≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Առցանց հաշվիչ. Քառակուսային հավասարման լուծում

Առաջին մակարդակ

Քառակուսային հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

«Քառակուսի հավասարում» տերմինում հիմնական բառը «քառակուսի» է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է անպայման պարունակի փոփոխական (նույն x) քառակուսի, և չպետք է լինի xes երրորդ (կամ ավելի մեծ) հզորության համար:

Շատ հավասարումների լուծումը հանգում է քառակուսի հավասարումների լուծմանը:

Եկեք սովորենք որոշել, որ սա քառակուսի հավասարում է և ոչ թե ինչ-որ այլ հավասարում:

Օրինակ 1.

Եկեք ազատվենք հայտարարից և բազմապատկենք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմ և տերմինները դասավորենք X-ի հզորությունների նվազման կարգով

Այժմ մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ այս հավասարումը քառակուսի է:

Օրինակ 2.

Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք հետևյալով.

Այս հավասարումը, թեև ի սկզբանե եղել է դրանում, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3.

Եկեք ամեն ինչ բազմապատկենք հետևյալով.

Վախկոտ? Չորրորդ և երկրորդ աստիճանները... Այնուամենայնիվ, եթե փոխարինենք, կտեսնենք, որ ունենք պարզ քառակուսի հավասարում.

Օրինակ 4.

Թվում է, թե կա, բայց եկեք ավելի սերտ նայենք: Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմը.

Տեսեք, այն կրճատվել է, և այժմ դա պարզ գծային հավասարում է:

Այժմ փորձեք ինքներդ որոշել, թե ստորև նշված հավասարումներից որոնք են քառակուսի և որոնք՝ ոչ.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

1. քառակուսի;
2. քառակուսի;
3. ոչ քառակուսի;
4. ոչ քառակուսի;
5. ոչ քառակուսի;
6. քառակուսի;
7. ոչ քառակուսի;
8. քառակուսի.

Մաթեմատիկոսները պայմանականորեն բոլոր քառակուսի հավասարումները բաժանում են հետևյալ տեսակների.

• Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցները և, ինչպես նաև c ազատ անդամը, հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակում): Բացի այդ, ամբողջական քառակուսի հավասարումների շարքում կան տրված- սրանք հավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակ առաջինի հավասարումը ոչ միայն ամբողջական է, այլև կրճատված):

• Անավարտ քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցը և կամ c ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

  Դրանք թերի են, քանի որ ինչ-որ տարր բացակայում է: Բայց հավասարումը միշտ պետք է պարունակի x քառակուսի!!! Հակառակ դեպքում դա արդեն կլինի ոչ թե քառակուսի, այլ ինչ-որ այլ հավասարում:

Ինչո՞ւ են նման բաժանում մտածել։ Թվում է, թե կա X քառակուսի, և լավ: Այս բաժանումը որոշվում է լուծման մեթոդներով: Եկեք նայենք դրանցից յուրաքանչյուրին ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախ, եկեք կենտրոնանանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման վրա. դրանք շատ ավելի պարզ են:

Կան ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումների տեսակներ.

1. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։
2. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.
3. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

1. i. Քանի որ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է արդյունահանել Քառակուսի արմատ, ապա արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Քառակուսում գտնվող թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, ուրեմն՝ եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։

Իսկ եթե, ապա մենք ստանում ենք երկու արմատ. Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը այն է, որ դուք պետք է իմանաք և միշտ հիշեք, որ դա չի կարող պակաս լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ։

Օրինակ 5:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այժմ մնում է միայն արմատը հանել ձախ և աջ կողմերից: Ի վերջո, դուք հիշում եք, թե ինչպես կարելի է արմատներ հանել:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին!!!

Օրինակ 6:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 7:

Լուծե՛ք հավասարումը

Օ՜ Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ արմատներ!

Նման հավասարումների համար, որոնք արմատ չունեն, մաթեմատիկոսները եկան հատուկ պատկերակ՝ (դատարկ հավաքածու): Իսկ պատասխանը կարելի է գրել այսպես.

Պատասխան.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ. Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք չենք հանել արմատը:
Օրինակ 8:

Լուծե՛ք հավասարումը

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Այսպիսով,

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենապարզ տեսակը (թեև դրանք բոլորն էլ պարզ են, չէ՞): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կզրկվենք օրինակներից։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարման հավասարումն է, որտեղ

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի դժվար է (միայն մի քիչ), քան սրանք:

Հիշիր, Ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Անգամ թերի։

Մյուս մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ:

Այս մեթոդով քառակուսի հավասարումների լուծումը շատ պարզ է, գլխավորը գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձևեր հիշելն է:

Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատ, դուք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնեք քայլին: Տարբերակիչ () մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9:

Լուծե՛ք հավասարումը

Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քայլ 3.

Պատասխան.

Օրինակ 10:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումն ունի մեկ արմատ։

Պատասխան.

Օրինակ 11:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա կորզել խտրականության արմատը: Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Քառակուսային հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով։

Եթե ​​հիշում եք, կա մի տեսակ հավասարում, որը կոչվում է կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրված քառակուսային հավասարումհավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Օրինակ 12:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը հավասար է, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14:

Լուծե՛ք հավասարումը

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - որոշ թվեր և.

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, Ա - ազատ անդամ.

Ինչո՞ւ։ Քանի որ եթե հավասարումը անմիջապես դառնա գծային, քանի որ կվերանա.

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս ամբիոնի հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն, հավասարումը ամբողջական է:

Տարբեր տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Նախ, եկեք նայենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներին. դրանք ավելի պարզ են:

Մենք կարող ենք տարբերակել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I., այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Հիմա եկեք տեսնենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երբ երկու բացասական կամ երկու դրական թիվ եք բազմապատկում, արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ: Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ հավաքածուի պատկերակը:

Պատասխան.

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Եկեք գործոնավորենք հավասարման ձախ կողմը և գտնենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Նույնիսկ թերի:

Արմատների բանաձևում նկատեցի՞ք արմատը տարբերակիչից: Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլ 2-ին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումն ունի արմատներ.
• Եթե ​​ուրեմն հավասարումն ունի նույնական արմատներ, բայց հիմնականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու՞ է դա հնարավոր տարբեր քանակությամբարմատներ? Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Հատուկ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, . Սա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները աբսցիսային առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են: Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը, կամ կարող է հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթն ընկած է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Պատասխան.

Պատասխան.

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է՝ պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել թվերի զույգ, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն կրճատված քառակուսի հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է և ստուգենք, արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ #2:

Լուծում:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, ապա ստուգենք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալիս են ընդհանուր.

և՝ տալիս են ընդհանուր. Ձեռք բերելու համար բավական է պարզապես փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները, և, ի վերջո, արտադրանքը:

Պատասխան.

Օրինակ #3:

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, հետևաբար՝ արմատների արտադրյալը բացասական թիվ. Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Հետևաբար, արմատների գումարը հավասար է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. նրանց տարբերությունը հավասար է - չի տեղավորվում;

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է։ Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ավելի փոքր մոդուլով արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ #4:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և, հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, այնուհետև որոշենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ #5:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատներն էլ ունեն մինուս նշան:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է արմատներ բերել բանավոր՝ այս տհաճ խտրականությունը հաշվելու փոխարեն: Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատները գտնելը հեշտացնելու և արագացնելու համար: Որպեսզի դուք օգուտ քաղեք այն օգտագործելուց, դուք պետք է գործողությունները հասցնեք ավտոմատացման: Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։ Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել տարբերակիչ: Միայն Վիետայի թեորեմը.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքների լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես միշտ, ընտրությունը սկսում ենք կտորից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

Գումարը հենց այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը՝ գումարը պետք է հավասար լինի, իսկ արտադրյալը՝ հավասար։

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է դա:

Դուք պետք է տեղափոխեք բոլոր պայմանները մեկ մասի մեջ.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Լավ, կանգնիր։ Հավասարումը տրված չէ։ Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումների մեջ։ Այսպիսով, նախ պետք է տալ հավասարում. Եթե ​​չեք կարող առաջնորդել, հրաժարվեք այս գաղափարից և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով): Հիշեցնեմ, որ քառակուսի հավասարում տալ նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Հիանալի: Այնուհետև արմատների գումարը հավասար է և արտադրյալին:

Այստեղ ընտրելը նույնքան հեշտ է, որքան տանձի կեղևը. ի վերջո, դա պարզ թիվ է (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 4.

Ազատ անդամը բացասական է: Ինչո՞վ է սա առանձնահատուկ: Եվ փաստն այն է, որ արմատները տարբեր նշաններ կունենան։ Իսկ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալ։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է: Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն. Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ պետք է անեք առաջինը: Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործոնները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը: Դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսն ավելի մեծ արմատ կունենա։

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփեմ.

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումների մեջ։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարող եք արմատները գտնել ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ ազատ անդամի ոչ մի հարմար զույգ գործակից չի գտնվել, ապա ամբողջական արմատներ չկան, և պետք է այն լուծել այլ կերպ (օրինակ՝ դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսու ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր տերմինները ներկայացված են կրճատված բազմապատկման բանաձևերի տերմինների տեսքով՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականները փոխարինելուց հետո հավասարումը կարող է ներկայացվել տիպի ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարման տեսքով:

Օրինակ:

Օրինակ 1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

IN ընդհանուր տեսարանփոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Սա խտրական բան է։ Հենց այդպես էլ ստացանք խտրականության բանաձեւը։

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարում- սա ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - քառակուսի հավասարման գործակիցները, - ազատ անդամը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը c հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը նման է.
• եթե կա ազատ անդամ, ապա հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.
• եթե և, ապա հավասարումը նման է.

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը, որտեղ, .

1) Արտահայտենք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը, որտեղ, .

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում, օգտագործելով դիսկրիմինանտ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվարկենք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատներ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման (որտեղ ձևի հավասարումը) արմատների գումարը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , Ա.

2.3. Լուծում ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդով

Ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում կացին 2 + bx + c = 0կարելի է հիշել x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, եթե սկզբում յուրաքանչյուր անդամ բաժանեք առաջվա գործակցի վրա x 2. Իսկ եթե ներմուծենք նոր նշումներ (բ/ա) = pԵվ (գ/ա) = ք, ապա կունենանք հավասարումը x 2 + px + q = 0, որը մաթեմատիկայում կոչվում է տրված քառակուսային հավասարումը.

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները և գործակիցները էջԵվ քմիմյանց հետ կապված: Հաստատված է Վիետայի թեորեմա, անվանվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով, ով ապրել է 16-րդ դարի վերջին։

Թեորեմ. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 + px + q = 0հավասար է երկրորդ գործակցին էջ, վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը՝ դեպի ազատ տերմին ք.

Այս հարաբերությունները գրենք հետևյալ ձևով.

Թող x 1Եվ x 2տրված հավասարման տարբեր արմատներ x 2 + px + q = 0. Վիետայի թեորեմի համաձայն x 1 + x 2 = -pԵվ x 1 x 2 = q.

Դա ապացուցելու համար եկեք x 1 և x 2 արմատներից յուրաքանչյուրը փոխարինենք հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք երկու իրական հավասարություն.

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Առաջին հավասարությունից հանենք երկրորդը։ Մենք ստանում ենք.

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Մենք ընդլայնում ենք առաջին երկու տերմինները՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

(x 1 – x 2) (x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Ըստ պայմանի՝ x 1 և x 2 արմատները տարբեր են։ Հետևաբար, մենք կարող ենք հավասարությունը նվազեցնել մինչև (x 1 – x 2) ≠ 0 և արտահայտել p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Առաջին հավասարությունն ապացուցված է.

Երկրորդ հավասարությունն ապացուցելու համար մենք փոխարինում ենք առաջին հավասարմանը

x 1 2 + px 1 + q = 0 p գործակցի փոխարեն հավասար թիվ է (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Փոխակերպելով հավասարման ձախ կողմը՝ մենք ստանում ենք.

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, ինչն անհրաժեշտ էր ապացուցել:

Վիետայի թեորեմը լավ է, քանի որ Նույնիսկ առանց քառակուսի հավասարման արմատները իմանալու, մենք կարող ենք հաշվարկել դրանց գումարը և արտադրյալը .

Վիետայի թեորեմն օգնում է որոշել տվյալ քառակուսի հավասարման ամբողջ թվային արմատները։ Բայց սա դժվարություններ է առաջացնում շատ ուսանողների համար, քանի որ նրանք չգիտեն գործողությունների հստակ ալգորիթմ, հատկապես, եթե հավասարման արմատները տարբեր նշաններ ունեն:

Այսպիսով, վերը նշված քառակուսի հավասարումը ունի x 2 + px + q = 0 ձևը, որտեղ x 1 և x 2 նրա արմատներն են: Համաձայն Վիետայի թեորեմի՝ x 1 + x 2 = -p և x 1 x 2 = q:

Կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​վերջին անդամից առաջ հավասարման մեջ մինուս նշան կա, ապա x 1 և x 2 արմատները ունեն. տարբեր նշաններ. Բացի այդ, ավելի փոքր արմատի նշանը համընկնում է հավասարման երկրորդ գործակցի նշանի հետ։

Ելնելով նրանից, որ թվեր ավելացնելիս հետ տարբեր նշաններդրանց մոդուլները հանվում են, և ստացված արդյունքի դիմաց դրվում է թվի ավելի մեծ բացարձակ արժեքի նշանը, շարունակվում է հետևյալ կերպ.

1. որոշել q թվի գործակիցները այնպես, որ դրանց տարբերությունը հավասար լինի p թվին.
2. հավասարման երկրորդ գործակցի նշանը դնել ստացված թվերից փոքրի դիմաց. երկրորդ արմատը կունենա հակառակ նշանը.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1.

Լուծե՛ք x 2 – 2x – 15 = 0 հավասարումը:

Լուծում.

Փորձենք լուծել այս հավասարումը` օգտագործելով վերը ներկայացված կանոնները: Հետո վստահաբար կարող ենք ասել, որ այս հավասարումը կունենա երկու տարբեր արմատներ, քանի որ D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0:

Այժմ 15 թվի բոլոր գործակիցներից (1 և 15, 3 և 5) ընտրում ենք նրանց, որոնց տարբերությունը 2 է: Դրանք կլինեն 3 և 5 թվերը: Փոքր թվի դիմաց մինուս նշան ենք դնում, այսինքն. հավասարման երկրորդ գործակցի նշան. Այսպիսով, մենք ստանում ենք x 1 = -3 և x 2 = 5 հավասարման արմատները:

Պատասխանել. x 1 = -3 և x 2 = 5:

Օրինակ 2.

Լուծե՛ք x 2 + 5x – 6 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք այս հավասարումը արմատներ ունի: Դա անելու համար մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ:

6 թվի հնարավոր գործակիցներն են 2-ը և 3-ը, 6-ը և 1-ը: Տարբերությունը 5 է 6-ի և 1-ի զույգի համար: Այս օրինակում երկրորդ անդամի գործակիցն ունի գումարած նշան, ուստի փոքր թիվը կունենա նույն նշանը: . Բայց երկրորդ համարից առաջ կլինի մինուս նշան։

Պատասխան՝ x 1 = -6 և x 2 = 1:

Վիետայի թեորեմը կարելի է գրել նաև ամբողջական քառակուսային հավասարման համար։ Այսպիսով, եթե քառակուսի հավասարումը կացին 2 + bx + c = 0ունի x 1 և x 2 արմատներ, ապա դրանց համար գործում են հավասարությունները

x 1 + x 2 = -(բ/ա)Եվ x 1 x 2 = (c/a). Այնուամենայնիվ, այս թեորեմի կիրառումը ամբողջական քառակուսի հավասարման մեջ բավականին խնդրահարույց է, քանի որ եթե կան արմատներ, դրանցից գոնե մեկը կոտորակային թիվ է։ Իսկ կոտորակների ընտրության հետ աշխատելը բավականին դժվար է։ Բայց դեռ ելք կա.

Դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը ax 2 + bx + c = 0: Նրա ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք a գործակցով: Հավասարումը կունենա (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ձևը: Այժմ ներկայացնենք նոր փոփոխական, օրինակ t = ax:

Այս դեպքում ստացված հավասարումը կվերածվի t 2 + bt + ac = 0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարման, որի արմատները t 1 և t 2 (եթե այդպիսիք կան) կարող են որոշվել Վիետայի թեորեմով:

Այս դեպքում սկզբնական քառակուսի հավասարման արմատները կլինեն

x 1 = (t 1 / ա) և x 2 = (t 2 / ա):

Օրինակ 3.

Լուծե՛ք 15x 2 – 11x + 2 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Եկեք ստեղծենք օժանդակ հավասարում. Եկեք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկենք 15-ով.

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0:

Մենք փոխարինում ենք t = 15x: Մենք ունենք:

t 2 – 11t + 30 = 0:

Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ արմատները տրված հավասարումըկլինի t 1 = 5 և t 2 = 6:

Մենք վերադառնում ենք փոխարինմանը t = 15x:

5 = 15x կամ 6 = 15x: Այսպիսով, x 1 = 5/15 և x 2 = 6/15: Կրճատում ենք և ստանում վերջնական պատասխանը՝ x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Պատասխանել. x 1 = 1/3 և x 2 = 2/5:

Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար ուսանողները պետք է հնարավորինս շատ պարապեն: Հենց սա է հաջողության գաղտնիքը։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

2.5 Վիետա բանաձև ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների (հավասարումների) համար

Վիետի կողմից ստացված քառակուսի հավասարումների բանաձևերը ճիշտ են նաև ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների համար։

Թող բազմանդամը

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ունի n տարբեր արմատներ x 1, x 2..., x n:

Այս դեպքում այն ​​ունի ձևի ֆակտորիզացիա.

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)…(x – x n)

Այս հավասարության երկու կողմերն էլ բաժանենք 0 ≠ 0-ի և բացենք առաջին մասի փակագծերը։ Մենք ստանում ենք հավասարություն.

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Բայց երկու բազմանդամները նույնականորեն հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նույն հզորությունների գործակիցները հավասար են: Դրանից բխում է, որ հավասարությունը

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Օրինակ՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամների համար

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Մենք ինքնություններ ունենք

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ինչպես քառակուսային հավասարումների դեպքում, այս բանաձևը կոչվում է Վիետայի բանաձև։ Այս բանաձեւերի ձախ կողմերը սիմետրիկ բազմանդամներ են այս հավասարման x 1, x 2 ..., x n արմատներից, իսկ աջ կողմերը արտահայտված են բազմանդամի գործակցի միջոցով:

2.6 Հավասարումներ, որոնք կարող են կրճատվել դեպի քառակուսի (երկքվադրական)

Չորրորդ աստիճանի հավասարումները վերածվում են քառակուսային հավասարումների.

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

կոչվում է երկքառակուսի, և a ≠ 0:

Բավական է այս հավասարման մեջ դնել x 2 = y, հետևաբար.

ay² + by + c = 0

եկեք գտնենք ստացված քառակուսային հավասարման արմատները

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 արմատները անմիջապես գտնելու համար y-ը փոխարինեք x-ով և ստացեք

x² =

x 1,2,3,4 = .

Եթե ​​չորրորդ աստիճանի հավասարումն ունի x 1, ապա այն ունի նաև արմատ x 2 = -x 1,

Եթե ​​ունի x 3, ապա x 4 = - x 3: Նման հավասարման արմատների գումարը զրո է։

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Եկեք հավասարումը փոխարինենք երկքառակուսի հավասարումների արմատների բանաձևով.

x 1,2,3,4 = ,

իմանալով, որ x 1 = -x 2, և x 3 = -x 4, ապա.

x 3.4 =

Պատասխան՝ x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 Երկկվադրական հավասարումների ուսումնասիրություն

Վերցնենք երկքառակուսի հավասարումը

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

որտեղ a, b, c - իրական թվեր, և a > 0: Ներկայացնելով օժանդակ անհայտը y = x², մենք ուսումնասիրում ենք այս հավասարման արմատները և արդյունքները մուտքագրում աղյուսակում (տես Հավելված No 1):

2.8 Կարդանո բանաձեւ

Եթե ​​օգտագործենք ժամանակակից սիմվոլիզմը, ապա Կարդանոյի բանաձևի ստացումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

x =

Այս բանաձեւը որոշում է արմատները ընդհանուր հավասարումերրորդ աստիճան:

կացին 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0:

Այս բանաձևը շատ դժվար է և բարդ (այն պարունակում է մի քանի բարդ ռադիկալներ): Դա միշտ չէ, որ կկիրառվի, քանի որ... շատ դժվար է լրացնել:

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Թվարկե՛ք կամ ընտրե՛ք ամենահետաքրքիր վայրերը 2-3 տեքստերից։ Այսպիսով, մենք ուսումնասիրել ենք ընտրովի դասընթացների ստեղծման և անցկացման ընդհանուր դրույթները, որոնք հաշվի կառնվեն հանրահաշիվից ընտրովի դասընթաց 9-րդ դասարանի «Քառակուսային հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրով» մշակելիս։ Գլուխ II. «Քառակուսային հավասարումներ և պարամետրով անհավասարություններ» ընտրովի դասընթացի անցկացման մեթոդիկա 1.1. Տարածված են...

Լուծումներ թվային հաշվարկի մեթոդներից. Հավասարման արմատները որոշելու համար չեն պահանջվում Աբել, Գալուա, Սուտ և այլն խմբերի տեսությունների իմացություն և հատուկ մաթեմատիկական տերմինաբանության օգտագործում՝ օղակներ, դաշտեր, իդեալներ, իզոմորֆիզմներ և այլն։ n-րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է միայն քառակուսի հավասարումներ լուծելու և բարդ թվից արմատներ հանելու ունակություն։ Արմատները կարելի է որոշել...

MathCAD համակարգում ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորո՞վ: 11. Մանրամասն նկարագրեք տեքստը, գրաֆիկական և մաթեմատիկական բլոկները: Դասախոսություն թիվ 2. Գծային հանրահաշվի խնդիրներ և դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում MathCAD միջավայրում Գծային հանրահաշվի խնդիրներում գրեթե միշտ անհրաժեշտություն կա մատրիցներով տարբեր գործողություններ կատարելու։ Օպերատորի վահանակը մատրիցներով գտնվում է Math վահանակի վրա: ...

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներն ուսումնասիրելիս հաշվի են առնվում ստացված արմատների հատկությունները: Դրանք ներկայումս հայտնի են որպես Վիետայի թեորեմ։ Դրա օգտագործման օրինակները տրված են այս հոդվածում:

Քառակուսային հավասարում

Երկրորդ կարգի հավասարումը ստորև ներկայացված լուսանկարում ներկայացված հավասարությունն է:

Այստեղ a, b, c նշանները որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են դիտարկվող հավասարման գործակիցներ։ Հավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել x-ի արժեքները, որոնք այն դարձնում են ճիշտ:

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ առավելագույն հզորությունը, որին կարելի է բարձրացնել x-ը, երկուսն է, ապա ընդհանուր դեպքում արմատների թիվը նույնպես երկու է։

Այս տեսակի հավասարությունները լուծելու մի քանի եղանակ կա: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք դրանցից մեկը, որը ներառում է այսպես կոչված Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Վիետայի թեորեմի ձևակերպում

16-րդ դարի վերջին հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (ֆրանսիացի) տարբեր քառակուսի հավասարումների արմատների հատկությունները վերլուծելիս նկատել է, որ դրանց որոշակի համակցությունները բավարարում են կոնկրետ հարաբերություններ։ Մասնավորապես, այդ համակցություններն իրենց արտադրյալն ու գումարն են։

Վիետայի թեորեմը սահմանում է հետևյալը. քառակուսի հավասարման արմատները, երբ գումարվում են, տալիս են հակառակ նշանով վերցված գծային և քառակուսի գործակիցների հարաբերությունը, և երբ դրանք բազմապատկվում են, հանգեցնում են ազատ անդամի և քառակուսի գործակցի հարաբերությանը։ .

Եթե ​​հավասարման ընդհանուր ձևը գրված է այնպես, ինչպես ցույց է տրված հոդվածի նախորդ հատվածի լուսանկարում, ապա մաթեմատիկորեն այս թեորեմը կարելի է գրել երկու հավասարության տեսքով.

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Որտեղ r 1, r 2-ը տվյալ հավասարման արմատների արժեքն է:

Վերոհիշյալ երկու հավասարումները կարող են օգտագործվել մի շարք տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար։ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը լուծումներով օրինակներում տրված է հոդվածի հաջորդ բաժիններում։

Քառակուսային հավասարումների մեջ կան մի շարք հարաբերություններ. Հիմնականները արմատների և գործակիցների հարաբերություններն են։ Նաև քառակուսի հավասարումների մեջ կան մի շարք հարաբերություններ, որոնք տրված են Վիետայի թեորեմով:

Այս թեմայում մենք կներկայացնենք Վիետայի թեորեմը և դրա ապացույցը քառակուսի հավասարման համար, Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմը և կվերլուծենք խնդիրների լուծման մի շարք օրինակներ: Նյութում մենք հատուկ ուշադրություն կդարձնենք Վիետայի բանաձևերի դիտարկմանը, որոնք սահմանում են աստիճանի հանրահաշվական հավասարման իրական արմատների միջև կապը. nև դրա գործակիցները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Վիետայի թեորեմի ձևակերպում և ապացույց

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը a x 2 + b x + c = 0 x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, որտեղ D = b 2 − 4 a գ, հարաբերություններ է հաստատում x 1 + x 2 = - բ ա, x 1 x 2 = գ ա. Սա հաստատում է Վիետայի թեորեմը.

Թեորեմ 1

Քառակուսային հավասարման մեջ a x 2 + b x + c = 0, Որտեղ x 1Եվ x 2– արմատներ, արմատների գումարը հավասար կլինի գործակիցների հարաբերակցությանը բԵվ ա, որը վերցվել է հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը հավասար կլինի գործակիցների հարաբերակցությանը. գԵվ ա, այսինքն. x 1 + x 2 = - բ ա, x 1 x 2 = գ ա.

Ապացույց 1

Ապացուցումն իրականացնելու համար առաջարկում ենք ձեզ հետևյալ սխեման. վերցրեք արմատների բանաձևը, կազմեք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը և ստացված արտահայտությունները փոխակերպեք՝ համոզվելու համար, որ դրանք հավասար են։ - բ աԵվ գ ահամապատասխանաբար.

Կազմենք արմատների գումարը x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի՝ b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Ստացված կոտորակի համարիչում բացենք փակագծերը և ներկայացնենք նմանատիպ անդամներ՝ - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a : Կոտորակը փոքրացնենք՝ 2 - b a = - b a.

Այսպես մենք ապացուցեցինք Վիետայի թեորեմի առաջին կապը, որը վերաբերում է քառակուսի հավասարման արմատների գումարին։

Հիմա անցնենք երկրորդ հարաբերություններին։

Դա անելու համար մենք պետք է կազմենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը՝ x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a:

Հիշենք կոտորակների բազմապատկման կանոնը և վերջին արտադրյալը գրենք հետևյալ կերպ՝ - b + D · - b - D 4 · a 2:

Եկեք կոտորակի համարիչում բազմապատկենք փակագիծը փակագծով կամ օգտագործենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը՝ այս արտադրյալն ավելի արագ փոխակերպելու համար. - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Օգտագործենք քառակուսի արմատի սահմանումը հետևյալ անցումը կատարելու համար՝ - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 : Բանաձև D = b 2 − 4 a գհամապատասխանում է քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտին, հետևաբար՝ կոտորակի փոխարեն Դկարող է փոխարինվել b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Բացեք փակագծերը, ավելացնենք նմանատիպ տերմիններ և ստացեք՝ 4 · a · c 4 · a 2: Եթե ​​կրճատենք այն մինչև 4 ա, ապա մնում է գ ա . Այսպես մենք ապացուցեցինք Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Վիետայի թեորեմի ապացույցը կարելի է գրել շատ լակոնիկ ձևով, եթե բաց թողնենք բացատրությունները.

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Երբ քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ: Որպեսզի կարողանանք կիրառել Վիետայի թեորեմը նման հավասարման վրա, կարող ենք ենթադրել, որ հավասարումը, զրոյի հավասար դիսկրիմինանտով, ունի երկու նույնական արմատներ։ Իսկապես, երբ D=0քառակուսի հավասարման արմատն է՝ - b 2 · a, ապա x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a և x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2, և քանի որ D = 0, այսինքն, b. 2 - 4 · a · c = 0, որտեղից b 2 = 4 · a · c, ապա b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Առավել հաճախ գործնականում Վիետայի թեորեմը կիրառվում է ձևի կրճատված քառակուսի հավասարման վրա x 2 + p x + q = 0, որտեղ առաջատար a գործակիցը հավասար է 1-ի։ Այս առումով Վիետայի թեորեմը հատուկ ձևակերպված է այս տիպի հավասարումների համար: Սա չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ: Դա անելու համար հարկավոր է նրա երկու մասերը բաժանել զրոյից տարբեր թվով։

Տանք Վիետայի թեորեմի մեկ այլ ձևակերպում.

Թեորեմ 2

Արմատների գումարը տրված քառակուսային հավասարման մեջ x 2 + p x + q = 0հավասար կլինի x-ի գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, արմատների արտադրյալը հավասար կլինի ազատ անդամին, այսինքն. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Թեորեմը հակասում է Վիետայի թեորեմին

Եթե ​​ուշադիր նայեք Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպմանը, կարող եք տեսնել, որ արմատների համար x 1Եվ x 2կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + p x + q = 0վավեր կլինեն հետևյալ հարաբերությունները՝ x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Այս հարաբերություններից x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q հետեւում է, որ x 1Եվ x 2քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 + p x + q = 0. Այսպիսով, մենք գալիս ենք մի հայտարարության, որը Վիետայի թեորեմի հակառակն է:

Այժմ մենք առաջարկում ենք այս հայտարարությունը պաշտոնականացնել որպես թեորեմ և իրականացնել դրա ապացույցը:

Թեորեմ 3

Եթե ​​թվերը x 1Եվ x 2այնպիսին են, որ x 1 + x 2 = − pԵվ x 1 x 2 = q, Դա x 1Եվ x 2կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 + p x + q = 0.

Ապացույց 2

Հնարավորությունների փոխարինում էջԵվ քնրանց արտահայտման միջոցով x 1Եվ x 2թույլ է տալիս վերափոխել հավասարումը x 2 + p x + q = 0համարժեքի մեջ .

Եթե ​​թիվը փոխարինենք ստացված հավասարման մեջ x 1փոխարեն x, ապա ստանում ենք հավասարությունը x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Սա հավասարություն է ցանկացածի համար x 1Եվ x 2վերածվում է իրական թվային հավասարության 0 = 0 , որովհետեւ x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Դա նշանակում է որ x 1- հավասարման արմատը x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Եւ ինչ x 1նաև համարժեք հավասարման արմատն է x 2 + p x + q = 0.

Փոխարինումը հավասարման մեջ x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0թվեր x 2 x-ի փոխարեն թույլ է տալիս մեզ հավասարություն ստանալ x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Այս հավասարությունը կարելի է ճշմարիտ համարել, քանի որ x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Պարզվում է, որ x 2հավասարման արմատն է x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, և հետևաբար հավասարումները x 2 + p x + q = 0.

Վիետայի թեորեմի հակադարձությունն ապացուցված է։

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Այժմ սկսենք վերլուծել թեմայի վերաբերյալ առավել բնորոշ օրինակները: Սկսենք վերլուծելով խնդիրներ, որոնք պահանջում են հակադարձ թեորեմի կիրառում Վիետայի թեորեմի նկատմամբ։ Այն կարող է օգտագործվել հաշվարկների արդյունքում ստացված թվերը ստուգելու համար՝ տեսնելու, թե արդյոք դրանք տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են: Դա անելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դրանց գումարը և տարբերությունը, այնուհետև ստուգել x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c հարաբերությունների վավերականությունը:

Երկու հարաբերությունների կատարումը ցույց է տալիս, որ հաշվարկների ժամանակ ստացված թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​տեսնենք, որ պայմաններից գոնե մեկը չի կատարվում, ապա այս թվերը չեն կարող լինել խնդրի դրույթում տրված քառակուսի հավասարման արմատները։

Օրինակ 1

1) x 1 = − 5, x 2 = 3, թե 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, թե 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2-ը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ է 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

Լուծում

Գտնենք քառակուսի հավասարման գործակիցները 4 x 2 - 16 x + 9 = 0:Սա a = 4, b = − 16, c = 9 է: Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի. - բ ա, այն է, 16 4 = 4 , իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի գ ա, այն է, 9 4 .

Ստուգենք ստացված թվերը՝ հաշվելով տրված երեք զույգերից թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատելով դրանք ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Այս արժեքը տարբերվում է 4-ից, հետևաբար ստուգումը շարունակելու կարիք չկա։ Համաձայն Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմի, մենք կարող ենք անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը այս քառակուսի հավասարման արմատները չեն:

Երկրորդ դեպքում x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4: Մենք տեսնում ենք, որ առաջին պայմանը կատարվում է. Բայց երկրորդ պայմանը չէ՝ x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3: Մեր ստացած արժեքը տարբերվում է 9 4 . Սա նշանակում է, որ թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։

Եկեք անցնենք երրորդ զույգի դիտարկմանը: Այստեղ x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 և x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Երկու պայմաններն էլ պահպանված են, ինչը նշանակում է x 1Եվ x 2տրված քառակուսային հավասարման արմատներն են։

Պատասխան. x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Մենք կարող ենք նաև օգտագործել Վիետայի թեորեմի հակադարձ տարբերակը՝ քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար։ Ամենապարզ ձևը տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ընտրելն է ամբողջ թվային գործակիցներով։ Այլ տարբերակներ կարելի է դիտարկել: Բայց դա կարող է զգալիորեն բարդացնել հաշվարկները:

Արմատներ ընտրելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները:

Օրինակ 2

Որպես օրինակ, մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը x 2 − 5 x + 6 = 0. Թվեր x 1Եվ x 2կարող են լինել այս հավասարման արմատները, եթե բավարարված են երկու հավասարություններ x 1 + x 2 = 5Եվ x 1 x 2 = 6. Եկեք ընտրենք այս թվերը: Սրանք 2 և 3 թվերն են, քանի որ 2 + 3 = 5 Եվ 2 3 = 6. Ստացվում է, որ 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմի հակառակը կարող է օգտագործվել երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ առաջինը հայտնի է կամ ակնհայտ: Դա անելու համար մենք կարող ենք օգտագործել x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a հարաբերությունները:

Օրինակ 3

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Անհրաժեշտ է գտնել այս հավասարման արմատները:

Լուծում

Հավասարման առաջին արմատը 1 է, քանի որ այս քառակուսային հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Պարզվում է, որ x 1 = 1.

Հիմա եկեք գտնենք երկրորդ արմատը։ Դրա համար կարող եք օգտագործել կապը x 1 x 2 = գ ա. Պարզվում է, որ 1 x 2 = − 3,512, որտեղ x 2 = - 3,512.

Պատասխան.խնդրի հայտարարության մեջ նշված քառակուսի հավասարման արմատները 1 Եվ - 3 512 .

Հնարավոր է ընտրել արմատներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը միայն պարզ դեպքերում: Այլ դեպքերում ավելի լավ է որոնել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը՝ դիսկրիմինանտի միջոցով:

Վիետայի թեորեմի հակառակի շնորհիվ մենք կարող ենք նաև քառակուսի հավասարումներ կառուցել՝ օգտագործելով գոյություն ունեցող արմատները. x 1Եվ x 2. Դա անելու համար մենք պետք է հաշվարկենք արմատների գումարը, որը տալիս է գործակիցը xտրված քառակուսային հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ 4

Գրի՛ր քառակուսի հավասարում, որի արմատները թվեր են − 11 Եվ 23 .

Լուծում

Ենթադրենք, որ x 1 = − 11Եվ x 2 = 23. Այս թվերի գումարը և արտադրյալը հավասար կլինեն. x 1 + x 2 = 12Եվ x 1 x 2 = − 253. Սա նշանակում է, որ երկրորդ գործակիցը 12 է՝ ազատ անդամը − 253.

Կազմենք հավասարում. x 2 − 12 x − 253 = 0.

Պատասխանել: x 2 - 12 x − 253 = 0:

Մենք կարող ենք օգտագործել Վիետայի թեորեմը լուծելու խնդիրներ, որոնք ներառում են քառակուսի հավասարումների արմատների նշանները: Վիետայի թեորեմի կապը կապված է կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ. x 2 + p x + q = 0հետևյալ կերպ.

• եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, և եթե միջանկյալ անդամը քդրական թիվ է, ապա այս արմատները կունենան նույն նշանը «+» կամ «-»;
• եթե քառակուսի հավասարումը ունի արմատներ, և եթե միջանկյալ տերմինը քբացասական թիվ է, ապա մի արմատը կլինի «+», իսկ երկրորդը «-»:

Այս երկու պնդումներն էլ բանաձեւի հետեւանք են x 1 x 2 = qև դրական և բացասական թվերի, ինչպես նաև տարբեր նշաններով թվերի բազմապատկման կանոններ։

Օրինակ 5

Արդյո՞ք քառակուսի հավասարման արմատները x 2 − 64 x − 21 = 0դրական?

Լուծում

Վիետայի թեորեմի համաձայն, այս հավասարման արմատները երկուսն էլ չեն կարող դրական լինել, քանի որ դրանք պետք է բավարարեն հավասարությունը. x 1 x 2 = − 21. Դրականի դեպքում դա անհնար է x 1Եվ x 2.

Պատասխան.Ոչ

Օրինակ 6

Պարամետրերի ինչ արժեքներով rքառակուսային հավասարում x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0կունենա երկու իրական արմատ՝ տարբեր նշաններով։

Լուծում

Սկսենք՝ գտնելով դրանց արժեքները r, որի համար հավասարումը կունենա երկու արմատ։ Եկեք մի խտրական գտնենք և տեսնենք, թե ինչ rդա դրական արժեքներ կպահանջի: D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Արտահայտման արժեքը r 2 + 8դրական ցանկացած իրականի համար r, հետևաբար, ցանկացած իրականի համար դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ կլինի r. Սա նշանակում է, որ սկզբնական քառակուսի հավասարումը կունենա երկու արմատ պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար r.

Հիմա տեսնենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ ունեն։ Դա հնարավոր է, եթե նրանց արտադրանքը բացասական է: Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Սա նշանակում է, որ ճիշտ լուծումը լինելու են այդ արժեքները r, որի համար r − 1 ազատ անդամը բացասական է։ Լուծենք r − 1 գծային անհավասարությունը< 0 , получаем r < 1 .

Պատասխան.ժամը r< 1 .

Վիետա բանաձեւեր

Կան մի շարք բանաձևեր, որոնք կիրառելի են ոչ միայն քառակուսի, այլև խորանարդ և այլ տեսակի հավասարումների արմատներով և գործակիցներով գործողություններ իրականացնելու համար։ Դրանք կոչվում են Վիետայի բանաձեւեր։

Աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար n a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + ձևի: . . + a n - 1 x + a n = 0 հավասարումը համարվում է, որ ունի nիրական արմատներ x 1, x 2, …, x n, որոնց թվում կարող են լինել նույնը.
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +: . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +: . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0, . . . x 1 · x 2 · x 3 ·. . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Սահմանում 1

Վիետայի բանաձևերը օգնում են մեզ ստանալ.

• թեորեմ բազմանդամի գծային գործոնների տարրալուծման մասին;
• հավասար բազմանդամների որոշում նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով.

Այսպիսով, a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + բազմանդամը: . . + a n - 1 · x + a n և դրա ընդլայնումը a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · ձևի գծային գործոնների: . . · (x - x n) հավասար են:

Եթե ​​վերջին արտադրյալում բացենք փակագծերը և հավասարեցնենք համապատասխան գործակիցները, ապա ստացվում է Վիետայի բանաձևերը։ Հաշվի առնելով n = 2, մենք կարող ենք ստանալ Վիետայի բանաձևը քառակուսի հավասարման համար. x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0:

Սահմանում 2

Վիետայի բանաձևը խորանարդի հավասարման համար.
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Վիետայի բանաձեւի ձախ կողմը պարունակում է այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter