≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Լրացրեք քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ: Հավասարման լուծման օրինակ. Քառակուսային հավասարումներ. հակիրճ հիմնականի մասին

Քառակուսային հավասարման առաջադրանքները ուսումնասիրվում են ինչպես դպրոցական ծրագրում, այնպես էլ բուհերում: Դրանք հասկացվում են որպես a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a,b,c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրը հավասարման արմատները գտնելն է։

Քառակուսի հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Լուծումներ (արմատներ) քառակուսի հավասարում- սրանք պարաբոլայի հատման կետերն են x առանցքի հետ: Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի x առանցքի հետ հատման կետեր: Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթության վրա՝ ճյուղերով վեր կամ ստորինը՝ ճյուղերով ներքև։ Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (այն ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի Ox առանցքի հետ հատման մեկ կետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը։ Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորության գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղադրման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլան ուղղված է դեպի վեր, եթե բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

2) Եթե b գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի գագաթն ընկած է ձախ կիսահարթության մեջ, եթե այն վերցնում է. բացասական նշանակություն- ապա աջ կողմում:

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասարության նշանի համար մենք ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Ձախ կողմում լրիվ քառակուսի ստանալու համար երկու մասում էլ ավելացրեք b ^ 2 և կատարեք փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Տարբերիչը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով. Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը հեշտ է ստանալ D=0-ի վերը նշված բանաձևից: Երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, հավասարման իրական արմատներ չկան: Այնուամենայնիվ, բարդ հարթության մեջ քառակուսի հավասարման լուծումները ուսումնասիրելու համար և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցեք քառակուսային հավասարում: Նշումից հեշտությամբ հետևում է Վիետայի թեորեմը, եթե մենք ունենք ձևի քառակուսային հավասարում ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերոնշյալի բանաձևը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա դրա վրա պետք է բաժանել ամբողջ հավասարումը, այնուհետև կիրառել Վիետայի թեորեմը:

Գործոնների վրա քառակուսի հավասարման ժամանակացույց

Թող դրվի խնդիր՝ քառակուսի հավասարումը բաժանել գործոնների: Այն իրականացնելու համար նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Այնուհետև գտնված արմատները փոխարինում ենք քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևով: Այս խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանքներ քառակուսի հավասարման համար

Առաջադրանք 1. Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

արմատը տրված արժեք 14-ն է, այն հեշտ է գտնել հաշվիչի միջոցով կամ հիշել այն, երբ հաճախակի օգտագործումը, սակայն, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկ, որոնք հաճախ կարելի է գտնել նման խնդիրների մեջ։
Գտնված արժեքը փոխարինվում է արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. լուծել հավասարումը

2x2+x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Օգտագործելով հայտնի բանաձևերը, մենք գտնում ենք քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. լուծել հավասարումը

9x2 -12x+4=0:

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Որոշեք խտրականությունը

Մենք ստացանք այն դեպքը, երբ արմատները համընկնում են. Արմատների արժեքները մենք գտնում ենք բանաձևով

Առաջադրանք 4. լուծել հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, նպատակահարմար է կիրառել Վիետայի թեորեմը: Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից ստանում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի։ Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք լուծումների հետևյալ հնարավոր զույգը (-3;2), (3;-2) . Առաջին պայմանը հաշվի առնելով՝ մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատներն են

Առաջադրանք 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է հարակից կողմերի գումարին: Նշանակենք x - մեծ կողմը, ապա 18-x-ը նրա փոքր կողմն է: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18x)=77;
կամ
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Գտե՛ք հավասարման դիսկրիմինանտը

Մենք հաշվարկում ենք հավասարման արմատները

Եթե x=11,Դա 18x=7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-x=9):

Խնդիր 6. Գործոնացնել քառակուսի 10x 2 -11x+3=0 հավասարումը:

Լուծում. Հաշվե՛ք հավասարման արմատները, դրա համար մենք գտնում ենք դիսկրիմինանտը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատների բանաձևով և հաշվարկում

Մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով ընդլայնելու բանաձևը

Ընդարձակելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնությունը։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրի ինչ արժեքների համար Ա ,(a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմակի մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

պարզեցնել այն և հավասարեցնել զրոյի

Մենք ստացել ենք a պարամետրի նկատմամբ քառակուսային հավասարում, որի լուծումը հեշտ է ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ թվարկումով մենք հաստատում ենք, որ 3.4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a = 4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ 2. Պարամետրի ինչ արժեքների համար Ա ,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ունի մեկից ավելի արմատ.

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Հաշվիր դիսկրիմինատորը

և գտե՛ք a-ի արժեքները, որոնց համար այն դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք տարբերակիչն ու հավասարման արմատները


Եկեք սահմանենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, միջակայքից դուրս (-3; 1/3) ֆունկցիան բացասական է: Մի մոռացեք կետը a=0որը պետք է բացառվի, քանի որ սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ:
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանը

Նմանատիպ առաջադրանքներ գործնականում շատ կլինեն, փորձեք ինքներդ լուծել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել միմյանց բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, դրանք բավականին հաճախ անհրաժեշտ են հաշվարկելիս. տարբեր առաջադրանքներև գիտություններ։

Պարզապես. Ըստ բանաձևերի և պարզ պարզ կանոնների. Առաջին փուլում

անհրաժեշտություն տրված հավասարումըբերել ստանդարտ ձևի, այսինքն. դեպի տեսարան.

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը: Ամենակարևորը ճիշտ է

որոշել բոլոր գործակիցները Ա, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական . Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք

օգտագործել միայն a, b և c. Նրանք. հավանականություն ից քառակուսի հավասարում. Պարզապես ուշադիր տեղադրեք

արժեքներ ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինել հետ նրանցնշաններ!

Օրինակ, հավասարման մեջ.

Ա =1; բ = 3; գ = -4.

Փոխարինեք արժեքները և գրեք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթվելն է ա, բԵվ Հետ. Ավելի շուտ՝ փոխարինմամբ

բացասական արժեքները արմատների հաշվարկման բանաձևում: Այստեղ մանրամասն բանաձևը պահպանում է

կոնկրետ թվերով։ Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, արե՛ք դա։

Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Մենք նկարում ենք ամեն ինչ մանրամասն, զգույշ, առանց որևէ բան բաց թողնելու բոլոր նշաններով և փակագծերով.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Այժմ հաշվի առեք գործնական տեխնիկան, որը կտրուկ նվազեցնում է սխալների թիվը:

Առաջին ընդունելություն. Նախկինում մի ծույլ մի եղեք քառակուսի հավասարման լուծումբերել այն ստանդարտ ձևի:

Ինչ է սա նշանակում?

Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.

Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Ազատվեք մինուսից. Ինչպե՞ս: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը:

Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2 և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն.Ստուգեք ձեր արմատները: Ըստ Վիետայի թեորեմա.

Տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար, այսինքն. եթե գործակիցը

x2+bx+c=0,

Հետոx 1 x 2 = c

x1 +x2 =−բ

Ամբողջական քառակուսի հավասարման համար, որում a≠1:

x 2 +բx+գ=0,

բաժանեք ամբողջ հավասարումը A:

→ →

Որտեղ x 1Եվ x 2 - հավասարման արմատները:

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկել

ընդհանուր հայտարարի հավասարումը.

Եզրակացություն. Գործնական խորհուրդներ:

1. Մինչ լուծելը քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում Ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամեն ինչ բազմապատկելով.

-1-ի ​​հավասարումները:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով համապատասխան.

գործոն.

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը մեկին հավասար, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել

Ավելին պարզ ձևով. Դա անելու համար փակագծերից հանեք z: Դուք ստանում եք՝ z(az + b) = 0: Գործոնները կարող են գրվել՝ z=0 և az + b = 0, քանի որ երկուսն էլ կարող են հանգեցնել զրո: az + b = 0 նշումով երկրորդը այլ նշանով տեղափոխում ենք աջ։ Այստեղից ստանում ենք z1 = 0 և z2 = -b/a: Սրանք բնօրինակի արմատներն են:

Եթե ​​կա թերի հավասարում az² + c = 0 ձևով, այս դեպքում դրանք հայտնաբերվում են պարզապես ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելով: Փոխեք նաև դրա նշանը: Դուք ստանում եք az² \u003d -s ռեկորդը: Էքսպրես z² = -c/a: Վերցրեք արմատը և գրեք երկու լուծում՝ քառակուսի արմատի դրական և բացասական արժեքը:

Նշում

Եթե ​​հավասարման մեջ կան կոտորակային գործակիցներ, ապա ամբողջ հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի ձերբազատվեք կոտորակներից:

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու իմացությունը անհրաժեշտ է և՛ դպրոցականներին, և՛ ուսանողներին, երբեմն դա կարող է օգնել մեծահասակին առօրյա կյանքում: Կան մի քանի հատուկ որոշման մեթոդներ.

Քառակուսային հավասարումների լուծում

a*x^2+b*x+c=0 ձևի քառակուսային հավասարում։ x գործակիցը ցանկալի փոփոխականն է, a, b, c՝ թվային գործակիցները։ Հիշեք, որ «+» նշանը կարող է փոխվել «-» նշանի:

Այս հավասարումը լուծելու համար դուք պետք է օգտագործեք Վիետայի թեորեմը կամ գտնեք դիսկրիմինանտը: Ամենատարածված ձևը տարբերակիչ գտնելն է, քանի որ a, b, c որոշ արժեքների համար հնարավոր չէ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Տարբերիչը (D) գտնելու համար պետք է գրել D=b^2 - 4*a*c բանաձեւը։ D-ի արժեքը կարող է լինել զրոյից մեծ, փոքր կամ հավասար: Եթե ​​D-ն մեծ է կամ փոքր է զրոյից, ապա կլինի երկու արմատ, եթե D = 0, ապա մնում է միայն մեկ արմատ, ավելի ճիշտ կարելի է ասել, որ D-ն այս դեպքում ունի երկու համարժեք արմատ։ Հայտնի a, b, c գործակիցները փոխարինե՛ք բանաձևով և հաշվարկե՛ք արժեքը:

Տարբերիչը գտնելուց հետո x-ը գտնելու համար օգտագործեք բանաձևերը՝ x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a որտեղ sqrt ֆունկցիան է, որը նշանակում է քաղվածք քառակուսի արմատայս թվից։ Այս արտահայտությունները հաշվարկելուց հետո դուք կգտնեք ձեր հավասարման երկու արմատները, որից հետո հավասարումը համարվում է լուծված։

Եթե ​​D-ն զրոյից փոքր է, ապա այն դեռ արմատներ ունի։ Դպրոցում այս բաժինը գործնականում չի ուսումնասիրվում։ Համալսարանի ուսանողները պետք է տեղյակ լինեն, որ արմատի տակ բացասական թիվ է հայտնվում: Դրանից ազատվում ենք՝ առանձնացնելով երևակայական մասը, այսինքն՝ արմատի տակ -1-ը միշտ հավասար է «i» երևակայական տարրին, որը բազմապատկվում է նույն դրական թվով արմատով։ Օրինակ, եթե D=sqrt(-20), փոխակերպումից հետո ստացվում է D=sqrt(20)*i։ Այս փոխակերպումից հետո հավասարման լուծումը վերածվում է արմատների նույն հայտնաբերման, ինչպես նկարագրված է վերևում:

Վիետայի թեորեմը բաղկացած է x(1) և x(2) արժեքների ընտրությունից։ Օգտագործված են երկու նույնական հավասարումներ՝ x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Եվ շատ կարևոր կետ b գործակցից առաջ նշանն է, հիշեք, որ այս նշանը հավասարման նշանի հակառակն է։ Առաջին հայացքից թվում է, թե x(1) և x(2) հաշվելը շատ պարզ է, բայց լուծելիս կհանդիպեք այն փաստին, որ թվերը պետք է ճշգրիտ ընտրվեն։

Քառակուսային հավասարումների լուծման տարրեր

Համաձայն մաթեմատիկայի կանոնների՝ որոշները կարող են գործոնավորվել՝ (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, եթե ձեզ հաջողվեց այս քառակուսի հավասարումը վերափոխել այս կերպ՝ օգտագործելով մաթեմատիկական բանաձևերը, ապա ազատ զգաք գրիր պատասխանը. x(1) և x(2)-ը հավասար կլինեն փակագծերի հարակից գործակիցներին, բայց հակառակ նշանով:

Մի մոռացեք նաև թերի քառակուսի հավասարումների մասին։ Դուք կարող եք բացակայել որոշ տերմիններից, եթե այո, ապա դրա բոլոր գործակիցները պարզապես հավասար են զրոյի: Եթե ​​x^2-ին կամ x-ին նախորդում է ոչինչ, ապա a և b գործակիցները հավասար են 1-ի։

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Դիսկրիմինանտի օգնությամբ լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսային հավասարումներ, թերի քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք կգտնեք «Թերի քառակուսային հավասարումների լուծում» հոդվածում։

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումները, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դիսկրիմինանտ Դ.

D \u003d b 2 - 4ac.

Կախված նրանից, թե ինչ արժեք ունի դիսկրիմինանտը, պատասխանը կգրենք։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​տարբերակիչը զրո է, ապա x \u003d (-b) / 2a: Երբ դիսկրիմինատորը դրական թիվ է (D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ. լուծել հավասարումը x 2– 4x + 4= 0:

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Պատասխան՝ - 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսային հավասարումների լուծումը Նկար 1-ի սխեմայով:

Այս բանաձևերը կարող են օգտագործվել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում լուծելու համար: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 և այնուհետև հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես օրինակ 2 լուծումը վերևում):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջին հերթին պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչով միանդամ, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bx, իսկ հետո՝ ազատ ժամկետը Հետ.

Վերոնշյալ քառակուսային հավասարումը և երկրորդ անդամի զույգ գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող են օգտագործվել նաև այլ բանաձևեր։ Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​երկրորդ անդամով լրիվ քառակուսային հավասարման մեջ գործակիցը զույգ է (b = 2k), ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 հավասար է միասնության, և հավասարումը ձև է ստանում x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծելու կամ ստացվել է հավասարման բոլոր գործակիցները գործակցի վրա բաժանելով. Ականգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսու լուծման դիագրամը
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը։

Օրինակ. լուծել հավասարումը

3x 2 + 6x - 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը` օգտագործելով Նկար 1-ում ներկայացված բանաձևերը:

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3

Դուք կարող եք տեսնել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b \u003d 6 կամ b \u003d 2k, որտեղից k \u003d 3: Այնուհետև եկեք փորձենք լուծել հավասարումը ՝ օգտագործելով գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը: D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և բաժանելով, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը x 2 + 2x - 2 = 0 Մենք լուծում ենք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերի միջոցով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, լավ տիրապետելով Գծապատկեր 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Քառակուսի հավասարում - հեշտ է լուծել: *Հետագայում «KU» տեքստում:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է ավելի հեշտ լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի տպավորություն է թողնում Yandex-ը մեկ հարցումով: Ահա թե ինչ եղավ, նայեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70.000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, իսկ սա ամառ է, իսկ թե ինչ կլինի ուսումնական տարվա ընթացքում՝ կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Սա զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց ավարտել են դպրոցը և պատրաստվում են քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, իսկ դպրոցականները նույնպես փորձում են թարմացնել իրենց հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքով. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հնչի «KU» ելույթը, ես կտամ այս հոդվածի հղումը. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար նշվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ կամայական թվերով՝ a≠0-ով։

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետևյալ ձևը- պայմանականորեն, հավասարումները բաժանվում են երեք դասի.

1. Ունենալ երկու արմատ:

2. * Միայն մեկ արմատ ունեցեք:

3. Արմատներ չունենալ: Այստեղ հարկ է նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Այս առիթով, երբ խտրականը զրոյական է, դպրոցի դասընթացում ասվում է, որ մեկ արմատ է ստացվում, այստեղ հավասար է ինը։ Ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս ներկայացումը որոշ չափով սխալ է: Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, ստացվում է երկու հավասար արմատ, իսկ մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար պատասխանում պետք է գրել երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել ու ասել, որ արմատը մեկն է։

Այժմ հետևյալ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, արմատը բացասական թիվչի արդյունահանվում, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսային ֆունկցիա.

Ահա թե ինչպես է լուծումը երկրաչափական տեսք. Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (հետագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c տրված են թվեր, որտեղ a ≠ 0

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) կամ ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Որոշել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = -12

* Դուք կարող եք անմիջապես հավասարման ձախ և աջ կողմերը բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք ստացանք, որ x 1 \u003d 11 և x 2 \u003d 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Տարբերիչը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Դուք որևէ բան գիտե՞ք բարդ թվերի մասին: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի քիչ տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a և b են իրական թվեր, ես այսպես կոչված երևակայական միավորն է։

ա+բի ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե գումարում։

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկ արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Ստացեք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, սա այն դեպքում, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք հեշտությամբ լուծվում են առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Փոխակերպել, ֆակտորիզացնել.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս մեծ գործակիցներով հավասարումներ լուծել։

Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա + բ+ c = 0,Դա

- եթե հավասարման գործակիցների համար Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա+ հետ =բ, Դա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ուրեմն

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարություն ա+ հետ =բ, Միջոցներ

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 +37x+6 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6:

2. Եթե ax 2 - bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարման մեջ ax 2 + bx - c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), իսկ «գ» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «ա» գործակցին, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 + 288x - 17 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17:

4. Եթե ax 2 - bx - c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 - 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / ա:

Օրինակ. Դիտարկենք 10x2 - 99x -10 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարելի է կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել իր գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ, 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներն են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք լուծել բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ անմիջապես բանավոր:

Վիետայի թեորեմը, ընդ որում. հարմար է, քանի որ քառակուսի հավասարումը լուծելուց հետո սովորական ձևով(դիսկրիմինանտի միջոցով) ստացված արմատները կարելի է ստուգել։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել անընդհատ:

ՏՐԱՆՍՖԵՐՏԻ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. փոխանցման եղանակը.Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե Ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Համաձայն Վիետայի թեորեմի (2) հավասարման, հեշտ է որոշել, որ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Հավասարման ստացված արմատները պետք է բաժանել 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), ստանում ենք.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչներն են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա ստացվում են միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդ (փոփոխված) արմատները 2 անգամ ավելի մեծ են։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը գրտնակում ենք, ապա ստացվածը բաժանում ենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և քննությունը:

Համառոտ կասեմ դրա կարևորության մասին - ՊԵՏՔ Է ԿԱՐՈՂԱՆԱԼ ՈՐՈՇԵԼ արագ և առանց մտածելու, պետք է անգիր իմանալ արմատների և զանազանողի բանաձևերը։ USE առաջադրանքների մաս կազմող առաջադրանքներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Այն, ինչ արժե ուշադրություն դարձնել.

1. Հավասարման ձևը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ արժեք է և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն: