≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Որքա՞ն է գումարի լոգարիթմը: Գործողության կանոնի լոգարիթմը լոգարիթմներով

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել լոգարիթմները: Այս հոդվածում մենք կխոսենք լոգարիթմների հաշվարկ, այս գործընթացը կոչվում է լոգարիթմ. Նախ, մենք կզբաղվենք լոգարիթմների հաշվարկով ըստ սահմանման: Հաջորդը, հաշվի առեք, թե ինչպես են հայտնաբերվում լոգարիթմների արժեքները՝ օգտագործելով դրանց հատկությունները: Դրանից հետո մենք կանդրադառնանք լոգարիթմների հաշվարկին այլ լոգարիթմների սկզբնական տրված արժեքների միջոցով: Ի վերջո, եկեք սովորենք, թե ինչպես օգտագործել լոգարիթմների աղյուսակները: Ամբողջ տեսությունը ներկայացված է օրինակներով՝ մանրամասն լուծումներով։

Էջի նավարկություն.

Հաշվարկել լոգարիթմները ըստ սահմանման

Ամենապարզ դեպքերում հնարավոր է արագ և հեշտությամբ կատարել Գտնել լոգարիթմը ըստ սահմանման. Եկեք ավելի սերտ նայենք, թե ինչպես է տեղի ունենում այս գործընթացը:

Դրա էությունը b թիվը a c ձևով ներկայացնելն է, որտեղից, ըստ լոգարիթմի սահմանման, c թիվը լոգարիթմի արժեքն է: Այսինքն, ըստ սահմանման, լոգարիթմը գտնելը համապատասխանում է հավասարումների հետևյալ շղթային՝ log a b=log a a c =c :

Այսպիսով, լոգարիթմի հաշվարկը, ըստ սահմանման, հանգում է նրան, որ գտնենք այնպիսի c թիվ, որ a c \u003d b, իսկ c թիվը ինքնին լոգարիթմի ցանկալի արժեքն է:

Հաշվի առնելով նախորդ պարբերությունների տեղեկատվությունը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ թիվը տրվում է լոգարիթմի հիմքի որոշ աստիճանով, ապա կարող եք անմիջապես նշել, թե ինչին է հավասար լոգարիթմը. այն հավասար է ցուցիչին: Եկեք օրինակներ ցույց տանք.

Օրինակ.

Գտե՛ք log 2 2 −3 log , ինչպես նաև հաշվարկե՛ք e 5.3-ի բնական լոգարիթմը:

Լուծում.

Լոգարիթմի սահմանումը թույլ է տալիս մեզ անմիջապես ասել, որ log 2 2 −3 = −3: Իրոք, լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը հավասար է 2-րդ հիմքին −3 հզորությանը:

Նմանապես մենք գտնում ենք երկրորդ լոգարիթմը՝ lne 5.3 =5.3:

Պատասխան.

log 2 2 −3 = −3 և lne 5.3 =5.3:

Եթե ​​լոգարիթմի նշանի տակ b թիվը տրված չէ որպես լոգարիթմի հիմքի հզորություն, ապա դուք պետք է ուշադիր մտածեք, թե արդյոք հնարավո՞ր է արդյոք b թվի ներկայացումը a c ձևով: Հաճախ այս ներկայացումը բավականին ակնհայտ է, հատկապես, երբ լոգարիթմի նշանի տակ թիվը հավասար է 1-ի, կամ 2-ի, կամ 3-ի, ...

Օրինակ.

Հաշվեք լոգարիթմների log 5 25, և.

Լուծում.

Հեշտ է տեսնել, որ 25=5 2, սա թույլ է տալիս հաշվարկել առաջին լոգարիթմը՝ log 5 25=log 5 5 2 =2:

Մենք անցնում ենք երկրորդ լոգարիթմի հաշվարկին: Թիվը կարող է ներկայացվել որպես 7-ի ուժ. (տես անհրաժեշտության դեպքում): Հետևաբար, .

Եկեք վերագրենք երրորդ լոգարիթմը հետևյալ ձևը. Այժմ դուք կարող եք տեսնել դա , որտեղից եզրակացնում ենք, որ . Հետևաբար, լոգարիթմի սահմանմամբ .

Հակիրճ, լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Պատասխան.

մատյան 5 25=2, Եվ .

Երբ լոգարիթմի նշանի տակ բավականաչափ մեծ արժեք կա բնական թիվ, ապա դա չի խանգարում այն ​​տարրալուծել հիմնական գործոնների: Այն հաճախ օգնում է ներկայացնել այնպիսի թիվը, ինչպիսին է լոգարիթմի հիմքի որոշ հզորություն, և, հետևաբար, հաշվարկել այս լոգարիթմը ըստ սահմանման:

Օրինակ.

Գտեք լոգարիթմի արժեքը:

Լուծում.

Լոգարիթմների որոշ հատկություններ թույլ են տալիս անմիջապես նշել լոգարիթմների արժեքը: Այս հատկությունները ներառում են մեկի լոգարիթմի հատկությունը և հիմքին հավասար թվի լոգարիթմի հատկությունը. log 1 1=log a a 0 =0 և log a a=log a 1 =1: Այսինքն, երբ 1 թիվը կամ a թիվը լոգարիթմի նշանի տակ է, հավասար է լոգարիթմի հիմքին, ապա այս դեպքերում լոգարիթմները համապատասխանաբար 0 և 1 են։

Օրինակ.

Որո՞նք են լոգարիթմները և lg10-ը:

Լուծում.

Քանի որ , դա բխում է լոգարիթմի սահմանումից .

Երկրորդ օրինակում լոգարիթմի նշանի տակ 10 թիվը նույնն է, ինչ նրա հիմքը, ուստի տասնորդական լոգարիթմը տասը մեկին հավասար, այսինքն՝ lg10=lg10 1 =1 .

Պատասխան.

ԵՎ lg10=1.

Նկատի ունեցեք, որ լոգարիթմների հաշվարկն ըստ սահմանման (որը մենք քննարկեցինք նախորդ պարբերությունում) ենթադրում է հավասարության log a a p =p , որը լոգարիթմների հատկություններից մեկն է:

Գործնականում, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը և լոգարիթմի հիմքը հեշտությամբ ներկայացված են որպես որևէ թվի ուժ, շատ հարմար է օգտագործել բանաձևը. , որը համապատասխանում է լոգարիթմների հատկություններից մեկին։ Դիտարկենք լոգարիթմը գտնելու օրինակ, որը ցույց է տալիս այս բանաձևի օգտագործումը:

Օրինակ.

Հաշվիր լոգարիթմը.

Լուծում.

Պատասխան.

.

Հաշվարկի ժամանակ օգտագործվում են նաև լոգարիթմների չնշված հատկությունները, սակայն այս մասին կխոսենք հաջորդ պարբերություններում։

Գտնել լոգարիթմներ այլ հայտնի լոգարիթմների առումով

Այս պարբերության տեղեկատվությունը շարունակում է լոգարիթմների հատկությունները դրանց հաշվարկում օգտագործելու թեման: Բայց այստեղ հիմնական տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմների հատկությունները օգտագործվում են սկզբնական լոգարիթմը մեկ այլ լոգարիթմի տեսքով արտահայտելու համար, որի արժեքը հայտնի է։ Պարզաբանման համար բերենք օրինակ. Ենթադրենք, մենք գիտենք, որ log 2 3≈1.584963 , ապա մենք կարող ենք գտնել, օրինակ, log 2 6՝ կատարելով մի փոքր փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները. log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Վերոնշյալ օրինակում մեզ համար բավական էր օգտագործել արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը։ Այնուամենայնիվ, շատ ավելի հաճախ դուք պետք է օգտագործեք լոգարիթմների հատկությունների ավելի լայն զինանոց, որպեսզի հաշվարկեք սկզբնական լոգարիթմը տրվածներով:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 27-ի լոգարիթմը 60-րդ հիմքի վրա, եթե հայտնի է, որ log 60 2=a և log 60 5=b:

Լուծում.

Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք տեղեկամատյան 60 27: Հեշտ է տեսնել, որ 27=3 3, իսկ սկզբնական լոգարիթմը, աստիճանի լոգարիթմի հատկության շնորհիվ, կարող է վերագրվել որպես 3·log 60 3։

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարող է log 60 3-ը արտահայտվել հայտնի լոգարիթմներով: Հիմքին հավասար թվի լոգարիթմի հատկությունը թույլ է տալիս գրել հավասարության գրանցամատյան 60 60=1: Մյուս կողմից՝ log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Այսպիսով, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Հետևաբար, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Ի վերջո, մենք հաշվարկում ենք սկզբնական լոգարիթմը՝ log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 բ.

Պատասխան.

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 բ.

