≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Բացասական թվերով լուծելու կանոններ. Դրական և բացասական թվերի հանում

Գործնականում մաթեմատիկայի ողջ դասընթացը հիմնված է դրական և բացասական թվերով գործողությունների վրա։ Իրոք, հենց որ սկսում ենք ուսումնասիրել կոորդինատային գիծը, գումարած և մինուս նշաններով թվերը սկսում են հանդիպել մեզ ամենուր, ամենուր նոր թեմա. Սովորական դրական թվեր իրար գումարելուց հեշտ բան չկա, մեկը մյուսից հանելը դժվար չէ։ Նույնիսկ երկու բացասական թվերով թվաբանությունը հազվադեպ է խնդիր:

Այնուամենայնիվ, շատերը շփոթվում են թվեր գումարելու և հանելու հարցում տարբեր նշաններ. Հիշեք կանոնները, որոնցով կատարվում են այս գործողությունները:

Տարբեր նշաններով թվերի գումարում

Եթե ​​խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է որոշակի «ա» թվին ավելացնել «-b» բացասական թիվ, ապա պետք է գործել հետևյալ կերպ.

• Վերցնենք երկու թվերի մոդուլներ - |ա| եւ |բ| - և համեմատեք այս բացարձակ արժեքները միմյանց հետ:
• Նկատի ունեցեք, թե մոդուլներից որն է ավելի մեծ և որն է ավելի փոքր, իսկ ավելի փոքր արժեքը հանեք ավելի մեծ արժեքից:
• Ստացված թվից առաջ դնում ենք այն թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է։

Սա կլինի պատասխանը։ Կարելի է ավելի պարզ ձևակերպել. եթե a + (-b) արտահայտության մեջ «b» թվի մոդուլը մեծ է «a»-ի մոդուլից, ապա «b»-ից հանում ենք «a»-ն և դնում «մինուս». «արդյունքի դիմաց. Եթե ​​«a» մոդուլն ավելի մեծ է, ապա «b»-ն հանվում է «a»-ից, և լուծումը ստացվում է «գումարած» նշանով:

Պատահում է նաև, որ մոդուլները հավասար են։ Եթե ​​այո, ապա դուք կարող եք կանգ առնել այս կետում. մենք խոսում ենք հակադիր թվերի մասին, և դրանց գումարը միշտ կլինի զրո:

Տարբեր նշաններով թվերի հանում

Մենք պարզեցինք գումարումը, հիմա հաշվի առեք հանման կանոնը: Այն նաև բավականին պարզ է, և բացի այդ, այն ամբողջությամբ կրկնում է երկու հանելու նմանատիպ կանոն բացասական թվեր.

Որպեսզի որոշակի «ա» թվից հանենք՝ կամայական, այսինքն՝ ցանկացած նշանով «գ» բացասական թիվ, պետք է մեր կամայական «ա» թվին ավելացնել «գ»-ին հակառակ թիվը։ Օրինակ:

• Եթե ​​«ա»-ն դրական թիվ է, իսկ «գ»-ը բացասական է, և «գ»-ը պետք է հանվի «ա»-ից, ապա այն գրում ենք այսպես՝ a - (-c) \u003d a + c:
• Եթե ​​«ա»-ն բացասական թիվ է, և «գ»-ը դրական է, և «գ»-ը պետք է հանվի «ա»-ից, ապա մենք գրում ենք հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, տարբեր նշաններով թվերը հանելիս մենք ի վերջո վերադառնում ենք գումարման կանոններին, իսկ տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս վերադառնում ենք հանման կանոններին։ Այս կանոնները հիշելը թույլ է տալիս արագ և հեշտությամբ լուծել խնդիրները:

Դաս և ներկայացում «Բացասական թվերի գումարման և հանման օրինակներ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 6-րդ դասարանի համար
Էլեկտրոնային տետր մաթեմատիկայի 6-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ սիմուլյատոր Vilenkina N.Ya դասագրքի համար.

Տղերք, եկեք կրկնենք լուսաբանված նյութը:

Հավելում- սա մաթեմատիկական գործողություն է, որից հետո մենք կստանանք սկզբնական թվերի գումարը (առաջին անդամ և երկրորդ անդամ):

Թվի բացարձակ արժեքըկոորդինատային գծի հեռավորությունն է սկզբնակետից մինչև ցանկացած կետ:
Թվային մոդուլն ունի որոշակի հատկություններ.
1. Զրո թվի մոդուլը հավասար է զրոյի։
2. Դրական թվի մոդուլը, օրինակ հինգը հենց հինգն է։
3. Բացասական թվի մոդուլը, օրինակ՝ հանած յոթը դրական յոթը թիվն է։

Երկու բացասական թվերի գումարում

Երկու բացասական թվեր ավելացնելիս կարող եք օգտագործել մոդուլ հասկացությունը: Այնուհետև կարող եք հրաժարվել թվերի նշաններից և ավելացնել դրանց մոդուլները, իսկ գումարին նշանակել բացասական նշան, քանի որ սկզբում երկու թվերն էլ բացասական էին:

Օրինակ, պետք է ավելացնել թվերը՝ - 5 + (-23)=?
Մենք հրաժարվում ենք նշաններից և ավելացնում թվերի մոդուլները: Մենք ստանում ենք՝ 5 + 23 = 28:
Հիմա ստացված գումարին մինուս նշան նշանակենք։
Պատասխան՝ -28։

Լրացուցիչ օրինակներ:

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

Կոտորակային թվեր ավելացնելիս կարող եք օգտագործել նույն մեթոդը։

Օրինակ՝ -0.12 + (-3.4) = -3.52

Դրական և բացասական թվերի գումարում

Տարբեր նշաններով թվեր գումարելը մի փոքր տարբերվում է նույն նշանով թվերի գումարումից:

Դիտարկենք օրինակ. 14 + (-29) =?
Լուծում.
1. Մենք դեն ենք նետում նշանները, ստանում ենք 14 և 29 թվերը։
2. Մեծ թվից հանե՛ք փոքր թիվը՝ 29 - 14։
3. Տարբերությունից առաջ դրե՛ք թվի նշանը, որն ավելի մեծ մոդուլ ունի։ Մեր օրինակում սա -29 թիվն է։

14 + (-29) = -15

Պատասխան՝ -15։

Թվերի ավելացում՝ օգտագործելով թվային գիծը

Եթե ​​դժվարանում եք բացասական թվեր ավելացնելու համար, կարող եք օգտագործել թվային գծի մեթոդը: Այն պարզ է և հարմար փոքր թվերի համար։
Օրինակ՝ գումարենք երկու թիվ՝ -6 և +8։ Թվային տողի վրա նշենք -6 կետը։

Այնուհետև -6 թիվը ներկայացնող կետը ութ դիրք ենք տեղափոխում աջ, քանի որ երկրորդ անդամը հավասար է +8-ի և կհասնենք +2 թիվը նշանակող կետին։

Պատասխան՝ +2։

Օրինակ 2
Ավելացնենք երկու բացասական թիվ՝ -2 և (-4):
Թվային տողի վրա նշենք -2 կետը։

Այնուհետև այն չորս դիրքով տեղափոխում ենք ձախ, քանի որ երկրորդ անդամը հավասար է -4-ի և հասնում ենք -6 կետին:

Պատասխանը -6 է:

Այս մեթոդը հարմար է, բայց դժվար է, քանի որ անհրաժեշտ է թվային գիծ նկարել։

Դրական և բացասական թվեր
Կոորդինատների գիծ
Եկեք ուղիղ գնանք: Մենք դրա վրա նշում ենք 0 (զրո) կետը և որպես սկզբնակետ ընդունում այս կետը։

Եկեք սլաքով նշենք շարժման ուղղությունը ուղիղ գծով դեպի սկզբնաղբյուր աջ։ Այս ուղղությամբ 0 կետից կհետաձգենք դրական թվերը։

Այսինքն՝ մեզ արդեն հայտնի թվերը, բացի զրոյից, կոչվում են դրական։

Երբեմն դրական թվերը գրվում են «+» նշանով։ Օրինակ, «+8»:

Համառոտության համար դրական թվի դիմաց «+» նշանը սովորաբար բաց է թողնվում և «+8»-ի փոխարեն պարզապես գրում են 8։

Հետևաբար, «+3»-ը և «3»-ը նույն թիվն են, միայն նշանակված են տարբեր կերպ:

Ընտրենք մի հատված, որի երկարությունը կվերցնենք որպես միասնություն և մի քանի անգամ մի կողմ դնենք 0 կետից աջ։ Առաջին հատվածի վերջում գրվում է 1 թիվը, երկրորդի վերջում՝ թիվ 2 և այլն:

Մեկ հատված դնելով սկզբնակետից ձախ՝ ստանում ենք բացասական թվեր՝ -1; -2; և այլն:

Բացասական թվերօգտագործվում է տարբեր մեծություններ նշելու համար, ինչպիսիք են՝ ջերմաստիճանը (զրոյից ցածր), հոսքը, այսինքն՝ բացասական եկամուտը, խորությունը՝ բացասական բարձրությունը և այլն։

Ինչպես երևում է նկարից, բացասական թվերը մեզ արդեն հայտնի թվեր են, միայն մինուս նշանով՝ -8; -5,25 և այլն:

• 0 թիվը ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական։

Թվային առանցքը սովորաբար տեղադրվում է հորիզոնական կամ ուղղահայաց:

Եթե ​​կոորդինատային գիծը ուղղահայաց է, ապա սկզբնակետից վեր ուղղությունը սովորաբար համարվում է դրական, իսկ սկզբից ներքև՝ բացասական։

Սլաքը ցույց է տալիս դրական ուղղությունը:

Ուղիղ գիծը նշված է.
. հղման կետ (կետ 0);
. մեկ հատված;
. սլաքը ցույց է տալիս դրական ուղղությունը.
կանչեց կոորդինատային գիծ կամ թվային գիծ:

Կոորդինատային գծի հակառակ թվերը
Կոորդինատային գծի վրա նշենք երկու A և B կետեր, որոնք գտնվում են 0 կետից համապատասխանաբար աջ և ձախ նույն հեռավորության վրա։

Այս դեպքում OA և OB հատվածների երկարությունները նույնն են:

Սա նշանակում է, որ A և B կետերի կոորդինատները տարբերվում են միայն նշանով։


Ասվում է նաև, որ A և B կետերը սիմետրիկ են ծագման վերաբերյալ:
A կետի կոորդինատը դրական է «+2», B կետի կոորդինատն ունի մինուս «-2» նշան:
A (+2), B (-2):

• Այն թվերը, որոնք տարբերվում են միայն նշանով, կոչվում են հակադիր թվեր։ Թվային (կոորդինատային) առանցքի համապատասխան կետերը սիմետրիկ են ծագման նկատմամբ։

Յուրաքանչյուր թիվ ունի մեկ հակադիր թիվ. Միայն 0 թիվը հակադիր չունի, բայց կարող ենք ասել, որ այն հակադիր է ինքն իրեն։

«-ա» նշումը նշանակում է «ա»-ի հակառակը: Հիշեք, որ տառը կարող է թաքցնել և՛ դրական, և՛ բացասական թիվը:

Օրինակ:
-3-ը 3-ի հակառակն է:

Մենք դա գրում ենք որպես արտահայտություն.
-3 = -(+3)

Օրինակ:
-(-6) - -6 բացասական թվին հակառակ թիվը: Այսպիսով, -(-6) դրական թիվ 6 է:

Մենք դա գրում ենք որպես արտահայտություն.
-(-6) = 6

Բացասական թվերի գումարում
Դրական և բացասական թվերի գումարումը կարելի է վերլուծել թվային տողի միջոցով:

Փոքր մոդուլային թվերի գումարումը հարմար կերպով կատարվում է կոորդինատային գծի վրա՝ մտովի պատկերացնելով, որ թիվը նշանակող կետը շարժվում է թվային առանցքի երկայնքով:

Վերցնենք մի քանի թիվ, օրինակ՝ 3. այն թվային առանցքի վրա նշանակենք A կետով։

Թվերին գումարենք դրական թիվ 2, դա կնշանակի, որ A կետը պետք է երկու միավոր հատվածով տեղափոխվի դրական ուղղությամբ, այսինքն՝ աջ։ Արդյունքում կստանանք B կետ 5 կոորդինատով։
3 + (+ 2) = 5

Դրական թվին (-5) ավելացնելու համար, օրինակ, 3-ին, Ա կետը պետք է 5 միավոր երկարությամբ տեղափոխել բացասական ուղղությամբ, այսինքն՝ ձախ։

Այս դեպքում B կետի կոորդինատը -2 է։

Այսպիսով, թվային առանցքով ռացիոնալ թվերի գումարման կարգը կլինի հետևյալը.
. կոորդինատային գծի վրա նշեք A կետը առաջին անդամին հավասար կոորդինատով.
. տեղափոխեք այն երկրորդ անդամի մոդուլին հավասար հեռավորության վրա այն ուղղությամբ, որը համապատասխանում է երկրորդ թվի դիմաց գտնվող նշանին (գումարած - շարժվել դեպի աջ, մինուս - դեպի ձախ);
. առանցքի վրա ստացված B կետը կունենա կոորդինատ, որը հավասար կլինի այս թվերի գումարին։

Օրինակ.
- 2 + (- 6) =

2 կետից շարժվելով դեպի ձախ (քանի որ 6-ի դիմաց մինուս նշան է), ստանում ենք՝ 8։
- 2 + (- 6) = - 8

Նույն նշաններով թվերի գումարում
Ռացիոնալ թվեր ավելացնելն ավելի հեշտ է, եթե օգտագործեք մոդուլի հասկացությունը:

Ենթադրենք՝ պետք է գումարել թվեր, որոնք ունեն նույն նշանները։
Դա անելու համար մենք հրաժարվում ենք թվերի նշաններից և վերցնում այդ թվերի մոդուլները: Մենք ավելացնում ենք մոդուլները և գումարի դիմաց դնում նշանը, որն ընդհանուր էր այս թվերի համար։

Օրինակ.

Բացասական թվեր գումարելու օրինակ.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Նույն նշանի թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց մոդուլները և նշանը դնել այն գումարի դիմաց, որը եղել է տերմինների դիմաց։

Տարբեր նշաններով թվերի գումարում
Եթե ​​թվերն ունեն տարբեր նշաններ, ապա մենք մի փոքր այլ կերպ ենք գործում, քան նույն նշաններով թվեր գումարելիս։
. Թվերի դիմացի նշանները դեն ենք նետում, այսինքն՝ վերցնում ենք դրանց մոդուլները։
. Մեծից հանե՛ք փոքրը։
. Տարբերությունից առաջ դնում ենք այն նշանը, որն ուներ ավելի մեծ մոդուլ ունեցող թիվը։

Բացասական և դրական թվերի գումարման օրինակ.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Հավելման օրինակ խառը թվեր.

Տարբեր նշանների թվեր ավելացնելու համար.
. հանել փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից;
. առաջացած տարբերությունից առաջ դրեք այն թվի նշանը, որն ավելի մեծ մոդուլ ունի։

Բացասական թվերի հանում
Ինչպես գիտեք, հանումը գումարման հակառակն է։
Եթե ​​a-ն և b-ն դրական թվեր են, ապա b թիվը a թվից հանելը նշանակում է գտնել c թիվ, որը, երբ գումարվում է b թվին, ստանում է a թիվը:
a - b = c կամ c + b = a

Հանման սահմանումը ճիշտ է բոլոր ռացիոնալ թվերի համար: Այն է դրական և բացասական թվերի հանումկարող է փոխարինվել հավելումով:

• Մեկ թվից մյուսը հանելու համար անհրաժեշտ է հակառակ թիվը ավելացնել մինուենդին:

Կամ, այլ կերպ, կարող ենք ասել, որ b թվի հանումը նույն գումարումն է, բայց b թվին հակառակ թվով։
a - b = a + (- b)

Օրինակ.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Օրինակ.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Արժե հիշել ստորև ներկայացված արտահայտությունները.
• 0 - ա = - ա
• a - 0 = a
• a - a = 0

Բացասական թվերի հանման կանոններ
Ինչպես երևում է վերը նշված օրինակներից, b թվի հանումը b թվին հակառակ թվի հետ գումարումն է։
Այս կանոնը պահպանվում է ոչ միայն մեծ թվից փոքր թիվ հանելիս, այլև թույլ է տալիս փոքր թվից հանել ավելին, այսինքն՝ դուք միշտ կարող եք գտնել երկու թվերի տարբերությունը։

Տարբերությունը կարող է լինել դրական, բացասական թիվ կամ զրո:

Բացասական և դրական թվերի հանման օրինակներ.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Հարմար է հիշել նշանի կանոնը, որը թույլ է տալիս նվազեցնել փակագծերի քանակը։
Պլյուս նշանը չի փոխում թվի նշանը, հետևաբար, եթե փակագծի դիմաց գումարած կա, փակագծերի նշանը չի փոխվում:
+ (+ ա) = + ա

+ (- ա) = - ա

Փակագծերի դիմաց գտնվող մինուս նշանը հակադարձում է փակագծերի թվի նշանը:
- (+ ա) = - ա

- (- ա) = + ա

Հավասարություններից երևում է, որ եթե փակագծերից առաջ և ներսում կան նույնական նշաններ, ապա ստանում ենք «+», իսկ եթե նշանները տարբեր են, ապա՝ «-»:
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Նշանների կանոնը նույնպես պահպանվում է, եթե փակագծերում կա ոչ թե մեկ թիվ, այլ թվերի հանրահաշվական գումար։
ա - (- բ + գ) + (դ - կ + ն) = ա + բ - գ + դ - կ + ն

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ եթե փակագծերում կան մի քանի թվեր, և փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ապա այս փակագծերի բոլոր թվերի դիմացի նշանները պետք է փոխվեն:

Նշանների կանոնը հիշելու համար կարելի է թվի նշանները որոշելու աղյուսակ կազմել։
Թվերի նշանի կանոն

Կամ սովորեք մի պարզ կանոն.

• Երկու բացասական կողմը հաստատում է,
• Գումարած անգամ մինուսը հավասար է մինուսին:

Բացասական թվերի բազմապատկում
Օգտագործելով թվի մոդուլի հայեցակարգը՝ ձևակերպում ենք դրական և բացասական թվերի բազմապատկման կանոնները։

Նույն նշաններով թվերի բազմապատկում
Առաջին դեպքը, որին կարող եք հանդիպել, նույն նշաններով թվերի բազմապատկումն է։
Նույն նշանով երկու թվեր բազմապատկելու համար.
. բազմապատկել թվերի մոդուլները;
. ստացված արտադրյալից առաջ դրեք «+» նշանը (պատասխանը գրելիս ձախ կողմում գտնվող առաջին թվից առաջ գումարած նշանը կարելի է բաց թողնել):

Բացասական և դրական թվերի բազմապատկման օրինակներ.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Տարբեր նշաններով թվերի բազմապատկում
Երկրորդ հնարավոր դեպքտարբեր նշաններով թվերի բազմապատկումն է։
Տարբեր նշաններով երկու թվեր բազմապատկելու համար.
. բազմապատկել թվերի մոդուլները;
. ստացված աշխատանքի դիմաց դրեք «-» նշանը:
Բացասական և դրական թվերի բազմապատկման օրինակներ.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Բազմապատկման նշանների կանոններ
Բազմապատկման նշանների կանոնը հիշելը շատ պարզ է. Այս կանոնը նույնն է, ինչ փակագծերի ընդլայնման կանոնը։

• Երկու բացասական կողմը հաստատում է,
• Գումարած անգամ մինուսը հավասար է մինուսին:

«Երկար» օրինակներում, որոնցում կա միայն բազմապատկման գործողություն, արտադրանքի նշանը կարող է որոշվել բացասական գործոնների քանակով։

ժամը նույնիսկբացասական գործոնների թիվը, արդյունքը կլինի դրական, և հետ տարօրինակքանակը բացասական է։
Օրինակ.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

Օրինակում կան հինգ բացասական բազմապատկիչներ: Այսպիսով, արդյունքի նշանը կլինի մինուս:
Այժմ մենք հաշվարկում ենք մոդուլների արտադրյալը՝ անտեսելով նշանները։
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Բնօրինակ թվերը բազմապատկելու վերջնական արդյունքը կլինի.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Բազմապատկում զրոյով և մեկով
Եթե ​​գործոնների մեջ կա զրո կամ դրական թիվ, ապա բազմապատկումը կատարվում է հայտնի կանոններով։
. 0 . a = 0
. ա. 0 = 0
. ա. 1 = ա
Օրինակներ.
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Ռացիոնալ թվերի բազմապատկման մեջ առանձնահատուկ դեր է խաղում բացասական միավորը (- 1):

• Երբ բազմապատկվում է (- 1-ով), թիվը հակադարձվում է:

IN բառացի արտահայտությունայս հատկությունը կարելի է գրել.
ա. (- 1) = (- 1) . ա = - ա

Ռացիոնալ թվերը միասին գումարելիս, հանելիս և բազմապատկելիս պահպանվում է դրական թվերի և զրոյի համար սահմանված գործողությունների հերթականությունը։

Բացասական և դրական թվերի բազմապատկման օրինակ.

Բացասական թվերի բաժանում
Ինչպես բաժանել բացասական թվերը, հեշտ է հասկանալ, հիշելով, որ բաժանումը բազմապատկման հակադարձ է:

Եթե ​​a-ն և b-ը դրական թվեր են, ապա a թիվը բ թվի վրա բաժանելը նշանակում է գտնել c թիվ, որը, երբ բազմապատկվում է b-ով, ստանում է a թիվը:

Բաժանման այս սահմանումը վավեր է ցանկացած ռացիոնալ թվի համար, քանի դեռ բաժանարարները զրոյական չեն:

Հետևաբար, օրինակ, (- 15) թիվը 5-ի վրա բաժանել նշանակում է գտնել մի թիվ, որը 5 թվով բազմապատկելիս ստանում է (- 15) թիվը։ Այս թիվը կլինի (- 3), քանի որ
(- 3) . 5 = - 15

Միջոցներ

(- 15) : 5 = - 3

Ռացիոնալ թվերի բաժանման օրինակներ.
1. 10: 5 = 2 2-ից: 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 2-ից: (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 քանի (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, քանի որ (- 3) . (-4) = 12

Օրինակներից երևում է, որ նույն նշաններով երկու թվերի գործակիցը դրական թիվ է (օրինակ 1, 2), իսկ տարբեր նշաններ ունեցող երկու թվերի գործակիցը բացասական թիվ է (օրինակ 3,4)։

Բացասական թվերի բաժանման կանոններ
Քաղորդի մոդուլը գտնելու համար պետք է բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլի վրա:
Այսպիսով, նույն նշաններով երկու թվեր բաժանելու համար անհրաժեշտ է.

. արդյունքին նախորդել «+» նշանով:
Նույն նշաններով թվերի բաժանման օրինակներ.
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Տարբեր նշաններով երկու թվեր բաժանելու համար.
. բաժանել դիվիդենտի մոդուլը բաժանարարի մոդուլով.
. արդյունքին նախորդել «-» նշանով:
Տարբեր նշաններով թվերի բաժանման օրինակներ.
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Դուք կարող եք նաև օգտագործել հետևյալ աղյուսակը՝ գործակից նշանը որոշելու համար.
Նշանների կանոնը բաժանելիս

«Երկար» արտահայտությունները հաշվարկելիս, որոնցում հայտնվում են միայն բազմապատկում և բաժանում, շատ հարմար է օգտագործել նշանի կանոնը։ Օրինակ՝ կոտորակը հաշվարկելու համար

Կարելի է ուշադրություն դարձնել, որ համարիչում կա 2 «մինուս» նշան, որոնք բազմապատկելիս կտան «գումարած»։ Հայտարարում կան նաև երեք մինուս նշաններ, որոնք բազմապատկվելիս կտան մինուս։ Հետեւաբար, ի վերջո արդյունքը կլինի մինուս նշանով։

Կոտորակի կրճատումը (հետագա գործողություններ թվերի մոդուլներով) կատարվում է այնպես, ինչպես նախկինում.

• Զրոն ոչ զրոյական թվի վրա բաժանելու գործակիցը զրո է։
• 0: a = 0, a ≠ 0
• ՄԻ բաժանեք զրոյի!

Մեկի վրա բաժանելու նախկինում հայտնի բոլոր կանոնները կիրառվում են նաև ռացիոնալ թվերի բազմության վրա։
. ա: 1 = ա
. ա՝ (- 1) = - ա
. ա: a = 1
որտեղ a-ն ցանկացած ռացիոնալ թիվ է:

Բազմապատկման և բաժանման արդյունքների միջև կախվածությունը, որոնք հայտնի են դրական թվերով, պահպանվում են նաև բոլոր ռացիոնալ թվերի համար (բացառությամբ զրոյական թվի).
. Եթե ​​. b = c; a = c: b; b = c: a;
. եթե a: b = c; a = s. բ; b=a:c
Այս կախվածությունները օգտագործվում են անհայտ գործակիցը, դիվիդենտը և բաժանարարը գտնելու համար (հավասարումներ լուծելիս), ինչպես նաև բազմապատկման և բաժանման արդյունքները ստուգելու համար։

Անհայտը գտնելու օրինակ.
x . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Մինուս նշան կոտորակներով
(- 5) թիվը բաժանեք 6-ի, իսկ 5-ը (- 6-ի):

Հիշեցնում ենք, որ սովորական կոտորակի նշման տողը նույն բաժանման նշանն է, և այս գործողություններից յուրաքանչյուրի գործակիցը գրում ենք որպես բացասական կոտորակ:

Այսպիսով, կոտորակի մինուս նշանը կարող է լինել.
. կոտորակի առաջ
. համարիչի մեջ;
. հայտարարի մեջ։

• Ձայնագրելիս բացասական կոտորակներմինուս նշան կարող է դրվել կոտորակի դիմաց, որը փոխանցվում է համարիչից հայտարարին կամ հայտարարից համարիչին։

Սա հաճախ օգտագործվում է կոտորակների վրա գործողություններ կատարելիս՝ հեշտացնելով հաշվարկները:

Օրինակ. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ փակագծի դիմաց մինուս նշանը դնելուց հետո մենք ավելի փոքրը հանում ենք ավելի մեծ մոդուլից՝ ըստ տարբեր նշաններով թվեր գումարելու կանոնների։


Օգտագործելով նկարագրված նշանի փոխանցման հատկությունը կոտորակներում, դուք կարող եք գործել առանց պարզելու, թե այս կոտորակային թվերից որ մոդուլն է ավելի մեծ:

Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք, թե ինչպես բացասական թվերի հանումկամայական թվերից։ Այստեղ մենք կտանք բացասական թվերը հանելու կանոն և կդիտարկենք այս կանոնի կիրառման օրինակներ։

Էջի նավարկություն.

Բացասական թվերը հանելու կանոն

Տեղի է ունենում հետևյալը բացասական թվերը հանելու կանոն a թվից b բացասական թիվ հանելու համար պետք է փոքրացված a-ին ավելացնել −b թիվը, հանված b-ին հակառակ:

Բառացիորեն կամայական a թվից b բացասական թիվը հանելու կանոնը հետևյալն է. a−b=a+(−b) .

Եկեք ապացուցենք այս կանոնի վավերականությունը թվերը հանելու համար:

Նախ հիշենք a և b թվերը հանելու իմաստը։ Գտնել a և b թվերի տարբերությունը նշանակում է գտնել c թիվ, որի գումարը b թվի հետ հավասար է a-ի (տե՛ս հանման և գումարման կապը): Այսինքն, եթե c թիվ գտնվի այնպես, որ c+b=a , ապա a−b տարբերությունը հավասար է c-ի:

Այսպիսով, հայտարարված հանման կանոնն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ b թիվը a+(−b) գումարին ավելացնելով կստացվի a թիվը։ Սա ցույց տալու համար նայենք Իրական թվերով գործողությունների հատկությունները. Գումարման ասոցիատիվ հատկության ուժով (a+(−b))+b=a+((−b)+b) հավասարությունը ճշմարիտ է։ Քանի որ գումարը հակադիր թվերհավասար է զրոյի, ապա a+((−b)+b)=a+0, իսկ a+0-ի գումարը հավասար է a-ի, քանի որ զրոյի գումարումը չի փոխում թիվը։ Այսպիսով, ապացուցվել է a−b=a+(−b) հավասարությունը, ինչը նշանակում է, որ ապացուցված է բացասական թվերը հանելու վերը նշված կանոնի վավերականությունը։

Մենք ապացուցել ենք այս կանոնը a և b իրական թվերի համար: Այնուամենայնիվ, այս կանոնը ճշմարիտ է նաև ցանկացած ռացիոնալ a և b թվերի, ինչպես նաև a և b ամբողջ թվերի համար, քանի որ ռացիոնալ և ամբողջ թվերով գործողությունները նույնպես ունեն այն հատկությունները, որոնք մենք օգտագործել ենք ապացույցում: Նկատենք, որ վերլուծված կանոնի օգնությամբ հնարավոր է բացասական թիվ հանել ինչպես դրական թվից, այնպես էլ բացասական թվից, ինչպես նաև զրոյից։

Մնում է դիտարկել, թե ինչպես է կատարվում բացասական թվերի հանումը վերլուծված կանոնի միջոցով։

Բացասական թվերի հանման օրինակներ

Հաշվի առեք Բացասական թվերի հանման օրինակներ. Սկսենք լուծումից պարզ օրինակհասկանալ գործընթացի բոլոր բարդությունները՝ չանհանգստանալով հաշվարկներով:

Օրինակ.

Բացասական -13-ից հանել բացասական -7:

Լուծում.

Հանեցված −7-ին հակառակ թիվը 7 թիվն է։ Այնուհետև բացասական թվերը հանելու կանոնով ունենում ենք (−13)−(−7)=(−13)+7 ։ Մնում է կատարել տարբեր նշաններով թվերի գումարում, ստանում ենք (−13)+7=−(13−7)=−6 ։

Ահա ամբողջ լուծումը. (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .

Պատասխան.

(−13)−(−7)=−6 .

Կոտորակային բացասական թվերի հանումը կարելի է անել՝ անցնելով համապատասխան սովորական կոտորակներին, խառը թվերին կամ տասնորդականներին: Այստեղ արժե սկսել այն թվերից, որոնց հետ ավելի հարմար է աշխատել։

Օրինակ.

3.4 թվից հանել բացասական թիվ։

Լուծում.

Կիրառելով բացասական թվերը հանելու կանոնը՝ ունենք . Այժմ տասնորդական 3.4-ը փոխարինեք խառը թվով. (տես տասնորդական կոտորակների թարգմանությունը սովորական կոտորակների), մենք ստանում ենք . Մնում է կատարել խառը թվերի գումարում՝ .

Սա լրացնում է բացասական թվի հանումը 3.4 թվից: Եկեք հակիրճ արձանագրենք լուծումը.

Պատասխան.

.

Օրինակ.

−0,(326) բացասական թիվը զրոյից հանել։

Լուծում.

Բացասական թվերը հանելու կանոնով ունենք 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Վերջին անցումը վավեր է թիվ զրոյին ավելացնելու հատկության պատճառով:

Բացասական թվի բացարձակ արժեքը (կամ բացարձակ արժեքը) դրական թիվ է, որը ստացվում է նրա նշանը (-) հակառակ (+) փոխելով։ -5-ի բացարձակ արժեքը +5 է, այսինքն՝ 5։ Դրական թվի բացարձակ արժեքը (ինչպես նաև 0 թիվը) կոչվում է հենց այս թիվը։

Բացարձակ արժեքի նշանը երկու ուղիղ գծեր են, որոնք պարփակում են այն թիվը, որի բացարձակ արժեքը վերցված է։ Օրինակ,

|-5| = 5,
|+5| = 5,
| 0 | = 0.

Թվերի ավելացում նույն նշանը.ա) ավելացնելիս Նույն նշանով երկու թվեր գումարվում են իրենց բացարձակ արժեքների հետ և գումարին նախորդում է նրանց ընդհանուր նշանը:

Օրինակներ.
(+8) + (+11) = 19;
(-7) + (-3) = -10.

բ) Տարբեր նշաններով երկու թվեր գումարելիս դրանցից մեկի բացարձակ արժեքը հանվում է մյուսի բացարձակ արժեքից (փոքրը մեծից), և դրվում է այն թվի նշանը, որի բացարձակ արժեքը մեծ է։

Օրինակներ.
(-3) + (+12) = 9;
(-3) + (+1) = -2.

Տարբեր նշաններով թվերի հանում.Հանում մի թիվը մյուսից կարող է փոխարինվել գումարմամբ. այս դեպքում մինուենդը վերցվում է իր նշանով, իսկ ենթակետը՝ հակադարձով։

Օրինակներ.
(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;
(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;

Մեկնաբանություն. Գումարում և հանում կատարելիս, հատկապես երբ գործ ունենք բազմաթիվ թվերի հետ, ամենալավ բանը, որ կարելի է անել.
1) փակագծերից ազատել բոլոր թվերը՝ թվի դիմաց դնելով «+» նշան, եթե փակագծի դիմաց նախորդ նշանը նույնն էր, ինչ փակագծում, և «-», եթե այն հակառակ նշանն էր։ փակագծում;
2) գումարեք բոլոր այն թվերի բացարձակ արժեքները, որոնք այժմ ունեն + նշան ձախ կողմում.
3) գումարեք բոլոր այն թվերի բացարձակ արժեքները, որոնք այժմ ունեն ձախ կողմում - նշան.
4) մեծ քանակից հանել փոքր գումարը և դնել ավելի մեծ գումարին համապատասխան նշան.

Օրինակ.
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2;
17 + 2 = 19;
30 + 6 + 12 = 48;
48 - 19 = 29.

Արդյունքը բացասական -29 թիվ է, քանի որ մեծ գումար (48) ստացվել է՝ գումարելով այն թվերի բացարձակ արժեքները, որոնց նախորդում էին մինուսները -30 + 17 - 6 -12 + 2 արտահայտության մեջ: վերջին արտահայտությունը կարող է դիտվել նաև որպես -30, +17, -6, -12, +2 թվերի գումար, իսկ -30 թվին հաջորդաբար ավելացնելու 17 թիվը, ապա հանելով 6 թիվը, ապա հանելով: 12, և վերջապես ավելացնելով 2: Ընդհանուր առմամբ, a - b + c - d արտահայտությունը և այլն կարելի է դիտել և որպես (+a), (-b), (+c), (-d) թվերի գումար: , և նման հաջորդական գործողությունների արդյունքում՝ (+a) թվից հանում ( +b) , գումարում (+c), հանում (+d) և այլն։

Թվերի բազմապատկում տարբեր նշաններով Բազմապատկելիս երկու թվերը բազմապատկվում են իրենց բացարձակ արժեքներով, և արտադրյալին նախորդում է գումարած նշան, եթե գործոնների նշանները նույնն են, և մինուս նշան, եթե դրանք տարբեր են:

Սխեման (բազմապատկման նշանի կանոն).

+*+=+ +*-=- -*+=- -*-=+
Օրինակներ.
(+ 2,4) * (-5) = -12;
(-2,4) * (-5) = 12;
(-8,2) * (+2) = -16,4.

Մի քանի գործակից բազմապատկելիս արդյունքի նշանը դրական է, եթե բացասական գործոնների թիվը զույգ է, և բացասական, եթե բացասական գործոնների թիվը կենտ է։

Օրինակներ.
(+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = 7 (երեք բացասական գործոն);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (երկու բացասական գործոն):

Թվերի բաժանում տարբեր նշաններով Բաժանելիս բաժանել մի թիվը մյուսի վրա բացարձակ արժեքառաջինին երկրորդի և մասնավորի բացարձակ արժեքով նախորդում է գումարած նշանը, եթե դիվիդենտի և բաժանարարի նշանները նույնն են, և մինուս, եթե դրանք տարբեր են (սխեման նույնն է, ինչ բազմապատկման դեպքում):

Օրինակներ.
(-6) : (+3) = -2;
(+8) : (-2) = -4;
(-12) : (-12) = + 1