≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները: Քառակուսային հավասարումների օրինակներ. Հավասարման ընդհանուր ձևը

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հնագույն ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Տարբերիչը թույլ է տալիս լուծել ցանկացած քառակուսի հավասարում օգտագործելով ընդհանուր բանաձեւ, որն ունի հետևյալ տեսքը.

Տարբերակման բանաձևը կախված է բազմանդամի աստիճանից։ Վերոնշյալ բանաձևը հարմար է քառակուսի հավասարումների լուծման համար հետեւյալ տեսակը:

Տարբերիչն ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք դուք պետք է իմանաք.

* «D»-ն 0 է, երբ բազմանդամն ունի բազմաթիվ արմատներ (հավասար արմատներ);

* «D»-ն սիմետրիկ բազմանդամ է բազմանդամի արմատների նկատմամբ և, հետևաբար, բազմանդամ է իր գործակիցներով. ընդ որում, այս բազմանդամի գործակիցները ամբողջ թվեր են՝ անկախ այն բանից, թե որքանով են վերցված արմատները։

Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ ձևի քառակուսային հավասարումը.

1 հավասարում

Ըստ բանաձևի մենք ունենք.

Քանի որ \, հավասարումը ունի 2 արմատ: Սահմանենք դրանք.

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել հավասարումը` օգտագործելով տարբերակիչ առցանց լուծիչ:

Դուք կարող եք լուծել հավասարումը մեր կայքում https://site. Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչում: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգները և պարզել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում, և եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կանդրադառնանք այն, ինչ կոչվում է քառակուսի հավասարումև ինչպես լուծել այն:

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Կարևոր!

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե առավելագույն աստիճան, որտեղ անհայտը «2» է, ինչը նշանակում է, որ դուք ունեք քառակուսի հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր! Ընդհանուր ձևՔառակուսային հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

A x 2 + b x + c = 0

«ա», «բ» և «գ» թվերը տրվում են:

• «ա»-ն առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցն է.
• «բ»-ը երկրորդ գործակիցն է.
• «c»-ն ազատ անդամ է:

«a», «b» և «c» գտնելու համար հարկավոր է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c = 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Հավասարումը	Հնարավորություններ
a = 5 b = −14 գ = 17
a = −7 b = −13 գ = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• գ =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

Ի տարբերություն գծային հավասարումներլուծումների համար քառակուսի հավասարումներօգտագործվում է հատուկ արմատներ գտնելու բանաձև.

Հիշիր.

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• քառակուսի հավասարումը բերեք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևին: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը.
• օգտագործել արմատների համար բանաձեւը.

Եկեք նայենք մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է օգտագործել բանաձեւը քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար: Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարում.

X 2 − 3x − 4 = 0

«x 2 − 3x − 4 = 0» հավասարումն արդեն վերածվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար պետք է ուղղակի դիմել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Այն կարող է օգտագործվել ցանկացած քառակուսի հավասարում լուծելու համար:

«x 1;2 =» բանաձևում արմատական ​​արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է
«b 2 − 4ac» «D» տառի համար և կոչվում է տարբերակիչ: Խտրական հասկացությունն ավելի մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ» և «գ» գործակիցները: Նախ հավասարումը կրճատենք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևով։

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումները արմատ չունեն: Այս իրավիճակը առաջանում է, երբ արմատի տակ եղած բանաձեւը պարզվում է բացասական թիվ.

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսի հավասարումներ՝ թերի քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար, օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք դուք կգտնեք «Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում» հոդվածում։

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսի հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է հաշվարկենք դիսկրիմինանտ Դ.

D = b 2 – 4ac.

Կախված դիսկրիմինանտի արժեքից՝ մենք կգրենք պատասխանը։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա x = (-b)/2a: Երբ խտրականը դրական թիվ(D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը x 2- 4x + 4 = 0:

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Պատասխան՝ – 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի դիագրամը:

Օգտագործելով այս բանաձևերը, դուք կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 և ապա հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես վերը նշված օրինակ 2-ի լուծումը):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջինը պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչ ունեցող միանդամը, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bxիսկ հետո ազատ անդամ Հետ.

Կրճատված քառակուսային հավասարումը և երկրորդ անդամում զույգ գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող եք օգտագործել այլ բանաձևեր: Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​ամբողջական քառակուսի հավասարման մեջ երկրորդ անդամի գործակիցը զույգ է (b = 2k), ապա կարող եք հավասարումը լուծել՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում տրված բանաձևերը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 մեկին հավասարև հավասարումը կընդունի ձևը x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծելու, կամ այն ​​կարելի է ստանալ՝ հավասարման բոլոր գործակիցները գործակցի վրա բաժանելով. Ա, կանգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսի լուծելու դիագրամ
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը:

Օրինակ։ Լուծե՛ք հավասարումը

3x 2 + 6x – 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3

Դուք կարող եք նկատել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b = 6 կամ b = 2k, որտեղից k = 3: Այնուհետև փորձենք լուծել հավասարումը D նկարի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերով: 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և կատարելով բաժանումը, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + 2x – 2 = 0 Լուծեք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, մանրակրկիտ տիրապետելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կկարողանաք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Առաջին մակարդակ

Քառակուսային հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

«Քառակուսի հավասարում» տերմինում հիմնական բառը «քառակուսի» է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է անպայման պարունակի փոփոխական (նույն x) քառակուսի, և չպետք է լինի xes երրորդ (կամ ավելի մեծ) հզորության համար:

Շատ հավասարումների լուծումը հանգում է քառակուսի հավասարումների լուծմանը:

Եկեք սովորենք որոշել, որ սա քառակուսի հավասարում է, այլ ոչ թե ինչ-որ այլ հավասարում:

Օրինակ 1.

Եկեք ազատվենք հայտարարից և բազմապատկենք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմ և տերմինները դասավորենք X-ի հզորությունների նվազման կարգով

Այժմ վստահաբար կարող ենք ասել, որ տրված հավասարումըքառակուսի է!

Օրինակ 2.

Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք հետևյալով.

Այս հավասարումը, թեև ի սկզբանե եղել է դրանում, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3.

Եկեք ամեն ինչ բազմապատկենք հետևյալով.

Վախկոտ? Չորրորդ և երկրորդ աստիճանները... Այնուամենայնիվ, եթե փոխարինենք, կտեսնենք, որ ունենք պարզ քառակուսի հավասարում.

Օրինակ 4.

Թվում է, թե կա, բայց եկեք ավելի սերտ նայենք: Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմը.

Տեսեք, այն կրճատվել է, և այժմ դա պարզ գծային հավասարում է:

Այժմ փորձեք ինքներդ որոշել, թե ստորև նշված հավասարումներից որոնք են քառակուսի և որոնք՝ ոչ.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

1. քառակուսի;
2. քառակուսի;
3. ոչ քառակուսի;
4. ոչ քառակուսի;
5. ոչ քառակուսի;
6. քառակուսի;
7. ոչ քառակուսի;
8. քառակուսի.

Մաթեմատիկոսները պայմանականորեն բոլոր քառակուսի հավասարումները բաժանում են հետևյալ տեսակների.

• Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցները և, ինչպես նաև c ազատ անդամը, հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակում): Բացի այդ, ամբողջական քառակուսի հավասարումների շարքում կան տրված- սրանք հավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակ առաջինի հավասարումը ոչ միայն ամբողջական է, այլև կրճատված):

• Անավարտ քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցը և կամ c ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

  Դրանք թերի են, քանի որ ինչ-որ տարր բացակայում է: Բայց հավասարումը միշտ պետք է պարունակի X քառակուսի!!! Հակառակ դեպքում դա արդեն կլինի ոչ թե քառակուսի, այլ ինչ-որ այլ հավասարում։

Ինչո՞ւ են նման բաժանում մտածել։ Թվում է, թե կա X քառակուսի, և լավ: Այս բաժանումը որոշվում է լուծման մեթոդներով: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրին ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախ, եկեք կենտրոնանանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման վրա. դրանք շատ ավելի պարզ են:

Կան թերի քառակուսի հավասարումների տեսակներ.

1. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։
2. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.
3. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

1. i. Քանի որ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է արդյունահանել Քառակուսի արմատ, ապա արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, հետևաբար՝ եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։

Իսկ եթե, ապա մենք ստանում ենք երկու արմատ. Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը այն է, որ դուք պետք է իմանաք և միշտ հիշեք, որ դա չի կարող պակաս լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ։

Օրինակ 5:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այժմ մնում է միայն արմատը հանել ձախ և աջ կողմերից: Ի վերջո, դուք հիշում եք, թե ինչպես կարելի է արմատներ հանել:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին!!!

Օրինակ 6:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 7:

Լուծե՛ք հավասարումը

Օ՜ Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ արմատներ!

Նման հավասարումների համար, որոնք արմատ չունեն, մաթեմատիկոսները եկան հատուկ պատկերակ՝ (դատարկ հավաքածու): Իսկ պատասխանը կարելի է գրել այսպես.

Պատասխան.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի. Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք չենք հանել արմատը:
Օրինակ 8:

Լուծե՛ք հավասարումը

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Այսպիսով,

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենապարզ տեսակը (թեև դրանք բոլորն էլ պարզ են, չէ՞): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կանենք առանց օրինակների։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարման հավասարումն է, որտեղ

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի դժվար է (միայն մի քիչ), քան սրանք:

Հիշիր, Ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Անգամ թերի։

Մյուս մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ:

Այս մեթոդով քառակուսի հավասարումների լուծումը շատ պարզ է, գլխավորը գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձևեր հիշելն է:

Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատ, դուք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնեք քայլին: Տարբերակիչ () մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9:

Լուծե՛ք հավասարումը

Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քայլ 3.

Պատասխան.

Օրինակ 10:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումն ունի մեկ արմատ։

Պատասխան.

Օրինակ 11:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա բացահայտել խտրականի արմատը: Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Քառակուսային հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով։

Եթե ​​հիշում եք, կա մի տեսակ հավասարում, որը կոչվում է կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրվածքառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Օրինակ 12:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը հավասար է, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14:

Լուծե՛ք հավասարումը

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - որոշ թվեր և.

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, Ա - ազատ անդամ.

Ինչո՞ւ։ Քանի որ եթե հավասարումը անմիջապես դառնա գծային, քանի որ կվերանա.

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս ամբիոնի հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն, հավասարումը ամբողջական է:

Տարբեր տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Նախ, եկեք նայենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներին. դրանք ավելի պարզ են:

Մենք կարող ենք տարբերակել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I., այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Հիմա եկեք տեսնենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երբ դուք բազմապատկում եք երկու բացասական կամ երկու դրական թիվ, արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ: Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ set պատկերակը:

Պատասխան.

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հաշվարկենք հավասարման ձախ կողմը և գտնենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Անգամ թերի։

Արմատների բանաձեւում նկատեցի՞ք արմատը տարբերակիչից: Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք 2-րդ քայլին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատներ.
• Եթե ​​ուրեմն հավասարումը ունի նույնական արմատներ, բայց հիմնականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու՞ է դա հնարավոր տարբեր քանակությամբարմատներ? Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Հատուկ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, . Սա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները աբսցիսային առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են։ Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը, կամ կարող է հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթը գտնվում է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Պատասխան.

Պատասխան.

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է՝ պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն կրճատված քառակուսի հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է և ստուգենք, արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ #2:

Լուծում:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալի արտադրյալը, այնուհետև ստուգենք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալիս են ընդհանուր.

և՝ տալիս են ընդհանուր. Ստանալու համար բավական է պարզապես փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները՝ և, ի վերջո, արտադրանքը։

Պատասխան.

Օրինակ #3:

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, հետևաբար արմատների արտադրյալը բացասական թիվ է։ Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Հետևաբար, արմատների գումարը հավասար է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. նրանց տարբերությունը հավասար է - չի տեղավորվում;

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է։ Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ավելի փոքր մոդուլով արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ #4:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և, հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, այնուհետև որոշենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ #5:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատներն էլ ունեն մինուս նշան:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է արմատներ բերել բանավոր՝ այս տհաճ խտրականությունը հաշվելու փոխարեն: Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատները գտնելը հեշտացնելու և արագացնելու համար: Որպեսզի դուք օգուտ քաղեք այն օգտագործելուց, դուք պետք է գործողությունները հասցնեք ավտոմատացման: Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։ Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել տարբերակիչ: Միայն Վիետայի թեորեմը.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքների լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես միշտ, ընտրությունը սկսում ենք կտորից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

Գումարը հենց այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը՝ գումարը պետք է հավասար լինի, իսկ արտադրյալը՝ հավասար։

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է դա:

Դուք պետք է տեղափոխեք բոլոր պայմանները մեկ մասի մեջ.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Լավ, կանգնիր։ Հավասարումը տրված չէ։ Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումների մեջ։ Այսպիսով, նախ պետք է տալ հավասարում. Եթե ​​չեք կարող առաջնորդել, հրաժարվեք այս գաղափարից և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով): Հիշեցնեմ, որ քառակուսի հավասարում տալ նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Հիանալի: Այնուհետև արմատների գումարը հավասար է և արտադրյալին:

Այստեղ ընտրելը նույնքան հեշտ է, որքան տանձի կեղևը. ի վերջո, դա պարզ թիվ է (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 4.

Ազատ անդամը բացասական է: Ինչո՞վ է սա առանձնահատուկ: Եվ փաստն այն է, որ արմատները տարբեր նշաններ կունենան։ Իսկ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալ։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է: Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն. Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ պետք է անեք առաջինը: Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործակիցները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը: Դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսն ավելի մեծ արմատ կունենա։

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփեմ.

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումների մեջ։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարող եք արմատները գտնել ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ ազատ անդամի ոչ մի հարմար զույգ գործակից չի գտնվել, ապա ամբողջական արմատներ չկան, և դուք պետք է այն լուծեք այլ կերպ (օրինակ՝ դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսու ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր տերմինները ներկայացված են կրճատված բազմապատկման բանաձևերի տերմինների տեսքով՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականները փոխարինելուց հետո հավասարումը կարող է ներկայացվել տիպի ոչ ամբողջական քառակուսային հավասարման տեսքով:

Օրինակ:

Օրինակ 1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Սա խտրական բան է։ Հենց այդպես էլ ստացանք խտրականության բանաձեւը։

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարում- սա ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - քառակուսի հավասարման գործակիցները, - ազատ անդամը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը c հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը նման է.
• եթե կա ազատ անդամ, ապա հավասարումն ունի հետևյալ ձևը՝
• եթե և, ապա հավասարումը նման է.

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Արտահայտենք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Հետևաբար, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսային հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում, օգտագործելով դիսկրիմինանտ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվարկենք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատներ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման (որտեղ ձևի հավասարումը) արմատների գումարը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , Ա.

2.3. Լուծում ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդով

Քառակուսային հավասարումներ հաճախ են առաջանում ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի տարբեր խնդիրներ լուծելիս։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես լուծել այս հավասարությունները համընդհանուր ձևով«խտրականի միջոցով». Հոդվածում բերված են նաև ձեռք բերված գիտելիքների օգտագործման օրինակներ։

Ի՞նչ հավասարումների մասին ենք խոսելու։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս մի բանաձև, որում x-ը անհայտ փոփոխական է, իսկ լատիներեն a, b, c նշանները ներկայացնում են որոշ հայտնի թվեր:

Այս նշաններից յուրաքանչյուրը կոչվում է գործակից: Ինչպես տեսնում եք, «a» թիվը հայտնվում է x փոփոխականից առաջ քառակուսի: Սա ներկայացված արտահայտության առավելագույն հզորությունն է, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է քառակուսի հավասարում։ Հաճախ օգտագործվում է նրա մյուս անվանումը՝ երկրորդ կարգի հավասարում։ a արժեքը ինքնին քառակուսի գործակից է (կանգնած է քառակուսի փոփոխականով), b-ն գծային գործակից է (այն գտնվում է առաջին աստիճանի բարձրացված փոփոխականի կողքին), և վերջապես, c թիվը ազատ անդամն է։

Նկատի ունեցեք, որ վերևի նկարում ներկայացված հավասարման տեսակը ընդհանուր դասական քառակուսի արտահայտություն է: Բացի դրանից, կան նաև երկրորդ կարգի այլ հավասարումներ, որոնցում b և c գործակիցները կարող են զրո լինել։

Երբ խնդիր է դրված լուծել խնդրո առարկա հավասարությունը, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել x փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, որոնք կբավարարեն այն: Այստեղ առաջինը, որ պետք է հիշել, հետևյալն է. քանի որ X-ի առավելագույն աստիճանը 2 է, ուրեմն այս տեսակի արտահայտությունը չի կարող ունենալ 2-ից ավելի լուծում։ Սա նշանակում է, որ եթե հավասարումը լուծելիս գտնվեն x-ի 2 արժեքներ, որոնք բավարարում են դրան, ապա կարող ես վստահ լինել, որ 3-րդ թիվ չկա՝ փոխարինելով այն x-ով, ապա հավասարությունը նույնպես ճիշտ կլինի։ Մաթեմատիկայում հավասարման լուծումները կոչվում են դրա արմատներ:

Երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներ

Այս տեսակի հավասարումների լուծումը պահանջում է դրանց վերաբերյալ որոշ տեսության իմացություն: Դպրոցական հանրահաշիվ դասընթացում համարում են 4 տարբեր մեթոդներլուծումներ։ Թվարկենք դրանք.

• օգտագործելով ֆակտորիզացիա;
• օգտագործելով կատարյալ քառակուսի բանաձեւը;
• կիրառելով համապատասխան քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը;
• օգտագործելով տարբերակիչ հավասարումը:

Առաջին մեթոդի առավելությունը նրա պարզությունն է, սակայն այն չի կարող օգտագործվել բոլոր հավասարումների համար. Երկրորդ մեթոդը ունիվերսալ է, բայց որոշ չափով ծանրաբեռնված: Երրորդ մեթոդն առանձնանում է իր պարզությամբ, բայց միշտ չէ, որ հարմար է և կիրառելի։ Եվ վերջապես, դիսկրիմինանտ հավասարման օգտագործումը ունիվերսալ և բավականին պարզ միջոց է բացարձակապես ցանկացած երկրորդ կարգի հավասարման արմատները գտնելու համար: Հետևաբար, հոդվածում մենք կքննարկենք միայն այն:

Հավասարման արմատների ստացման բանաձևը

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևին: Գրենք այն՝ a*x²+ b*x + c =0: Նախքան այն լուծելու մեթոդը կիրառելը «տարբերակողի միջոցով», դուք միշտ պետք է հավասարությունը հասցնեք գրավոր ձևին: Այսինքն, այն պետք է բաղկացած լինի երեք անդամից (կամ պակաս, եթե b կամ c-ն 0 է):

Օրինակ, եթե կա արտահայտություն՝ x²-9*x+8 = -5*x+7*x², ապա նախ պետք է դրա բոլոր անդամները տեղափոխել հավասարության մի կողմ և ավելացնել x փոփոխականը պարունակող անդամները: նույն լիազորությունները.

Այս դեպքում այս գործողությունը կհանգեցնի հետևյալ արտահայտությանը՝ -6*x²-4*x+8=0, որը համարժեք է 6*x²+4*x-8=0 հավասարմանը (այստեղ մենք բազմապատկեցինք ձախ և հավասարության աջ կողմերը -1-ով):

Վերևի օրինակում a = 6, b=4, c=-8: Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող հավասարության բոլոր պայմանները միշտ գումարվում են միասին, ուստի, եթե հայտնվում է «-» նշանը, նշանակում է, որ համապատասխան գործակիցը բացասական է, ինչպես այս դեպքում c թիվը:

Այս կետը քննելուց հետո եկեք անցնենք հենց այն բանաձևին, որը հնարավորություն է տալիս ստանալ քառակուսի հավասարման արմատները: Այն կարծես ստորև ներկայացված լուսանկարում պատկերվածին է:

Ինչպես երևում է այս արտահայտությունից, այն թույլ է տալիս ստանալ երկու արմատ (ուշադրություն դարձրեք «±» նշանին): Դա անելու համար բավական է դրա մեջ փոխարինել b, c և a գործակիցները:

Խտրականության հայեցակարգը

Նախորդ պարբերությունում տրվել է բանաձև, որը թույլ է տալիս արագ լուծել երկրորդ կարգի ցանկացած հավասարում։ Դրանում արմատական ​​արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ, այսինքն՝ D = b²-4*a*c։

Ինչու՞ է ընդգծված բանաձևի այս մասը, և այն նույնիսկ ունի պատշաճ անուն? Փաստն այն է, որ դիսկրիմինատորը միացնում է հավասարման բոլոր երեք գործակիցները մեկ արտահայտության մեջ։ Վերջին փաստնշանակում է, որ այն ամբողջությամբ կրում է տեղեկատվություն արմատների մասին, որը կարող է արտահայտվել հետևյալ ցանկով.

1. D>0. հավասարությունը ունի 2 տարբեր լուծումներ, որոնք երկուսն էլ իրական թվեր են։
2. D=0. Հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ և այն իրական թիվ է:

Խտրականության որոշման առաջադրանք

Բերենք մի պարզ օրինակ, թե ինչպես կարելի է տարբերակիչ գտնել: Թող տրվի հետևյալ հավասարությունը՝ 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7:

Եկեք այն բերենք ստանդարտ ձևի, ստանում ենք՝ (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, որից գալիս ենք հավասարությանը. -2*x² +2*x-11 = 0. Այստեղ a=-2, b=2, c=-11:

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված բանաձևը տարբերակիչի համար՝ D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84: Ստացված թիվը առաջադրանքի պատասխանն է։ Քանի որ օրինակում դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, կարող ենք ասել, որ այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի: Դրա լուծումը կլինի միայն բարդ տիպի թվեր։

Անհավասարության օրինակ խտրականի միջոցով

Եկեք լուծենք մի փոքր այլ տիպի խնդիրներ. հաշվի առնելով հավասարությունը -3*x²-6*x+c = 0: Անհրաժեշտ է գտնել c-ի արժեքներ, որոնց համար D>0:

Այս դեպքում 3 գործակիցներից միայն 2-ն է հայտնի, ուստի դիսկրիմինանտի ճշգրիտ արժեքը հնարավոր չէ հաշվարկել, սակայն հայտնի է, որ այն դրական է։ Անհավասարությունը կազմելիս օգտագործում ենք վերջին փաստը՝ D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0: Ստացված անհավասարության լուծումը բերում է արդյունքի՝ c>-3.

Ստուգենք ստացված թիվը։ Դա անելու համար D-ն հաշվում ենք 2 դեպքի համար՝ c=-2 և c=-4: -2 թիվը բավարարում է ստացված արդյունքին (-2>-3), համապատասխան դիսկրիմինատորը կունենա արժեքը՝ D = 12>0։ Իր հերթին, -4 թիվը չի բավարարում անհավասարությանը (-4: Այսպիսով, ցանկացած c թվեր, որոնք մեծ են -3-ից, կբավարարեն պայմանը.

Հավասարման լուծման օրինակ

Ներկայացնենք մի խնդիր, որը ներառում է ոչ միայն դիսկրիմինատորը գտնելը, այլև հավասարումը լուծելը։ Անհրաժեշտ է գտնել -2*x²+7-9*x = 0 հավասարության արմատները։

Այս օրինակում դիսկրիմինանտը հավասար է հետևյալ արժեքին. D = 81-4*(-2)*7= 137: Այնուհետև հավասարման արմատները որոշվում են հետևյալ կերպ. x = (9±√137)/(- 4). Սա ճշգրիտ արժեքներարմատները, եթե մոտավորապես հաշվարկեք արմատը, ապա կստանաք թվերը՝ x = -5,176 և x = 0,676:

Երկրաչափական խնդիր

Եկեք լուծենք մի խնդիր, որը կպահանջի ոչ միայն դիսկրիմինանտը հաշվարկելու կարողություն, այլ նաև վերացական մտածողության հմտությունների կիրառում և քառակուսի հավասարումներ գրելու իմացություն։

Բոբն ուներ ծածկոցչափերը 5 x 4 մետր: Տղան ցանկանում էր ամբողջ պարագծով նրան կարել գեղեցիկ գործվածքի շարունակական շերտ: Որքան հաստ կլինի այս շերտը, եթե իմանանք, որ Բոբն ունի 10 մ² գործվածք:

Թող շերտը ունենա x մ հաստություն, ապա վերմակի երկար կողմի երկայնքով գործվածքի մակերեսը կլինի (5+2*x)*x, իսկ քանի որ 2 երկար կողմ կա, ունենք՝ 2*x։ * (5 + 2 * x). Կարճ կողմում կարված գործվածքի մակերեսը կլինի 4*x, քանի որ այդ կողմերը 2-ն են, ստանում ենք 8*x արժեքը։ Նկատի ունեցեք, որ 2*x արժեքը ավելացվել է երկար կողմին, քանի որ վերմակի երկարությունը մեծացել է այդ թվով: Վերմակին կարված գործվածքի ընդհանուր մակերեսը 10 մ² է։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարություն՝ 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0:

Այս օրինակի համար դիսկրիմինատորը հավասար է. 2*4) = (- 5; 0,5): Ակնհայտորեն, երկու արմատներից միայն 0,5 թիվը հարմար է խնդրի պայմաններին համապատասխան։

Այսպիսով, գործվածքի շերտը, որը Բոբը կարում է իր վերմակին, կունենա 50 սմ լայնություն։