Եռանկյունաչափական անհավասարությունների բանաձևերի աղյուսակ. Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդներ
Հանրահաշվի նախագիծ «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» Ավարտել է 10-րդ դասարանի աշակերտուհի «Բ» Կազաչկովա Յուլիա Ղեկավար՝ մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Կոչակովա Ն.Ն.
Նպատակ Համախմբել «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» թեմայով նյութը և ստեղծել հիշեցում, որ աշակերտները պատրաստվեն առաջիկա քննությանը:
Նպատակներ. Ամփոփել այս թեմայի վերաբերյալ նյութը: Ստացված տեղեկատվության համակարգում: Դիտարկենք այս թեման միասնական պետական քննությունում:
Համապատասխանություն Իմ ընտրած թեմայի արդիականությունը կայանում է նրանում, որ «Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում» թեմայի առաջադրանքները ներառված են միասնական պետական քննության առաջադրանքների մեջ:
Եռանկյունաչափական անհավասարություններԱնհավասարությունը երկու թվեր կամ արտահայտություններ կապող հարաբերություն է նշաններից մեկի միջոցով՝ (մեծ քան); ≥ (մեծ կամ հավասար): Եռանկյունաչափական անհավասարությունը անհավասարություն է, որը ներառում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։
Եռանկյունաչափական անհավասարություններ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարությունների լուծումը, որպես կանոն, կրճատվում է ձևի ամենապարզ անհավասարությունների լուծմանը՝ sin x>a, sin x. a, cos x a, tg x a,ctg x
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ Տրված եռանկյունաչափական ֆունկցիային համապատասխան առանցքի վրա նշեք սա. թվային արժեքայս գործառույթը: Միավոր շրջանագիծը հատող նշված կետի միջով գիծ գծե՛ք: Ընտրի՛ր ուղիղի և շրջանագծի հատման կետերը՝ հաշվի առնելով խիստ կամ ոչ խիստ անհավասարության նշանը։ Ընտրեք շրջանագծի այն աղեղը, որի վրա գտնվում են անհավասարության լուծումները: Որոշեք անկյունային արժեքները շրջանաձև աղեղի սկզբնական և ավարտական կետերում: Անհավասարության լուծումը գրի՛ր՝ հաշվի առնելով տրված եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերականությունը։
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման բանաձեւեր sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn): sinx ա; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn): cosxա; x (arctg a + πn ; + πn): tgx ա; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում sinx >a
Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում sinx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում cosx >a Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում cosx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում tgx >a Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում tgx Հիմնական եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում ctgx >a
ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ
Համապատասխանություն. Պատմականորեն եռանկյունաչափական հավասարումներին և անհավասարություններին հատուկ տեղ է հատկացվել դպրոցական ծրագրում: Կարելի է ասել, որ եռանկյունաչափությունը դպրոցական դասընթացի և ընդհանրապես մաթեմատիկական գիտության կարևորագույն բաժիններից է։
Եռանկյունաչափական հավասարումներիսկ անհավասարությունները զբաղեցնում են մեկը կենտրոնական վայրերավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացում, այնպես էլ բովանդակությամբ ուսումնական նյութ, և ըստ կրթական և ճանաչողական գործունեության մեթոդների, որոնք կարող են և պետք է ձևավորվեն դրանց ուսումնասիրության ընթացքում և կիրառվեն լուծման համար մեծ թիվտեսական և կիրառական բնույթի խնդիրներ։
Եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը նախադրյալներ է ստեղծում եռանկյունաչափության վերաբերյալ ողջ ուսումնական նյութի հետ կապված ուսանողի գիտելիքները համակարգելու համար (օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները, փոխակերպման տեխնիկան)։ եռանկյունաչափական արտահայտություններև այլն) և հնարավորություն է տալիս արդյունավետ կապեր հաստատել հանրահաշիվում ուսումնասիրված նյութի հետ (հավասարումներ, հավասարումների համարժեքություն, անհավասարություններ, ինքնության փոխակերպումներ. հանրահաշվական արտահայտություններև այլն):
Այլ կերպ ասած, եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման տեխնիկայի դիտարկումը ներառում է այս հմտությունների մի տեսակ փոխանցում նոր բովանդակություն:
Տեսության նշանակությունը և դրա բազմաթիվ կիրառությունները վկայում են ընտրված թեմայի արդիականության մասին։ Սա իր հերթին թույլ է տալիս որոշել դասընթացի աշխատանքի նպատակները, խնդիրները և հետազոտության առարկան:
Ուսումնասիրության նպատակը. ընդհանրացնել եռանկյունաչափական անհավասարությունների առկա տեսակները, դրանց լուծման հիմնական և հատուկ մեթոդները, ընտրել դպրոցականների կողմից եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման խնդիրների մի շարք:
Հետազոտության նպատակները.
1. Հիմնվելով հետազոտական թեմայի վերաբերյալ առկա գրականության վերլուծության վրա՝ համակարգել նյութը:
2. Տրե՛ք առաջադրանքների մի շարք, որոնք անհրաժեշտ են «Եռանկյունաչափական անհավասարություններ» թեման համախմբելու համար:
Ուսումնասիրության օբյեկտ եռանկյունաչափական անհավասարություններ են դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում։
Ուսումնասիրության առարկա. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների տեսակները և դրանց լուծման մեթոդները:
Տեսական նշանակություն նյութը համակարգելն է։
Գործնական նշանակություն. տեսական գիտելիքների կիրառում խնդիրների լուծման մեջ; եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական ընդհանուր մեթոդների վերլուծություն:
Հետազոտության մեթոդներ գիտական գրականության վերլուծություն, ձեռք բերված գիտելիքների սինթեզ և ընդհանրացում, խնդիրների լուծման վերլուծություն, անհավասարությունների լուծման օպտիմալ մեթոդների որոնում։
§1. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների տեսակները և դրանց լուծման հիմնական մեթոդները
1.1. Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները
Երկու եռանկյունաչափական արտահայտություններ, որոնք կապված են կամ > նշանով կոչվում են եռանկյունաչափական անհավասարություններ։
Եռանկյունաչափական անհավասարություն լուծելը նշանակում է գտնել անհավասարության մեջ ներառված անհայտների արժեքների բազմությունը, որի համար անհավասարությունը բավարարված է:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների հիմնական մասը լուծվում է՝ դրանք հասցնելով ամենապարզ լուծմանը.
Սա կարող է լինել ֆակտորիզացիայի մեթոդ, փոփոխականի փոփոխություն ( 
, 
և այլն), որտեղ սկզբում լուծվում է սովորական անհավասարությունը, այնուհետև ձևի անհավասարությունը 
և այլն, կամ այլ մեթոդներ:
Ամենապարզ անհավասարությունները կարող են լուծվել երկու եղանակով՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը կամ գրաֆիկորեն:
Թողf(x
- հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը: Անհավասարությունը լուծելու համար 
բավական է դրա լուծումը գտնել մեկ ժամանակահատվածում, այսինքն. ցանկացած հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի ժամանակաշրջանինզ
x
. Այնուհետև կգտնվի սկզբնական անհավասարության լուծումըx
, ինչպես նաև այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակահատվածներով հայտնաբերված արժեքներից: Այս դեպքում հարմար է օգտագործել գրաֆիկական մեթոդը։
Բերենք անհավասարությունների լուծման ալգորիթմի օրինակ 
(
) Եվ 
.
Անհավասարության լուծման ալգորիթմ (
).
1. Ձևակերպի՛ր թվի սինուսի սահմանումըx միավորի շրջանակի վրա:
3. Օրինատների առանցքի վրա կետը նշի՛ր կոորդինատովա .
4. Այս կետով գծեք OX առանցքին զուգահեռ ուղիղ և նշեք նրա հատման կետերը շրջանագծի հետ:
5. Ընտրի՛ր շրջանագծի մի աղեղ, որի բոլոր կետերն ունեն օրդինատից փոքրա .
6. Նշի՛ր շրջանի ուղղությունը (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ) և գրի՛ր պատասխանը՝ ֆունկցիայի պարբերությունը միջակայքի ծայրերին ավելացնելով.2πn
,
.
Անհավասարության լուծման ալգորիթմ .
1. Ձևակերպի՛ր թվի շոշափողի սահմանումըx միավորի շրջանակի վրա:
2. Գծե՛ք միավոր շրջան:
3. Գծի՛ր շոշափողների գիծ և վրան նշի՛ր օրդինատով կետա .
4. Այս կետը միացրեք սկզբնակետին և ստացված հատվածի հատման կետը նշեք միավոր շրջանագծի հետ։
5. Ընտրեք շրջանագծի մի աղեղ, որի բոլոր կետերը շոշափող գծի վրա օրդինատ ունեն պակաս քան.ա .
6. Նշեք անցման ուղղությունը և պատասխանը գրեք՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը՝ ավելացնելով կետ.πn
,
(մուտքում ձախ կողմի համարը միշտ է քիչ թիվ, կանգնած աջ կողմում):
Պարզ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման բանաձևերի լուծումների գրաֆիկական մեկնաբանություն ընդհանուր տեսարաննշված են հավելվածում (Հավելվածներ 1 և 2):
Օրինակ 1.
Լուծե՛ք անհավասարությունը 
.
Միավոր շրջանագծի վրա ուղիղ գիծ գծեք 
, որը հատում է շրջանագիծը A և B կետերում:
Բոլոր իմաստներըy
միջակայքում NM-ն ավելի մեծ է
, AMB աղեղի բոլոր կետերը բավարարում են այս անհավասարությունը։ Պտտման բոլոր անկյուններում, մեծ 
, բայց ավելի փոքր 
,
ավելի մեծ արժեքներ կընդունի
(բայց ոչ ավելի, քան մեկ):
Նկ.1
Այսպիսով, անհավասարության լուծումը կլինի բոլոր արժեքները միջակայքում 
, այսինքն. 
. Այս անհավասարության բոլոր լուծումները ստանալու համար բավական է ավելացնել այս միջակայքի ծայրերը 
, Որտեղ 
, այսինքն. 
,
.
Նշենք, որ արժեքները 
Եվ 
հավասարման արմատներն են 
,
դրանք. 
;
.
Պատասխան. 
, .
1.2. Գրաֆիկական մեթոդ
Գործնականում եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդը հաճախ օգտակար է դառնում։ Դիտարկենք մեթոդի էությունը՝ օգտագործելով անհավասարության օրինակը 
:
1. Եթե փաստարկը բարդ է (տարբերվում էX ), այնուհետև փոխարինեք այնտ .
2. Մենք կառուցում ենք մեկում կոորդինատային հարթություն
խաղալիք
ֆունկցիայի գրաֆիկներ 
Եվ 
.
3. Մենք գտնում ենք այդպիսինգրաֆիկների հատման երկու հարակից կետեր, որոնց միջևսինուսային ալիքգտնվում էավելի բարձր
ուղիղ . Գտե՛ք այս կետերի աբսցիսները:
4. Փաստարկի համար գրի՛ր կրկնակի անհավասարությունտ հաշվի առնելով կոսինուսի շրջանը (տ կլինի գտնված աբսցիսների միջև):
5. Կատարի՛ր հակադարձ փոխարինում (վերադառնալ սկզբնական փաստարկին) և արտահայտի՛ր արժեքըX Կրկնակի անհավասարությունից պատասխանը գրում ենք թվային միջակայքի տեսքով։
Օրինակ 2. Լուծել անհավասարությունը.
Անհավասարությունները գրաֆիկական մեթոդով լուծելիս անհրաժեշտ է հնարավորինս ճշգրիտ կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Անհավասարությունը փոխակերպենք ձևի.
Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում 
Եվ 
(նկ. 2):
Նկ.2
Ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են կետումԱ
կոորդինատներով 
; 
. Միջեւ 
գրաֆիկի կետերը 
գրաֆիկի կետերից ցածր 
. Եւ երբ ֆունկցիայի արժեքները նույնն են. Ահա թե ինչու ժամը 
.
Պատասխան. 
.
