≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Ինչ է ամբողջական քառակուսի հավասարումը: Քառակուսային հավասարման արմատները որոշելու օրինակներ. Ինչպես լուծել թերի քառակուսի հավասարումը

Առաջին մակարդակ

Քառակուսային հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

«Քառակուսային հավասարում» տերմինում հիմնական բառը «քառակուսի» է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է անպայմանորեն քառակուսիում պարունակի փոփոխական (նույն X), իսկ երրորդ (կամ ավելի մեծ) աստիճանում չպետք է լինի X-եր։

Շատ հավասարումների լուծումը վերածվում է ճշգրիտ լուծման քառակուսի հավասարումներ.

Եկեք սովորենք որոշել, որ մենք ունենք քառակուսի հավասարում, և ոչ թե ուրիշ:

Օրինակ 1

Ազատվեք հայտարարից և հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմ և տերմինները դասավորենք x-ի հզորությունների նվազման կարգով

Այժմ մենք կարող ենք վստահաբար ասել, որ տրված հավասարումըքառակուսի է!

Օրինակ 2

Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք հետևյալով.

Այս հավասարումը, թեև ի սկզբանե դրանում էր, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3

Եկեք ամեն ինչ բազմապատկենք հետևյալով.

Վախկոտ? Չորրորդ և երկրորդ աստիճանները ... Այնուամենայնիվ, եթե փոխարինենք, կտեսնենք, որ ունենք պարզ քառակուսի հավասարում.

Օրինակ 4

Թվում է, թե այդպես է, բայց եկեք ավելի ուշադիր նայենք: Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմը.

Տեսեք, փոքրացավ, և հիմա դա պարզ է գծային հավասարում!

Այժմ փորձեք ինքներդ որոշել, թե հետևյալ հավասարումներից որոնք են քառակուսի և որոնք՝ ոչ.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

1. քառակուսի;
2. քառակուսի;
3. ոչ քառակուսի;
4. ոչ քառակուսի;
5. ոչ քառակուսի;
6. քառակուսի;
7. ոչ քառակուսի;
8. քառակուսի.

Մաթեմատիկոսները բոլոր քառակուսի հավասարումները պայմանականորեն բաժանում են հետևյալ տեսակների.

• Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցները և, ինչպես նաև c ազատ անդամը, հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակում): Բացի այդ, ամբողջական քառակուսի հավասարումների թվում կան տրվածհավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակ առաջինի հավասարումը ոչ միայն ամբողջական է, այլև կրճատված է):

• Անավարտ քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում c գործակիցը և կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

  Դրանք թերի են, քանի որ դրանցից ինչ-որ տարր բացակայում է: Բայց հավասարումը միշտ պետք է պարունակի x քառակուսի !!! Հակառակ դեպքում դա այլևս կլինի ոչ թե քառակուսի, այլ ինչ-որ այլ հավասարում։

Ինչո՞ւ են նման բաժանում մտածել։ Թվում է, թե կա X քառակուսի, և լավ: Նման բաժանումը պայմանավորված է լուծման մեթոդներով։ Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախ, եկեք կենտրոնանանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման վրա. դրանք շատ ավելի պարզ են:

Անավարտ քառակուսի հավասարումները կան հետևյալ տեսակների.

1. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։
2. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.
3. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

1. i. Քանի որ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է արդյունահանել Քառակուսի արմատ, ապա արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, ուրեմն՝ եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի:

Իսկ եթե, ապա մենք ստանում ենք երկու արմատ. Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չունեն։ Հիմնական բանը այն է, որ դուք միշտ պետք է իմանաք և հիշեք, որ դա չի կարող պակաս լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ։

Օրինակ 5:

Լուծիր հավասարումը

Այժմ մնում է արմատը հանել ձախ և աջ մասերից։ Ի վերջո, հիշո՞ւմ եք, թե ինչպես կարելի է արմատները հանել:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին!!!

Օրինակ 6:

Լուծիր հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 7:

Լուծիր հավասարումը

Օ՜ Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ արմատներ!

Նման հավասարումների համար, որոնցում արմատներ չկան, մաթեմատիկոսները եկան հատուկ պատկերակ՝ (դատարկ հավաքածու): Իսկ պատասխանը կարելի է գրել այսպես.

Պատասխան.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ. Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք չենք հանել արմատը:
Օրինակ 8:

Լուծիր հավասարումը

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Այսպիսով,

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենապարզ տեսակը (թեև դրանք բոլորն էլ պարզ են, չէ՞): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կանենք առանց օրինակների.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարման հավասարումն է, որտեղ

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի բարդ է (միայն մի փոքր), քան տրվածները:

Հիշիր, ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Նույնիսկ թերի:

Մնացած մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը շատ պարզ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։

Եթե, ապա հավասարումը արմատ ունի։Հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել քայլին։ Տարբերիչը () ցույց է տալիս մեզ հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9:

Լուծիր հավասարումը

Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քայլ 3

Պատասխան.

Օրինակ 10:

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Պատասխան.

Օրինակ 11:

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա արմատը հանել խտրականից: Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի հավասարումների լուծում.

Եթե ​​հիշում եք, ապա կա այնպիսի տիպի հավասարումներ, որոնք կոչվում են կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրվածքառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Օրինակ 12:

Լուծիր հավասարումը

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Եկեք ստեղծենք և լուծենք համակարգը.

• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13:

Լուծիր հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14:

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտ, - որոշ թվեր, ընդ որում:

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, Ա - ազատ անդամ.

Ինչո՞ւ։ Որովհետև եթե, ապա հավասարումը անմիջապես կդառնա գծային, քանի որ կվերանա:

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս կղանքի հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն, հավասարումը ամբողջական է:

Տարբեր տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Սկզբից մենք կվերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդները. դրանք ավելի պարզ են:

Կարելի է առանձնացնել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Այժմ դիտարկենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսում գտնվող թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ։ Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չունեն։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ set պատկերակը:

Պատասխան.

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Մենք գործոնացնում ենք հավասարման ձախ կողմը և գտնում ենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Նույնիսկ թերի:

Նկատե՞լ եք արմատային բանաձևում դիսկրիմինանտի արմատը: Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլ 2-ին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատ.
• Եթե, ապա հավասարումը ունի նույնական արմատներ, բայց իրականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու է դա հնարավոր տարբեր քանակությամբարմատներ? Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Կոնկրետ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, . Իսկ դա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները x առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են։ Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը կամ հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթը ընկած է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Պատասխան.

Պատասխան.

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է. պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի՝ վերցված հակառակ նշանով։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն տրված քառակուսի հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Ընտրենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և ստուգենք՝ արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարն է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ #2:

Լուծում:

Մենք ընտրում ենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, այնուհետև ստուգում ենք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալ ընդհանուր.

և՝ տալ ընդհանուր. Այն ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները և, ի վերջո, արտադրանքը:

Պատասխան.

Օրինակ #3:

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, և հետևաբար արմատների արտադրյալը՝ բացասական թիվ. Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Այսպիսով, արմատների գումարը կազմում է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. դրանց տարբերությունը - հարմար չէ.

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է: Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ուրեմն բացարձակ արժեքով ավելի փոքր արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ #4:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Իսկ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և այնուհետև որոշում ենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ #5:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատները մինուս են:

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է՝ արմատներ հորինել բանավոր՝ այս գարշելի խտրականությունը հաշվելու փոխարեն։ Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատների որոնումը հեշտացնելու և արագացնելու համար։ Այն օգտագործելը ձեզ համար շահավետ դարձնելու համար պետք է գործողությունները հասցնել ավտոմատիզմի։ Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։ Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել խտրականությունը: Միայն Վիետայի թեորեմը.

Անկախ աշխատանքի համար առաջադրանքների լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես միշտ, մենք ընտրությունը սկսում ենք ապրանքից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

: գումարն այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին, մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը. գումարը պետք է ստացվի, բայց արտադրյալը հավասար է:

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է այն:

Անհրաժեշտ է բոլոր պայմանները տեղափոխել մեկ մասի.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Այո՛, կանգ առե՛ք։ Հավասարումը տրված չէ։ Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումների մեջ։ Այսպիսով, նախ պետք է բերել հավասարումը. Եթե ​​դուք չեք կարող այն առաջ քաշել, թողեք այս գաղափարը և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով): Հիշեցնեմ, որ բերել քառակուսի հավասարում նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Հիանալի: Այնուհետեւ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արտադրյալը.

Այստեղ ավելի հեշտ է վերցնել. ի վերջո՝ պարզ թիվ (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 4.

Ազատ տերմինը բացասական է: Ինչո՞վ է դա առանձնահատուկ: Եվ այն, որ արմատները կլինեն տարբեր նշանների: Եվ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալը։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուսով է։ Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն. Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ է պետք առաջին հերթին անել: Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործոնները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը։ Նրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսի դեպքում ավելի մեծ արմատ կլինի:

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփեմ.

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումների մեջ։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դուք կարող եք գտնել արմատները ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ ազատ անդամի ոչ մի հարմար զույգ գործակից չի գտնվել, ապա ամբողջ թվային արմատներ չկան, և դուք պետք է այն լուծեք այլ կերպ (օրինակ՝ դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր անդամները ներկայացված են որպես տերմիններ կրճատ բազմապատկման բանաձևերից՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականների փոփոխությունից հետո հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես տիպի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում։

Օրինակ:

Օրինակ 1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

IN ընդհանուր տեսարանփոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Դա խտրականն է։ Հենց այդպես էլ ստացվել է դիսկրիմինանտ բանաձեւը.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է, որտեղ անհայտն է, քառակուսի հավասարման գործակիցներն են, ազատ անդամն է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը ունի ձև.
• եթե ազատ անդամ է, ապա հավասարումն ունի հետևյալ ձևը՝
• եթե և, ապա հավասարումն ունի ձև՝ .

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Արտահայտեք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում՝ օգտագործելով տարբերակիչ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվե՛ք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը (ձևի հավասարում, որտեղ) հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , Ա.

2.3. Ամբողջական քառակուսի լուծում

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Սովորելով լուծել առաջին աստիճանի հավասարումներ, իհարկե, ուզում եմ աշխատել ուրիշների հետ, մասնավորապես, երկրորդ աստիճանի հավասարումների հետ, որոնք այլ կերպ կոչվում են քառակուսի։

Քառակուսային հավասարումները ax² + bx + c = 0 տիպի հավասարումներ են, որտեղ փոփոխականը x է, թվերը կլինեն՝ a, b, c, որտեղ a-ն հավասար չէ զրոյի:

Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ այս կամ այն ​​գործակիցը (c կամ b) հավասար է զրոյի, ապա այս հավասարումը վերաբերելու է ոչ լրիվ քառակուսային հավասարմանը:

Ինչպե՞ս լուծել թերի քառակուսի հավասարումը, եթե ուսանողները մինչ այժմ կարողացել են լուծել միայն առաջին աստիճանի հավասարումներ: Դիտարկենք ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարումներ տարբեր տեսակներև դրանք լուծելու հեշտ ուղիներ:

ա) Եթե c գործակիցը հավասար է 0-ի, իսկ b գործակիցը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + bx + 0 = 0 կրճատվում է ax ² + bx = 0 ձևի հավասարման:

Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թերի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևը, որը բաղկացած է դրա ձախ կողմը գործակիցների բաժանելուց և հետագայում այն ​​պայմանից, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Օրինակ՝ 5x ² - 20x \u003d 0: Մենք հաշվի ենք առնում հավասարման ձախ կողմը՝ սովորական մաթեմատիկական գործողությունը կատարելիս՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը։

5x (x - 4) = 0

Մենք օգտագործում ենք պայմանը, որ ապրանքները հավասար են զրոյի:

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

Պատասխանը կլինի. առաջին արմատը 0 է; երկրորդ արմատը 4 է:

բ) Եթե b \u003d 0, իսկ ազատ անդամը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + 0x + c \u003d 0 հավասարումը վերածվում է ax ² + c \u003d 0 ձևի հավասարման: Լուծեք հավասարումները երկուով եղանակներ. ա) ձախ կողմի հավասարման բազմանդամի տարրալուծումը գործակիցների. բ) օգտագործելով թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունները. Նման հավասարումը լուծվում է մեթոդներից մեկով, օրինակ.

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Պատասխանը հետևյալն է. առաջին արմատը 5/2 է; երկրորդ արմատը - 5/2:

գ) Եթե b-ը հավասար է 0-ի, իսկ c-ն հավասար է 0-ի, ապա ax² + 0 + 0 = 0 վերածվում է ax² = 0 ձևի հավասարման: Նման հավասարման դեպքում x-ը հավասար կլինի 0-ի:

Ինչպես տեսնում եք, անավարտ քառակուսի հավասարումները կարող են ունենալ առավելագույնը երկու արմատ:

«Հավասարումների լուծում» թեմայի շարունակության մեջ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն դիտարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու նշումը, սահմանել հարակից տերմիններ, վերլուծել թերի և ամբողջական հավասարումների լուծման սխեման, ծանոթանալ արմատների բանաձևին և տարբերակիչին, կապ հաստատել արմատների և գործակիցների միջև և իհարկե։ կտանք գործնական օրինակների տեսողական լուծում։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Սահմանում 1

Քառակուսային հավասարումհավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, Որտեղ x– փոփոխական, a , b և գորոշ թվեր են, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ իրականում քառակուսի հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է:

Տրված սահմանումը լուսաբանելու համար բերենք օրինակ՝ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, Ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ամենաբարձր գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ գ-ը բացասական են, ապա կարճ ձևձևի գրառումները 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, բայց չէ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0ավագ գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ըստ առաջին գործակցի արժեքի՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատված և ոչ կրճատվածի։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակիցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Ահա մի քանի օրինակ՝ x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 - x - 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ բաժանելով դրա երկու մասերն առաջին գործակցով (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը կամ նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

նկատառում գործի ուսումնասիրությունըթույլ կտա մեզ տեսողականորեն ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Լուծում

Ըստ վերը նշված սխեմայի, մենք բաժանում ենք սկզբնական հավասարման երկու մասերը առաջատար գործակցով 6: Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x - 7) 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Եկեք անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը: Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ճիշտ քառակուսի էր, քանի որ a = 0այն ըստ էության վերածվում է գծային հավասարման b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բԵվ գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Անավարտ քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է a x 2 + b x + c \u003d 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բԵվ գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի։

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այդպիսի անուններ։

b = 0-ի համար քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0Եվ c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ x փոփոխականով անդամ, ոչ ազատ անդամ, ոչ էլ երկուսն էլ միանգամից: Փաստորեն, այս փաստը տվել է այս տիպի հավասարումների անվանումը՝ թերի։

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 թերի քառակուսի հավասարումներ են:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերոնշյալ սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել հետեւյալ տեսակներըԹերի քառակուսի հավասարումներ.

• a x 2 = 0, գործակիցները համապատասխանում են նման հավասարմանը b = 0և c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0-ի համար;
• a x 2 + b x = 0 c = 0-ի համար:

Հետևաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 \u003d 0 հավասարման լուծում

Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, նման հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բԵվ գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարումը a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x2 = 0զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p ,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p2 = 0երբեք չի հասնի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​մեկ արմատ x=0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x2 = 0, նրա միակ արմատն է x=0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Լուծումը ամփոփված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0:

a x 2 + c \u003d 0 հավասարման լուծում

Հաջորդը թերի քառակուսի հավասարումների լուծումն է, որտեղ b \u003d 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը փոխանցելով, նշանը փոխելով հակառակի և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• դիմանալ գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, արդյունքում ստանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համարժեք են, համապատասխանաբար, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աԵվ գկախված է արտահայտության արժեքից՝ c a. այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1Եվ գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = -2Եվ c=6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջհավասարություն p 2 = - c a-ն չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 \u003d - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 \u003d - c a: Հեշտ է հասկանալ, որ - - c a - թիվը նույնպես x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a:

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ՝ օգտագործելով հակառակ մեթոդը։ Նախ, եկեք սահմանենք վերևում հայտնաբերված արմատների նշումը որպես x 1Եվ - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x2, որը տարբերվում է արմատներից x 1Եվ - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1Եվ - x 1գրել՝ x 1 2 = - c a , և համար x2- x 2 2 \u003d - գ ա. Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ այլ անդամից հանում ենք մեկ իրական հավասարություն ըստ անդամի, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Վերջին հավասարությունը վերագրելու համար օգտագործեք թվերի գործողությունների հատկությունները որպես (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թվերից գոնե մեկը զրո է։ Ասվածից հետեւում է, որ x1 - x2 = 0և/կամ x1 + x2 = 0, որը նույնն է x2 = x1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x2տարբերվում է x 1Եվ - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a .

Մենք ամփոփում ենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Անավարտ քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չի ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a երբ - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսի հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է գտնել դրա լուծումը։

Լուծում

Ազատ տերմինը փոխանցում ենք հավասարման աջ կողմ, այնուհետև հավասարումը ձև կընդունի 9 x 2 \u003d - 7.
Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 9 , մենք գալիս ենք x 2 = - 7 9 . Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է. տրված հավասարումըոչ մի արմատ: Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը − x2 + 36 = 0.

Լուծում

36-ը տեղափոխենք աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Եկեք երկու մասերը բաժանենք − 1 , ստանում ենք x2 = 36. Աջ կողմում դրական թիվ է, որից կարելի է եզրակացնել, որ x = 36 կամ x = - 36 .
Մենք հանում ենք արմատը և գրում վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում − x2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = -6.

Պատասխան. x=6կամ x = -6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Եկեք վերլուծենք երրորդ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումները, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, օգտագործում ենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է հավասարումների բազմությանը x=0Եվ a x + b = 0. Հավասարումը a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x=0Եվ x = − b ա.

Համախմբենք նյութը օրինակով.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Լուծում

Եկեք հանենք xփակագծերից դուրս և ստացիր x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x=0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ, հավասարման լուծումը գրում ենք հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7:

Տարբերակիչ, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծում գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 a, որտեղ D = b 2 − 4 a գքառակուսի հավասարման այսպես կոչված դիսկրիմինանտն է։

X \u003d - b ± D 2 a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a:

Օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել նշված բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Ենթադրենք, մեր առջեւ դրված է քառակուսի հավասարումը լուծելու խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր թվի վրա ա, տարբերվում է զրոյից, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ստացված հավասարման ձախ կողմում ընտրեք լրիվ քառակուսին.
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Դրանից հետո հավասարումը կունենա ձև՝ x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• վերջապես փոխակերպում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

Այսպիսով, մենք եկել ենք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը քննարկել ենք նախորդ պարբերություններում (չավարտ քառակուսային հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ի համար< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, հավասարումը ունի x + b 2 · a 2 = 0 ձև, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0-ի համար ճիշտը հետևյալն է՝ x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , որը նույնը, ինչ x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը (և, հետևաբար, սկզբնական հավասարումը) կախված է b 2 - 4 a c արտահայտության նշանից. 4 · աջ կողմում գրված է 2: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գտրված է անուն - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ և որպես դրա նշանակում է սահմանվում D տառը: Այստեղ դուք կարող եք գրել դիսկրիմինանտի էությունը՝ ըստ արժեքի և նշանի, նրանք եզրակացնում են, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա քանի՞ արմատ՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշումը՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք ամփոփենք եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 կամ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ x \u003d - b 2 a + D 2 a կամ - b 2 a - D 2 a: Իսկ երբ բացում ենք մոդուլները և կոտորակները բերում ենք Ընդհանուր հայտարար, մենք ստանում ենք՝ x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը եղավ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումը.

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս, երբ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, որոշել երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառմամբ քառակուսային հավասարման միակ լուծումը կստանա նույն արմատը: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինատորը բացասական է, փորձելով օգտագործել քառակուսի արմատային բանաձևը, մենք կկանգնենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելու անհրաժեշտության առաջ, որը մեզ կտանի այն կողմ: իրական թվեր. Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են մեր ստացած նույն արմատային բանաձևերով:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց հիմնականում դա արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում որոնումը սովորաբար նախատեսված է ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների համար: Այնուհետև օպտիմալ է, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարում լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչի արժեքը.
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը x = - b 2 · a բանաձեւով;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները x = - b ± D 2 · a բանաձևով:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրո է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձևը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձևը:

Նկատի առ օրինակներ։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք օրինակ լուծում տանք տարբեր արժեքներխտրական.

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները x 2 + 2 x - 6 = 0.

Լուծում

Մենք գրում ենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a \u003d 1, b \u003d 2 և գ = - 6. Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար փոխարինում ենք a , b գործակիցները. Եվ գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստացանք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար մենք օգտագործում ենք x \u003d - b ± D 2 · a արմատային բանաձևը և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք. x \u003d - 2 ± 28 2 · 1: Ստացված արտահայտությունը պարզեցնում ենք՝ արմատի նշանից հանելով գործոնը, որին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Լուծում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Պատասխան. x = 3, 5.

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Լուծում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5 , b = 6 եւ c = 2 : Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով գործողություններ բարդ թվերով.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 կամ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i կամ x = - 3 5 - 1 5 i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատներն են՝ - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Դպրոցական ծրագրում, որպես չափորոշիչ, բարդ արմատներ փնտրելու պահանջ չկա, հետևաբար, եթե որոշման ժամանակ խտրականը սահմանվում է որպես բացասական, անմիջապես արձանագրվում է պատասխան, որ իրական արմատներ չկան։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Արմատային բանաձևը x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ x (կամ գործակցով) հավասար գործակցով: 2 a n ձևի, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Ենթադրենք, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսային հավասարման լուծումը: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · գ ա .

Թող n 2 − a c արտահայտությունը նշանակվի D 1 (երբեմն այն նշվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով կստանա հետևյալ ձևը.

x \u003d - n ± D 1 a, որտեղ D 1 \u003d n 2 - a c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտորեն, D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ։

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0-ի համար որոշեք հավասարման միակ արմատը x = - n a բանաձեւով;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում

Տրված հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև մենք վերագրում ենք տրված քառակուսային հավասարումը որպես 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32:

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք սահմանում ենք արմատների համապատասխան բանաձևով.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, բայց այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու համար, քան 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 հավասարման պարզեցված ներկայացումը, որը ստացվել է դրա երկու մասերը 100-ի բաժանելով:

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները համեմատաբար պարզ թվեր չեն։ Այնուհետև սովորական է հավասարման երկու կողմերը բաժանել ամենամեծի վրա ընդհանուր բաժանարար բացարձակ արժեքներդրա գործակիցները։

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք սահմանենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների gcd-ն՝ gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6: Բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու մասերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսային հավասարում 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ կոտորակային գործակիցները սովորաբար վերացվում են։ Այս դեպքում բազմապատկեք նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով: Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի պարզ ձև x 2 + 4 x - 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու մասերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ, քառակուսի հավասարումից - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, կարող եք գնալ դրա պարզեցված տարբերակին 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0:

Արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարումների արմատների արդեն հայտնի բանաձեւը x = - b ± D 2 · a արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցներով։ Այս բանաձևի հիման վրա մենք հնարավորություն ունենք արմատների և գործակիցների միջև սահմանել այլ կախվածություններ։

Առավել հայտնի և կիրառելի են Վիետայի թեորեմի բանաձևերը.

x 1 + x 2 \u003d - b a և x 2 \u003d c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հակառակ նշանով երկրորդ գործակիցն է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ, 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 քառակուսի հավասարման ձևով հնարավոր է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը 22 3 է:

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մատենագիտական ​​նկարագրություն. Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ // Երիտասարդ գիտնական. 2016թ. №6.1. S. 17-20..02.2019).



Մեր նախագիծը նվիրված է քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակներին։ Նախագծի նպատակը՝ սովորել, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցական ծրագրում չներառված եղանակներով: Առաջադրանք՝ գտնել ամեն ինչ հնարավոր ուղիներըլուծեք քառակուսի հավասարումներ և սովորեք, թե ինչպես դրանք օգտագործել ինքներդ և դասընկերներին ծանոթացրեք այս մեթոդներին:

Որո՞նք են «քառակուսի հավասարումները»:

Քառակուսային հավասարում- ձևի հավասարումը կացին2 + bx + c = 0, Որտեղ ա, բ, գ- որոշ թվեր ( a ≠ 0), x- անհայտ:

a, b, c թվերը կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցներ։

• ա կոչվում է առաջին գործակից;
• b կոչվում է երկրորդ գործակից;
• գ - ազատ անդամ:

Իսկ ո՞վ է առաջինը «հնարել» քառակուսի հավասարումներ։

Գծային և քառակուսի հավասարումների լուծման հանրահաշվական որոշ մեթոդներ հայտնի են եղել դեռևս 4000 տարի առաջ Հին Բաբելոնում: Հայտնաբերված հնագույն բաբելոնյան կավե տախտակները, որոնք թվագրվել են մ.թ.ա. 1800-ից 1600 թվականներին, քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրության ամենավաղ ապացույցն են: Նույն հաբերը պարունակում է քառակուսի հավասարումների որոշ տեսակների լուծման մեթոդներ։

Հնում ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ լուծելու անհրաժեշտությունը առաջացել է տարածքների որոնման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ. հողատարածքներև հետ հողային աշխատանքներռազմական բնույթը, ինչպես նաև բուն աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացումը։

Բաբելոնյան տեքստերում նշված այս հավասարումների լուծման կանոնը, ըստ էության, համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Առայժմ հայտնաբերված գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը տալիս են միայն բաղադրատոմսերի տեսքով նշված լուծումների խնդիրներ՝ առանց մատնանշելու, թե ինչպես են դրանք գտնվել: Չնայած բարձր մակարդակՀանրահաշվի զարգացումը Բաբելոնում, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հասկացությունը և ընդհանուր մեթոդներքառակուսի հավասարումների լուծումներ.

Բաբելոնացի մաթեմատիկոսները մոտ 4-րդ դարից մ.թ.ա. դրական արմատներով հավասարումներ լուծելու համար օգտագործել է քառակուսի լրացման մեթոդը: Մոտ 300 մ.թ.ա. Էվկլիդեսը հանդես եկավ երկրաչափական լուծման ավելի ընդհանուր մեթոդով։ Առաջին մաթեմատիկոսը, ով գտել է ձևի բացասական արմատներով հավասարման լուծումները հանրահաշվական բանաձեւ, հնդիկ գիտնական էր Բրահմագուպտա(Հնդկաստան, մ.թ. 7-րդ դար):

Բրահմագուպտան ուրվագծել է մեկ կանոնական ձևով կրճատված քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոն.

ax2 + bx = c, a>0

Այս հավասարման դեպքում գործակիցները կարող են բացասական լինել: Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության համընկնում է մերի հետ։

Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին։ Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. գիտնական մարդխավարման փառքը ժողովրդական ժողովներում, առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ: Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Հանրահաշվական տրակտատում Ալ-Խվարիզմիտրված է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 = bx:

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 + c = bx:

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c == ax2:

Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են, ոչ թե հանումներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն ​​հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը ուրվագծում է այս հավասարումների լուծման մեթոդները՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալա մեթոդները։ Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չենք խոսում այն ​​մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս Ալ-Խվարեզմին, ինչպես և մինչև 17-րդ դարը բոլոր մաթեմատիկոսները, հաշվի չեն առնում զրոն. լուծում, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնական առաջադրանքներում դա նշանակություն չունի: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս Ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանց լուծման կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Եվրոպայում Ալ-Խվարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման ձևերն առաջին անգամ նկարագրվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին։ Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչի. Հեղինակն ինքնուրույն մշակել է մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներխնդիրների լուծում և Եվրոպայում առաջինը մոտեցավ բացասական թվերի ներդրմանը։

Այս գիրքը նպաստեց հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլև Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և եվրոպական այլ երկրներում։ Այս գրքից շատ առաջադրանքներ փոխանցվել են 14-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերին։ Ընդհանուր կանոնքառակուսի հավասարումների լուծումները, որոնք կրճատվել են մինչև մեկ կանոնական ձև x2 + bx = c նշանների և b, c գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցություններով, ձևակերպվել է Եվրոպայում 1544 թվականին։ Մ.Շտիֆել.

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալյա, Կարդանո, Բոմբելլիառաջիններից է 16-րդ դարում։ հաշվի առնել, բացի դրականից, և բացասական արմատներ. Միայն XVII դ. աշխատանքի շնորհիվ Ժիրար, Դեկարտ, Նյուտոնև այլ գիտնականներ, քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակը ստանում է ժամանակակից ձև:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծման մի քանի եղանակներ:

Դպրոցական ուսումնական պլանից քառակուսի հավասարումներ լուծելու ստանդարտ եղանակներ.

1. Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում.
2. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ.
3. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.
4. Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում.
5. Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարումների լուծում.

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ կրճատված և չկրճատված քառակուսային հավասարումների լուծմանը։

Հիշեցնենք, որ տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար բավական է գտնել երկու այնպիսի թիվ, որոնց արտադրյալը հավասար լինի ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար լինի հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին։

Օրինակ.x 2 -5x+6=0

Պետք է գտնել թվեր, որոնց արտադրյալը 6 է, իսկ գումարը՝ 5։ Այս թվերը կլինեն 3 և 2։

Պատասխան՝ x 1 =2, x 2 =3.

Բայց դուք կարող եք օգտագործել այս մեթոդը հավասարումների համար, որոնց առաջին գործակիցը հավասար չէ մեկին:

Օրինակ.3x 2 +2x-5=0

Վերցնում ենք առաջին գործակիցը և այն բազմապատկում ազատ անդամով՝ x 2 +2x-15=0.

Այս հավասարման արմատները կլինեն այն թվերը, որոնց արտադրյալը հավասար է -15-ի, իսկ գումարը հավասար է -2-ի: Այս թվերն են 5-ը և 3-ը: Բնօրինակի հավասարման արմատները գտնելու համար ստացված արմատները բաժանում ենք առաջին գործակցի վրա: .

Պատասխան՝ x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով։

Դիտարկենք ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումը, որտեղ a≠0:

Նրա երկու մասերը բազմապատկելով a-ով, ստանում ենք a 2 x 2 + abx + ac = 0 հավասարումը:

Թող ax = y, որտեղից x = y/a; ապա հանգում ենք y 2 + ըստ + ac = 0 հավասարմանը, որը համարժեք է տրվածին։ Մենք գտնում ենք նրա արմատները 1-ում և 2-ում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը:

Վերջապես մենք ստանում ենք x 1 = y 1 /a և x 2 = y 2 /a:

Այս մեթոդով a գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում» է դրան, ուստի այն կոչվում է «փոխանցման» մեթոդ։ Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Օրինակ.2x 2 - 11x + 15 = 0:

2 գործակիցը «փոխանցենք» ազատ անդամին և փոխարինումը կատարելով՝ ստանում ենք y 2 - 11y + 30 = 0 հավասարումը։

Վիետայի հակադարձ թեորեմի համաձայն

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3:

Պատասխան՝ x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները.

Թող տրվի ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 քառակուսի հավասարումը:

1. Եթե a + b + c \u003d 0 (այսինքն, հավասարման գործակիցների գումարը զրո է), ապա x 1 \u003d 1:

2. Եթե a - b + c \u003d 0, կամ b \u003d a + c, ապա x 1 \u003d - 1:

Օրինակ.345x 2 - 137x - 208 = 0:

Քանի որ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), ապա x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345:

Պատասխան՝ x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Օրինակ.132x 2 + 247x + 115 = 0

Որովհետեւ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), ապա x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Պատասխան՝ x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Կան քառակուսի հավասարման գործակիցների այլ հատկություններ: բայց դրանց օգտագործումն ավելի բարդ է:

8. Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով:

Նկ 1. Նոմոգրամ

Սա քառակուսի հավասարումների լուծման հին և ներկայումս մոռացված մեթոդ է, որը տեղադրված է ժողովածուի 83-րդ էջում՝ Bradis V.M. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:

Աղյուսակ XXII. Նոմոգրամ՝ հավասարումների լուծման համար z2 + pz + q = 0. Այս նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց քառակուսի հավասարումը լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։

Նոմոգրամի կորագիծ սանդղակը կառուցված է ըստ բանաձևերի (նկ. 1).

Ենթադրելով OS = p, ED = q, OE = a(բոլորը սմ-ով), 1-ին եռանկյունների նմանությունից ՍԱՆԵվ CDFմենք ստանում ենք համամասնությունը

որտեղից փոխարինումներից և պարզեցումներից հետո հետևում է հավասարումը z 2 + pz + q = 0,և նամակը զնշանակում է կոր սանդղակի ցանկացած կետի պիտակ:

Բրինձ. 2 Քառակուսային հավասարման լուծում նոմոգրամի միջոցով

Օրինակներ.

1) հավասարման համար զ 2 - 9z + 8 = 0նոմոգրամը տալիս է z 1 = 8,0 և z 2 = 1,0 արմատները

Պատասխան՝ 8.0; 1.0.

2) Լուծե՛ք հավասարումը նոմոգրամի միջոցով

2զ 2 - 9z + 2 = 0:

Այս հավասարման գործակիցները բաժանեք 2-ի, ստանում ենք z 2 - 4,5z + 1 = 0 հավասարումը։

Նոմոգրամը տալիս է z 1 = 4 արմատները և z 2 = 0,5:

Պատասխան՝ 4; 0.5.

9. Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ.

Օրինակ.X 2 + 10x = 39:

Բնագրում այս խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ «Քառակուսին և տասը արմատը հավասար են 39-ի»։

Դիտարկենք x կողմով քառակուսի, որի կողերին ուղղանկյուններ են կառուցված այնպես, որ յուրաքանչյուրի մյուս կողմը լինի 2,5, հետևաբար յուրաքանչյուրի մակերեսը 2,5x է: Ստացված պատկերն այնուհետև լրացվում է նոր ABCD քառակուսու վրա՝ անկյուններում լրացնելով չորս հավասար քառակուսի, որոնցից յուրաքանչյուրի կողմը 2,5 է, իսկ մակերեսը՝ 6,25։

Բրինձ. 3 x 2 + 10x = 39 հավասարումը լուծելու գրաֆիկական եղանակ

ABCD քառակուսու S տարածքը կարող է ներկայացվել որպես տարածքների գումար՝ սկզբնական քառակուսի x 2, չորս ուղղանկյուն (4 ∙ 2,5x = 10x) և չորս կցված քառակուսի (6,25 ∙ 4 = 25), այսինքն. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25: Փոխարինելով x 2 + 10x 39 թվով, մենք ստանում ենք, որ S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ինչը ենթադրում է, որ ABCD քառակուսու կողմը, այսինքն. հատված AB \u003d 8. Բնօրինակ քառակուսի x ցանկալի կողմի համար մենք ստանում ենք

10. Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը.

Բեզուտի թեորեմը. P(x) բազմանդամը x - α երկանդամին բաժանելուց հետո մնացածը հավասար է P(α)-ի (այսինքն՝ P(x)-ի արժեքը x = α-ում):

Եթե ​​α թիվը P(x) բազմանդամի արմատն է, ապա այս բազմանդամը առանց մնացորդի բաժանվում է x -α-ի։

Օրինակ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α՝ ±1,±3, α=1, 1-4+3=0: Բաժանել P(x)-ի (x-1)՝ (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, կամ x-3=0, x=3; Պատասխան՝ x1 =2, x2 =3.

Եզրակացություն:Քառակուսային հավասարումներ արագ և ռացիոնալ լուծելու ունակությունը պարզապես անհրաժեշտ է ավելի բարդ հավասարումներ լուծելու համար, օրինակ՝ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ, բարձր հզորությունների հավասարումներ, երկքառակուսի հավասարումներ, իսկ ավագ դպրոցում՝ եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ: Ուսումնասիրելով քառակուսի հավասարումների լուծման բոլոր մեթոդները, մենք կարող ենք դասընկերներին խորհուրդ տալ, բացի ստանդարտ մեթոդներից, լուծել փոխանցման մեթոդով (6) և լուծել հավասարումները գործակիցների հատկությամբ (7), քանի որ դրանք ավելի մատչելի են հասկանալու համար: .

Գրականություն:

1. Բրեդիս Վ.Մ. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:
2. Հանրահաշիվ 8 դասարան: Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15-րդ հրատ., վերանայված. - Մ.: Լուսավորություն, 2015 թ
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն դպրոցում. Ուղեցույց ուսուցիչների համար. / Էդ. Վ.Ն. Ավելի երիտասարդ. - Մ.: Լուսավորություն, 1964:

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Դիսկրիմինանտի օգնությամբ լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսային հավասարումներ, թերի քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք կգտնեք «Թերի քառակուսային հավասարումների լուծում» հոդվածում։

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումները, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դիսկրիմինանտ Դ.

D \u003d b 2 - 4ac.

Կախված նրանից, թե ինչ արժեք ունի դիսկրիմինանտը, պատասխանը կգրենք։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​տարբերակիչը զրո է, ապա x \u003d (-b) / 2a: Երբ դիսկրիմինատորը դրական թիվ է (D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ. լուծել հավասարումը x 2– 4x + 4= 0:

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Պատասխան՝ - 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսային հավասարումների լուծումը Նկար 1-ի սխեմայով:

Այս բանաձևերը կարող են օգտագործվել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում լուծելու համար: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 և այնուհետև հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես օրինակ 2 լուծումը վերևում):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջին հերթին պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչով միանդամ, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bx, իսկ հետո՝ ազատ ժամկետը Հետ.

Վերոնշյալ քառակուսային հավասարումը և երկրորդ անդամի զույգ գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող են օգտագործվել նաև այլ բանաձևեր։ Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​երկրորդ անդամով լրիվ քառակուսային հավասարման մեջ գործակիցը զույգ է (b = 2k), ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 մեկին հավասարև հավասարումը կունենա ձև x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծելու կամ ստացվել է հավասարման բոլոր գործակիցները գործակցի վրա բաժանելով. Ականգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսու լուծման դիագրամը
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը։

Օրինակ. լուծել հավասարումը

3x 2 + 6x - 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը` օգտագործելով Նկար 1-ում ներկայացված բանաձևերը:

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3

Դուք կարող եք տեսնել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b \u003d 6 կամ b \u003d 2k, որտեղից k \u003d 3: Այնուհետև եկեք փորձենք լուծել հավասարումը ՝ օգտագործելով գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը: D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և բաժանելով, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը x 2 + 2x - 2 = 0 Մենք լուծում ենք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Պատասխան՝ -1 - √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերի միջոցով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, լավ տիրապետելով Գծապատկեր 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է: