Եռանկյունաչափական անհավասարությունների սահմանում. Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում
1.5 Եռանկյունաչափական անհավասարություններ և դրանց լուծման մեթոդներ
1.5.1 Ամենապարզը լուծելը եռանկյունաչափական անհավասարություններ
Ժամանակակից մաթեմատիկայի դասագրքերի հեղինակների մեծ մասն առաջարկում է սկսել այս թեման քննարկել ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելով։ Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու սկզբունքը հիմնված է եռանկյունաչափական շրջանի վրա ոչ միայն հիմնական եռանկյունաչափական անկյունների, այլև այլ արժեքների արժեքները որոշելու գիտելիքների և հմտությունների վրա:
Մինչդեռ , , , ձևի անհավասարությունների լուծումը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ. նախ գտնում ենք () միջակայքը, որի վրա բավարարվում է այս անհավասարությունը, այնուհետև գրում ենք վերջնական պատասխանը՝ գտնված միջակայքի ծայրերին ավելացնելով a. թիվ, որը սինուսի կամ կոսինուսի պարբերության բազմապատիկն է. 
) Այս դեպքում արժեքը հեշտ է գտնել, քանի որ կամ ։ Իմաստի որոնումը հիմնված է ուսանողների ինտուիցիայի վրա, նրանց կարողությունը նկատելու կամարների կամ հատվածների հավասարությունը՝ օգտվելով սինուսի կամ կոսինուսի գրաֆիկի առանձին մասերի համաչափությունից: Եվ դա գեղեցիկ է մեծ թվովուսանողները երբեմն չեն կարողանում դա անել: Դասագրքերում առկա դժվարությունները հաղթահարելու համար 2011թ վերջին տարիներըՕգտագործվել են տարբեր մոտեցումներ ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու համար, սակայն դա չի ապահովել ուսուցման արդյունքների որևէ բարելավում:
Մի քանի տարի մենք բավականին հաջողությամբ օգտագործում ենք համապատասխան հավասարումների արմատների բանաձևերը՝ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծումներ գտնելու համար։
Այս թեման ուսումնասիրում ենք հետևյալ կերպ.
1. Մենք կառուցում ենք գրաֆիկներ և y = a՝ ենթադրելով, որ .
Այնուհետև գրում ենք հավասարումը և դրա լուծումը: Տալով n 0; 1; 2, մենք գտնում ենք կազմված հավասարման երեք արմատները. Արժեքները գրաֆիկների հատման երեք հաջորդական կետերի աբսցիսա են և y = a: Ակնհայտ է, որ անհավասարությունը միշտ պահպանվում է (), իսկ անհավասարությունը միշտ () միջակայքի վրա։
Այս միջակայքերի ծայրերին գումարելով մի թիվ, որը սինուսի պարբերության բազմապատիկն է, առաջին դեպքում մենք անհավասարության լուծում ենք ստանում հետևյալ ձևով. իսկ երկրորդ դեպքում անհավասարության լուծումը ձևով.
Միայն ի տարբերություն բանաձևի սինուսի, որը հավասարման լուծում է, n = 0-ի համար մենք ստանում ենք երկու արմատ, իսկ երրորդ արմատը n = 1-ի ձևով. 
. Եվ դարձյալ դրանք գրաֆիկների հատման կետերի երեք հաջորդական աբսցիսներ են և . Միջակայքում () անհավասարությունը պահպանվում է, միջակայքում () անհավասարությունը
Հիմա դժվար չէ գրել անհավասարությունների լուծումները և . Առաջին դեպքում մենք ստանում ենք.
իսկ երկրորդում՝ .
Ամփոփել. Անհավասարությունը կամ լուծելու համար անհրաժեշտ է ստեղծել համապատասխան հավասարումը և լուծել այն։ Ստացված բանաձևից գտե՛ք և-ի արմատները և անհավասարության պատասխանը գրե՛ք ձևով՝ .
Անհավասարումներ լուծելիս համապատասխան հավասարման արմատների բանաձևից գտնում ենք արմատները և , և անհավասարության պատասխանը գրում ենք ձևով՝ .
Այս տեխնիկան թույլ է տալիս բոլոր ուսանողներին սովորեցնել, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական անհավասարությունները, քանի որ Այս տեխնիկան ամբողջությամբ հիմնված է այն հմտությունների վրա, որոնց ուսանողները լավ տիրապետում են: Սրանք պարզ խնդիրներ լուծելու և բանաձևի միջոցով փոփոխականի արժեքը գտնելու հմտություններ են: Բացի այդ, բոլորովին ավելորդ է դառնում ուսուցչի ղեկավարությամբ զգույշ լուծել մեծ թվով վարժություններ, որպեսզի ցույց տան բոլոր տեսակի հիմնավորման տեխնիկան՝ կախված անհավասարության նշանից, a թվի մոդուլի արժեքից և դրա նշանից։ . Իսկ անհավասարության լուծման գործընթացն ինքնին դառնում է համառոտ և, ինչը շատ կարևոր է, միատեսակ։
Մեկ այլ առավելություն այս մեթոդըայն է, որ այն թույլ է տալիս հեշտությամբ լուծել անհավասարությունները, նույնիսկ երբ աջ կողմը սինուսի կամ կոսինուսի աղյուսակի արժեքը չէ:
Եկեք ցույց տանք սա կոնկրետ օրինակ. Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք անհավասարություն: Ստեղծենք համապատասխան հավասարումը և լուծենք այն.
Եկեք գտնենք և-ի արժեքները:
Երբ n = 1 
Երբ n = 2 
Մենք գրում ենք այս անհավասարության վերջնական պատասխանը.
Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու դիտարկված օրինակում կարող է լինել միայն մեկ թերություն՝ ֆորմալիզմի որոշակի քանակի առկայություն։ Բայց եթե ամեն ինչ գնահատվի միայն այս դիրքերից, ապա արմատական բանաձեւերին հնարավոր կլինի մեղադրել ֆորմալիզմի մեջ. քառակուսի հավասարում, և լուծման բոլոր բանաձևերը եռանկյունաչափական հավասարումներ, և շատ ավելին:
Թեև առաջարկվող մեթոդը արժանի տեղ է գրավում եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հմտությունների ձևավորման գործում, սակայն եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման այլ մեթոդների կարևորությունն ու առանձնահատկությունները հնարավոր չէ թերագնահատել: Դրանք ներառում են միջակայքի մեթոդը:
Դիտարկենք դրա էությունը.
Հավաքածուն խմբագրել է Ա.Գ. Մորդկովիչ, թեև չպետք է անտեսել մնացած դասագրքերը: § 3. «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» թեմայի ուսուցման մեթոդիկա հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը Դպրոցում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական փուլ՝ ü Նախնական ծանոթություն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին...
Հետազոտությունն իրականացնելիս լուծվել են հետևյալ խնդիրները. 1) Վերլուծվել են հանրահաշվի ընթացիկ դասագրքերը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը՝ բացահայտելու դրանցում ներկայացված իռացիոնալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդները. Վերլուծությունը թույլ է տալիս անել հետևյալ եզրակացությունները. ·միջնակարգ դպրոցում անբավարար ուշադրություն է դարձվում տարբեր իռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդներին, հիմնականում...
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող անհավասարումներ լուծելիս դրանք կրճատվում են cos(t)>a, sint(t)=a ձևի ամենապարզ անհավասարություններին և համանմաններին։ Իսկ արդեն ամենապարզ անհավասարությունները լուծված են։ Եկեք նայենք տարբեր օրինակներպարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ուղիները:
Օրինակ 1. Լուծե՛ք sin(t) անհավասարությունը > = -1/2:
Գծե՛ք միավոր շրջան: Քանի որ sin(t) ըստ սահմանման y կոորդինատն է, մենք նշում ենք y = -1/2 կետը Oy առանցքի վրա: Դրա միջով ուղիղ գիծ ենք գծում Եզի առանցքին զուգահեռ։ Միավոր շրջանագծի գրաֆիկի հետ ուղիղ գծի հատման կետում նշեք Pt1 և Pt2 կետերը։ Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։
Այս անհավասարության լուծումը կլինի միավորի շրջանագծի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են այս կետերից վեր: Այլ կերպ ասած, լուծումը կլինի աղեղը l Այժմ անհրաժեշտ է նշել այն պայմանները, որոնց դեպքում կամայական կետը կպատկանի աղեղին:
Pt1 գտնվում է աջ կիսաշրջանում, նրա օրդինատը -1/2 է, ապա t1=arcsin(-1/2) = - pi/6: Pt1 կետը նկարագրելու համար կարող եք գրել հետևյալ բանաձևը.
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6: Արդյունքում, t-ի համար մենք ստանում ենք հետևյալ անհավասարությունը.
Մենք պահպանում ենք անհավասարությունները. Իսկ քանի որ սինուսի ֆունկցիան պարբերական է, նշանակում է, որ լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2*pi-ում։ Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։
Պատասխան՝ -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Օրինակ 2.Լուծել cos(t) անհավասարությունը<1/2.
Եկեք գծենք միավոր շրջան: Քանի որ, ըստ սահմանման, cos(t)-ը x կոորդինատն է, մենք նշում ենք x = 1/2 կետը գրաֆիկի վրա Ox առանցքի վրա։
Այս կետով ուղիղ գիծ ենք քաշում Oy առանցքին զուգահեռ: Միավոր շրջանագծի գրաֆիկի հետ ուղիղ գծի հատման կետում նշեք Pt1 և Pt2 կետերը։ Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը Pt1 և Pt2 կետերի հետ կապում ենք երկու հատվածով։
Լուծումները կլինեն միավոր շրջանագծի բոլոր կետերը, որոնք պատկանում են l աղեղին: Գտնենք t1 և t2 կետերը:
t1 = arccos (1/2) = pi / 3:
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6:
Ստացանք t-ի անհավասարությունը՝ pi/3 Քանի որ կոսինուսը պարբերական ֆունկցիա է, լուծումները կկրկնվեն յուրաքանչյուր 2*pi-ում: Այս պայմանը ավելացնում ենք t-ի ստացված անհավասարությանը և գրում պատասխանը։ Պատասխան՝ pi/3+2*pi*n Օրինակ 3.Լուծել tg(t) անհավասարությունը< = 1. Շոշափող պարբերությունը հավասար է pi-ի: Գտնենք լուծումներ, որոնք պատկանում են (-pi/2;pi/2) աջ կիսաշրջանին: Այնուհետև, օգտագործելով շոշափողի պարբերականությունը, մենք գրում ենք այս անհավասարության բոլոր լուծումները: Եկեք գծենք միավոր շրջան և դրա վրա նշենք շոշափող գիծ: Եթե t-ն անհավասարության լուծում է, ապա T = tg(t) կետի օրդինատը պետք է լինի 1-ից փոքր կամ հավասար: Նման կետերի բազմությունը կկազմի AT ճառագայթը: Pt կետերի բազմությունը, որը կհամապատասխանի այս ճառագայթի կետերին, աղեղն է l: Ընդ որում, P(-pi/2) կետը չի պատկանում այս աղեղին։ Բելառուսի Հանրապետության կրթության նախարարություն Ուսումնական հաստատություն «Գոմելի պետական համալսարան Ֆրանցիսկ Սկարինայի անունով» Մաթեմատիկայի ֆակուլտետ Հանրահաշվի և երկրաչափության բաժին Ընդունվել է պաշտպանության համար Գլուխ Բաժանմունք Շեմետկով Լ.Ա. Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ Դասընթացի աշխատանք Կատարող: Մ-51 խմբի աշակերտ ՍՄ։ Գորսկին Գիտական ղեկավար բ.գ.թ. Ավագ դասախոս Վ.Գ. Սաֆոնովը Գոմել 2008 թ ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ ԵՌԱՆԻՉԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐ Ֆակտորիզացիա Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով եռակի փաստարկների բանաձևերը Բազմապատկելով որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ եռանկյունաչափական հավասարումներ ԵՌԱԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ԸՆՏՐՈՒԹՅՈՒՆ ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ՑԱՆԿ Հին ժամանակներում եռանկյունաչափությունը առաջացել է աստղագիտության, հողագնացության և շինարարության կարիքների հետ կապված, այսինքն՝ այն զուտ երկրաչափական բնույթ է կրել և ներկայացված է հիմնականում։<<исчисление хорд>>. Ժամանակի ընթացքում որոշ վերլուծական պահեր սկսեցին հատվել դրա մեջ։ 18-րդ դարի առաջին կեսին տեղի ունեցավ կտրուկ փոփոխություն, որից հետո եռանկյունաչափությունը նոր ուղղություն վերցրեց և անցավ դեպի մաթեմատիկական վերլուծություն։ Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափական հարաբերությունները սկսեցին դիտարկվել որպես ֆունկցիաներ։ Եռանկյունաչափական հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի ամենադժվար թեմաներից են: Եռանկյունաչափական հավասարումներ առաջանում են պլանաչափության, ստերեոմետրիայի, աստղագիտության, ֆիզիկայի և այլ ոլորտների խնդիրներ լուծելիս։ Եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարություններ տարեցտարի հայտնաբերվում են կենտրոնացված թեստավորման առաջադրանքների շարքում: Եռանկյունաչափական հավասարումների և հանրահաշվական հավասարումների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ հանրահաշվական հավասարումները ունեն վերջավոր թվով արմատներ, մինչդեռ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն անսահման թիվ, ինչը մեծապես բարդացնում է արմատների ընտրությունը: Եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ յուրահատկություն պատասխանը գրելու ոչ եզակի ձևն է։ Այս թեզը նվիրված է եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներին։ Թեզը բաղկացած է 6 բաժնից. Առաջին բաժինը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; որոշ արգումենտների համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ. եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտում այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների, հատկապես հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպման համար. Ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները։ Երկրորդ բաժինը ներկայացնում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները: Դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորացման մեթոդը և եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդները։ Շնորհիվ այն բանի, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, ինչը կարող է.<<сбить с толку>> թեստերը լուծելիս դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և մանրամասն դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպումը: Երրորդ բաժնում ուսումնասիրվում են ոչ ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնց լուծումները հիմնված են ֆունկցիոնալ մոտեցման վրա: Չորրորդ բաժինը քննարկում է եռանկյունաչափական անհավասարությունները: Մանրամասն քննարկվում են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները՝ ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով։ Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն քաջ հայտնի ինտերվալների մեթոդը։ Հինգերորդ բաժինը ներկայացնում է ամենադժվար առաջադրանքները. երբ անհրաժեշտ է ոչ միայն լուծել եռանկյունաչափական հավասարումը, այլև գտնված արմատներից ընտրել ինչ-որ պայման բավարարող արմատներ։ Այս բաժինը լուծումներ է տալիս արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների համար: Տրված են արմատներ ընտրելու համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվությունը. ամբողջ թվերի բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիաֆանտին): Վեցերորդ բաժնում ներկայացված են ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ՝ ներկայացված թեստի տեսքով։ Թեստային 20 առաջադրանքները պարունակում են ամենադժվար առաջադրանքները, որոնց կարելի է հանդիպել կենտրոնացված թեստավորման ժամանակ: Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները ձևի հավասարումներ են, որտեղ --- եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը՝ , , , . Տարրական եռանկյունաչափական հավասարումներն ունեն անսահման թվով արմատներ։ Օրինակ, հետևյալ արժեքները բավարարում են հավասարումը. Այստեղ այն կարող է վերցնել ցանկացած ամբողջ արժեք, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է հավասարման որոշակի արմատին. այս բանաձեւում (ինչպես նաեւ այլ բանաձեւերում, որոնցով լուծվում են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները) կոչվում են. պարամետր. Նրանք սովորաբար գրում են՝ դրանով իսկ ընդգծելով, որ պարամետրը կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք։ Հավասարումների լուծումները, որտեղ , գտնում ենք բանաձևով Հավասարումը լուծվում է բանաձևով իսկ հավասարումը բանաձևով է Հատկապես նշենք տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների մի քանի հատուկ դեպքեր, երբ լուծումը կարելի է գրել առանց ընդհանուր բանաձևերի. Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս կարևոր դեր է խաղում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակաշրջանը։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք երկու օգտակար թեորեմ. Թեորեմ
Եթե --- ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը, ապա թիվը ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է: Գործառույթների պարբերությունները և կոչվում են համադրելի, եթե կան բնական թվեր և այն . Թեորեմ
Եթե պարբերական ֆունկցիաները և , ունեն համաչափ և , ապա նրանք ունեն ընդհանուր ժամանակաշրջան, որը հանդիսանում է , , ֆունկցիաների ժամանակաշրջանը։ Թեորեմը նշում է, թե որն է ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը, , , և պարտադիր չէ, որ հիմնական ժամանակաշրջանը լինի: Օրինակ՝ ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանը և --- , և դրանց արտադրանքի հիմնական ժամանակաշրջանը --- ։ Ձևի արտահայտությունների փոխակերպման ստանդարտ եղանակով Հիմնական սխեման, որին մենք կհետևենք եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, հետևյալն է. Տրված հավասարման լուծումը վերածվում է տարրական հավասարումների լուծման: Լուծում նշանակում է՝ փոխակերպումներ, ֆակտորիզացիա, անհայտների փոխարինում։ Առաջնորդող սկզբունքը արմատներդ չկորցնելն է։ Սա նշանակում է, որ հաջորդ հավասարում(ներ)ին անցնելիս մենք չենք վախենում ավելորդ (օտար) արմատների ի հայտ գալուց, այլ միայն հոգում ենք, որ մեր «շղթայի» յուրաքանչյուր հաջորդ հավասարումը (կամ ճյուղավորման դեպքում հավասարումների մի շարք. ) նախորդի հետևանք է։ Արմատների ընտրության հնարավոր եղանակներից մեկը փորձարկումն է: Անմիջապես նկատենք, որ եռանկյունաչափական հավասարումների դեպքում արմատներ ընտրելու և ստուգելու հետ կապված դժվարությունները, որպես կանոն, կտրուկ աճում են հանրահաշվական հավասարումների համեմատ։ Ի վերջո, մենք պետք է ստուգենք շարքերը, որոնք բաղկացած են անսահման թվով տերմիններից: Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս պետք է հատուկ նշել անհայտների փոխարինումը։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ փոխարինումից հետո ստացվում է հանրահաշվական հավասարում։ Ավելին, հավասարումները այնքան էլ հազվադեպ չեն, որ թեև արտաքին տեսքով եռանկյունաչափական են, բայց ըստ էության այդպես չեն, քանի որ առաջին քայլից հետո՝ փոփոխականների փոփոխությունը, վերածվում են հանրահաշվի, իսկ եռանկյունաչափության վերադարձը տեղի է ունենում միայն տարրական լուծելու փուլից հետո։ եռանկյունաչափական հավասարումներ. Եվս մեկ անգամ հիշեցնենք՝ անհայտի փոխարինումը պետք է կատարվի առաջին իսկ հնարավորության դեպքում, փոխարինումից հետո ստացված հավասարումը պետք է լուծվի մինչև վերջ, ներառյալ արմատների ընտրության փուլը և միայն այնուհետև վերադարձվի սկզբնական անհայտին։ Եռանկյունաչափական հավասարումների առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ պատասխանը շատ դեպքերում կարող է գրվել տարբեր ձևերով։ Նույնիսկ հավասարումը լուծելու համար 1) երկու շարքի տեսքով. 2) ստանդարտ ձևով, որը վերը նշված շարքի համակցությունն է՝ , ; 3) քանի որ Ակնհայտ է, որ թվարկված երեք դեպքերը չեն սպառում քննարկվող հավասարման պատասխանը գրելու բոլոր հնարավորությունները (դրանք անսահման շատ են)։ Օրինակ, երբ հավասարությունը ճիշտ է Սովորաբար պատասխանը գրվում է 2-րդ կետի հիման վրա: Օգտակար է հիշել հետևյալ առաջարկությունը. եթե աշխատանքը չի ավարտվում հավասարման լուծմամբ, դեռ պետք է կատարել հետազոտություն և ընտրել արմատներ, ապա ձայնագրման ամենահարմար ձևը. նշված է 1-ին կետում: (Նման առաջարկություն պետք է տրվի հավասարման համար): Քննենք ասվածը ցույց տվող օրինակ։ Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Առավել ակնհայտ ճանապարհը հետևյալն է. Այս հավասարումը բաժանվում է երկու մասի՝ և . Լուծելով դրանցից յուրաքանչյուրը և համադրելով ստացված պատասխանները՝ գտնում ենք. Մեկ այլ ճանապարհ.Այդ ժամանակվանից ի վեր աստիճանի նվազեցման բանաձևերի փոխարինում և օգտագործում: Փոքր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք, որտեղից Առաջին հայացքից երկրորդ բանաձեւը առաջինի նկատմամբ առանձնահատուկ առավելություններ չունի։ Սակայն, եթե վերցնենք, օրինակ, ապա ստացվում է, որ, ի. հավասարումն ունի լուծում, մինչդեռ առաջին մեթոդը մեզ տանում է դեպի պատասխանը Պատասխանել.
. Մենք կդիտարկենք թվաբանական պրոգրեսիա, որն անորոշորեն տարածվում է երկու ուղղություններով: Այս առաջընթացի անդամները կարելի է բաժանել անդամների երկու խմբի՝ տեղակայված որոշակի անդամի աջ և ձախ կողմում, որը կոչվում է պրոգրեսիայի կենտրոնական կամ զրոյական անդամ։ Անսահման պրոգրեսիայի անդամներից մեկը զրոյական թվով ամրագրելով, մենք ստիպված կլինենք կրկնակի համարակալել մնացած բոլոր անդամների համար՝ դրական՝ աջ կողմում գտնվող անդամների համար, և բացասական՝ զրոյից ձախ գտնվող անդամների համար։ Ընդհանուր առմամբ, եթե առաջընթացի տարբերությունը զրոյական անդամ է, ապա անվերջ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած (րդ) անդամի բանաձևը հետևյալն է. Բանաձևերի փոխակերպումներ անսահման թվաբանական առաջընթացի ցանկացած անդամի համար 1. Եթե զրոյական անդամին ավելացնեք կամ հանեք պրոգրեսիայի տարբերությունը, ապա պրոգրեսիան չի փոխվի, այլ կշարժվի միայն զրոյական անդամը, այսինքն. Անդամների համարակալումը կփոխվի. 2. Եթե փոփոխական արժեքի գործակիցը բազմապատկվի , ապա դա կհանգեցնի միայն անդամների աջ և ձախ խմբերի վերադասավորման: 3. Եթե անվերջ առաջընթացի հաջորդական անդամներ օրինակ, , , ..., , դարձրեք պրոգրեսիաների կենտրոնական անդամները նույն տարբերությամբ հավասար. ապա պրոգրեսիան և առաջընթացների շարքը նույն թվերն են արտահայտում։ Օրինակ
Շարքը կարող է փոխարինվել հետևյալ երեք տողերով՝ , , . 4. Եթե նույն տարբերությամբ անվերջ առաջընթացներն ունեն որպես կենտրոնական անդամ թվեր, որոնք տարբերությամբ կազմում են թվաբանական առաջընթաց, ապա այդ շարքերը կարող են փոխարինվել տարբերությամբ մեկ առաջընթացով և կենտրոնական անդամով, որը հավասար է այս առաջընթացների կենտրոնական անդամներից որևէ մեկին, այսինքն. Եթե ապա այս առաջընթացները միավորվում են մեկի մեջ. Օրինակ
Երկուսն էլ միավորված են մեկ խմբի մեջ Ընդհանուր լուծումներ ունեցող խմբերը ընդհանուր լուծումներ չունեցող խմբերի փոխակերպելու համար այդ խմբերը բաժանվում են ընդհանուր ժամանակով խմբերի, այնուհետև փորձում են միավորել ստացված խմբերը՝ բացառելով կրկնվողները: Ֆակտորացման մեթոդը հետևյալն է՝ եթե ապա հավասարման յուրաքանչյուր լուծում հավասարումների բազմության լուծումն է Հակառակ պնդումը, ընդհանուր առմամբ, կեղծ է. բնակչության յուրաքանչյուր լուծում չէ, որ հավասարման լուծում է: Սա բացատրվում է նրանով, որ առանձին հավասարումների լուծումները կարող են չընդգրկվել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում։ Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը, մենք ներկայացնում ենք հավասարումը ձևով Պատասխանել.
; Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի վերածումը արտադրյալի Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս դեպքում, նախքան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը կիրառելը, դուք պետք է օգտագործեք կրճատման բանաձևը. Պատասխանել.
Մի շարք հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են բանաձևեր. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում. Պատասխանել.
, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում. Պատասխանել.
. Եռանկյունաչափական հավասարումների լայն շրջանակ լուծելիս բանաձևերը առանցքային դեր են խաղում: Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կիրառելով բանաձևը, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում. Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կիրառելով բանաձևը՝ ստանում ենք հավասարումը Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Կիրառելով աստիճանի նվազեցման բանաձևերը՝ ստանում ենք. Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.
Պատասխանել.
, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը։ Պատասխանել.
. Օրինակ
Հայտնի է, որ և բավարարում է հավասարումը Գտեք գումարը. Լուծում.Հավասարումից հետևում է, որ Պատասխանել.
. Դիտարկենք ձևի գումարները Այս գումարները կարելի է վերածել արտադրյալի՝ բազմապատկելով և բաժանելով դրանք, ապա ստանում ենք Այս տեխնիկան կարող է օգտագործվել որոշ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, սակայն պետք է նկատի ունենալ, որ արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Եկեք ամփոփենք այս բանաձևերը. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կարելի է տեսնել, որ բազմությունը սկզբնական հավասարման լուծումն է։ Հետևաբար, հավասարման ձախ և աջ կողմերը բազմապատկելը չի հանգեցնի լրացուցիչ արմատների առաջացման: Մենք ունենք Պատասխանել.
; . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Բազմապատկենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը և կիրառենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերը, ստանում ենք. Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների և , որտեղից և . Քանի որ հավասարման արմատները հավասարման արմատները չեն, մենք պետք է բացառենք: Սա նշանակում է, որ հավաքածուում անհրաժեշտ է բացառել . Պատասխանել.Եվ , . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը. Հավասարումը կգրվի այսպես. Պատասխանել.
. Կրճատվող քառակուսի Եթե հավասարումը ձևի է ապա փոխարինումը տանում է այն քառակուսի, քանի որ Եթե ժամկետի փոխարեն կա, ապա պահանջվող փոխարինումը կլինի։ Հավասարումը վերածվում է քառակուսի հավասարման ներկայացում որպես Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք տեղափոխենք այն ձախ կողմ, փոխարինենք այն , և արտահայտենք այն և . Պարզեցումներից հետո մենք ստանում ենք. Բաժանեք տերմինը տերմինի և կատարեք փոխարինումը. Վերադառնալով , մենք գտնում ենք Միատարր հավասարումներ՝ կապված, Դիտարկենք ձևի հավասարումը որտեղ , , , ..., , իրական թվերն են: Հավասարման ձախ կողմի յուրաքանչյուր անդամում միանդամների աստիճանները հավասար են, այսինքն՝ սինուսի և կոսինուսի աստիճանների գումարը նույնն է և հավասար։ Այս հավասարումը կոչվում է միատարրհարաբերական և , և թիվը կոչվում է միատարրության ցուցիչ
. Հասկանալի է, որ եթե , ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը. որոնց լուծումներն այն արժեքներն են, որոնցում, այսինքն՝ թվերը, . Փակագծերում գրված երկրորդ հավասարումը նույնպես միատարր է, բայց աստիճանները ցածր են 1-ով։ Եթե , ապա այս թվերը հավասարման արմատները չեն: Երբ մենք ստանում ենք՝ , և (1) հավասարման ձախ կողմը վերցնում է արժեքը: Այսպիսով, համար, և, հետևաբար, մենք կարող ենք հավասարման երկու կողմերը բաժանել . Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը. որը փոխարինմամբ հեշտությամբ կարող է վերածվել հանրահաշվի. Միատարր հավասարումներ միատարրության ինդեքսով 1. Երբ ունենք հավասարումը . Եթե , ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը , որտեղից , . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս հավասարումը միատարր է առաջին աստիճանի։ Երկու մասերը բաժանում ենք ըստ ստացման՝ , , , . Պատասխանել.
. Օրինակ
At մենք ստանում ենք ձևի միատարր հավասարում Լուծում. Եթե , ապա հավասարման երկու կողմերը բաժանեք , ապա կստանանք հավասարումը Եթե Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Այս հավասարումը երկրորդ աստիճանի միատարր է։ Հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք , ստանում ենք. Թող , ապա , , . , , ; . Պատասխանել.
Հավասարումը վերածվում է ձևի հավասարման Դա անելու համար բավական է օգտագործել ինքնությունը Մասնավորապես, հավասարումը վերածվում է միատարրերի, եթե այն փոխարինենք դրանով Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Փոխակերպենք հավասարումը միատարրի. Բաժանենք հավասարման երկու կողմերը Պատասխանել.
Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի դարձնենք՝ հաշվի առնելով, որ դրանք ունեն դրական արժեքներ՝ , , Թող լինի, հետո կստանանք Պատասխանել.
. Հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույնականացման միջոցով Օգտակար է իմանալ հետևյալ բանաձևերը. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Օգտագործելով՝ մենք ստանում ենք Պատասխանել.
Մենք առաջարկում ենք ոչ թե բուն բանաձևերը, այլ դրանց բխման մեթոդ. հետևաբար, Նմանապես, ։ Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Փոխակերպենք արտահայտությունը. Հավասարումը կգրվի այսպես. Ընդունելով՝ ստանում ենք։ , . Ուստի Պատասխանել.
. Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում Ձևի եռանկյունաչափական հավասարում որտեղ --- բանաձևերի օգնությամբ ռացիոնալ ֆունկցիան - , ինչպես նաև բանաձևերի օգնությամբ - կարող է վերածվել ռացիոնալ հավասարման արգումենտների , , , , որից հետո հավասարումը կարող է վերածվել հանրահաշվական ռացիոնալի համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերի օգտագործման հավասարումը Հարկ է նշել, որ բանաձևերի օգտագործումը կարող է հանգեցնել սկզբնական հավասարման OD-ի նեղացման, քանի որ այն որոշված չէ կետերում, ուստի նման դեպքերում անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք անկյունները սկզբնական հավասարման արմատներն են: . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Ըստ առաջադրանքի պայմանների. Կիրառելով բանաձևերը և կատարելով փոխարինումը, ստանում ենք որտեղից և հետևաբար. Ձևի հավասարումներ Այն ձևի հավասարումները, որտեղ --- բազմանդամ է, լուծվում են անհայտների փոփոխության միջոցով Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Կատարելով փոխարինումը և հաշվի առնելով դա՝ մենք ստանում ենք որտեղ, . --- կողմնակի արմատ, քանի որ . Հավասարման արմատները Կենտրոնացված թեստավորման պրակտիկայում այնքան էլ հազվադեպ չէ հանդիպում այնպիսի հավասարումների, որոնց լուծումը հիմնված է սահմանափակ գործառույթների վրա և . Օրինակ: Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Քանի որ , , ապա ձախ կողմը չի գերազանցում և հավասար է, եթե Երկու հավասարումներին բավարարող արժեքներ գտնելու համար մենք գործում ենք հետևյալ կերպ. Եկեք լուծենք դրանցից մեկը, այնուհետև գտնված արժեքներից կընտրենք դրանք, որոնք բավարարում են մյուսին: Սկսենք երկրորդից՝ , . Հետո, Պարզ է, որ կլինեն միայն զույգ թվերի համար։ Պատասխանել.
. Մեկ այլ գաղափար իրագործվում է՝ լուծելով հետևյալ հավասարումը. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Եկեք օգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը. Այս անհավասարությունները տերմին առ տերմին գումարելով՝ ունենք. Հետևաբար, այս հավասարման ձախ կողմը հավասար է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երկու հավասարումներ. այսինքն, այն կարող է վերցնել արժեքները, , կամ կարող է վերցնել արժեքները, . Պատասխանել.
, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում., . Հետևաբար, Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Նշենք, ապա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանումից ունենք Քանի որ, ուրեմն անհավասարությունը բխում է հավասարումից, այսինքն. . Քանի որ և , հետո և . Այնուամենայնիվ, դրա համար: Եթե և, ապա. Քանի որ նախապես հաստատված էր , որ , ապա . Պատասխանել.
, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքն է. Նախ ցույց ենք տալիս, որ ֆունկցիան Ցանկացածի համար այն կարող է միայն դրական արժեքներ ընդունել: Ֆունկցիան պատկերացնենք հետևյալ կերպ. Քանի որ , ապա այն տեղի է ունենում, այսինքն. Ուստի անհավասարությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ Ստացված թվային անհավասարությունը ցույց է տալիս, որ . Եթե հաշվի առնենք նաև, որ , ապա հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է։ Այժմ դիտարկենք հավասարման աջ կողմը: Որովհետեւ Սակայն հայտնի է, որ Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Նշենք և Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը հետևյալ կերպ. Պատասխանել.
. Փոխակերպումների արդյունքում ամեն հավասարում չէ, որ կարող է կրճատվել այս կամ այն ստանդարտ ձևի հավասարման, որի լուծման հատուկ մեթոդ կա: Նման դեպքերում օգտակար է օգտագործել ֆունկցիաների այնպիսի հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, սահմանափակությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: Այսպիսով, եթե ֆունկցիաներից մեկը նվազում է, իսկ երկրորդը մեծանում է միջակայքում, ապա եթե հավասարումը ունի արմատ այս միջակայքում, այս արմատը եզակի է, և այնուհետև, օրինակ, այն կարելի է գտնել ընտրությամբ: Եթե ֆունկցիան սահմանափակված է վերևում, և , և ֆունկցիան սահմանափակված է ներքևում, և , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարումների համակարգին. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Եկեք վերափոխենք սկզբնական հավասարումը ձևի և լուծել այն որպես քառակուսի հարաբերական: Հետո մենք ստանում ենք, Լուծենք բնակչության առաջին հավասարումը. Հաշվի առնելով ֆունկցիայի սահմանափակ բնույթը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ հավասարումը կարող է ունենալ միայն արմատ հատվածի վրա։ Այս միջակայքում ֆունկցիան մեծանում է, և ֆունկցիան Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Թող և Քանի որ , և միապաղաղ է , ապա հավասարումը համարժեք է հավասարմանը, այսինքն. Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի թեորեմի հիման վրա պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան Պատասխանել.
. Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում.Դիտարկենք հավասարումը երեք ընդմիջումներով. ա) Թող. Այնուհետև այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը: Որը լուծումներ չունի միջակայքի վրա, քանի որ բ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը որոնց արմատները միջակայքի վրա թվերն են , , , . գ) Թող. Ապա այս բազմության վրա սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը Որը չունի լուծումներ միջակայքի վրա, քանի որ , և . Ինտերվալի վրա հավասարումը նույնպես լուծումներ չունի, քանի որ Պատասխանել.
, , , . Համաչափության մեթոդը հարմար է օգտագործել, երբ առաջադրանքի ձևակերպումը պահանջում է հավասարման, անհավասարության, համակարգի և այլնի եզակի լուծում։ կամ լուծումների քանակի ճշգրիտ նշում: Այս դեպքում պետք է հայտնաբերել տրված արտահայտությունների ցանկացած համաչափություն։ Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել սիմետրիայի տարբեր հնարավոր տեսակների բազմազանությունը։ Նույնքան կարևոր է սիմետրիկությամբ դատողությունների տրամաբանական փուլերի խստիվ պահպանումը: Որպես կանոն, համաչափությունը թույլ է տալիս մեզ հաստատել միայն անհրաժեշտ պայմանները, այնուհետև մենք պետք է ստուգենք դրանց բավարարությունը: Օրինակ
Գտեք այն պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնց համար հավասարումն ունի եզակի լուծում: Լուծում.Նկատի ունեցեք, որ և են զույգ ֆունկցիաներ, ուստի հավասարման ձախ կողմը զույգ ֆունկցիա է: Սա նշանակում է, որ եթե կա հավասարման լուծում, ապա կա նաև հավասարման լուծում: Եթե --- հավասարման միակ լուծումը, ապա, անհրաժեշտ
, . Մենք կընտրենք հնարավոր էարժեքներ՝ պահանջելով, որ այն լինի հավասարման արմատը: Անմիջապես նշենք, որ այլ արժեքները չեն կարող բավարարել խնդրի պայմանները։ Բայց դեռ հայտնի չէ, թե բոլոր ընտրվածներն իրականում բավարարո՞ւմ են խնդրի պայմանները։ Համարժեքություն. 1), հավասարումը կունենա ձև 2), հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը. Ակնհայտ է, որ բոլորի համար և Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ ,-ի համար հավասարումն ունի յուրահատուկ լուծում: Պատասխանել.
. Օրինակ
Ապացուցեք, որ հավասարման բոլոր լուծումները Ամբողջ թվեր. Լուծում.Սկզբնական հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանն է. Հետևաբար, մենք նախ ուսումնասիրում ենք այս հավասարումը միջակայքի վրա: Եկեք հավասարումը վերածենք ձևի. Միկրոհաշվիչի օգնությամբ մենք ստանում ենք. Եթե , ապա նախորդ հավասարություններից ստանում ենք. Ստացված հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք. Կատարված հաշվարկները հնարավորություն են տալիս ենթադրել, որ հատվածին պատկանող հավասարման արմատներն են, և. Ուղղակի փորձարկումը հաստատում է այս վարկածը: Այսպիսով, ապացուցվել է, որ հավասարման արմատները միայն ամբողջ թվեր են, . Օրինակ
Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Գտնենք հավասարման հիմնական պարբերությունը։ Ֆունկցիան ունի հիմնական ժամանակաշրջան, որը հավասար է . Գործառույթի հիմնական շրջանն է. և-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է . Հետևաբար, հավասարման հիմնական ժամանակաշրջանը . Թող . Ակնհայտ է, որ դա հավասարման լուծում է։ Ընդմիջման վրա. Ֆունկցիան բացասական է: Հետևաբար, հավասարման այլ արմատներ պետք է փնտրել միայն x և ինտերվալների վրա: Օգտագործելով միկրոհաշվիչ, մենք նախ գտնում ենք հավասարման արմատների մոտավոր արժեքները: Դա անելու համար մենք կազմում ենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ Աղյուսակից հեշտությամբ կարելի է նկատել հետևյալ վարկածները. հատվածին պատկանող հավասարման արմատները թվերն են. ; . Ուղղակի փորձարկումը հաստատում է այս վարկածը: Պատասխանել.
Այն ձևի եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելիս, որտեղ կա եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկը, հարմար է օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանագիծ, որպեսզի առավել հստակ ներկայացնենք անհավասարության լուծումները և գրի առնենք պատասխանը: Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք տիպի ամենապարզ անհավասարություններին հասցնելն է։ Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես լուծել նման անհավասարությունները: Օրինակ
Լուծե՛ք անհավասարությունը. Լուծում.Եկեք գծենք եռանկյունաչափական շրջան և դրա վրա նշենք այն կետերը, որոնց համար օրդինատը գերազանցում է . Այս անհավասարության լուծումը կլինի. Հասկանալի է նաև, որ եթե որոշակի թիվ նշված միջակայքից որևէ թվից տարբերվում է , ապա այն նույնպես կլինի ոչ պակաս: Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է ավելացնեք հայտնաբերված լուծման հատվածի ծայրերը: Վերջապես, մենք ստանում ենք, որ սկզբնական անհավասարության լուծումները կլինեն բոլորը Պատասխանել.
Տանգենսով և կոտանգենսով անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է շոշափողների և կոտանգենսների գծի հայեցակարգը: Սրանք ուղիղ գծերն են և, համապատասխանաբար (Նկար (1) և (2)-ում) եռանկյունաչափական շրջանագծին շոշափող: Հեշտ է տեսնել, որ եթե մենք կառուցում ենք ճառագայթ իր ծագմամբ կոորդինատների սկզբնաղբյուրում, անկյուն կազմելով աբսցիսայի առանցքի դրական ուղղությամբ, ապա հատվածի երկարությունը կետից մինչև այս ճառագայթի հատման կետը: շոշափող գիծը ճիշտ հավասար է այն անկյան շոշափմանը, որն այս ճառագայթը կազմում է աբսցիսային առանցքի հետ: Նմանատիպ դիտարկում է տեղի ունենում կոտանգենտի դեպքում: Օրինակ
Լուծե՛ք անհավասարությունը. Լուծում.Նշենք, ապա անհավասարությունը կունենա ամենապարզ ձևը. Դիտարկենք երկարության միջակայքը, որը հավասար է շոշափողի ամենափոքր դրական շրջանին (LPP): Այս հատվածում, օգտագործելով շոշափողների գիծը, մենք սահմանում ենք, որ . Հիմա հիշենք, թե ինչ է պետք ավելացնել ԱԷԿ-ի գործառույթներից հետո: Այսպիսով, Պատասխանել.
Հարմար է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով անհավասարությունները լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում օրինակով: Նկատի ունեցեք, որ եթե պարբերական ֆունկցիա է, ապա անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա լուծումը մի հատվածի վրա, որի երկարությունը հավասար է ֆունկցիայի պարբերությանը: Սկզբնական անհավասարության բոլոր լուծումները բաղկացած կլինեն գտնված արժեքներից, ինչպես նաև բոլոր այն արժեքներից, որոնք տարբերվում են ֆունկցիայի ցանկացած ամբողջ թվով ժամանակաշրջաններով հայտնաբերվածներից: Դիտարկենք անհավասարության լուծումը (). Այդ ժամանակից ի վեր անհավասարությունը լուծումներ չունի: Եթե , ապա անհավասարության լուծումների բազմությունը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է: Թող . Սինուսի ֆունկցիան ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ուստի անհավասարությունը կարող է առաջինը լուծվել երկարության հատվածի վրա, օրինակ՝ հատվածի վրա։ Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ և (): տրված են ձևի անհավասարություններով՝ և որտեղից, Այս աշխատանքում դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ՝ ինչպես պարզ, այնպես էլ օլիմպիադայի մակարդակով: Դիտարկվել են եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման հիմնական մեթոդները՝ և՛ հատուկ --- բնորոշ միայն եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարումների համար, և՛ ընդհանուր ֆունկցիոնալ մեթոդները եռանկյունաչափական հավասարումների հետ կապված հավասարումների և անհավասարությունների լուծման համար: Թեզը տալիս է հիմնական տեսական տեղեկատվություն. եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և հատկությունները; եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտում այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, ինչը շատ կարևոր է եռանկյունաչափական արտահայտությունների, հատկապես հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպման համար. Ի լրումն հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի, որոնք հայտնի են դպրոցական դասընթացից, տրված են բանաձևեր, որոնք պարզեցնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունները։ Դիտարկված են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ֆակտորացման մեթոդը և եռանկյունաչափական հավասարումները հանրահաշվականի վերածելու մեթոդները։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները կարող են գրվել մի քանի ձևով, և այդ լուծումների ձևը թույլ չի տալիս անմիջապես որոշել, թե արդյոք այդ լուծումները նույնն են կամ տարբեր, դիտարկվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման և փոխակերպումը: Մանրամասն դիտարկվում են եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերը: Մանրամասն քննարկվում են տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդները՝ ինչպես միավոր շրջանագծի վրա, այնպես էլ գրաֆիկական մեթոդով։ Նկարագրված է տարրական անհավասարությունների միջոցով ոչ տարրական եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման գործընթացը և դպրոցականներին արդեն քաջ հայտնի ինտերվալների մեթոդը։ Տրված են արմատների ընտրության բնորոշ առաջադրանքների լուծումներ: Տրված են արմատներ ընտրելու համար անհրաժեշտ տեսական տեղեկատվությունը. ամբողջ թվերի բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների, ամբողջ թվերով հավասարումների լուծում (դիաֆանտին): Այս ատենախոսության արդյունքները կարող են օգտագործվել որպես ուսումնական նյութ՝ կուրսային և թեզիսների պատրաստման, դպրոցականների համար ընտրովի առարկաների պատրաստման, ինչպես նաև ուսանողներին ընդունելության քննություններին և կենտրոնացված թեստավորմանը նախապատրաստելու համար: Vygodsky Ya.Ya., Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. /Վիգոդսկի Յա.Յա. --- Մ.: Նաուկա, 1970: Իգուդիսման Օ., Մաթեմատիկա բանավոր քննության մեջ / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001 թ. Azarov A.I., Equations/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Մն.: Trivium, 1994 թ. Լիտվինենկո Վ.Ն., Տարրական մաթեմատիկայի սեմինար / Litvinenko V.N.: Կրթություն, 1991 թ. Շարիգին Ի.Ֆ., Մաթեմատիկայի ընտրովի դասընթաց. խնդրի լուծում / Շարիգին Ի.Ֆ., Գոլուբև Վ.Ի. --- Մ.: Կրթություն, 1991: Բարդուշկին Վ., Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Արմատային ընտրություն/B. Բարդուշկին, Ա. Պրոկոֆև.// Մաթեմատիկա, թիվ 12, 2005 թ. 23--27. Vasilevsky A.B., Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի արտադասարանական աշխատանքի համար / Vasilevsky A.B. --- Մն.՝ Ժողովրդական Ասվետա։ 1988. --- 176 էջ. Sapunov P. I., Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում / Sapunov P. I. // Մաթեմատիկական կրթություն, թիվ 3, 1935 թ. Բորոդին Պ., Եռանկյունաչափություն. Մոսկվայի պետական համալսարանի ընդունելության քննությունների նյութեր [տեքստ]/P Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Մաթեմատիկա թիվ 1, 2005 թ. 36--48։ Սամուսենկո Ա.Վ., Մաթեմատիկա: Դիմորդների բնորոշ սխալներ. Տեղեկագիր / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Բարձրագույն դպրոց, 1991 թ. Ազարով Ա.Ի., Քննական խնդիրների լուծման ֆունկցիոնալ և գրաֆիկական մեթոդներ / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004 թ. Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման և եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդների ճանաչման ալգորիթմ։ Բարձրագույն որակավորման կարգի ուսուցիչներ. Շիրկո Ֆ.Մ. էջ Առաջընթաց, ՄՈԲՈՒ-թիվ 6 միջն Սանկինա Լ.Ս. Արմավիր, «Նոր ուղի» մասնավոր միջնակարգ դպրոց. Բնագիտական և մաթեմատիկական առարկաների դասավանդման ունիվերսալ մեթոդներ չկան: Յուրաքանչյուր ուսուցիչ գտնում է ուսուցման իր ձևերը, որոնք ընդունելի են միայն իրեն: Դասավանդման մեր բազմամյա փորձը ցույց է տալիս, որ ուսանողներն ավելի հեշտությամբ են սովորում նյութը, որը պահանջում է կենտրոնացում և մեծ քանակությամբ տեղեկատվության պահպանում հիշողության մեջ, եթե նրանց սովորեցնում են օգտագործել ալգորիթմներ իրենց գործունեության մեջ բարդ թեմա սովորելու սկզբնական փուլում: Մեր կարծիքով նման թեմա եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման թեման է։ Այսպիսով, նախքան ուսանողների հետ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման մեթոդներն ու մեթոդները բացահայտելը, մենք կիրառում և համախմբում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ալգորիթմը: Պարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ
Նշեք կետերը համապատասխան առանցքի վրա ( Համար
մեղք
x– OA առանցք, համարcos
x- OX առանցք) Մենք վերականգնում ենք այն առանցքին ուղղահայաց, որը կհատի շրջանագիծը երկու կետով: Շրջանակի վրա առաջին կետը մի կետ է, որն ըստ սահմանման պատկանում է աղեղային ֆունկցիայի միջակայքի միջակայքին: Մակնշված կետից սկսած՝ ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։ Մենք հատուկ ուշադրություն ենք դարձնում շրջանցման ուղղությանը։ Եթե անցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն անցում է կատարվում 0-ի վրա), ապա շրջանագծի երկրորդ կետը կլինի բացասական, եթե հակառակ ուղղությամբ՝ դրական: Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը։ Դիտարկենք ալգորիթմի գործողությունը՝ օգտագործելով օրինակներ։
1)
մեղք
≥ 1/2;
Լուծում: Մենք պատկերում ենք միավորի շրջան; Մենք նշում ենք ½ կետը OU առանցքի վրա: Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը հատում է շրջանագիծը երկու կետով. Արքսինի սահմանմամբ մենք նախ նշում ենք կետ π/6. Ստվերեք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է տրված անհավասարություն, ½ կետից բարձր: Ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը: Շրջումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ստանում ենք 5π/6 կետը։ Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը; Պատասխան.x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2պ n], n Զ. Ամենապարզ անհավասարությունը լուծվում է նույն ալգորիթմի միջոցով, եթե պատասխանի գրառումը չի պարունակում աղյուսակի արժեք: Աշակերտները, երբ իրենց առաջին դասերին տախտակում անհավասարություններ են լուծում, բարձրաձայն արտասանում են ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլ: 2) 5
cos
x
– 1 ≥ 0;
Ռ 5 cos x – 1 ≥ 0; cos
x ≥ 1/5; Գծե՛ք միավոր շրջան: OX առանցքի վրա 1/5 կոորդինատով կետ ենք նշում։ Մենք վերականգնում ենք առանցքի ուղղահայացը, որը շրջանագիծը հատում է երկու կետով. Շրջանակի առաջին կետը այն կետն է, որը պատկանում է աղեղի կոսինուսի միջակայքի միջակայքին ըստ սահմանման (0;π): Մենք ստվերում ենք առանցքի այն հատվածը, որը համապատասխանում է այս անհավասարությանը։ Սկսած ստորագրված կետից
arccos 1/5, ստվերեք առանցքի ստվերավորված հատվածին համապատասխան շրջանագծի աղեղը։ Անցումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (այսինքն՝ անցում է կատարվում 0-ի վրա), ինչը նշանակում է, որ շրջանագծի երկրորդ կետը բացասական է լինելու. arccos 1/5. Պատասխանը գրում ենք ինտերվալի տեսքով՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերականությունը՝ փոքր արժեքից մեծը։ Պատասխան. x [-arccos 1/5 + 2պ n, arccos 1/5 + 2պ n], n Զ. Եռանկյունաչափական անհավասարությունները լուծելու ունակության կատարելագործմանը նպաստում են հետևյալ հարցերը. «Ինչպե՞ս ենք լուծելու անհավասարությունների խումբ»: «Ինչո՞վ է մի անհավասարությունը տարբերվում մյուսից»: «Ինչպե՞ս է մի անհավասարություն նման մյուսին»: Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե խիստ անհավասարություն տրվեր։ Ինչպե՞ս կփոխվեր պատասխանը, եթե «» նշանի փոխարեն լիներ «. Անհավասարությունների ցանկը վերլուծելու առաջադրանքը դրանց լուծման մեթոդների տեսանկյունից թույլ է տալիս կիրառել դրանց ճանաչումը: Աշակերտներին տրվում են անհավասարություններ, որոնք պետք է լուծվեն դասարանում: Հարց:Առանձնացրե՛ք այն անհավասարությունները, որոնք պահանջում են համարժեք փոխակերպումների կիրառում եռանկյունաչափական անհավասարությունն իր ամենապարզ ձևին հասցնելիս: Պատասխանել 1, 3, 5. Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որոնց դեպքում բարդ փաստարկը պետք է դիտարկել որպես պարզ: Պատասխան. 1, 2, 3, 5, 6. Հարց:Որո՞նք են այն անհավասարությունները, որտեղ կարելի է կիրառել եռանկյունաչափական բանաձևեր: Պատասխան. 2, 3, 6. Հարց:Անվանե՛ք այն անհավասարությունները, որտեղ կարելի է կիրառել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը: Պատասխան. 6. Անհավասարությունների ցանկը վերլուծելու առաջադրանքը դրանց լուծման մեթոդների տեսանկյունից թույլ է տալիս կիրառել դրանց ճանաչումը: Հմտությունները զարգացնելիս կարևոր է բացահայտել դրա իրականացման փուլերը և դրանք ձևակերպել ընդհանուր ձևով, որը ներկայացված է ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմում: Անհավասարումները a › b ձևի հարաբերություններն են, որտեղ a և b-ն առնվազն մեկ փոփոխական պարունակող արտահայտություններ են: Անհավասարությունները կարող են լինել խիստ՝ ‹, › և ոչ խիստ՝ ≥, ≤: Եռանկյունաչափական անհավասարությունները այն ձևի արտահայտություններն են. . Ամենապարզ եռանկյունաչափական անհավասարության օրինակ է sin x ‹ 1/2: Ընդունված է նման խնդիրները լուծել գրաֆիկորեն, դրա համար մշակվել է երկու մեթոդ. Սին x ‹ 1/2 անհավասարության պայմանները բավարարող միջակայք գտնելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ քայլերը. Երբ արտահայտության մեջ առկա են խիստ նշաններ, հատման կետերը լուծումներ չեն: Քանի որ սինուսոիդի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2π է, պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ. Եթե արտահայտության նշանները խիստ չեն, ապա լուծման միջակայքը պետք է փակցվի քառակուսի փակագծերում՝ . Խնդրի պատասխանը կարելի է գրել նաև հետևյալ անհավասարությամբ. Նմանատիպ խնդիրներ կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան։ Պատասխաններ գտնելու ալգորիթմը շատ պարզ է. Եկեք վերլուծենք լուծման փուլերը՝ օգտագործելով sin x › 1/2 անհավասարության օրինակը: α և β կետերը նշված են շրջանագծի վրա՝ արժեքներ α-ի և β-ի վերևում գտնվող աղեղի կետերը տվյալ անհավասարությունը լուծելու միջակայքն են։ Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է օրինակ լուծել cos-ի համար, ապա պատասխանի աղեղը կտեղակայվի սիմետրիկորեն OX առանցքի նկատմամբ, ոչ թե OY: Դուք կարող եք դիտարկել մեղքի և cos-ի լուծման միջակայքերի տարբերությունը տեքստի ստորև բերված դիագրամներում: Շոշափող և կոտանգենս անհավասարությունների գրաֆիկական լուծումները կտարբերվեն և՛ սինուսից, և՛ կոսինուսից: Դա պայմանավորված է գործառույթների հատկություններով: Արկտանգենսը և արկոտանգենսը շոշափում են եռանկյունաչափ շրջանագծին, և երկու ֆունկցիաների համար նվազագույն դրական պարբերությունը π է: Երկրորդ մեթոդը արագ և ճիշտ օգտագործելու համար հարկավոր է հիշել, թե որ առանցքի վրա են գծագրված sin, cos, tg և ctg արժեքները: Շոշափող շոշափողն անցնում է OY առանցքին զուգահեռ: Եթե արկտան a-ի արժեքը գծենք միավոր շրջանագծի վրա, ապա երկրորդ պահանջվող կետը կգտնվի անկյունագծային քառորդում։ Անկյուններ Դրանք ֆունկցիայի ընդմիջման կետեր են, քանի որ գրաֆիկը հակված է դրանց, բայց երբեք չի հասնում դրանց: Կոտանգենսի դեպքում շոշափողն անցնում է OX առանցքին զուգահեռ, և ֆունկցիան ընդհատվում է π և 2π կետերում։ Եթե անհավասարության ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացված է ոչ միայն փոփոխականով, այլ անհայտ պարունակող մի ամբողջ արտահայտությամբ, ապա մենք խոսում ենք բարդ անհավասարության մասին։ Դրա լուծման գործընթացը և ընթացակարգը որոշակիորեն տարբերվում են վերը նկարագրված մեթոդներից: Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծում գտնենք հետևյալ անհավասարության համար. Գրաֆիկական լուծումը ներառում է սովորական սինուսոիդ y = sin x կառուցել՝ օգտագործելով x-ի կամայականորեն ընտրված արժեքները: Հաշվարկենք գրաֆիկի կառավարման կետերի կոորդինատներով աղյուսակ. Արդյունքը պետք է լինի գեղեցիկ կոր: Որպեսզի լուծում գտնելն ավելի հեշտ լինի, եկեք փոխարինենք բարդ ֆունկցիայի փաստարկըՏարրական եռանկյունաչափական հավասարումներ
Օժանդակ փաստարկի ներկայացում
հետևյալ տեխնիկան է՝ թող --- անկյունը տրված հավասարումներով 
, 
. Ցանկացածի համար նման անկյուն գոյություն ունի: Այսպիսով . Եթե , կամ , , , այլ դեպքերում։Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման սխեմա
պատասխանը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
, , ;
, ապա պատասխանը կարելի է գրել ձևով 
, . (Հետևում, , , կամ պարամետրի առկայությունը պատասխան գրառման մեջ ավտոմատ կերպով նշանակում է, որ այս պարամետրն ընդունում է բոլոր հնարավոր ամբողջ արժեքները: Բացառությունները կսահմանվեն:)
. Հետևաբար, առաջին երկու դեպքերում, եթե , կարող ենք փոխարինել .
.
. «Տես» և ապացուցիր հավասարությունը 
այնքան էլ հեշտ չէ.Եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումների խմբերի փոխակերպում և միացում
.
Ֆակտորիզացիա
.
.
. Արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում
, 
.Հավասարումների լուծում՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը գումարի վերածելով
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը
Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով եռակի փաստարկների բանաձևերը
.
. Դիմելով մենք ստանում ենք.Համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություն
.
.
.
Եռանկյունաչափական հավասարումների վերածում հանրահաշվականի
() Եվ.
. Հեշտ է ստուգել, թե ինչի համար , հավասարման արմատներ չեն, և փոխարինելով , հավասարումը վերածվում է քառակուսայինի:
.
, որը հեշտությամբ կարող է վերածվել քառակուսու՝ փոխարինելով. 
. Եթե 
, ապա հավասարումն ունի իրական արմատներ , . Սկզբնական հավասարումը կունենա լուծումների երկու խումբ՝ , , .
, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։
.
, ապա մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.
, ստանում ենք հավասարումը.
Թող, ապա գալիս ենք քառակուսի հավասարմանը. 
, 
, .
.
, , .
.
են .Օգտագործելով առանձնահատկությունների սահմանափակումները
.
.
.
.
.
Եվ 
.
.
. Այդ նպատակով, եկեք խորանարդենք այս անհավասարության երկու կողմերը, ապա
, Դա
. Հետևում է, որ, այսինքն. հավասարման աջ կողմը չի գերազանցում . Նախկինում ապացուցված էր, որ հավասարման ձախ կողմը ոչ բացասական է, ուստի հավասարությունը կարող է տեղի ունենալ միայն այն դեպքում, եթե երկու կողմերն էլ հավասար են, և դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե .
. Կիրառելով Կոշի-Բունյակովսկի անհավասարությունը՝ մենք ստանում ենք. Դրանից բխում է, որ 
. Մյուս կողմից, կա 
. Հետևաբար, հավասարումը արմատներ չունի:Եռանկյունաչափական և համակցված հավասարումների լուծման ֆունկցիոնալ մեթոդներ
նվազում է. Հետևաբար, եթե այս հավասարումն ունի արմատ, ապա այն եզակի է։ Մենք գտնում ենք ընտրությամբ.
, ապա սկզբնական հավասարումը կարելի է գրել որպես ֆունկցիոնալ հավասարում։ Քանի որ ֆունկցիան կենտ է, ուրեմն . Այս դեպքում մենք ստանում ենք հավասարումը.
, որն ունի մեկ արմատ:
.
նվազում (գործառույթը նվազում, աճող, նվազում): Այստեղից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան 
սահմանվում է , նվազում. Այսպիսով, այս հավասարումն ունի առավելագույնը մեկ արմատ: Որովհետեւ 
, Դա
, , Ա . Ինտերվալի վրա սկզբնական հավասարումը նույնպես արմատներ չունի, քանի որ 
, Ա .
, , Ա .Սիմետրիայի մեթոդ
.
. Հետևաբար, վերջին հավասարումը համարժեք է համակարգին.Լուծում ֆունկցիայի ուսումնասիրությամբ
.
ընդմիջումներով և ; այսինքն ընդմիջումներով և .
0
0
202,5
0,85355342
3
-0,00080306
207
0,6893642
6
-0,00119426
210
0,57635189
9
-0,00261932
213
0,4614465
12
-0,00448897
216
0,34549155
15
-0,00667995
219
0,22934931
18
-0,00903692
222
0,1138931
21
-0,01137519
225
0,00000002
24
-0,01312438
228
-0,11145712
27
-0,01512438
231
-0,21961736
30
-0,01604446
234
-0,32363903
33
-0,01597149
237
-0,42270819
36
-0,01462203
240
-0,5160445
39
-0,01170562
243
-0,60290965
42
-0,00692866
246
-0,65261345
45
0,00000002
249
-0,75452006
48
0,00936458
252
-0,81805397
51
0,02143757
255
-0,87270535
54
0,03647455
258
-0,91803444
57
0,0547098
261
-0,95367586
60
0,07635185
264
-0,97934187
63
0,10157893
267
-0,99482505
66
0,1305352
270
-1
67,5
0,14644661
; 
; .Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
..
. Վերադառնալով փոփոխականին՝ մենք ստանում ենք այն:
.Եռանկյունաչափական անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում
լուծում:ժամը
Մեթոդ 1 - Անհավասարությունների լուծում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկով
Մեթոդ 2 - Եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծում՝ օգտագործելով միավոր շրջանագիծը
Բարդ եռանկյունաչափական անհավասարություններ
