Zgjidhja e një shembulli me thyesa në internet me hapa. ODZ. Gama e vlerave të pranueshme
Ekuacionet që përmbajnë një ndryshore në emërues mund të zgjidhen në dy mënyra:
Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët
Duke përdorur vetinë bazë të proporcionit
Pavarësisht nga metoda e zgjedhur, pas gjetjes së rrënjëve të ekuacionit, është e nevojshme të zgjidhni nga vlerat e vlefshme të gjetura, domethënë ato që nuk e kthejnë emëruesin në $0$.
1 mënyrë. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
Shembulli 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Zgjidhja:
1. Le të transferojmë thyesën nga ana e djathtë e ekuacionit në të majtë
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Për ta bërë këtë saktë, mbani mend se kur lëvizni elementët në një pjesë tjetër të ekuacionit, shenja përpara shprehjeve ndryshon në të kundërtën. Kjo do të thotë se nëse do të kishte një shenjë "+" përpara fraksionit në anën e djathtë, atëherë do të ketë një shenjë "-" përpara saj në anën e majtë. Pastaj në anën e majtë marrim ndryshimin e thyesat.
2. Tani vini re se thyesat kanë emërues të ndryshëm, që do të thotë se për të bërë ndryshimin është e nevojshme që thyesat të sillen në një emërues të përbashkët. Emëruesi i përbashkët do të jetë prodhimi i polinomeve në emëruesit e thyesave origjinale: $(2x-1)(x+3)$
Për të marrë një shprehje identike, numëruesi dhe emëruesi i fraksionit të parë duhet të shumëzohen me polinomin $(x+3)$, dhe i dyti me polinomin $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Le të bëjmë një transformim në numëruesin e thyesës së parë - të shumëzojmë polinomet. Le të kujtojmë se për këtë është e nevojshme të shumëzojmë termin e parë të polinomit të parë me çdo anëtar të polinomit të dytë, pastaj të shumëzojmë termin e dytë të polinomit të parë me secilin term të polinomit të dytë dhe të shtojmë rezultatet.
\[\majtas(2x+3\djathtas)\majtas(x+3\djathtas)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Le të japim terma të ngjashëm në shprehjen që rezulton
\[\majtas(2x+3\djathtas)\majtas(x+3\djathtas)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Le të bëjmë një transformim të ngjashëm në numëruesin e thyesës së dytë - shumëzojmë polinomet
$\left(x-5\djathtas)\left(2x-1\djathtas)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$
Atëherë ekuacioni do të marrë formën:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Tani thyesat kanë të njëjtin emërues, që do të thotë se ju mund të zbrisni. Kujtoni që kur zbritni thyesat me emërues të njëjtë nga numëruesi i thyesës së parë, duhet të zbrisni numëruesin e thyesës së dytë, duke e lënë emëruesin të njëjtë.
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Le ta shndërrojmë shprehjen në numërues. Për të hapur kllapat që paraprihen nga një shenjë "-", duhet të ndryshoni të gjitha shenjat përpara termave në kllapa në të kundërtën.
\[(2x)^2+9x+9-\majtas((2x)^2-11x+5\djathtas)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Le të paraqesim terma të ngjashëm
$(2x)^2+9x+9-\majtas((2x)^2-11x+5\djathtas)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Atëherë thyesa do të marrë formën
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Një thyesë është e barabartë me $0$ nëse numëruesi i saj është 0. Prandaj, ne e barazojmë numëruesin e thyesës me $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Le të zgjidhim ekuacionin linear:
4. Le të marrim shembull rrënjët. Kjo do të thotë se është e nevojshme të kontrollohet nëse emëruesit e thyesave origjinale kthehen në $0$ kur gjenden rrënjët.
Le të vendosim kushtin që emëruesit të mos jenë të barabartë me $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Kjo do të thotë që të gjitha vlerat e variablave janë të pranueshme, përveç $-3$ dhe $0,5$.
Rrënja që gjetëm është një vlerë e pranueshme, që do të thotë se mund të konsiderohet me siguri rrënja e ekuacionit. Nëse rrënja e gjetur nuk do të ishte një vlerë e vlefshme, atëherë një rrënjë e tillë do të ishte e jashtme dhe, natyrisht, nuk do të përfshihej në përgjigje.
Përgjigje:$-0,2.$
Tani mund të krijojmë një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni që përmban një ndryshore në emërues
Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni që përmban një ndryshore në emërues
Zhvendosni të gjithë elementët nga ana e djathtë e ekuacionit në të majtë. Për të marrë një ekuacion identik, është e nevojshme të ndryshohen të gjitha shenjat përpara shprehjeve në anën e djathtë në të kundërtën.
Nëse në anën e majtë marrim një shprehje me emërues të ndryshëm, pastaj i sjellim në një vlerë të përbashkët duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Kryeni transformime duke përdorur transformimet e identitetit dhe merrni një fraksion përfundimtar të barabartë me $0.
Barazoni numëruesin me $0$ dhe gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton.
Le të marrim shembull rrënjët, d.m.th. gjeni vlera të vlefshme të variablave që nuk e bëjnë emëruesin $0$.
Metoda 2. Ne përdorim vetinë bazë të proporcionit
Vetia kryesore e proporcionit është se produkti i termave ekstremë të proporcionit është i barabartë me produktin e termave të mesëm.
Shembulli 2
Ne e përdorim këtë pronë për të zgjidhur këtë detyrë
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Le të gjejmë dhe të barazojmë prodhimin e termave të skajshëm dhe të mesëm të proporcionit.
$\majtas(2x+3\djathtas)\cdot(\ x+3)=\majtas(x-5\djathtas)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Pasi të kemi zgjidhur ekuacionin që rezulton, do të gjejmë rrënjët e origjinalit
2. Le të gjejmë vlerat e pranueshme të ndryshores.
Nga zgjidhja e mëparshme (metoda 1) kemi gjetur tashmë se çdo vlerë është e pranueshme përveç $-3$ dhe $0,5$.
Pastaj, pasi konstatuam se rrënja e gjetur është një vlerë e vlefshme, zbuluam se $-0.2$ do të jetë rrënja.
Veprimet me thyesa. Në këtë artikull do të shikojmë shembuj, gjithçka në detaje me shpjegime. Ne do të shqyrtojmë thyesat e zakonshme. Do t'i shikojmë numrat dhjetorë më vonë. Unë rekomandoj ta shikoni të gjithë dhe ta studioni atë në mënyrë sekuenciale.
1. Shuma e thyesave, dallimi i thyesave.
Rregulli: kur mblidhni thyesa me emërues të barabartë, rezultati është një thyesë - emëruesi i së cilës mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i tij do të jetë e barabartë me shumën numëruesit e thyesave.
Rregulla: kur njehsohet diferenca e thyesave me emërues të njëjtë marrim një thyesë - emëruesi mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i të dytit zbritet nga numëruesi i fraksionit të parë.
Shënimi zyrtar për shumën dhe ndryshimin e thyesave me emërues të barabartë:
Shembuj (1):
Është e qartë se kur jepen thyesat e zakonshme, atëherë gjithçka është e thjeshtë, por çfarë nëse ato përzihen? Asgjë e komplikuar...
Opsioni 1– mund t’i shndërroni në të zakonshme dhe më pas t’i llogaritni.
Opsioni 2– mund të “punoni” veçmas me pjesët e plota dhe thyesore.
Shembuj (2):
Më shumë:
Dhe nëse diferenca e dy është dhënë thyesat e përziera dhe numëruesi i thyesës së parë do të jetë më i vogël se numëruesi i të dytës? Ju gjithashtu mund të veproni në dy mënyra.
Shembuj (3):
*Konvertuar në thyesa të zakonshme, llogaritur diferencën, konvertoi thyesën e papërshtatshme që rezulton në një fraksion të përzier.
*E ndamë atë në pjesë të plota dhe të pjesshme, morëm një tre, më pas paraqitëm 3 si shumën e 2 dhe 1, me një të përfaqësuar si 11/11, më pas gjetëm ndryshimin midis 11/11 dhe 7/11 dhe llogaritëm rezultatin . Kuptimi i shndërrimeve të mësipërme është të marrim (zgjedhim) një njësi dhe ta paraqesim në formë thyese me emëruesin që na nevojitet, pastaj mund të zbresim një tjetër nga kjo thyesë.
Një shembull tjetër:
Përfundim: ekziston një qasje universale - për të llogaritur shumën (diferencën) e thyesave të përziera me emërues të barabartë, ato gjithmonë mund të shndërrohen në ato të pahijshme, pastaj të kryhen veprimin e kërkuar. Pas kësaj, nëse rezultati është një fraksion jo i duhur, ne e kthejmë atë në një fraksion të përzier.
Më sipër shikuam shembuj me thyesa që kanë emërues të barabartë. Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Në këtë rast, thyesat reduktohen në të njëjtin emërues dhe kryhet veprimi i specifikuar. Për të ndryshuar (transformuar) një thyesë përdoret vetia bazë e thyesës.
Le të shohim shembuj të thjeshtë:
Në këta shembuj, ne shohim menjëherë se si një nga thyesat mund të transformohet për të marrë emërues të barabartë.
Nëse përcaktojmë mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues, atëherë do ta quajmë këtë METODA E PARË.
Kjo do të thotë, menjëherë kur "vlerësoni" një fraksion, duhet të kuptoni nëse kjo qasje do të funksionojë - ne kontrollojmë nëse emëruesi më i madh është i pjesëtueshëm me atë më të vogël. Dhe nëse është i ndashëm, atëherë ne kryejmë transformimin - shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin në mënyrë që emëruesit e të dy thyesave të bëhen të barabartë.
Tani shikoni këta shembuj:
Kjo qasje nuk është e zbatueshme për ta. Ekzistojnë gjithashtu mënyra për t'i reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët;
Metoda e Dytë.
Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e të dytës, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me emëruesin e së parës:
*Në fakt, ne reduktojmë thyesat për të formuar kur emëruesit bëhen të barabartë. Më pas, ne përdorim rregullin për mbledhjen e thyesave me emërues të barabartë.
Shembull:
*Kjo metodë mund të quhet universale dhe funksionon gjithmonë. E vetmja negative është se pas llogaritjeve mund të përfundoni me një fraksion që do të duhet të zvogëlohet më tej.
Le të shohim një shembull:
Mund të shihet se numëruesi dhe emëruesi janë të pjesëtueshëm me 5:
Metoda e Tretë.
Ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve. Kjo është ajo që do të ndodhë emërues i përbashkët. Çfarë lloj numri është ky? Ky është numri më i vogël natyror që pjesëtohet me secilin nga numrat.
Shikoni, këtu janë dy numra: 3 dhe 4, ka shumë numra që pjesëtohen me ta - këta janë 12, 24, 36, ... Më i vogli prej tyre është 12. Ose 6 dhe 15, ata janë të pjesëtueshëm me 30, 60, 90 .... Më e pakta është 30. Pyetja është - si të përcaktohet ky shumëfish më pak i zakonshëm?
Ekziston një algoritëm i qartë, por shpesh kjo mund të bëhet menjëherë pa llogaritje. Për shembull, sipas shembujve të mësipërm (3 dhe 4, 6 dhe 15) nuk nevojitet asnjë algoritëm, morëm numra të mëdhenj (4 dhe 15), i dyfishuam dhe pamë se janë të pjesëtueshëm me numrin e dytë, por çiftet e numrave mund të të jenë të tjerët, për shembull 51 dhe 119.
Algoritmi. Për të përcaktuar shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave, duhet:
- zbërthejë çdo numër në faktorë të THJESHTË
— shkruani zbërthimin e MË TË MËDHIT prej tyre
- shumëzojeni atë me faktorët që Mungojnë të numrave të tjerë
Le të shohim shembuj:
50 dhe 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
në dekompozim më shumë mungon një pesë
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 dhe 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
në zgjerimin e një numri më të madh mungojnë dy dhe tre
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të thjeshtë është prodhimi i tyre
Pyetje! Pse është e dobishme gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, pasi mund të përdorni metodën e dytë dhe thjesht të zvogëloni fraksionin që rezulton? Po, është e mundur, por nuk është gjithmonë i përshtatshëm. Shikoni emëruesin për numrat 48 dhe 72 nëse thjesht i shumëzoni 48∙72 = 3456. Do të pajtoheni se është më e këndshme të punosh me numra më të vegjël.
Le të shohim shembuj:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
zgjerimit të një numri më të madh i mungon një trefish
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Tani le të përdorim metodën e parë:
*Shikoni ndryshimin në llogaritjet, në rastin e parë ka një minimum prej tyre, por në të dytën duhet të punoni veçmas në një copë letër, madje edhe fraksioni që keni marrë duhet të zvogëlohet. Gjetja e LOC thjeshton ndjeshëm punën.
Më shumë shembuj:
*Në shembullin e dytë është e qartë se numri më i vogël e cila pjesëtohet me 40 dhe 60 është e barabartë me 120.
REZULTATE! ALGORITMI I PËRGJITHSHËM INFORMACION!
— i zvogëlojmë thyesat në ato të zakonshme nëse ka një pjesë të plotë.
- I sjellim thyesat në një emërues të përbashkët (së pari shikojmë nëse një emërues është i pjesëtueshëm me një tjetër; nëse është i pjesëtueshëm, atëherë shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese tjetër; nëse nuk është i pjesëtueshëm, veprojmë duke përdorur metodat e tjera. treguar më sipër).
- Pasi kemi marrë thyesa me emërues të barabartë, kryejmë veprime (mbledhje, zbritje).
- nëse është e nevojshme, ne zvogëlojmë rezultatin.
- nëse është e nevojshme, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën.
2. Prodhimi i thyesave.
Rregulli është i thjeshtë. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen:
Shembuj:
Detyrë. Në bazë u sollën 13 tonë perime. Patatet përbëjnë ¾ e të gjitha perimeve të importuara. Sa kilogramë patate u sollën në bazë?
Le të përfundojmë me pjesën.
*Më parë kam premtuar t'ju jap një shpjegim zyrtar të vetive kryesore të një fraksioni përmes një produkti, ju lutem:
3. Ndarja e thyesave.
Pjesëtimi i thyesave zbret në shumëzimin e tyre. Është e rëndësishme të mbani mend këtu se thyesa që është pjesëtues (ajo me të cilën ndahet) kthehet dhe veprimi ndryshon në shumëzim:
Ky veprim mund të shkruhet në formën e një thyese të ashtuquajtur katërkatëshe, sepse vetë ndarja ":" mund të shkruhet edhe si thyesë:
Shembuj:
Kjo është e gjitha! Ju uroj fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
I përshtatshëm dhe i thjeshtë kalkulator në internet thyesat me zgjidhje të detajuara Ndoshta:
- Shtoni, zbritni, shumëzoni dhe pjesëtoni fraksionet në internet,
- Merrni zgjidhje e gatshme fraksionet me një foto dhe është i përshtatshëm për ta transferuar atë.
Rezultati i zgjidhjes së thyesave do të jetë këtu...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Shenja e thyesës "/" + - * :
_fshij Pastro
Llogaritësi ynë i fraksionit në internet ka hyrje të shpejtë. Për të zgjidhur thyesat, për shembull, thjesht shkruani 1/2+2/7
në kalkulator dhe shtypni " Zgjidh thyesat". Llogaritësi do t'ju shkruajë zgjidhje e detajuar thyesat dhe do të lëshojë një imazh i lehtë për t'u kopjuar.
Shenjat që përdoren për të shkruar në një makinë llogaritëse
Ju mund të shkruani një shembull për një zgjidhje ose nga tastiera ose duke përdorur butonat.
Karakteristikat e kalkulatorit të fraksioneve në internet
Llogaritësi i fraksioneve mund të kryejë veprime vetëm në 2 fraksione të thjeshta. Ato mund të jenë ose të sakta (numëruesi është më i vogël se emëruesi) ose të pasakta (numëruesi është më i madh se emëruesi). Numrat në numërues dhe emërues nuk mund të jenë negativ ose më të mëdhenj se 999.Llogaritësi ynë në internet zgjidh thyesat dhe u jep përgjigje lloji i duhur- zvogëlon thyesën dhe zgjedh të gjithë pjesën, nëse është e nevojshme.
Nëse keni nevojë të zgjidhni thyesat negative, thjesht përdorni vetitë e minusit. Gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit thyesat negative dy negative bëjnë një pohore. Kjo do të thotë, prodhimi dhe ndarja e thyesave negative është e barabartë me prodhimin dhe ndarjen e të njëjtave pozitive. Nëse një thyesë është negative gjatë shumëzimit ose pjesëtimit, atëherë thjesht hiqni minusin dhe shtoni atë në përgjigje. Kur shtoni thyesa negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur të kishit shtuar të njëjtat thyesa pozitive. Nëse shtoni një thyesë negative, atëherë kjo është njësoj si të zbritni të njëjtin pozitiv.
Kur zbriten thyesat negative, rezultati do të jetë i njëjtë sikur ato të ndërroheshin dhe të bëheshin pozitive. Kjo do të thotë, minus për minus në këtë rast jep një plus, por rirregullimi i kushteve nuk e ndryshon shumën. Ne përdorim të njëjtat rregulla kur zbresim thyesat, njëra prej të cilave është negative.
Për të zgjidhur thyesat e përziera (fraksionet në të cilat është e izoluar e gjithë pjesa), thjesht vendosni të gjithë pjesën në thyesë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni të gjithë pjesën me emëruesin dhe shtoni numëruesit.
Nëse ju duhet të zgjidhni 3 ose më shumë thyesa në internet, duhet t'i zgjidhni ato një nga një. Fillimisht numëroni 2 thyesat e para, më pas zgjidheni thyesën tjetër me përgjigjen që merrni, e kështu me radhë. Kryeni veprimet një nga një, 2 thyesa në të njëjtën kohë, dhe përfundimisht do të merrni përgjigjen e saktë.
Matematike-Llogaritësi-Online v.1.0
Llogaritësi kryen veprimet e mëposhtme: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, punë me dhjetore, nxjerrje rrënjë, fuqizim, llogaritje përqindjeje dhe veprime të tjera.
Zgjidhja:
Si të përdorni një kalkulator matematikor
| Çelësi | Emërtimi | Shpjegimi |
|---|---|---|
| 5 | numrat 0-9 | Numrat arabë. Futja e numrave të plotë natyrorë, zero. Për të marrë një numër të plotë negativ, duhet të shtypni tastin +/- |
| . | pikë (presje) | Ndarës për të treguar një thyesë dhjetore. Nëse nuk ka numër përpara pikës (presje), kalkulatori do të zëvendësojë automatikisht një zero para pikës. Për shembull: .5 - 0.5 do të shkruhet |
| + | shenjë plus | Shtimi i numrave (numra të plotë, dhjetorë) |
| - | shenjë minus | Zbritja e numrave (numra të plotë, dhjetorë) |
| ÷ | shenjë e ndarjes | Pjesëtimi i numrave (numra të plotë, dhjetorë) |
| X | shenjë shumëzimi | Shumëzimi i numrave (numra të plotë, dhjetorë) |
| √ | rrënjë | Nxjerrja e rrënjës së një numri. Kur shtypni përsëri butonin "rrënjë", rrënja llogaritet nga rezultati. Për shembull: rrënja e 16 = 4; rrënja e 4 = 2 |
| x 2 | katrore | Katrorja e një numri. Kur shtypni përsëri butonin "katror", rezultati është në katror Për shembull: katrori 2 = 4; katror 4 = 16 |
| 1/x | fraksion | Prodhimi në thyesa dhjetore. Numëruesi është 1, emëruesi është numri i futur |
| % | për qind | Marrja e përqindjes së një numri. Për të punuar, duhet të vendosni: numrin nga i cili do të llogaritet përqindja, shenjën (plus, minus, pjesëtoni, shumëzoni), sa përqind në formë numerike, butonin "%". |
| ( | kllapa e hapur | Një kllapa e hapur për të specifikuar prioritetin e llogaritjes. Kërkohet një kllapa e mbyllur. Shembull: (2+3)*2=10 |
| ) | kllapa e mbyllur | Një kllapa e mbyllur për të specifikuar prioritetin e llogaritjes. Kërkohet një kllapa e hapur |
| ± | plus minus | Shenja e kundërt |
| = | barazohet | Shfaq rezultatin e zgjidhjes. Gjithashtu sipër kalkulatorit, në fushën “Zgjidhja”, shfaqen llogaritjet e ndërmjetme dhe rezultati. |
| ← | fshirja e një karakteri | Heq karakterin e fundit |
| ME | rivendosur | Butoni i rivendosjes. Rivendos plotësisht kalkulatorin në pozicionin "0" |
Algoritmi i kalkulatorit në internet duke përdorur shembuj
Shtim.
Mbledhja e numrave të plotë numrat natyrorë { 5 + 7 = 12 }
Shtimi i të gjithë natyrore dhe numra negativ { 5 + (-2) = 3 }
Shtimi i thyesave dhjetore (0,3 + 5,2 = 5,5)
Zbritja.
Zbritja e numrave të plotë natyrorë ( 7 - 5 = 2 )
Zbritja e numrave të plotë natyrorë dhe negativë ( 5 - (-2) = 7 )
Zbritja e thyesave dhjetore ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Shumëzimi.
Produkti i numrave të plotë natyrorë (3 * 7 = 21)
Prodhimi i numrave të plotë natyrorë dhe negativë ( 5 * (-3) = -15 )
Prodhimi i thyesave dhjetore ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Divizioni.
Ndarja e numrave të plotë natyrorë (27 / 3 = 9)
Ndarja e numrave të plotë natyrorë dhe negativë (15 / (-3) = -5)
Ndarja e thyesave dhjetore (6,2 / 2 = 3,1)
Nxjerrja e rrënjës së një numri.
Nxjerrja e rrënjës së një numri të plotë (rrënja (9) = 3)
Nxjerrja e rrënjës nga dhjetore(rrënja (2.5) = 1.58)
Nxjerrja e rrënjës së një shume numrash (rrënja (56 + 25) = 9)
Nxjerrja e rrënjës së diferencës midis numrave (rrënja (32 – 7) = 5)
Katrorja e një numri.
Katrorja e një numri të plotë ( (3) 2 = 9 )
Katrorja e numrave dhjetorë ((2,2)2 = 4,84)
Shndërrimi në thyesa dhjetore.
Llogaritja e përqindjeve të një numri
Rrite numrin 230 me 15% (230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Zvogëloni numrin 510 me 35% (510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18% e numrit 140 është (140 * 0.18 = 25.2)
Deri më tani ne kemi zgjidhur vetëm ekuacione me numra të plotë në lidhje me të panjohurën, domethënë ekuacione në të cilat emëruesit (nëse ka) nuk përmbajnë të panjohurën.
Shpesh duhet të zgjidhni ekuacione që përmbajnë një të panjohur në emërues: ekuacione të tilla quhen ekuacione thyesore.
Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne i shumëzojmë të dyja anët me, pra, me polinomin që përmban të panjohurën. A do të jetë ekuacioni i ri ekuivalent me këtë? Për t'iu përgjigjur pyetjes, le të zgjidhim këtë ekuacion.
Duke shumëzuar të dyja anët me , marrim:
Duke zgjidhur këtë ekuacion të shkallës së parë, gjejmë:
Pra, ekuacioni (2) ka një rrënjë të vetme
Duke e zëvendësuar atë në ekuacionin (1), marrim:
Kjo do të thotë se është gjithashtu një rrënjë e ekuacionit (1).
Ekuacioni (1) nuk ka rrënjë të tjera. Në shembullin tonë, kjo mund të shihet, për shembull, nga fakti se në ekuacionin (1)
Se si pjesëtuesi i panjohur duhet të jetë i barabartë me dividentin 1 të pjesëtuar me herësin 2, domethënë
Pra, ekuacionet (1) dhe (2) kanë një rrënjë të vetme. Kjo do të thotë se ato janë ekuivalente.
2. Le të zgjidhim tani ekuacionin e mëposhtëm:
Emëruesi më i thjeshtë i përbashkët: ; shumëzojini të gjitha termat e ekuacionit me të:
Pas reduktimit marrim:
Le të zgjerojmë kllapat:
Duke sjellë terma të ngjashëm, ne kemi:
Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë:
Duke zëvendësuar ekuacionin (1), marrim:
Në anën e majtë kemi marrë shprehje që nuk kanë kuptim.
Kjo do të thotë se ekuacioni (1) nuk është rrënjë. Nga kjo rrjedh se ekuacionet (1) dhe nuk janë ekuivalente.
Në këtë rast, ata thonë se ekuacioni (1) ka marrë një rrënjë të jashtme.
Le të krahasojmë zgjidhjen e ekuacionit (1) me zgjidhjen e ekuacioneve që kemi shqyrtuar më parë (shih § 51). Në zgjidhjen e këtij ekuacioni, ne duhej të kryenim dy veprime që nuk ishin hasur më parë: së pari, shumëzuam të dyja anët e ekuacionit me një shprehje që përmban të panjohurën (emëruesin e përbashkët), dhe së dyti, reduktuam thyesat algjebrike me faktorë që përmbajnë të panjohurën. .
Duke krahasuar ekuacionin (1) me ekuacionin (2), shohim se jo të gjitha vlerat e x që janë të vlefshme për ekuacionin (2) janë të vlefshme për ekuacionin (1).
Janë numrat 1 dhe 3 që nuk janë vlera të pranueshme të së panjohurës për ekuacionin (1), por si rezultat i transformimit ata u bënë të pranueshëm për ekuacionin (2). Një nga këta numra doli të ishte një zgjidhje për ekuacionin (2), por, natyrisht, nuk mund të jetë një zgjidhje për ekuacionin (1). Ekuacioni (1) nuk ka zgjidhje.
Ky shembull tregon se kur shumëzoni të dyja anët e një ekuacioni me një faktor që përmban të panjohurën dhe anuloni thyesat algjebrike Mund të merret një ekuacion që nuk është i barabartë me këtë, domethënë: mund të shfaqen rrënjë të jashtme.
Nga këtu nxjerrim përfundimin e mëposhtëm. Kur zgjidhet një ekuacion që përmban një të panjohur në emërues, rrënjët që rezultojnë duhet të kontrollohen duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal. Rrënjët e jashtme duhet të hidhen poshtë.
