Գծային հավասարումներ մեկ լուծումով. Գծային հավասարումներ. Ամբողջական ուղեցույց (2019)
Հավասարումներ լուծել սովորելը հիմնական խնդիրներից մեկն է, որը հանրահաշիվը դնում է ուսանողների առաջ: Սկսած ամենապարզից, երբ այն բաղկացած է մեկ անհայտից և անցնելով ավելի ու ավելի բարդի: Եթե դուք չեք յուրացրել առաջին խմբի հավասարումներով կատարվող գործողությունները, դժվար կլինի ուրիշների հետ գործ ունենալ։
Զրույցը շարունակելու համար մենք պետք է պայմանավորվենք նշագրման մասին:
Մեկ անհայտով գծային հավասարման ընդհանուր ձևը և դրա լուծման սկզբունքը
Ցանկացած հավասարում, որը կարելի է գրել այսպես.
a * x = in,
կանչեց գծային. Սա ընդհանուր բանաձեւ. Բայց հաճախ առաջադրանքներում գծային հավասարումները գրվում են անուղղակի ձևով: Այնուհետև պահանջվում է կատարել նույնական փոխակերպումներ՝ ընդհանուր ընդունված նշում ստանալու համար։ Այս գործողությունները ներառում են.
- բացող փակագծեր;
- տեղափոխել բոլոր տերմինները փոփոխական արժեքով հավասարության ձախ կողմում, իսկ մնացածը դեպի աջ.
- նման պայմանների կրճատում.
Այն դեպքում, երբ անհայտ արժեք գտնվում է կոտորակի հայտարարի մեջ, անհրաժեշտ է որոշել դրա արժեքները, որոնց համար արտահայտությունը իմաստ չի ունենա: Այսինքն՝ ենթադրվում է, որ գիտի հավասարման տիրույթը։
Սկզբունքը, որով լուծվում են բոլոր գծային հավասարումները, հավասարման աջ կողմի արժեքը փոփոխականի դիմացի գործակցի վրա բաժանելն է։ Այսինքն, «x»-ը հավասար կլինի / ա.
Գծային հավասարման առանձին դեպքեր և դրանց լուծումները
Պատճառաբանության ընթացքում կարող են լինել պահեր, երբ գծային հավասարումները ընդունում են հատուկ ձևերից մեկը: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի կոնկրետ լուծում:
Առաջին իրավիճակում.
a * x = 0և a ≠ 0:
Այս հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:
Երկրորդ դեպքում «a»-ն ընդունում է զրոյի հավասար արժեքը.
0 * x = 0.
Այս հավասարման պատասխանը ցանկացած թիվ է: Այսինքն՝ ունի անսահման թվով արմատներ։
Երրորդ իրավիճակը հետևյալն է.
0*x=in, որտեղ ≠ 0-ում:
Այս հավասարումը իմաստ չունի: Որովհետև նրան բավարարող արմատներ չկան։
Երկու փոփոխականներով գծային հավասարման ընդհանուր ձև
Նրա անունից պարզ է դառնում, որ դրա մեջ արդեն երկու անհայտ քանակություն կա։ Գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներովնայեք այսպես.
a * x + b * y = c.
Քանի որ մուտքագրում կա երկու անհայտ, պատասխանը թվերի զույգ տեսք կունենա: Այսինքն՝ միայն մեկ արժեք նշելը բավարար չէ։ Սա թերի պատասխան կլինի։ Այն մեծությունների զույգը, որոնց դեպքում հավասարումը դառնում է նույնական, հավասարման լուծումն է: Ընդ որում, պատասխանում այբուբենում առաջին տեղում գտնվող փոփոխականը միշտ առաջինն է գրվում։ Երբեմն ասում են, որ այս թվերը նրան բավարարում են։ Ընդ որում, կարող է լինել անսահման թվով նման զույգեր։
Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումը երկու անհայտներով:
Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է վերցնել ցանկացած զույգ թվեր, որոնք ճիշտ են պարզվում: Պարզության համար կարող եք վերցնել անհայտներից մեկը, որը հավասար է պարզ թվի, ապա գտնել երկրորդը:
Լուծելիս հաճախ ստիպված ես լինում կատարել գործողություններ՝ հավասարումը պարզեցնելու համար։ Դրանք կոչվում են նույնական փոխակերպումներ: Ավելին, հետևյալ հատկությունները միշտ ճիշտ են հավասարումների համար.
- յուրաքանչյուր տերմին կարող է փոխանցվել հավասարության հակառակ մասին՝ իր նշանը փոխարինելով հակառակով.
- Ցանկացած հավասարման ձախ և աջ կողմերը թույլատրվում է բաժանել նույն թվով, եթե այն հավասար չէ զրոյի:
Գծային հավասարումներով առաջադրանքների օրինակներ
Առաջին առաջադրանքը.Լուծել գծային հավասարումներ՝ 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4:
Այս ցուցակում առաջին տեղում հայտնված հավասարման մեջ բավական է պարզապես 20-ը բաժանել 4-ի: Արդյունքը կլինի 5: Սա է պատասխանը՝ x \u003d 5:
Երրորդ հավասարումը պահանջում է, որ ինքնության վերափոխումը կատարվի: Այն բաղկացած է լինելու փակագծեր բացելուց և նմանատիպ տերմիններ բերելուց։ Առաջին գործողությունից հետո հավասարումը կունենա ձև՝ 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x: Այնուհետև անհրաժեշտ է բոլոր անհայտները փոխանցել հավասարության ձախ կողմում, իսկ մնացածը՝ աջ: Հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8։ Նման տերմինները բերելուց հետո՝ 14x \u003d 16։ Այժմ այն կարծես թե առաջինն է, և դրա լուծումը հեշտ է։ Պատասխանը x=8/7 է: Բայց մաթեմատիկայի մեջ ենթադրվում է, որ ամբողջ մասը մեկուսացված է ոչ պատշաճ կոտորակից։ Այնուհետև արդյունքը կվերափոխվի, և «x»-ը հավասար կլինի մեկ ամբողջության և մեկ յոթերորդի։
Մնացած օրինակներում փոփոխականները գտնվում են հայտարարի մեջ։ Սա նշանակում է, որ նախ պետք է պարզել, թե ինչ արժեքներով են սահմանված հավասարումները: Դա անելու համար անհրաժեշտ է բացառել այն թվերը, որոնց դեպքում հայտարարները վերածվում են զրոյի: Օրինակներից առաջինում «-4» է, երկրորդում՝ «-3»։ Այսինքն՝ այս արժեքները պետք է բացառվեն պատասխանից։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է հավասարության երկու կողմերը բազմապատկել հայտարարի արտահայտություններով:
Բացելով փակագծերը և ավելացնելով նման պայմաններ, այս հավասարումներից առաջինում ստացվում է՝ 5x + 15 = 4x + 16, իսկ երկրորդում՝ 5x + 15 = 4x + 12։ Փոխակերպումներից հետո առաջին հավասարման լուծումը կլինի x = -1։ Երկրորդը հավասար է «-3»-ի, ինչը նշանակում է, որ վերջինը լուծումներ չունի։
Երկրորդ առաջադրանք.Լուծե՛ք հավասարումը` -7x + 2y = 5:
Ենթադրենք, որ առաջին անհայտը x \u003d 1, ապա հավասարումը կստանա -7 * 1 + 2y \u003d 5 ձևը: «-7» բազմապատկիչը տեղափոխելով հավասարության աջ կողմ և նրա նշանը փոխելով գումարածի, այն վերածվում է. դուրս է, որ 2y \u003d 12. Այսպիսով, y =6: Պատասխան՝ x = 1, y = 6 հավասարման լուծումներից մեկը:
Անհավասարության ընդհանուր ձև մեկ փոփոխականով
Բոլորը հնարավոր իրավիճակներանհավասարությունների համար ներկայացված են այստեղ.