Առանձին-առանձին, հարկ է նշել ձևի լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևի իմաստը. . Այն թույլ է տալիս ցանկացած հիմքով լոգարիթմներից տեղափոխվել կոնկրետ հիմքով լոգարիթմներ, որոնց արժեքները հայտնի են կամ հնարավոր է գտնել դրանք: Սովորաբար, սկզբնական լոգարիթմից, ըստ անցումային բանաձևի, նրանք անցնում են լոգարիթմների 2, e կամ 10 հիմքերից մեկում, քանի որ այս հիմքերի համար կան լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք թույլ են տալիս դրանք հաշվարկել որոշակի ճշգրտությամբ: Հաջորդ բաժնում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է դա արվում:

Լոգարիթմների աղյուսակներ, դրանց կիրառություն

Լոգարիթմների արժեքների մոտավոր հաշվարկման համար կարելի է օգտագործել լոգարիթմի աղյուսակներ. Առավել հաճախ օգտագործվում են բազային 2 լոգարիթմային աղյուսակը, բնական լոգարիթմի աղյուսակը և տասնորդական լոգարիթմի աղյուսակը։ Տասնորդական թվային համակարգում աշխատելիս հարմար է օգտագործել լոգարիթմների աղյուսակը տասը հիմքի վրա: Նրա օգնությամբ մենք կսովորենք գտնել լոգարիթմների արժեքները:

Ներկայացված աղյուսակը թույլ է տալիս տասը հազարերորդական ճշգրտությամբ գտնել 1000-ից 9999 թվերի տասնորդական լոգարիթմների արժեքները (երեք տասնորդական թվերով): Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակի միջոցով լոգարիթմի արժեքը գտնելու սկզբունքը կվերլուծվի. կոնկրետ օրինակ- այնքան ավելի պարզ: Եկեք գտնենք lg1,256:

Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակի ձախ սյունակում գտնում ենք 1,256 թվի առաջին երկու թվանշանները, այսինքն՝ գտնում ենք 1,2-ը (պարզության համար այս թիվը շրջագծված է կապույտով): 1.256 թվի երրորդ նիշը (թիվ 5) գտնվում է կրկնակի տողի ձախ կողմում գտնվող առաջին կամ վերջին տողում (այս թիվը շրջված է կարմիրով): Բնօրինակ 1.256 թվի չորրորդ նիշը (թիվ 6) գտնվում է կրկնակի տողի աջ կողմում գտնվող առաջին կամ վերջին տողում (այս թիվը շրջված է կանաչով): Այժմ մենք գտնում ենք թվերը լոգարիթմների աղյուսակի բջիջներում նշված տողի և նշված սյունակների հատման կետում (այս թվերը ընդգծված են նարնջագույն) Նշված թվերի գումարը տալիս է տասնորդական լոգարիթմի ցանկալի արժեքը մինչև չորրորդ տասնորդական տեղը, այսինքն. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Հնարավո՞ր է, օգտագործելով վերը նշված աղյուսակը, գտնել այն թվերի տասնորդական լոգարիթմների արժեքները, որոնք տասնորդական կետից հետո ունեն ավելի քան երեք նիշ, ինչպես նաև դուրս են գալիս 1-ից մինչև 9.999 սահմանները: Այո, դու կարող ես. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:

Եկեք հաշվարկենք lg102.76332: Նախ պետք է գրել համարը ստանդարտ ձևով 102.76332=1.0276332 10 2: Դրանից հետո մանտիսան պետք է կլորացվի մինչև երրորդ տասնորդական տեղը, մենք ունենք 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, մինչդեռ սկզբնական տասնորդական լոգարիթմը մոտավորապես հավասար է ստացված թվի լոգարիթմին, այսինքն՝ վերցնում ենք lg102.76332≈lg1.028·10 2: Այժմ կիրառեք լոգարիթմի հատկությունները. lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Վերջապես lg1.028 լոգարիթմի արժեքը գտնում ենք ըստ տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակի՝ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012։ Արդյունքում, լոգարիթմի հաշվարկման ողջ գործընթացը այսպիսի տեսք ունի. lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Եզրափակելով, հարկ է նշել, որ օգտագործելով տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը, կարող եք հաշվարկել ցանկացած լոգարիթմի մոտավոր արժեքը: Դա անելու համար բավական է օգտագործել անցումային բանաձևը՝ գնալ տասնորդական լոգարիթմների, գտնել դրանց արժեքները աղյուսակում և կատարել մնացած հաշվարկները:

Օրինակ, եկեք հաշվարկենք log 2 3: Ըստ լոգարիթմի նոր հիմքի անցնելու բանաձևի՝ ունենք . Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակից մենք գտնում ենք lg3≈0.4771 և lg2≈0.3010: Այսպիսով, .

Մատենագիտություն.

• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).

(հունարեն λόγος՝ «բառ», «հարաբերություն» և ἀριθμός՝ «թիվ») թվերից բպատճառաբանությամբ ա(log α բ) կոչվում է այդպիսի թիվ գ, Եվ բ= ա գ, այսինքն՝ log α բ=գԵվ b=aգհամարժեք են։ Լոգարիթմը իմաստ ունի, եթե a > 0, a ≠ 1, b > 0:

Այլ կերպ ասած լոգարիթմթվեր բպատճառաբանությամբ Աձևակերպված է որպես ցուցիչ, որին պետք է բարձրացնել թիվը ահամարը ստանալու համար բ(լոգարիթմը գոյություն ունի միայն դրական թվերի համար):

Այս ձևակերպումից հետևում է, որ x= log α հաշվարկը բ, համարժեք է a x =b հավասարման լուծմանը։

Օրինակ:

log 2 8 = 3, քանի որ 8=2 3:

Մենք նշում ենք, որ լոգարիթմի նշված ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս անմիջապես որոշել լոգարիթմի արժեքըերբ լոգարիթմի նշանի տակ թիվը հիմքի որոշակի հզորություն է. Իսկապես, լոգարիթմի ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս հիմնավորել, որ եթե b=a գ, ապա թվի լոգարիթմը բպատճառաբանությամբ ահավասար է Հետ. Հասկանալի է նաև, որ լոգարիթմի թեման սերտորեն կապված է թեմայի հետ թվի աստիճանը.

Նշվում է լոգարիթմի հաշվարկը լոգարիթմ. Լոգարիթմը լոգարիթմ վերցնելու մաթեմատիկական գործողությունն է: Լոգարիթմ վերցնելիս գործոնների արտադրյալները վերածվում են տերմինների գումարների։

Հզորացումլոգարիթմի հակադարձ մաթեմատիկական գործողությունն է: Հզորացնելիս տվյալ հիմքը բարձրացվում է այն արտահայտության ուժի, որի վրա կատարվում է հզորացումը։ Այս դեպքում տերմինների գումարները վերածվում են գործոնների արտադրյալի։

Շատ հաճախ օգտագործվում են իրական լոգարիթմներ 2 (երկուական), e Euler համարով e ≈ 2.718 (բնական լոգարիթմ) և 10 (տասնորդական) հիմքերով։

Այս փուլում արժե մտածել լոգարիթմների նմուշներմատյան 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Իսկ lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 գրառումներն իմաստ չունեն, քանի որ դրանցից առաջինում լոգարիթմի նշանի տակ դրված է բացասական թիվ, երկրորդում՝ բացասական թիվհիմքում, իսկ երրորդում՝ և բացասական թիվ լոգարիթմի նշանի տակ և հիմքում միավոր։

Լոգարիթմի որոշման պայմանները.

Արժե առանձին դիտարկել a > 0, a ≠ 1, b > 0 պայմանները։ լոգարիթմի սահմանում.Եկեք քննարկենք, թե ինչու են այդ սահմանափակումները վերցվում։ Սա մեզ կօգնի x = log α ձևի հավասարության հարցում բ, որը կոչվում է հիմնական լոգարիթմական ինքնություն, որն ուղղակիորեն բխում է վերը տրված լոգարիթմի սահմանումից։

Վերցրեք պայմանը a≠1. Քանի որ մեկը հավասար է մեկին ցանկացած հզորության, ապա հավասարությունը x=log α բկարող է գոյություն ունենալ միայն այն ժամանակ, երբ b=1, բայց log 1 1-ը կլինի ցանկացած իրական թիվ: Այս երկիմաստությունը վերացնելու համար մենք վերցնում ենք a≠1.

Փաստենք պայմանի անհրաժեշտությունը a>0. ժամը a=0ըստ լոգարիթմի ձևակերպման, կարող է գոյություն ունենալ միայն այն ժամանակ, երբ b=0. Եվ հետո համապատասխանաբար մատյան 0 0կարող է լինել ցանկացած ոչ զրոյական իրական թիվ, քանի որ զրո ցանկացած ոչ զրոյական հզորության զրոյական է: Այս երկիմաստությունը վերացնելու համար պայմանը a≠0. Եւ երբ ա<0 մենք ստիպված կլինենք մերժել լոգարիթմի ռացիոնալ և իռացիոնալ արժեքների վերլուծությունը, քանի որ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչով ցուցանիշը սահմանվում է միայն ոչ բացասական հիմքերի համար: Այս պատճառով է, որ պայմանը a>0.

Եվ վերջին պայմանը b>0բխում է անհավասարությունից a>0, քանի որ x=log α բ, իսկ աստիճանի արժեքը՝ դրական հիմքով ամիշտ դրական:

Լոգարիթմների առանձնահատկությունները.

Լոգարիթմներբնութագրվում է տարբերակիչ Հատկություններ, ինչը հանգեցրեց դրանց լայն կիրառմանը, որը մեծապես հեշտացնում էր տքնաջան հաշվարկները: «Լոգարիթմների աշխարհ» անցման ժամանակ բազմապատկումը փոխակերպվում է շատ ավելի հեշտ գումարման, բաժանումը հանման, իսկ աստիճանի բարձրացումն ու արմատ վերցնելը փոխակերպվում են համապատասխանաբար բազմապատկման և ցուցիչով բաժանման։

Լոգարիթմների ձևակերպումը և դրանց արժեքների աղյուսակը (եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար) առաջին անգամ հրապարակվել է 1614 թվականին շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերի կողմից: Այլ գիտնականների կողմից ընդլայնված և մանրամասնված լոգարիթմական աղյուսակները լայնորեն օգտագործվում էին գիտական ​​և ինժեներական հաշվարկներում և մնացին արդիական այնքան ժամանակ, մինչև սկսեցին օգտագործել էլեկտրոնային հաշվիչներ և համակարգիչներ:

Այսպիսով, մենք ունենք երկու ուժ: Եթե ​​թիվը վերցնում եք ներքևի տողից, ապա հեշտությամբ կարող եք գտնել այն հզորությունը, որի վրա դուք պետք է երկու բարձրացնեք այս թիվը ստանալու համար: Օրինակ՝ 16 ստանալու համար պետք է երկուսը հասցնել չորրորդ աստիճանի։ Իսկ 64 ստանալու համար պետք է երկուսը հասցնել վեցերորդ աստիճանի։ Սա երևում է աղյուսակից։

Եվ հիմա, փաստորեն, լոգարիթմի սահմանումը.

x արգումենտի a հիմքի լոգարիթմը այն հզորությունն է, որին պետք է բարձրացնել a թիվը՝ x թիվը ստանալու համար:

Նշում. log a x \u003d b, որտեղ a-ն հիմքն է, x-ը արգումենտն է, b-ն իրականում այն ​​է, ինչին հավասար է լոգարիթմը:

Օրինակ, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ի 2-րդ լոգարիթմը երեքն է, քանի որ 2 3 = 8): Կարող է նաև գրանցել 2 64 = 6, քանի որ 2 6 = 64:

Տվյալ հիմքում թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է լոգարիթմ։ Այսպիսով, եկեք նոր տող ավելացնենք մեր աղյուսակում.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
մատյան 2 2 = 1	մատյան 2 4 = 2	մատյան 2 8 = 3	մատյան 2 16 = 4	մատյան 2 32 = 5	մատյան 2 64 = 6

Ցավոք, ոչ բոլոր լոգարիթմներն են այդքան հեշտությամբ համարվում: Օրինակ, փորձեք գտնել մատյան 2 5: 5 թիվը աղյուսակում չկա, բայց տրամաբանությունը թելադրում է, որ լոգարիթմը ընկած կլինի հատվածի վրա ինչ-որ տեղ: Քանի որ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ՝ տասնորդական կետից հետո թվերը կարելի է գրել անորոշ ժամանակով, և դրանք երբեք չեն կրկնվում։ Եթե ​​պարզվում է, որ լոգարիթմը իռացիոնալ է, ապա ավելի լավ է թողնել այսպես՝ log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 :

Կարևոր է հասկանալ, որ լոգարիթմը արտահայտություն է երկու փոփոխականներով (հիմք և արգումենտ): Սկզբում շատերը շփոթում են, թե որտեղ է հիմքը և որտեղ է վեճը: Խուսափել ցավալի թյուրիմացություններպարզապես նայեք նկարին.

Մեր առջև ոչ այլ ինչ է, քան լոգարիթմի սահմանումը: Հիշեք. լոգարիթմը ուժն է, որի վրա պետք է հիմք բարձրացնել փաստարկը ստանալու համար: Դա այն հիմքն է, որը բարձրացված է հզորության - նկարում այն ​​ընդգծված է կարմիրով: Ստացվում է, որ հիմքը միշտ ներքևում է: Այս հրաշալի կանոնը ես ասում եմ իմ ուսանողներին հենց առաջին դասին, և ոչ մի շփոթություն չկա:

Մենք պարզեցինք սահմանումը. մնում է սովորել, թե ինչպես հաշվել լոգարիթմները, այսինքն. ազատվել «գերան» նշանից. Սկզբից մենք նշում ենք, որ սահմանումից բխում են երկու կարևոր փաստ.

1. Փաստարկը և հիմքը միշտ պետք է զրոյից մեծ լինեն: Սա բխում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումից, որին կրճատվում է լոգարիթմի սահմանումը։
2. Հիմքը պետք է տարբերվի միասնությունից, քանի որ ցանկացած ուժի միավորը դեռ միավոր է: Դրա համար անիմաստ է «ինչ ուժի վրա պետք է բարձրացնել երկուսը ստանալու համար» հարցը։ Չկա այդպիսի աստիճան!

Նման սահմանափակումները կոչվում են վավեր տիրույթ(ՕՁ): Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1:

Նկատի ունեցեք, որ թվի վրա սահմանափակումներ չկան (լոգարիթմի արժեքը) չի դրվում: Օրինակ, լոգարիթմը կարող է բացասական լինել. log 2 0.5 \u003d -1, քանի որ 0,5 = 2 −1 .

Այնուամենայնիվ, առայժմ մենք միայն դիտարկում ենք թվային արտահայտություններ, որտեղ չի պահանջվում իմանալ լոգարիթմի ODZ-ը։ Խնդիրները կազմողների կողմից արդեն իսկ հաշվի են առնվել բոլոր սահմանափակումները։ Բայց երբ լոգարիթմական հավասարումները և անհավասարությունները ի հայտ գան, DHS-ի պահանջները կդառնան պարտադիր: Իրոք, հիմքում և փաստարկում կարող են լինել շատ ուժեղ կոնստրուկցիաներ, որոնք պարտադիր չէ, որ համապատասխանեն վերը նշված սահմանափակումներին։

Հիմա հաշվի առեք ընդհանուր սխեմանլոգարիթմի հաշվարկներ. Այն բաղկացած է երեք քայլից.

1. a հիմքը և x արգումենտը արտահայտե՛ք մեկից մեծ հնարավոր ամենափոքր հիմքով հզորությամբ: Ճանապարհին ավելի լավ է ազատվել տասնորդական կոտորակներից.
2. Լուծե՛ք b փոփոխականի հավասարումը. x = a b ;
3. Ստացված b թիվը կլինի պատասխանը:

Այսքանը: Եթե ​​լոգարիթմը պարզվի, որ իռացիոնալ է, դա երևում է արդեն առաջին քայլից: Պահանջը, որ բազան մեկից մեծ լինի, շատ տեղին է. սա նվազեցնում է սխալի հավանականությունը և մեծապես հեշտացնում է հաշվարկները: Նման տասնորդականներԵթե ​​դուք անմիջապես թարգմանեք դրանք սովորականի, ապա շատ անգամ ավելի քիչ սխալներ կլինեն:

Տեսնենք, թե ինչպես է այս սխեման աշխատում կոնկրետ օրինակներով.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 5 25

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես հինգի հզորություն՝ 5 = 5 1; 25 = 52;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Ստացել է պատասխան՝ 2.

Առաջադրանք. Հաշվարկել լոգարիթմը.

Առաջադրանք. Հաշվի՛ր լոգարիթմը՝ log 4 64

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երկուի ուժ՝ 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Ստացել է պատասխան՝ 3.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 16 1

1. Ներկայացնենք հիմքը և արգումենտը որպես երկուի ուժ՝ 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Ստացել է պատասխան՝ 0.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 7 14

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես յոթի ուժ՝ 7 = 7 1; 14-ը ներկայացված չէ որպես յոթի ուժ, քանի որ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Նախորդ պարբերությունից հետևում է, որ լոգարիթմը չի դիտարկվում.
3. Պատասխանն անփոփոխ է՝ մատյան 7 14:

Մի փոքրիկ նշում վերջին օրինակի վերաբերյալ. Ինչպե՞ս համոզվել, որ թիվը մեկ այլ թվի ճշգրիտ հզորություն չէ: Շատ պարզ. պարզապես տարրալուծեք այն հիմնական գործոնների: Եթե ​​ընդլայնման մեջ կա առնվազն երկու հստակ գործոն, ապա թիվը ճշգրիտ հզորություն չէ:

Առաջադրանք. Պարզեք՝ թվի ճշգրիտ ուժերն են՝ 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ճշգրիտ աստիճանը, քանի որ կա միայն մեկ բազմապատկիչ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ճշգրիտ հզորություն չէ, քանի որ կա երկու գործոն՝ 3 և 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ճշգրիտ աստիճան;
35 = 7 5 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;
14 \u003d 7 2 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;

Նկատի ունեցեք նաև, որ պարզ թվերն իրենք միշտ իրենց ճշգրիտ ուժերն են:

Տասնորդական լոգարիթմ

Որոշ լոգարիթմներ այնքան տարածված են, որ ունեն հատուկ անվանում և նշանակում։

X արգումենտի տասնորդական լոգարիթմը բազային 10 լոգարիթմն է, այսինքն. հզորությունը, որով պետք է բարձրացնել 10 թիվը՝ x թիվը ստանալու համար: Նշումը՝ lg x .

Օրինակ, log 10 = 1; տեղեկամատյան 100 = 2; lg 1000 = 3 - և այլն:

Այսուհետ, երբ դասագրքում հայտնվում է «Find lg 0.01» արտահայտությունը, իմացեք, որ սա տառասխալ չէ։ Սա տասնորդական լոգարիթմն է: Այնուամենայնիվ, եթե դուք սովոր չեք նման նշանակմանը, միշտ կարող եք այն վերաշարադրել.
log x = log 10 x

Այն ամենը, ինչ ճշմարիտ է սովորական լոգարիթմների համար, ճիշտ է նաև տասնորդականների համար:

բնական լոգարիթմ

Կա ևս մեկ լոգարիթմ, որն ունի իր սեփական նշումը: Ինչ-որ իմաստով այն նույնիսկ ավելի կարևոր է, քան տասնորդականը: Սա բնական լոգարիթմն է։

x-ի բնական լոգարիթմը հիմք է e լոգարիթմը, այսինքն. այն հզորությունը, որով պետք է բարձրացվի e թիվը՝ x թիվը ստանալու համար: Նշանակում՝ ln x .

Շատերը կհարցնեն՝ էլ ի՞նչ է e թիվը։ Սա իռացիոնալ թիվ է ճշգրիտ արժեքանհնար է գտնել և արձանագրել: Ահա միայն առաջին թվերը.
e = 2.718281828459...

Մենք չենք խորանա, թե որն է այս թիվը և ինչու է այն անհրաժեշտ: Պարզապես հիշեք, որ e-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է.
ln x = log e x

Այսպիսով, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - և այլն: Մյուս կողմից, ln 2-ը իռացիոնալ թիվ է: Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած ռացիոնալ թվի բնական լոգարիթմը իռացիոնալ է: Բացառությամբ, իհարկե, միասնությունից՝ ln 1 = 0:

Բնական լոգարիթմների համար վավեր են բոլոր կանոնները, որոնք ճիշտ են սովորական լոգարիթմների համար։

բխում է դրա սահմանումից։ Եվ այսպես, թվի լոգարիթմը բպատճառաբանությամբ Ասահմանվում է որպես ցուցիչ, որին պետք է բարձրացնել թիվը ահամարը ստանալու համար բ(լոգարիթմը գոյություն ունի միայն դրական թվերի համար):

Այս ձեւակերպումից հետեւում է, որ հաշվարկը x=log a b, համարժեք է հավասարման լուծմանը կացին=բ.Օրինակ, մատյան 2 8 = 3որովհետեւ 8 = 2 3 . Լոգարիթմի ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս հիմնավորել, որ եթե b=a գ, ապա թվի լոգարիթմը բպատճառաբանությամբ ահավասար է Հետ. Հասկանալի է նաև, որ լոգարիթմի թեման սերտորեն կապված է թվի հզորության թեմայի հետ։

Լոգարիթմներով, ինչպես ցանկացած թվով, դուք կարող եք կատարել գումարման, հանման գործողություններև փոխակերպվել ամեն կերպ: Բայց հաշվի առնելով այն փաստը, որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ գործում են իրենց հատուկ կանոնները, որոնք կոչվում են. հիմնական հատկությունները.

Լոգարիթմների գումարում և հանում.

Վերցրեք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ. գրանցամատյան xԵվ log a y. Այնուհետև հեռացնել, հնարավոր է կատարել գումարման և հանման գործողություններ.

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y):

մատյան ա(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = գրանցամատյան x 1 + գրանցամատյան x 2 + գրանցամատյան x 3 + ... + log a x k.

Սկսած քանորդ լոգարիթմի թեորեմներկարելի է ձեռք բերել լոգարիթմի ևս մեկ հատկություն։ Հայտնի է այդ գերանը ա 1 = 0, հետևաբար,

գերան ա 1 /բ= մատյան ա 1 - գերան ա բ= -log ա բ.

Այսպիսով, կա հավասարություն.

log a 1 / b = - log a b.

Երկու փոխադարձ թվերի լոգարիթմներնույն հիմքով միմյանցից կտարբերվեն միայն նշանով։ Այսպիսով.

Մատյան 3 9= - մատյան 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Լոգարիթմի հայեցակարգը և հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Լոգարիթմի հայեցակարգը և հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը սերտորեն կապված են, քանի որ լոգարիթմի սահմանումը մաթեմատիկական նշումով և է.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը բխում է լոգարիթմի սահմանումից.

Սահմանում 1

լոգարիթմկանչեք $n$ ցուցիչը, երբ բարձրացվող $a$ թվերը ստանում են $b$ թիվը:

Դիտողություն 1

$a^n=b$ էքսպոնենցիալ հավասարումը $a > 0$, $a \ne 1$-ի համար չունի լուծումներ ոչ դրական $b$-ի համար և ունի մեկ արմատ՝ դրական $b$-ի համար: Այս արմատը կոչվում է $b$ թվի լոգարիթմը $a$ հիմքի վրաև գրիր.

$a^(\log_(a) b)=b$.

Սահմանում 2

Արտահայտություն

$a^(\log_(a) b)=b$

կանչեց հիմնական լոգարիթմական ինքնությունըպայմանով, որ $a,b > 0$, $a \ne 1$:

Օրինակ 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$։

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հիմնականլոգարիթմական ինքնությունը կոչվում է, քանի որ այն գրեթե միշտ օգտագործվում է լոգարիթմների հետ աշխատելիս: Բացի այդ, նրա օգնությամբ հիմնավորվում են լոգարիթմների հիմնական հատկությունները։

Օրինակ 2

$7^5=16 807$, հետևաբար $\log_(7)16 807=5$։

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, հետևաբար $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$:

$11^0=1$, հետևաբար՝ $\log_(11)⁡1=0$:

Հաշվի առեք հիմնականի հետևանք լոգարիթմական ինքնություն :

Սահմանում 3

Եթե ​​նույն հիմքով երկու լոգարիթմները հավասար են, ապա լոգարիթմի արտահայտությունները հավասար են.

եթե $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$ ապա $b=c$:

Հաշվի առեք սահմանափակումներ, որոնք օգտագործվում են լոգարիթմական ինքնության համար.

Որովհետեւ երբ մեկը բարձրացնում ենք ցանկացած հզորության, մենք միշտ ստանում ենք մեկը, և $x=\log_(a)⁡b$ հավասարությունը գոյություն ունի միայն $b=1$-ի համար, ապա $\log_(1)⁡1$ կլինի ցանկացած: իրական թիվ . Այս երկիմաստությունից խուսափելու համար ենթադրվում է $a \ne 1$:

Ըստ սահմանման՝ $a=0$-ի լոգարիթմը կարող է գոյություն ունենալ միայն $b=0$-ի համար։ Որովհետեւ երբ զրոն բարձրացնում ենք ցանկացած հզորության, մենք միշտ ստանում ենք զրո, ապա $\log_(0)⁡0$-ը կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ: Այս երկիմաստությունը կանխելու համար ենթադրվում է $a \ne 0$: $a ռացիոնալ եւ իռացիոնալլոգարիթմի արժեքները, քանի որ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը կարող է հաշվարկվել միայն դրական հիմքերի համար: Նման իրավիճակը կանխելու համար ընդունված է $a > 0$:

$b > 0$ հետևում է $a > 0$ պայմանից, քանի որ $x=\log_(a)⁡b$ և աստիճանի արժեքը դրական թիվա միշտ դրական կլինի:

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը հաճախ օգտագործվում է լոգարիթմական արտահայտությունները պարզեցնելու համար:

Օրինակ 3

Հաշվեք $81^(\log_(9) 7)$։

Լուծում.

Որպեսզի կարողանանք օգտագործել հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը, լոգարիթմի հիմքը և ցուցիչը պետք է նույնը լինեն: Աստիճանի հիմքը գրում ենք ձևով.

Այժմ մենք կարող ենք գրել.

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Եկեք օգտագործենք աստիճանի հատկությունը.

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը այժմ կարող է կիրառվել յուրաքանչյուր գործոնի համար.

$=7 \cdot 7=49$։

Դիտողություն 2

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը կիրառելու համար կարող եք նաև դիմել լոգարիթմի հիմքը փոխարինելու լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտությամբ և հակառակը։

Օրինակ 4

Հաշվեք $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$:

Լուծում.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$:

Պատասխանել: $11$.

Օրինակ 5

Հաշվեք $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$: