≡×ՄԵՆՈՒ

• Ինտերիեր
• Այգի
• Կահույք
• Շինանյութեր
• Տանիք

Հաշվիչ՝ գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու համար: Առցանց հաշվիչ: Հաշվեք որոշակի ինտեգրալ (կորագիծ trapezoid-ի տարածք)

Դիտարկենք կորագիծ trapezoid, որը սահմանափակված է Ox առանցքով, կորի y \u003d f (x) և երկու ուղիղ գծերով. x \u003d a և x \u003d b (Նկար 85): Վերցրեք x-ի կամայական արժեքը (միայն ոչ a և ոչ b): Եկեք դրան տանենք հավելում h = dx և դիտարկենք մի շերտ, որը սահմանափակված է AB և CD ուղիղ գծերով, Ox առանցքով և դիտարկվող կորին պատկանող BD աղեղով: Այս շերտը կկոչվի տարրական շերտ: Տարրական շերտի մակերեսը տարբերվում է ACQB ուղղանկյան տարածքից կորագիծ BQD եռանկյունով, իսկ վերջինիս մակերեսը. ավելի քիչ տարածք BQDM կողմերով ուղղանկյուն BQ = h=dx) QD=Ay և մակերեսը հավասար է hAy = Ay dx: Քանի որ h կողմը նվազում է, Du կողմը նույնպես նվազում է և h-ի հետ միաժամանակ ձգտում է զրոյի: Հետևաբար, BQDM-ի տարածքը երկրորդ կարգի անսահման փոքր է: Տարրական շերտի մակերեսը տարածքի աճն է, իսկ ACQB ուղղանկյան մակերեսը, որը հավասար է AB-AC==/(x) dx>-ին, տարածքի դիֆերենցիալն է: Հետևաբար, մենք գտնում ենք տարածքն ինքնին` ինտեգրելով դրա դիֆերենցիալը: Քննարկվող պատկերի սահմաններում անկախ փոփոխական l: փոխվում է a-ից b, ​​ուստի պահանջվող տարածքը 5 հավասար կլինի 5= \f (x) dx-ի: (I) Օրինակ 1. Հաշվե՛ք պարաբոլով սահմանափակված տարածքը y - 1 -x *, X \u003d - Fj-, x \u003d 1 ուղիղ գծերով և O * առանցքով (նկ. 86): ժամը Նկ. 87. Նկ. 86. 1 Այստեղ f(x) = 1 - l?, ինտեգրման սահմանները a = - և t = 1, հետևաբար 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Օրինակ 2. Հաշվե՛ք սինուսոիդով սահմանափակված տարածքը. y = sinXy, Ox առանցքը և ուղիղ գիծը (նկ. 87): Կիրառելով բանաձևը (I)՝ մենք ստանում ենք L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Ox առանցքով (օրինակ՝ սկզբնաղբյուրի և i abscissa-ով կետի միջև): Նկատենք, որ երկրաչափական նկատառումներից պարզ է դառնում, որ այս տարածքը կրկնակի է լինելու ավելի շատ տարածքնախորդ օրինակ. Այնուամենայնիվ, կատարենք հաշվարկները՝ i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Իրոք, մեր ենթադրությունը պարզվեց արդարացի: Օրինակ 4. Հաշվե՛ք սինուսոիդով և Ox առանցքով սահմանափակված տարածքը մեկ կետում (նկ. 88): Ռաս-ֆիգուրի նախնական դատողությունները ցույց են տալիս, որ տարածքը կստացվի չորս անգամ ավելի մեծ, քան պր. 2-ում: Այնուամենայնիվ, հաշվարկները կատարելուց հետո մենք ստանում ենք «i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0: Այս արդյունքը պահանջում է պարզաբանում: Հարցի էությունը պարզաբանելու համար մենք նաև հաշվարկում ենք նույն սինուսոիդով y \u003d sin l-ով սահմանափակված տարածքը և Ox առանցքը տատանվում է l-ից մինչև 2n: Կիրառելով բանաձևը (I), մենք ստանում ենք Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ այս ոլորտը բացասական է ստացվել։ Համեմատելով այն օրինակ 3-ում հաշվարկված տարածքի հետ՝ գտնում ենք, որ նրանց բացարձակ արժեքներնույնը, բայց նշանները տարբեր են: Եթե ​​կիրառենք V հատկությունը (տե՛ս Գլ. XI, § 4), ապա պատահաբար ստանում ենք։ Միշտ x-առանցքից ներքև գտնվող տարածքը, պայմանով, որ անկախ փոփոխականը ձախից աջ փոխվի, ստացվում է բացասական ինտեգրալների միջոցով հաշվելով: Այս դասընթացում մենք միշտ հաշվի ենք առնելու չստորագրված տարածքները: Հետևաբար, հենց նոր վերլուծված օրինակում պատասխանը կլինի հետևյալը՝ պահանջվող մակերեսը հավասար է 2 + |-2| = 4. Օրինակ 5. Եկեք հաշվարկենք Նկ.-ում ներկայացված BAB-ի տարածքը: 89. Այս տարածքը սահմանափակված է Ox առանցքով, y = - xr պարաբոլով և y - = -x + \ ուղիղ գծով: Կորագիծ trapezoid-ի տարածքը Փնտրվող OAB տարածքը բաղկացած է երկու մասից՝ OAM և MAB: Քանի որ A կետը պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետն է, մենք կգտնենք դրա կոորդինատները՝ լուծելով 3 2 Y \u003d mx հավասարումների համակարգը: (մեզ անհրաժեշտ է միայն գտնել Ա կետի աբսցիսա): Համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք l; =~. Հետևաբար, տարածքը պետք է հաշվարկվի մասերով, առաջին pl. OAM, իսկ հետո pl. MAV՝ .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2: QAM-^x ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 2 +2 գտնվում է առանցքի վրայով Եզ , Ահա թե ինչու:

Պատասխան. Ս \u003d 9 քառակուսի միավոր

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը՝ լավ, մոտավորապես 9-ը կմուտքագրվի, կարծես թե ճիշտ է։ Միանգամայն պարզ է, որ եթե ունենայինք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավորներ, հետո, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է ստացվել, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կորագիծ trapezoid- ը առանցքի տակ Օ՜

բ)Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=-e x , x=1 Եվ կոորդինատային առանցքներ.

Լուծում.

Եկեք նկարենք:

Եթե ​​կորագիծ trapezoid ամբողջովին առանցքի տակ Օ՜ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխան. S=(e-1) քառ. միավոր» 1.72 քառ

Ուշադրություն. Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքները:

1) Եթե ձեզ խնդրում են լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր դիտարկված բանաձեւում։

Գործնականում, ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսափողերում:

Հետ)Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x:

Լուծում.

Նախ պետք է նկարել: Ընդհանրապես, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտե՛ք պարաբոլայի հատման կետերը և ուղիղ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է.

Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը a=0 , ինտեգրման վերին սահմանը b=3 .

Կառուցում ենք տրված տողերը՝ 1. Պարաբոլա - գագաթ (1;1) կետում; առանցքի խաչմերուկ Օհ -միավորներ (0;0) և (0;2): 2. Ուղիղ՝ 2-րդ և 4-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդ: Իսկ հիմա Ուշադրություն. Եթե ​​հատվածում [ ա;բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա f(x)մեծ կամ հավասար է որոշ շարունակական ֆունկցիայի g(x), ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով. . Եվ կարևոր չէ, թե որտեղ է գտնվում նկարը` առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, այլ կարևոր է, թե որ գծապատկերն է ավելի ԲԱՐՁՐ (մեկ այլ գծապատկերի համեմատ), և որը` ՆԵՐՔԵՎ: Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Կարելի է գծեր կառուցել կետ առ կետ, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզվում են կարծես «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ պարուրակային կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ):

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևից պարաբոլայով և ներքևից ուղիղ գծով:

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան. Ս \u003d 4,5 քառ

Մենք սկսում ենք դիտարկել կրկնակի ինտեգրալի հաշվարկման իրական գործընթացը և ծանոթանալ դրա երկրաչափական նշանակությանը։

Կրկնակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար է հարթ գործչի մակերեսին (ինտեգրման շրջան): Սա ամենապարզ ձևըկրկնակի ինտեգրալ, երբ երկու փոփոխականների ֆունկցիան հավասար է մեկի.

Եկեք նախ դիտարկենք խնդիրը ընդհանուր առումներով: Այժմ դուք կզարմանաք, թե որքան պարզ է դա իրականում: Եկեք հաշվարկենք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը: Որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ միջակայքում . Այս ցուցանիշի մակերեսը թվայինորեն հավասար է.

Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Եկեք ընտրենք տարածքը շրջանցելու առաջին տարբերակը.

Այսպիսով.

Եվ անմիջապես մի կարևոր տեխնիկական հնարք. կրկնվող ինտեգրալները կարելի է առանձին դիտարկել. Սկզբում ներքին, ապա արտաքին ինտեգրալը։ Այս մեթոդըԲարձր խորհուրդ ենք տալիս սկսնակների համար թեյնիկների թեման:

1) Հաշվեք ներքին ինտեգրալը, մինչդեռ ինտեգրումն իրականացվում է «y» փոփոխականի վրա.

Անորոշ ինտեգրալն այստեղ ամենապարզն է, և այնուհետև օգտագործվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, միակ տարբերությամբ, որ. Ինտեգրման սահմանները թվերը չեն, այլ գործառույթները. Նախ, մենք վերին սահմանը փոխարինեցինք «y»-ով (հակածանցյալ ֆունկցիա), այնուհետև՝ ստորին սահմանով

2) առաջին պարբերությամբ ստացված արդյունքը պետք է փոխարինվի արտաքին ինտեգրալով.

Ամբողջ լուծման ավելի կոմպակտ նշումը հետևյալն է.

Ստացված բանաձեւը - սա հենց աշխատանքային բանաձևն է հարթ գործչի տարածքը հաշվարկելու համար, օգտագործելով «սովորական» որոշակի ինտեգրալ: Տես դասը Տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով, ահա նա ամեն քայլափոխի։

Այն է, կրկնակի ինտեգրալով տարածքի հաշվարկման խնդիրը քիչ տարբերորոշակի ինտեգրալ օգտագործելով տարածքը գտնելու խնդրից։Իրականում նրանք նույնն են։

Ըստ այդմ, ոչ մի դժվարություն չպետք է առաջանա: Ես շատ օրինակներ չեմ դիտարկի, քանի որ դուք, փաստորեն, բազմիցս հանդիպել եք այս խնդրին։

Օրինակ 9

Լուծում:Եկեք պատկերենք գծագրության տարածքը.

Ընտրենք տարածաշրջանի անցման հետևյալ հաջորդականությունը.

Այստեղ և ներքևում ես չեմ խորանա, թե ինչպես անցնել տարածքը, քանի որ առաջին պարբերությունը շատ մանրամասն էր:

Այսպիսով.

Ինչպես արդեն նշեցի, սկսնակների համար ավելի լավ է հաշվարկել կրկնվող ինտեգրալները առանձին, ես հավատարիմ կմնամ նույն մեթոդին.

1) Նախ, օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

2) Առաջին քայլում ստացված արդյունքը փոխարինվում է արտաքին ինտեգրալով.

2-րդ կետը իրականում գտնում է հարթ գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Պատասխան.

Ահա այսպիսի հիմար ու միամիտ առաջադրանք.

Հետաքրքիր օրինակ է անկախ որոշում:

Օրինակ 10

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,

Նմուշ Նմուշ ավարտելուլուծումներ դասի վերջում.

Օրինակներ 9-10-ում շատ ավելի ձեռնտու է օգտագործել տարածքը շրջանցելու առաջին եղանակը, հետաքրքրասեր ընթերցողները, ի դեպ, կարող են փոխել շրջանցման կարգը և հաշվարկել տարածքները երկրորդ եղանակով։ Եթե ​​դուք սխալ չեք թույլ տալիս, ապա, բնականաբար, ստացվում են տարածքի նույն արժեքները:

Բայց որոշ դեպքերում տարածքը շրջանցելու երկրորդ ճանապարհն ավելի արդյունավետ է, և ի վերջո երիտասարդ խելագարի դասընթացի ավարտին եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակ այս թեմայով.

Օրինակ 11

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով:

Լուծում:մենք անհամբեր սպասում ենք երկու պարաբոլայի՝ հովով, որոնք ընկած են իրենց կողմում: Ժպտալու կարիք չկա, բազմակի ինտեգրալներում նմանատիպ բաներ հաճախ են հանդիպում:

Ո՞րն է նկարչություն անելու ամենահեշտ ձևը:

Ներկայացնենք պարաբոլան որպես երկու ֆունկցիա.
- վերին ճյուղ և - ստորին ճյուղ:

Նմանապես, պատկերացրեք պարաբոլան որպես վերին և ստորին մասնաճյուղերը.

Հաջորդը, կետ առ կետ գծագրման սկավառակներ, որոնք հանգեցնում են այսպիսի տարօրինակ թվի.

Նկարի տարածքը հաշվարկվում է կրկնակի ինտեգրալի միջոցով՝ ըստ բանաձևի.

Ի՞նչ կլինի, եթե ընտրենք տարածքը շրջանցելու առաջին ճանապարհը: Նախ, այս տարածքը պետք է բաժանվի երկու մասի. Եվ երկրորդ, մենք կդիտարկենք այս տխուր պատկերը. . Ինտեգրալները, իհարկե, գերբարդ մակարդակի չեն, բայց ... հին մաթեմատիկական ասացվածք կա՝ ով բարեկամ է արմատների հետ, զիջում պետք չէ։

Հետևաբար, պայմանում տրված թյուրիմացությունից մենք արտահայտում ենք հակադարձ գործառույթները.

Այս օրինակի հակադարձ գործառույթներն ունեն այն առավելությունը, որ նրանք անմիջապես դնում են ամբողջ պարաբոլան առանց տերևների, կաղինների, ճյուղերի և արմատների:

Երկրորդ մեթոդի համաձայն, տարածքի անցումը կլինի հետևյալը.

Այսպիսով.

Ինչպես ասում են՝ զգացեք տարբերությունը։

1) Մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

Մենք արդյունքը փոխարինում ենք արտաքին ինտեգրալով.

«y» փոփոխականի վրա ինտեգրումը չպետք է ամոթալի լինի, եթե լիներ «zyu» տառը, լավ կլիներ ինտեգրվել դրա վրա: Չնայած ով է կարդացել դասի երկրորդ պարբերությունը Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը, նա այլևս չի զգում ամենափոքր շփոթությունը «y»-ի նկատմամբ ինտեգրման հետ կապված։

Ուշադրություն դարձրեք նաև առաջին քայլին. ինտեգրանդը զույգ է, իսկ ինտեգրացիոն հատվածը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ: Հետեւաբար, հատվածը կարող է կրկնակի կրճատվել, իսկ արդյունքը կարող է կրկնապատկվել: Այս տեխնիկան մանրամասնորեն մեկնաբանվում է դասում: Արդյունավետ մեթոդներորոշակի ինտեգրալի հաշվարկ.

Ինչ ավելացնել…. Բոլորը!

Պատասխան.

Ձեր ինտեգրման տեխնիկան ստուգելու համար կարող եք փորձել հաշվարկել . Պատասխանը պետք է լինի ճիշտ նույնը.

Օրինակ 12

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Հետաքրքիր է նշել, որ եթե դուք փորձեք օգտագործել տարածքը շրջանցելու առաջին եղանակը, ապա գործիչն այլևս չի բաժանվի երկու, այլ երեք մասի: Եվ, համապատասխանաբար, մենք ստանում ենք երեք զույգ կրկնվող ինտեգրալներ: Երբեմն դա տեղի է ունենում.

Վարպետության դասն ավարտվել է, և ժամանակն է անցնել գրոսմայստերի մակարդակին. Ինչպե՞ս հաշվարկել կրկնակի ինտեգրալը: Լուծման օրինակներ. Երկրորդ հոդվածում կփորձեմ այդքան մոլագար չլինել =)

Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2:Լուծում: Նկարիր տարածք գծագրի վրա.

Ընտրենք տարածաշրջանի անցման հետևյալ հաջորդականությունը.

Այսպիսով.
Եկեք անցնենք հակադարձ գործառույթներին.


Այսպիսով.
Պատասխան.

Օրինակ 4:Լուծում: Եկեք անցնենք ուղիղ գործառույթներին.


Եկեք կատարենք գծագիրը.

Փոխենք տարածքի անցման կարգը.

Պատասխան.

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Նախադիտումսլայդները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքըխնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Հիմնաբառեր:ինտեգրալ, կորագիծ տրապիզոիդ, շուշաններով սահմանափակված ֆիգուրների տարածք

Սարքավորումներ՝ գրատախտակ, համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր

Դասի տեսակը՝ դաս-դասախոսություն

Դասի նպատակները:

• կրթական:ձևավորել մտավոր աշխատանքի մշակույթ, յուրաքանչյուր ուսանողի համար ստեղծել հաջողության իրավիճակ, ձևավորել սովորելու դրական մոտիվացիա. զարգացնել ուրիշներին խոսելու և լսելու ունակությունը.
• զարգացող:Ուսանողի մտածողության անկախության ձևավորումը տարբեր իրավիճակներում գիտելիքների կիրառման, վերլուծելու և եզրակացություններ անելու կարողության, տրամաբանության զարգացման, հարցերը ճիշտ դնելու և դրանց պատասխաններ գտնելու ունակության զարգացում: հաշվողական, հաշվողական հմտությունների ձևավորման կատարելագործում, առաջարկվող առաջադրանքների կատարման ընթացքում սովորողների մտածողության զարգացում, ալգորիթմական մշակույթի ձևավորում։
• կրթականձևավորել պատկերացումներ կորագիծ տրապեզիի, ինտեգրալի մասին, տիրապետել հարթ պատկերների մակերեսները հաշվարկելու հմտություններին.

Դասավանդման մեթոդ.բացատրական և պատկերավոր:

Դասերի ժամանակ

Նախորդ դասերին սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այն թվերի մակերեսները, որոնց սահմանները կոտրված գծեր են: Մաթեմատիկայի մեջ կան մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել կորերով սահմանափակված թվերի տարածքը: Նման թվերը կոչվում են կորագիծ trapezoids, և դրանց մակերեսը հաշվարկվում է հակաածանցյալների միջոցով:

կորագիծ trapezoid ( սլայդ 1)

Կորագիծ տրապիզոիդը ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված թիվ է, վ.մ.), ուղիղ x = aԵվ x = bեւ abscissa

Տարբեր տեսակի կորագիծ trapezoids ( սլայդ 2)

Մենք դիտարկում ենք տարբեր տեսակներկորագիծ trapezoids և նշեք, որ գծերից մեկը դեգեներացված է մինչև մի կետ, սահմանափակող ֆունկցիայի դերը խաղում է գիծը

Կորագիծ տրապիզոիդի տարածք (սլայդ 3)

Ամրացրեք միջակայքի ձախ ծայրը Ա,և ճիշտ Xմենք կփոխվենք, այսինքն՝ տեղափոխում ենք կորագիծ տրապիզոնի աջ պատը և ստանում փոփոխվող գործիչ։ Ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված փոփոխական կորագծային տրապիզոնի տարածքը հակաածանցյալն է Ֆֆունկցիայի համար զ

Իսկ հատվածում [ ա; բ] ֆունկցիայի կողմից ձևավորված կորագիծ տրապիզոնի տարածքը զ,հավասար է այս ֆունկցիայի հակաածանցյալի աճին.

Վարժություն 1:

Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը. f(x) = x 2և ուղղակի y=0, x=1, x=2.

Լուծում: ( ըստ սլայդ 3 ալգորիթմի)

Գծե՛ք ֆունկցիայի և գծերի գրաֆիկը

Եկեք գտնենք մեկը հակաածանցյալ գործառույթներ f(x) = x 2 :

Սլայդի ինքնաստուգում

Անբաժանելի

Դիտարկենք ֆունկցիայի կողմից տրված կորագիծ տրապիզը զհատվածի վրա [ ա; բ]. Եկեք այս հատվածը բաժանենք մի քանի մասի. Ամբողջ trapezoid-ի տարածքը կբաժանվի ավելի փոքր կորագծային տրապիզոիդների տարածքների գումարի: ( սլայդ 5). Յուրաքանչյուր նման trapezoid մոտավորապես կարելի է համարել ուղղանկյուն: Այս ուղղանկյունների տարածքների գումարը մոտավոր պատկերացում է տալիս կորագիծ trapezoid-ի ամբողջ տարածքի մասին: Որքան փոքր ենք մենք կոտրում հատվածը [ ա; բ], այնքան ավելի ճշգրիտ ենք հաշվարկում տարածքը։

Այս նկատառումները մենք գրում ենք բանաձևերի տեսքով.

Բաժանել հատվածը [ ա; բ] մեջ n մասերի կետերով x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.Երկարություն k-րդ նշելով xk = xk - xk-1. Եկեք ամփոփենք

Երկրաչափական առումով այս գումարը նկարում ստվերված գործչի մակերեսն է ( շ.մ.)

Ձևի գումարները կոչվում են ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարներ զ. (սխ.մ.)

Ինտեգրալ գումարները տալիս են տարածքի մոտավոր արժեքը: Ճշգրիտ արժեքստացվել է սահմանին անցնելով։ Պատկերացրեք, որ մենք ճշգրտում ենք հատվածի բաժանումը [ ա; բ] այնպես, որ բոլոր փոքր հատվածների երկարությունները հակված են զրոյի: Այնուհետև կազմված գործչի տարածքը կմոտենա կորագիծ trapezoid-ի տարածքին: Կարելի է ասել, որ կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը հավասար է ամբողջական գումարների սահմանին, Սկ.տ. (սխ.մ.)կամ ինտեգրալ, այսինքն.

Սահմանում:

ֆունկցիայի ինտեգրալ f(x)-ից անախքան բկոչվում է ինտեգրալ գումարների սահման

= (սխ.մ.)

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.

Հիշեք, որ ինտեգրալ գումարների սահմանը հավասար է կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին, ուստի կարող ենք գրել.

Սկ.տ. = (սխ.մ.)

Մյուս կողմից, կորագիծ trapezoid-ի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

Ս դեպի. (սխ.մ.)

Համեմատելով այս բանաձևերը՝ մենք ստանում ենք.

= (սխ.մ.)

Այս հավասարությունը կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև։

Հաշվարկների հարմարության համար բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

= = (սխ.մ.)

Առաջադրանքներ. (շ.մ.)

1. Հաշվիր ինտեգրալը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը. ստուգեք սլայդ 5)

2. Կազմել ինտեգրալներ ըստ գծագրի ( ստուգեք սլայդ 6-ում)

3. Գտեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը՝ y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2: ( Սլայդ 7)

Գտեք հարթ պատկերների մակերեսները ( սլայդ 8)

Ինչպե՞ս գտնել այն ֆիգուրների տարածքը, որոնք կորագիծ trapezoids չեն:

Թող տրվի երկու ֆունկցիա, որոնց գրաֆիկները տեսնում եք սլայդում . (սխ.մ.)Գտեք ստվերավորված գործչի տարածքը . (սխ.մ.). Արդյո՞ք խնդրո առարկա պատկերը կորագիծ տրապիզոիդ է: Իսկ ինչպե՞ս կարելի է գտնել դրա մակերեսը՝ օգտագործելով տարածքի հավելումային հատկությունը։ Դիտարկենք երկու կորագիծ trapezoids և հանեք մյուսի տարածքը դրանցից մեկի տարածքից ( w.m.)

Եկեք սլայդի անիմացիայից տարածքը գտնելու ալգորիթմ կազմենք.

1. Հողամասի գործառույթներ
2. Գծապատկերների հատման կետերը նախագծեք x առանցքի վրա
3. Ստվերեք գծապատկերները հատելով ստացված պատկերը
4. Գտե՛ք կորագիծ տրապիզոիդներ, որոնց հատումը կամ միությունը տրված պատկերն է:
5. Հաշվեք յուրաքանչյուրի մակերեսը
6. Գտեք տարածքների տարբերությունը կամ գումարը

Բանավոր առաջադրանք. Ինչպես ստանալ ստվերավորված գործչի մակերեսը (պատմել՝ օգտագործելով անիմացիա, սլայդ 8 և 9)

Տնային աշխատանք:Մշակի՛ր վերացականը, թիվ 353 (ա), թիվ 364 (ա)։

Մատենագիտություն

1. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. դասագիրք երեկոյան (հերթափոխային) դպրոցի 9-11-րդ դասարանների համար / խմբ. Գ.Դ. Գլեյզեր. - Մ: Լուսավորություն, 1983 թ.
2. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք միջին դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար / Բաշմակով Մ.Ի. - Մ: Լուսավորություն, 1991 թ.
3. Բաշմակով Մ.Ի. Մաթեմատիկա. Դասագիրք հաստատությունների համար սկիզբ. եւ միջին. պրոֆ. կրթություն / M.I. Բաշմակովը։ - M: Ակադեմիա, 2010 թ.
4. Կոլմոգորով Ա.Ն. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք 10-11 բջիջների համար. ուսումնական հաստատություններ / Ա.Ն. Կոլմոգորով. - Մ: Լուսավորություն, 2010 թ.
5. Օստրովսկի Ս.Լ. Ինչպե՞ս պատրաստել դասի ներկայացում: / S.L. Օստրովսկին։ – Մ.: Սեպտեմբերի առաջին, 2010 թ.

Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը

Այժմ մենք դիմում ենք ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունների քննարկմանը: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը: Ինչպես օգտագործել որոշակի ինտեգրալ՝ հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար. Վերջապես, նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, թող գտնեն այն: Դու երբեք չես իմանա. Մենք պետք է ավելի մոտենանք կյանքում գյուղական քոթեջի տարածքտարրական ֆունկցիաներ և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար պետք է.

1) հասկանալ անորոշ ինտեգրալգոնե միջին մակարդակով։ Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է կարդան դասը Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծման օրինակներ.

Փաստորեն, գործչի տարածքը գտնելու համար ձեզ հարկավոր չէ այդքան շատ գիտելիքներ անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին: «Հաշվարկել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծագրի կառուցում, այնքան ավելին արդիական խնդիրկլինի ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները: Այս առումով, օգտակար է խոզանակով վերաբերվել հիմնականի գրաֆիկային տարրական գործառույթներ, և, համենայն դեպս, կարողանալ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​պարաբոլա և հիպերբոլա: Դա կարելի է անել (շատերը պետք է) օգնությամբ մեթոդական նյութև գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների վերաբերյալ հոդվածներ։

Իրականում տարածքը որոշակի ինտեգրալով գտնելու խնդրին բոլորին ծանոթ է դեռ դպրոցական տարիներից, և մենք մի փոքր առաջ կգնանք դպրոցական ծրագրից։ Այս հոդվածը կարող է ընդհանրապես գոյություն չունենալ, բայց փաստն այն է, որ խնդիրն առաջանում է 100-ից 99-ի դեպքում, երբ ուսանողին տանջում է ատելի աշտարակը բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացը յուրացնելու ոգևորությամբ։

Այս աշխատաժողովի նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և նվազագույն տեսականությամբ։

Սկսենք կորագիծ trapezoid-ից:

Curvilinear trapezoidկոչվում է հարթ գործիչ, որը սահմանափակված է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով մի հատվածի վրա, որը նշանը չի փոխում այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս abscissa:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի. Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասին Որոշակի ինտեգրալ. Լուծման օրինակներԵս ասացի, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա եկել է մեկ այլ փաստարկելու ժամանակը օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է, որոշակի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին. Օրինակ, հաշվի առեք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը սահմանում է կորագիծ հարթության վրա, որը գտնվում է առանցքի վերևում (նրանք, ովքեր ցանկանում են, կարող են լրացնել գծագիրը), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի տարածքին:

Օրինակ 1

Սա տիպիկ առաջադրանքի հայտարարություն է: Նախ և վճռորոշ պահլուծումներ - նկարչություն. Ավելին, գծանկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Նախագիծ կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր տողերը (եթե այդպիսիք կան) և միայն Հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ֆունկցիոնալ գրաֆիկները ավելի շահավետ են կառուցել կետ առ կետ, կետային կառուցման տեխնիկայով կարելի է գտնել տեղեկատու նյութում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնտեղ կարող եք գտնել նաև նյութ, որը շատ օգտակար է մեր դասի հետ կապված՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք գծագրենք (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Ես կորագիծ տրապիզոիդ չեմ հանի, ակնհայտ է, թե այստեղ ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքի վրայով, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Ով դժվարանում է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը , անդրադարձեք դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծման օրինակներ.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, մոտավորապես 9-ը մուտքագրվելու է, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ունենայինք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում տվյալ գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է ստացվել, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կորագիծ trapezoid- ը առանցքի տակ?

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Եթե ​​կորագիծ trapezoid գտնվում է առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.
Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքները:

1) Եթե ձեզ խնդրում են լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր դիտարկված բանաձեւում։

Գործնականում, ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսակառույցներում, և, հետևաբար, ամենապարզից դպրոցական խնդիրներԱնցնենք ավելի բովանդակալից օրինակների։

Օրինակ 4

Գտե՛ք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը, .

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանրապես, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է. Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:
Ավելի լավ է հնարավորության դեպքում չօգտագործել այս մեթոդը:.

Գծերը կետ առ կետ կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզվում են կարծես «իրենց»: Տարբեր գծապատկերների կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան մանրամասն քննարկվում է օգնության մեջ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ պարուրակային կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Կրկնում եմ, որ կետային կառուցման դեպքում ինտեգրման սահմաններն ամենից հաճախ պարզվում են «ավտոմատ կերպով»։

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե ​​ինտերվալի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա կա ավելի մեծ կամ հավասարորոշ շարունակական ֆունկցիա, այնուհետև այս ֆունկցիաների և ուղիղ գծերի գրաֆիկներով սահմանափակված գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ աղյուսակն է վերևում(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևից պարաբոլայով և ներքևից ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Փաստորեն, ներքևի կես հարթության մեջ կորագիծ տրապեզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տես պարզ օրինակ թիվ 3) բանաձևի հատուկ դեպք է. . Քանի որ առանցքը տրված է հավասարմամբ, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ոչ ավելի բարձրկացինները, ապա

Իսկ հիմա մի երկու օրինակ անկախ որոշման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծերով պարփակված նկարի մակերեսը, .

Տարածքը որոշակի ինտեգրալով հաշվարկելու խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի միջադեպ է տեղի ունենում. Գծանկարը ճիշտ է արված, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անուշադրության պատճառով ... գտել է սխալ գործչի տարածքը, էդպես է քո հնազանդ ծառան մի քանի անգամ պտտվել։ Ահա իրական կյանքի դեպք.

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

ԼուծումՆախ եկեք նկարենք.

…Էհ, գծագիրը հիմար էր, բայց ամեն ինչ կարծես ընթեռնելի է:

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով:(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ տեղի է ունենում «անսարք», որ դուք պետք է գտնեք ստվերավորված գործչի տարածքը. կանաչի մեջ!

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ դրանում գործչի տարածքը հաշվարկվում է երկու որոշակի ինտեգրալների միջոցով: Իրոք.

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածում հիպերբոլային գրաֆիկ է:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Անցնենք ևս մեկ բովանդակալից առաջադրանքի.

Օրինակ 8

Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը,
Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» ձևով, և կատարենք կետ առ կետ.

Գծանկարից երևում է, որ մեր վերին սահմանը «լավն է».
Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ի՞նչ։ Միգուցե ? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծանկարը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, դա կարող է պարզվել։ Կամ արմատ: Իսկ եթե մենք ընդհանրապես ճիշտ չհասկացնեինք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսել և վերլուծական կերպով ճշգրտել ինտեգրման սահմանները։

Գտնենք ուղիղի և պարաբոլայի հատման կետերը։
Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.


,

Իսկապես, .

Հետագա լուծումը չնչին է, գլխավորը փոխարինումների ու նշանների մեջ չշփոթվելն է, այստեղ հաշվարկներն ամենահեշտը չեն։

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան.

Դե, դասի ավարտին մենք կդիտարկենք երկու առաջադրանք ավելի բարդ:

Օրինակ 9

Հաշվիր գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը,

ԼուծումՆկարեք այս նկարը գծագրում:

Անիծյալ, ես մոռացել էի ստորագրել ժամանակացույցը, և նկարը նորից եմ անում, կներեք, ոչ թե hotz: Նկարչություն չէ, մի խոսքով, այսօր այդ օրն է =)

Կետային շինարարության համար դուք պետք է իմանաք տեսքըսինուսոիդներ (և ընդհանրապես օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները), ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ, դրանք կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Որոշ դեպքերում (ինչպես այս դեպքում) թույլատրվում է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա սկզբունքորեն ճիշտ պետք է ցուցադրվեն գրաֆիկները և ինտեգրման սահմանները։

Այստեղ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից. - «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Մենք լրացուցիչ որոշում ենք կայացնում.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար.