≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Պատուհան
• Պատեր
• Նախագծեր
• Շենքերը

Քառակուսի հավասարում մեկ արմատի օրինակով: Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կանդրադառնանք այն, ինչ կոչվում է քառակուսի հավասարումև ինչպես լուծել այն:

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Կարևոր!

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե առավելագույն աստիճան, որտեղ անհայտը «2» է, ինչը նշանակում է, որ դուք ունեք քառակուսի հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր!

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր ձևն ունի հետևյալ տեսքը.

A x 2 + b x + c = 0

• «ա», «բ» և «գ» թվերը տրվում են:
• «ա»-ն առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցն է.
• «բ»-ը երկրորդ գործակիցն է.

«c»-ն ազատ անդամ է:

«a», «b» և «c» գտնելու համար անհրաժեշտ է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c = 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Հնարավորություններ գ = 17 գ = 8

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։	Հավասարումը
5x 2 − 14x + 17 = 0 a = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

գ =

• x 2 + 0,25x = 0
• a = 1
• b = 0,25

c = 0

• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0
• b = 0

c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ Ի տարբերությունգծային հավասարումներ քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար, հատուկ.

արմատներ գտնելու բանաձև

Հիշիր.

• Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.
• քառակուսի հավասարումը բերեք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևին: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը.

Օգտագործեք արմատների բանաձեւը.

Եկեք նայենք մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է օգտագործել բանաձեւը քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար: Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարում.

X 2 − 3x − 4 = 0 «x 2 − 3x − 4 = 0» հավասարումն արդեն վերածվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար պետք է ուղղակի դիմել.

քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը

Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:
Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:
Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:
Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:

x 1; 2 =

Այն կարող է օգտագործվել ցանկացած քառակուսի հավասարում լուծելու համար:
«x 1;2 =» բանաձևում արմատական ​​արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է

«b 2 − 4ac» «D» տառի համար և կոչվում է տարբերակիչ: Խտրական հասկացությունն ավելի մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ» և «գ» գործակիցները: Նախ հավասարումը կրճատենք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի։
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումները արմատ չունեն: Այս իրավիճակը տեղի է ունենում, երբ բանաձեւը բացասական թիվ է պարունակում արմատի տակ:

Պարզապես. Ըստ բանաձևերի և պարզ, պարզ կանոնների։ Առաջին փուլում

անհրաժեշտ տրված հավասարումըհանգեցնել ստանդարտ ձևի, այսինքն. ձևին:

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս տեսքով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը: Ամենակարևորը դա ճիշտ անելն է

որոշել բոլոր գործակիցները, Ա, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական . Ինչպես տեսնում եք, X-ին գտնելու համար մենք

մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները սկսած քառակուսի հավասարում. Պարզապես զգուշորեն դրեք այն

արժեքներ ա, բ և գՄենք հաշվարկում ենք այս բանաձևով. Մենք փոխարինում ենք նրանցնշաններ!

Օրինակ, հավասարման մեջ.

Ա =1; բ = 3; գ = -4.

Մենք փոխարինում ենք արժեքները և գրում.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամենատարածված սխալները նշանների արժեքների հետ շփոթությունն են ա, բԵվ Հետ. Ավելի ճիշտ՝ փոխարինմամբ

բացասական արժեքները արմատների հաշվարկման բանաձևում: Բանաձեւի մանրամասն ձայնագրությունը օգնության է գալիս այստեղ

կոնկրետ թվերով։ Եթե ​​խնդիրներ ունեք հաշվարկների հետ, արե՛ք դա։

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Մենք նկարագրում ենք ամեն ինչ մանրամասն, ուշադիր, առանց որևէ բան բաց թողնելու բոլոր նշաններով և փակագծերով.

Քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Այժմ հաշվի առեք գործնական տեխնիկան, որը կտրուկ նվազեցնում է սխալների թիվը:

Առաջին նշանակումը. Նախկինում մի ծուլացեք քառակուսի հավասարման լուծումբերել այն ստանդարտ ձևի:

Ինչ է սա նշանակում?

Ասենք, որ բոլոր փոխակերպումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձևը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունը ա, բ և գ.

Ճիշտ կառուցիր օրինակը: Սկզբում X քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, ապա ազատ անդամ: Սրա նման:

Ազատվեք մինուսից. Ինչպե՞ս: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և ավարտել օրինակի լուծումը:

Որոշեք ինքներդ: Այժմ դուք պետք է ունենաք 2 և -1 արմատները:

Ընդունելություն երկրորդ.Ստուգեք արմատները: Ըստ Վիետայի թեորեմա.

Տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար, այսինքն. եթե գործակիցը

x 2 +bx+c=0,

Հետոx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =−բ

Ամբողջական քառակուսի հավասարման համար, որում a≠1:

x 2 +բx+գ=0,

ամբողջ հավասարումը բաժանիր A:

→ →

Որտեղ x 1Եվ x 2 - հավասարման արմատները:

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկել

հավասարում ընդհանուր հայտարարով.

Եզրակացություն. Գործնական խորհուրդներ:

1. Լուծելուց առաջ քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի և կառուցում Ճիշտ.

2. Եթե X քառակուսու դիմաց բացասական գործակից կա, մենք այն վերացնում ենք՝ բազմապատկելով ամեն ինչ.

հավասարումներ -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով համապատասխան.

գործոն.

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը մեկին հավասար, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել

Քառակուսային հավասարումը ax^2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a, b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0, այլապես այն այլևս քառակուսի հավասարում չի լինի։ Քառակուսի հավասարումները կամ չունեն արմատներ, կամ ունեն ուղիղ մեկ արմատ, կամ երկու տարբեր արմատներ: Առաջին քայլը տարբերակիչ փնտրելն է: Բանաձև՝ D = b^2 − 4ac: 1. Եթե Դ< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, կլինի երկու արմատ: Առաջին տարբերակով պարզ է, որ արմատներ չկան: Եթե ​​տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել հետևյալ կերպ՝ x12 = (-b +- √D) / 2a: Ինչ վերաբերում է երկրորդ տարբերակին, երբ D = 0, վերը նշված բանաձեւը կարող է օգտագործվել:

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում սկսում են ուսումնասիրվել քառակուսի հավասարումներ։ Բայց, ցավոք, ոչ բոլորն են հասկանում և գիտեն, թե ինչպես ճիշտ լուծել քառակուսի հավասարումը և հաշվարկել դրա արմատները: Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը:

Ինչ է քառակուսի հավասարումը

Քառակուսային հավասարում տերմինը սովորաբար նշանակում է ընդհանուր ձևի հանրահաշվական հավասարում։ Այս հավասարումըԱյն ունի հաջորդ տեսքը ax2 + bx + c = 0, մինչդեռ a, b և c որոշակի թվեր են, x-ը անհայտ է: Այս երեք թվերը սովորաբար կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցներ.

• ա - առաջին գործակիցը;
• բ - երկրորդ գործակիցը;
• c-ն երրորդ գործակիցն է։

Ինչպես գտնել քառակուսի հավասարման արմատները

Հաշվարկելու համար, թե ինչի են հավասար քառակուսի հավասարման արմատները, անհրաժեշտ է գտնել հավասարման դիսկրիմինանտը։ Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը արտահայտություն է, որը հավասար է և հաշվարկվում է b2 - 4ac բանաձևով: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, արմատը հաշվարկվում է բանաձևով. x = -b + - տարբերակիչի արմատը բաժանված է 2 ա-ի:

Դիտարկենք 5x քառակուսի հավասարման օրինակը՝ 8x +3 = 0

Տարբերիչը հավասար է ութ քառակուսի, հանած չորս անգամ հինգ, երեք անգամ, այսինքն՝ = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + չորսի արմատը՝ բաժանված երկու անգամ հինգի վրա = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Ըստ այդմ, այս քառակուսի հավասարման արմատները կլինեն 1 և 0,6:

Քառակուսային հավասարումների խնդիրները ուսումնասիրվում են ինչպես դպրոցական ծրագրում, այնպես էլ բուհերում։ Նշանակում են a*x^2 + b*x + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a, b, c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրն է գտնել հավասարման արմատները:

Քառակուսային հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են աբսցիսայի (x) առանցքի հետ։ Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման կետեր. Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթության վրա՝ ճյուղերով վեր կամ ներքևում՝ ճյուղերով: Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (այն ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի մեկ հատման կետ Ox առանցքի հետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը: Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորությունների գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղակայման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե այն բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև.

2) Եթե b գործակիցը մեծ է զրոյից, ապա պարաբոլայի գագաթն ընկած է ձախ կիսահարթության մեջ, եթե այն վերցնում է. բացասական նշանակություն- ապա աջ կողմում:

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասար նշանի համար մենք ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Ձախ կողմում ամբողջական քառակուսի ստանալու համար երկու կողմից ավելացրեք b^2 և կատարեք փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Խտրականը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումը ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը կարելի է հեշտությամբ ստանալ D=0-ի վերը նշված բանաձևից, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ: Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարման լուծումները գտնվում են բարդ հարթությունում, և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցենք քառակուսի հավասարում Վիետայի թեորեմն ինքնին հեշտությամբ բխում է նշումից. եթե ունենք ձևի քառակուսի հավասարում: ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերոնշյալի բանաձևային ներկայացումը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա դուք պետք է բաժանեք ամբողջ հավասարումը դրա վրա, այնուհետև կիրառեք Վիետայի թեորեմը:

Ֆակտորինգի քառակուսի հավասարումների ժամանակացույց

Թող առաջադրանքը դրվի՝ գործակցեք քառակուսի հավասարում: Դա անելու համար մենք նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Հաջորդը, մենք փոխարինում ենք հայտնաբերված արմատները քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևի մեջ: Սա կլուծի խնդիրը:

Քառակուսային հավասարումների խնդիրներ

Առաջադրանք 1. Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և դրանք փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

Արմատը տրված արժեքըհավասար է 14-ի, այն հեշտ է գտնել հաշվիչով, կամ հիշել, թե երբ հաճախակի օգտագործումը, սակայն, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկը, որոնց հաճախ կարելի է հանդիպել նման խնդիրների դեպքում։
Մենք գտած արժեքը փոխարինում ենք արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. Լուծե՛ք հավասարումը

2x 2 +x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Օգտագործելով հայտնի բանաձևերը, մենք գտնում ենք քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. Լուծե՛ք հավասարումը

9x 2 -12x+4=0:

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Խտրականության որոշում

Մենք ստացել ենք մի դեպք, երբ արմատները համընկնում են: Գտեք արմատների արժեքները բանաձևով

Առաջադրանք 4. Լուծե՛ք հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, խորհուրդ է տրվում կիրառել Վիետայի թեորեմը: Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից մենք գտնում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի: Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք հետևյալ հնարավոր զույգ լուծումները (-3;2), (3;-2) . Առաջին պայմանը հաշվի առնելով՝ մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատները հավասար են

Խնդիր 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է նրա հարակից կողմերի գումարին: Նշանակենք x – մեծ կողմը, ապա 18-x նրա փոքր կողմը: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18-x)=77;
կամ
x 2 -18x+77=0.
Գտնենք հավասարման դիսկրիմինանտը

Հավասարման արմատների հաշվարկ

Եթե x=11,Դա 18 = 7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-ի=9):

Խնդիր 6. Քառակուսային հավասարումը 10x 2 -11x+3=0 գործակցեք:

Լուծում. Եկեք հաշվարկենք հավասարման արմատները, դա անելու համար գտնում ենք դիսկրիմինատորը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատային բանաձևով և հաշվարկում

Կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով տարրալուծելու բանաձևը

Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնություն։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրերի ինչ արժեքներով Ա ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմապատկության մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

Եկեք պարզեցնենք այն և հավասարեցնենք այն զրոյի

Մենք ստացել ենք a պարամետրի նկատմամբ քառակուսային հավասարում, որի լուծումը կարելի է հեշտությամբ ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ որոնմամբ մենք հաստատում ենք, որ 3,4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a=4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ։

Օրինակ 2. Պարամետրերի ինչ արժեքներով Ա ,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0մեկից ավելի արմատ ունի՞

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Եկեք հաշվարկենք դիսկրիմինանտը

և գտե՛ք a-ի արժեքը, որի դեպքում այն ​​դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք հավասարման դիսկրիմինանտը և արմատները


Եկեք որոշենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, (-3;1/3) միջակայքից դուրս ֆունկցիան բացասական է։ Մի մոռացեք կետը a=0,որը պետք է բացառվի, քանի որ սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ։
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանները

Գործնականում շատ նմանատիպ առաջադրանքներ կլինեն, փորձեք ինքներդ պարզել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել փոխադարձ բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, որոնք հաճախ անհրաժեշտ են հաշվարկելիս տարբեր առաջադրանքներև գիտություններ։

Մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներ պահանջում են քառակուսի արմատի արժեքը հաշվարկելու ունակություն: Նման խնդիրները ներառում են երկրորդ կարգի հավասարումների լուծումը: Այս հոդվածում կներկայացնենք արդյունավետ մեթոդհաշվարկներ քառակուսի արմատներև օգտագործել այն քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերի հետ աշխատելիս:

Ի՞նչ է քառակուսի արմատը:

Մաթեմատիկայի մեջ այս հասկացությունը համապատասխանում է √ նշանին: Պատմական տվյալները վկայում են, որ այն առաջին անգամ օգտագործվել է 16-րդ դարի առաջին կեսին Գերմանիայում (Առաջին գերմանական աշխատությունը հանրահաշվի մասին Քրիստոֆ Ռուդոլֆի կողմից): Գիտնականները կարծում են, որ խորհրդանիշը փոխակերպված լատինատառ r է (ռադիքս լատիներեն նշանակում է «արմատ»):

Ցանկացած թվի արմատը հավասար է այն արժեքին, որի քառակուսին համապատասխանում է արմատական ​​արտահայտությանը: Մաթեմատիկայի լեզվով այս սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ √x = y, եթե y 2 = x:

Արմատը դրական թիվ(x > 0) նույնպես դրական թիվ է (y > 0), սակայն, եթե վերցնենք -ի արմատը բացասական թիվ(x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Ահա երկու պարզ օրինակ.

√9 = 3, քանի որ 3 2 = 9; √(-9) = 3i, քանի որ i 2 = -1:

Հերոնի կրկնվող բանաձևը քառակուսի արմատների արժեքները գտնելու համար

Վերոնշյալ օրինակները շատ պարզ են, և դրանցում արմատները հաշվարկելը դժվար չէ։ Դժվարությունները սկսում են ի հայտ գալ ցանկացած արժեքի համար արմատային արժեքներ գտնելիս, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես քառակուսի բնական թիվ, օրինակ √10, √11, √12, √13, էլ չեմ խոսում այն ​​մասին, որ գործնականում անհրաժեշտ է գտնել ոչ ամբողջ թվերի արմատները՝ օրինակ √(12,15), √(8,5) եւ այլն։

Վերոնշյալ բոլոր դեպքերում պետք է օգտագործել քառակուսի արմատը հաշվարկելու հատուկ մեթոդ: Ներկայումս հայտնի են մի քանի նման մեթոդներ՝ օրինակ՝ Թեյլորի շարքի ընդլայնում, սյունակների բաժանում և մի քանի այլ մեթոդներ։ Բոլոր հայտնի մեթոդներից, թերևս, ամենապարզն ու ամենաարդյունավետը Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործումն է, որը նաև հայտնի է որպես քառակուսի արմատների որոշման բաբելոնյան մեթոդ (կա ապացույց, որ հին բաբելոնացիներն այն օգտագործել են իրենց գործնական հաշվարկներում):

Թող անհրաժեշտ լինի որոշել √x-ի արժեքը: Բանաձևի որոնում քառակուսի արմատունի հետևյալ ձևը.

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), որտեղ lim n->∞ (a n) => x.

Եկեք վերծանենք այս մաթեմատիկական նշումը: √x-ը հաշվարկելու համար դուք պետք է վերցնեք որոշակի թիվ a 0 (դա կարող է կամայական լինել, բայց արդյունքն արագ ստանալու համար պետք է ընտրել այնպես, որ (a 0) 2-ը հնարավորինս մոտ լինի x-ին: Այնուհետև այն փոխարինեք թվով: Քառակուսի արմատը հաշվարկելու համար նշված բանաձևը և ստացեք նոր a 1 թիվը, որն արդեն մոտ կլինի ցանկալի արժեքին, դրանից հետո անհրաժեշտ է փոխարինել 1-ով և ստանալ 2-ը: Այս ընթացակարգը պետք է կրկնվի մինչև: ստացված է պահանջվող ճշգրտությունը.

Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործման օրինակ

Տվյալ թվի քառակուսի արմատ ստանալու համար վերը նկարագրված ալգորիթմը կարող է շատերի համար բավականին բարդ և շփոթեցնող թվալ, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է դառնում, քանի որ այս բանաձևը շատ արագ զուգակցվում է (հատկապես եթե ընտրում եք. հաջողակ համարա 0):

Բերենք մի պարզ օրինակ՝ պետք է հաշվարկել √11: Եկեք ընտրենք 0 = 3, քանի որ 3 2 = 9, որն ավելի մոտ է 11-ին, քան 4 2 = 16-ին: Բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

ա 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

ա 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662:

Անիմաստ է շարունակել հաշվարկները, քանի որ մենք պարզեցինք, որ 2-ը և 3-ը սկսում են տարբերվել միայն 5-րդ տասնորդական տեղում: Այսպիսով, 0,0001 ճշտությամբ √11-ը հաշվարկելու համար բավական էր կիրառել բանաձեւը ընդամենը 2 անգամ։

Մեր օրերում հաշվիչներն ու համակարգիչները լայնորեն օգտագործվում են արմատները հաշվարկելու համար, սակայն օգտակար է հիշել նշված բանաձևը, որպեսզի կարողանանք ձեռքով հաշվարկել դրանց ճշգրիտ արժեքը։

Երկրորդ կարգի հավասարումներ

Հասկանալը, թե ինչ է քառակուսի արմատը և այն հաշվարկելու ունակությունը, օգտագործվում է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս: Այս հավասարումները կոչվում են հավասարումներ մեկ անհայտով, ընդհանուր ձևորը ցույց է տրված ստորև նկարում:

Այստեղ c, b և a-ն ներկայացնում են որոշ թվեր, և a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի, իսկ c և b արժեքները կարող են լինել ամբողջովին կամայական, այդ թվում՝ հավասար զրոյի:

X-ի ցանկացած արժեք, որը բավարարում է նկարում նշված հավասարությունը, կոչվում է դրա արմատներ (այս հայեցակարգը չպետք է շփոթել √ քառակուսի արմատի հետ): Քանի որ քննարկվող հավասարումը 2-րդ կարգի է (x 2), ուրեմն դրա համար երկու արմատից ավելի լինել չի կարող։ Եկեք ավելի մանրամասն նայենք հոդվածում, թե ինչպես գտնել այս արմատները:

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները (բանաձև)

Քննարկվող հավասարումների տիպի լուծման այս մեթոդը կոչվում է նաև ունիվերսալ մեթոդ կամ տարբերակիչ մեթոդ։ Այն կարող է օգտագործվել ցանկացած քառակուսի հավասարումների համար: Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը հետևյալն է.

Այն ցույց է տալիս, որ արմատները կախված են հավասարման երեք գործակիցներից յուրաքանչյուրի արժեքից։ Ընդ որում, x 1-ի հաշվարկը x 2-ի հաշվարկից տարբերվում է միայն քառակուսի արմատի դիմացի նշանով։ Արմատական ​​արտահայտությունը, որը հավասար է b 2 - 4ac-ի, ոչ այլ ինչ է, քան խնդրո առարկա հավասարության տարբերակիչ: Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի տարբերակիչը խաղում է կարևոր դեր, քանի որ այն որոշում է լուծումների քանակը և տեսակը։ Այսպիսով, եթե այն հավասար է զրոյի, ապա կլինի միայն մեկ լուծում, եթե այն դրական է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ, և վերջապես, բացասական դիսկրիմինանտը հանգեցնում է երկու բարդ արմատների x 1 և x 2:

Վիետայի թեորեմը կամ երկրորդ կարգի հավասարումների արմատների որոշ հատկություններ

16-րդ դարի վերջին ժամանակակից հանրահաշվի հիմնադիրներից մեկը՝ ֆրանսիացին, ուսումնասիրելով երկրորդ կարգի հավասարումները, կարողացավ ստանալ դրա արմատների հատկությունները։ Մաթեմատիկորեն դրանք կարելի է գրել այսպես.

x 1 + x 2 = -b / a և x 1 * x 2 = c / a:

Երկու հավասարություններն էլ կարող են հեշտությամբ ձեռք բերել դա անելու համար, պարզապես անհրաժեշտ է կատարել համապատասխան մաթեմատիկական գործողություններ՝ բանաձևով ստացված արմատներով։

Այս երկու արտահայտությունների համադրությունը իրավամբ կարելի է անվանել քառակուսի հավասարման արմատների երկրորդ բանաձեւը, որը հնարավորություն է տալիս կռահել դրա լուծումները՝ առանց դիսկրիմինանտ օգտագործելու։ Այստեղ պետք է նշել, որ թեև երկու արտահայտություններն էլ միշտ վավեր են, բայց հարմար է դրանք օգտագործել հավասարումը լուծելու համար միայն այն դեպքում, եթե այն հնարավոր լինի ֆակտորիզացնել։

Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբման խնդիր

Եկեք լուծենք մաթեմատիկական խնդիր, որում մենք կցուցադրենք հոդվածում քննարկված բոլոր տեխնիկաները: Խնդրի պայմանները հետևյալն են՝ պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը -13 է, իսկ գումարը՝ 4։

Այս պայմանը մեզ անմիջապես հիշեցնում է Վիետայի թեորեմը, օգտագործելով քառակուսի արմատների գումարի և դրանց արտադրյալի բանաձևերը, մենք գրում ենք.

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13:

Եթե ​​ենթադրենք, որ a = 1, ապա b = -4 և c = -13: Այս գործակիցները մեզ թույլ են տալիս ստեղծել երկրորդ կարգի հավասարում.

x 2 - 4x - 13 = 0:

Եկեք օգտագործենք բանաձևը դիսկրիմինանտի հետ և ստանանք հետևյալ արմատները.

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68:

Այսինքն՝ խնդիրը կրճատվել է մինչև √68 թիվը։ Նշենք, որ 68 = 4 * 17, ապա, օգտագործելով քառակուսի արմատ հատկությունը, մենք ստանում ենք՝ √68 = 2√17:

Այժմ օգտագործենք քառակուսի արմատի համարվող բանաձևը՝ a 0 = 4, ապա.

ա 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

ա 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231:

3-ը հաշվարկելու կարիք չկա, քանի որ հայտնաբերված արժեքները տարբերվում են ընդամենը 0,02-ով: Այսպիսով, √68 = 8.246: Փոխարինելով այն x 1,2 բանաձևով, մենք ստանում ենք.

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 և x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123:

Ինչպես տեսնում ենք, հայտնաբերված թվերի գումարն իսկապես հավասար է 4-ի, բայց եթե գտնենք դրանց արտադրյալը, ապա այն հավասար կլինի -12,999-ի, որը բավարարում է խնդրի պայմանները 0,001 ճշտությամբ։