1.3. Հանրահաշվական մեթոդ
Շատ հաճախ, սկզբնական եռանկյունաչափական անհավասարությունը կարող է կրճատվել հանրահաշվական (ռացիոնալ կամ իռացիոնալ) անհավասարության՝ ճիշտ ընտրված փոխարինման միջոցով: Այս մեթոդը ներառում է անհավասարության վերափոխում, փոխարինում կամ փոփոխականի փոխարինում:
Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառման կոնկրետ օրինակներ։
Օրինակ 3.
Կրճատում մինչև ամենապարզ ձևը 
.
(նկ. 3)
Նկ.3
, 
.
Պատասխան. 
,
Օրինակ 4. Լուծել անհավասարությունը.
ՕՁ: 
, 
.
Օգտագործելով բանաձևեր. 
, 
Անհավասարությունը գրենք ձևով. 
.
Կամ՝ հավատալով 
պարզ փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք
,
,
.
Վերջին անհավասարությունը լուծելով ինտերվալ մեթոդով, ստանում ենք.
Նկ.4
, համապատասխանաբար 
. Այնուհետև Նկ. 4 հետևում է 
, Որտեղ 
.
Նկ.5
Պատասխան. 
, 
.
1.4. Ինտերվալ մեթոդ
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ընդհանուր սխեման ընդմիջման մեթոդով.
Գործոն՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևերը:
Գտե՛ք ֆունկցիայի անկման կետերը և զրոները և տեղադրե՛ք շրջանագծի վրա։
Վերցրեք ցանկացած կետTO (բայց ավելի վաղ չի հայտնաբերվել) և պարզել ապրանքի նշանը: Եթե արդյունքը դրական է, ապա միավորի շրջանակից դուրս մի կետ դրեք անկյան համապատասխան ճառագայթի վրա: Հակառակ դեպքում կետը տեղադրեք շրջանագծի ներսում:
Եթե մի կետ առաջանում է մի քանի անգամ, մենք այն անվանում ենք զույգ բազմակի կետ, եթե կենտ թիվ է, մենք այն անվանում ենք կենտ բազմակի կետ: Նկարել աղեղները հետևյալ կերպ՝ սկսել կետիցTO , եթե հաջորդ կետը կենտ բազմակի է, ապա աղեղն այս կետում հատում է շրջանագիծը, իսկ եթե կետը զույգ բազմակի է, ապա այն չի հատվում։
Շրջանակի հետևում գտնվող կամարները դրական միջակայքեր են. շրջանակի ներսում կան բացասական բացատներ:
Օրինակ 5. Լուծել անհավասարությունը
, 
.
Առաջին շարքի կետերը. 
.
Երկրորդ շարքի կետերը. 
.
Յուրաքանչյուր կետ հանդիպում է կենտ թվով անգամ, այսինքն՝ բոլոր կետերը կենտ բազմապատիկ են:
Եկեք պարզենք ապրանքի նշանը 
: Նշենք միավոր շրջանագծի բոլոր կետերը (նկ. 6).
Բրինձ. 6
Պատասխան. 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Օրինակ 6 . Լուծե՛ք անհավասարությունը.
Լուծում:
Գտնենք արտահայտության զրոները .
Ստանալաեմ :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Միավոր շրջանագծի շարքի արժեքների վրաX
1
ներկայացված են կետերով 
. ՍերիաX
2
միավորներ է տալիս 
. Մի շարքX
3
մենք ստանում ենք երկու միավոր 
. Վերջապես, շարքըX
4
միավորներ կներկայացնի 
. Այս բոլոր կետերը գծագրենք միավոր շրջանագծի վրա՝ յուրաքանչյուրի կողքին փակագծերում նշելով դրա բազմապատիկը։
Թող հիմա համարը 
հավասար կլինի. Եկեք գնահատենք՝ հիմնվելով նշանի վրա.
Այսպիսով, վերջակետԱ
պետք է ընտրվի անկյունը ձևավորող ճառագայթի վրա 
ճառագայթովՕ,
միավորի շրջանակից դուրս: (Նշեք, որ օժանդակ ճառագայթըՄԱՍԻՆ
Ա
Ամենևին էլ պարտադիր չէ այն գծագրել։ ԿետԱ
ընտրված է մոտավորապես։)
Հիմա կետիցԱ
բոլոր նշված կետերին հաջորդաբար գծեք ալիքաձև շարունակական գիծ: Եվ կետերում մեր գիծը գնում է մի տարածքից մյուսը. եթե այն գտնվում էր միավորի շրջանակից դուրս, ապա այն անցնում է դրա ներսում: Մոտենալով կետին 
, գիծը վերադառնում է ներքին շրջան, քանի որ այս կետի բազմապատիկը հավասար է։ Նմանապես կետում 
(նույնիսկ բազմակիությամբ) գիծը պետք է թեքվի դեպի արտաքին շրջան: Այսպիսով, մենք նկարեցինք որոշակի նկար, որը ներկայացված է Նկ. 7. Այն օգնում է ընդգծել ցանկալի տարածքները միավորի շրջանակի վրա: Դրանք նշվում են «+» նշանով:
Նկ.7
Վերջնական պատասխան.
Նշում. Եթե ալիքաձև գիծը միավոր շրջանագծի վրա նշված բոլոր կետերը շրջանցելուց հետո չի կարող վերադարձվել կետԱ , առանց շրջանագիծը հատելու «ապօրինի» տեղում, սա նշանակում է, որ սխալ է թույլ տրվել լուծմանը, այն է՝ կենտ թվով արմատներ բաց են թողնվել:
Պատասխանել: .
§2. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման խնդիրների մի շարք
Դպրոցականների եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու կարողության զարգացման գործընթացում կարելի է առանձնացնել նաև 3 փուլ.
1. նախապատրաստական,
2. պարզ եռանկյունաչափական անհավասարություններ լուծելու կարողության զարգացում;
3. այլ տեսակների եռանկյունաչափական անհավասարությունների ներդրում.
Նախապատրաստական փուլի նպատակն այն է, որ դպրոցականների մոտ անհրաժեշտ է զարգացնել անհավասարությունները լուծելու համար եռանկյունաչափական շրջան կամ գրաֆիկ օգտագործելու ունակություն, մասնավորապես.
Ձևի պարզ անհավասարություններ լուծելու ունակություն ,
, ,
,
օգտագործելով սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների հատկությունները.
Թվային շրջանագծի կամ ֆունկցիաների գրաֆիկների կամարների համար կրկնակի անհավասարումներ կառուցելու ունակություն.
Եռանկյունաչափական արտահայտությունների տարբեր փոխակերպումներ կատարելու ունակություն:
Առաջարկվում է այս փուլն իրականացնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների մասին դպրոցականների գիտելիքների համակարգման գործընթացում: Հիմնական միջոցները կարող են լինել ուսանողներին առաջարկվող առաջադրանքները և կատարվող կամ ուսուցչի ղեկավարությամբ կամ ինքնուրույն, ինչպես նաև եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հմտությունները:
Ահա այսպիսի առաջադրանքների օրինակներ.
1
. Նշեք միավոր շրջանագծի վրա կետ 
, Եթե
.
2.
Կոորդինատային հարթության ո՞ր քառորդում է գտնվում կետը. , Եթե 
հավասար է. 
3.
Նշեք կետերը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա , Եթե:
4. Արտահայտությունը փոխարկեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներիԻքառորդներ.
Ա) 
,
բ) 
,
V) 
5. Arc MR տրված է:Մ - միջինԻ- եռամսյակ,Ռ - միջինIIեռամսյակ. Սահմանափակել փոփոխականի արժեքըտ (կատարել կրկնակի անհավասարություն) ա) աղեղ MR; բ) RM աղեղներ.
6. Գրե՛ք գրաֆիկի ընտրված հատվածների կրկնակի անհավասարությունը.
Բրինձ. 1
7.
Լուծել անհավասարություններ 
, 
, 
, 
.
8. Փոխակերպել արտահայտությունը .
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուսուցման երկրորդ փուլում մենք կարող ենք առաջարկել հետևյալ առաջարկությունները՝ կապված ուսանողական գործունեության կազմակերպման մեթոդաբանության հետ. Այս դեպքում անհրաժեշտ է կենտրոնանալ եռանկյունաչափական շրջանագծի կամ գրաֆիկի հետ աշխատելու սովորողների առկա հմտությունների վրա, որոնք ձևավորվել են ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելիս:
Նախ, կարելի է մոտիվացնել ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ընդհանուր մեթոդի ձեռքբերման նպատակահարմարությունը՝ դիմելով, օրինակ, ձևի անհավասարությանը. 
.
Օգտագործելով ձեռք բերված գիտելիքները և հմտությունները նախապատրաստական փուլ, ուսանողները կնվազեցնեն առաջարկվող անհավասարությունը մինչև ձև 
, բայց կարող է դժվարանալ առաջացած անհավասարության լուծումների մի շարք գտնել, քանի որ Անհնար է լուծել այն միայն օգտագործելով սինուսային ֆունկցիայի հատկությունները։ Այս դժվարությունից կարելի է խուսափել՝ դիմելով համապատասխան նկարազարդմանը (հավասարումը գրաֆիկորեն լուծելով կամ միավոր շրջանի միջոցով):
Երկրորդ՝ ուսուցիչը պետք է ուսանողների ուշադրությունը հրավիրի առաջադրանքը կատարելու տարբեր եղանակների վրա, անհավասարությունը լուծելու համապատասխան օրինակ բերի թե՛ գրաֆիկական, թե՛ եռանկյունաչափական շրջանագծի միջոցով:
Դիտարկենք անհավասարության հետևյալ լուծումները .
1. Անհավասարության լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջին դասում մենք ուսանողներին կառաջարկենք լուծման մանրամասն ալգորիթմ, որը քայլ առ քայլ ներկայացման մեջ արտացոլում է անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ բոլոր հիմնական հմտությունները:
Քայլ 1.Եկեք գծենք միավոր շրջան և նշենք օրդինատների առանցքի վրա մի կետ 
և դրա միջով ուղիղ գիծ գծիր x առանցքին զուգահեռ: Այս ուղիղը կհատի միավորի շրջանագիծը երկու կետով: Այս կետերից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է թվեր, որոնց սինուսը հավասար է .
Քայլ 2.Այս ուղիղ գիծը շրջանը բաժանեց երկու կամարի։ Եկեք ընտրենք մեկը, որը պատկերում է թվեր, որոնք ունեն ավելի մեծ սինուս . Բնականաբար, այս աղեղը գտնվում է գծված ուղիղ գծի վերևում։
Բրինձ. 2
Քայլ 3.Ընտրեք նշված աղեղի ծայրերից մեկը: Գրենք թվերից մեկը, որը ներկայացված է միավոր շրջանագծի այս կետով 
.
Քայլ 4.Ընտրված աղեղի երկրորդ ծայրին համապատասխան համարը ընտրելու համար այս կամարի երկայնքով «քայլում ենք» անվանված ծայրից մյուսը։ Միևնույն ժամանակ, հիշենք, որ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժվելիս մեծանում են այն թվերը, որոնց միջով անցնելու ենք (հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս թվերը կնվազեն): Գրենք այն թիվը, որը պատկերված է միավոր շրջանագծի վրա նշված աղեղի երկրորդ ծայրով 
.
Այսպիսով, մենք տեսնում ենք այդ անհավասարությունը բավարարել այն թվերը, որոնց համար անհավասարությունը ճշմարիտ է 
. Մենք լուծեցինք սինուսային ֆունկցիայի նույն պարբերության վրա գտնվող թվերի անհավասարությունը: Հետևաբար, անհավասարության բոլոր լուծումները կարող են գրվել ձևով 
Ուսանողներին պետք է խնդրել ուշադիր ուսումնասիրել գծագիրը և պարզել, թե ինչու են անհավասարության բոլոր լուծումները կարելի է գրել ձևով 
, 
.
Բրինձ. 3
Աշակերտների ուշադրությունը պետք է հրավիրել այն փաստի վրա, որ կոսինուս ֆունկցիայի անհավասարություններ լուծելիս օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ ենք գծում։
Անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդ.
Մենք գծապատկերներ ենք կառուցում 
Եվ 
, հաշվի առնելով, որ 
.
Բրինձ. 4
Այնուհետև գրում ենք հավասարումը 
և նրա որոշումը 
, 
, 
, հայտնաբերվել է բանաձևերի միջոցով 
, 
, 
.
(Տալn
արժեքները 0, 1, 2, մենք գտնում ենք կազմված հավասարման երեք արմատները): Արժեքներ 
գրաֆիկների հատման կետերի երեք հաջորդական աբսցիսներ են Եվ . Ակնհայտ է, որ միշտ միջակայքում 
անհավասարությունը պահպանվում է 
, և ընդմիջման վրա 
- անհավասարություն 
. Մեզ հետաքրքրում է առաջին դեպքը, այնուհետև այս միջակայքի ծայրերին ավելացնելով մի թիվ, որը սինուսի պարբերության բազմապատիկն է, մենք ստանում ենք անհավասարության լուծում. որպես: 
, .
Բրինձ. 5
Ամփոփել. Անհավասարությունը լուծելու համար , անհրաժեշտ է ստեղծել համապատասխան հավասարումը և լուծել այն։ Ստացված բանաձեւից գտեք արմատները 
Եվ 
, և անհավասարության պատասխանը գրի՛ր ձևով. , .
Երրորդ, համապատասխան եռանկյունաչափական անհավասարության արմատների բազմության մասին փաստը շատ հստակորեն հաստատվում է այն գրաֆիկորեն լուծելիս։
Բրինձ. 6
Աշակերտներին անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ շրջադարձը, որը անհավասարության լուծումն է, կրկնվում է նույն ընդմիջումով, որը հավասար է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերությանը: Կարող եք նաև դիտարկել նմանատիպ նկարազարդում սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկի համար:
Չորրորդ՝ նպատակահարմար է կատարել աշխատանք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) արտադրյալի վերածելու ուսանողների տեխնիկայի թարմացման ուղղությամբ և ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել այս տեխնիկայի դերին եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործում:
Նման աշխատանքը կարող է կազմակերպվել ուսանողների կողմից ուսուցչի կողմից առաջադրված առաջադրանքների ինքնուրույն կատարման միջոցով, որոնց թվում առանձնացնում ենք հետևյալը.
Հինգերորդ, ուսանողներից պետք է պահանջվի նկարազարդել յուրաքանչյուր պարզ եռանկյունաչափական անհավասարության լուծումը՝ օգտագործելով գրաֆիկ կամ եռանկյունաչափական շրջան: Պետք է անպայման ուշադրություն դարձնել դրա նպատակահարմարությանը, հատկապես շրջանագծի օգտագործմանը, քանի որ եռանկյունաչափական անհավասարություններ լուծելիս համապատասխան նկարազարդումը ծառայում է որպես տվյալ անհավասարության լուծումների բազմությունը գրանցելու շատ հարմար միջոց։
Ցանկալի է ուսանողներին ծանոթացնել եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդներին, որոնք ամենապարզը չեն՝ ըստ հետևյալ սխեմայի գտնված մեթոդը նույն տեսակի այլ անհավասարությունների նկատմամբ:
Եռանկյունաչափության մասին ուսանողների գիտելիքները համակարգելու համար խորհուրդ ենք տալիս հատուկ ընտրել այնպիսի անհավասարություններ, որոնց լուծումը պահանջում է տարբեր փոխակերպումներ, որոնք կարող են իրականացվել դրա լուծման գործընթացում, և ուսանողների ուշադրությունը կենտրոնացնել դրանց առանձնահատկությունների վրա:
Որպես այդպիսի արտադրողական անհավասարություններ մենք կարող ենք առաջարկել, օրինակ, հետևյալը.
Եզրափակելով, մենք տալիս ենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման խնդիրների մի շարք օրինակ:
1. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
2. Լուծե՛ք անհավասարությունները. 3. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները. 4. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները.Ա) 
, բավարարելով պայմանը 
;
բ) 
, բավարարելով պայմանը 
.
5. Գտե՛ք անհավասարությունների բոլոր լուծումները.
Ա) ;
բ) ;
V) 
;
G) 
;
դ) 
.
6. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) ;
բ) ;
V) ;
G) 
;
դ) ;
ե) ;
և) 
.
7. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) 
;
բ) ;
V) ;
G) .
8. Լուծե՛ք անհավասարությունները.
Ա) ;
բ) ;
V) ;
G) 
;
դ) 
;
ե) ;
և) 
;
ը) .
Ցանկալի է 6-րդ և 7-րդ առաջադրանքները առաջարկել մաթեմատիկա բարձր մակարդակով սովորող ուսանողներին, 8-րդ առաջադրանքը՝ մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ դասարանների ուսանողներին:
§3. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հատուկ մեթոդներ
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հատուկ մեթոդներ - այսինքն այն մեթոդները, որոնք կարող են օգտագործվել միայն եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար: Այս մեթոդները հիմնված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների, ինչպես նաև տարբեր եռանկյունաչափական բանաձևերի և նույնականությունների օգտագործման վրա։
3.1. Ոլորտի մեթոդ
Դիտարկենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման սեկտորի մեթոդը։ Ձևի անհավասարությունների լուծում 
, ՈրտեղՊ
(
x
)
ԵվՔ
(
x
)
- ռացիոնալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (սինուսները, կոսինուսները, տանգենսները և կոտանգենսները դրանցում ներառված են ռացիոնալ կերպով), նման են ռացիոնալ անհավասարությունների լուծմանը: Հարմար է ռացիոնալ անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով թվային տողի միջակայքերի մեթոդը։ Ռացիոնալ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար դրա անալոգը եռանկյունաչափական շրջանի հատվածների մեթոդն է.sinx
Եվcosx
(
) կամ եռանկյունաչափական կիսաշրջանի համարtgx
Եվctgx
(
).
Ինտերվալ մեթոդում՝ ձևի համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր գծային գործակից 
թվային առանցքի վրա համապատասխանում է կետ 
, և այս կետով անցնելիս փոխում է նշանը. Սեկտորային մեթոդում՝ ձևի յուրաքանչյուր գործոն 
, Որտեղ 
- գործառույթներից մեկըsinx
կամcosx
Եվ 
, եռանկյունաչափական շրջանագծի մեջ համապատասխանում են երկու անկյուն 
Եվ 
, որոնք շրջանակը բաժանում են երկու հատվածի։ Անցնելիս Եվ ֆունկցիան փոխում է նշանը.
Պետք է հիշել հետևյալը.
ա) Ձևի գործոններ 
Եվ 
, Որտեղ 
, պահպանել նշանը բոլոր արժեքների համար 
. Հաշվիչի և հայտարարի նման գործոնները հանվում են փոխելով (եթե 
) յուրաքանչյուր նման մերժման դեպքում անհավասարության նշանը հակադարձվում է:
բ) Ձևի գործոններ 
Եվ 
նույնպես դեն են նետվում: Ընդ որում, եթե դրանք հայտարարի գործոններ են, ապա անհավասարությունների համարժեք համակարգին ավելացվում են ձևի անհավասարություններ. 
Եվ 
. Եթե սրանք համարիչի գործոններ են, ապա սահմանափակումների համարժեք համակարգում դրանք համապատասխանում են անհավասարություններին. Եվ խիստ սկզբնական անհավասարության դեպքում և հավասարություն 
Եվ 
ոչ խիստ սկզբնական անհավասարության դեպքում. Բազմապատկիչը դեն նետելիս 
կամ 
անհավասարության նշանը հակադարձվում է.
Օրինակ 1.
Լուծել անհավասարություններ. ա) 
, բ) 
.
մենք ունենք ֆունկցիա բ) . Լուծեք մեր ունեցած անհավասարությունը,
3.2. Համակենտրոն շրջանի մեթոդ
Այս մեթոդը ռացիոնալ անհավասարությունների համակարգերի լուծման զուգահեռ թվային առանցքների մեթոդի անալոգն է:
Դիտարկենք անհավասարությունների համակարգի օրինակ։
Օրինակ 5.
Լուծե՛ք պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների համակարգ 
Նախ, մենք յուրաքանչյուր անհավասարություն լուծում ենք առանձին (Նկար 5): Նկարի վերին աջ անկյունում կնշենք, թե որ արգումենտի համար է դիտարկվում եռանկյունաչափական շրջանագիծը։
Նկ.5
Հաջորդը, մենք կառուցում ենք համակենտրոն շրջանակների համակարգ փաստարկի համարX . Շրջանագիծ ենք գծում և ստվերում ենք՝ ըստ առաջին անհավասարության լուծման, այնուհետև ավելի մեծ շառավղով շրջան ենք գծում և ստվերում ենք ըստ երկրորդի լուծման, այնուհետև երրորդ անհավասարության համար շրջան ենք կառուցում և բազային շրջան։ Մենք համակարգի կենտրոնից ճառագայթներ ենք գծում աղեղների ծայրերով, որպեսզի նրանք հատեն բոլոր շրջանները։ Հիմքի շրջանագծի վրա լուծում ենք կազմում (Նկար 6):
Նկ.6
Պատասխան.
, 
.
Եզրակացություն
Դասընթացի հետազոտության բոլոր նպատակներն ավարտվեցին: Տեսական նյութը համակարգված է՝ տրված են եռանկյունաչափական անհավասարությունների հիմնական տեսակները և դրանց լուծման հիմնական մեթոդները (գրաֆիկական, հանրահաշվական, ինտերվալների մեթոդ, հատվածներ և համակենտրոն շրջանների մեթոդ)։ Յուրաքանչյուր մեթոդի համար տրվել է անհավասարության լուծման օրինակ: Տեսական մասին հաջորդեց գործնական մասը։ Այն պարունակում է եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման առաջադրանքների մի շարք։
Այս դասընթացը կարող է օգտագործվել ուսանողների կողմից ինքնուրույն աշխատանքի համար: Դպրոցականները կարող են ստուգել այս թեմայի յուրացման մակարդակը և կիրառել տարբեր բարդության առաջադրանքներ:
Ուսումնասիրելով այս հարցի վերաբերյալ համապատասխան գրականությունը, մենք ակնհայտորեն կարող ենք եզրակացնել, որ հանրահաշվի և տարրական վերլուծության դպրոցական դասընթացում եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու կարողությունն ու հմտությունները շատ կարևոր են, որոնց մշակումը մաթեմատիկայի ուսուցչի կողմից զգալի ջանքեր է պահանջում:
Ահա թե ինչու այս աշխատանքըօգտակար կլինի մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար, քանի որ հնարավորություն է տալիս արդյունավետ կազմակերպել ուսանողների վերապատրաստումը «Եռանկյունաչափական անհավասարություններ» թեմայով։
Հետազոտությունը կարող է շարունակվել՝ ընդլայնելով այն մինչև վերջնական որակավորման աշխատանք.
Օգտագործված գրականության ցանկ
Բոգոմոլովը, Ն.Վ. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու [Text] / N.V. Բոգոմոլովը. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.
Վիգոդսկի, Մ.Յա. Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ [Text] / M.Ya. Վիգոդսկին. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.
Ժուրբենկոն, Լ.Ն. Մաթեմատիկան օրինակներում և խնդիրներում [Տեքստ] / Լ.Ն. Ժուրբենկո. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.
Իվանով, Օ.Ա. Տարրական մաթեմատիկա դպրոցականների, ուսանողների և ուսուցիչների համար [Text] / O.A. Իվանովը։ – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.
Կարպ, Ա.Պ. Հանրահաշվի վերաբերյալ առաջադրանքներ և վերլուծության սկիզբ 11-րդ դասարանում վերջնական կրկնության և հավաստագրման կազմակերպման համար [Տեքստ] / A.P. Կարպ. – Մ.: Կրթություն, 2005. – 79 էջ.
Կուլանինը, Է.Դ. 3000 մրցութային խնդիրներ մաթեմատիկայից [Text] / E.D. Կուլանինը։ – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.
Լեյբսոն, Կ.Լ. Մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքների ժողովածու [Text] / K.L. Լեյբսոն. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.
Անկյուն, Վ.Վ. Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ և դրանց լուծումները: Եռանկյունաչափություն՝ հավասարումներ, անհավասարություններ, համակարգեր։ 10-րդ դասարան [Տեքստ] / Վ.Վ. Անկյուն. – Մ.: ԱՐԿՏԻ, 2008. – 64 էջ.
Մանովա, Ա.Ն. Մաթեմատիկա. Միասնական պետական քննությանը նախապատրաստվելու էքսպրես դաստիարակ՝ ուսանող. ձեռնարկ [Տեքստ] / Ա.Ն. Մանովա. – Դոնի Ռոստով: Ֆենիքս, 2012. – 541 էջ.
Մորդկովիչ, Ա.Գ. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ. 10-11 դասարաններ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար [Տեքստ] / Ա.Գ. Մորդկովիչ. – Մ.: Iris-press, 2009. – 201 p.
Նովիկով, Ա.Ի. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հավասարումներ և անհավասարություններ [Text] / A.I. Նովիկովը։ – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.
Օգանեսյան, Վ.Ա. Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդները միջնակարգ դպրոցում. Ընդհանուր մեթոդիկա. Դասագիրք ձեռնարկ ֆիզիկայի ուսանողների համար - գորգ. կեղծ. պեդ. ինստ. [Տեքստ] / Վ.Ա. Օգանեսյանը։ – Մ.: Կրթություն, 2006. – 368 էջ.
Օլեհնիկ, Ս.Ն. Հավասարումներ և անհավասարություններ. Ոչ ստանդարտ լուծման մեթոդներ [Text] / S.N. Օլեհնիկ. – M.: Factorial Publishing House, 1997. – 219 p.
Սևրյուկովը, Պ.Ֆ. Եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ [Text] / P.F. Սևրյուկով. – Մ.: Հանրային կրթություն, 2008. – 352 էջ.
Սերգեև, Ի.Ն. Միասնական պետական քննություն՝ 1000 խնդիր պատասխաններով և լուծումներով մաթեմատիկայից. C խմբի բոլոր առաջադրանքները [Text] / I.N. Սերգեև. – Մ.: Քննություն, 2012. – 301 էջ.
Սոբոլևը, Ա.Բ. Տարրական մաթեմատիկա [Տեքստ] / Ա.Բ. Սոբոլևը. – Եկատերինբուրգ: Բարձրագույն մասնագիտական կրթության պետական ուսումնական հաստատություն USTU-UPI, 2005. – 81 p.
Ֆենկոն, Լ.Մ. Անհավասարությունների լուծման և ֆունկցիաների ուսումնասիրման ընդմիջումների մեթոդ [Text] / L.M. Ֆենկո. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.
Ֆրիդմանը, Լ.Մ. Տեսական հիմքՄաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդներ [Տեքստ] / Լ.Մ. Ֆրիդման. – Մ.: Գրատուն «LIBROKOM», 2009. – 248 p.
Հավելված 1
Պարզ անհավասարությունների լուծումների գրաֆիկական մեկնաբանություն
Բրինձ. 1
Բրինձ. 2
Նկ.3
Նկ.4
Նկ.5
Նկ.6
Նկ.7
Նկ.8
Հավելված 2
Պարզ անհավասարությունների լուծումներ
Վրա գործնական դասՄենք կկրկնենք «Եռանկյունաչափություն» թեմայից առաջադրանքների հիմնական տեսակները, լրացուցիչ կվերլուծենք ավելացած բարդության խնդիրները և կդիտարկենք տարբեր եռանկյունաչափական անհավասարությունների և դրանց համակարգերի լուծման օրինակներ:
Այս դասը կօգնի ձեզ նախապատրաստվել B5, B7, C1 և C3 առաջադրանքներից մեկին:
Եկեք սկսենք վերանայել առաջադրանքների հիմնական տեսակները, որոնք մենք անդրադարձել ենք «Եռանկյունաչափություն» թեմայում և լուծել մի քանի ոչ ստանդարտ խնդիրներ:
Առաջադրանք թիվ 1. Անկյունները դարձրեք ռադիանների և աստիճանների. ա) ; բ) .
ա) Օգտագործենք աստիճանները ռադիանի փոխարկելու բանաձևը
Եկեք դրա մեջ փոխարինենք նշված արժեքը:
բ) Կիրառել ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևը
Կատարենք փոխարինումը 
.
Պատասխանել. Ա) ; բ) .
Առաջադրանք թիվ 2. Հաշվիր՝ ա) ; բ) .
ա) Քանի որ անկյունը դուրս է գալիս աղյուսակից, մենք կնվազեցնենք այն՝ հանելով սինուսի պարբերությունը: Որովհետեւ Անկյունը նշվում է ռադիաններով, այնուհետև մենք կետը կդիտարկենք որպես .
բ) Այս դեպքում իրավիճակը նման է. Քանի որ անկյունը նշված է աստիճաններով, մենք շոշափողի պարբերությունը կդիտարկենք որպես .
Ստացված անկյունը, թեև ժամկետից փոքր է, բայց ավելի մեծ է, ինչը նշանակում է, որ այն այլևս վերաբերում է ոչ թե հիմնական, այլ աղյուսակի ընդլայնված հատվածին։ Որպեսզի ևս մեկ անգամ չմարզենք ձեր հիշողությունը՝ անգիր անելով եռաֆունկցիայի արժեքների ընդլայնված աղյուսակը, եկեք նորից հանենք շոշափող պարբերությունը.
Մենք օգտվեցինք շոշափող ֆունկցիայի տարօրինակությունից։
Պատասխանել. ա) 1; բ) .
Առաջադրանք թիվ 3. Հաշվիր 
, Եթե .
Եկեք կրճատենք ամբողջ արտահայտությունը շոշափողների՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով . Միևնույն ժամանակ, մենք չենք կարող վախենալ դրանից, քանի որ այս դեպքում շոշափող արժեքը գոյություն չի ունենա:
Առաջադրանք թիվ 4. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Նշված արտահայտությունները փոխարկվում են կրճատման բանաձևերի միջոցով: Դրանք պարզապես անսովոր կերպով են գրված՝ օգտագործելով աստիճաններ: Առաջին արտահայտությունը ընդհանուր առմամբ ներկայացնում է թիվ: Եկեք մեկ առ մեկ պարզեցնենք բոլոր եռաֆունկցիաները.
Որովհետեւ , ապա ֆունկցիան փոխվում է համակցվածի, այսինքն. դեպի կոտանգենս, և անկյունը ընկնում է երկրորդ քառորդի մեջ, որի սկզբնական շոշափողը բացասական նշան ունի:
Նույն պատճառներով, ինչպես նախորդ արտահայտության մեջ, ֆունկցիան փոխվում է համակցվածի, այսինքն. դեպի կոտանգենս, և անկյունը ընկնում է առաջին քառորդում, որի սկզբնական շոշափողը դրական նշան ունի:
Եկեք ամեն ինչ փոխարինենք պարզեցված արտահայտությամբ.
Խնդիր թիվ 5. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Եկեք գրենք կրկնակի անկյան շոշափողը համապատասխան բանաձևով և պարզեցնենք արտահայտությունը.
Վերջին նույնականությունը կոսինուսի փոխարինման համընդհանուր բանաձևերից մեկն է:
Խնդիր թիվ 6. Հաշվիր։
Հիմնական բանը դա չանելն է ստանդարտ սխալև չտալ այն պատասխանը, որ արտահայտությունը հավասար է . Դուք չեք կարող օգտագործել արկտանգենսի հիմնական հատկությունը, քանի դեռ նրա կողքին կա երկուի տեսքով գործակից: Դրանից ազատվելու համար արտահայտությունը կգրենք կրկնակի անկյան շոշափողի բանաձևի համաձայն՝ միաժամանակ դիտարկելով որպես սովորական փաստարկ։
Այժմ մենք կարող ենք կիրառել արկտանգենսի հիմնական հատկությունը, հիշեք, որ դրա թվային արդյունքի վրա սահմանափակումներ չկան.
Խնդիր թիվ 7. Լուծե՛ք հավասարումը.
Կոտորակային հավասարումը լուծելիս, որը հավասար է զրոյի, միշտ նշվում է, որ համարիչը հավասար է զրոյի, իսկ հայտարարը՝ ոչ, քանի որ. Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի:
Առաջին հավասարումը ամենապարզ հավասարման հատուկ դեպքն է, որը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան։ Ինքներդ հիշեք այս լուծումը: Երկրորդ անհավասարությունը լուծվում է որպես պարզ հավասարում, օգտագործելով շոշափողի արմատների ընդհանուր բանաձևը, բայց միայն ոչ հավասար նշանով:
Ինչպես տեսնում ենք, արմատների մի ընտանիքը բացառում է ճիշտ նույն տեսակի արմատների մեկ այլ ընտանիք, որոնք չեն բավարարում հավասարմանը: Նրանք. ոչ մի արմատ:
Պատասխանել. Արմատներ չկան։
Խնդիր թիվ 8. Լուծե՛ք հավասարումը.
Անմիջապես նկատենք, որ մենք կարող ենք հանել ընդհանուր գործոնը և եկեք դա անենք.
Հավասարումը վերածվել է ստանդարտ ձևերից մեկի, որտեղ մի քանի գործոնների արտադրյալը հավասար է զրոյի: Մենք արդեն գիտենք, որ այս դեպքում կա՛մ մեկը հավասար է զրոյի, կա՛մ մյուսը, կա՛մ երրորդը։ Եկեք սա գրենք մի շարք հավասարումների տեսքով.
Առաջին երկու հավասարումները ամենապարզների հատուկ դեպքերն են, որոնք մենք արդեն բազմիցս հանդիպել ենք նմանատիպ հավասարումների, ուստի անմիջապես կնշենք դրանց լուծումները. Երրորդ հավասարումը կրճատում ենք մեկ ֆունկցիայի՝ օգտագործելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը։
Առանձին-առանձին լուծենք վերջին հավասարումը.
Այս հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ սինուսային արժեքը չի կարող գերազանցել 
.
Այսպիսով, լուծումը միայն արմատների առաջին երկու ընտանիքներն են, որոնք կարող են միավորվել մեկում, ինչը հեշտ է ցույց տալ եռանկյունաչափական շրջանակի վրա.
 |
Սա բոլոր կեսերից բաղկացած ընտանիք է, այսինքն.
Անցնենք եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծմանը։ Նախ, եկեք դիտարկենք օրինակը լուծելու մոտեցումը առանց բանաձևերի օգտագործման ընդհանուր լուծումներ, բայց օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջանակը:
Խնդիր թիվ 9. Լուծել անհավասարությունը.
Եկեք եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա գծենք օժանդակ գիծ, որը համապատասխանում է սինուսի արժեքին, և ցույց տանք անհավասարությունը բավարարող անկյունների տիրույթը:
 |
Շատ կարևոր է ճիշտ հասկանալ, թե ինչպես կարելի է ցույց տալ անկյունների արդյունքում առաջացող միջակայքը, այսինքն. որն է դրա սկիզբը և որն է նրա ավարտը: Ինտերվալի սկիզբը կլինի այն կետին համապատասխանող անկյունը, որը մենք կմտնենք ինտերվալի հենց սկզբում, եթե շարժվենք ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։ Մեր դեպքում սա այն կետն է, որը գտնվում է ձախ կողմում, քանի որ շարժվելով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և անցնելով ճիշտ կետը, մենք, ընդհակառակը, թողնում ենք անկյունների պահանջվող տիրույթը։ Հետևաբար ճիշտ կետը կհամապատասխանի բացվածքի ավարտին:
Այժմ մենք պետք է հասկանանք անհավասարության լուծումների մեր միջակայքի սկզբի և վերջի անկյունները: Տիպիկ սխալ է անմիջապես նշել, որ ճիշտ կետը համապատասխանում է անկյունին, ձախին և տալ պատասխանը։ Սա ճիշտ չէ! Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք հենց նոր նշել ենք շրջանագծի վերին հատվածին համապատասխան ինտերվալը, թեև մեզ հետաքրքրում է ստորին հատվածը, այլ կերպ ասած՝ մենք խառնել ենք մեզ անհրաժեշտ լուծման միջակայքի սկիզբն ու վերջը։
Որպեսզի միջակայքը սկսվի աջ կետի անկյունից և ավարտվի ձախ կետի անկյունով, անհրաժեշտ է, որ առաջին նշված անկյունը փոքր լինի երկրորդից։ Դա անելու համար մենք պետք է չափենք ճիշտ կետի անկյունը հղման բացասական ուղղությամբ, այսինքն. ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և այն հավասար կլինի . Այնուհետև, սկսելով դրանից շարժվել ժամսլաքի ուղղությամբ դրական ուղղությամբ, մենք ձախ կետից հետո կհասնենք աջ կետին և կստանանք դրա անկյան արժեքը։ Այժմ անկյունների միջակայքի սկիզբը փոքր է վերջից, և մենք կարող ենք գրել լուծումների միջակայքը՝ առանց ժամանակաշրջանը հաշվի առնելու.
Հաշվի առնելով, որ նման ինտերվալները կկրկնվեն անվերջ թվով անգամներ ցանկացած ամբողջ թվով պտույտներից հետո, մենք ստանում ենք ընդհանուր լուծում՝ հաշվի առնելով սինուսի պարբերությունը.
Մենք փակագծեր ենք դնում, քանի որ անհավասարությունը խիստ է, և շրջանագծի վրա առանձնացնում ենք այն կետերը, որոնք համապատասխանում են միջակայքի ծայրերին:
Ստացված պատասխանը համեմատե՛ք ընդհանուր լուծման բանաձևի հետ, որը մենք տվել ենք դասախոսության ժամանակ։
Պատասխանել. 
.
Այս մեթոդը լավ է հասկանալու համար, թե որտեղից են գալիս ամենապարզ եռանկյունի անհավասարությունների ընդհանուր լուծումների բանաձևերը: Բացի այդ, օգտակար է նրանց համար, ովքեր չափազանց ծույլ են սովորել այս բոլոր ծանր բանաձեւերը։ Այնուամենայնիվ, մեթոդն ինքնին նույնպես հեշտ չէ.
Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար կարող եք նաև օգտագործել այն ֆունկցիաների գրաֆիկները, որոնց վրա կառուցված է օժանդակ գիծ, որը նման է միավոր շրջանագծի օգտագործմամբ ցուցադրված մեթոդին: Եթե հետաքրքրված եք, փորձեք ինքներդ պարզել լուծման այս մոտեցումը: Հետևյալում մենք կօգտագործենք ընդհանուր բանաձևեր պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար:
Խնդիր թիվ 10. Լուծել անհավասարությունը.
Օգտագործենք ընդհանուր լուծման բանաձևը՝ հաշվի առնելով այն, որ անհավասարությունը խիստ չէ.
Մեր դեպքում մենք ստանում ենք.
Պատասխանել. 
Խնդիր թիվ 11. Լուծել անհավասարությունը.
Եկեք օգտագործենք լուծման ընդհանուր բանաձևը համապատասխան խիստ անհավասարության համար.
Պատասխանել. 
.
Խնդիր թիվ 12. Լուծել անհավասարություններ՝ ա) ; բ) .
Այս անհավասարություններում պետք չէ շտապել օգտագործել ընդհանուր լուծումների կամ եռանկյունաչափական շրջանի բանաձևերը, բավական է պարզապես հիշել սինուսի և կոսինուսի արժեքների շրջանակը.
ա) Քանի որ 
, ուրեմն անհավասարությունն իմաստ չունի։ Հետեւաբար, լուծումներ չկան։
բ) Որովհետև Նմանապես, ցանկացած փաստարկի սինուսը միշտ բավարարում է պայմանում նշված անհավասարությանը: Հետևաբար, անհավասարությունը բավարարվում է փաստարկի բոլոր իրական արժեքներով:
Պատասխանել. ա) լուծումներ չկան. բ) .
Խնդիր 13. Լուծել անհավասարությունը 
.
Բելառուսի Հանրապետության կրթության նախարարություն
Ուսումնական հաստատություն
«Գոմելի պետական համալսարան
Ֆրանցիսկ Սկարինայի անունով»
Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ
Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին
Ընդունվել է պաշտպանության համար
Գլուխ Բաժանմունք Շեմետկով Լ.Ա.
Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ
Դասընթացի աշխատանք
Կատարող:
Մ-51 խմբի աշակերտ
ՍՄ. Գորսկին
Գիտական ղեկավար, բ.գ.թ.
Ավագ դասախոս
Վ.Գ. Սաֆոնովը
Գոմել 2008 թ
ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ
ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ
Ֆակտորիզացիա
Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով եռակի փաստարկների բանաձևերը
Բազմապատկելով որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով
ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ եռանկյունաչափական հավասարումներ
ԵՌԱԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ԸՆՏՐՈՒԹՅՈՒՆ
ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ
ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ
ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ՑԱՆԿ
Հին ժամանակներում եռանկյունաչափությունը առաջացել է աստղագիտության, հողագնացության և շինարարության կարիքների հետ կապված, այսինքն՝ այն զուտ երկրաչափական բնույթ է կրել և ներկայացված է հիմնականում։<<исчисление хорд>>. Ժամանակի ընթացքում որոշ վերլուծական պահեր սկսեցին հատվել դրա մեջ։ 18-րդ դարի առաջին կեսին տեղի ունեցավ կտրուկ փոփոխություն, որից հետո եռանկյունաչափությունը նոր ուղղություն վերցրեց և անցավ դեպի մաթեմատիկական վերլուծություն։ Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափական հարաբերությունները սկսեցին դիտարկվել որպես ֆունկցիաներ։
Եռանկյունաչափական հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի ամենադժվար թեմաներից են: Եռանկյունաչափական հավասարումներ առաջանում են պլանաչափության, ստերեոմետրիայի, աստղագիտության, ֆիզիկայի և այլ ոլորտների խնդիրներ լուծելիս։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ տարեցտարի հայտնաբերվում են կենտրոնացված թեստավորման առաջադրանքների շարքում:
Առավելագույնը կարևոր տարբերությունեռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականից այն է, որ հանրահաշվական հավասարումների մեջ կան վերջավոր թվով արմատներ, իսկ եռանկյունաչափականներում --- անսահման, ինչը մեծապես բարդացնում է արմատների ընտրությունը։ Եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ յուրահատկություն պատասխանը գրելու ոչ եզակի ձևն է։
Այս թեզը նվիրված է եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներին։
Թեզը բաղկացած է 6 բաժնից.
Առաջին բաժինը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; որոշ արգումենտների համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ. եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտում այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների, հատկապես հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպման համար. Ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները։
Երկրորդ բաժինը ներկայացնում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները: Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորացման մեթոդը և եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդները։ Շնորհիվ այն բանի, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, ինչը կարող է.<<сбить с толку>> թեստերը լուծելիս հաշվի են առնվում ընդհանուր սխեմանՄանրամասն դիտարկվում են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները և եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը։
Երրորդ բաժնում ուսումնասիրվում են ոչ ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնց լուծումները հիմնված են ֆունկցիոնալ մոտեցման վրա:
Չորրորդ բաժինը քննարկում է եռանկյունաչափական անհավասարությունները: Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման եղանակները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն քաջ հայտնի ինտերվալների մեթոդը։
Հինգերորդ բաժինը ներկայացնում է ամենադժվար առաջադրանքները. երբ անհրաժեշտ է ոչ միայն լուծել եռանկյունաչափական հավասարումը, այլև գտնված արմատներից ընտրել ինչ-որ պայման բավարարող արմատներ։ Այս բաժինը լուծումներ է տալիս արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների համար: Տրված են արմատներ ընտրելու համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվությունը. ամբողջ թվերի բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիաֆանտին):
Վեցերորդ բաժինը ներկայացնում է առաջադրանքներ անկախ որոշում, որը նախատեսված է թեստի տեսքով։ Թեստային 20 առաջադրանքները պարունակում են ամենադժվար առաջադրանքները, որոնք կարող են հանդիպել կենտրոնացված թեստավորման ժամանակ:
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումներ
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները ձևի հավասարումներ են, որտեղ --- եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը՝ , , , .
Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումներն ունեն անսահման թվով արմատներ։ Օրինակ, հետևյալ արժեքները բավարարում են հավասարումը. , , , և այլն: Ընդհանուր բանաձևորի երկայնքով գտնվում են հավասարման բոլոր արմատները, որտեղ , է.
Այստեղ այն կարող է վերցնել ցանկացած ամբողջ արժեք, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է հավասարման որոշակի արմատին. այս բանաձեւում (ինչպես նաեւ այլ բանաձեւերում, որոնցով լուծվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները) կոչվում են. պարամետր. Նրանք սովորաբար գրում են՝ դրանով իսկ ընդգծելով, որ պարամետրը կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք։
Հավասարումների լուծումները, որտեղ , գտնում ենք բանաձևով
Հավասարումը լուծվում է բանաձևով
իսկ հավասարումը բանաձևով է
Հատկապես նշենք տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների մի քանի հատուկ դեպքեր, երբ լուծումը կարելի է գրել առանց ընդհանուր բանաձևերի.
Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս կարևոր դերխաղում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակաշրջանը: Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք երկու օգտակար թեորեմ.
Թեորեմ Եթե --- հիմնականֆունկցիայի ժամանակաշրջան, ապա թիվը ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է։
Գործառույթների ժամանակաշրջանները և համարվում են համադրելի, եթե կան ամբողջ թվերԵւ ինչ .
Թեորեմ Եթե պարբերական ֆունկցիաները և , ունեն համադրելի և , ապա նրանք ունեն ընդհանուր պարբերություն, որը ֆունկցիաների , , , ժամանակաշրջանն է։
Թեորեմն ասում է, որ ֆունկցիայի պարբերությունը , , , է և պարտադիր չէ, որ լինի հիմնական ժամանակաշրջանը։ Օրինակ՝ ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը և --- , և դրանց արտադրանքի հիմնական ժամանակաշրջանը --- ։
Օժանդակ փաստարկի ներկայացում
Ձևի արտահայտությունների փոխակերպման ստանդարտ եղանակով 
հետևյալ տեխնիկան է՝ թող --- անկյուն, տրված հավասարումներով 
, 
. Ցանկացածի համար նման անկյուն գոյություն ունի: Այսպիսով . Եթե , կամ , , , այլ դեպքերում։
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման սխեմա
Հիմնական սխեման, որին մենք կհետևենք եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, հետևյալն է.
լուծում տրված հավասարումըհանգում է որոշման տարրական հավասարումներ. Լուծումներ --- փոխարկումներ, ֆակտորիզացիա, անհայտների փոխարինում։ Առաջնորդող սկզբունքը արմատներդ չկորցնելն է: Սա նշանակում է, որ հաջորդ հավասարում(ներ)ին անցնելիս մենք չենք վախենում ավելորդ (օտար) արմատների ի հայտ գալուց, այլ միայն հոգում ենք, որ մեր «շղթայի» յուրաքանչյուր հաջորդ հավասարումը (կամ ճյուղավորման դեպքում հավասարումների մի շարք. ) նախորդի հետևանք է։ Արմատների ընտրության հնարավոր եղանակներից մեկը փորձարկումն է: Անմիջապես նկատենք, որ եռանկյունաչափական հավասարումների դեպքում արմատներ ընտրելու և ստուգելու հետ կապված դժվարությունները, որպես կանոն, կտրուկ աճում են հանրահաշվական հավասարումների համեմատ։ Ի վերջո, մենք պետք է ստուգենք շարքերը, որոնք բաղկացած են անսահման թվով տերմիններից:
Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս պետք է հատուկ նշել անհայտների փոխարինումը։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ փոխարինումից հետո ստացվում է հանրահաշվական հավասարում։ Ավելին, հավասարումները այնքան էլ հազվադեպ չեն, որ թեև եռանկյունաչափական են տեսքը, ըստ էության այդպիսին չեն, քանի որ առաջին քայլից հետո --- փոխարինումներփոփոխականները --- վերածվում են հանրահաշվականի, իսկ եռանկյունաչափության վերադարձը տեղի է ունենում միայն տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման փուլում։
Եվս մեկ անգամ հիշեցնենք՝ անհայտի փոխարինումը պետք է կատարվի առաջին իսկ հնարավորության դեպքում, փոխարինումից հետո ստացված հավասարումը պետք է լուծվի մինչև վերջ, ներառյալ արմատների ընտրության փուլը և միայն այնուհետև վերադարձվի սկզբնական անհայտին։
Եռանկյունաչափական հավասարումների առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ պատասխանը շատ դեպքերում կարելի է գրել տարբեր ճանապարհներ. Նույնիսկ հավասարումը լուծելու համար 
պատասխանը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
1) երկու շարքի տեսքով. 
, , ;
2) ստանդարտ ձևով, որը վերը նշված շարքի համակցությունն է՝ , ;
3) քանի որ 
, ապա պատասխանը կարելի է գրել ձևով 
, . (Հետևում, , , կամ պարամետրի առկայությունը պատասխան գրառման մեջ ավտոմատ կերպով նշանակում է, որ այս պարամետրն ընդունում է բոլոր հնարավոր ամբողջ արժեքները: Բացառությունները կսահմանվեն:)
Ակնհայտ է, որ թվարկված երեք դեպքերը չեն սպառում քննարկվող հավասարման պատասխանը գրելու բոլոր հնարավորությունները (դրանք անսահման շատ են)։
Օրինակ, երբ հավասարությունը ճիշտ է 
. Հետևաբար, առաջին երկու դեպքերում, եթե , կարող ենք փոխարինել .
Սովորաբար պատասխանը գրվում է 2-րդ կետի հիման վրա: Օգտակար է հիշել հետևյալ առաջարկությունը. եթե աշխատանքը չի ավարտվում հավասարման լուծմամբ, դեռ պետք է կատարել հետազոտություն և ընտրել արմատներ, ապա ձայնագրման ամենահարմար ձևը. նշված է 1-ին կետում: (Նման առաջարկություն պետք է տրվի հավասարման համար):
Քննենք ասվածը ցույց տվող օրինակ։
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Առավել ակնհայտ ճանապարհը հետևյալն է. Այս հավասարումը բաժանվում է երկու մասի՝ և . Լուծելով դրանցից յուրաքանչյուրը և համադրելով ստացված պատասխանները՝ գտնում ենք.
Մեկ այլ ճանապարհ.Այդ ժամանակվանից ի վեր աստիճանի նվազեցման բանաձևերի փոխարինում և օգտագործում: Փոքր վերափոխումներից հետո մենք ստանում ենք, որտեղից 
.
Առաջին հայացքից երկրորդ բանաձեւը առաջինի նկատմամբ առանձնահատուկ առավելություններ չունի։ Սակայն, եթե վերցնենք, օրինակ, ապա ստացվում է, որ, ի. հավասարումը լուծում ունի, մինչդեռ առաջին մեթոդը մեզ տանում է դեպի պատասխանը 
. «Տեսեք» և ապացուցեք հավասարությունը 
այնքան էլ հեշտ չէ.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում
Մենք կքննարկենք թվաբանական առաջընթաց, անվերջ ձգվելով երկու ուղղություններով։ Այս առաջընթացի անդամները կարելի է բաժանել անդամների երկու խմբի՝ տեղակայված որոշակի անդամի աջ և ձախ կողմում, որը կոչվում է պրոգրեսիայի կենտրոնական կամ զրոյական անդամ։
Անսահման պրոգրեսիայի անդամներից մեկը զրոյական թվով ամրագրելով, մենք ստիպված կլինենք կրկնակի համարակալել մնացած բոլոր անդամների համար՝ դրական՝ աջ կողմում գտնվող անդամների համար, և բացասական՝ զրոյից ձախ գտնվող անդամների համար։
IN ընդհանուր դեպք, եթե առաջընթացի տարբերությունը զրոյական անդամ է, ապա անվերջ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած (րդ) անդամի բանաձևը հետևյալն է.
Բանաձևերի փոխակերպումներ անսահման թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամի համար
1. Եթե զրոյական անդամին ավելացնեք կամ հանեք պրոգրեսիայի տարբերությունը, ապա պրոգրեսիան չի փոխվի, այլ կշարժվի միայն զրոյական անդամը, այսինքն. Անդամների համարակալումը կփոխվի.
2. Եթե փոփոխական արժեքի գործակիցը բազմապատկվի , ապա դա կհանգեցնի միայն անդամների աջ և ձախ խմբերի վերադասավորման:
3. Եթե անվերջ առաջընթացի հաջորդական անդամներ
օրինակ, , , ..., , դարձրեք պրոգրեսիաների կենտրոնական անդամները նույն տարբերությամբ հավասար.
ապա պրոգրեսիան և առաջընթացների շարքը նույն թվերն են արտահայտում։
Օրինակ Շարքը կարող է փոխարինվել հետևյալ երեք տողերով՝ , , .
4. Եթե նույն տարբերությամբ անվերջ առաջընթացներն ունեն որպես կենտրոնական անդամ թվեր, որոնք տարբերությամբ կազմում են թվաբանական առաջընթաց, ապա այդ շարքերը կարող են փոխարինվել տարբերությամբ մեկ առաջընթացով և կենտրոնական անդամով, որը հավասար է այս առաջընթացների կենտրոնական անդամներից որևէ մեկին, այսինքն. Եթե
ապա այս առաջընթացները միավորվում են մեկի մեջ.
Օրինակ
Երկուսն էլ միավորված են մեկ խմբի մեջ 
.
Ընդհանուր լուծումներ ունեցող խմբերը ընդհանուր լուծումներ չունեցող խմբերի փոխակերպելու համար այդ խմբերը բաժանվում են ընդհանուր ժամանակով խմբերի, այնուհետև փորձում են միավորել ստացված խմբերը՝ բացառելով կրկնվողները:
Ֆակտորիզացիա
Գործոնացման մեթոդը հետևյալն է՝ եթե
ապա հավասարման յուրաքանչյուր լուծում
հավասարումների բազմության լուծումն է
Հակառակ պնդումը, ընդհանուր առմամբ, կեղծ է. բնակչության յուրաքանչյուր լուծում չէ, որ հավասարման լուծում է: Սա բացատրվում է նրանով, որ առանձին հավասարումների լուծումները կարող են չընդգրկվել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում։
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություն, հավասարումը ներկայացնում ենք ձևով
Պատասխանել.
; 
.
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի վերածումը արտադրյալի
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս դեպքում, նախքան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը կիրառելը, դուք պետք է օգտագործեք կրճատման բանաձևը. 
. Արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում
Պատասխանել.
, 
.
Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Մի շարք հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են բանաձևեր.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.
Պատասխանել. , .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Պատասխանել. .
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը
Եռանկյունաչափական հավասարումների լայն շրջանակ լուծելիս բանաձևերը առանցքային դեր են խաղում:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Պատասխանել. ; .
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով եռակի փաստարկների բանաձևերը
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը՝ ստանում ենք հավասարումը
Պատասխանել. ; .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Կիրառելով աստիճանի նվազեցման բանաձևերը՝ ստանում ենք. 
. Դիմելով մենք ստանում ենք.
Պատասխանել. ; .
Համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություն
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.
Պատասխանել. , .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը։
Պատասխանել. .
Օրինակ Հայտնի է, որ և բավարարում է հավասարումը
Գտեք գումարը.
Լուծում.Հավասարումից հետևում է, որ
Պատասխանել. .
Դիտարկենք ձևի գումարները
Այս գումարները կարելի է վերածել արտադրյալի՝ բազմապատկելով և բաժանելով դրանք, ապա ստանում ենք
Այս տեխնիկան կարող է օգտագործվել որոշ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Եկեք ամփոփենք այս բանաձևերը.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կարելի է տեսնել, որ բազմությունը սկզբնական հավասարման լուծումն է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ և աջ կողմերը բազմապատկելը չի հանգեցնի լրացուցիչ արմատների առաջացման:
Մենք ունենք 
.
Պատասխանել. ; .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Բազմապատկենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը և կիրառենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերը, ստանում ենք.
Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների և , որտեղից և .
Քանի որ հավասարման արմատները հավասարման արմատները չեն, մենք պետք է բացառենք: Սա նշանակում է, որ հավաքածուում անհրաժեշտ է բացառել .
Պատասխանել.Եվ , .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը.
Հավասարումը կգրվի այսպես.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական հավասարումների վերածում հանրահաշվականի
Կրճատվող քառակուսի
Եթե հավասարումը ձևի է
ապա փոխարինումը տանում է այն քառակուսի, քանի որ 
() Եվ.
Եթե ժամկետի փոխարեն կա, ապա պահանջվող փոխարինումը կլինի։
Հավասարումը
իջնում է քառակուսի հավասարում
ներկայացում որպես 
. Հեշտ է ստուգել, թե ինչի համար , հավասարման արմատներ չեն, և փոխարինելով , հավասարումը վերածվում է քառակուսայինի:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Եկեք այն տեղափոխենք ձախ կողմ, փոխարինենք այն , և արտահայտենք այն և .
Պարզեցումներից հետո մենք ստանում ենք. Բաժանեք տերմինը տերմինի և կատարեք փոխարինումը.
Վերադառնալով , մենք գտնում ենք 
.
Միատարր հավասարումներ՝ կապված,
Դիտարկենք ձևի հավասարումը
Որտեղ , , , ..., , --- իրական թվեր. Հավասարման ձախ կողմի յուրաքանչյուր անդամում միանդամների աստիճանները հավասար են, այսինքն՝ սինուսի և կոսինուսի աստիճանների գումարը նույնն է և հավասար։ Այս հավասարումը կոչվում է միատարրհարաբերական և , և թիվը կոչվում է միատարրության ցուցիչ .
Հասկանալի է, որ եթե , ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
որոնց լուծումներն այն արժեքներն են, որոնցում, այսինքն՝ թվերը, . Փակագծերում գրված երկրորդ հավասարումը նույնպես միատարր է, բայց աստիճանները ցածր են 1-ով։
Եթե , ապա այս թվերը հավասարման արմատները չեն:
Երբ մենք ստանում ենք՝ , և (1) հավասարման ձախ կողմը վերցնում է արժեքը:
Այսպիսով, համար, և, հետևաբար, մենք կարող ենք հավասարման երկու կողմերը բաժանել . Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը.
որը փոխարինմամբ հեշտությամբ կարող է վերածվել հանրահաշվի.
Միատարր հավասարումներ միատարրության ինդեքսով 1. Երբ ունենք հավասարումը .
Եթե , ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը , որտեղից , .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս հավասարումը միատարր է առաջին աստիճանի։ Երկու մասերը բաժանում ենք ըստ ստացման՝ , , , .
Պատասխանել. .
Օրինակ At մենք ստանում ենք ձևի միատարր հավասարում
Լուծում.
Եթե , ապա հավասարման երկու կողմերը բաժանեք , ապա կստանանք հավասարումը 
, որը հեշտությամբ կարող է վերածվել քառակուսու՝ փոխարինելով. 
. Եթե 
, ապա հավասարումն ունի իրական արմատներ , . Սկզբնական հավասարումը կունենա լուծումների երկու խումբ՝ , , .
Եթե 
, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Այս հավասարումը երկրորդ աստիճանի միատարր է։ Հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք. Թող , ապա , , . , , ; .
Պատասխանել.
.
Հավասարումը վերածվում է ձևի հավասարման
Դա անելու համար բավական է օգտագործել ինքնությունը 
Մասնավորապես, հավասարումը վերածվում է միատարրերի, եթե այն փոխարինենք դրանով 
, ապա մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը միատարրի.
Բաժանենք հավասարման երկու կողմերը 
, ստանում ենք հավասարումը.
Թող , ապա մենք գալիս ենք քառակուսի հավասարմանը. 
, , 
, 
, .
Պատասխանել.
.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը՝ հաշվի առնելով, որ ունեն դրական արժեքներ: , ,
Թող լինի, հետո կստանանք 
, , .
Պատասխանել. .
Հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույնականացման միջոցով 
Օգտակար է իմանալ հետևյալ բանաձևերը.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Օգտագործելով՝ մենք ստանում ենք
Պատասխանել.
Մենք առաջարկում ենք ոչ թե բուն բանաձևերը, այլ դրանց բխման մեթոդ.
հետևաբար,
Նմանապես, .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը.
Հավասարումը կգրվի այսպես.
Ընդունելով՝ ստանում ենք։ , . Ուստի
Պատասխանել. .
Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում
Ձևի եռանկյունաչափական հավասարում
Որտեղ --- ռացիոնալմի ֆունկցիա բանաձևերի օգնությամբ - , ինչպես նաև բանաձևերի օգնությամբ - կարող է վերածվել ռացիոնալ հավասարման արգումենտների , , , , որից հետո հավասարումը կարող է վերածվել հանրահաշվական ռացիոնալ հավասարման՝ օգտագործելով համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերը
Հարկ է նշել, որ բանաձևերի օգտագործումը կարող է հանգեցնել սկզբնական հավասարման OD-ի նեղացման, քանի որ այն որոշված չէ կետերում, ուստի նման դեպքերում անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք անկյունները սկզբնական հավասարման արմատներն են: .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Ըստ առաջադրանքի պայմանների. Կիրառելով բանաձևերը և կատարելով փոխարինումը, ստանում ենք
որտեղից և հետևաբար.
Ձևի հավասարումներ
Ձևի հավասարումներ, որտեղ --- բազմանդամ, լուծվում են անհայտների փոխարինման միջոցով
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Կատարելով փոխարինումը և հաշվի առնելով դա՝ մենք ստանում ենք
որտեղ, . --- դրսիցարմատ, քանի որ . Հավասարման արմատները 
են .
Օգտագործելով առանձնահատկությունների սահմանափակումները
Կենտրոնացված թեստավորման պրակտիկայում այնքան էլ հազվադեպ չեն հանդիպում այնպիսի հավասարումների, որոնց լուծումը հիմնված է սահմանափակ գործառույթների և . Օրինակ:
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Քանի որ , , ապա ձախ կողմը չի գերազանցում և հավասար է , եթե
Երկու հավասարումներին բավարարող արժեքներ գտնելու համար մենք անցնում ենք հետևյալ կերպ. Եկեք լուծենք դրանցից մեկը, այնուհետև գտնված արժեքներից կընտրենք դրանք, որոնք բավարարում են մյուսին:
Սկսենք երկրորդից՝ , . Հետո, 
.
Պարզ է, որ միայն զույգ թվերի համար կլինի։
Պատասխանել. .
Մեկ այլ գաղափար իրագործվում է՝ լուծելով հետևյալ հավասարումը.
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Եկեք օգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը. 
.
Այս անհավասարությունները տերմին առ տերմին գումարելով՝ ունենք.
Հետևաբար, այս հավասարման ձախ կողմը հավասար է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե երկու հավասարություն պահպանվի.
այսինքն, այն կարող է վերցնել արժեքները, , կամ կարող է վերցնել արժեքները, .
Պատասխանել. , .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում., . Հետևաբար, 
.
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.Նշենք, ապա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանումից ունենք 
Եվ 
.
Քանի որ, ուրեմն անհավասարությունը բխում է հավասարումից, այսինքն. . Քանի որ և , ապա և . Այնուամենայնիվ, դրա համար:
Եթե և, ապա. Քանի որ նախապես հաստատված էր , որ , ապա .
Պատասխանել. , .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.Տարածաշրջան ընդունելի արժեքներհավասարումներն են.
Նախ ցույց ենք տալիս, որ ֆունկցիան
Ցանկացածի համար այն կարող է միայն դրական արժեքներ ընդունել:
Ֆունկցիան պատկերացնենք հետևյալ կերպ.
Քանի որ , ապա այն տեղի է ունենում, այսինքն. 
.
Ուստի անհավասարությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ 
. Այդ նպատակով, եկեք այս անհավասարության երկու կողմերն էլ խորանարդենք
Ստացված թվային անհավասարությունը ցույց է տալիս, որ . Եթե հաշվի առնենք նաև, որ , ապա հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է։
Այժմ դիտարկենք հավասարման աջ կողմը։
Որովհետեւ 
, Դա
Սակայն հայտնի է, որ 
. Հետևում է, որ, այսինքն. հավասարման աջ կողմը չի գերազանցում . Նախկինում ապացուցված էր, որ հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է, ուստի հավասարությունը կարող է տեղի ունենալ միայն այն դեպքում, եթե երկու կողմերն էլ հավասար են, և դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե .
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.Նշենք և 
. Կիրառելով Կոշի-Բունյակովսկի անհավասարությունը՝ մենք ստանում ենք. Դրանից բխում է 
. Մյուս կողմից, կա 
. Հետևաբար, հավասարումը արմատներ չունի։
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը հետևյալ կերպ.
Պատասխանել. .
Եռանկյունաչափական և համակցված հավասարումների լուծման ֆունկցիոնալ մեթոդներ
Փոխակերպումների արդյունքում ամեն հավասարում չէ, որ կարող է կրճատվել այս կամ այն ստանդարտ ձևի հավասարման, որի լուծման հատուկ մեթոդ կա: Նման դեպքերում օգտակար է օգտագործել ֆունկցիաների այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, սահմանափակությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: Այսպիսով, եթե ֆունկցիաներից մեկը նվազում է, իսկ երկրորդը մեծանում է միջակայքում, ապա եթե հավասարումը ունի արմատ այս միջակայքում, այս արմատը եզակի է, և հետո, օրինակ, այն կարելի է գտնել ընտրությամբ: Եթե ֆունկցիան սահմանափակված է վերևում, և , և ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևում, և , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարումների համակարգին.
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.Եկեք վերափոխենք սկզբնական հավասարումը ձևի
և լուծել այն որպես քառակուսի հարաբերական . Հետո մենք ստանում ենք,
Լուծենք բնակչության առաջին հավասարումը. Հաշվի առնելով ֆունկցիայի սահմանափակ բնույթը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ հավասարումը կարող է ունենալ միայն արմատ հատվածի վրա։ Այս միջակայքում ֆունկցիան մեծանում է, և ֆունկցիան 
նվազում է. Հետևաբար, եթե այս հավասարումն ունի արմատ, ապա այն եզակի է։ Մենք գտնում ենք ընտրությամբ.
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը
Լուծում.Թող և 
, ապա սկզբնական հավասարումը կարելի է գրել որպես ֆունկցիոնալ հավասարում։ Քանի որ ֆունկցիան կենտ է, ուրեմն . Այս դեպքում մենք ստանում ենք հավասարումը.
Քանի որ , և միապաղաղ է , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարմանը, այսինքն. 
, որն ունի մեկ արմատ:
Պատասխանել. .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Ածանցյալ թեորեմի հիման վրա բարդ գործառույթպարզ է, որ ֆունկցիան 
նվազում (գործառույթը նվազում, աճող, նվազում): Այստեղից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան 
սահմանվում է , նվազում. Այսպիսով, այս հավասարումն ունի առավելագույնը մեկ արմատ: Որովհետեւ 
, Դա
Պատասխանել. .
Օրինակ Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Դիտարկենք հավասարումը երեք ընդմիջումներով.
ա) Թող. Այնուհետև այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը: Որը լուծումներ չունի միջակայքի վրա, քանի որ 
, , Ա . Ինտերվալի վրա սկզբնական հավասարումը նույնպես արմատներ չունի, քանի որ 
, Ա .
բ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը
որոնց արմատները միջակայքի վրա թվերն են , , , .
գ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը
Որը չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ , և . Ինտերվալի վրա հավասարումը նույնպես լուծումներ չունի, քանի որ , , Ա .
Պատասխանել. , , , .
Սիմետրիայի մեթոդ
Համաչափության մեթոդը հարմար է օգտագործել, երբ առաջադրանքի ձևակերպումը պահանջում է հավասարման, անհավասարության, համակարգի և այլնի եզակի լուծում։ կամ լուծումների քանակի ճշգրիտ նշում: Այս դեպքում պետք է հայտնաբերել տրված արտահայտությունների ցանկացած համաչափություն։
Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել տարբերի բազմազանությունը հնարավոր տեսակներըհամաչափություն.
Նույնքան կարևոր է սիմետրիկությամբ դատողությունների տրամաբանական փուլերի խստիվ պահպանումը:
Սովորաբար, համաչափությունը թույլ է տալիս հաստատել միայն անհրաժեշտ պայմանները, իսկ հետո անհրաժեշտ է ստուգել դրանց բավարարությունը։
Օրինակ Գտեք այն պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնց համար հավասարումն ունի եզակի լուծում:
Լուծում.Նշենք, որ --- նույնիսկֆունկցիաներ, ուստի հավասարման ձախ կողմը հավասարաչափ ֆունկցիա է:
Այսպիսով, եթե --- լուծումհավասարումներ, այսինքն՝ նաև հավասարման լուծում։ Եթե --- միակ բանըհավասարման լուծում, ապա անհրաժեշտ , .
Մենք կընտրենք հնարավոր էարժեքներ՝ պահանջելով, որ այն լինի հավասարման արմատը:
Անմիջապես նշենք, որ այլ արժեքները չեն կարող բավարարել խնդրի պայմանները։
Բայց դեռ հայտնի չէ՝ արդյոք բոլոր ընտրվածներն իրականում բավարարում են առաջադրանքի պայմանները։
Համարժեքություն.
1), հավասարումը կունենա ձև 
.
2), հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Ակնհայտ է, որ բոլորի համար և 
. Հետևաբար, վերջին հավասարումը համարժեք է համակարգին.
Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ ,-ի համար հավասարումն ունի յուրահատուկ լուծում:
Պատասխանել. .
Լուծում ֆունկցիայի ուսումնասիրությամբ
Օրինակ Ապացուցեք, որ հավասարման բոլոր լուծումները
Ամբողջ թվեր.
Լուծում.Սկզբնական հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանն է. Հետևաբար, մենք նախ ուսումնասիրում ենք այս հավասարումը միջակայքի վրա:
Եկեք հավասարումը վերածենք ձևի.
Միկրոհաշվիչի օգնությամբ մենք ստանում ենք.
Եթե , ապա նախորդ հավասարություններից ստանում ենք.
Ստացված հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք.
Կատարված հաշվարկները հնարավորություն են տալիս ենթադրել, որ հատվածին պատկանող հավասարման արմատներն են, և.
Ուղղակի փորձարկումը հաստատում է այս վարկածը: Այսպիսով, ապացուցվել է, որ հավասարման արմատները միայն ամբողջ թվեր են, .
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը 
.
Լուծում.Գտնենք հավասարման հիմնական պարբերությունը։ Ֆունկցիան ունի հիմնական ժամանակաշրջան, որը հավասար է . Գործառույթի հիմնական շրջանն է. և-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է . Հետևաբար, հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանը . Թող .
Ակնհայտ է, որ դա հավասարման լուծում է։ Ընդմիջման վրա. Ֆունկցիան բացասական է: Հետևաբար, հավասարման այլ արմատներ պետք է փնտրել միայն x և ինտերվալների վրա:
Օգտագործելով միկրոհաշվիչը, մենք նախ գտնում ենք հավասարման արմատների մոտավոր արժեքները: Դա անելու համար մենք կազմում ենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ 
ընդմիջումներով և ; այսինքն ընդմիջումներով և .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Աղյուսակից հեշտությամբ կարելի է նկատել հետևյալ վարկածները. հատվածին պատկանող հավասարման արմատները թվերն են. ; . Ուղղակի փորձարկումը հաստատում է այս վարկածը:
Պատասխանել.
; 
; .
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
Այն ձևի եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելիս, որտեղ կա եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը, հարմար է օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանագիծ, որպեսզի առավել հստակ ներկայացնենք անհավասարության լուծումները և գրի առնենք պատասխանը: Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք տիպի ամենապարզ անհավասարություններին հասցնելն է։ Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես լուծել նման անհավասարությունները:
Օրինակ Լուծե՛ք անհավասարությունը.
Լուծում.Եկեք գծենք եռանկյունաչափական շրջան և դրա վրա նշենք այն կետերը, որոնց համար օրդինատը գերազանցում է .
Այս անհավասարության լուծումը կլինի. Հասկանալի է նաև, որ եթե որոշակի թիվ նշված միջակայքից որևէ թվից տարբերվում է , ապա այն նույնպես կլինի ոչ պակաս: Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է ավելացնեք հայտնաբերված լուծման հատվածի ծայրերը: Վերջապես, մենք ստանում ենք, որ սկզբնական անհավասարության լուծումները կլինեն բոլորը 
.
Պատասխանել.
.
Տանգենսով և կոտանգենսով անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է շոշափողների և կոտանգենսների գծի հայեցակարգը: Սրանք ուղիղ գծերն են և, համապատասխանաբար (Նկար (1) և (2)-ում) եռանկյունաչափական շրջանագծին շոշափող:
Հեշտ է տեսնել, որ եթե մենք կառուցում ենք ճառագայթ իր ծագմամբ կոորդինատների սկզբնաղբյուրում, անկյուն կազմելով աբսցիսայի առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա հատվածի երկարությունը կետից մինչև այս ճառագայթի հատման կետը: շոշափող գիծը ճիշտ հավասար է այն անկյան շոշափմանը, որն այս ճառագայթը կազմում է աբսցիսային առանցքի հետ: Նմանատիպ դիտարկում է տեղի ունենում կոտանգենտի դեպքում:
Օրինակ Լուծե՛ք անհավասարությունը.
Լուծում.Նշենք, ապա անհավասարությունը կունենա ամենապարզ ձևը. Դիտարկենք երկարության միջակայքը, որը հավասար է շոշափողի ամենափոքր դրական շրջանին (LPP): Այս հատվածում, օգտագործելով շոշափողների գիծը, մենք սահմանում ենք, որ . Հիմա հիշենք, թե ինչ է պետք ավելացնել ԱԷԿ-ի գործառույթներից հետո: Այսպիսով, 
. Վերադառնալով փոփոխականին՝ մենք ստանում ենք այն:
Պատասխանել.
.
Հարմար է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով:
Եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում
Նշենք, որ եթե --- պարբերականֆունկցիան, ապա անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա լուծումը մի հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի պարբերությանը։ Սկզբնական անհավասարության բոլոր լուծումները բաղկացած կլինեն գտնված արժեքներից, ինչպես նաև բոլոր այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակաշրջաններով հայտնաբերվածներից:
Դիտարկենք անհավասարության լուծումը ().
Այդ ժամանակից ի վեր անհավասարությունը լուծումներ չունի: Եթե , ապա անհավասարության լուծումների բազմությունը --- մի փունջբոլոր իրական թվերը.
Թող . Սինուսի ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ուստի անհավասարությունը կարող է առաջինը լուծվել երկարության հատվածի վրա, օրինակ՝ հատվածի վրա։ Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ և (): տրված են ձևի անհավասարություններով՝ և որտեղից,
Այս աշխատանքում դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ՝ ինչպես պարզ, այնպես էլ օլիմպիադայի մակարդակով: Դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները և, առավել ևս, որպես հատուկ. --- բնորոշմիայն եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների համար, ինչպես նաև եռանկյունաչափական հավասարումների դեպքում հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ընդհանուր ֆունկցիոնալ մեթոդներ:
Թեզը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտում այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների, հատկապես հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպման համար. Ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները։ Դիտարկվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորացման մեթոդը և եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդները։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և փոխակերպումը: Մանրամասն դիտարկվում են եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերը: Մանրամասն դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման եղանակները, ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով: Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն քաջ հայտնի ինտերվալների մեթոդը։ Տրված են արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների լուծումներ: Տրված են արմատներ ընտրելու համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվությունը. ամբողջ թվերի բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիաֆանտին):
Այս թեզի արդյունքները կարող են օգտագործվել որպես ուսումնական նյութ դասընթացի պատրաստման և թեզեր, դպրոցականների համար ընտրովի առարկաներ կազմելիս աշխատանքը կարող է օգտագործվել նաև ուսանողներին ընդունելության քննություններին և կենտրոնացված թեստավորմանը նախապատրաստելիս։
Vygodsky Ya.Ya., Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. /Վիգոդսկի Յա.Յա. --- Մ.: Նաուկա, 1970:
Իգուդիսման Օ., Մաթեմատիկա բանավոր քննության մեջ / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001 թ.
Azarov A.I., Equations/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Մն.: Trivium, 1994 թ.
Լիտվինենկո Վ.Ն., Տարրական մաթեմատիկայի սեմինար / Litvinenko V.N.: Կրթություն, 1991 թ.
Շարիգին Ի.Ֆ., Մաթեմատիկայի ընտրովի դասընթաց. խնդրի լուծում / Շարիգին Ի.Ֆ., Գոլուբև Վ.Ի. --- Մ.: Կրթություն, 1991:
Բարդուշկին Վ., Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Արմատային ընտրություն/B. Բարդուշկին, Ա. Պրոկոֆև.// Մաթեմատիկա, թիվ 12, 2005 թ. 23--27.
Vasilevsky A.B., Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի արտադասարանական աշխատանքի համար / Vasilevsky A.B. --- Մն.՝ Ժողովրդական Ասվետա։ 1988. --- 176 էջ.
Sapunov P. I., Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում / Sapunov P. I. // Մաթեմատիկական կրթություն, թիվ 3, 1935 թ.
Բորոդին Պ., Եռանկյունաչափություն. Մոսկվայի պետական համալսարանի ընդունելության քննությունների նյութեր [տեքստ]/P Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Մաթեմատիկա թիվ 1, 2005 թ. 36--48։
Սամուսենկո Ա.Վ., Մաթեմատիկա. Ընդհանուր սխալներԴիմորդներ. Տեղեկատվական ձեռնարկ/Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Բարձրագույն դպրոց, 1991 թ.
Ազարով Ա.Ի., Ֆունկցիոնալ և գրաֆիկական մեթոդներքննական խնդիրների լուծում / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004 թ.
Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդների ճանաչման ալգորիթմ։
Բարձրագույն որակավորման կարգի ուսուցիչներ.
Շիրկո Ֆ.Մ. էջ Առաջընթաց, MOBU-SOSH No 6
Սանկինա Լ.Ս. Արմավիր, «Նոր ուղի» մասնավոր միջնակարգ դպրոց.
Բնագիտական և մաթեմատիկական առարկաների դասավանդման ունիվերսալ մեթոդներ չկան: Յուրաքանչյուր ուսուցիչ գտնում է ուսուցման իր ձևերը, որոնք ընդունելի են միայն իրեն:
Դասավանդման մեր բազմամյա փորձը ցույց է տալիս, որ ուսանողներն ավելի հեշտությամբ են սովորում նյութը, որը պահանջում է կենտրոնացում և մեծ քանակությամբ տեղեկատվության պահպանում հիշողության մեջ, եթե նրանց սովորեցնում են օգտագործել ալգորիթմներ իրենց գործունեության մեջ բարդ թեմա սովորելու սկզբնական փուլում: Մեր կարծիքով նման թեմա եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման թեման է։
Այսպիսով, նախքան ուսանողների հետ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդներն ու մեթոդները բացահայտելը, մենք կիրառում և համախմբում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ալգորիթմը:
Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ
Նշեք կետերը համապատասխան առանցքի վրա ( Համար մեղք x– OA առանցք, համարcos x- OX առանցք)
Մենք վերականգնում ենք այն առանցքին ուղղահայաց, որը կհատի շրջանագիծը երկու կետով:
Շրջանակի վրա առաջին կետը մի կետ է, որն ըստ սահմանման պատկանում է աղեղային ֆունկցիայի միջակայքի միջակայքին:
Մակնշված կետից սկսած՝ ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։
Մենք հատուկ ուշադրություն ենք դարձնում շրջանցման ուղղությանը։ Եթե անցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն անցում է կատարվում 0-ի վրա), ապա շրջանագծի երկրորդ կետը կլինի բացասական, եթե հակառակ ուղղությամբ՝ դրական:
Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը։
Դիտարկենք ալգորիթմի գործողությունը՝ օգտագործելով օրինակներ։
1) մեղք ≥ 1/2;
Լուծում:
Մենք պատկերում ենք միավորի շրջան;
Մենք նշում ենք ½ կետը OU առանցքի վրա:
Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը,
որը հատում է շրջանագիծը երկու կետով.
Արքսինի սահմանմամբ մենք նախ նշում ենք
կետ π/6.
Ստվերեք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է
տրված անհավասարություն, ½ կետից բարձր:
Ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը:
Շրջումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ստանում ենք 5π/6 կետը։
Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը;
Պատասխան.x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Զ.
Ամենապարզ անհավասարությունը լուծվում է նույն ալգորիթմի միջոցով, եթե պատասխանի գրառումը չի պարունակում աղյուսակի արժեք:
Աշակերտները, երբ իրենց առաջին դասերին տախտակում անհավասարություններ են լուծում, բարձրաձայն արտասանում են ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլ:
2) 5 cos x – 1 ≥ 0;
Ռ 
լուծում:ժամը
5 cos x – 1 ≥ 0;
cos x ≥ 1/5;
Գծե՛ք միավոր շրջան:
OX առանցքի վրա 1/5 կոորդինատով կետ ենք նշում։
Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը
շրջանագիծը հատում է երկու կետով.
Շրջանակի առաջին կետը այն կետն է, որը պատկանում է աղեղի կոսինուսի միջակայքի միջակայքին ըստ սահմանման (0;π):
Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է այս անհավասարությանը։
Սկսած ստորագրված կետից arccos 1/5, ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։
Անցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն՝ անցում է կատարվում 0-ի վրա), ինչը նշանակում է, որ շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական է լինելու. arccos 1/5.
Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ փոքր արժեքից մեծը։
Պատասխան. x [-arccos 1/5 + 2պ n, arccos 1/5 + 2պ n], n Զ.
Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ունակության կատարելագործմանը նպաստում են հետևյալ հարցերը. «Ինչպե՞ս ենք լուծելու անհավասարությունների խումբ»: «Ինչո՞վ է մի անհավասարությունը տարբերվում մյուսից»: «Ինչպե՞ս է մի անհավասարություն նման մյուսին»: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե խիստ անհավասարություն տրվեր։ Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե «» նշանի փոխարեն լիներ «» նշանը.
Անհավասարությունների ցանկը վերլուծելու առաջադրանքը դրանց լուծման մեթոդների տեսանկյունից թույլ է տալիս կիրառել դրանց ճանաչումը:
Աշակերտներին տրվում են անհավասարություններ, որոնք պետք է լուծվեն դասարանում:
Հարց:Ընդգծե՛ք անհավասարությունները, որոնք պահանջում են կիրառություն համարժեք փոխակերպումներերբ եռանկյունաչափական անհավասարությունը հասցնում ենք ամենապարզ ձևին:
Պատասխանել 1, 3, 5.
Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որոնց դեպքում բարդ փաստարկը պետք է դիտարկել որպես պարզ:
Պատասխան. 1, 2, 3, 5, 6.
Հարց:Անվանեք անհավասարությունները, որտեղ դրանք կարող են կիրառվել եռանկյունաչափական բանաձևեր?
Պատասխան. 2, 3, 6.
Հարց:Անվանե՛ք այն անհավասարությունները, որտեղ կարելի է կիրառել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը:
Պատասխան. 6.
Անհավասարությունների ցանկը վերլուծելու առաջադրանքը դրանց լուծման մեթոդների տեսանկյունից թույլ է տալիս կիրառել դրանց ճանաչումը: Հմտությունները զարգացնելիս կարևոր է բացահայտել դրա իրականացման փուլերը և դրանք ձևակերպել ընդհանուր ձևով, որը ներկայացված է ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմում:
