≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Կոտորակները կանոնի բացասական աստիճանում: Տարբերակում, կանոններ, օրինակներ

Բացասական ուժի բարձրացումը մաթեմատիկայի հիմնական տարրերից է, որը հաճախ հանդիպում է հանրահաշվական խնդիրներ լուծելիս։ Ստորև ներկայացված է մանրամասն հրահանգ:

Ինչպես բարձրացնել դեպի բացասական ուժ՝ տեսություն

Երբ թիվը տանում ենք սովորական հզորության, դրա արժեքը մի քանի անգամ ենք բազմապատկում։ Օրինակ՝ 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Բացասական կոտորակի դեպքում ճիշտ հակառակն է։ Ընդհանուր ձևն ըստ բանաձևի կլինի հետևյալը՝ a -n = 1/a n . Այսպիսով, թիվը բացասական աստիճանի հասցնելու համար անհրաժեշտ է մեկը բաժանել տրված թվի վրա, բայց արդեն դրականի։

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության - օրինակներ սովորական թվերի վրա

Հաշվի առնելով վերը նշված կանոնը՝ լուծենք մի քանի օրինակ։

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Պատասխան՝ 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Պատասխանը -4 -2 = 1/16 է:

Բայց ինչու՞ է առաջին և երկրորդ օրինակների պատասխանը նույնը։ Բանն այն է, որ կառուցելիս բացասական թիվհավասարաչափ (2, 4, 6 և այլն) նշանը դառնում է դրական: Եթե ​​աստիճանը հավասար էր, ապա մինուսը պահպանվում է.

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության՝ 0-ից 1 թվեր

Հիշեցնենք, որ երբ 0-ի և 1-ի միջև եղած թիվը բարձրացվում է մինչև դրական ուժ, արժեքը նվազում է, քանի որ հզորությունը մեծանում է: Այսպիսով, օրինակ, 0.5 2 = 0.25: 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Օրինակ 3. Հաշվել 0,5 -2
Լուծում` 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4:
Պատասխան՝ 0,5 -2 = 4

Վերլուծություն (գործողությունների հաջորդականություն).

• Տասնորդական 0,5-ը փոխարկեք կոտորակային 1/2-ի: Ավելի հեշտ է։
  Բարձրացրեք 1/2-ը բացասական հզորության: 1/(2) -2. 1-ը բաժանեք 1/(2) 2-ի, կստանանք 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Օրինակ 4. Հաշվել 0,5 -3
Լուծում` 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Օրինակ 5. Հաշվել -0,5 -3
Լուծում` -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Պատասխան՝ -0,5 -3 = -8

4-րդ և 5-րդ օրինակների հիման վրա մենք մի քանի եզրակացություն կանենք.

• 0-ի և 1-ի միջև ընկած դրական թվի համար (օրինակ 4), որը հասցված է բացասական աստիճանի, անկախ նրանից՝ ուժը զույգ է, թե կենտ, արտահայտության արժեքը կլինի դրական: Այս դեպքում որքան մեծ է աստիճանը, այնքան մեծ է արժեքը։
• 0-ի և 1-ի միջև ընկած բացասական թվի համար (Օրինակ 5), որը բարձրացված է մինչև բացասական հզորության, անկախ նրանից, թե ուժը զույգ է, թե կենտ, արտահայտության արժեքը կլինի բացասական: Այս դեպքում որքան բարձր է աստիճանը, այնքան ցածր է արժեքը:

Ինչպես բարձրացնել բացասական հզորության՝ հզորությունը որպես կոտորակային թիվ

Այս տեսակի արտահայտություններն ունեն հետևյալ ձևը՝ a -m/n, որտեղ a-ն սովորական թիվ է, m-ը աստիճանի համարիչն է, n-ը՝ աստիճանի հայտարարը։

Դիտարկենք մի օրինակ.
Հաշվիր՝ 8 -1/3

Լուծում (գործողությունների հաջորդականություն).

• Հիշեք թիվը բացասական աստիճանի հասցնելու կանոնը։ Մենք ստանում ենք՝ 8 -1/3 = 1/(8) 1/3:
• Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը կոտորակայինի նկատմամբ 8 է: Կոտորակի աստիճանի հաշվարկման ընդհանուր ձևը հետևյալն է՝ a m/n = n √8 m .
• Այսպիսով, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1): Ստանում ենք ութի խորանարդի արմատը, որը 2 է։ Սրանից ելնելով 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2։
• Պատասխան՝ 8 -1/3 = 2

Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ կան ոչ միայն դրական թվեր, այլեւ բացասական։ Եթե ​​դրական աստիճանների հետ ծանոթությունը սկսվում է քառակուսու մակերեսը որոշելով, ապա բացասական աստիճանների հետ ամեն ինչ մի փոքր ավելի բարդ է։

Սա պետք է հայտնի լինի.

1. Թիվը բնական ուժի հասցնելը թվի բազմապատկումն է (հոդվածում թվի և թվի հասկացությունը կհամարվի համարժեք) ինքնին այնպիսի չափով, ինչպիսին է ցուցիչը (հետագայում մենք կօգտագործենք ցուցիչ բառը. զուգահեռ և պարզ): 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216։ IN ընդհանուր տեսարանայն ունի հետևյալ տեսքը՝ m^n = m*m*m*…*m (n անգամ):
2. Պետք է նկատի ունենալ, որ երբ բացասական թիվը հասցվում է բնական հզորության, այն կդառնա դրական, եթե ցուցանիշը զույգ է:
3. Թիվը 0-ի ցուցիչին բարձրացնելով ստացվում է միավոր, պայմանով, որ այն հավասար չէ զրոյի: Զրո զրոյի աստիճանին համարվում է չսահմանված: 17^0 = 1.
4. Թվից որոշակի աստիճանի արմատ հանելը կոչվում է այնպիսի թվի գտնել, որը համապատասխան ցուցիչի բարձրացման դեպքում կտա ցանկալի արժեքը: Այսպիսով, 125-ի խորանարդի արմատը 5 է, քանի որ 5^3 = 125:
5. Եթե ​​ցանկանում եք թիվը հասցնել դրական կոտորակային աստիճանի, ապա պետք է թիվը հասցնել հայտարարի և դրանից հանել համարիչի արմատը: 6^5/7 = 6*6*6*6*6-ի 7-րդ արմատը։
6. Եթե ​​ցանկանում եք թիվը հասցնել բացասական ցուցիչի, ապա պետք է գտնել այս մեկի փոխադարձությունը: x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096։

Թիվը զրոյից մեկին հասցնելով բացասական հզորության մոդուլի

Նախ, մենք պետք է հիշենք ինչ է մոդուլը. Սա կոորդինատային գծի հեռավորությունն է մեր ընտրած արժեքից մինչև սկզբնակետը (կոորդինատային գծի զրո): Ըստ սահմանման՝ այն երբեք չի կարող բացասական լինել։

Զրոյից մեծ արժեք

Զրո-ից մեկ միջակայքում գտնվող թվի արժեքի դեպքում բացասական ցուցանիշն ինքնին տալիս է թվի աճ: Դա տեղի է ունենում, քանի որ հայտարարը նվազում է, մինչդեռ մնում է դրական:

Դիտարկենք օրինակներ.

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Ավելին, որքան մեծ է ցուցիչի մոդուլը, այնքան ավելի ակտիվ է աճում գործիչը: Քանի որ հայտարարը հակված է զրոյի, կոտորակն ինքնին ձգտում է գումարած անսահմանության:

Արժեք զրոյից պակաս

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես կարելի է բարձրացնել բացասական հզորության, եթե թիվը զրոյից փոքր է: Սկզբունքը նույնն է, ինչ նախորդ մասում, բայց այստեղ կարևոր է ցուցիչի նշանը։

Եկեք նորից նայենք օրինակներին.

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Այս դեպքում մենք տեսնում ենք, որ մոդուլը շարունակում է աճել, բայց նշանը կախված է նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է, թե կենտ։

Պետք է նշել, որ եթե մենք միավոր կառուցենք, այն միշտ ինքն իրեն կմնա։ Եթե ​​պետք է մինուս մեկ թիվ բարձրացնել, ապա զույգ ցուցիչով այն կվերածվի մեկի, կենտի դեպքում կմնա մինուս մեկ։

Բացասական ամբողջ թվի հզորության բարձրացում, եթե մոդուլը մեկից մեծ է

Այն թվանշանների համար, որոնց մոդուլը մեկից մեծ է,ունեն իրենց գործողության առանձնահատկությունները. Նախ պետք է կոտորակի ամբողջ մասը վերածել համարիչի, այսինքն՝ վերածել ոչ պատշաճ կոտորակ. Եթե ​​ունենք տասնորդական կոտորակ, ապա այն պետք է վերածվի կանոնավորի։ Դա արվում է հետևյալ կերպ.

• 6 ամբողջ թիվ 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Այժմ մտածեք, թե ինչպես կարելի է այս պայմաններում թիվը հասցնել բացասական ուժի: Արդեն վերը նշվածից կարելի է ենթադրել, թե ինչ պետք է ակնկալենք հաշվարկների արդյունքից։ Քանի որ կրկնակի կոտորակը շրջվում է պարզեցումների ժամանակ, թվանշանի մոդուլը կնվազի այնքան արագ, այնքան մեծ կլինի ցուցիչի մոդուլը:

Նախ, հաշվի առեք իրավիճակը, որտեղ տրված թիվը դրական է.

Նախ պարզ է դառնում, որ վերջնական արդյունքը զրոյից մեծ է լինելու, քանի որ երկու դրականը բաժանելով միշտ դրական է ստացվում։ Կրկին, եկեք նայենք օրինակներին, թե ինչպես է դա արվում.

• 6 ամբողջ թիվ 1/20 մինչև մինուս հինգերորդ հզորությունը = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Ինչպես տեսնում եք, գործողությունները առանձնակի դժվարություններ չեն առաջացնում, և մեր բոլոր նախնական ենթադրությունները ճշմարիտ են պարզվել։

Այժմ մենք դիմում ենք բացասական թվանշանի դեպքին.

Սկզբից կարելի է ենթադրել, որ եթե ցուցանիշը զույգ է, ապա արդյունքը կլինի դրական, եթե ցուցանիշը կենտ է, ապա արդյունքը կլինի բացասական։ Այս մասի մեր բոլոր նախկին հաշվարկները հիմա վավեր կհամարվեն։ Եկեք նորից նայենք օրինակներին.

• -3 ամբողջ թիվ 1/2 մինչև մինուս վեցերորդ հզորությունը = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Այսպիսով, մեր բոլոր պատճառաբանությունները ճիշտ ստացվեցին։

Բարձրացում բացասական կոտորակային ցուցանիշի դեպքում

Այստեղ դուք պետք է հիշեք, որ նման էրեկցիա գոյություն ունի հանելով հայտարարի աստիճանի արմատը համարիչի աստիճանի թվից. Մեր նախորդ բոլոր պատճառաբանությունները այս անգամ էլ են մնում: Եկեք բացատրենք մեր գործողությունները օրինակով.

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/ռադ(4^3) = 1/ռադ64 = 1/8:

Այս դեպքում պետք է նկատի ունենալ, որ արմատները հանելը բարձր մակարդակդա հնարավոր է միայն հատուկ ընտրված ձևով և, ամենայն հավանականությամբ, ճշգրիտ հաշվարկներով չեք կարողանա ազատվել ռադիկալի նշանից (քառակուսի արմատ, խորանարդ արմատ և այլն):

Այնուամենայնիվ, մանրամասն ուսումնասիրելով նախորդ գլուխները, պետք չէ դժվարություններ ակնկալել դպրոցական հաշվարկներում։

Հարկ է նշել, որ այս գլխի նկարագրությունը ներառում է նաև էրեկցիա դիտավորյալ իռացիոնալ ցուցիչով, օրինակ, եթե ցուցանիշը մինուս PI է: Դուք պետք է գործեք վերը նկարագրված սկզբունքների համաձայն: Սակայն նման դեպքերում հաշվարկներն այնքան բարդ են դառնում, որ դա կարող են անել միայն հզոր էլեկտրոնային համակարգիչները։

Եզրակացություն

Մեր ուսումնասիրած գործողությունը ամենաշատերից մեկն է ամենադժվար առաջադրանքներըմաթեմատիկայի մեջ(հատկապես կոտորակային ռացիոնալ կամ իռացիոնալ արժեքի դեպքում): Սակայն մանրամասն ու քայլ առ քայլ ուսումնասիրելուց հետո այս ձեռնարկը, դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես դա անել լրիվ ավտոմատ ռեժիմով, առանց որևէ խնդիրների:

Ակնհայտ է, որ հզորությամբ թվերը կարող են ավելացվել, ինչպես մյուս մեծությունները , դրանք մեկ առ մեկ ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը a 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույն փոփոխականների նույն ուժերըկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը 5a 2 է:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճաններ տարբեր փոփոխականներԵվ տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է ավելացվեն՝ ավելացնելով դրանք իրենց նշաններին։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը ոչ թե a-ի քառակուսին է, այլ կրկնակի մեծ է a-ի խորանարդից:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումլիազորություններն իրականացվում են այնպես, ինչպես հավելումը, բացառությամբ այն բանի, որ ենթակառուցվածքի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ա - ը) 6 - 2 (ա - ը) 6 = 3 (ա - ժ) 6

Հզորության բազմապատկում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բազմապատկել մյուս մեծությունների նման՝ գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշանով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույն փոփոխականները։
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3-ի, անդամների հզորությունների գումարը:

Այսպիսով, a n .a m = a m+n .

a n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը;

Իսկ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան m աստիճանը հավասար է.

Ահա թե ինչու, Նույն հիմքերով հզորությունները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով աստիճանները:

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8: Իսկ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6:

Կամ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են. բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa:

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Եթե ​​a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա արդյունքը կլինի a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է գումարինկամ դրանց քառակուսիների տարբերությունը։

Եթե ​​երկու թվերի գումարն ու տարբերությունը բարձրացվեն քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճան.

Այսպիսով, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Աստիճանների բաժանում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բաժանել մյուս թվերի նման՝ բաժանարարից հանելով կամ կոտորակի տեսքով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված է b 2-ի, a 3 է:

Կամ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ը 3-ի վրա բաժանված գրելը կարծես $\frac(a^5)(a^3)$ է: Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանելի թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով հզորությունները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները:.

Այսպիսով, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն՝ $\frac(yyyy)(yy) = y$։

Եվ a n+1:a = a n+1-1 = a n: Այսինքն՝ $\frac(aa^n)(a) = a^n$։

Կամ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Կանոնը գործում է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանի արժեքներ.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 կամ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Հարկավոր է շատ լավ տիրապետել ուժերի բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Կրճատել չափիչները $\frac(5a^4)(3a^2)$-ում Պատասխան՝ $\frac(5a^2)(3)$:

2. Կրճատեք ցուցիչները $\frac(6x^6)(3x^5)$-ում: Պատասխան՝ $\frac(2x)(1)$ կամ 2x:

3. Կրճատել a 2 / a 3 և a -3 / a -4 ցուցանիշները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
a 2 .a -4-ը -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 /a -1 և 1/a -1:

4. Կրճատել 2a 4 /5a 3 և 2 /a 4 չափորոշիչները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
Պատասխան՝ 2a 3 / 5a 7 և 5a 5 / 5a 7 կամ 2a 3 / 5a 2 և 5/5a 2:

5. Բազմապատկել (a 3 + b)/b 4-ը (a - b)/3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1)/x 2-ով (b 2 - 1)/(x + a):

7. Բ 4 /a -2-ը բազմապատկեք h -3 /x-ով և a n /y -3-ով:

8. 4 /y 3-ը բաժանեք 3/y 2-ի: Պատասխան՝ ա/տ.

9. Բաժանեք (h 3 - 1)/d 4-ը (d n + 1)/h-ի վրա:

Մենք պարզեցինք, թե որն է ընդհանուր թվի աստիճանը: Այժմ մենք պետք է հասկանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել այն, այսինքն. բարձրացնել թվերը իշխանության. Այս նյութում մենք կվերլուծենք աստիճանի հաշվարկման հիմնական կանոնները ամբողջ թվի, բնական, կոտորակային, ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցանիշի դեպքում: Բոլոր սահմանումները կներկայացվեն օրինակներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հզորացման հայեցակարգը

Սկսենք հիմնական սահմանումների ձևակերպումից։

Սահմանում 1

Էքսպոենտացիաինչ-որ թվի հզորության արժեքի հաշվարկն է։

Այսինքն՝ «աստիճանի արժեքի հաշվարկ» և «աստիճանավորում» բառերը նույն բանն են նշանակում։ Այսպիսով, եթե առաջադրանքն է «Բարձրացրեք 0, 5 թիվը հինգերորդ աստիճանի», ապա դա պետք է հասկանալ որպես «հաշվարկել հզորության արժեքը (0, 5) 5:

Այժմ մենք տալիս ենք հիմնական կանոնները, որոնք պետք է պահպանվեն նման հաշվարկներում:

Հիշեք, թե ինչ է բնական ցուցիչով թվի ուժը: a հիմքով և n աստիճանով հզորության համար սա կլինի n-րդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Սա կարելի է գրել այսպես.

Աստիճանի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կատարել բազմապատկման գործողությունը, այսինքն՝ աստիճանի հիմքերը բազմապատկել նշված քանակով։ Բնական ցուցանիշով աստիճանի գաղափարը հիմնված է արագ բազմապատկվելու ունակության վրա: Բերենք օրինակներ.

Օրինակ 1

Վիճակը. Բարձրացնել - 2-ը 4-ի հզորության:

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) ։ Հաջորդը, մենք պարզապես պետք է հետևենք այս քայլերին և ստանանք 16:

Բերենք ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Հաշվեք 3 2 7 2 արժեքը

Լուծում

Այս գրառումը կարող է վերաշարադրվել որպես 3 2 7 · 3 2 7: Ավելի վաղ մենք նայեցինք, թե ինչպես կարելի է ճիշտ բազմապատկել պայմանում նշված խառը թվերը։

Կատարեք այս քայլերը և ստացեք պատասխանը՝ 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Եթե ​​առաջադրանքը ցույց է տալիս իռացիոնալ թվերը բնական հզորության հասցնելու անհրաժեշտությունը, ապա մենք պետք է նախ կլորացնենք դրանց հիմքերը մինչև այն թվանշանը, որը թույլ կտա մեզ ստանալ ցանկալի ճշգրտության պատասխանը: Օրինակ բերենք.

Օրինակ 3

Կատարի՛ր π թվի քառակուսիացում։

Լուծում

Եկեք նախ կլորացնենք այն մինչև հարյուրերորդական: Այնուհետև π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596: Եթե ​​π ≈ 3 . 14159, ապա մենք կստանանք ավելի ճշգրիտ արդյունք՝ π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281:

Նշենք, որ իռացիոնալ թվերի հզորությունները հաշվարկելու անհրաժեշտությունը գործնականում համեմատաբար հազվադեպ է առաջանում: Այնուհետև մենք կարող ենք պատասխանը գրել որպես ինքնին հզորություն (ln 6) 3 կամ հնարավորության դեպքում փոխարկել՝ 5 7 = 125 5:

Առանձին պետք է նշել, թե որն է թվի առաջին ուժը։ Այստեղ դուք կարող եք պարզապես հիշել, որ ցանկացած թիվ, որը բարձրացված է առաջին ուժին, ինքն իրեն կմնա.

Սա պարզ է արձանագրությունից։ .

Դա կախված չէ աստիճանից:

Օրինակ 4

Այսպիսով, (− 9) 1 = − 9 , և 7 3-ը բարձրացված է մինչև առաջին հզորությունը, մնում է հավասար 7 3-ի:

Հարմարության համար մենք առանձին-առանձին կվերլուծենք երեք դեպք՝ եթե ցուցանիշը դրական ամբողջ թիվ է, եթե այն զրո է, և եթե այն բացասական ամբողջ թիվ է։

Առաջին դեպքում դա նույնն է, ինչ բնական ուժի բարձրացումը. չէ՞ որ դրական ամբողջ թվերը պատկանում են բնական թվերի բազմությանը։ Ինչպես աշխատել նման աստիճանների հետ, մենք արդեն նկարագրել ենք վերևում։

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես ճիշտ բարձրացնել զրոյական հզորությունը: Ոչ զրոյական բազայի դեպքում այս հաշվարկը միշտ տալիս է 1 ելք: Մենք նախկինում բացատրել ենք, որ a-ի 0-րդ աստիճանը կարող է սահմանվել ցանկացածի համար իրական թիվ, ոչ հավասար 0-ի, և a 0 = 1:

Օրինակ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - սահմանված չէ:

Մեզ մնում է միայն բացասական ամբողջ ցուցիչ ունեցող աստիճանի դեպքը: Մենք արդեն քննարկել ենք, որ նման աստիճանները կարելի է գրել որպես 1 a z կոտորակ, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ z-ը՝ բացասական ամբողջ թիվ։ Մենք տեսնում ենք, որ այս կոտորակի հայտարարը ոչ այլ ինչ է, քան սովորական աստիճան՝ դրական ամբողջ թվով, և մենք արդեն սովորել ենք, թե ինչպես կարելի է այն հաշվարկել։ Եկեք առաջադրանքների օրինակներ բերենք.

Օրինակ 6

Բարձրացրեք 3-ը -2 հզորության:

Լուծում

Օգտագործելով վերը նշված սահմանումը, մենք գրում ենք. 2 - 3 = 1 2 3

Մենք հաշվարկում ենք այս կոտորակի հայտարարը և ստանում ենք 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8:

Այնուհետև պատասխանն է՝ 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Օրինակ 7

Բարձրացրեք 1, 43-ը -2 հզորության:

Լուծում

Վերաձեւակերպել՝ 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Քառակուսին հաշվում ենք հայտարարի մեջ՝ 1,43 1,43: Տասնորդական թվերը կարելի է բազմապատկել հետևյալ կերպ.

Արդյունքում ստացանք (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449: Մնում է, որ այս արդյունքը գրենք սովորական կոտորակի տեսքով, որի համար անհրաժեշտ է այն բազմապատկել 10 հազարով (տե՛ս կոտորակների փոխարկման նյութը)։

Պատասխան՝ (1, 43) - 2 = 10000 20449

Առանձին դեպքը թիվը բարձրացնում է մինուս առաջին ուժի: Նման աստիճանի արժեքը հավասար է փոխադարձի բնօրինակ արժեքըհիմքերը՝ a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Օրինակ 8

Օրինակ՝ 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ինչպես թիվը հասցնել կոտորակային աստիճանի

Այս գործողությունը կատարելու համար մենք պետք է հիշենք հիմնական սահմանումըաստիճաններ կոտորակային ցուցիչով. a m n = a m n ցանկացած դրական a-ի, m ամբողջ թվի և բնական n-ի համար:

Սահմանում 2

Այսպիսով, կոտորակային աստիճանի հաշվարկը պետք է կատարվի երկու քայլով՝ հասցնելով ամբողջ թվի և գտնել n-րդ աստիճանի արմատը։

Մենք ունենք a m n = a m n հավասարություն, որը, հաշվի առնելով արմատների հատկությունները, սովորաբար օգտագործվում է a m n = a n m ձևով խնդիրները լուծելու համար: Սա նշանակում է, որ եթե a թիվը բարձրացնենք մինչև m/n կոտորակային հզորություն, ապա սկզբում a-ից հանում ենք n-րդ աստիճանի արմատը, այնուհետև արդյունքը հասցնում ենք ամբողջ թվով m չափիչ ունեցող հզորության:

Եկեք պատկերացնենք օրինակով.

Օրինակ 9

Հաշվեք 8 - 2 3:

Լուծում

Մեթոդ 1. Ըստ հիմնական սահմանման՝ մենք կարող ենք սա ներկայացնել հետևյալ կերպ՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Հիմա եկեք հաշվարկենք արմատի տակ գտնվող աստիճանը և արդյունքից հանենք երրորդ արմատը՝ 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Մեթոդ 2. Վերափոխենք հիմնական հավասարությունը՝ 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Դրանից հետո մենք հանում ենք 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 արմատը և քառակուսի ենք բերում արդյունքը՝ 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Մենք տեսնում ենք, որ լուծումները նույնական են։ Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ձև, որը ցանկանում եք:

Լինում են դեպքեր, երբ աստիճանն ունի խառը թվով արտահայտված ցուցիչ կամ տասնորդական. Հաշվարկի հեշտության համար ավելի լավ է փոխարինել այն սովորական կոտորակև հաշվել ինչպես վերևում:

Օրինակ 10

Բարձրացրեք 44,89-ը մինչև 2,5-ի հզորությունը:

Լուծում

Փոխարկեք ցուցիչի արժեքը ընդհանուր կոտորակ - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Եվ հիմա մենք կատարում ենք վերը նշված բոլոր գործողությունները հերթականությամբ. 13 501, 25107

Պատասխան՝ 13501, 25107։

Եթե ​​կոտորակային ցուցիչի համարիչն ու հայտարարն են մեծ թվեր, ապա նման ցուցանիշները ռացիոնալ ցուցիչներով հաշվելը բավականին բարդ աշխատանք է։ Սովորաբար դա պահանջում է համակարգչային տեխնոլոգիա:

Առանձին-առանձին մենք կանգ ենք առնում զրոյական հիմքով և կոտորակային ցուցիչով աստիճանի վրա: 0 m n ձևի արտահայտությունը կարող է տրվել հետևյալ իմաստով. եթե m n > 0, ապա 0 m n = 0 m n = 0; եթե m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ինչպես թիվը հասցնել իռացիոնալ ուժի

Այն աստիճանի արժեքը հաշվարկելու անհրաժեշտություն, որի ցուցիչում կա իռացիոնալ թիվ, այնքան էլ հաճախ չի առաջանում։ Գործնականում առաջադրանքը սովորաբար սահմանափակվում է մոտավոր արժեքի հաշվարկով (մինչև տասնորդական թվերի որոշակի քանակ): Սա սովորաբար հաշվարկվում է համակարգչում նման հաշվարկների բարդության պատճառով, ուստի մենք մանրամասն չենք անդրադառնա դրա վրա, մենք միայն կնշենք հիմնական դրույթները:

Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է a աստիճանի արժեքը հաշվարկել a իռացիոնալ ցուցիչով, ապա վերցնում ենք աստիճանի տասնորդական մոտավորությունը և հաշվում ենք դրանից: Արդյունքը կլինի մոտավոր պատասխան։ Որքան ճշգրիտ է վերցված տասնորդական մոտարկումը, այնքան ավելի ճշգրիտ է պատասխանը: Օրինակով ցույց տանք.

Օրինակ 11

Հաշվեք 21-ի մոտավոր արժեքը 174367 ....

Լուծում

Մենք սահմանափակվում ենք տասնորդական մոտավորությամբ a n = 1, 17: Հաշվարկները կատարենք՝ օգտագործելով այս թիվը՝ 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 ։ Եթե ​​վերցնենք, օրինակ, մոտարկումը a n = 1 , 1743 , ապա պատասխանը մի փոքր ավելի ճշգրիտ կլինի՝ 2 1 , 174367։ . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Նախորդ հոդվածներից մեկում արդեն նշել էինք թվի աստիճանը։ Այսօր մենք կփորձենք կողմնորոշվել դրա իմաստը գտնելու գործընթացում։ Գիտականորեն մենք կպարզենք, թե ինչպես ճիշտ արտահայտել: Մենք կհասկանանք, թե ինչպես է իրականացվում այս գործընթացը՝ միաժամանակ շոշափելով բոլոր հնարավոր ցուցիչները՝ բնական, իռացիոնալ, ռացիոնալ, ամբողջական։

Այսպիսով, եկեք ավելի սերտ նայենք օրինակների լուծումներին և պարզենք, թե ինչ է դա նշանակում.

1. Հայեցակարգի սահմանում.
2. Բացասական արվեստի բարձրացում.
3. Ամբողջ հաշիվը.
4. Թիվը իռացիոնալ ուժի հասցնելը:

Ահա մի սահմանում, որը ճշգրտորեն արտացոլում է իմաստը.

Համապատասխանաբար, ա թվի կառուցումը Արվեստ. r և a աստիճանի արժեքը r ցուցանիշով գտնելու գործընթացը նույնական հասկացություններ են։ Օրինակ, եթե խնդիրն է հաշվարկել աստիճանի արժեքը (0.6) 6″, ապա այն կարելի է պարզեցնել «0.6 թիվը բարձրացրեք 6-ի» արտահայտությամբ:

Դրանից հետո դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել շինարարության կանոններին:

Բացասական ուժի բարձրացում

Պարզության համար պետք է ուշադրություն դարձնել հետևյալ արտահայտությունների շղթային.

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 մինուս 1 ստ.,

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 մինուս 2 քայլով,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 մինուս 3 փ.,

110000=0.00001=1*10-ից մինուս 4 աստիճան:

Այս օրինակների շնորհիվ դուք կարող եք հստակ տեսնել ցանկացածում 10 ակնթարթորեն հաշվարկելու ունակությունը մինուս աստիճան. Այդ նպատակով բավական է պարզապես տեղափոխել տասնորդական բաղադրիչը.

• 10-ից -1 աստիճան - միավորից առաջ 1 զրոյական;
• -3-ում - երեք զրո մեկից առաջ;
• -9-ը 9 զրո է և այլն:

Հեշտ է նաև հասկանալ այս սխեմայի համաձայն, թե որքան կլինի 10 հանած 5 ճաշի գդալ: -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Ինչպես թիվը հասցնել բնական ուժի

Հիշեցնելով սահմանումը, մենք հաշվի ենք առնում, որ բնական թիվա արվեստում. n-ը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a. Եկեք պատկերացնենք. (a * a * ... a) n, որտեղ n-ը բազմապատկված թվերի թիվն է: Համապատասխանաբար, a-ն n-ին բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արտադրյալը հետևյալ տեսակը a*a*…a բաժանված է n անգամ:

Այստեղից ակնհայտ է դառնում, որ էրեկցիան բնական արվեստում. հիմնված է բազմապատկման ունակության վրա(այս նյութը ներկայացված է իրական թվերի բազմապատկման բաժնում): Եկեք նայենք խնդրին.

Բարձրացրեք -2-ը 4-րդ ճ.գդ.

Մենք գործ ունենք բնական ցուցանիշի հետ։ Ըստ այդմ, որոշման ընթացքը կլինի հետևյալը՝ (-2) Արվեստ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2): Այժմ մնում է միայն իրականացնել ամբողջ թվերի բազմապատկումը՝ (-2) * (-2) * (-2) * (-2): Մենք ստանում ենք 16:

Առաջադրանքի պատասխանը.

(-2) արվեստում. 4=16.

Օրինակ:

Հաշվիր արժեքը՝ երեք կետ երկու յոթերորդ քառակուսի:

Այս օրինակը հավասար է հետևյալ արտադրյալին. երեք կետ երկու յոթերորդ անգամ երեք կետ երկու յոթերորդ: Հիշելով, թե ինչպես է աշխատում բազմապատկումը խառը թվեր, ավարտում ենք շինարարությունը.

• 3 ամբողջ 2 յոթերորդ՝ բազմապատկված իրենցով;
• հավասար է 23 յոթերորդ անգամ 23 յոթերորդ;
• հավասար է 529 քառասունիններորդ;
• կրճատում ենք և ստանում 10 երեսունինը քառասունիններորդ:

Պատասխան. 10 39/49

Ինչ վերաբերում է իռացիոնալ ցուցանիշի բարձրացման հարցին, ապա հարկ է նշել, որ հաշվարկները սկսում են իրականացվել աստիճանի հիմքի նախնական կլորացումից հետո ինչ-որ աստիճանի, ինչը թույլ կտա ստանալ տվյալ ճշգրտությամբ արժեք։ . Օրինակ, մենք պետք է քառակուսի դարձնենք P թիվը (pi):

Մենք սկսում ենք P-ն հարյուրերորդական կլորացնելով և ստանում.

P քառակուսի \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596: Այնուամենայնիվ, եթե P-ն իջեցնենք մինչև տասը հազարերորդական, մենք կստանանք P = 3,14159: Այնուհետև քառակուսումը ստանում է բոլորովին այլ թիվ՝ 9.8695877281:

Այստեղ պետք է նշել, որ շատ խնդիրներում կարիք չկա իռացիոնալ թվերը հասցնել իշխանության։ Որպես կանոն, պատասխանը մուտքագրվում է կամ, ըստ էության, աստիճանի տեսքով, օրինակ՝ 6-ի արմատը՝ 3-ի, կամ, եթե արտահայտությունը թույլ է տալիս, կատարվում է դրա փոխակերպում՝ 5-ի արմատը։ մինչև 7 աստիճան \u003d 5-ի 125 արմատ:

Ինչպես թիվը հասցնել ամբողջ թվի

Այս հանրահաշվական մանիպուլյացիան տեղին է հաշվի առնել հետևյալ դեպքերը.

• ամբողջ թվերի համար;
• զրոյական ցուցանիշի համար;
• դրական ամբողջ թվի համար:

Քանի որ գրեթե բոլոր դրական ամբողջ թվերը համընկնում են բնական թվերի զանգվածի հետ, դրա վրա դրական ամբողջ հզորության սահմանելը նույն գործընթացն է, ինչ Արվեստում: բնական. Այս գործընթացըմենք նկարագրել ենք նախորդ պարբերությունում:

Հիմա խոսենք Արվեստի հաշվարկի մասին: դատարկ. Վերևում մենք արդեն պարզեցինք, որ a թվի զրոյական հզորությունը կարելի է որոշել ցանկացած ոչ զրոյական a (իրական) համար, մինչդեռ a-ն st. 0-ը հավասար կլինի 1-ի:

Համապատասխանաբար, ցանկացած իրական թվի կառուցումը զրոյական արվեստ. կտա մեկը.

Օրինակ, 10-ը st.0=1-ում, (-3.65)0=1, իսկ 0-ը st. 0-ը չի կարող որոշվել:

Որպեսզի ավարտվի աստիճանավորումը դեպի ամբողջ թիվ, մնում է որոշել բացասական ամբողջ արժեքների տարբերակները: Մենք հիշում ենք, որ Արվեստ. a-ից -z-ն ամբողջ թվով ցուցիչով կսահմանվի որպես կոտորակ: Կոտորակի հայտարարում Արտ. ամբողջությամբ դրական արժեք, որի արժեքը մենք արդեն սովորել ենք գտնել։ Այժմ մնում է միայն դիտարկել շինարարության օրինակ:

Օրինակ:

Հաշվի՛ր բացասական ամբողջ թվով խորանարդված 2 թվի արժեքը։

Լուծման գործընթաց.

Բացասական ցուցիչով աստիճանի սահմանման համաձայն, մենք նշում ենք. երկուսը մինուս 3 ճաշի գդալ: հավասար է մեկից երկու երրորդին:

Հայտարարը հաշվարկվում է պարզապես՝ երկու խորանարդ;

3 = 2*2*2=8.

Պատասխան. երկուսից մինուս 3-րդ ճ.գ. = մեկ ութերորդ: