Բաղադրյալ ֆունկցիայի հակաածանցյալը լուծումների օրինակներ են: Հակածանցյալ և անորոշ ինտեգրալ - Գիտելիքի հիպերմարկետ
Հակածանցյալների աղյուսակ
Սահմանում. F(x) ֆունկցիան տրված միջակայքում կոչվում է հակաածանցյալ f(x) ֆունկցիայի համար, այս միջակայքի բոլոր x-երի համար, եթե F"(x)=f(x) .
Ֆունկցիայի հակաածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է ինտեգրում. Դա տարբերակման հակառակն է։
Թեորեմ. Յուրաքանչյուր (x) միևնույն ինտերվալի վրա շարունակական ֆունկցիա ունի հակաածանցյալ:
Թեորեմ (հակածանցյալի հիմնական հատկությունը).Եթե ինչ-որ միջակայքում F(x) ֆունկցիան հակաածանցյալ է f(x ) ֆունկցիայի համար, ապա այս միջակայքում f(x)-ի հակաածանցյալը կլինի նաև F(x)+C ֆունկցիան, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է։
Այս թեորեմից հետևում է, որ երբ f(x)-ն ունի F(x) պարզունակ ֆունկցիա տվյալ միջակայքում, ապա այդ պարզունակները բազմություն են։ Գ-ին կամայական տալը թվային արժեքներ, ամեն անգամ մենք կստանանք հակաածանցյալ ֆունկցիա։
Պրիմիտիվներ գտնելու համար օգտագործեք հակաածանցյալների աղյուսակ. Այն ստացվում է ածանցյալների աղյուսակից։
Անորոշ ինտեգրալի հասկացությունը
Սահմանում. f(x) ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է անորոշ ինտեգրալև նշվում է.
Այստեղ կոչվում է f(x): ինտեգրանդև f(x) dx - ինտեգրանդ.
Հետևաբար, եթե F(x)-ը f(x)-ի հակաածանցյալն է, ապա 
.
Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները
Որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը
Դիտարկենք հարթ գործիչ, որը սահմանափակված է գրաֆիկով, որը շարունակական է և ոչ բացասական հատվածի վրա [a; b] ֆունկցիա f(x) , հատված [a; b] , և ուղիղներ x=a և x=b:
Ստացված ցուցանիշը կոչվում է կորագիծ trapezoid. Հաշվենք դրա մակերեսը։
Դա անելու համար մենք բաժանում ենք հատվածը [a; b] մեջ n հավասար հատվածներ: Հատվածներից յուրաքանչյուրի երկարությունները հավասար են Δx-ի:
Սա GeoGebra դինամիկ գծագիր է:
Կարմիր տարրերը կարող են փոխվել
Բրինձ. 1. Որոշակի ինտեգրալի հասկացություն
Յուրաքանչյուր հատվածի վրա մենք կկառուցենք f(x k-1) բարձրությամբ ուղղանկյուններ (նկ. 1):
Յուրաքանչյուր այդպիսի ուղղանկյան մակերեսը հավասար է S k = f(x k-1)Δx k:
Բոլոր նման ուղղանկյունների մակերեսը կազմում է 
.
Այս գումարը կոչվում է ինտեգրալ գումար f(x) ֆունկցիայի համար:
Եթե n→∞, ապա այս կերպ կառուցված գործչի մակերեսը գնալով ավելի քիչ կտարբերվի տարածքից. կորագիծ trapezoid.
Սահմանում. Ամբողջական գումարի սահմանը, երբ կանչվում է n→∞ որոշակի ինտեգրալ, և գրված է այսպես. 
.
կարդում է. «ինտեգրալ a-ից b f xdx-ից»
a թիվը կոչվում է ինտեգրման ստորին սահման, b-ն ինտեգրման վերին սահման է, հատվածը [a; b] ինտեգրման միջակայքն է:
Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները
Նյուտոն-Լայբնից բանաձև
Որոշակի ինտեգրալը սերտորեն կապված է հակաածանցյալի և անորոշ ինտեգրալի հետ Նյուտոն-Լայբնից բանաձև
.
Օգտագործելով ինտեգրալը
Ինտեգրալ հաշվարկը լայնորեն կիրառվում է տարբեր գործնական խնդիրներ լուծելու համար։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:
Մարմինների ծավալների հաշվարկ
|
Թող տրվի ֆունկցիա, որը սահմանում է մարմնի խաչմերուկի տարածքը՝ կախված որոշ փոփոխականներից՝ S = s(x), x[а; բ] . Այնուհետեւ տվյալ մարմնի ծավալը կարելի է գտնել՝ ինտեգրելով այս ֆունկցիան համապատասխան սահմաններում։ |
|
| Եթե մեզ տրվի մարմին, որը ստացվում է f(x) ինչ-որ ֆունկցիայով սահմանափակված կորագիծ տրապեզի Ox առանցքի շուրջ պտտվելուց, x [a; բ] . (նկ. 3): Այդ հրապարակը խաչմերուկներկարելի է հաշվարկել S = π f 2 (x) հայտնի բանաձևով: Հետեւաբար, հեղափոխության նման մարմնի ծավալի բանաձեւը |
|
Դաս և ներկայացում «Հակաածանցյալ ֆունկցիա. Ֆունկցիայի գրաֆիկ» թեմայով.
Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։
Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Հանրահաշվական խնդիրներ պարամետրերով, 9–11 դասարաններ
«Տիեզերքում կառուցելու ինտերակտիվ առաջադրանքներ 10-րդ և 11-րդ դասարանների համար»
պարզունակ գործառույթ: Ներածություն
Տղերք, դուք կարող եք գտնել ֆունկցիաների ածանցյալներ՝ օգտագործելով տարբեր բանաձևեր և կանոններ։ Այսօր մենք կուսումնասիրենք ածանցյալի հաշվարկի հակադարձ գործողությունը: Ածանցյալ հասկացությունը հաճախ օգտագործվում է իրական կյանք. Հիշեցնեմ. ածանցյալը որոշակի կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է: Շարժման և արագության հետ կապված գործընթացները լավ նկարագրված են այս տերմիններով:Դիտարկենք հետևյալ առաջադրանքը՝ «Ուղիղ գծով օբյեկտի շարժման արագությունը նկարագրվում է $V=gt$ բանաձևով, անհրաժեշտ է վերականգնել շարժման օրենքը։
Լուծում.
Մենք լավ գիտենք բանաձևը՝ $S"=v(t)$, որտեղ S-ը շարժման օրենքն է:
Մեր խնդիրը կրճատվում է $S=S(t)$ ֆունկցիայի գտնելով, որի ածանցյալը հավասար է $gt$-ի։ Ուշադիր նայելով՝ կարող եք կռահել, որ $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$։
Ստուգենք այս խնդրի լուծման ճիշտությունը՝ $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$։
Իմանալով ֆունկցիայի ածանցյալը՝ մենք գտանք հենց ֆունկցիան, այսինքն՝ կատարեցինք հակադարձ գործողությունը։
Բայց արժե ուշադրություն դարձնել այս պահի վրա. Մեր խնդրի լուծումը պահանջում է պարզաբանում, եթե գտնված ֆունկցիային ավելացվի որևէ թիվ (հաստատուն), ապա ածանցյալի արժեքը չի փոխվի՝ $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+։ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Տղերք, ուշադրություն դարձրեք. մեր խնդիրը անսահման թվով լուծումներ ունի։
Եթե խնդիրը չունի նախնական կամ որևէ այլ պայման, մի մոռացեք լուծմանը ավելացնել հաստատուն: Օրինակ, մեր առաջադրանքում կարող է սահմանվել մեր մարմնի դիրքը շարժման հենց սկզբում։ Այնուհետև դժվար չէ հաշվարկել հաստատունը՝ զրոյին փոխարինելով ստացված հավասարման մեջ, ստանում ենք հաստատունի արժեքը։
Ինչպե՞ս է կոչվում նման վիրահատությունը:
Տարբերակման հակադարձ գործողությունը կոչվում է ինտեգրացիա:
Տրված ածանցյալով ֆունկցիա գտնելը՝ ինտեգրում:
Ֆունկցիան ինքնին կկոչվի հակաածանցյալ, այսինքն՝ պատկեր, որից ստացվել է ֆունկցիայի ածանցյալը։
Հակածանցյալը սովորաբար գրվում է $y=F"(x)=f(x)$ մեծատառով։
Սահմանում. $y=F(x)$ ֆունկցիան կոչվում է $y=f(x)$ հակաածանցյալ ֆունկցիա X միջակայքում, եթե $F’(x)=f(x)$-ը ճշմարիտ է ցանկացած $xϵX$-ի համար:
Եկեք կազմենք հակաածանցյալների աղյուսակ տարբեր գործառույթների համար: Այն պետք է տպել որպես հիշեցում և անգիր անել:
Մեր աղյուսակում նախնական պայմաններ չեն նշվել։ Սա նշանակում է, որ աղյուսակի աջ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր արտահայտությանը պետք է մի հաստատուն ավելացվի: Մենք ավելի ուշ կհստակեցնենք այս կանոնը:
Հակածանցյալներ գտնելու կանոններ
Եկեք գրենք որոշ կանոններ, որոնք մեզ կօգնեն գտնել հակաածանցյալներ: Դրանք բոլորը նման են տարբերակման կանոններին։Կանոն 1 Գումարի հակաածանցյալը հավասար է հակաածանցյալների գումարին։ $F(x+y)=F(x)+F(y)$:
Օրինակ.
Գտե՛ք $y=4x^3+cos(x)$ ֆունկցիայի հակաածանցյալը։
Լուծում.
Գումարի հակաածանցյալը հավասար է հակաածանցյալների գումարին, ապա պետք է գտնել հակաածանցյալը ներկայացված ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի համար։
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը կլինի՝ $y=x^4+sin(x)$ կամ $y=x^4+sin(x)+C$ ձևի որևէ ֆունկցիա։
Կանոն 2 Եթե $F(x)$-ը $f(x)$-ի հակաածանցյալ է, ապա $k*F(x)$-ը $k*f(x)$-ի հակաածանցյալ է:(Մենք կարող ենք ապահով կերպով հանել գործակիցը ֆունկցիայից)։
Օրինակ.
Գտեք ֆունկցիաների հակաածանցյալները.
ա) $y=8sin(x)$.
բ) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
գ) $y=(3x)^2+4x+5$։
Լուծում.
ա) $sin(x)$-ի հակաածանցյալը մինուս $cos(x)$ է: Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը կստանա $y=-8cos(x)$:
Բ) $cos(x)$-ի հակաածանցյալը $sin(x)$ է: Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը կստանա $y=-\frac(2)(3)sin(x)$:
Գ) $x^2$-ի հակաածանցյալը $\frac(x^3)(3)$ է: x-ի հակաածանցյալը $\frac(x^2)(2)$ է: 1-ի հակաածանցյալը x է: Այնուհետև սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը կունենա հետևյալ ձևը՝ $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
Կանոն 3 Եթե $y=F(x)$-ը $y=f(x)$ ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա $y=f(kx+m)$ ֆունկցիայի հակաածանցյալը $y=\frac(1) ֆունկցիան է։ )(k)* F(kx+m)$.
Օրինակ.
Գտե՛ք հետևյալ ֆունկցիաների հակաածանցյալները.
ա) $y=cos(7x)$.
բ) $y=sin(\frac(x)(2))$.
գ) $y=(-2x+3)^3$.
դ) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$:
Լուծում.
ա) $cos(x)$-ի հակաածանցյալը $sin(x)$ է: Այնուհետև $y=cos(7x)$ ֆունկցիայի հակաածանցյալը կլինի $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$:
Բ) $sin(x)$-ի հակաածանցյալը մինուս $cos(x)$ է: Այնուհետև $y=sin(\frac(x)(2))$ ֆունկցիայի հակաածանցյալը $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) ֆունկցիան է: (2) )=-2cos(\frac(x)(2))$:
Գ) $x^3$-ի հակաածանցյալը $\frac(x^4)(4)$ է, ապա սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը $y=-\frac(1)(2)*\frac((( -2x+3) ^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$:
Դ) Մենք փոքր-ինչ պարզեցնում ենք արտահայտությունը $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ հզորությամբ:
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակաածանցյալը ինքնին էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է։ Սկզբնական ֆունկցիայի հակաածանցյալը կլինի $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Թեորեմ. Եթե $y=F(x)$-ը X միջակայքի $y=f(x)$ ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա $y=f(x)$ ֆունկցիան ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, և դրանք բոլորն ունեն իրենց ձևը. $y=F( x)+C$.
Եթե վերը դիտարկված բոլոր օրինակներում կպահանջվեր գտնել բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը, ապա ամենուր պետք է ավելացնել C հաստատունը։
$y=cos(7x)$ ֆունկցիայի համար բոլոր հակաածանցյալներն ունեն $y=\frac(sin(7x))(7)+C$:
$y=(-2x+3)^3$ ֆունկցիայի համար բոլոր հակաածանցյալներն ունեն $y=-\frac((-2x+3))^4)(8)+C$:
Օրինակ.
Մարմնի արագության փոփոխության տրված օրենքի համաձայն $v=-3sin(4t)$ ժամանակից գտե՛ք շարժման օրենքը $S=S(t)$, եթե ժամանակի սկզբնական պահին մարմինն ուներ 1,75-ի հավասար կոորդինատ։
Լուծում.
Քանի որ $v=S'(t)$, մենք պետք է գտնենք տրված արագության հակաածանցյալը:
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$:
Այս առաջադրանքում տրված է լրացուցիչ պայման- ժամանակի սկզբնական պահը. Սա նշանակում է, որ $t=0$:
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$:
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$:
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$:
$C=1$.
Այնուհետև շարժման օրենքը նկարագրվում է բանաձևով՝ $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$։
Անկախ լուծման առաջադրանքներ
1. Գտեք ֆունկցիաների հակաածանցյալները.ա) $y=-10sin(x)$.
բ) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
գ) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$։
2. Գտե՛ք հետևյալ ֆունկցիաների հակաածանցյալները.
ա) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
բ) $y=sin(8x)$.
գ) $y=((7x+4))^4$.
դ) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$:
3. Մարմնի արագության փոփոխության տվյալ օրենքի համաձայն $v=4cos(6t)$ ժամանակից գտե՛ք շարժման օրենքը $S=S(t)$, եթե ժամանակի սկզբնական պահին մարմինն ուներ 2-ի հավասար կոորդինատ. .
Գոյություն ունեն հակաածանցյալ ֆունկցիաներ գտնելու երեք հիմնական կանոն. Նրանք շատ նման են համապատասխան տարբերակման կանոններին։
Կանոն 1
Եթե F-ը հակաածանցյալ է f ֆունկցիայի համար, իսկ G-ն հակաածանցյալ է g ֆունկցիայի համար, ապա F + G-ն հակաածանցյալ կլինի f + g-ի համար:
Ըստ հակաածանցյալի սահմանման F' = f. G' = g. Եվ քանի որ այս պայմանները բավարարված են, ուրեմն, ըստ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնի, կունենանք.
(F + G)' = F' + G' = f + g:
Կանոն 2
Եթե F-ը հակաածանցյալ է որոշ ֆունկցիայի համար, իսկ k-ն որոշ հաստատուն է: Այնուհետև k*F-ը k*f ֆունկցիայի հակաածանցյալն է: Այս կանոնը բխում է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի հաշվարկման կանոնից։
Մենք ունենք՝ (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Կանոն 3
Եթե F(x)-ը f(x-ի հակաածանցյալն է), իսկ k-ն և b-ը որոշ հաստատուններ են, իսկ k-ն զրոյից դուրս է, ապա (1/k)*F*(k*x+b)-ը կլինի հակաածանցյալը: f (k*x+b):
Այս կանոնը բխում է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի հաշվարկման կանոնից.
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b):
Դիտարկենք մի քանի օրինակ, թե ինչպես են կիրառվում այս կանոնները.
Օրինակ 1. Գտե՛ք հակաածանցյալների ընդհանուր ձևը f(x) = x^3 +1/x^2 ֆունկցիայի համար: x^3 ֆունկցիայի համար հակաածանցյալներից մեկը կլինի (x^4)/4 ֆունկցիան, իսկ 1/x^2 ֆունկցիայի համար հակաածանցյալներից մեկը կլինի -1/x ֆունկցիան։ Օգտագործելով առաջին կանոնը, մենք ունենք.
F(x) = x^4/4 - 1/x +C:
Օրինակ 2. Գտնենք f(x) = 5*cos(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալների ընդհանուր ձևը։ cos(x) ֆունկցիայի համար հակաածանցյալներից մեկը կլինի sin(x) ֆունկցիան։ Եթե հիմա օգտագործենք երկրորդ կանոնը, կունենանք.
F (x) = 5 * sin (x):
Օրինակ 3Գտե՛ք y = sin(3*x-2) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկը: Sin(x) ֆունկցիայի համար հակաածանցյալներից մեկը կլինի -cos(x) ֆունկցիան։ Եթե մենք հիմա օգտագործում ենք երրորդ կանոնը, մենք ստանում ենք հակաածանցյալի արտահայտություն.
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Օրինակ 4. Գտե՛ք f(x) = 1/(7-3*x)^5 ֆունկցիայի հակաածանցյալը
1/x^5 ֆունկցիայի հակաածանցյալը կլինի (-1/(4*x^4) ֆունկցիան։ Այժմ, օգտագործելով երրորդ կանոնը, մենք ստանում ենք.
Նախկինում մենք տրված գործառույթը, առաջնորդվելով տարբեր բանաձեւերով ու կանոններով, գտավ դրա ածանցյալը։ Ածանցյալն ունի բազմաթիվ կիրառություններ. դա շարժման արագությունն է (կամ, ընդհանուր առմամբ, ցանկացած գործընթացի արագություն); ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքություն; օգտագործելով ածանցյալը, կարող եք ուսումնասիրել գործառույթը միապաղաղության և ծայրահեղության համար. Այն օգնում է լուծել օպտիմալացման խնդիրները:
Բայց շարժման հայտնի օրենքի համաձայն արագությունը գտնելու խնդրի հետ մեկտեղ կա նաև հակադարձ խնդիր՝ ըստ շարժման օրենքի վերականգնման խնդիր. հայտնի արագություն. Դիտարկենք այս խնդիրներից մեկը.
Օրինակ 1Նյութական կետը շարժվում է ուղիղ գծով, t պահին նրա շարժման արագությունը տրվում է v=gt բանաձևով։ Գտեք շարժման օրենքը:
Լուծում. Թող s = s(t) լինի շարժման ցանկալի օրենքը: Հայտնի է, որ s"(t) = v(t): Այսպիսով, խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել s = s(t) ֆունկցիա, որի ածանցյալը հավասար է gt-ի: Հեշտ է կռահել, որ \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Իրոք
\(s"(t) = \ձախ(\frac(gt^2)(2) \աջ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Պատասխան՝ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Անմիջապես նշում ենք, որ օրինակը լուծված է ճիշտ, բայց թերի։ Մենք ստացանք \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \): Փաստորեն, խնդիրն ունի անսահման բազմաթիվ լուծումներ. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \ ձևի ցանկացած ֆունկցիա, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է, կարող է ծառայել որպես օրենք: շարժում, քանի որ \(\ ձախ (\frac(gt^2)(2) +C \աջ)" = gt \)
Խնդիրն ավելի կոնկրետացնելու համար մենք պետք է շտկենք սկզբնական իրավիճակը. նշենք շարժվող կետի կոորդինատը ժամանակի ինչ-որ կետում, օրինակ՝ t = 0-ում: Եթե, ասենք, s(0) = s 0, ապա սկսած s(t) = (gt 2)/2 + C հավասարությունը ստանում ենք՝ s(0) = 0 + C, այսինքն՝ C = s 0: Այժմ շարժման օրենքը եզակիորեն սահմանված է՝ s(t) = (gt 2)/2 + s 0 :
Մաթեմատիկայում փոխադարձ հակադարձ գործողություններին տրվում են տարբեր անուններ, դրանք հանդես են գալիս հատուկ նշումներով, օրինակ՝ քառակուսի (x 2) և հանում քառակուսի արմատ(\(\sqrt(x) \)), սինուս (sin x) և arcsine (arcsin x) և այլն: Տրված ֆունկցիայի նկատմամբ ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է. տարբերակումև հակադարձ գործողությունը, այսինքն՝ տվյալ ածանցյալով ֆունկցիա գտնելու գործընթացը, - ինտեգրում.
«Ածանցյալ» տերմինն ինքնին կարող է հիմնավորվել «աշխարհիկ ձևով». y ֆունկցիան f (x) «աշխարհ է արտադրում» նոր ֆունկցիա y» \u003d f» (x): y \u003d f (x) ֆունկցիան գործում է որպես «ծնող», բայց մաթեմատիկոսները, իհարկե, այն չեն անվանում «ծնող» կամ «արտադրող», նրանք ասում են, որ դա y ֆունկցիայի հետ կապված է: = f" (x) , հիմնական պատկերը կամ հակաածանցյալը:
Սահմանում. y = F(x) ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ y = f(x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում, եթե \(x \in X \) բավարարում է F"(x) = f(x) հավասարությունը:
Գործնականում X միջակայքը սովորաբար չի նշվում, այլ ենթադրվում է (որպես ֆունկցիայի բնական տիրույթ):
Բերենք օրինակներ.
1) y \u003d x 2 ֆունկցիան հակաածանցյալ է y \u003d 2x ֆունկցիայի համար, քանի որ ցանկացած x-ի համար հավասարությունը (x 2) «\u003d 2x ճիշտ է
2) y \u003d x 3 ֆունկցիան հակաածանցյալ է y \u003d 3x 2 ֆունկցիայի համար, քանի որ ցանկացած x-ի համար հավասարությունը (x 3)" \u003d 3x 2 ճիշտ է
3) y \u003d sin (x) ֆունկցիան հակաածանցյալ է y \u003d cos (x) ֆունկցիայի համար, քանի որ ցանկացած x-ի համար հավասարությունը (sin (x)) «= cos (x) ճիշտ է։
Հակածանցյալներ, ինչպես նաև ածանցյալներ գտնելիս օգտագործվում են ոչ միայն բանաձևեր, այլ նաև որոշ կանոններ։ Դրանք ուղղակիորեն կապված են ածանցյալների հաշվարկման համապատասխան կանոնների հետ։
Մենք գիտենք, որ գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին։ Այս կանոնը առաջացնում է հակաածանցյալներ գտնելու համապատասխան կանոն:
Կանոն 1Գումարի հակաածանցյալը հավասար է հակաածանցյալների գումարին։
Մենք գիտենք, որ հաստատուն գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Այս կանոնը առաջացնում է հակաածանցյալներ գտնելու համապատասխան կանոն:
Կանոն 2Եթե F(x)-ը f(x-ի հակաածանցյալն է), ապա kF(x)-ը kf(x-ի հակաածանցյալն է):
Թեորեմ 1.Եթե y = F(x) y = f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա y = f(kx + m) ֆունկցիայի հակաածանցյալը \(y=\frac(1)(k)F ֆունկցիան է: (kx+m) \)
Թեորեմ 2.Եթե y = F(x)-ը հակաածանցյալ է y = f(x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում, ապա y = f(x) ֆունկցիան ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, և նրանք բոլորն ունեն y = F(x) ձև: + Գ.
Ինտեգրման մեթոդներ
Փոփոխական փոխարինման մեթոդ (փոխարինման մեթոդ)
Փոխարինման ինտեգրման մեթոդը բաղկացած է նոր ինտեգրացիոն փոփոխականի (այսինքն՝ փոխարինման) ներդրումից։ Տվյալ դեպքում տրված ինտեգրալը վերածվում է նոր ինտեգրալիի, որը աղյուսակային է կամ նրան կրճատելի։ Ընդհանուր մեթոդներփոխարինման ընտրություն գոյություն չունի: Փոխարինումը ճիշտ որոշելու ունակությունը ձեռք է բերվում պրակտիկայի միջոցով:
Թող պահանջվի հաշվարկել \(\textstyle \int F(x)dx \ ինտեգրալը։ Կատարենք \(x= \varphi(t) \) փոխարինում, որտեղ \(\varphi(t) \) ֆունկցիան է, որն ունի շարունակական ածանցյալ։
Այնուհետև \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) և ելնելով անորոշ ինտեգրալ ինտեգրման բանաձևի ինվարիանտության հատկությունից, մենք ստանում ենք փոխարինման ինտեգրման բանաձևը.
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Արտահայտությունների ինտեգրում, ինչպիսիք են \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Եթե m-ը կենտ է, m > 0, ապա ավելի հարմար է փոխարինումը կատարել sin x = t:
Եթե n-ը կենտ է, n > 0, ապա ավելի հարմար է փոխարինումը կատարել cos x = t:
Եթե n-ը և m-ը զույգ են, ապա ավելի հարմար է կատարել tg x = t փոխարինումը։
Ինտեգրում ըստ մասերի
Ինտեգրում ըստ մասերի - կիրառելով ինտեգրման հետևյալ բանաձևը.
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
կամ:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Որոշ ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալների (հակածանցյալների) աղյուսակ
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$Մենք տեսանք, որ ածանցյալն ունի բազմաթիվ կիրառություններ. ածանցյալը շարժման արագությունն է (կամ, ավելի ընդհանուր առմամբ, ցանկացած գործընթացի արագություն); ածանցյալը ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունն է. օգտագործելով ածանցյալը, կարող եք ուսումնասիրել գործառույթը միապաղաղության և ծայրահեղության համար. Ածանցյալն օգնում է լուծել օպտիմալացման խնդիրները:
Բայց իրական կյանքում դուք պետք է որոշեք հակադարձ խնդիրներՕրինակ՝ շարժման հայտնի օրենքից արագությունը գտնելու խնդրի հետ մեկտեղ կա նաև հայտնի արագությունից շարժման օրենքը վերականգնելու խնդիրը։ Դիտարկենք այս խնդիրներից մեկը.
Օրինակ 1Նյութական կետը շարժվում է ուղիղ գծով, t ժամանակի շարժման արագությունը տրվում է u = tg բանաձևով։ Գտեք շարժման օրենքը:
Լուծում.Թող s = s(t) լինի շարժման ցանկալի օրենքը: Հայտնի է, որ s"(t) = u"(t): Այնպես որ, խնդիրը լուծելու համար պետք է ընտրություն կատարել ֆունկցիան s = s(t), որի ածանցյալը հավասար է tg-ի: Դա հեշտ է կռահել
Անմիջապես նշում ենք, որ օրինակը լուծված է ճիշտ, բայց թերի։ Մենք ստացել ենք, որ իրականում խնդիրն ունի անսահման բազմաթիվ լուծումներ՝ ձևի ցանկացած ֆունկցիա 
կամայական հաստատուն, կարող է ծառայել որպես շարժման օրենք, քանի որ
Առաջադրանքն ավելի կոնկրետացնելու համար պետք է շտկել սկզբնական իրավիճակը՝ նշել շարժվող կետի կոորդինատը ժամանակի ինչ-որ կետում, օրինակ՝ t=0-ում։ Եթե, ասենք, s (0) \u003d s 0, ապա հավասարությունից մենք ստանում ենք s (0) \u003d 0 + C, այսինքն S 0 \u003d C: Այժմ շարժման օրենքը եզակիորեն սահմանվում է.
Մաթեմատիկայում փոխադարձ հակադարձ գործողություններին տրվում են տարբեր անուններ, հորինվում են հատուկ նշումներ. օրինակ՝ քառակուսի (x 2) և քառակուսի արմատի սինուսի դուրսբերում (sinx) և arcsine(arcsin x) և այլն: Տվյալ ֆունկցիայի նկատմամբ ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակում, իսկ հակադարձ գործողությունը, այսինքն. տվյալ ածանցյալով ֆունկցիա գտնելու գործընթացը՝ ինտեգրման միջոցով:
«Ածանցյալ» տերմինն ինքնին կարող է արդարացվել «աշխարհիկ ձևով». y - f (x) ֆունկցիան «աշխարհ է արտադրում» նոր ֆունկցիա y «= f» (x) y ֆունկցիան f (x) հանդես է գալիս որպես «ծնող», բայց մաթեմատիկոսները, իհարկե, այն չեն անվանում «ծնող» կամ «արտադրող», նրանք ասում են, որ դա y «=f» (x) ֆունկցիայի հետ կապված առաջնային պատկերն է։ , կամ, կարճ ասած, հակաածանցյալը։
Սահմանում 1. y \u003d F (x) ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ y \u003d f (x) ֆունկցիայի համար տվյալ X միջակայքում, եթե X-ից բոլոր x-երի համար F "(x) \u003d f (x) հավասարությունը ճիշտ է: .
Գործնականում X միջակայքը սովորաբար չի նշվում, այլ ենթադրվում է (որպես ֆունկցիայի բնական տիրույթ):
Ահա մի քանի օրինակներ.
1) y \u003d x 2 ֆունկցիան հակաածանցյալ է y \u003d 2x ֆունկցիայի համար, քանի որ բոլոր x-ի համար հավասարությունը (x 2) «\u003d 2x-ը ճիշտ է:
2) y - x 3 ֆունկցիան հակաածանցյալ է y-3x 2 ֆունկցիայի համար, քանի որ բոլոր x-ի համար հավասարությունը (x 3)" \u003d 3x 2 ճիշտ է:
3) y-sinx ֆունկցիան հակաածանցյալ է y=cosx ֆունկցիայի համար, քանի որ x բոլորի համար հավասարությունը (sinx) «=cosx ճիշտ է։
4) Ֆունկցիան հակաածանցյալ է միջակայքում գործող ֆունկցիայի համար, քանի որ բոլոր x > 0-ի համար հավասարությունը ճշմարիտ է
Ընդհանրապես, իմանալով ածանցյալներ գտնելու բանաձևերը, դժվար չէ հակաածանցյալներ գտնելու բանաձևերի աղյուսակ կազմել։
Հուսով ենք հասկանում եք, թե ինչպես է կազմվում այս աղյուսակը. երկրորդ սյունակում գրված ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է առաջին սյունակի համապատասխան տողում գրված ֆունկցիային (դիտեք, մի ծույլեք, դա շատ օգտակար). Օրինակ, y \u003d x 5 ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը, ինչպես դուք հաստատում եք, ֆունկցիան է (տես աղյուսակի չորրորդ տողը):
Նշումներ: 1. Ստորև մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եթե y = F(x) հակաածանցյալ է y = f(x) ֆունկցիայի համար, ապա y = f(x) ֆունկցիան ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, և նրանք բոլորն ունեն y = F ձև: (x ) + C. Հետևաբար, ավելի ճիշտ կլինի աղյուսակի երկրորդ սյունակում ամենուր ավելացնել C տերմինը, որտեղ C-ն կամայական իրական թիվ է։
2. Հակիրճ լինելու համար երբեմն «y = F(x) ֆունկցիան y = f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է» արտահայտության փոխարեն ասում են՝ F(x) հակաածանցյալն է f(x): «.
2. Հակածանցյալներ գտնելու կանոններ
Հակածանցյալներ փնտրելիս, ինչպես նաև ածանցյալներ փնտրելիս օգտագործվում են ոչ միայն բանաձևեր (դրանք թվարկված են էջ 196-ի աղյուսակում), այլ նաև որոշ կանոններ։ Դրանք ուղղակիորեն կապված են ածանցյալների հաշվարկման համապատասխան կանոնների հետ։
Մենք գիտենք, որ գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին։ Այս կանոնը առաջացնում է հակաածանցյալներ գտնելու համապատասխան կանոն:
Կանոն 1Գումարի հակաածանցյալը հավասար է հակաածանցյալների գումարին։
Ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այս ձեւակերպման որոշ «թեթեւության» վրա։ Փաստորեն, անհրաժեշտ կլինի ձևակերպել թեորեմ. եթե y = f(x) և y=g(x) ֆունկցիաները ունեն հակաածանցյալներ համապատասխանաբար X, y-F(x) և y-G(x) միջակայքում, ապա գումարը. y = f(x) + g(x) ֆունկցիաներից ունի հակաածանցյալ X միջակայքի վրա, և այս հակաածանցյալը y = F(x) + G(x) ֆունկցիան է: Բայց սովորաբար կանոններ (և ոչ թեորեմներ) ձևակերպելիս միայն հեռանում ես հիմնաբառեր- ուրեմն ավելի հարմար է կանոնը կիրառել գործնականում
Օրինակ 2Գտե՛ք y = 2x + cos x ֆունկցիայի հակաածանցյալը:
Լուծում. 2x-ի հակաածանցյալը x է, cosx-ի հակաածանցյալը sin x-ն է: Հետևաբար, y \u003d 2x + cos x ֆունկցիայի հակաածանցյալը կլինի y \u003d x 2 + sin x ֆունկցիան (և ընդհանրապես ֆունկցիայի ցանկացած ֆունկցիա ձև Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Մենք գիտենք, որ հաստատուն գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Այս կանոնը առաջացնում է հակաածանցյալներ գտնելու համապատասխան կանոն:
Կանոն 2Մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել հակաածանցյալ նշանից։
Օրինակ 3
Լուծում.ա) sin x-ի հակաածանցյալը -cos x է; հետևաբար, y \u003d 5 sin x ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը կլինի y \u003d -5 cos x ֆունկցիան։
բ) cos x-ի հակաածանցյալը sin x է. հետևաբար, հակաածանցյալ ֆունկցիայի համար կլինի ֆունկցիա
գ) x 3-ի հակաածանցյալը x-ի հակաածանցյալն է, y \u003d 1 ֆունկցիայի հակաածանցյալը y \u003d x է: Օգտագործելով հակաածանցյալներ գտնելու առաջին և երկրորդ կանոնները, մենք ստանում ենք, որ y \u003d 12x 3 + 8x-1 ֆունկցիայի հակաածանցյալը ֆունկցիան է
Մեկնաբանություն.Ինչպես գիտեք, արտադրանքի ածանցյալը հավասար չէ ածանցյալների արտադրյալին (արտադրանքի տարբերակման կանոնն ավելի բարդ է), իսկ գործակցի ածանցյալը հավասար չէ ածանցյալների գործակցին։ Հետևաբար, արտադրանքի հակաածանցյալը կամ երկու ֆունկցիայի գործակիցի հակաածանցյալը գտնելու կանոններ չկան։ Զգույշ եղիր!
Մենք ստանում ենք ևս մեկ կանոն հակաածանցյալներ գտնելու համար: Մենք գիտենք, որ y \u003d f ֆունկցիայի ածանցյալը (kx + m) հաշվարկվում է բանաձևով.
Այս կանոնը առաջացնում է հակաածանցյալներ գտնելու համապատասխան կանոն:
Կանոն 3Եթե y \u003d F (x) y \u003d f (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա y \u003d f (kx + m) ֆունկցիայի հակաածանցյալը ֆունկցիան է։
Իսկապես,
Սա նշանակում է, որ այն հակաածանցյալ է y \u003d f ֆունկցիայի համար (kx + m):
Երրորդ կանոնի իմաստը հետևյալն է. Եթե գիտեք, որ y \u003d f (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալը y \u003d F (x) ֆունկցիան է, ա. պետք է գտնել. հակաածանցյալ ֆունկցիա y \u003d f (x + m), այնուհետև անցեք հետևյալ կերպ. վերցրեք նույն F ֆունկցիան, բայց x արգումենտի փոխարեն փոխարինեք x + m արտահայտությունը; Բացի այդ, մի մոռացեք գրել «ուղղիչ գործոնը» գործառույթի նշանից առաջ
Օրինակ 4Գտեք հակաածանցյալներ տրված գործառույթների համար.
Լուծում, ա) sin x-ի հակաածանցյալը -cos x է; սա նշանակում է, որ y \u003d sin2x ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը կլինի ֆունկցիան
բ) cos x-ի հակաածանցյալը sin x է. հետևաբար, հակաածանցյալ ֆունկցիայի համար կլինի ֆունկցիա
գ) x 7-ի հակաածանցյալը, հետևաբար, y \u003d (4-5x) 7 ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը կլինի ֆունկցիան
3. Անորոշ ինտեգրալ
Վերևում արդեն նշել ենք, որ տրված y = f(x) ֆունկցիայի համար հակաածանցյալ գտնելու խնդիրը մեկից ավելի լուծումներ ունի։ Եկեք քննարկենք այս հարցը ավելի մանրամասն:
Ապացույց. 1. Թող y \u003d F (x) լինի y \u003d f (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալը X միջակայքում: Սա նշանակում է, որ բոլոր x-ի համար X-ի հավասարությունը x "(x) \u003d f (x) հավասար է ճիշտ է: Գտեք y \u003d F (x) + C ձևի ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը.
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x):
Այսպիսով, (F(x)+C) = f(x): Սա նշանակում է, որ y \u003d F (x) + C-ն հակաածանցյալ է y \u003d f (x) ֆունկցիայի համար:
Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ եթե y \u003d f (x) ֆունկցիան ունի հակաածանցյալ y \u003d F (x), ապա ֆունկցիան (f \u003d f (x) ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, օրինակ՝ ցանկացած ֆունկցիա։ y \u003d F (x) +C ձևը հակաածանցյալ է:
2. Այժմ փաստենք, որ հակաածանցյալների ամբողջությունը սպառված է նշված տեսակի ֆունկցիաներով։
Թող y=F 1 (x) և y=F(x) երկու հակաածանցյալ լինեն Y = f(x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում: Սա նշանակում է, որ X միջակայքի բոլոր x-երի համար գործում են հետևյալ հարաբերությունները. F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x):
Դիտարկենք y \u003d F 1 (x) -.F (x) ֆունկցիան և գտե՛ք դրա ածանցյալը՝ (F, (x) -F (x)) «\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0:
Հայտնի է, որ եթե X միջակայքում ֆունկցիայի ածանցյալը նույնականորեն հավասար է զրոյի, ապա ֆունկցիան հաստատուն է X միջակայքի վրա (տես 3-րդ թեորեմը § 35-ում): Հետևաբար, F 1 (x) -F (x) \u003d C, այսինքն. Fx) \u003d F (x) + C.
Թեորեմն ապացուցված է.
Օրինակ 5Սահմանված է v = -5sin2t ժամանակից արագության փոփոխության օրենքը։ Գտե՛ք s = s(t) շարժման օրենքը, եթե հայտնի է, որ t=0 պահին կետի կոորդինատը հավասար է եղել 1,5 թվին (այսինքն՝ s(t) = 1,5)։
Լուծում.Քանի որ արագությունը կոորդինատի ածանցյալն է՝ որպես ժամանակի ֆունկցիա, մենք նախ պետք է գտնենք արագության հակաածանցյալը, այսինքն. հակաածանցյալ v = -5sin2t ֆունկցիայի համար: Այդպիսի հակաածանցյալներից մեկը ֆունկցիան է, և բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը ունի հետևյալ ձևը.
C հաստատունի կոնկրետ արժեքը գտնելու համար օգտագործում ենք սկզբնական պայմանները, ըստ որոնց՝ s(0) = 1.5։ (1) բանաձևում փոխարինելով t=0, S = 1.5 արժեքները՝ ստանում ենք.
Գտնված C արժեքը փոխարինելով (1) բանաձևով, մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող շարժման օրենքը.
Սահմանում 2.Եթե y = f(x) ֆունկցիան X միջակայքում ունի y = F(x) հակաածանցյալ, ապա բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը, այսինքն. y \u003d F (x) + C ձևի ֆունկցիաների բազմությունը կոչվում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ և նշվում.
(կարդացեք. անորոշ ինտեգրալ ef x de x-ից»):
Հաջորդ բաժնում մենք կիմանանք, թե որն է այս նշումի թաքնված իմաստը:
Այս պարբերության մեջ առկա հակաածանցյալների աղյուսակի հիման վրա մենք կկազմենք հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ.
Հակածանցյալներ գտնելու վերը նշված երեք կանոնների հիման վրա մենք կարող ենք ձևակերպել համապատասխան ինտեգրման կանոնները։
Կանոն 1Ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ հավասար է գումարինայս գործառույթների ինտեգրալները.
Կանոն 2Մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել ինտեգրալ նշանից.
Կանոն 3Եթե
Օրինակ 6Գտեք անորոշ ինտեգրալներ.
Լուծում, ա) Օգտագործելով առաջին և երկրորդ ինտեգրման կանոնները, մենք ստանում ենք.
Այժմ մենք օգտագործում ենք 3-րդ և 4-րդ ինտեգրման բանաձևերը.
Արդյունքում մենք ստանում ենք.
բ) Օգտագործելով երրորդ ինտեգրման կանոնը և 8-րդ բանաձևը, մենք ստանում ենք.
գ) Տվյալ ինտեգրալի անմիջական որոշման համար չունենք ոչ համապատասխան բանաձեւ, ոչ էլ համապատասխան կանոն. Նման դեպքերում երբեմն օգնում են ինտեգրալ նշանի տակ պարունակվող արտահայտության նախնական նույնական փոխակերպումները։
Եկեք օգտագործենք եռանկյունաչափական բանաձևիջեցում:
Այնուհետև հաջորդաբար գտնում ենք.
Ա.Գ. Մորդկովիչի հանրահաշիվ 10-րդ դասարան
Օրացույց-թեմատիկ պլանավորում մաթեմատիկայում, տեսանյութմաթեմատիկայի առցանց , Մաթեմատիկա դպրոցում