- a * x > b;
- կացին< в;
- a*x ≥v;
- a * x ≤c.
Ընդհանուր առմամբ, այն կարծես ամենապարզ գծային հավասարումն է, միայն հավասարության նշանը փոխարինվում է անհավասարությամբ:
Անհավասարության նույնական փոխակերպումների կանոններ
Ճիշտ այնպես, ինչպես գծային հավասարումները, անհավասարությունները կարող են փոփոխվել որոշակի օրենքների համաձայն: Նրանք հանգում են հետևյալին.
- Անհավասարության ձախ և աջ մասերին կարող եք ավելացնել ցանկացած տառ կամ թվային արտահայտություն, իսկ անհավասարության նշանը մնում է նույնը.
- կարող եք նաև բազմապատկել կամ բաժանել նույնով դրական թիվ, սրանից նորից նշանը չի փոխվում.
- նույնով բազմապատկելիս կամ բաժանելիս բացասական թիվհավասարությունը կմնա ճշմարիտ, պայմանով, որ անհավասարության նշանը հակադարձվի:
Կրկնակի անհավասարությունների ընդհանուր ձևը
Առաջադրանքներում կարող են ներկայացվել անհավասարությունների հետևյալ տարբերակները.
- Վ< а * х < с;
- c ≤ a * x< с;
- Վ< а * х ≤ с;
- c ≤ a * x ≤ c.
Այն կոչվում է կրկնակի, քանի որ սահմանափակված է երկու կողմերի անհավասարության նշաններով: Այն լուծվում է օգտագործելով նույն կանոնները, ինչ սովորական անհավասարությունները: Իսկ պատասխանը գտնելը հանգում է մի շարք նույնական փոխակերպումների: Մինչև ամենապարզը ստացվի։
Կրկնակի անհավասարությունների լուծման առանձնահատկությունները
Դրանցից առաջինը նրա պատկերն է կոորդինատային առանցք. Օգտագործեք այս մեթոդը պարզ անհավասարություններոչ անհրաժեշտ. Բայց դժվարին դեպքերում դա կարող է պարզապես անհրաժեշտ լինել։
Անհավասարությունը պատկերելու համար անհրաժեշտ է առանցքի վրա նշել բոլոր այն կետերը, որոնք ստացվել են պատճառաբանության ժամանակ։ Սրանք և՛ անվավեր արժեքներ են, որոնք նշվում են կետերով, և՛ արժեքներ՝ փոխակերպումներից հետո ստացված անհավասարություններից: Այստեղ նույնպես կարևոր է միավորները ճիշտ գծել։ Եթե անհավասարությունը խիստ է, ապա< или >, ապա այս արժեքները ծակվում են: Ոչ խիստ անհավասարությունների դեպքում կետերը պետք է ներկված լինեն:
Այնուհետև անհրաժեշտ է նշել անհավասարությունների իմաստը։ Դա կարելի է անել ելուստով կամ կամարներով: Նրանց խաչմերուկը ցույց կտա պատասխանը:
Երկրորդ հատկանիշը կապված է դրա ձայնագրման հետ։ Այստեղ առաջարկվում է երկու տարբերակ. Առաջինը վերջնական անհավասարությունն է: Երկրորդը բացերի տեսքով է։ Այստեղ է, որ նա փորձանքի մեջ է ընկնում։ Բացերով պատասխանը միշտ նման է փոփոխականի՝ սեփականության նշանով և թվերով փակագծերով: Երբեմն կան մի քանի բացեր, ապա փակագծերի միջև պետք է գրել «և» նշանը: Այս նշաններն այսպիսի տեսք ունեն՝ ∈ և ∩: Անջատող փակագծերը նույնպես դեր են խաղում: Կլորը տեղադրվում է, երբ կետը բացառվում է պատասխանից, իսկ ուղղանկյունը ներառում է այս արժեքը: Անսահմանության նշանը միշտ փակագծերում է:
Անհավասարությունների լուծման օրինակներ
1. Լուծե՛ք 7 - 5x ≥ 37 անհավասարությունը։
Պարզ փոխակերպումներից հետո ստացվում է՝ -5x ≥ 30: Բաժանելով «-5»-ի, կարող եք ստանալ հետևյալ արտահայտությունը՝ x ≤ -6: Սա արդեն պատասխան է, բայց կարելի է գրել այլ կերպ՝ x ∈ (-∞; -6]:
2. Լուծի՛ր -4 կրկնակի անհավասարությունը< 2x + 6 ≤ 8.
Նախ պետք է ամենուր հանել 6. Ստացվում է՝ -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
Գծային հավասարումը հանրահաշվական հավասարումն է, որի բազմանդամների լրիվ աստիճանը հավասար է մեկի։ Լուծում գծային հավասարումներ- դպրոցական ուսումնական ծրագրի մի մասը, և ոչ ամենադժվարը: Այնուամենայնիվ, ոմանք դեռ դժվարություններ են ունենում այս թեմայի անցման հարցում: Հուսով ենք, որ այս նյութը կարդալուց հետո ձեզ համար բոլոր դժվարությունները կմնան անցյալում։ Այսպիսով, եկեք պարզենք այն: ինչպես լուծել գծային հավասարումներ:
Ընդհանուր ձև
Գծային հավասարումը ներկայացված է հետևյալ կերպ.
- ax + b = 0, որտեղ a և b ցանկացած թվեր են:
Չնայած a-ն և b-ն կարող են լինել ցանկացած թիվ, դրանց արժեքները ազդում են հավասարման լուծումների քանակի վրա: Կան լուծման մի քանի հատուկ դեպքեր.
- Եթե a=b=0, ապա հավասարումն ունի անվերջ թվով լուծումներ.
- Եթե a=0, b≠0, ապա հավասարումը լուծում չունի.
- Եթե a≠0, b=0, ապա հավասարումն ունի լուծում՝ x = 0:
Այն դեպքում, երբ երկու թվերն էլ ունեն ոչ զրոյական արժեքներ, ապա հավասարումը պետք է լուծվի, որպեսզի ստացվի փոփոխականի վերջնական արտահայտությունը:
Ինչպե՞ս որոշել:
Գծային հավասարման լուծումը նշանակում է գտնել, թե ինչին է հավասար փոփոխականը: Ինչպե՞ս դա անել: Այո, դա շատ պարզ է՝ օգտագործելով պարզ հանրահաշվական գործողություններ և հետևելով փոխանցման կանոններին: Եթե հավասարումը ձեր առջև հայտնվեց ընդհանուր ձևով, ապա ձեր բախտը բերել է, ապա ձեզ հարկավոր է.
- Տեղափոխել b դեպի աջ կողմհավասարումներ՝ չմոռանալով փոխել նշանը (փոխանցման կանոն!), Այսպիսով, ax + b = 0 ձևի արտահայտությունից պետք է ստացվի ax = -b ձևի արտահայտություն։
- Կիրառեք կանոնը՝ գործոններից մեկը գտնելու համար (x - մեր դեպքում), պետք է արտադրյալը (-b մեր դեպքում) բաժանել մեկ այլ գործակցի (a - մեր դեպքում): Այսպիսով, ձևի արտահայտությունը պետք է ստացվի. x \u003d -b / a:
Այսքանը, լուծումը գտնված է:
Հիմա եկեք դիտարկենք կոնկրետ օրինակ.
- 2x + 4 = 0 - տեղափոխել b, որն այս դեպքում 4 է, դեպի աջ
- 2x = -4 - բաժանեք b-ը a-ի վրա (մի մոռացեք մինուս նշանը)
- x=-4/2=-2
Այսքանը: Մեր լուծումը՝ x = -2:
Ինչպես տեսնում եք, մեկ փոփոխականով գծային հավասարման լուծում գտնելը բավականին պարզ է, բայց ամեն ինչ այնքան պարզ է, եթե մեզ բախտ վիճակվի հանդիպել ընդհանուր ձևով: Շատ դեպքերում, նախքան վերը նկարագրված երկու քայլերով հավասարումը լուծելը, անհրաժեշտ է նաև գոյություն ունեցող արտահայտությունը բերել ընդհանուր ձևի: Այնուամենայնիվ, սա նույնպես դժվար գործ չէ: Եկեք նայենք մի քանի հատուկ դեպքերի օրինակներով:
Հատուկ դեպքերի լուծում
Նախ, եկեք նայենք այն դեպքերին, որոնք նկարագրեցինք հոդվածի սկզբում և բացատրենք, թե ինչ է նշանակում ունենալ անսահման թվով լուծումներ և լուծումներ չունենալ:
- Եթե a=b=0, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ 0x + 0 = 0: Կատարելով առաջին քայլը, մենք ստանում ենք՝ 0x = 0: Ի՞նչ է նշանակում այս անհեթեթությունը, բացականչեք: Ի վերջո, անկախ նրանից, թե ինչ թիվ եք բազմապատկում զրոյով, դուք միշտ զրո կստանաք: Ճիշտ! Հետևաբար, ասում են, որ հավասարումն ունի անսահման թվով լուծումներ՝ ինչ թիվ էլ որ վերցնեք, հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ 0x \u003d 0 կամ 0 \u003d 0:
- Եթե a=0, b≠0, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ 0x + 3 = 0: Կատարում ենք առաջին քայլը, ստանում ենք 0x = -3: Նորից անհեթեթություն! Ակնհայտ է, որ այս հավասարությունը երբեք չի լինի իրական։ Դրա համար ասում են, որ հավասարումը լուծումներ չունի։
- Եթե a≠0, b=0, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը` 3x + 0 = 0: Առաջին քայլն անելով՝ ստանում ենք՝ 3x = 0: Ո՞րն է լուծումը: Դա հեշտ է, x = 0:
Թարգմանության դժվարություններ
Նկարագրված կոնկրետ դեպքերն այն ամենը չէ, ինչով գծային հավասարումները կարող են զարմացնել մեզ: Երբեմն հավասարումը ընդհանուր առմամբ դժվար է նույնացնել առաջին հայացքից: Օրինակ բերենք.
- 12x - 14 = 2x + 6
Արդյո՞ք սա գծային հավասարում է: Բայց ինչ վերաբերում է աջ կողմի զրոյին: Մենք չենք շտապի եզրակացություններ անել, մենք գործելու ենք՝ մեր հավասարման բոլոր բաղադրիչները կտեղափոխենք ձախ կողմ։ Մենք ստանում ենք.
- 12x - 2x - 14 - 6 = 0
Հիմա նմանից հանելով նմանը, ստանում ենք.
- 10x - 20 = 0
Սովորե՞լ եք: Երբևէ եղած ամենագծային հավասարումը: Ում լուծումը՝ x = 20/10 = 2:
Իսկ եթե ունենանք այս օրինակը.
- 12 ((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)
Այո, սա նույնպես գծային հավասարում է, միայն պետք է ավելի շատ փոխակերպումներ անել։ Նախ ընդլայնենք փակագծերը.
- (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
- 4 (x+2) + 12x = 12 - 36x/4
- 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - այժմ կատարեք փոխանցումը.
- 25x - 4 = 0 - մնում է լուծում գտնել արդեն հայտնի սխեմայի համաձայն.
- 25x=4
- x = 4/25 = 0,16
Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ լուծված է, գլխավորը ոչ թե անհանգստանալն է, այլ գործելը։ Հիշեք, եթե ձեր հավասարումը պարունակում է միայն առաջին աստիճանի փոփոխականներ և թվեր, սա գծային հավասարում է, որը, անկախ նրանից, թե ի սկզբանե ինչ տեսք ունի, կարող է կրճատվել ընդհանուր ձևի և լուծել: Հուսով ենք, որ ամեն ինչ կստացվի ձեզ մոտ: Հաջողություն!
Եվ այսպես շարունակ, տրամաբանական է ծանոթանալ այլ տեսակի հավասարումների։ Հաջորդը հերթում են գծային հավասարումներ, որի նպատակային ուսումնասիրությունը սկսվում է 7-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերից։
Հասկանալի է, որ նախ պետք է բացատրել, թե ինչ է գծային հավասարումը, տալ գծային հավասարման սահմանումը, նրա գործակիցները, ցույց տալ այն. ընդհանուր ձև. Այնուհետև կարող եք պարզել, թե քանի լուծում ունի գծային հավասարումը, կախված գործակիցների արժեքներից և ինչպես են հայտնաբերվում արմատները: Սա թույլ կտա անցնել օրինակների լուծմանը և դրանով իսկ համախմբել ուսումնասիրված տեսությունը: Այս հոդվածում մենք դա կանենք. մենք մանրամասնորեն կանդրադառնանք բոլոր տեսական և գործնական կետերգծային հավասարումների և դրանց լուծման վերաբերյալ:
Միանգամից ասենք, որ այստեղ մենք կդիտարկենք միայն գծային հավասարումներ մեկ փոփոխականով, իսկ առանձին հոդվածում կուսումնասիրենք լուծման սկզբունքները. գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներում.
Էջի նավարկություն.
Ի՞նչ է գծային հավասարումը:
Գծային հավասարման սահմանումը տրվում է նրա նշման ձևով: Ավելին, մաթեմատիկայի և հանրահաշվի տարբեր դասագրքերում գծային հավասարումների սահմանումների ձևակերպումներն ունեն որոշ տարբերություններ, որոնք չեն ազդում հարցի էության վրա։
Օրինակ, Յու. Ն. Մակարիչևայի և այլոց 7-րդ դասարանի հանրահաշվի դասագրքում գծային հավասարումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.
Սահմանում.
Տիպի հավասարում կացին=բ, որտեղ x-ը փոփոխական է, a-ն և b-ը որոշ թվեր են, կոչվում է գծային հավասարում մեկ փոփոխականով.
Բերենք հնչեցված սահմանմանը համապատասխան գծային հավասարումների օրինակներ։ Օրինակ՝ 5 x=10-ը գծային հավասարում է x մեկ փոփոխականով, այստեղ a գործակիցը 5 է, իսկ b թիվը՝ 10: Մեկ այլ օրինակ՝ −2.3 y=0 նույնպես գծային հավասարում է, բայց y փոփոխականով, որտեղ a=−2.3 և b=0: Իսկ գծային հավասարումներում x=−2 և −x=3,33 a-ն բացահայտորեն չկա և հավասար են համապատասխանաբար 1-ի և −1-ի, մինչդեռ առաջին հավասարման մեջ b=−2 և երկրորդում՝ b=3,33:
Մեկ տարի առաջ Ն.Յա.Վիլենկինի մաթեմատիկայի դասագրքում մեկ անհայտով գծային հավասարումներ, ի հավելումն a x = b ձևի հավասարումների, համարվում էին նաև հավասարումներ, որոնք կարելի է իջեցնել այս ձևին՝ մի մասից տերմիններ փոխանցելով։ հավասարումը մյուսին հակառակ նշանով, ինչպես նաև նման տերմինների կրճատմամբ։ Ըստ այս սահմանման՝ 5 x=2 x+6 ձևի հավասարումներ և այլն։ նույնպես գծային են։
Իր հերթին, Ա. Գ. Մորդկովիչի կողմից տրված է հետևյալ սահմանումը 7 դասի հանրահաշվի դասագրքում.
Սահմանում.
Գծային հավասարում մեկ փոփոխականով x a x+b=0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a և b որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են գծային հավասարման գործակիցներ։
Օրինակ, այս կարգի գծային հավասարումներ են 2 x−12=0, այստեղ a գործակիցը հավասար է 2-ի, իսկ b-ը հավասար է −12-ի, իսկ 0,2 y+4,6=0՝ a=0,2 և b =4,6 գործակիցներով։ Բայց միևնույն ժամանակ կան գծային հավասարումների օրինակներ, որոնք ունեն ոչ թե x+b=0, այլ x=b ձև, օրինակ՝ 3 x=12:
Եկեք, որպեսզի հետագայում որևէ անհամապատասխանություն չունենանք, x մեկ փոփոխականով և a և b գործակիցներով գծային հավասարման տակ կհասկանանք a x+b=0 ձևի հավասարում։ Գծային հավասարումների այս տեսակը, թվում է, ամենաարդարացվածն է, քանի որ գծային հավասարումներ են հանրահաշվական հավասարումներառաջին աստիճան. Իսկ վերը նշված բոլոր մյուս հավասարումները, ինչպես նաև այն հավասարումները, որոնք համարժեք փոխակերպումների օգնությամբ վերածվում են x+b=0 ձևի, կոչվելու են. հավասարումներ, որոնք վերածվում են գծային հավասարումների. Այս մոտեցմամբ 2 x+6=0 հավասարումը գծային հավասարում է, և 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 և այլն։ գծային հավասարումներ են։
Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումներ:
Այժմ ժամանակն է պարզել, թե ինչպես են լուծվում a x+b=0 գծային հավասարումները: Այլ կերպ ասած, ժամանակն է պարզել, թե արդյոք գծային հավասարումը արմատներ ունի, և եթե այո, ապա որքան և ինչպես գտնել դրանք:
Գծային հավասարման արմատների առկայությունը կախված է a և b գործակիցների արժեքներից: Այս դեպքում a x+b=0 գծային հավասարումն ունի
- միակ արմատը a≠0-ում,
- չունի a=0 և b≠0 արմատներ,
- ունի անսահման շատ արմատներ a=0-ի և b=0-ի համար, որի դեպքում ցանկացած թիվ գծային հավասարման արմատ է:
Եկեք բացատրենք, թե ինչպես են ստացվել այս արդյունքները:
Գիտենք, որ հավասարումներ լուծելու համար կարելի է սկզբնական հավասարումից անցնել համարժեք հավասարումների, այսինքն՝ նույն արմատներով կամ, ինչպես սկզբնականը, առանց արմատների։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ համարժեք փոխակերպումները.
- տերմինի փոխանցում հավասարման մի մասից մյուսին հակառակ նշանով,
- և նաև հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով կամ բաժանելով նույն ոչ զրոյական թվով։
Այսպիսով, a x+b=0 ձևի մեկ փոփոխականով գծային հավասարման մեջ մենք կարող ենք հակառակ նշանով b տերմինը ձախ կողմից տեղափոխել աջ կողմ։ Այս դեպքում հավասարումը կունենա a x=−b ձևը։
Եվ հետո ինքն իրեն հուշում է հավասարման երկու մասերի բաժանումը a թվի վրա։ Բայց կա մի բան՝ a թիվը կարող է հավասար լինել զրոյի, որի դեպքում նման բաժանումն անհնար է։ Այս խնդրին առնչվելու համար նախ կենթադրենք, որ a թիվը տարբերվում է զրոյից, իսկ զրոյի a դեպքը առանձին կքննարկենք մի փոքր ուշ:
Այսպիսով, երբ a-ն հավասար չէ զրոյի, ապա մենք կարող ենք a x=−b հավասարման երկու մասերը բաժանել a-ի, որից հետո այն վերածվում է x=(−b):a ձևի, այս արդյունքը կարելի է գրել a-ի միջոցով։ ամուր գիծ, ինչպես.
Այսպիսով, a≠0-ի համար a·x+b=0 գծային հավասարումը համարժեք է հավասարմանը, որից երևում է նրա արմատը։
Հեշտ է ցույց տալ, որ այս արմատը եզակի է, այսինքն՝ գծային հավասարումն այլ արմատներ չունի։ Սա թույլ է տալիս անել հակառակ մեթոդը:
Արմատը նշանակենք x 1: Ենթադրենք, որ կա գծային հավասարման մեկ այլ արմատ, որը մենք նշում ենք x 2, և x 2 ≠ x 1, որը պայմանավորված է. հավասար թվերի սահմանումներ տարբերության միջոցովհամարժեք է x 1 − x 2 ≠0 պայմանին։ Քանի որ x 1-ը և x 2-ը a x+b=0 գծային հավասարման արմատներն են, ապա տեղի են ունենում a x 1 +b=0 և a x 2 +b=0 թվային հավասարումները։ Մենք կարող ենք հանել այս հավասարումների համապատասխան մասերը, որոնք թույլ են տալիս թվային հավասարումների հատկությունները, ունենք x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , որտեղից a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 և ապա a (x 1 − x 2)=0: Եվ այս հավասարությունն անհնար է, քանի որ և՛ a≠0, և՛ x 1 − x 2 ≠0: Այսպիսով, մենք եկել ենք հակասության, որն ապացուցում է a·x+b=0 գծային հավասարման արմատի եզակիությունը a≠0-ի համար:
Այսպիսով, a x+b=0 գծային հավասարումը լուծել ենք a≠0-ով: Այս ենթաբաժնի սկզբում տրված առաջին արդյունքը հիմնավորված է: Եվս երկուսը բավարարում են a=0 պայմանին:
a=0-ի համար a·x+b=0 գծային հավասարումը դառնում է 0·x+b=0: Այս հավասարումից և թվերը զրոյով բազմապատկելու հատկությունից բխում է, որ անկախ նրանից, թե որ թիվ ենք ընդունում որպես x, երբ այն փոխարինում ենք 0 x+b=0 հավասարման մեջ, ստանում ենք b=0 թվային հավասարություն։ Այս հավասարությունը ճիշտ է, երբ b=0 , իսկ մյուս դեպքերում, երբ b≠0 այս հավասարությունը սխալ է։
Հետևաբար, a=0 և b=0-ի համար ցանկացած թիվ a x+b=0 գծային հավասարման արմատն է, քանի որ այս պայմաններում x-ի փոխարեն ցանկացած թվի փոխարինումը տալիս է 0=0 ճիշտ թվային հավասարություն: Իսկ a=0-ի և b≠0-ի համար a x+b=0 գծային հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ այս պայմաններում x-ի փոխարեն որևէ թվի փոխարինումը հանգեցնում է b=0 սխալ թվային հավասարության:
Վերոնշյալ հիմնավորումները հնարավորություն են տալիս ձևավորել գործողությունների հաջորդականություն, որը թույլ է տալիս լուծել ցանկացած գծային հավասարում։ Այսպիսով, գծային հավասարման լուծման ալգորիթմէ:
- Նախ, գրելով գծային հավասարում, մենք գտնում ենք a և b գործակիցների արժեքները:
- Եթե a=0 և b=0 , ապա այս հավասարումն ունի անսահման շատ արմատներ, այսինքն՝ ցանկացած թիվ այս գծային հավասարման արմատն է։
- Եթե a-ն տարբերվում է զրոյից, ապա
- b գործակիցը հակառակ նշանով տեղափոխվում է աջ կողմ, իսկ գծային հավասարումը վերածվում է a x=−b ձևի,
- որից հետո ստացված հավասարման երկու մասերը բաժանվում են ոչ զրոյական a թվով, որը տալիս է սկզբնական գծային հավասարման ցանկալի արմատը։
Գրավոր ալգորիթմը սպառիչ պատասխան է այն հարցին, թե ինչպես լուծել գծային հավասարումները:
Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ արժե ասել, որ նմանատիպ ալգորիթմ է օգտագործվում a x=b ձևի հավասարումները լուծելու համար։ Դրա տարբերությունը կայանում է նրանում, որ երբ a≠0, հավասարման երկու մասերն էլ անմիջապես բաժանվում են այս թվի վրա, այստեղ b-ն արդեն հավասարման ցանկալի մասում է և այն փոխանցելու կարիք չունի։
a x=b ձևի հավասարումները լուծելու համար օգտագործվում է հետևյալ ալգորիթմը.
- Եթե a=0 և b=0 , ապա հավասարումն ունի անսահման շատ արմատներ, որոնք ցանկացած թվեր են։
- Եթե a=0 և b≠0, ապա սկզբնական հավասարումն արմատներ չունի:
- Եթե a-ն զրոյական չէ, ապա հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանվում են ոչ զրոյական a թվով, որից գտնվում է b/a-ին հավասար հավասարման միակ արմատը։
Գծային հավասարումների լուծման օրինակներ
Անցնենք պրակտիկային։ Եկեք վերլուծենք, թե ինչպես է կիրառվում գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը: Ներկայացնենք համապատասխան տիպիկ օրինակների լուծումներ տարբեր իմաստներգծային հավասարումների գործակիցները.
Օրինակ.
Լուծե՛ք 0 x−0=0 գծային հավասարումը։
Լուծում.
Այս գծային հավասարման մեջ a=0 և b=−0, որը նույնն է, ինչ b=0: Ուստի այս հավասարումն ունի անսահման շատ արմատներ, ցանկացած թիվ այս հավասարման արմատն է։
Պատասխան.
x-ը ցանկացած թիվ է:
Օրինակ.
0 x+2.7=0 գծային հավասարումը լուծումներ ունի՞:
Լուծում.
Այս դեպքում a գործակիցը հավասար է զրոյի, իսկ այս գծային հավասարման b գործակիցը հավասար է 2,7-ի, այսինքն՝ տարբերվում է զրոյից։ Հետևաբար, գծային հավասարումը արմատներ չունի:
Առաջին մակարդակ
Գծային հավասարումներ. Ամբողջական ուղեցույց (2019)
Որոնք են «գծային հավասարումները»
կամ բանավոր - երեք ընկերոջը յուրաքանչյուրը խնձոր է տվել՝ հիմնվելով այն փաստի վրա, որ Վասյան ունի բոլոր խնձորները:
Եվ հիմա դուք որոշել եք գծային հավասարում
Այժմ եկեք այս տերմինը տանք մաթեմատիկական սահմանում:
Գծային հավասարում - հանրահաշվական հավասարում է, որի բաղկացուցիչ բազմանդամների ընդհանուր աստիճանն է. Այն կարծես այսպիսին է.
Որտեղ և կան ցանկացած թվեր և
Վասյայի և խնձորների հետ կապված մեր գործի համար մենք կգրենք.
- «Եթե Վասյան երեք ընկերներին նույնքան խնձոր տա, նրան խնձոր չի մնա»:
«Թաքնված» գծային հավասարումներ կամ նույնական փոխակերպումների կարևորությունը
Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջին հայացքից ամեն ինչ չափազանց պարզ է, հավասարումներ լուծելիս պետք է զգույշ լինել, քանի որ գծային հավասարումներ կոչվում են ոչ միայն ձևի հավասարումներ, այլև ցանկացած հավասարումներ, որոնք վերածվում են այս ձևի փոխակերպումների և պարզեցումների միջոցով: Օրինակ:
Մենք տեսնում ենք, որ այն գտնվում է աջ կողմում, ինչը տեսականորեն արդեն ցույց է տալիս, որ հավասարումը գծային չէ։ Ընդ որում, եթե բացենք փակագծերը, կստանանք ևս երկու տերմին, որոնց դեպքում կլինի. բայց մի շտապեք եզրակացություններ անել! Նախքան հավասարման գծային լինելը դատելը, անհրաժեշտ է կատարել բոլոր փոխակերպումները և դրանով իսկ պարզեցնել սկզբնական օրինակը։ Այս դեպքում փոխակերպումները կարող են փոխվել տեսքը, բայց ոչ հավասարման բուն էությունը։
Այսինքն՝ այդ փոխակերպումները պետք է լինեն նույնականկամ համարժեք. Այդպիսի փոխակերպումներ ընդամենը երկուսն են, բայց նրանք խաղում են շատ, ՇԱՏ կարևոր դերխնդիրները լուծելիս. Եկեք դիտարկենք երկու փոխակերպումները կոնկրետ օրինակներով:
Շարժվել ձախ - աջ:
Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.
Նաև ներս տարրական դպրոցմեզ ասացին. «X-ով` դեպի ձախ, առանց X-ով` աջ»: x-ով ո՞ր արտահայտությունն է աջ կողմում: Ճիշտ է, ոչ թե ինչպես չէ: Եվ սա կարևոր է, քանի որ եթե այս պարզ թվացող հարցը սխալ է ընկալվում, սխալ պատասխան է ստացվում։ Իսկ ո՞րն է ձախ կողմում x-ով արտահայտությունը: Ճիշտ, .
Այժմ, երբ մենք զբաղվեցինք սրանով, ձախ կողմում փոխանցում ենք անհայտներով բոլոր տերմինները, իսկ աջին՝ այն ամենը, ինչ հայտնի է, հիշելով, որ եթե, օրինակ, թվի դիմաց նշան չկա, ապա թիվը դրական է. այն է՝ դրան նախորդում է « » նշանը։
Տեղափոխվե՞լ եք: Ի՞նչ ստացաք:
Մնում է անել միայն նման պայմանները: Ներկայացնում ենք.
Այսպիսով, մենք հաջողությամբ վերլուծեցինք առաջին նույնական փոխակերպումը, թեև վստահ եմ, որ դուք արդեն գիտեիք այն և ակտիվորեն օգտագործեցիք առանց ինձ: Հիմնական բանը. մի մոռացեք թվերի նշանների մասին և հավասարության նշանով փոխանցելիս դրանք փոխեք հակառակը:
Բազմապատկում-բաժանում.
Անմիջապես սկսենք օրինակով
Մենք նայում և մտածում ենք՝ ի՞նչը մեզ դուր չի գալիս այս օրինակում: Անհայտը մի մասում է, հայտնիը՝ մյուսում, բայց ինչ-որ բան խանգարում է մեզ... Եվ սա մի բան է՝ չորս, որովհետև եթե այն չլիներ, ամեն ինչ կատարյալ կլիներ - x հավասար է թվին- Հենց այնպես, ինչպես մենք ենք ուզում:
Ինչպե՞ս կարող ես ազատվել դրանից: Մենք չենք կարող աջ տեղափոխել, քանի որ այդ դեպքում մեզ անհրաժեշտ է փոխանցել ամբողջ բազմապատկիչը (մենք չենք կարող այն վերցնել և պոկել դրանից), և ամբողջ բազմապատկիչը փոխանցելը նույնպես իմաստ չունի ...
Ժամանակն է հիշել բաժանման մասին, որի հետ կապված մենք ամեն ինչ կբաժանենք ուղղակի: Բոլորը - սա նշանակում է ինչպես ձախ, այնպես էլ աջ կողմ: Այսպես և միայն այդպես: Ի՞նչ ենք մենք ստանում:
Ահա պատասխանը.
Հիմա նայենք մեկ այլ օրինակի.
Կռահեք, թե ինչ անել այս դեպքում: Ճիշտ է, ձախ և աջ մասերը բազմապատկե՛ք։ Ի՞նչ պատասխան ստացաք։ Ճիշտ. .
Անշուշտ, դուք արդեն գիտեիք ամեն ինչ նույնական փոխակերպումների մասին: Համարեք, որ մենք պարզապես թարմացրել ենք այս գիտելիքները ձեր հիշողության մեջ, և ժամանակն է ավելին. Օրինակ՝ լուծելու մեր մեծ օրինակը.
Ինչպես արդեն ասացինք, նայելով դրան, չես կարող ասել, որ այս հավասարումը գծային է, բայց մենք պետք է բացենք փակագծերը և կատարենք նույնական փոխակերպումներ: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Սկզբից մենք հիշում ենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը, մասնավորապես, գումարի քառակուսին և տարբերության քառակուսին: Եթե չեք հիշում, թե դա ինչ է և ինչպես են բացվում փակագծերը, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ թեման, քանի որ այս հմտությունները ձեզ օգտակար կլինեն քննության գրեթե բոլոր օրինակները լուծելիս:
Բացահայտվե՞լ է: Համեմատել.
Հիմա ժամանակն է նման պայմաններ բերել: Հիշու՞մ եք, թե ինչպես մեզ նույն տարրական դասարաններում ասում էին «ճանճերը կոտլետով չենք դնում»։ Ահա ես ձեզ հիշեցնում եմ սա. Մենք ամեն ինչ ավելացնում ենք առանձին՝ գործոններ, որոնք ունեն, գործոններ, որոնք ունեն և այլ գործոններ, որոնք անհայտներ չունեն: Նման տերմիններ բերելիս բոլոր անհայտները տեղափոխեք ձախ, և այն ամենը, ինչ հայտնի է աջ: Ի՞նչ ստացաք:
Ինչպես տեսնում եք, x-քառակուսին անհետացել է, և մենք տեսնում ենք բոլորովին սովորական գծային հավասարում. Մնում է միայն գտնել:
Եվ վերջապես, ես կասեմ ևս մեկ շատ կարևոր բան նույնական փոխակերպումների մասին. նույնական փոխակերպումները կիրառելի են ոչ միայն գծային հավասարումների, այլև քառակուսի, կոտորակային ռացիոնալ և այլնի համար։ Պարզապես պետք է հիշել, որ հավասարության նշանով գործակիցները փոխանցելիս նշանը փոխում ենք հակառակի, իսկ ինչ-որ թվով բաժանելիս կամ բազմապատկելիս հավասարման երկու կողմերը նույն թվով ենք բազմապատկում/բաժանում։
Էլ ի՞նչ եք վերցրել այս օրինակից: Որ, նայելով հավասարմանը, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն և ճշգրիտ որոշել՝ արդյոք այն գծային է, թե ոչ: Նախ պետք է ամբողջովին պարզեցնել արտահայտությունը, և միայն դրանից հետո դատել, թե որն է այն:
Գծային հավասարումներ. Օրինակներ.
Ահա ևս մի քանի օրինակ, որպեսզի կարողանաք ինքնուրույն զբաղվել. որոշեք, թե արդյոք հավասարումը գծային է, և եթե այո, գտեք դրա արմատները.
Պատասխանները:
1. Է.
2. Չէ.
Բացենք փակագծերը և տանք նման տերմիններ.
Եկեք միանման փոխակերպում կատարենք՝ ձախ և աջ մասերը բաժանում ենք.
Մենք տեսնում ենք, որ հավասարումը գծային չէ, ուստի կարիք չկա փնտրել դրա արմատները։
3. Է.
Եկեք միանման փոխակերպում կատարենք՝ աջ և ձախ մասերը բազմապատկենք հայտարարից ազատվելու համար:
Մտածեք, թե ինչու է դա այդքան կարևոր: Եթե գիտեք այս հարցի պատասխանը, մենք անցնում ենք հավասարման հետագա լուծմանը, եթե ոչ, ապա անպայման նայեք թեման, որպեսզի ավելի շատ սխալներ թույլ չտաք: դժվար օրինակներ. Ի դեպ, ինչպես տեսնում եք, իրավիճակ, որտեղ դա անհնար է։ Ինչո՞ւ։
Այսպիսով, եկեք առաջ գնանք և վերադասավորենք հավասարումը.
Եթե ամեն ինչ առանց դժվարության հաղթահարել եք, եկեք խոսենք երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների մասին:
Գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներով
Հիմա եկեք անցնենք մի փոքր ավելի բարդի` երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների:
Գծային հավասարումներերկու փոփոխականներով նման են.
Որտեղ և են ցանկացած թվեր և.
Ինչպես տեսնում եք, միակ տարբերությունն այն է, որ հավասարմանը ավելացվում է ևս մեկ փոփոխական: Եվ այսպես, ամեն ինչ նույնն է՝ չկա x քառակուսի, չկա բաժանում փոփոխականի վրա և այլն։ եւ այլն։
Ինչպիսի՞ կյանքի օրինակ բերեմ քեզ... Վերցնենք նույն Վասյային: Ենթադրենք՝ նա որոշել է, որ իր 3 ընկերներից յուրաքանչյուրին նույնքան խնձոր կտա, իսկ խնձորներն իր համար կպահի։ Քանի՞ խնձոր պետք է գնի Վասյան, եթե նա յուրաքանչյուր ընկերոջը մեկ խնձոր տա: Ինչ մասին? Իսկ եթե ըստ?
Խնձորների քանակի կախվածությունը, որը յուրաքանչյուր անձ կստանա գնելու անհրաժեշտություն ունեցող խնձորների ընդհանուր քանակից, արտահայտվելու է հավասարմամբ.
- - խնձորների քանակը, որը մարդը կստանա (, կամ, կամ);
- - խնձորների քանակը, որը Վասյան կվերցնի իր համար.
- - քանի՞ խնձոր պետք է գնի Վասյան՝ հաշվի առնելով մեկ անձի համար խնձորների քանակը:
Լուծելով այս խնդիրը, մենք ստանում ենք, որ եթե Վասյան ընկերոջը խնձոր է տալիս, ապա նա պետք է կտորներ գնի, եթե նա խնձոր է տալիս, և այլն:
Եվ ընդհանրապես. Մենք ունենք երկու փոփոխական. Ինչու՞ չգծել այս կախվածությունը գրաֆիկի վրա: Մենք կառուցում և նշում ենք մեր արժեքը, այսինքն՝ կետերը, կոորդինատներով և՛։
Ինչպես տեսնում եք, և կախված են միմյանցից գծային, այստեղից էլ՝ հավասարումների անվանումը - « գծային».
Մենք վերացում ենք խնձորներից և դիտարկում ենք գրաֆիկորեն տարբեր հավասարումներ: Ուշադիր նայեք երկու կառուցված գրաֆիկներին՝ ուղիղ գիծ և պարաբոլա՝ տրված կամայական ֆունկցիաներով.
Գտեք և նշեք համապատասխան կետերը երկու պատկերների վրա:
Ի՞նչ ստացաք:
Դուք դա կարող եք տեսնել առաջին ֆունկցիայի գրաֆիկում միայնակհամապատասխանում է մեկ, այսինքն և գծայինորեն կախված են միմյանցից, ինչը չի կարելի ասել երկրորդ ֆունկցիայի մասին։ Իհարկե, դուք կարող եք առարկել, որ երկրորդ գրաֆիկում x-ը նույնպես համապատասխանում է --ին, բայց սա միայն մեկ կետ է, այսինքն՝ հատուկ դեպք, քանի որ դեռ կարող եք գտնել մեկը, որը համապատասխանում է մեկից ավելիին: Իսկ կառուցված գրաֆիկը ոչ մի կերպ չի հիշեցնում գիծ, այլ պարաբոլա է։
Կրկնում եմ ևս մեկ անգամ. Գծային հավասարման գրաֆիկը պետք է լինի ՈՒՂԻՂ գիծ.
Այն փաստով, որ հավասարումը գծային չի լինի, եթե մենք ինչ-որ չափով գնանք, դա հասկանալի է պարաբոլայի օրինակով, չնայած ինքներդ ձեզ համար կարող եք կառուցել ևս մի քանի պարզ գրաֆիկներ, օրինակ կամ. Բայց ես ձեզ վստահեցնում եմ՝ նրանցից ոչ մեկն ՈՒՂԻՂ ԳԻԾ չի լինի։
Չեն հավատում? Կառուցեք և հետո համեմատեք իմ ստացածի հետ.
Իսկ ի՞նչ կլինի, եթե ինչ-որ բան բաժանենք, օրինակ, ինչ-որ թվի։ Արդյոք դա կլինի գծային կախվածությունԻսկ? Մենք չենք վիճելու, բայց կկառուցենք։ Օրինակ, եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկ։
Ինչ-որ կերպ այն կարծես կառուցված ուղիղ գիծ չէ ... համապատասխանաբար, հավասարումը գծային չէ:
Ամփոփենք.
- Գծային հավասարում -հանրահաշվական հավասարում է, որում նրա բաղկացուցիչ բազմանդամների ընդհանուր աստիճանը հավասար է։
- Գծային հավասարումմեկ փոփոխականով նման է.
, որտեղ և են ցանկացած թվեր;
Գծային հավասարումերկու փոփոխականներով.
, որտեղ և են ցանկացած թվեր: - Միշտ չէ, որ անմիջապես հնարավոր է որոշել՝ արդյոք հավասարումը գծային է, թե ոչ։ Երբեմն դա հասկանալու համար անհրաժեշտ է կատարել նույնական փոխակերպումներ, տեղափոխել նմանատիպ տերմիններ դեպի ձախ / աջ, չմոռանալով փոխել նշանը կամ բազմապատկել / բաժանել հավասարման երկու կողմերը նույն թվով:
ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ
1. Գծային հավասարում
Սա հանրահաշվական հավասարում է, որում նրա բաղկացուցիչ բազմանդամների ընդհանուր աստիճանը հավասար է։
2. Գծային հավասարում մեկ փոփոխականովնման է:
Որտեղ և որտեղ են ցանկացած թվեր;
3. Գծային հավասարում երկու փոփոխականներովնման է:
Որտեղ և որտեղ են ցանկացած թվեր:
4. Ինքնության փոխակերպումներ
Որոշելու համար, թե արդյոք հավասարումը գծային է, թե ոչ, անհրաժեշտ է կատարել նույնական փոխակերպումներ.
- շարժվել տերմինների պես ձախ/աջ՝ չմոռանալով փոխել նշանը.
- բազմապատկել/բաժանել հավասարման երկու կողմերը նույն թվով.
Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք գծային հավասարումների մի ամբողջ շարք, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզը:
Սկզբից սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և դրանցից ո՞րը պետք է անվանել ամենապարզը։
Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որում կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանում:
Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.
Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզների՝ օգտագործելով ալգորիթմը.
- Բացեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
- Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
- Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում բերեք նման տերմիններ.
- Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցով։
Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.
- Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ դուք ստանում եք $0\cdot x=8$-ի նման մի բան, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ ոչ զրոյական թիվ։ Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
- Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.
Իսկ հիմա տեսնենք, թե ինչպես է այդ ամենն աշխատում իրական խնդիրների օրինակով։
Հավասարումների լուծման օրինակներ
Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ և միայն ամենապարզները: Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ճշգրիտ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:
Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.
- Առաջին հերթին, դուք պետք է բացեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
- Ապա բերեք նմանատիպ
- Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն պարունակվում է, տեղափոխվում է մի կողմ, իսկ այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխվում է մյուս կողմ։
Այնուհետև, որպես կանոն, պետք է ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում բերել նմանատիպ, և դրանից հետո մնում է միայն բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։
Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսներն» ու «մինուսները» հաշվելիս։
Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ այնպես, որ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբությունները կվերլուծենք այսօրվա դասում։ Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, ամենաշատից պարզ առաջադրանքներ.
Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա
Սկսելու համար թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.
- Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
- Առանձնացնել փոփոխականները, այսինքն. այն ամենը, ինչ պարունակում է «x», տեղափոխվում է մի կողմ, իսկ առանց «x»-ի՝ մյուս կողմ։
- Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
- Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։
Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, այն ունի որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:
Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում
Առաջադրանք թիվ 1
Առաջին քայլում մեզանից պահանջում են բացել փակագծերը։ Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. խոսքը միայն անհատական պայմանների մասին է: Եկեք գրենք.
Մենք տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ ձախ և աջ կողմում, բայց դա արդեն արվել է այստեղ: Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին. բաժանել գործակցի վրա.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Ահա և ստացանք պատասխանը.
Առաջադրանք թիվ 2
Այս առաջադրանքում մենք կարող ենք դիտարկել փակագծերը, ուստի եկեք ընդլայնենք դրանք.
Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն կառուցվածքը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. Sequester փոփոխականներ:
Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.
Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։
Առաջադրանք թիվ 3
Երրորդ գծային հավասարումն արդեն ավելի հետաքրքիր է.
\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]
Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչնչով չեն բազմապատկվում, ուղղակի կանգնում են դրանց դիմաց տարբեր նշաններ. Եկեք բաժանենք դրանք.
Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Եկեք հաշվարկենք.
Մենք կատարում ենք վերջին քայլը. մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս
Եթե անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ապա ես կցանկանայի ասել հետևյալը.
- Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
- Եթե նույնիսկ արմատներ կան, զրո կարող է մտնել դրանց մեջ, դրա մեջ վատ բան չկա:
Զրոն նույն թիվն է, ինչ մնացածը, պետք չէ ինչ-որ կերպ խտրականացնել այն կամ ենթադրել, որ եթե զրո ես ստանում, ուրեմն ինչ-որ բան սխալ ես արել։
Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի ընդլայնման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց առջևում կա «մինուս», մենք այն հանում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն ըստ ստանդարտ ալգորիթմների. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:
Այս պարզ փաստի ըմբռնումը կօգնի ձեզ խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման գործողություններ կատարելը համարվում է սովորական:
Բարդ գծային հավասարումների լուծում
Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների: Այժմ կոնստրուկցիաները կբարդանան, և կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս։ Այնուամենայնիվ, դուք չպետք է վախենաք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի մտադրության համաձայն, մենք լուծենք գծային հավասարում, ապա փոխակերպման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր միանունները անպայման կկրճատվեն:
Օրինակ #1
Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք սա անենք շատ ուշադիր.
Հիմա եկեք հաշվի առնենք գաղտնիությունը.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.
Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի պատասխանում գրում ենք հետևյալ կերպ.
\[\բազմազանություն \]
կամ առանց արմատների:
Օրինակ #2
Մենք կատարում ենք նույն քայլերը. Առաջին քայլը.
Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.
Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.
Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն գրում ենք այսպես.
\[\varnothing\],
կամ առանց արմատների:
Լուծման նրբությունները
Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Այս երկու արտահայտությունների օրինակով մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ կարող է այդքան էլ պարզ չլինել՝ կարող է լինել կամ մեկը, կամ ոչ մեկը, կամ անսահման շատ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսում էլ ուղղակի արմատներ չկան։
Բայց ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերի հետ և ինչպես դրանք ընդլայնել, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է: Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.
Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «x»-ով։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկել յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կա երկու տերմին, համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկվում է:
Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր ու վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարելի է փակագծը բացել այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները կատարվում են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց մինուս նշան է, ինչը նշանակում է, որ ներքևում գտնվող ամեն ինչ պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են, և ամենակարևորը, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:
Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.
Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ հաջորդականություն է տարրական փոխակերպումներ, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում, թե ինչպես լուծել նման պարզ հավասարումներ։
Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք այս հմտությունները կհղկեք դեպի ավտոմատիզմ: Այլևս պետք չէ ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրես մեկ տողով։ Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:
Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում
Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ առաջադրանք անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։
Առաջադրանք թիվ 1
\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]
Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.
Եկեք նահանջ անենք.
Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.
Եկեք կատարենք վերջին քայլը.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն բանին, որ լուծման ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիայով գործակիցներ, այնուամենայնիվ, դրանք փոխադարձաբար չեղարկվեցին, ինչը հավասարումը դարձնում է ճիշտ գծային, ոչ թե քառակուսի։
Առաջադրանք թիվ 2
\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]
Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումներից հետո պետք է ձեռք բերվեն չորս նոր տերմիններ.
Եվ հիմա ուշադիր կատարեք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.
«x»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց՝ աջ.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Ահա նմանատիպ տերմիններ.
Մենք ստացել ենք վերջնական պատասխան.
Լուծման նրբությունները
Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր դիտողությունը հետևյալն է. հենց որ սկսենք բազմապատկել փակագծերը, որոնցում տերմինից ավելին կա, ապա դա արվում է հետևյալ կանոնով. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և բազմապատկում յուրաքանչյուր տարրի հետ։ երկրորդից; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում մենք ստանում ենք չորս ժամկետ.
Հանրահաշվական գումարի վրա
Վերջին օրինակով ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ 1-7$ ասելով հասկանում ենք պարզ դիզայնՄեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք դրանով նկատի ունենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Այս հանրահաշվական գումարը տարբերվում է սովորական թվաբանական գումարից։
Հենց որ բոլոր փոխակերպումները կատարելիս, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում, դուք սկսում եք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառուցվածքներ, դուք պարզապես խնդիրներ չեք ունենա հանրահաշվում բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս:
Եզրափակելով, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:
Կոտորակով հավասարումների լուծում
Նման առաջադրանքները լուծելու համար մեր ալգորիթմին պետք է ավելացվի ևս մեկ քայլ։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.
- Բացեք փակագծերը.
- Առանձին փոփոխականներ.
- Նմանատիպ բերեք:
- Բաժանել գործակցով.
Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, լիովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ ձախ և աջ:
Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ևս մեկ քայլ ավելացնել ալգորիթմին, որը կարող է իրականացվել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ դրանից հետո, այն է՝ կոտորակներից ազատվելը։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.
- Ազատվել կոտորակներից.
- Բացեք փակագծերը.
- Առանձին փոփոխականներ.
- Նմանատիպ բերեք:
- Բաժանել գործակցով.
Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»։ Իսկ ինչո՞ւ է դա հնարավոր անել թե՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, թե՛ դրանից առաջ։ Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են ըստ հայտարարի, այսինքն. ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է: Հետևաբար, եթե հավասարման երկու մասերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։
Օրինակ #1
\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]
Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4 \]
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.
\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]
Հիմա եկեք բացենք.
Մենք կատարում ենք փոփոխականի առանձնացում.
Մենք իրականացնում ենք նմանատիպ պայմանների կրճատում.
\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Վերջնական լուծումը ստացել ենք, անցնում ենք երկրորդ հավասարմանը։
Օրինակ #2
\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]
Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.
\[\frac(\ ձախ (1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Խնդիրը լուծված է.
Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի պատմել այսօր։
Հիմնական կետերը
Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.
- Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
- Փակագծեր բացելու ունակություն:
- Մի անհանգստացեք, եթե ինչ-որ տեղ ունեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ, հետագա վերափոխումների գործընթացում դրանք կկրճատվեն։
- Գծային հավասարումների արմատները, նույնիսկ ամենապարզները, երեք տեսակի են՝ մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, արմատներ ընդհանրապես չկան։
Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք, լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, ձեզ շատ հետաքրքիր բաներ են սպասում:
