• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Ինչպես բաժանել բացասական թվերը: Բացասական թվերի բաժանման մնացորդը

Նախ՝ պարզելու համար, թե արդյոք զրոն կարելի է բաժանել բացասական թվի, պետք է հիշել, թե ինչպես է սովորաբար կատարվում բաժանումը։ բացասական թվեր. Բաժանման մաթեմատիկական գործողությունը բազմապատկման հակադարձ է:

Սա կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ. եթե a-ն և b-ը ռացիոնալ թվեր են, ապա a-ի բաժանումը b-ի վրա նշանակում է գտնել c թիվ, որը, երբ բազմապատկենք b-ով, կստացվի a թիվը: Այս սահմանումըԲաժանումը ճիշտ է ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թվերի համար, եթե բաժանարարները զրոյական չեն: Այս դեպքում խստորեն պահպանվում է պայմանը, որ անհնար է բաժանել զրոյի։

Հետևաբար, օրինակ, 32 թիվը -8 թվի վրա բաժանելու համար պետք է գտնել մի թիվ, որը, երբ բազմապատկենք -8 թվով, կստացվի 32 թիվը: Այս թիվը կլինի -4, քանի որ.

(-4) x (-8) \u003d 32. Նշանները գումարվում են միասին, և մինուս մինուսը կհանգեցնի գումարածի:

Այսպիսով.

Ռացիոնալ թվերի բաժանման այլ օրինակներ.

21: 7 = 3, քանի որ 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3 քանի որ 3 (−3) = −9։

Բացասական թվերի բաժանման կանոններ

Քաղորդի մոդուլը որոշելու համար անհրաժեշտ է բաժանվող թվի մոդուլը բաժանել բաժանարարի մոդուլի վրա։ Կարևոր է հաշվի առնել գործողության երկու տարրերի նշանը:

Երկու թվերի հետ բաժանելու համար նույն նշանները, պետք է դիվիդենտի մոդուլը բաժանել բաժանարարի մոդուլի վրա, իսկ արդյունքի դիմաց դնել գումարած նշան։

Երկու թվերի հետ բաժանելու համար տարբեր նշաններ, պետք է դիվիդենտի մոդուլը բաժանել բաժանարարի մոդուլի վրա, բայց արդյունքի դիմաց դնել մինուս նշան, և կարևոր չէ, թե տարրից որն էր՝ բաժանարարը, թե դիվիդենտը, բացասական։

Բազմապատկման և բաժանման արդյունքների միջև նշված կանոններն ու հարաբերությունները, որոնք հայտնի են դրական թվերով, գործում են նաև բոլոր ռացիոնալ թվերի համար, բացառությամբ զրո թվի։

Զրոյի համար կա կարևոր կանոնԶրոյի գործակիցը բաժանված ցանկացած ոչ զրոյական թվի վրա նույնպես զրո է:

0: b = 0, b ≠ 0: Ավելին, b-ը կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական:

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ զրոն կարելի է բաժանել բացասական թվի, և արդյունքը միշտ կլինի զրո:

Այս հոդվածի ուշադրության կենտրոնում է բացասական թվերի բաժանում. Նախ տրված է բացասական թիվը բացասական թվի վրա բաժանելու կանոնը, բերվում են դրա հիմնավորումները, այնուհետև բացասական թվերը հետ բաժանելու օրինակներ. մանրամասն նկարագրությունլուծումներ։

Էջի նավարկություն.

Բացասական թվերը բաժանելու կանոն

Բացասական թվերի բաժանման կանոնը տալուց առաջ հիշենք բաժանման գործողության իմաստը։ Բաժանումն իր էությամբ ներկայացնում է անհայտ գործոնի հայտնաբերումը հայտնի արտադրանքի և հայտնի այլ գործոնի միջոցով: Այսինքն՝ c թիվը a-ի քանորդն է b-ի, երբ c b=a , և հակառակը, եթե c b=a , ապա a:b=c ։

Բացասական թվերը բաժանելու կանոնմի բացասական թիվ մյուսի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է համարիչը հայտարարի մոդուլի վրա բաժանելու գործակցին։

Տառերով գրենք հնչեցված կանոնը. Եթե ​​a-ն և b-ն բացասական թվեր են, ապա հավասարությունը ա:բ=|ա|:|բ| .

a:b=a b −1 հավասարությունը հեշտ է ապացուցել՝ սկսած բազմապատկման հատկություններ իրական թվեր և փոխադարձ թվերի սահմանումները։ Իսկապես, այս հիմքի վրա կարելի է գրել ձևի հավասարությունների շղթա (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, որը հոդվածի սկզբում նշված բաժանման իմաստով ապացուցում է, որ a · b − 1-ը a-ի b-ի բաժանման գործակիցն է։

Եվ այս կանոնը թույլ է տալիս բացասական թվերի բաժանումից անցնել բազմապատկման։

Մնում է դիտարկել բացասական թվերը բաժանելու համար դիտարկված կանոնների կիրառումը օրինակներ լուծելիս։

Բացասական թվերի բաժանման օրինակներ

Եկեք վերլուծենք Բացասական թվերի բաժանման օրինակներ. Սկսենք նրանից պարզ դեպքեր, որի վրա կմշակենք բաժանման կանոնի կիրառումը։

Օրինակ.

−18 բացասական թիվը բաժանեք −3 բացասական թվի վրա, այնուհետև հաշվարկեք (−5):(−2) գործակիցը։

Լուծում.

Բացասական թվերի բաժանման կանոնով −18-ը −3-ի բաժանելու գործակիցը հավասար է այս թվերի մոդուլները բաժանելու գործակցին։ Քանի որ |−18|=18 և |−3|=3 , ուրեմն (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , մնում է միայն կատարել բնական թվերի բաժանումը, ունենք 18:3=6։

Նույն կերպ լուծում ենք խնդրի երկրորդ մասը։ Քանի որ |−5|=5 և |−2|=2 , ուրեմն (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Այս քանորդը համապատասխանում է սովորական կոտորակի 5/2-ին, որը կարելի է գրել որպես խառը թիվ։

Նույն արդյունքները ստացվում են բացասական թվերի բաժանման այլ կանոնի միջոցով։ Իսկապես, −3 թիվը հակադարձ թիվ է, ուրեմն , այժմ կատարում ենք բացասական թվերի բազմապատկումը. . Նմանապես, .

Պատասխան.

(−18):(−3)=6 և .

Կոտորակի ռացիոնալ թվերը բաժանելիս առավել հարմար է աշխատել սովորական կոտորակների հետ։ Բայց, եթե հարմար է, ապա կարող եք բաժանել և վերջնական տասնորդական կոտորակները:

Օրինակ.

-0,004 թիվը բաժանեք -0,25-ի:

Լուծում.

Դիվիդենտի և բաժանարարի մոդուլները համապատասխանաբար 0,004 և 0,25 են, ապա, ըստ բացասական թվերի բաժանման կանոնի, ունենք. (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• կամ կատարել տասնորդական կոտորակների բաժանում սյունակով,
• կամ գնա տասնորդական կոտորակներսովորական կոտորակներին, այնուհետև բաժանել համապատասխան սովորական կոտորակները:

Եկեք դիտարկենք երկու մոտեցումները:

Սյունակում 0,004-ը 0,25-ի բաժանելու համար նախ ստորակետը 2 թվանշանը տեղափոխեք աջ, մինչդեռ 0,4-ը բաժանեք 25-ի: Այժմ մենք կատարում ենք բաժանում սյունակով.

Այսպիսով, 0,004:0,25=0,016:

Իսկ հիմա ցույց տանք, թե ինչպիսին կլիներ լուծումը, եթե որոշեինք տասնորդական կոտորակները վերածել սովորականի։ Որովհետեւ եւ հետո , և կատարել

Այս հոդվածում կտանք բացասական թիվը բացասականի վրա բաժանելու սահմանում, կձևակերպենք և հիմնավորենք կանոնը, կտանք բացասական թվերի բաժանման օրինակներ և կվերլուծենք դրանց լուծման ընթացքը։

Բացասական թվերի բաժանում. կանոն

Հիշեք, թե որն է բաժանման գործողության էությունը. Այս գործողությունը անհայտ բազմապատկիչի հայտնաբերումն է հայտնի արտադրյալով և հայտնի այլ բազմապատկիչով: C թիվը կոչվում է քանորդ a և b թվերի բաժանումից, եթե c · b = a արտադրյալը ճիշտ է: Այս դեպքում a ÷ b = c .

Բացասական թվերը բաժանելու կանոն

Մեկ բացասական թիվ մեկ այլ բացասական թվի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է այս թվերի մոդուլները բաժանելու գործակցին։

Թող a և b լինեն բացասական թվեր։ Հետո

a ÷ b = a ÷ b .

Այս կանոնը նվազեցնում է երկու բացասական թվերի բաժանումը դրական թվերի բաժանման։ Այն վավեր է ոչ միայն ամբողջ թվերի, այլև ռացիոնալ և իրական թվերի համար։ Բացասական թիվը բացասական թվի վրա բաժանելու արդյունքը միշտ է դրական թիվ.

Ահա այս կանոնի ևս մեկ ձևակերպում, որը հարմար է ռացիոնալ և իրական թվերին: Այն տրվում է փոխադարձ թվերի միջոցով և ասում. a բացասական թիվը բաժանել չսահմանված թվի վրա, բազմապատկել b-1 թվով, b-ի փոխադարձ թվով:

a ÷ b = a · b - 1 .

Նույն կանոնը, որը բաժանումը վերածում է բազմապատկման, կարող է կիրառվել նաև տարբեր նշաններով թվերի բաժանման դեպքում։

a ÷ b = a b - 1 հավասարությունը կարելի է ապացուցել իրական թվերի բազմապատկման հատկության և փոխադարձ թվերի սահմանման միջոցով։ Եկեք գրենք հավասարությունները.

a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a .

Բաժանման գործողության սահմանման ուժով այս հավասարությունն ապացուցում է, որ կա թիվը b թվի վրա բաժանելու գործակից։
Անցնենք օրինակներին։

Սկսենք պարզ դեպքերից՝ անցնելով ավելի բարդ դեպքերի։

Օրինակ 1. Ինչպես բաժանել բացասական թվերը

Բաժանել - 18-ը - 3-ի:
Բաժանարար և դիվիդենտ մոդուլները համապատասխանաբար 3 և 18 են: Եկեք գրենք.

18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6:

Օրինակ 2. Ինչպես բաժանել բացասական թվերը

Բաժանել - 5-ը - 2-ի:
Նմանապես, մենք գրում ենք ըստ կանոնի.

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2:

Նույն արդյունքը կստացվի, եթե օգտագործենք կանոնի երկրորդ ձևակերպումը հակառակ թվով։

5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2:

Կոտորակի ռացիոնալ թվերը բաժանելիս առավել հարմար է դրանք ներկայացնել որպես սովորական կոտորակներ։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք նաև բաժանել հաջորդ տասնորդականները:

Օրինակ 3. Ինչպես բաժանել բացասական թվերը

Բաժանել - 0.004 - 0.25-ի:

Նախ գրում ենք այս թվերի մոդուլները՝ 0, 004 և 0, 25:

Այժմ դուք կարող եք ընտրել երկու մեթոդներից մեկը.

1. Տասնորդական կոտորակներն առանձնացրե՛ք սյունակով:
2. Գնալ սովորական կոտորակներև կատարիր բաժանումը:

Եկեք նայենք երկու մեթոդներին:

1. Կատարելով տասնորդական կոտորակների բաժանումը սյունակի վրա, ստորակետը երկու նիշ տեղափոխեք աջ:

Պատասխան՝ - 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016

2. Այժմ լուծում ենք տալիս տասնորդական կոտորակները սովորականի վերածելով։

0, 004 = 4 1000; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016

Ստացված արդյունքները նույնն են.

Եզրափակելով՝ նշում ենք, որ եթե դիվիդենտը և բաժանարարը իռացիոնալ թվեր են և տրված են արմատներով, հզորություններով, լոգարիթմներով և այլն, ապա բաժանման արդյունքը գրվում է այսպես. թվային արտահայտություն, որի մոտավոր արժեքը հաշվարկվում է անհրաժեշտության դեպքում։

Օրինակ 4. Ինչպես բաժանել բացասական թվերը

Հաշվի՛ր - 0, 5 և - 5 թվերի քանորդը։

0, 5 ÷ - 5 = - 0, 5 ÷ - 5 = 0, 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հիմա եկեք զբաղվենք բազմապատկում և բաժանում.

Ենթադրենք, մեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել +3-ը -4-ով: Ինչպե՞ս դա անել:

Դիտարկենք նման դեպք. Երեք հոգի պարտքի տակ է ընկել, և յուրաքանչյուրը 4 դոլար պարտք ունի։ Որքա՞ն է ընդհանուր պարտքը: Այն գտնելու համար անհրաժեշտ է գումարել բոլոր երեք պարտքերը՝ $4 + $4 + $4 = $12: Մենք որոշել ենք, որ 4 թվերի գումարումը նշանակվում է 3 × 4: Քանի որ այս դեպքում խոսքը պարտքի մասին է, 4-ի դիմաց կա «-» նշան։ Մենք գիտենք, որ ընդհանուր պարտքը $12 է, ուստի այժմ մեր խնդիրը 3x(-4)=-12 է:

Նույն արդյունքը կստանանք, եթե, ըստ խնդրի պայմանի, չորս հոգուց յուրաքանչյուրը 3 դոլար պարտք ունենա։ Այսինքն՝ (+4)x(-3)=-12։ Եվ քանի որ գործակիցների հերթականությունը նշանակություն չունի, ստանում ենք (-4)x(+3)=-12 և (+4)x(-3)=-12։

Ամփոփենք արդյունքները. Մեկ դրական և մեկ բացասական թիվ բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի բացասական թիվ: Պատասխանի թվային արժեքը կլինի նույնը, ինչ դրական թվերի դեպքում։ Արտադրանք (+4)x(+3)=+12. «-» նշանի առկայությունը միայն ազդում է նշանի վրա, բայց չի ազդում թվային արժեքի վրա։

Ինչպե՞ս եք բազմապատկում երկու բացասական թվեր:

Ցավոք սրտի, այս թեմայով կյանքից համապատասխան օրինակ բերելը շատ դժվար է։ Հեշտ է պատկերացնել 3 կամ 4 դոլար պարտք, բայց բոլորովին անհնար է պատկերացնել, որ -4 կամ -3 մարդ պարտքի տակ է ընկնում:

Երևի այլ ճանապարհով գնանք։ Բազմապատկման ժամանակ գործոններից մեկի նշանը փոխելով փոխվում է արտադրյալի նշանը։ Եթե ​​փոխում ենք երկու գործոնների նշանները, ապա պետք է երկու անգամ փոխենք նշանները ապրանքի նշան, սկզբում դրականից դեպի բացասական, իսկ հետո՝ հակառակը՝ բացասականից դեպի դրական, այսինքն՝ ապրանքը կունենա իր սկզբնական նշանը։

Հետևաբար, միանգամայն տրամաբանական է, թեև մի փոքր տարօրինակ, որ (-3)x(-4)=+12։

Նշանի դիրքըերբ բազմապատկվում է, այն փոխվում է այսպես.

• դրական թիվ x դրական թիվ = դրական թիվ;
• բացասական թիվ x դրական թիվ = բացասական թիվ;
• դրական թիվ x բացասական թիվ = բացասական թիվ;
• բացասական թիվ x բացասական թիվ = դրական թիվ:

Այլ կերպ ասած, նույն նշանով երկու թվեր բազմապատկելով՝ ստանում ենք դրական թիվ. Բազմապատկելով երկու թվեր տարբեր նշաններով՝ ստանում ենք բացասական թիվ.

Նույն կանոնը վերաբերում է բազմապատկմանը հակառակ գործողությանը` համար:

Դուք կարող եք հեշտությամբ հաստատել դա՝ վազելով հակադարձ բազմապատկման գործողություններ. Եթե ​​վերը նշված օրինակներից յուրաքանչյուրում գործակիցը բազմապատկեք բաժանարարով, կստանաք շահաբաժին և համոզվեք, որ այն ունի նույն նշանը, օրինակ (-3)x(-4)=(+12):

Քանի որ մոտենում է ձմեռը, ժամանակն է մտածել, թե ինչի փոխեք ձեր երկաթե ձին, որպեսզի չսայթաքեք սառույցի վրա և վստահ զգաք: ձմեռային ճանապարհներ. Կարող եք, օրինակ, Yokohama անվադողեր վերցնել կայքում՝ mvo.ru կամ էլի մի քանիսը, գլխավորն այն է, որ դրանք որակյալ լինեն, ավելի շատ տեղեկություններ և գներ կարող եք գտնել Mvo.ru կայքում:

Նպատակները:

• սովորել բաժանել դրական և բացասական թվերը
• համախմբել դրական և բացասական թվերի գումարում, հանում և բազմապատկում
• զարգացնել գրագետ մաթեմատիկական խոսքը
• զարգացնել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ

Սարքավորումներ:ԱՀ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր:

Դասերի ժամանակ

Ուսուցիչ:Բարև, նստե՛ք: Այսօր մենք ձեզ հետ կուսումնասիրենք նոր նյութ, բայց սկզբից կկրկնենք նախկինում ուսումնասիրված նյութը։ Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի օրինակներ լուծել:

1. Բանավոր վարժություններ

Ա)
բ)
V)
G)
ե)
ե)
և)

2. Աշխատեք դասի թեմայով

(Սլայդներ 8-14)

1. Բացասական թվերի բաժանումն ունի նույն նշանակությունը, ինչ դրական թվերի բաժանումը, այսինքն. Հաշվի առնելով արտադրանքը և գործոններից մեկը, գտեք երկրորդ գործոնը:

Ո՞վ կարող է անվանել բաժանման բաղադրիչները:

Օրինակ՝ -10: (-5) = ?

Ի՞նչ է նշանակում -10: (-5): (Այսպիսով, գտե՛ք x այնպիսի թիվ, որ -5 x = -10)

Այժմ գտե՛ք թվի նշանը X.

Ի՞նչ եք կարծում, ինչպե՞ս կարելի է դա անել:

-5-ով բազմապատկելուց սկսած Xստացվում է բացասական թիվ -10, ուստի գործոնները պետք է տարբեր նշաններ ունենան։ Հետևաբար, Xդրական թիվ է։

Հիմա եկեք գտնենք թվի մոդուլը X.

Քանի որ արտադրանքի մոդուլը հավասար է գործոնների մոդուլի արտադրյալին, հետևաբար . Ուստի , որովհետեւ Xդրական թիվ է, ապա x = քննիչ X = 2

Գրված է այսպես.

կամ ավելի կարճ

(-10) : (-5) = 10: 5 = 2

Կանոն. Բացասական թիվը բացասականի վրա բաժանելու համար պետք է բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլի վրա:

2.2. Հիմա եկեք բացասական թիվը բաժանենք դրականի վրա։

Օրինակ՝ -24:4=?

Ի՞նչ է նշանակում -24:4: (Այսպիսով, գտնել այդպիսի թիվ X, որ 4 X = -24)

Հիմա եկեք գտնենք x-ի նշանը։

Ինչպե՞ս կարող եմ դա անել:

Քանի որ 4-ը x-ով բազմապատկելիս ստացվում է բացասական -24 թիվ, հետևաբար X- բացասական թիվ.

Հիմա եկեք գտնենք թվի մոդուլը X.

Ի՞նչ եք կարծում, ինչի՞ն այն հավասար կլինի:

հետևաբար

որովհետեւ Xբացասական թիվ է մոդուլ 6, ապա Xհավասար կլինի -6-ի

Մենք ստանում ենք՝ -24: 4 = -6

Նմանապես, ստացվում է 24-ը բաժանելիս՝ (-4) \u003d -6

Իսկ հիմա խոսենք տարբեր նշաններով թվերի բաժանման ալգորիթմի մասին։ Այսպիսով.

1. բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլով.
2. ստացված թվի դիմաց դրեք մինուս նշան:

3. Երբ զրոն բաժանվում է ցանկացած թվի, որը հավասար չէ զրոյի, ստացվում է զրո:

Եվ ամենակարևոր կանոնը՝ բաժանեք զրոյի:

3. Նոր նյութի համախմբում

(Սլայդներ 15-16).

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. Անկախ աշխատանք. Դուք ունեք 8-10 րոպե այս գործունեության համար:

(Սլայդներ 17-24)