Logaritmet e Provimit të Unifikuar të Shtetit niveli bazë. Çfarë është një logaritëm? Zgjidhja e logaritmeve. Shembuj. Vetitë e logaritmeve
Në këtë video tutorial do të shikojmë zgjidhjen e një ekuacioni logaritmik mjaft serioz, në të cilin jo vetëm që duhet të gjeni rrënjët, por edhe të zgjidhni ato që shtrihen në një segment të caktuar.
Problemi C1. Zgjidhe ekuacionin. Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit.
Një shënim rreth ekuacioneve logaritmike
Sidoqoftë, nga viti në vit më vijnë studentë të cilët po përpiqen të zgjidhin probleme të tilla, sinqerisht, ekuacione të vështira, por në të njëjtën kohë ata nuk mund të kuptojnë: ku duhet të fillojnë dhe si t'u qasen logaritmeve? Ky problem mund të lindë edhe te nxënësit e fortë dhe të përgatitur mirë.
Si rezultat, shumë fillojnë të kenë frikë nga kjo temë, apo edhe ta konsiderojnë veten budallenj. Pra, mbani mend: nëse nuk mund ta zgjidhni një ekuacion të tillë, kjo nuk do të thotë aspak se jeni budalla. Sepse, për shembull, ju mund ta trajtoni këtë ekuacion pothuajse verbalisht:
log 2 x = 4
Dhe nëse nuk është kështu, ju nuk do ta lexoni këtë tekst tani, sepse ishit të zënë me detyra më të thjeshta dhe më të zakonshme. Sigurisht, dikush tani do të kundërshtojë: "Çfarë lidhje ka ky ekuacion më i thjeshtë me strukturën tonë të shëndetshme?" Unë përgjigjem: çdo ekuacion logaritmik, pa marrë parasysh sa kompleks mund të jetë, në fund të fundit zbret në këto struktura më të thjeshta që mund të zgjidhen me gojë.
Sigurisht, duhet të kalojmë nga ekuacionet logaritmike komplekse në ato më të thjeshta jo përmes përzgjedhjes ose kërcimit me një dajre, por sipas rregullave të qarta, të përcaktuara gjatë, të cilat quhen - rregullat për konvertimin e shprehjeve logaritmike. Duke i ditur ato, mund të përballeni lehtësisht edhe me ekuacionet më të sofistikuara në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.
Dhe janë këto rregulla për të cilat do të flasim në mësimin e sotëm. Shkoni!
Zgjidhja e ekuacionit logaritmik në problemin C1
Pra, ne zgjidhim ekuacionin:
Para së gjithash, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike, ne kujtojmë taktikat bazë - si të thuash, rregullin bazë për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Ai përbëhet nga sa vijon:
Teorema e formës kanonike. Çdo ekuacion logaritmik, pavarësisht se çfarë përfshin, pavarësisht se çfarë logaritmesh, çfarëdo baze dhe çfarëdo që përmban, duhet të reduktohet domosdoshmërisht në një ekuacion të formës:
log a f (x) = log a g (x)
Nëse shikojmë ekuacionin tonë, vëmë re menjëherë dy probleme:
- Në të majtë kemi shuma e dy numrave, njëra prej të cilave nuk është aspak logaritëm.
- Në të djathtë ka mjaft logaritëm, por në bazën e tij ka një rrënjë. Dhe logaritmi në të majtë është thjesht 2, d.m.th. Bazat e logaritmeve majtas dhe djathtas janë të ndryshme.
Pra, ne kemi dalë me këtë listë të problemeve që ndajnë ekuacionin tonë nga ai. ekuacioni kanonik, në të cilin çdo ekuacion logaritmik duhet të reduktohet gjatë procesit të zgjidhjes. Kështu, zgjidhja e ekuacionit tonë në këtë fazë zbret në eliminimin e dy problemeve të përshkruara më sipër.
Çdo ekuacion logaritmik mund të zgjidhet shpejt dhe lehtë nëse e reduktoni në formën e tij kanonike.
Shuma e logaritmeve dhe logaritmit të produktit
Le të vazhdojmë me radhë. Së pari, le të shohim strukturën në të majtë. Çfarë mund të themi për shumën e dy logaritmeve? Le të kujtojmë formulën e mrekullueshme:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Por ia vlen të merret parasysh se në rastin tonë termi i parë nuk është aspak një logaritëm. Kjo do të thotë që ne duhet ta paraqesim njësinë si logaritëm në bazën 2 (pikërisht 2, sepse logaritmi në bazën 2 është në të majtë). Si ta bëjmë atë? Le të kujtojmë përsëri formulën e mrekullueshme:
a = log b b a
Këtu duhet të kuptoni: kur themi "Çdo bazë b", nënkuptojmë se b ende nuk mund të jetë një numër arbitrar. Nëse fusim një numër në një logaritëm, i sigurt kufizimet, domethënë: baza e logaritmit duhet të jetë më e madhe se 0 dhe nuk duhet të jetë e barabartë me 1. Përndryshe, logaritmi thjesht nuk ka kuptim. Le ta shkruajmë këtë:
0 < b ≠ 1
Le të shohim se çfarë ndodh në rastin tonë:
1 = log 2 2 1 = regjistër 2 2
Tani le të rishkruajmë të gjithë ekuacionin tonë duke marrë parasysh këtë fakt. Dhe ne zbatojmë menjëherë një rregull tjetër: shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit të argumenteve. Si rezultat marrim:
Kemi një ekuacion të ri. Siç e shohim, tashmë është shumë më afër ekuacionit kanonik për të cilin ne përpiqemi. Por ka një problem, ne e shkruajmë atë si pikën e dytë: logaritmet tona, të cilat janë majtas dhe djathtas, arsye të ndryshme . Le të kalojmë në hapin tjetër.
Rregullat për zbritjen e fuqive nga logaritmi
Pra, logaritmi në të majtë ka një bazë prej vetëm 2, dhe logaritmi në të djathtë ka një rrënjë në bazë. Por ky nuk është problem nëse kujtojmë se bazat e argumenteve të logaritmit mund të ngrihen në fuqi. Le të shkruajmë një nga këto rregulla:
log a b n = n log a b
Përkthyer në gjuhën njerëzore: mund të hiqni fuqinë nga baza e logaritmit dhe ta vendosni përpara si shumëzues. Numri n "migroi" nga logaritmi jashtë dhe u bë një koeficient përpara.
Po aq lehtë mund ta nxjerrim fuqinë nga baza e logaritmit. Do të duket kështu:
Me fjalë të tjera, nëse e hiqni shkallën nga argumenti i logaritmit, edhe kjo shkallë shkruhet si faktor para logaritmit, por jo si numër, por si numër reciprok 1/k.
Megjithatë, kjo nuk është e gjitha! Ne mund të kombinojmë këto dy formula dhe të dalim me formulën e mëposhtme:
Kur një fuqi shfaqet si në bazën ashtu edhe në argumentin e një logaritmi, ne mund të kursejmë kohë dhe të thjeshtojmë llogaritjet duke hequr menjëherë fuqitë nga baza dhe argumenti. Në këtë rast, ajo që ishte në argument (në rastin tonë, ky është koeficienti n) do të shfaqet në numërues. Dhe sa ishte shkalla në bazë, një k, do të shkojë te emëruesi.
Dhe janë këto formula që ne tani do të përdorim për të reduktuar logaritmet tona në të njëjtën bazë.
Fillimisht, le të zgjedhim një bazë pak a shumë të bukur. Natyrisht, është shumë më e këndshme të punosh me një dy në bazë sesa me një rrënjë. Pra, le të përpiqemi ta reduktojmë logaritmin e dytë në bazën 2. Le ta shkruajmë këtë logaritëm veçmas:
Çfarë mund të bëjmë këtu? Le të kujtojmë formulën e fuqisë me një eksponent racional. Me fjalë të tjera, ne mund t'i shkruajmë rrënjët si një fuqi me një eksponent racional. Dhe pastaj marrim fuqinë e 1/2 nga argumenti dhe baza e logaritmit. Zvogëlojmë dyshe në koeficientët në numëruesin dhe emëruesin përballë logaritmit:
Së fundi, le të rishkruajmë ekuacionin origjinal duke marrë parasysh koeficientët e rinj:
regjistri 2 2(9x 2 + 5) = regjistri 2 (8x 4 + 14)
Ne kemi marrë ekuacionin logaritmik kanonik. Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë kemi një logaritëm në të njëjtën bazë 2. Përveç këtyre logaritmeve, nuk ka koeficientë, as terma as në të majtë as në të djathtë.
Rrjedhimisht, ne mund të heqim qafe shenjën e logaritmit. Sigurisht, duke marrë parasysh fushën e përkufizimit. Por përpara se ta bëjmë këtë, le të kthehemi dhe të bëjmë një sqarim të vogël për thyesat.
Pjestimi i një thyese me një thyesë: Konsiderata shtesë
Jo të gjithë nxënësit e kuptojnë se nga vijnë dhe ku shkojnë faktorët përballë logaritmit të duhur. Le ta shkruajmë përsëri:
Le të kuptojmë se çfarë është një thyesë. Le të shkruajmë:
Tani le të kujtojmë rregullin për pjesëtimin e thyesave: për të pjesëtuar me 1/2 duhet të shumëzoni me thyesën e përmbysur:
Sigurisht, për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme, ne mund të shkruajmë dy si 2/1 - dhe kjo është ajo që vërejmë si koeficienti i dytë në procesin e zgjidhjes.
Shpresoj se tani të gjithë e kuptojnë se nga vjen koeficienti i dytë, kështu që le të kalojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e ekuacionit tonë kanonik logaritmik.
Heqja e shenjës së logaritmit
Më lejoni t'ju kujtoj se tani ne mund të heqim qafe logaritmet dhe të lëmë shprehjen e mëposhtme:
2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Le të hapim kllapat në të majtë. Ne marrim:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Le të lëvizim gjithçka nga ana e majtë në të djathtë:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Le të sjellim të ngjashme dhe të marrim:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me 2 për të thjeshtuar koeficientët dhe marrim:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Para nesh është e zakonshme ekuacioni bikuadratik, dhe rrënjët e tij llogariten lehtësisht përmes diskriminuesit. Pra, le të shkruajmë diskriminuesin:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
E shkëlqyeshme, diskriminuesi është "i bukur", rrënja e tij është 7. Kjo është ajo, le t'i numërojmë X-të vetë. Por në këtë rast, rrënjët nuk do të jenë x, por x 2, sepse kemi një ekuacion bikuadratik. Pra, opsionet tona:
Ju lutemi vini re: ne kemi nxjerrë rrënjët, kështu që do të ketë dy përgjigje, sepse... katror - madje funksion. Dhe nëse shkruajmë vetëm rrënjën e dy, atëherë thjesht do të humbasim rrënjën e dytë.
Tani shkruajmë rrënjën e dytë të ekuacionit tonë bikuadratik:
Përsëri, nxjerrim aritmetikën Rrenja katrore nga të dyja anët e ekuacionit tonë marrim dy rrënjë. Megjithatë, mbani mend:
Nuk mjafton thjesht të barazojmë argumentet e logaritmeve në formë kanonike. Mos harroni fushën e përkufizimit!
Në total morëm katër rrënjë. Të gjitha ato janë me të vërtetë zgjidhje për ekuacionin tonë origjinal. Hidhini një sy: në ekuacionin tonë origjinal logaritmik, logaritmet janë ose 9x 2 + 5 (ky funksion është gjithmonë pozitiv) ose 8x 4 + 14 - që është gjithashtu gjithmonë pozitiv. Prandaj, domeni i përkufizimit të logaritmeve është i kënaqur në çdo rast, pavarësisht se çfarë rrënjë marrim, që do të thotë se të katër rrënjët janë zgjidhje për ekuacionin tonë.
E shkëlqyeshme, tani le të kalojmë në pjesën e dytë të problemit.
Zgjedhja e rrënjëve të një ekuacioni logaritmik në një segment
Nga katër rrënjët tona ne zgjedhim ato që shtrihen në segmentin [−1; 8/9]. Ne kthehemi në rrënjët tona dhe tani do të bëjmë përzgjedhjen e tyre. Për të filluar, unë sugjeroj të vizatoni boshti koordinativ dhe shënoni skajet e segmentit mbi të:
Të dyja pikat do të jenë me hije. Ato. Sipas kushteve të problemit na intereson segmenti me hije. Tani le të shohim rrënjët.
Rrënjët irracionale
Le të fillojmë me rrënjët irracionale. Vini re se 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Nga kjo rrjedh se rrënja e dy nuk bie në segmentin me interes për ne. Në mënyrë të ngjashme, ne do të marrim me rrënjë negative: është më pak se −1, d.m.th. shtrihet në të majtë të segmentit me interes për ne.
Rrënjët racionale
Kanë mbetur dy rrënjë: x = 1/2 dhe x = -1/2. Le të vërejmë se skaji i majtë i segmentit (−1) është negativ, dhe skaji i djathtë (8/9) është pozitiv. Prandaj, diku midis këtyre skajeve qëndron numri 0. Rrënja x = -1/2 do të jetë ndërmjet −1 dhe 0, d.m.th. do të përfundojë në përgjigjen përfundimtare. Të njëjtën gjë bëjmë edhe me rrënjën x = 1/2. Kjo rrënjë shtrihet gjithashtu në segmentin në shqyrtim.
Mund të siguroheni që 8/9 të jetë më e madhe se 1/2. Le t'i zbresim këta numra nga njëri-tjetri:
Morëm thyesën 7/18 > 0, që sipas përkufizimit do të thotë se 8/9 > 1/2.
Le të shënojmë rrënjët e duhura në boshtin koordinativ:
Përgjigja përfundimtare do të jetë dy rrënjë: 1/2 dhe −1/2.
Krahasimi i numrave irracionalë: një algoritëm universal
Si përfundim, dëshiroj t'i kthehem edhe një herë numrave irracionalë. Duke përdorur shembullin e tyre, tani do të shikojmë se si të krahasojmë sasitë racionale dhe irracionale në matematikë. Për të filluar, ekziston një shenjë e tillë midis tyre V - një shenjë "më shumë" ose "më pak", por ne ende nuk e dimë se në cilin drejtim është drejtuar. Le të shkruajmë:
Pse kemi nevojë për ndonjë algoritëm krahasimi? Fakti është se në këtë problem ne ishim shumë me fat: në procesin e zgjidhjes së numrit ndarës 1 u ngrit, për të cilin mund të themi patjetër:
Sidoqoftë, jo gjithmonë do ta shihni një numër të tillë menjëherë. Pra, le të përpiqemi të krahasojmë numrat tanë kokë më kokë, drejtpërdrejt.
Si është bërë? Ne bëjmë të njëjtën gjë si me pabarazitë e zakonshme:
- Së pari, nëse do të kishim koeficientë negativë diku, do t'i shumëzonim të dyja anët e pabarazisë me -1. Sigurisht duke ndryshuar shenjën. Kjo shenjë V do të ndryshonte në këtë - Λ.
- Por në rastin tonë, të dyja palët janë tashmë pozitive, kështu që nuk ka nevojë të ndryshohet asgjë. Ajo që vërtet nevojitet është katrore të dyja anët për të hequr qafe radikalin.
Nëse, kur krahasoni numrat irracionalë, nuk është e mundur të zgjidhni menjëherë elementin ndarës, unë rekomandoj kryerjen e një krahasimi të tillë "përballë" - duke e përshkruar atë si një pabarazi të zakonshme.
Kur e zgjidh atë, ajo zyrtarizohet si kjo:
Tani është e lehtë të krahasosh. Çështja është se 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Kjo është e gjitha, ne kemi marrë prova strikte që të gjithë numrat janë shënuar në rreshtin numerik x saktë dhe saktësisht në sekuencën në të cilën duhet të jenë në të vërtetë. Askush nuk do ta gjejë fajin me këtë zgjidhje, kështu që mbani mend: nëse nuk e shihni menjëherë numrin pjestues (në rastin tonë është 1), atëherë mos ngurroni të shkruani ndërtimin e mësipërm, shumëzoni, katrorë - dhe në fund do merrni një pabarazi të bukur. Nga kjo pabarazi do të jetë e qartë se cili numër është më i madh dhe cili është më i vogël.
Duke iu rikthyer problemit tonë, do të doja të tërhiqja edhe një herë vëmendjen tuaj për atë që bëmë që në fillim kur zgjidhëm ekuacionin tonë. Gjegjësisht: ne hodhëm një vështrim nga afër ekuacionin tonë logaritmik origjinal dhe u përpoqëm ta reduktojmë atë në kanonike ekuacioni logaritmik. Aty ku ka vetëm logaritme majtas dhe djathtas - pa terma shtesë, koeficientë përpara etj. Nuk na duhen dy logaritme të bazuara në a ose b, por një logaritëm i barabartë me një logaritëm tjetër.
Përveç kësaj, bazat e logaritmeve gjithashtu duhet të jenë të barabarta. Për më tepër, nëse ekuacioni është përpiluar saktë, atëherë me ndihmën e shndërrimeve elementare logaritmike (shuma e logaritmeve, shndërrimi i një numri në logaritëm, etj.) Ne do ta reduktojmë këtë ekuacion në atë kanonik.
Prandaj, tani e tutje, kur shihni një ekuacion logaritmik që nuk mund të zgjidhet menjëherë, nuk duhet të humbni ose të përpiqeni të kuptoni përgjigjen. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të ndiqni këto hapa:
- Konvertoni të gjithë elementët e lirë në një logaritëm;
- Pastaj shtoni këto logaritme;
- Në konstruksionin që rezulton, zvogëloni të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë.
Si rezultat, do të merrni një ekuacion të thjeshtë që mund të zgjidhet duke përdorur mjete elementare algjebër nga materialet e klasës 8-9. Në përgjithësi, shkoni në faqen time të internetit, praktikoni zgjidhjen e logaritmeve, zgjidhni ekuacione logaritmike si unë, zgjidhni ato më mirë se unë. Dhe kjo është e gjitha për mua. Pavel Berdov ishte me ju. Shihemi perseri!
Çfarë është një logaritëm?
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Çfarë është një logaritëm? Si të zgjidhni logaritmet? Këto pyetje ngatërrojnë shumë maturantë. Tradicionalisht, tema e logaritmeve konsiderohet komplekse, e pakuptueshme dhe e frikshme. Sidomos ekuacionet me logaritme.
Kjo nuk është absolutisht e vërtetë. Absolutisht! Nuk më besoni? Mirë. Tani, në vetëm 10-20 minuta ju:
1. Kuptoni çfarë është një logaritëm.
2. Mësoni të zgjidhni një klasë të tërë ekuacionesh eksponenciale. Edhe nëse nuk keni dëgjuar asgjë për ta.
3. Mësoni të llogaritni logaritme të thjeshta.
Për më tepër, për këtë do t'ju duhet vetëm të dini tabelën e shumëzimit dhe si të ngrini një numër në një fuqi ...
Më duket se keni dyshime... Epo, mirë, shënoni kohën! Shkoni!
Së pari, zgjidhni këtë ekuacion në kokën tuaj:
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Shprehje logaritmike, zgjidhje shembujsh. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet që lidhen me zgjidhjen e logaritmeve. Detyrat shtrojnë pyetjen e gjetjes së kuptimit të një shprehjeje. Duhet të theksohet se koncepti i logaritmit përdoret në shumë detyra dhe kuptimi i kuptimit të tij është jashtëzakonisht i rëndësishëm. Sa i përket Provimit të Unifikuar të Shtetit, logaritmi përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve, në problemet e aplikuara, si dhe në detyrat që lidhen me studimin e funksioneve.
Le të japim shembuj për të kuptuar vetë kuptimin e logaritmit:
Identiteti bazë logaritmik:
Vetitë e logaritmeve që duhen mbajtur mend gjithmonë:
*Logaritmi i produktit e barabartë me shumën logaritmet e faktorëve.
* * *
*Logaritmi i një herësi (fraksioni) është i barabartë me diferencën ndërmjet logaritmeve të faktorëve.
* * *
*Logaritmi i një eksponenti është i barabartë me prodhimin e eksponentit dhe logaritmit të bazës së tij.
* * *
*Tranzicioni në një themel të ri
* * *
Më shumë prona:
* * *
Llogaritja e logaritmeve është e lidhur ngushtë me përdorimin e vetive të eksponentëve.
Le të rendisim disa prej tyre:
Thelbi i kësaj vetie është se kur numëruesi transferohet në emërues dhe anasjelltas, shenja e eksponentit ndryshon në të kundërtën. Për shembull:
Një përfundim nga kjo pronë:
* * *
Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza mbetet e njëjtë, por eksponentët shumëzohen.
* * *
Siç e keni parë, vetë koncepti i një logaritmi është i thjeshtë. Gjëja kryesore është ajo që nevojitet praktikë e mirë, e cila jep një aftësi të caktuar. Sigurisht që kërkohet njohja e formulave. Nëse aftësia në konvertimin e logaritmeve elementare nuk është zhvilluar, atëherë kur zgjidhni detyra të thjeshta, lehtë mund të bëni një gabim.
Praktikoni, zgjidhni fillimisht shembujt më të thjeshtë nga kursi i matematikës dhe më pas kaloni në ato më komplekse. Në të ardhmen, do të tregoj patjetër se sa logaritme "të shëmtuara" nuk do të shfaqen në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por janë me interes, mos i humbisni!
Kjo eshte e gjitha! Paç fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku duhet të thjeshtoni shumëzimin e rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.
Përkufizimi në matematikë
Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, d.m.th., logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th., çdo pozitiv) "b" në bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia "c. " tek e cila është e nevojshme të ngrihet baza "a" në mënyrë që të merret përfundimisht vlera "b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.
Llojet e logaritmeve
Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Janë tre specie individuale shprehjet logaritmike:
- Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
- Dhjetor a, ku baza është 10.
- Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.
Secila prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm të vetëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.
Rregulla dhe disa kufizime
Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe gjithashtu është e pamundur të nxjerrësh një rrënjë të barabartë numrat negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:
- Baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero dhe jo e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
- nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.
Si të zgjidhni logaritmet?
Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.
Tani le ta paraqesim këtë shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.
Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:
Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, për vlera më të mëdha do t'ju duhet një tavolinë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë asgjë për tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!
Ekuacionet dhe pabarazitë
Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si barazi logaritmike. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do të shikojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve më poshtë, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.
Jepet një shprehje e formës së mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është pabarazia logaritmike, meqenëse vlera e panjohur "x" është nën shenjën e logaritmit. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.
Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (shembull - logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë përgjigje specifike vlerat numerike, ndërsa gjatë zgjidhjes së pabarazive përkufizohen si rajon vlerat e pranueshme, dhe pikat e ndërprerjes së këtij funksioni. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.
Teorema themelore rreth logaritmeve
Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë, le të shohim më në detaje secilën veçori.
- Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
- Logaritmi i produktit mund të paraqitet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast parakushtështë: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
- Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema në formën e një formule merr pamje tjetër: log a q b n = n/q log a b.
Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo i ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.
Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;
por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.
Shembuj problemesh dhe pabarazish
Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me probleme dhe janë gjithashtu pjesë e detyrueshme e provimeve të matematikës. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar provimet pranuese në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.
Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose të çojë në pamjen e përgjithshme. Thjeshtoni ato të gjata shprehjet logaritmikeështë e mundur nëse i përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.
Kur zgjidhim ekuacione logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.
Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për zgjidhjet e logaritmeve natyrore, duhet të aplikoni identitetet logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.
Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje
Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.
- Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyrat ku është e nevojshme të zgjerohet rëndësi të madhe numrat b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.
Detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit
Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Në mënyrë tipike, këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohuri të sakta dhe të përsosura të temës “Logaritmet natyrore”.
Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.
Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.
- Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
- Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur paraqisni një aplikim në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në gjyq, dhe/ose në bazë të kërkesave apo kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
