենափոքրը: Այս մեթոդով դուք պետք է կարողանաք տեսնել նման LCM-ները, քանի որ դրանց հատուկ որոնումը բավականին տարողունակ է և արագությամբ զիջում է «խաչաձև» մեթոդին: Բայց շատ դեպքերում, ԱՕԿ-ները բավականին տեսանելի են, եթե դուք լցնում եք ձեր աչքերը և բավականաչափ մարզվում եք:

Հուսով եմ, որ այժմ դուք տիրապետում եք կոտորակների գումարման և հանման մեթոդներին:

Այս դասը կներառի գումարում և հանում: հանրահաշվական կոտորակներտարբեր հայտարարներով։ Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է գումարել և հանել տարբեր հայտարարներով ընդհանուր կոտորակները: Դա անելու համար կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Ստացվում է, որ հանրահաշվական կոտորակները գործում են նույն կանոններով։ Միևնույն ժամանակ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է հանրահաշվական կոտորակները հասցնել ընդհանուր հայտարարի: Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելն ու հանելը 8-րդ դասարանի դասընթացի ամենակարևոր և բարդ թեմաներից է: Ավելին, այս թեման կգտնվի հանրահաշվի դասընթացի բազմաթիվ թեմաներում, որոնք դուք կուսումնասիրեք ապագայում։ Դասի շրջանակներում կուսումնասիրենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները, ինչպես նաև կվերլուծենք. ամբողջ գիծըբնորոշ օրինակներ.

Հաշվի առեք ամենապարզ օրինակըընդհանուր կոտորակների համար.

Օրինակ 1Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Հիշեք կոտորակների գումարման կանոնը. Սկսելու համար, կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Սովորական կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(LCM) սկզբնական հայտարարների.

Սահմանում

Նվազագույնը բնական թիվ, որը միաժամանակ բաժանվում է թվերի և .

LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է հայտարարները տարրալուծել պարզ գործակիցների, այնուհետև ընտրել բոլոր այն պարզ գործոնները, որոնք ներառված են երկու հայտարարների ընդլայնման մեջ։

; . Այնուհետև թվերի LCM-ն պետք է ներառի երկու 2 և երկու 3.

Ընդհանուր հայտարարը գտնելուց հետո անհրաժեշտ է, որ կոտորակներից յուրաքանչյուրը գտնի լրացուցիչ գործակից (ըստ էության, ընդհանուր հայտարարը բաժանեք համապատասխան կոտորակի հայտարարի վրա)։

Այնուհետև յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկվում է ստացված լրացուցիչ գործակցով։ Մենք ստանում ենք նույն հայտարարներով կոտորակներ, որոնք սովորել ենք նախորդ դասերին գումարել և հանել:

Մենք ստանում ենք. .

Պատասխան..

Այժմ դիտարկենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարումը: Նախ դիտարկենք այն կոտորակները, որոնց հայտարարը թվեր են:

Օրինակ 2Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Լուծման ալգորիթմը բացարձակապես նման է նախորդ օրինակին։ Այս կոտորակների համար հեշտ է գտնել ընդհանուր հայտարար և լրացուցիչ գործոններ նրանցից յուրաքանչյուրի համար:

.

Պատասխան..

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարման և հանման ալգորիթմ:

1. Գտի՛ր կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:

2. Կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար գտե՛ք հավելյալ գործակիցներ (ընդհանուր հայտարարը բաժանելով այս կոտորակի հայտարարի վրա):

3. Բազմապատկել համարիչները համապատասխան լրացուցիչ գործոններով:

4. Գումարել կամ հանել կոտորակներ՝ օգտագործելով նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման կանոնները:

Դիտարկենք հիմա մի օրինակ կոտորակներով, որոնց հայտարարը պարունակում է բառացի արտահայտություններ.

Օրինակ 3Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Քանի որ երկու հայտարարների բառացի արտահայտությունները նույնն են, դուք պետք է ընդհանուր հայտարար գտնեք թվերի համար: Վերջնական ընդհանուր հայտարարը կունենա հետևյալ տեսքը. Այսպիսով, այս օրինակի լուծումը հետևյալն է.

Պատասխան..

Օրինակ 4Կոտորակները հանել.

Լուծում:

Եթե ​​դուք չեք կարող «խաբել» ընդհանուր հայտարար ընտրելիս (չեք կարող այն գործոնավորել կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը), ապա պետք է երկու կոտորակների հայտարարների արտադրյալն ընդունեք որպես ընդհանուր հայտարար:

Պատասխան..

Ընդհանրապես որոշելիս նմանատիպ օրինակներ, ամենադժվար խնդիրը ընդհանուր հայտարար գտնելն է։

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 5Պարզեցնել.

Լուծում:

Ընդհանուր հայտարար գտնելիս նախ պետք է փորձել բուն կոտորակների հայտարարները ֆակտորիզացնել (ընդհանուր հայտարարը պարզեցնելու համար):

Այս կոնկրետ դեպքում.

Այնուհետև հեշտ է որոշել ընդհանուր հայտարարը. .

Մենք որոշում ենք լրացուցիչ գործոններ և լուծում այս օրինակը.

Պատասխան..

Այժմ մենք կֆիքսենք տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները։

Օրինակ 6Պարզեցնել.

Լուծում:

Պատասխան..

Օրինակ 7Պարզեցնել.

Լուծում:

.

Պատասխան..

Դիտարկենք հիմա մի օրինակ, որտեղ ավելացվում են ոչ թե երկու, այլ երեք կոտորակներ (ի վերջո, գումարման և հանման կանոնները. ավելինկոտորակները մնում են նույնը):

Օրինակ 8Պարզեցնել.